1

Statistinen mekaniikka1 Kevät 2018

Luennoitsija Aleksi Vuorinen (aleksi.vuorinen@helsinki.fi, A322)

Assitentti Pyry Wahlman (pyry.wahlman@helsinki.fi, C311)

Yleistä

• Luennot ma 14-16 ja ti 12-14 salissa A315; laskarit pe 10-12 C129 (Exactum)

• Kurssikirjana Arponen & Honkonen, Statistinen fysiikka; lisäksi prujut nettiin

viikoittain (ennen luentoja)

• Kurssin kotisivut http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/stamec/ tärkeät:

prujut, laskarit, koeinfo, ajankohtaista tietoa,…

• Laskareita yhteensä 6 kpl. Ilmestyvät nettiin tiistaisin ja palautetaan

seuraavan viikon tiistaina joko luennolla tai luennoitsijan postilaatikkoon

(Physicumin 3. kerroksen A-siipi). Käydään läpi perjantain laskaritilaisuudessa.

• Laskarit eivät pakollisia mutta erittäin suositeltavia: niissä mennään myös

luentomateriaalin ulkopuolelle ja tämä tulee olemaan osa koealuetta

• Viimeinen luento ti 27.2. ja viimeiset laskarit pe 2.3.

• Loppukoe ma 5.3. alkavalla viikolla; tarkempi ajankohta, koealue, jne.

ilmestyvät myöhemmin kurssin kotisivuille

• Suoritus: loppukoe 75% ja laskarit 25%

1 Tämä luentomoniste on kehittynyt vuosien varrella useiden kurssin luennoitsijoiden toimesta; erityisesti Ismo Napari ja Joonas Merikanto ovat kirjoittaneet siitä suuren osan.

http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/stamec/

2

Mitä statistinen mekaniikka on?

• Tutkii makroskooppisten systeemien ominaisuuksia lähtien liikkeelle

mikroskooppisesta teoriasta ja karkeistamalla kuvausta. Ison systeemin

kuvaus mikroteorian vapausastein harvoin mahdollista.

• Yksinkertaistetusti: hiukkastason vuorovaikutukset + tilastolliset menetelmät

→ termofysiikan fenomenologiset lait (mm. termodynamiikan pääsäännöt)

• Muodostaa termofysiikan kurssin formaalin pohjan. Yksi kurssin

päätavoitteista tukea termofysiikan hallintaa ja ymmärrystä.

• Statistisen mekaniikan ja termofysiikan kurssien suurin ero formalismissa.

Termofysiikka matemaattisesti helppo, mutta kvalitatiivisen ymmärryksen

tasolla haastava. Statistinen mekaniikka vaatii vähemmän fysikaalista

intuitiota, mutta enemmän laskemista.

• Pohjatiedot: termofysiikka ja klassinen mekaniikka tärkeitä; jatkokurssilla

(kvanttistatistiikka) myös kvanttimekaniikka sekä ED. Matemaattinen koneisto

MAPU:lta ja osin FYMM I:ltä. Puuttuvia taustatietoja mahdollista kerrata

kurssin aikana.

• Materiaalia 5 op:n kurssille varsin maltillisesti, ja luentojen sisältöä

mahdollista muokata sen mukaan, mikä tuntuu haastavalta. Ilmoittakaa

jos/kun jokin epäselvää!

Kurssin alustava sisällys

• Viikot 1-3: klassinen faasiavaruus, tilastollisten joukkojen (ensemblejen)

teoriaa: mikrokanoninen, kanoninen ja suurkanoninen joukko

• Viikot 4-5: kineettisen teorian perusteet, diffuusio, Vlasovin ja Boltzmannin

yhtälöt, H-teoreema

• Viikot 6-7: Maxwell-Boltzmann-jakauman johto, kuljetusilmiöt,

vuorovaikuttavien systeemien perusteet

3

KERTAUSTA: LAGRANGEN JA HAMILTONIN FORMALISMI

Konservatiivisten (kokonaisenergian säilyttävien) systeemien mekaniikkaa voidaan

kuvata Lagrangen tai Hamiltonin formulaatioilla, jotka ovat yhteneväisiä Newtonin

mekaniikan kanssa.

Systeemille, jota kuvaa N kappaletta koordinaatteja 𝑞𝑖, Lagrangen funktio L

määritellään

𝐿 = 𝐾 − 𝑈 = ∑1

2𝑚𝑖�̇�𝑖

2 − 𝑈(𝑞1, . . . , 𝑞𝑁),

𝑁

𝑖

missä K on kineettinen energia, U potentiaalienergia, ja qi yleistettyjä, ajasta

riippuvia koordinaatteja.

Aktiota varioimalla saadaan liikeyhtätöksi tuttu Euler-Lagrangen yhtälö

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑖) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0,

joka on täysin yhteneväinen Newtonin 2. lain kanssa:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑖) =

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑖�̇�𝑖 = 𝑚𝑖�̈�𝑖 ,

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= −

𝜕𝑈

𝜕𝑞𝑖= 𝐹𝑖 .

Hamiltonin formalismiin päästään suorittamalla Legendren muunnos

𝐻 = ∑𝑝𝑖

𝑁

𝑖

�̇�𝑖 − 𝐿,

jossa 𝑝𝑖 = 𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑖= 𝑚𝑖�̇�𝑖 ja jonka myötä funktion 𝐻 luonnollisiksi muuttujiksi tulevat

𝑞𝑖 ja 𝑝𝑖. Tälle funktiolle saadaan helposti tulos

𝐻 = 𝐾 + 𝑈 = ∑𝑝𝑖

2

2𝑚𝑖+ 𝑈(𝑞1, . . . , 𝑞𝑁).

𝑁

𝑖

Hamiltonin formalismissa liikeyhtälöt saavat muodon

𝑑𝑞𝑖

𝑑𝑡=

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖 ,

𝑑𝑝𝑖

𝑑𝑡= −

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖 ,

4

joka nähdään helposti yhtäpitäväksi Lagrangen liikeyhtälöiden kanssa. Hamiltonin

funktio on kuitenkin määritelty paikka- ja liikemääräavaruudessa, eli ns.

faasiavaruudessa, joka osoittautuu erittäin hyödylliseksi työkaluksi statistisessa

fysiikassa. Lagrangen funktio taas sisältää pelkästään paikka-avaruuden muuttujia.

Muistutus: Legendren muunnos

Mainitsimme yllä, että Hamiltonin ja Lagrangen formalismeja yhdistää Legendren muunnos, jossa

toinen funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) muuttujista vaihdetaan seuraavasti (𝑓:n muuttujien lukumäärä irrelevantti

tässä; 𝑥:n tilalla voisi olla 0 tai vaikka 5 muuttujaa):

Määritellään ensin uusi muuttuja 𝑧,

𝑧 ≡ 𝑓𝑦 =𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦

ja sen avulla uusi funktio 𝑔,

𝑔 ≡ 𝑦𝑓𝑦 − 𝑓 = 𝑦𝑧 − 𝑓.

Funktion 𝑔 infinitesimaalinen muunnos on nyt

𝑑𝑔 = 𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑦 − 𝑑𝑓 = 𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑦 − 𝑓𝑥𝑑𝑥 − 𝑓𝑦𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑧 − 𝑓𝑥𝑑𝑥,

joten funktion 𝑔 riippumattomina muuttujina voidaan pitää 𝑥:ää ja 𝑧:aa, ts. 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑧). Lisäksi

nähdään suoraan, että 𝑦 = 𝑔𝑧.

Legendren muunnos on usein termodynamiikassakin esiintyvä muuttujanvaihdos, jonka avulla

siirrytään käyttämään alkuperäisten muuttujien sijasta uutta muuttujajoukkoa, joka sopii

paremmin tarkasteltavan tapauksen reunaehtoihin.

Takaisin alkuperäiseen funktioon päästään luonnollisestikin määrittelemällä

𝑓 ≡ 𝑧𝑔𝑧 − 𝑔 = 𝑦𝑧 − 𝑔.

Esimerkki: Johdetaan Lagrangen ja Hamiltonin yhtälöt 2-ulotteiselle heilurille, jossa

paino 𝑚 on jäykän 𝑅-pituisen akselin päässä

R

(x,y)

θ

x

y

g

5

Koordinaatin (𝑥, 𝑦) täytyy selvästi toteuttaa ehto √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅. Jos kirjoitamme

liikeyhtälön pelkässä koordinaatti-avaruudessa, niin tuo ehto täytyy ottaa

eksplisiittisesti huomioon. Vaihtoehtoisesti voimme kuitenkin käyttää vain yhtä

muuttujaa 𝜃, mikä onnistuu näppärästi Lagrangen funktion avulla.

Aloitetaan kirjoittamalla 𝐿(𝜃, �̇�) = 𝐾 − 𝑈. Nyt 𝑥 = 𝑅 sin 𝜃 , 𝑦 = −𝑅 cos 𝜃 ja

𝐾 =1

2𝑚(�̇�2 + �̇�2) =

1

2𝑚(𝑅2 cos2 𝜃 + 𝑅2 sin2 𝜃)�̇�2 =

1

2𝑚𝑅2�̇�2

𝑈 = 𝑚𝑔𝑦 = −𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃

⟹ 𝐿(𝜃, �̇�) =1

2𝑚𝑅2�̇�2 + 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃

Euler-Lagrangen yhtälössä

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝜃= 0

voidaan nyt identifioida

𝜕𝐿

𝜕�̇�= 𝑚𝑅2�̇� ,

𝜕𝐿

𝜕𝜃= −𝑚𝑅𝑔 sin 𝜃 ,

josta saadaan edelleen helposti liikeyhtälö

𝑑

𝑑𝑡(𝑚𝑅2�̇�) + 𝑚𝑅𝑔 sin 𝜃 = 0

�̈� = −𝑔

𝑅sin 𝜃.

Seuraavaksi kirjoitamme Hamiltonin funktion käyttäen Legendren muunnosta.

Aloitetaan liikemäärästä (huomaa dimensio!)

𝑝𝜃 ≡𝜕𝐿

𝜕�̇�= 𝑚𝑅2�̇�

josta Hamiltonin funktioksi saadaan

𝐻 = 𝑝𝜃�̇� − 𝐿 = 𝑚𝑅2�̇�2 −

1

2𝑚𝑅2�̇�2 − 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃 =

1

2𝑚𝑅2�̇�2 − 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃

6

𝐻(𝜃, 𝑝𝜃) =𝑝𝜃

2

2𝑚𝑅2− 𝑚𝑔𝑅 cos 𝜃.

Tästä on helppo työ johtaa Hamiltonin yhtälöiksi

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝜃=

𝑝𝜃

𝑚𝑅2 ,

𝑑𝑝𝜃

𝑑𝑡= −

𝜕𝐻

𝜕𝜃= −𝑚𝑔𝑅 sin 𝜃

joiden nähdään olevan yhtäpitäviä Lagrangen liikeyhtälön kanssa.

7

KLASSINEN FAASIAVARUUS (AH 4.1, osin 4.2)

Faasiavaruus

Klassisen N-hiukkassysteemin tilaa d-ulotteisessa avaruudessa voidaan kuvata ns.

yleistetyillä (paikka)koordinaateilla qi, ja liikemäärillä pi, missä i=1,2,…,Nd ja d on

avaruuden dimensio.

Faasiavaruus on koordinaattien q=(q1,q2,…,qNd) ja p=(p1,p2,…,pNd) virittämä 2Nd-

ulotteinen avaruus – siis esim. 2-hiukkassysteemille 3-ulotteisessa tila-avaruudessa

faasiavaruus on 12-ulotteinen.

Faasiavaruuden jokainen piste Π = (q, p) vastaa systeemin yhtä mikroskooppista

tilaa, mutta makroskooppisen systeemin tarkkaa sijaintia faasiavaruudessa on

luonnollisesti hyvin vaikea mitata isoilla N:n arvoilla, eikä tämä olisi yleensä edes

tarkoituksenmukaista.

Systeemin aikakehitystä faasiavaruudessa, Π = Π(t), voidaan kuvata Hamiltonin

yhtälöillä

𝑑𝑞𝑖𝑑𝑡

=𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖;

𝑑𝑝𝑖𝑑𝑡

= −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖

missä 𝐻 = 𝐻(Π, 𝑡) on Hamiltonin funktio. Kuten yllä näimme, nämä eivät ole mitään

muuta kuin normaalit liikeyhtälöt kullekin systeemin hiukkaselle.

Jos Hamiltonin funktio ei riipu ajasta, on systeemin käytös faasiavaruudessa ajasta

riippumatonta siinä mielessä, että Hamiltonin yhtälöiden ratkaisut eli faasiradat

(trajektorit) ovat stationaarisia.

Faasiradat

Faasiradoiksi kutsutaan Hamiltonin yhtälön ratkaisuja faasiavaruudessa. Tietylle

yksittäiselle monihiukkassysteemille nämä radat:

• Eivät voi leikata tosiaan (Hamiltonin yhtälöiden deterministisyyden nojalla)

• Eivät tyypillisesti ala mistään eivätkä pääty mihinkään, ovat joko äärettömän

pitkiä tai periodisia

8

Tässä kaksi esimerkkiä faasitrajektorien mahdollisista muodoista kaksiulotteisessa q-

p-avaruudessa. Oikeanpuoleinen tapaus vastaa harmonista oskillaattoria, jolloin

ellipsiratojen akselit ovat verrannollisia hiukkasen energian neliöjuureen.

(t) (t)

Jos halutaan seurata jonkin systeemiä kuvaavan faasiavaruuden sekä ajan funktion

𝐹(Π, 𝑡) = 𝐹(𝑞, 𝑝, 𝑡) aikakehitystä faasiavaruuden mukana virtaavassa

volyymielementissä (eli suureen fysikaalista aikakehitystä!), on laskettava

kokonaisaikaderivaatta:

𝑑𝐹

𝑑𝑡=

𝜕𝐹

𝜕𝑡+ ∑(

𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑡

+𝜕𝐹

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑝𝑖𝜕𝑡

)

𝑖

=𝜕𝐹

𝜕𝑡+ ∑(

𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖−

𝜕𝐹

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖)

𝑖

≡𝜕𝐹

𝜕𝑡+ {𝐹,𝐻}

missä {F,H} symbolilla merkitään funktioiden F ja H Poissonin sulkuja. Huomaa

derivaattojen 𝜕𝐹 𝜕𝑡⁄ ja 𝑑𝐹

𝑑𝑡⁄ ero:

• 𝑑𝐹

𝑑𝑡 kertoo muutoksesta virtauksen mukana kulkevassa tilavuuselementissä

• 𝜕𝐹

𝜕𝑡 kertoo muutoksesta tietyssä faasiavaruuden pisteessä

Selvästi näistä ensimmäinen on fysikaalisesti mielenkiintoisempi. Käytännössä

klassisten faasiratojen ratkaisu onnistuu vain molekyylidynamiikka-simulaatioilla

pienille systeemeille (ja lyhyillä aikaskaaloilla). Tätä suurempien systeemien

käsittelyssä kannattaa turvautua tilastollisiin menetelmiin, jotka ovatkin tämän

kurssin pääteema.

9

Tilastollinen joukko eli ensemble

Määritellään myöhempiä tarkasteluja varten faasiavaruuden tilavuusmitta d N:n

identtisen hiukkasen systeemille d-ulotteisessa avaruudessa

𝑑 =1

𝑁!∏

𝑑𝑞𝑖𝑑𝑝𝑖ℎ

,

𝑁𝑑

𝑖=1

missä N! poistaa permutaatiosymmetrian ja h=6,62607 x 10-34 Js on Planckin vakio.

Se kannattaa sisällyttää d:n määritelmään kahdesta syystä:

• [dq dp]= [h] , joten d on dimensioton luku.

• Kvanttimekaniikan epätarkkuusperiaatteen mukaan tietyn hiukkasen paikkaa

ja liikemäärää ei voi mitata samanaikaisesti mielivaltaisen tarkasti. Kun

valitaan normitustekijäksi h, sisältää faasiavaruuden elementti (dq dp)/h

karkeasti ottaen yhden kvanttitilan ja makroskooppisen faasiavaruuden osan

tilavuus siten vastaa sen sisältämien kvanttitilojen määrää.

Systeemin makrotilaa kuvaa tyypillisesti muutama observaabeli (esim. ideaalikaasua

laatikossa P, T, V), mutta yhtä makrotilaa vastaa valtava (tyypillisesti ääretön) joukko

systeemin mahdollisia mikrotiloja. Näiden mikrotilojen faasiavaruuden kuvapisteet

{ j} muodostavat kyseistä makrotilaa vastaavan tilastollisen joukon eli ensemblen.

Jatkuvalla rajalla kuvapisteiden j jakaumasta saadaan todennäköisyystiheys 𝜚(, t)

tai lyhyemmin 𝜚(), joka oletetaan normitetuksi siten, että

∫𝜚()𝑑𝛤 = 1.

Jos ϱ() tunnetaan, voidaan makrotilaa vastaavat fysikaaliset suureet laskea

ensembleoletusarvoina

𝑓𝑚𝑎𝑘𝑟𝑜 = < 𝑓 > = ∫𝜚()𝑓()𝑑𝛤.

Jotta tämä määritelmä on järkevä, on kuitenkin vaadittava, että trajektoreiden kulku

faasiavaruudessa on sellainen, että makrotilan rajoitusten (esim. annettu

kokonaisenergia) määrittelemissä puitteissa jokainen faasiavaruuden piste vaeltaa

mielivaltaisen lähellä mitä tahansa muuta faasiavaruuden pistettä. Tämä on ns.

ergodisuushypoteesi, joka on systeemin itsensä eikä ensemblen ominaisuus.

10

Suureelle 𝑓 voi yleisesti ottaen laskea oletusarvon kahdella tapaa: ottamalla

keskiarvo faasiavaruuden pisteiden yli tai lähtemällä liikkeelle mielivaltaisesta

faasiavaruuden pisteestä Π(𝑡 = 0) ja ottamalla aikakeskiarvo riittävän pitkän

tarkastelujakson yli. Ergodisissa systeemeissä (mielivaltaiselle tasaiselle funktiolle) f

voidaan näyttää, että raja

𝑓 = lim𝑇→∞

1

𝑇∫ 𝑓((𝑡))𝑑𝑡

𝑇

0

on sama kuin ensemblekeskiarvo < 𝑓 > sellaisissa ensembleissä, joissa tietty

energiapinta 𝐻() = 𝐸 on tasaisesti edustettu, ts. 𝜚()~𝛿(𝐻() − 𝐸).

Todelliset systeemit ovat yleensä ergodisia; esimerkkejä epäergodisista systeemeistä

löytyy lähinnä ns. integroituvien (eli analyyttisesti ratkeavien) systeemien

dynamiikasta. Lisäksi statistisen fysiikan laskuissa vaaditaan usein systeemin

sekoittuvuutta, millä viitataan siihen, että mielivaltainen tietyllä energiapinnalla

määritelty todennäköisyystiheys täyttää virtauksen myötä ennen pitkää tasaisesti

koko energiapinnan. Ns. ergodisuusteoria tutkii virtausta faasiavaruudessa ja on

läheisessä yhteydessä kaoottisen dynamiikan tutkimukseen (ks. AH 4.2).

Jatkuvuus- ja Liouvillen yhtälöt

Faasiavaruus ei sisällä lähteitä tai nieluja, joissa todennäköisyyttä syntyisi lisää tai

sitä häviäisi. Siksi todennäköisyys tietyssä trajektoria pitkin virtaavassa

faasiavaruuden elementissä 0 säilyy, mikä vastaa identiteettiä

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜚(, t)𝑑 = 0.0(𝑡)

Tarkastellaan lähemmin tämän integraalin muutosta ajassa. Se koostuu yhtäällä

todennäköisyystiheyden muutoksesta volyymielementin 0 sisällä ja toisaalta alueen

0 ajallisesta muutoksesta. Virtaus faasiavaruudessa tapahtuu nopeudella

𝒗 = (�̇�, �̇�) = (𝜕𝐻

𝜕𝑝, −

𝜕𝐻

𝜕𝑞),

11

joten ajassa dt tilavuuselementin 0 reunapinnan infinitesimaalisen pinta-

alaelementin 𝑑𝐴 liike kasvattaa 0:n tilavuutta määrällä �⃑� ∙ 𝑣 𝑑𝑡𝑑𝐴, missä �⃑� on 𝑑𝐴:ta

vastaava pinnan normaalivektori.

𝑛

0 𝑣

dA

Tästä saadaan yo. integraalin aikaderivaataksi

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜚()𝑑 =0

∫𝜕𝜚

𝜕𝑡𝑑+

0

∫𝑑𝐴𝑑𝑡�⃑� ∙ 𝑣

𝑑𝑡𝜕0𝜚

= ∫𝜕𝜚

𝜕𝑡𝑑+

0

∫ 𝑑𝐴�⃑� ∙ 𝑣 𝜕0

𝜚

= ∫ 𝑑 (𝜕𝜚

𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ϱ𝑣 )) (Gaussin laista)

0,

minkä siis tiedämme häviävän. Koska tämä pätee kaikille tilavuuselementeille 0,

tulee integrandin hävitä eli yleisesti päteä jatkuvuusyhtälö

𝜕𝜚

𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ϱ𝑣 ) = 0.

Hamiltonin yhtälön avulla saamme toisaalta

∇ ∙ 𝑣 = ∑(𝜕�̇�𝑖𝜕𝑞𝑖

+𝜕�̇�𝑖𝜕𝑝𝑖

) =

𝑖

∑(𝜕

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖−

𝜕

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖) = 0,

𝑖

mikä tarkoittaa, että virtaus faasiavaruudessa on kokoonpuristumatonta.

Sijoittamalla tämä tulos jatkuvuusyhtälöön saadaan edelleen

0 =𝜕𝜚

𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ϱ𝑣 ) =

𝜕𝜚

𝜕𝑡+ 𝑣 ∙ ∇ϱ

12

=𝜕𝜚

𝜕𝑡+ ∑(�̇�𝑖

𝜕𝜚

𝜕𝑞𝑖+ �̇�𝑖

𝜕𝜚

𝜕𝑝𝑖)

𝑖

.

Kuten viime luvussa totesimme, yo. tulos kertoo, että tutkittu suure säilyy vakiona

virtauksen mukana kulkevassa tilavuuselementissä,

𝑑

𝑑𝑡𝜚((𝑡), 𝑡) = 0,

mikä siis pätee myös todennäköisyystiheydelle. Tätä tulosta kutsutaan Liouvillen

lauseeksi, jonka toiseksi muodoksi saadaan Hamiltonin liikeyhtälöistä

𝑖𝜕𝜚

𝜕𝑡= −𝑖 ∑(�̇�𝑗

𝜕𝜚

𝜕𝑞𝑗+ �̇�𝑗

𝜕𝜚

𝜕𝑝𝑗)

𝑗

= −𝑖 ∑(𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑗

𝜕𝜚

𝜕𝑞𝑗−

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑗

𝜕𝜚

𝜕𝑝𝑗)

𝑗

= 𝑖 ∑(𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑗

𝜕𝜚

𝜕𝑝𝑗−

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑗

𝜕𝜚

𝜕𝑞𝑗)

𝑗

= 𝑖{𝐻, 𝜚} = 𝐿𝜚,

missä 𝐿 ≡ 𝑖{𝐻, } on ns. Liouvillen operaattori ja {, } puolestaan jo aiemmin

määritellyt Poissonin sulut (klassisen mekaniikan vastine kvanttimekaniikan

kommutaattoreille). Saatua yhtälöä kutsutaan Liouvillen yhtälöksi.

Kaikkiaan on siis nähty, että

• virtaus faasiavaruudessa vastaa kokoonpuristumattoman nesteen virtausta,

• ensembleä kuvaavan todennäköisyystiheyden arvo pysyy vakiona

faasiavaruuden virtausta seurattaessa.

Laskuharjoituksissa nähdään lisäksi, että mikäli ensemblen tiheysfunktio riippuu

faasiavaruudesta vain Hamiltonin funktion kautta, ts. 𝜚(, t) = 𝜚(H(), t), niin

13

ensemble on stationaarinen, eli 𝜕𝜚

𝜕𝑡= 0. Tämä on hyvin tyypillinen tilanne niissä

systeemeissä, joita tällä kurssilla tarkastelemme.

Esimerkkitehtävä (AH 4.5): Määrää Hamiltonin virtauksen trajektorit 2-ulotteisessa

faasiavaruudessa (𝑞, 𝑝) hiukkaselle vakiopainovoimakentässä

𝐻 =𝑝2

2𝑚+ 𝑚𝑔𝑞.

Tutki, miten faasiavaruuden alue, joka hetkellä 𝑡 = 0 on kolmio, kärkipisteet

(𝑞0, 𝑝0), (𝑞0 + 𝑎, 𝑝0), (𝑞0, 𝑝0 + 𝑏), liikkuu ajan mukana. Osoita lisäksi, että kolmion

pinta-ala säilyy. Miksi näin on?

Esimerkkitehtävä: Määrää numeerisesti Hamiltonin virtauksen trajektorit 2-

ulotteisessa faasiavaruudessa (𝑞, 𝑝) aiemmin käsitellylle heilurille. Näytä, että tällä

kertaa kolmion (tai neliön) pinta-ala ei kuitenkaan säily faasiavaruuden virtauksessa.

Miksi näin ei käy?