1-2 A statisztika alapfogalmai, sorok, táblák3-4 Viszonyszámok4-5 Középértékek7-8 Szóródás számítás9-10 Aszimmetria alkalmazása statisztikai sokaság elemzésénél11-12 Standardizálás.13-15 Érték, ár, volumen index, indexsorok, területi indexek

"A hazugságnak három fajtája van: a hazugság, az egetverő hazugság, meg a statisztika.„ (Mark Twain)

Egy ember halála tragédia. Millióké statisztika. (Sztálin)

STATISZTIKA TÁRGYA, SZEREPE

A statisztika, mint gyakorlati tevékenység, a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk gyűjtése, feldolgozása és elemzése, ennek alapján a vizsgált jelenségek tömör, számszerű jellemzése.

Többféle ágát ismerjük; úgymint népességstatisztika, gazdaságstatisztika; módszertanát tekintve beszélhetünk általános statisztikáról, valamint szakstatisztikáról.

Történeti kialakulása

A statisztikai tevékenység az állam keletkezéséhez kapcsolódik. ( a latin status szó államot jelent). Kínában ie. 2 ezer éve a földminőségről, termények mennyiségéről, mezőgazdasági művelésről folytattak adatgyűjtést. Az ókori birodalmakban a katonáskodás és adózás szempontjából volt szükség statisztikára, ezért vezették be ezekben az államokban a népszámlálást. A feudalizmusban a földbirtokkal kapcsolatos összeírások (új leltározó adatgyűjtések) voltak a statisztika fő céljai. A központi államhatalom megszilárdulása - a kapitalizmusban – ösztönzőleg hatott a statisztika fejlődésére. Az állam gazdasági helyzetének, erőforrásainak megismerése érdekében a statisztikai adatgyűjtések rendszeressé váltak, kialakult az üzemen belüli statisztika. A statisztika módszerei is fejlődtek (a matematika, valószínűség-számítás fejlődésével együtt), a statisztika tudománnyá vált. A XIX. Század első felében létrejött a legtöbb országban a statisztika állami szervezete. (Nálunk Keleti Károly vezetésével 1885-ben jött létre az első hazai statisztikai szolgálat.)

Statisztika feladatai

A statisztikával szemben a következő követelmények támaszthatók:a) A valóságot kell tükröznie.

Az adatok pontosak, megbízhatóak, igazak legyenek. A társadalmi, gazdasági élet jelenségeit, folyamatait helyes módszerrel vizsgálja, dialektikusan tanulmányozza azokat. A folyamatokat teljességükben, minden oldalú összefüggésükben, folytonos mozgásukban, fejlődésükben vizsgálja. Teljesség: azaz egyes egyedeket sokoldalú elemzésnek vetik alá. Jelenségeket összefüggésükben vizsgálja: azaz pl. a termelés vizsgálatakor a befolyásoló tényezőket is elemzik. Fejlődésben: azaz a jelenlegit a korábbival vetik össze.

b) Gyorsnak kell lennie.Tehát az adatokat késedelem nélkül kell szolgáltatnia és feldolgoznia.

c) Mondanivalóját tömör és áttekinthető formában kell kifejeznie.Világosan, egyértelműen, tömör, áttekinthető formában fejezi ki a statisztika a valóságot, és azt közli.

A statisztika feladatai:1. Adatok megfigyelése, gyűjtése2. Adatok rendszerezése, feldolgozása3. Elemzés és közlés

1

Adatok megfigyelése, gyűjtése:

Mielőtt az adatgyűjtés fajtáira rátérnénk, nézzünk néhány alapfogalmat, amelyre szükségünk lehet a téma megértéséhez.

Statisztikai adat: mindig valamely statisztikai sokaság tagjainak a száma, vagy a sokaságnak valamilyen másféle számszerű jellemzője.Lehetnek: abszolút számok ( közvetlen mérés, számlálás útján kapunk); származtatott számok (elemzés során több abszolút adatból számíthatjuk).

Mutatószámok azok a statisztikai adatok, amelyekkel valamilyen rendszeresen megismétlődő társadalmi, gazdasági jelenséget jellemezni szoktak. (származtatott számok)

Megfigyelési egységnek nevezzük azokat az egyedeket, amelyekre a statisztikai megfigyelés irányul, amelyekre vonatkozóan adatokat gyűjtünk.(A kérdőív egyes kérdései a megfigyelési egységre vonatkoznak, a kérdésekre adott válaszok a megfigyelési egységeket jellemzik.)

Számbavételi egységnek nevezzük azokat az egységeket (személyeket vagy szervezeteket), amelyekhez a kérdéseket intézzük, amelyek adatszolgáltatásra kötelezettek.

A statisztikai megfigyelés 4 lépése:1. Statisztikai program elkészítése : ez áll az adatgyűjtésből, vagyis a közlés tervezéséből. Ez alapján a

feladat kitűzésére kerülhet sor. A statisztikai munka céljának meghatározása után a megfigyelhető sokaságot kiválaszthatják, majd ezen belül a sokaság egységeit határozzák meg, a tulajdonságok megjelölésével.

2. Adatok gyűjtése : ezt a lépést három féle szempont alapján végezhetjük. Osztályozhatjuk: a) felvétel gyakorisága szerintb) felvétel köre szerintc) felvétel módja szerint

a) Gyakoriság szerint:1. Folyamatos, állandó megfigyelés: a vizsgált jelenségeket mozgásuk, változásuk folyamatában

vizsgálják. (pl. egy vállalatnál az adott év alatt elért bevétel alakulása; egy évben egy adott országban a születések számának alakulása.)

2. Időponti megfigyelés, ún. összeírás: a jelenségeket egy adott – valós vagy eszmei – időpillanatban vizsgálják. (pl. egy vállalatnál a december 31-ei alapanyagkészlet értéke; egy országban a népességszáma)

Az alapvető különbséget az adja, hogy bizonyos jelenségeket csak egy időszakra tudjuk értelmezi (pl. születések száma); más jelenségek időben folyamatosan változnak (pl. alapanyagot vásárolnak, felhasználnak többször is egy évben), így azokat csak időpontra vonatkozóan ( Egy adott napon mennyi a készletérték?) tudjuk értelmezni.

b) Felvétel köre szerint:1. Teljeskörű megfigyelés: valamennyi egységet számbaveszik.2. Nem teljeskörű ( részleges) megfigyelés:

Képviseleti (reprezentatív) felvétel: az a fajtája a megfigyelésnek, amelynél a Vizsgálandó statisztikai sokasághoz tartozó megfigyelési egységeknek csak egy kiválasztott részét figyeljük meg, de ennek alapján az egész sokaságot jellemezzük.

Egyedi felvételek (monográfia): az a fajta megfigyelés, amelynél a sokaságnak egy-egy meghatározott egységét választják ki, s azt sokoldalú elemzéseknek vetik alá.

c) Felvétel módja szerint:1. Önszámlálás útján: az adatszolgáltatók maguk töltik ki a kérdőíveket.2. Kikérdezés útján: egy számlálóbiztos végzi a felvételt.

2

Adatfeldolgozás:

A statisztikai sokaságot a vizsgált célunknak megfelelően csoportosítjuk, majd elvégzik az összesítéseket.Lépései: 1. Kérdőívek elkészítése a csoportosításhoz2. Csoportosítások elvégzése3. A számlálás, összegzés és feldolgozási táblák elkészítése

Elemzés és közlés:

A lényeges jellemzők megállapítása, összefüggések kiemelése.

ALAPFOGALMAK

Statisztikai sokaság a statisztikai megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége, halmaza.

Egy adott sokasághoz tartozó egyedek bizonyos meghatározott kritériumok szempontjából egyformák.A sokaságot alkotó egyedeket sokaság egységeinek nevezik. Azokat a kritériumok, amelyek szerint jellemezzük a sokaság egységeit, ismérveknek.Egy adott ismérv szerint a sokaság egységei többféle tulajdonsággal rendelkezhetnek. Ezek a tulajdonságok az ismérv változatai.

Sokaság fajtái:

1. Véges sokaság: nagysága pontosan meghatározható (pl. népesség száma egy adott területen, adott időpontban)

2. Végtelen sokaság: számossága pontosan nem előre jelezhető (pl. kísérleti statisztika 3. eredményei, modellezés)4. Diszkrét sokaság: Elemei különálló egységekből állnak. (végtelen diszkrét: természetes számok

halmaza)

5. Folytonos sokaság: Ha a sokaság nagysága véges vagy végtelen számmal adható meg, de az egy tömbből áll (Mo. 1998-as széntermelése). Az ilyen sokaság nagyságát önkényes méréssel lehet megállapítani (1 tonna, 1 KW, stb.). (végtelen folytonos: valós számok halmaza)

6. Álló sokaság: amennyiben az adatgyűjtés időponti megfigyelés eredménye, az így megfigyelt sokaság állapotot fejez ki. Elemeinek vizsgálatát egy adott időpontban végezzük.

7. Mozgó sokaság: amennyiben az adatgyűjtés folyamatosan történik; a sokaság folyamatot, történést érzékeltet; időtartamra vonatkozóan eseményekből, folyamatokból áll. Elemeinek vizsgálata egy időtartamra értelmezhető.

8. Teljes sokaság: Vagy alapsokaság, ha abban a megadott tulajdonságú összes elem benne van.9. Minta sokaság: Az alapsokaságot jól reprezentáló részsokaság.10. Fő sokaság: A vizsgált elemek halmaza.11. Rész sokaság: A fősokaság valamely szempont szerint hasonló elemeinek halmaza.12. Aggregált sokaság: Különböző fajtájú, minőségű, de valamely szempont szerint együtt kezelt,

vizsgált elemek összessége (1998-ban vásárolt kertészeti termékek). Nagyságát legegyszerűbb értékben megadni (Ft, $, ¥, £).

3

Sokaság példa:

Sokaságok és típusokMegnevezés Egység Típus

EU országok népessége 1998. január elsején. Egy fő Véges, diszkrét, állóMo.-ra behozott Renault gépkocsik 1997-ben. Egy Renault gépkocsi Véges, diszkrét, mozgó

aggregáltMo. lignittermelése 1999 első felében. Egy tonna, egy

kilogrammVéges, folytonos, mozgó

Mo. lakosságának kenyér fogyasztása 1998-ban. Egy kilogramm Véges, folytonos, mozgó, aggregált

Vas megye lakosságának takarékbetét állománya 1998. december 31-én.

Egymillió Ft Véges, folytonos, álló

Egész számok. Egy = 1 Végtelen, diszkrét, állóEgy adott kukoricafajta, adott termelési feltételek melletti lehetséges terméshozamai.

Egy tonna Végtelen, folytonos, mozgó

ISMÉRVEK FAJTÁI:

Ismérvnek nevezzük a statisztikában egy sokaság egyedeinek tulajdonságait. Ismérv minden olyan szempont vagy kritérium, ami szerint a sokaságot vizsgáljuk. Léteznek közös ismérvek, amelyek igazak a sokaság minden egyedére, és megkülönböztető ismérvek, amik alapján az egyedek elkülöníthetőek.Az ismérvek fajtáit az alábbi táblázat tartalmazza.

Fajta Példák

Területi ismérv ország, város, megye

Időbeli ismérv nap, hónap, év

Tárgyi ismérv Minőségi ismérv Mennyiségi ismérv

nem, iskolai végzettségnyereség, életkor, jövedelem

A sokaság egyedeire a vizsgált ismérv szerint különféle ismérvváltozatok jellemzők; például ha a „nem” az ismérv, akkor a „férfi” és a „nő” a lehetséges ismérvváltozatai.

Alternatív ismérvnek nevezzük az olyan ismérveket, amelyeknek csak két ismérvváltozata létezik. A mennyiségi ismérvek ismérvváltozatai ismérvértékeknek is hívhatók.

A kódolás az a folyamat, amelynek segítségével a területi, időbeli, illetve minőségi ismérveket is számszerűvé alakítjuk át (például a megyékhez a nevük betűrendjében számokat rendelünk 1-től 19-ig). Ezek az ismérvek azonban így sem rendelkeznek a mennyiségi ismérvek valamennyi tulajdonságával: erről részletesebben lásd a Mérési skála című részt.

Mérési skála Nominális skála

o Ez a legegyszerűbb, ez szolgáltatja a legkevesebb információto Segítségével csak az smérvek azonossága vagy különbözősége állapítható mego pl: férfi vagy nő o nem sorolható minőség szerint

Ordinális skála o Ismérvértékek közötti sorrend is megállapíthatóo sorrendbe lehet rakni de nem lehet az állítások között távolságot meghatározni o pl: egészség (különböző szintek-nagyon jó, jó, közepes, rossz), katonai rendfokozat…

4

Intervallumskála vagy különbségi skála o Kezdőpontja önkényesen választott, ezért a ismérvek sorrendje és különbsége értelmezhető,

de aránya nemo pl: IQ, Celcius

Arányskálao A kezdőpontnak önálló jelentése van, adatain minden matematikai művelet értelmezhetőo pl: jövedelem, tömeg, testsúly stb.

Példa:

Ismérvek és mérési skálák

Sokaság A sokaság egy konkrét

egysége

Ismérv Ismérv változat

Ismérvfajta/ mérési skála

A regisztrált munkanélküliek 1998. január 1-én.

Nagy Mária Neme Nő Minőségi/nominálisÁllandó lakhelye (megye) Zala Területi/nominálisSzületési idő 1958.03.24 Időbeli/intervallumFoglalkozás Könyvelő Minőségi/nominálisTestmagasság 168cm Mennyiségi/arányRegisztrációs szám 4852 Mennyiségi/ordinális

1998. folyamán Magyarországra behozott gépkocsik.

Opel Astra Színe Fehér Minőségi/nominálisHengerűrtartalom 1600cm3 Mennyiségi/arányGyártási hely (ország) Németország Területi/nominálisGyártási idő 1997 Időbeli/intervallumRendszám GSU-861 Mennyiségi/

nominális

Statisztikai adatok csoportosítása, rendezése

Statisztikai sokaságnak valamely megkülönböztető ismérv szerinti tagolását, rendezését osztályozásnak, rendezésnek nevezik.

A csoportosító statisztikai sor általános sémája:Osztály

(a megkülönböztető ismérv változatai)Egyedek száma(gyakoriságok)

C1 f1

C2 f2

… …Ck fk

Összesen N

Ahol:Ci = a csoportképző, megkülönböztető ismérv alapján képzett i-edik osztály azonosítójafi = a sokaság Ci osztályába sorolt egyedek számak = a kialakított osztályok számaN = a sokaság egyedeinek száma

5

Statisztikai sor fajtái: a) Az ismérv fajtája szerint:

idő területi mennyiségi minőségi

b) Több ismérv szerint: mindegyik ismérv szerint, egymástól függetlenül külön-külön ismérveket egymással kombinálva

A statisztikai adatoknak egyfajta ismérv szerint meghatározott összefüggésben történő felsorolását, rendezését statisztikai sornak nevezzük.

A statisztikai sor formailag 3 részből áll:1. Cím ( tartalmazza az elemzett sokaság fontos jellemzőit)2. Tulajdonságok felsorolása (az ismérv változatai alapján tudjuk majd a sor fajtáját megállapítani)3. Számérték felsorolása

6

Összehasonlító sor az azonos fajta, azonos mértékegységben adott adatokból álló sor; az adatok mégsem adhatók össze. (Nincs tárgyi értelme az összegüknek!) Az adatok csak egy tekintetben különböznek egymástól; a felsorolás célja kifejezetten időbeli vagy térbeli (időnként lehet más is) összehasonlítás. Nem tartalmaz összegző adatot.

• Egy sokaságról szerzett adatok felsorolása térbeli vagy időbeli összehasonlítás céljából.• Példa: Magyarország népessége különböző években• Egy főre jutó jövedelem néhány európai országban

Példa: Egy főre jutó GNP néhány európai országban 2005 (euró), összehasonlító területi sorország Egy főre jutó GDP

Luxemburg 65630

Svédország 41060

Belgium 35700

Görögország 19670

Magyarország 10030

Románia 3830

Csoportosító sor az azonos fajta, azonos mértékegységben adott adatokból álló sor, melynél a rendezés célja egy adott sokaság valamely ismérv szerinti összetételének bemutatása, osztályozás. Tartalmaz összegező adatot.

• Egy fősokaság és annak részsokaságinak nagyságát adják meg. Jellemző ezekre a sorokra az „összesen” adat. A csoportképző ismérv alapján lehet: mennyiségi, minőségi és területi sor, illetve idősor.

• Példák: • Háztartások megoszlása a fűtés módja szerint• M.o. népessége régiók szerint

Példa: Háztartások megoszlása a fűtés módja szerint 2005-ben (minőségi csoportosító sorTávfűtés 17,40%

Épület egyedi kazánfűtés 2,70%

Lakás egyedi gázfűtés 32,70%

Egyéb fűtés 47,10%

Nincs fűtés 0,10%

Összesen 100%

Példa: M.o. népessége régiók szerinti bontásban 2006 (fő) (területi csoportosító sor)Közép-Magyarország 2 855 670

Közép-Dunántúl 1 108 124

Nyugat-Dunántúl 1 000 142

Dél-Dunántúl 970 700

Észak-Magyarország 1 261 489

Észak-Alföld 1 533 162

Dél-Alföld 1 347 294

Összesen 10 076 581

7

Leíró sor többnyire különböző mértékegységű, különbözőfajta (többféle sokaságból való) adatfelsorolás, amely adatok mindegyike egy meghatározott jelenségre vonatkozik.

• Egy jelenség (mondjuk egy ország) több sokaságának felsorolása.• Ennek célja tájékoztatás, a felsorolt sokaságok nem hasonlíthatóak össze.• Példa: Magyarország néhány fontosabb statisztikai adata

Példa: Magyarország néhány fontosabb stat. adata 2006-banNépesség 10 076 581 főBruttó hazai termék (GDP) 23 561,5 Mrd. FtFelsőoktatásban tanulók száma 416 348 főNyugdíjasok száma 3 028 ezer főNemzeti parkok területe 485 806 hektár

Idősor a társadalmi, gazdasági jelenségek, folyamatok időbeli alakulását mutatja, lehetővé teszi az időbeli összehasonlítást, a fejlődés vizsgálatát. Állapotidősor állósokaságra vonatkozó időbeli összehasonlítást tesz lehetővé; tartamidősor mozgósokaságra vonatkozó időbeli összehasonlítást tesz lehetővé.

• általában összehasonlító sorok.• Idősor: állapot és tartamidősor, függően a sokaságtól (álló vagy mozgó)• Csoportosító idősorra példa: tartamidősor pl. magyar import különböző hónapokban, majd

kumulálva (összeadva) az éves adattá.

Mennyiségi sor a mennyiségi ismérv szerinti megfigyelésen alapuló elemzés, ahol az ismérvértékek mindig számok! Folytonos ismérvről akkor beszélünk, amikor az egyes ismérvek értékei nagyon sok változattal rendelkeznek, így a rendezést úgy hajtjuk végre, hogy adott határok (intervallumokat) adunk meg. Diszkrét ismérvről akkor beszélünk, ha az ismérvek értékei elkülönített, diszkrét számok, kevés változatban.

• A csoportosító ismérvünk mennyiségi, azaz a felvett ismérvértékek (ismérvváltozatok) számok.• Gyakran van értelme a lehetséges ismérvértékek szerint osztályközöket képezni.• Pl. lakások vízfogyasztása

Példa: Osztályközök: lakások vízfogyasztásaVízfogyasztás (m3) Lakások száma

-20 21

21-30 21

31- 8

Összesen 50

Minőségi sor Minőségben különböző sokaságok nagyságát leíró adatok összessége. Minőségi sorokkal egy sokaság összetételét, szerkezetét lehet megjeleníteni. Mivel csoportosító sor, így összegezhető – az összeg az alapsokaság nagyságát adja.

PéldaA foglalkoztatottak (gyeden, gyesen lévők és sorkatonák nélkül) száma foglalkoztatásuk jellege

szerint A foglalkoztatás jellege A foglalkoztatottak száma

Alkalmazásban álló 2961,2Szövetkezet tagja 79,0Társas vállalkozás tagja 151,8Egyéni vállalkozó 372,2Segítő családtag 40,9Összesen: 3605,1

8

Területi sor Térben (elhelyezkedésben) különböző sokaságok nagyságát leíró adatok összessége. Csak összehasonlítás céljaira alkalmas.

Példa:

A kukorica vetésterülete és termésátlaga megyénként a Dunántúlon 1990-benDunántúli megye Kukorica

Vetésterület (ha) Termésátlag (kg/ha)Baranya 77.841 4.282Fejér 59.290 2.142Győr-Moson-Sopron 34.610 3.704Komárom-Esztergom 34.263 2.658Somogy 77.600 3.817Tolna 74.534 3.940Vas 26.937 5.188Veszprém 14.894 3.589Zala 30.742 4.919 Összegezhetetlen,

mivel összehasonlító adatokat tartalmaz

Összesen: 440.711 -

STATISZTIKAI TÁBLA

• A megfelelő külső formával ellátott statisztikai sorok összefüggő rendszerét statisztikai táblának nevezzük.

• A tábla minden rovata több statisztikai sorhoz tartozik. A dimenziószám azt adja meg, hogy a tábla egy adata hány statisztikai sorhoz tartozik.

Azt a számot, hogy a tábla egy-egy adata hány sorhoz tartozik (hányféle információ tartozik hozzá); vagyis hány irányban helyeztünk el a táblában statisztikai sorokat, a tábla dimenziójának nevezzük.

Fajtái:a) Rendeltetése szerint:

feldolgozási tábla: amely az adatok feldolgozása közben keletkezik. közlési tábla: amely a végső eredményeket tartalmazza. munkatábla: amely a feldolgozás során végzett számításokat is tartalmazza.

b) Csoportosítás szerepe szerint: egyszerű tábla: jellemzője, hogy csak leíró illetve összehasonlító sorokat tartalmazhat; nincs

összegző rovata. csoportosító tábla: egyfajta csoportosító sort tartalmaz, ezenkívül tartalmazhat leíró és/vagy

összehasonlító sorokat. kombinációs tábla (kontingencia tábla): legalább kétfajta csoportosító sort tartalmaz (tehát a

kétdimenziós táblában nincs is másfajta sor!); ezenkívül tartalmazhat összehasonlító és/vagy leíró jellegű sorokat is.

9

EGYSZERŰ TÁBLA

Az egyszerű táblák közös jellemzője, hogy bennük nem található csoportosító sor. Nincs összesen sora. Készítésének célja az összehasonlítás (időbeli, térbeli); többféle információk megadása (leírósor).Az egyszerű tábla elemzési eszköze a dinamikus, összehasonlító és intenzitási viszonyszámok.Az időbeli változást dinamikus viszonyszámokkal tudjuk kimutatni, mindezt a leíró sor elemeiből számítható intenzitási viszonyszámmal összekapcsolva tehetjük meg.Az intenzitási viszonyszám időbeli változását úgy határozhatjuk meg, hogy az összehasonlítandó időszakok/időpontok szerinti intenzitási viszonyszámokat osztjuk egymással. Ezt a módszert közvetlen módszernek nevezik = Vi1 / V10

Az intenzitási viszonyszám időbeli változását úgy is meghatározhatjuk, hogy az intenzitási viszonyszám számlálójában szereplő érték időbeli változását elosztjuk az intenzitási viszonyszám nevezőjében szereplő érték időbeli változásával. Ezt a módszert közvetett módszernek nevezik = V0 = A0 / B0

Példa: Egyszerű tábla: budapesti székhelyű külföldi érdekeltségű vállalkozások

Megnevezés 1989 1991 1993

Öss

zeha

sonl

ító

soro

k

Vállalkozások száma 886 5111 10953

Összes bejegyzett tőke (Mrd Ft) 64,3 270,3 725,1

Ebből külföldi részesedés 15,5 123,7 411,7

Leíró sorok

CSOPORTOSÍTÓ TÁBLA

A csoportosító táblák közös jellemzője, hogy a sokaság egyik jellemzője szerint részekre, csoportokra bontható, melyek csoportosító sorba rendezhetők, ezenkívül bármennyi és bármilyen összehasonlító illetve leíró sort tartalmaznak. Egy irányban adatai összeadhatók és tartalmaz csoportosító sort. A másik irányban vagy leírósort tartalmaz vagy összehasonlítás lehetséges.A csoportosító tábla elemezhető megoszlási, összehasonlító és intenzitási viszonyszámmal.

A csoportosító sorok összetevői részsokaságok adatai (férfi, nő) fősokaság (összes férfi és nő) A részsokaságokra rész viszonyszámokat számolunk (nők aránya). Fősokaságra fő viszonyszámokat illetve összetett viszonyszámokat használunk. A fő viszonyszámok a részviszonyszámok átlaga, mely lehet: számtani, ha ismerjük a rész viszonyszámokat (x) és mellettük súlyszámként (f) a viszonyszám

számításául szolgáló tört nevezőjét harmonikus, ha ismerjük a rész viszonyszámokat (x) és mellettük súlyszámként (f) a viszonyszám

kiszámításául szolgáló tört számlálóját

10

Elemzési lehetőségek

1. Rész- és összetett viszonyszámok számításaHa egy csoportosító tábla elemzéséhez összehasonlító viszonyszámokat illetve intenzitási viszonyszámot számítunk, az egyes csoportokra illetve a sokaság egészére vonatkozóan azonos típusú viszonyszámokat tudunk számítani.Egy fősokaság részeire - azaz a részsokaságokra-, valamint annak egészére vonatkozó, azonos típusú viszonyszámok egymás közötti kapcsolatát tekintve, az előbbieket részviszonyszámoknak, az utóbbiakat összetett viszonyszámoknak nevezzük.Részviszonyszám: jele: Vj (a j-edik részsokaságra vonatkozó viszonyszám) számítása: Vj = Aj / Bj illetve Aj = Bj * Vj illetve Bj = Aj / Vj Összetett viszonyszám: jele: számítása minden adat ismeretében: ha Aj és Vj ismerr akkor a számítás: ha Bj és Vj ismert akkor a számítás:

2. Sokaságok összetételének összehasonlításaA csoportosító táblák elemzésének jellegzetes esete valamilyen sokaság összetételének időbeli és/vagy térbeli összehasonlítása, melyhez összehasonlító viszonyszámokat illetve megoszlási viszonyzsámokat használhatunk.A dinamikus viszonyszámok nagyságrendje alapján megállapítható, hogy az egyes részsokaságok aránya nőtt vagy csökkent.Ha valamely dinamikus részviszonyszám kisebb, mint az összetett dinamikus viszonyszám, akkor a megfelelő megoszlási viszonyszám csökken. Ha a dinamikus részviszonyszám egyenlő az összetett viszonyszámmal, akkor a csoport részesedése nem változott. Ha pedig valamely dinamikus részviszonyszám nagyobb, mint az összetett dinamikus viszonyszám, akkor a megfelelő megoszlási viszonyszám nőtt.

Példa: Magyarország népessége nemek szerinti megoszlásban

nem 1960 1980 2001

Öss

zeha

sonl

ító

idős

orok

férfi 4 804 043 5 188 709 4 851 012

nő 5 157 001 5 520 754 5 349 286

összesen 9 961 044 10 709 463 10 200 298Csoportosító, minőségi sorok

11

KOMBINÁCIÓS TÁBLA

Egy statisztikai sokaság két vagy több csoportosító ismérv szerinti vizsgálata, közel azonosat jelent a kombinációs tábla elemzésével. Amennyiben több dimenziós a tábla, és tartalmaz nem csoportosító sort is, úgy a tábla elemzése már attól függ, hogy éppen milyen kombinációban elemezzük a benne szereplő sorokat, illetve egyszerre valamennyi sort, vagy kiemelten két-két sort elemzünk egyszerre.Ha a kombinációs tábla csak csoportosító sorokat tartalmaz, úgy a tábla elemzése, nem más, mint azt, hogy a csoportosító ismérv szerint vizsgáljuk a statisztikai sokaságot, az ismérvek szerint egymástól függetlenül, vagy egymással kombinálva. Ez utóbbi azt jelenti, hogy azt vizsgáljuk, hogy az egyik ismérv szerint létrehozott csoportokon belül a másik ismérv szerint is osztályozhatunk. Az elemzésnek ez a speciális esete tulajdonképpen nem más, mint az ismérvek közötti kapcsolatok elemzése.

Elemzési eszközök

1. Rész- és főátlagok számításaHa mennyiségi csoportosító sor van akkor rész és főátlagokat is számolhatunk. A főátlag a részátlagok átlaga, ez lehet számtani és harmonikus átlag is. Ha számtani akkor a nevező a súly és ha harmonikus akkor a számláló a súly.

2. Rész- és fősokaság varianciája és szórásaA középértékek tulajdonképpen megfelelő információt adnak valamely mennyiségi sorról, de általában azt is célszerű megvizsgálni, hogy az egyes értékek mennyivel térnek el az átlagtól, és ezek között az eltérések között van-e valamilyen összefüggés.

Példa: Lakások megoszlása településtípus és komfort szempontjábólKomfortfokozat Budapest egyéb város község Összesen

Komfortos 673 1259 780 2712

Félkomfortos 40 88 159 287

Komfort nélküli 63 193 433 689

Összesen 776 1540 1372 3688

Peremgyakoriság Gyakoriság Megfigyelések száma (mintanagyság)

12

GYAKORLÓ FELADATOK

1. feladat

Tesztkérdések. Minden feladatnál csak egy jó válasz lehetséges.

1. A hallgató neve …………… ismérv.a) Minőségib) Mennyiségic) Területi

2. A hallgató tanulmányi eredményét ………… skálán mérjük.a) Nominálisb) Ordinálisc) Intervallum

3. A felsoroltak közül melyik mennyiségi ismérv?a) Beosztásb) Nemc) Bruttó keresetd) Születési hely

4. Az alábbiak közül melyik nem mérési skála?a) Egyszerűb) Nominálisc) Arány

5. A leíró statisztikai sor ………….. tartalmaz csoportosítást.a) Mindig b) Sohasemc) Általában

6. Az összehasonlító tábla ………. tartalmaz csoportosító sort.a) Nemb) Egy iránybanc) Minden irányban

7. Melyik nem statisztikai tábla?a) Összehasonlítób) Kombinációs c) Leíró

8. Az egyszerű tábla …………………….. sorokat tartalmaza) Összehasonlító és leírób) Csak leíróc) Összehasonlító, leíró és összesítő

9. A statisztika feladatai:a) Adatok megfigyelése, gyűjtéseb) Adatok rendszerezése, feldolgozásac) Elemzés és közlésd) a, b, c is igaz

10. Ha a sokaság nagysága pontosan meghatározható, akkor az ……. sokasága) Végesb) Végtelenc) Mozgó

13

11. Népesség száma egy adott területen, adott időpontban, ez ……… sokasága) Végesb) Végtelenc) Mozgód) Álló

12. A katonai rendfokozatok leírásaa) Nominális skála b) Ordinális skála c) Intervallumskála vagy különbségi skála d) Arányskála

13. Melyik nem igaz az ordinális skálára?a) Ez a legegyszerűbb, ez szolgáltatja a legkevesebb információtb) Ismérvértékek közötti sorrend is megállapíthatóc) sorrendbe lehet rakni de nem lehet az állítások között távolságot meghatározni

14. Melyik megállapítás tartozik az arányskálához?a) férfi vagy nő b) egészség (különböző szintek-nagyon jó, jó, közepes, rossz)c) Celcius d) tömeg

15. A csoportosító táblának …………. a) Nincs összesítő sora.b) Egy összesítő sora van.c) Két összesítő sora van.

2. FeladatNevezze meg az alábbi táblák típusát, dimenzióját és az azokon található statisztikai sorok típusát!

Az egy főre jutó élelmiszerfogyasztás és az egységárak C és D országban:

Cikk Mérték- Egy főre jutó fogyasztás Egységárak nemzeti valutában

egység C D C Dországban

Disznóhús kg 40 35 10,0 30,0Marhahús kg 20 10 6, 20,0

Zsír kg 10 30 4,0 10,0Kenyér kg 60 120 1,0 2,5Tojás db 220 160 0,3 1,0Tej liter 100 90 0,7 2,0

Cukor kg 20 30 2,0 7,0Burgonya kg 200 90 0,2 1,0

Bor liter 2 10 8,0 20,0Sör liter 60 30 1,5 6,0

(Megoldás: minőségi, összehasonlító sor; leíró sor; területi összehasonlító sor 3 dimenziós, egyszerű tábla)

14

3. FeladatNevezze meg az alábbi táblák típusát, dimenzióját és az azokon található statisztikai sorok típusát!

A külkereskedelmi behozatal áralakulására és megoszlására vonatkozóan az alábbi adatokat ismerjük:

Árucsoportok A forgalom értékének megoszlása (%)

Csoport árindexek (%)

bázis beszámolási bázis beszámolásiidőszakban időszakban

Energiahordozók villamos energia

7,0 8,14 110,0 110,0

Anyagok, félkésztermékek,

alkatrészek

50,0 50,60 109,0 110,0

Gépek, szállítóeszk.

22,0 20,90 104,5 104,5

Fogyasztási iparcikkek

10,0 9,88 104,1 104,0

Élelmiszeripari anyagok

11,0 10,48 141,0 140,0

Összesen 100,0 100,0 ... ...

(Megoldás: minőségi, csoportosító sor; leíró sor; összehasonlító, idősor3 dimenziós, csoportosító tábla)

4. FeladatFeladat

Milyen mérési skálán mérhetjük a következő adatokat?a) Fizetés (Ft) a) Fizetés (Ft): arányskálánb) Lóversenyen a lovak helyezése b Lóversenyen a lovak helyezése: rendezési vagy

sorrendi skálánc) Nemek c) Nemek: névleges vagy nominális skálánd) Vizsgajegyek d) Vizsgajegyek: sorrendi skáláne) Hőmérséklet (°C) e) Hőmérséklet (°C): különbség skálánf) Kamat (%) f) Kamat (%): arányskáláng) Rendszám g) Rendszám: névleges vagy nominális skálánh) Állampolgárság h) Állampolgárság: névleges vagy nominális

skáláni) Naptári idő i) Naptári idő: különbség skálán

5. FeladatNevezze meg az alábbi táblák típusát, dimenzióját és az azokon található statisztikai sorok típusát!

Melyik mérési skálán mérjük az alábbiakat?a) Életkor Arányb) Testmagasság Arányc) Nemek Nominálisd) Vizsgajegyek Ordinálise) Rendszám Nominálisf) Lottó nyerőszámok Nominálisg) Egy cég nettó árbevétele Arányh) Versenyzők helyezései olimpián Ordinálisi) THM (%) Arány

15

6. FeladatEgy gazdasági konferencia résztvevőit a következő szempontok szerint figyelték meg:Megnevezés Ismérv IsmérvváltozatFoglalkozás    Mely országban járt már konferencián    Hányszor járt külföldön    Milyen idegen nyelven beszél    Születési év    Töltsd ki a táblázat hiányzó adatait!

MegoldásMegnevezés Ismérv IsmérvváltozatFoglalkozás minőségi mérnök, közgazdász, …Mely országban járt már konferencián területi Ausztria, Olaszország, …Hányszor járt külföldön mennyiségi 0,1,2, …Milyen idegen nyelven beszél minőségi angol, német, …Születési év időbeli 1950, 1970, …

7. Feladat

Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igaz vagy hamis!

a) A statisztikai sokaság mindig mozgó, mert sohasem lehet az adatgyűjtést egyetlen pillanat alatt elvégezni

H

b) A végtelenül nagy sokaság vizsgálata nem a statisztika tárgya. Hc) A megfigyelés tárgyát nem feltétlenül alkotja a sokaság mindegyik eleme. Id) A mozgó sokaságot időtartamra értelmezzük. Ie) Nem mindegyik ismérv mérhető mindegyik skálán. If) A sokaságot egyszerre több ismérv alapján is megfigyelhetjük. Ig) Minden, adatokat tartalmazó tábla statisztikai tábla. Hh) Csak a statisztikai tábla soraiban találhatóak a statisztikai sorok. Hi) Az egyszerű tábla nem tartalmaz összesen rovatot. Ij) Statisztikai sokaság a statisztikai megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége,

halmaza.I

k) Véges sokaság: számossága pontosan nem előre jelezhető (pl. kísérleti statisztika eredményei, modellezés)

H

l) Végtelen sokaság: nagysága pontosan meghatározható (pl. népesség száma egy adott területen, adott időpontban)

H

m) Ismérvnek nevezzük a statisztikában egy sokaság egyedeinek táblázatát. H

n) A közös ismérvek igazak a sokaság minden egyedére. Io) Az arányskála szolgáltatja a legkevesebb információt. H

16

8. Feladat

Nevezze meg az alábbi táblák típusát, dimenzióját és az azokon található statisztikai sorok típusát!

Egy adott évben az egyes nemzetgazdasági ágakra tevékenységi elhatárolásban a következő adatok álltak rendelkezésünkre: ( folyó áron, milliárd Ft)

Ágazatok Bruttó termelés Folyó termelő felhasználás

Értékcsökkenési leírás

Ipar 992,6 734,2 37,6Építőipar 167,9 102,1 4,7

Mezőgazdaság és erdőgazd. 249,5 149,3 16,3Szállítás és hírközlés 92,1 35,8 13,1

Kereskedelem 103,1 38,8 2,9Vízgazdálkodás 10,4 4,6 2,7

ANYAGI ÁGAK 1615,6 1064,8 77,3Személyi és gazd. szolg. 54,8 27,4 9,3Eü., szoc. és kult. szolg. 73,9 34,2 4,3

Közigazg. és egyéb 57,9 32,8 1,8NEM ANYAGI ÁGAK 186,6 94,4 15,4

ÖSSZESEN 1802,2 1159,2 92,7

(Megoldás: minőségi, csoportosító sor ;leíró sor 2 dimenziós, csoportosító tábla)

9. feladat

Válogasd külön a felsorolt ismérveket!

a) A BL-ben résztvevő csapatok.b) Intézmény dolgozóinak bére.c) Főiskolás tanulók az elsősorban tanult nyelv szerint.d) Konzerv töltősúlya.e) Ingatlanbefektetési alapok.f) A …….. típusú autóból választható színek.g) Turisták által eltöltött vendégéjszakák augusztusban.h) Minisztérium szolgálati autóinak típusai.i) Katonák testmagassága.

Minőségi   Mennyiségi 

diszkrét  folytonos  

Megoldás:Minőségi   a, c, e, f, hMennyiségi 

diszkrét  b, gfolytonos  d, i

17

10. FeladatÁllapítsa meg az alábbi sokaságok típusát (álló/mozgó) és egészítse ki a meghatározásokat egy időponttal vagy egy időszakkal!a) A felsőoktatási intézmények Magyarországon: a) Állósokaság, 2007. január 1b) Az OMO mosópor eladási forgalma a miskolci Metró áruházban:

b) Mozgósokaság, 2005

c) A halálozások Budapesten: c) Mozgósokaság, 2006d) A Magyarországra érkező turisták: d) Mozgósokaság, 2006e) Magyarország népessége: e) Állósokaság, 2007. január 1f) A gépkocsiállomány Zalaegerszegen: f) Állósokaság, 2007. január 1g) A TAURUS Gumigyár félkész termékei: g) Állósokaság, 2007. január 1

11. FeladatMilyen statisztikai sorokat tartalmazhat ...a) az egyszerű tábla?b) a csoportosító tábla?c) a kombinációs tábla?

Megoldása) az egyszerű tábla: leíró és összehasonlító sorokatb) a csoportosító tábla: leíró vagy összehasonlító sorokat és csak egy csoportosító sortc) kombinációs tábla: leíró és/vagy összehasonlító és legalább két csoportosító sorokat

12. FeladatVálasszuk külön a következő változókat aszerint, hogy minőségi vagy mennyiségi változók-e!Melyik mennyiségi változó diszkrét és melyik folytonos?

a) A háztartásokban használt neoncsövek élettartamab) Azon autóknak a száma, amelyek megfelelnek a 2007. szeptemberi műszaki vizsgánc) Újszülött csecsemők súlyad) A különböző súlyú csomagok postaköltségee) A tehergépjárművek típusai egy multinacionális vállalatnálf) Az automata csomagológép által megtöltött lisztes zsákok súlyag) Az alkalmazottak foglalkozás szerinti megoszlása a Miskolci Egyetemenh) A hibás termékek száma egy gyártási folyamat soráni) Azon idegen nyelvek, amelyeket Miskolci Egyetem pénzügy-számvitel szakos hallgatói tanulnak

Megoldása) Mennyiségi – folytonosb) Mennyiségi - diszkrétc) Mennyiségi - folytonosd) Mennyiségi - diszkréte) Minőségif) Mennyiségi - folytonosg) Minőségih) Mennyiségi - diszkréti) Minőségi

18

13. FeladatKészítsen statisztikai táblákat az alábbi adatok felhasználásával:a) 1994-ben a külföldre utazó magyarok száma 13.595,4 ezer fő volt, 1996-ra ez 20%-kal emelkedett. 1994-ben a kiutazók 90%-a közúton hagyta el az országot, ez az arány 1996-ra nem változott. 1994-ben 8%-uk utazott vonaton, 1996-ra ez 9%-ra nőtt. A hajón utazók száma mindkét évben 11 ezer fő volt.

b) Egy egyetem öt karán az 1996/97-es tanév I. félévében 10.000 hallgató tanult nappali és levelező tagozaton. Minden nyolcadik hallgató volt levelezős. A Gépészmérnöki Karon 150 első éves hallgató volt, ezek 20%-a lány. A Jogtudományi Karon a fiúk-lányok aránya 40-60%, a közgazdászoknál éppen fordítva. Az egyetemen 1.200 jogász és 700 közgazdász hallgató tanul nappali tagozaton. Az ötödéves hallgatók összlétszáma 750 fő volt.

a) Nevezze meg a táblák típusát, dimenzióját és az abban található statisztikai sorok típusát!b) Hogyan ábrázolná a fenti táblázatok adatait?

Megoldása) A külföldre utazó magyarok száma 1994-ben és 1996-ban az utazás módja szerint:

Az utazás módja  

1994. 1996. Változásezer fő % ezer fő % ezer fő %

Közúton 12.235,90 90 14.683,00 90 +2.447,10 20Vasúton 1.087,50 8 1.468,30 9 380,8 35Hajón 11 0,08 11 0,07 0 0

Egyéb módon 261 1,92 152,2 0,93 -108,8 -41,7Összesen 13.595,40 100 16.314,50 100 +2.719,10 20

Kétdimenziós csoportosító tábla, csoportosító minőségi és összehasonlító idősorokattartalmaz.Ábrázolás: kör- vagy oszlopdiagrammal.b) Az egyetem hallgatóinak megoszlása 1996/97-es tanév I. félévében:

14. Feladat

Jelöld a táblázatban, melyik sokaság típusról van szó!

Sokaság Álló sokaság

Mozgó sokaság

Folytonos sokaság

Diszkrétsokaság

Egy kórház betegforgalma 2003. II. félévében x xA Széchenyi Könyvtár könyvállománya 2004. december 31-én

x x

A külföldre utazók száma 2005. I. negyedévében x xEgy étterem forgalma 2005. második hetében x xVeszprém népessége 2004. január 1-én x xA lakosság gáz-fogyasztása 2005 I. félévében x xAz autópálya építés Magyarországon 2004-ben x xAz autópályák hossza Magyarországon 2005. június 30-án

x x

A felsőoktatásban tanuló hallgatók száma 2005 szeptember 1-én

x x

19

1-2 A statisztika alapfogalmai, sorok, táblákMennyiségi ismérv szerinti elemzés

Mennyiségi ismérv szerinti elemzés

Mennyiségi ismérv: számadattal mérhető valamilyen tulajdonság.- Diszkrét mennyiségi ismérv: ha az értékek jól elkülöníthető számok; mindig pontosan megadható- Folytonos mennyiségi ismérv: ha egy intervallumon belül bármilyen értéket felvehet; nem adható

meg pontosan, csak bizonyos pontossággal.

Megadása:- Elemek felsorolásával,- Elemek rangsorolásával- Gyakorisági sorral

Jelölések:Gyakoriság: .........................................................fi

Relatív gyakoriság: ..............................................gi=fi/összelemszámFelfelé kumulált gyakoriság: ...............................fi’Felfelé kumulált relatív gyakoriság: ....................gi’Lefelé kumulált gyakoriság: ................................fi”Lefelé kumulált relatív gyakoriság:......................gi”Osztályközép:.......................................................xi

Értékösszeg:..........................................................si

Gyakorisági sorok

Több adat esetén az ismérvértékeket csoportosítanunk kell (tömörítés). Az adatokat csoportosítjuk, osztályozzuk. Az osztályok egynél több ismérvértéket tartalmaznak.

Az osztályképzés szabályai:1. Hány osztályt hozzunk létre?

k az osztályok száman az elemek száma

a 2 hatványai:

Ha n=27, akkor a kettő hatványai közül 32>27, azaz 25>27.Ilyenkor tehát 5 osztályt kell létrehoznunk.

2. Milyen terjedelműek, milyen hosszúságúak legyenek az egyes osztályok?h az osztályok hossza.

Kivonjuk a rangsor legnagyobb értékéből a rangsor legkisebb értékét, és az eredményt elosztjuk az osztályok számával. A kapott eredményt mindig felfelé kerekítjük!

20

2k>n

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Teljesítmény (ezer km) Autók száma (db) fi

16-25 326-35 536-45 946-55 656-65 4Összesen 27

osztályközös gyakorisági sor: minden osztály egyenlő hosszúságú.

Gyakorisági sor általános sémája:Ismérvváltozat (Xi) Gyakoriság (fi)

X1

X2

.Xi

.Xk

f1

f2

.fi

.fk

Összesen N

ahol:

Xi = i-edik ismérvértékfi = i-edik osztály gyakoriságak = képzett osztályok számaN = a sokaság elemszáma

Gyakoriság: (fi)Azt mutatja, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett egy-egy osztályba a sokaságnak hány egysége tartozik.A gyakoriság az egy osztályba, osztályközbe eső egységek száma: fi. A gyakoriságok összege mindig egyenlő a sokaság elemszámával, azaz fi = N

Relatív gyakoriság: (gi)Azt mutatja, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett egy-egy osztályba a sokaságnak hányad része tartozik. A relatív gyakoriságot sokszor %-os formában fejezzük ki.A gyakoriságok (fi) helyett szerepeltethetjük a relatív gyakoriságokat (gi) is.

0 ≤ gi ≤ 1

vagy

0 ≤ gi ≤ 100%

A relatív gyakoriságok összege mindig egyenlő 1-gyel, azaz gi =1 = 100%.

Osztályköz: a mennyiségi ismérv értékközei. Lehet: - zárt: van alsó (Xia) és felső (Xif) határa; hossza: hi = Xif – X(i-1)f - nyitott: vagy csak felső (első osztályköz), vagy csak alsó (utolsó osztályköz) határa van

A nyitott osztályközt úgy kezeljük, mintha zárt lenne, a második és az utolsó előtti osztályköz hossza segítségével: h1 = h2 (vagy X1a = 0) és hk = hk-1.

Az i-edik osztályközépső meghatározása:

21

Közölt határ:

Valódi határ:15-2525-3535-4545-5555-65

Relatív értékösszeg Ha az értékösszegek megoszlásáról is képet akarunk kapni, akkor relatív értékösszeg-sort képezünk.Az i-edik osztály relatív értékösszege: Zi = Si÷Si (=Vm) Zi =1 = 100%.

Osztályközös gyakorisági sor

a tényleges egyedi értékektől eltekintünk, és osztályközökbe soroljuk a megfigyelési egységeket, vagyis folytonos mennyiségi sort képzünk. Ezt az adatközlési módot osztályközös gyakorisági sornakAz osztályközök megválasztása során 3 szempontot érdemes vizsgálni: 1. az osztályközök számát2. az osztályközök hosszát, nagyságát3. az osztályközök alsó és felső határának értékét.

Az osztályközök számát úgy célszerű megválasztani, hogy egyrészt még áttekinthető legyen a gyakorisági sor, azaz ne legyen túl sok osztályköz, másrészt az osztályközök száma azért eléggé megkülönböztesse a vizsgált ismérv felvehető értékeit.

Az osztályközök hossza annak az intervallumnak a hosszát jelenti, amelybe a sokaság egységeit besoroljuk. Jele: hi

h = Xmax - Xmin

Osztályközökalsó határ –felső határ

Gyakoriságokfi

X1a – X1f

X2a – X2f

.

.Xia – Xif

.

.Xka – Xkf

f1

f2

.

.fi

.

.fk

Összesen N

Valódi határ Közölt határ pl: Közölt határ pl:10-2020-3030-4040-50

11-2021-3031-4041-50

10,1 – 2020,1 – 3030,1 – 4040,1 – 50

Számolni mindig a valódi határokkal kell!

22

Példa:

Rangsor: (lakások fogyasztása (m3)) 10 17 20 23 29

11 17 21 23 30

12 18 21 23 31

14 18 21 24 31

15 18 21 24 32

16 19 22 25 33

16 19 22 26 34

16 19 22 26 36

17 20 22 27 36

17 20 23 28 40

2k>50 64>50 26>506 osztályt kell létrehozni

h=

Az osztályok hosszúsága: 5

Közölt határfogyasztás fi gi %11-15 5 5/50=0,10 10%16-20 16 16/50=0,32 32%21-25 15 15/50=0,30 30%26-30 6 6/50=0,12 12%31-35 5 5/50=0,10 10%36-40 3 3/50=0,06 6%

Valódi határfogyasztás fi

10-15 515-20 1620-25 1525-30 630-35 535-40 3

23

Kumulált gyakorisági sorok

Kumulálás = halmozott (göngyölített) összeadás

A (felfelé) kumulált gyakoriságok (fi’) és relatív gyakoriságok (gi’) azt mutatják, hogy az első i osztályközben hány adat, illetve az adatok hányad része található.

A lefelé kumulált gyakoriságok (fi” és gi”) az i-edik és az azt követő osztályközökben hány adat, illetve az adatok hányad része található.

Felfelé kumulált gyakorisági sor: (jele fi’ és gi’)

Fogy. (fi) (gi) Kumulált gyakorisági sor (fi’) Kumulált gyakorisági sor (gi’)

11-15 5 10%5 55 lakás fogyaszt 15 m3 alatt

10 10%A lakások 10%-a fogyaszt 15 m3 alatt

16-20 16 32%16+5 2121 lakás fogyaszt 20 m3 alatt

32+10 42%A lakások 42%-a fogyaszt 20 m3 alatt

21-25 15 30%15+16+5 3636 lakás fogyaszt 25 m3 alatt

30+32+10 72%A lakások 72%-a fogyaszt 25 m3 alatt

26-30 6 12%6+15+16+5 4242 lakás fogyaszt 30 m3 alatt

12+30+32+10 84%A lakások 84%-a fogyaszt 30 m3 alatt

31-35 5 10%5+6+15+16+5 4747 lakás fogyaszt 35 m3 alatt

10+12+30+32+10 94%A lakások 94%-a fogyaszt 35 m3 alatt

36-40 3 6%3+5+6+15+16+5 50Minden lakás 40 m3 alatt fogyaszt

6+10+12+30+32+10 100%A lakások 100%-a fogyaszt 40 m3 alatt

Össz. 50 100%

Lefelé kumulált gyakorisági sor (jele fi” és gi”)

Fogy. (fi) (gi) (fi”) (gi”)

11-15 5 10%50 5050 lakás fogyaszt 11 m3 felett

100% 100%A lakások 100%-a többet fogyaszt 11 m3-nél

16-20 16 32%50-5 4545 lakás fogyaszt 16 m3 felett

100-10 90%A lakások 90%-a többet fogyaszt 16 m3-nél

21-25 15 30%45-16 2929 lakás fogyaszt 21 m3 felett

90-32 58%A lakások 58%-a többet fogyaszt 21 m3-nél

26-30 6 12%29-15 1414 lakás fogyaszt 26 m3 felett

58-30 28%A lakások 28%-a többet fogyaszt 26 m3-nél

31-35 5 10%14-6 88 lakás fogyaszt 31 m3 felett

28-12 16%A lakások 16%-a többet fogyaszt 31 m3-nél

36-40 3 6%8-5 33 lakás fogyaszt 36 m3 felett

16-10 6%A lakások 6%-a többet fogyaszt 36 m3-nél

Össz. 50 100%3-3 0Egy lakás sem fogyaszt 40 m3 felett

6-6 0%A lakások 0%-a többet fogyaszt 40 m3-nél

24

ÉRTÉKÖSSZEG SOR:

- abszolút (Si): megmutatja, hogy az adott kategóriába eső egyedek az összes értékösszegből milyen összeggel rendelkeznek. (Pl.: egy adott cég egyik csoportja - adott kategóriába eső egyedek - az összes bér hány %-át kapja meg?)

- relatív: (Zi) Zi = Si / ∑k

i=1 * Si ahol k = hány kategóriát képeztem? / százalékos forma

Értékösszegsor:

Osztályközép (jele: xi)

xa: az osztály alsó határaxf: az osztály felső határaAz osztályközepet a valódi határból számoljuk!!!

Értékösszeg (jele: si)si=fi×xi

Lakásokfogyasztása

(m3)fi xi si

10-15 5 12,5 5×12,5=62,515-20 16 17,5 16×17,5=28020-25 15 22,5 15×22,5=337,525-30 6 27,5 6×27,5=16530-35 5 32,5 5×32,5=162,535-40 3 37,5 3×37,5=112,5Összesen: 50 1120

Feladat: az első gépkocsis példa osztályozása alapján kumulált gyakorisági sorokat, osztályközepeket, értékösszeget és átlagot kell számolni!

fi gi fi’ gi’ fi” gi” xi si

15-25 3 11 3 11 27 100 20 6025-35 5 18,5 8 29,5 24 89 30 15035-45 9 33,5 17 63 19 70,5 40 36045-55 6 22 23 85 10 37 50 30055-65 4 15 27 100 4 15 60 240Össz. 27 100 1110

25

10 11 12 13 14 15

12,5

10 11 12 13 14 15

15

16 17 18 2019

A kapott értékösszegből számtani átlagot számolunk:

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó:

hi

Forgalom

(eFt)

(x)

xi

Boltok száma

fi fi

’ Si gi Zi gi’ Zi’ fi” gi

”

200 – 400 300

5 5 1 362 420 1 500 4,6 1,7 4,6 1,7 108 100,0

200 401 – 600 500

15 20 1 555 260 7 500 13,9 8,4 18,5 10,1 103 95,4

200 601 – 800 700

40 60 595 360 28 000 37,0 31,5 55,5 41,6 88 81,5

200 801 – 1000 900

20 80 121 680 18 000 18,5 20,3 74,0 61,9 48 44,5

200 1001 – 1200 1100

16 96 1 236 544 17 600 14,8 19,8 88,8 81,7 28 26,0

200 1201 – 1400 1300

9 105 2 056 356 11 700 8,3 13,2 97,1 94,9 12 11,2

200 1400 felett 1500

3 108 1 379 052 4 500 2,9 5,1 100,0 100,0 3 2,9

-- Összesen ---- 108 -- 8 306 672 88 800 100,0 100,0 -- -- -- --

26

GYAKORLÓ FELADATOK

1. Feladat

Egészítsd ki a táblázatot!

fi gi fi’ gi’ fi” gi” xi si

15-25 325-35 535-45 945-55 655-65 4Össz. 27

Megoldás:

fi gi fi’ gi’ fi” gi” xi si

15-25 3 11 3 11 27 100 20 6025-35 5 18,5 8 29,5 24 89 30 15035-45 9 33,5 17 63 19 70,5 40 36045-55 6 22 23 85 10 37 50 30055-65 4 15 27 100 4 15 60 240Össz. 27 100 1110

2. Feladat

Borsod-Abaúj-Zemplén megyében az őstermelők termőterület szerinti megoszlása:Termőterület

(hektár)Őstermelők száma

(fő)0 - 5 1005 - 10 9010 - 25 8025 - 50 6050 - 100 10

100 - 10Összesen 350

Jellemezd a termőterület nagyságát az ismert gyakorisági sorokkal!(f’, g, g’, S, Z)

Megoldás

Termőterület (hektár)

Őstermelők száma (fő)

f’ g (%) g’ (%) S Z (%)

0 – 5 100 100 28,57 28,57 250 3,895 – 10 90 190 25,71 54,28 675 10,5010 – 25 80 270 22,86 77,14 1400 21,7925 – 50 60 330 17,14 94,28 2250 35,0250 – 100 10 340 2,86 97,14 750 11,67100 – 10 350 2,86 100 1100 17,12Összesen 350 - 1 - 6425 100

27

3. Feladat

Az alábbi táblázat az 1997. januárjában öregségi nyugdíjban részesülők megoszlásáról tartalmazkülönböző fajta mennyiségi sorokat az alapellátás nagysága szerint:

Az alapellátás nagysága (Ft)

f…………

f’……….

g …………

g'…………

- 10.999 . 5.143 . .11.000 - 14.999 118.766 . . .15.000 - 19.999 . 540.537 . .20.000 - 39.999 . . . .

40.000 - 69.854 . .Összesen: 1.643.552 . . .

Feladat:a) Töltse ki a táblázat hiányzó rovatait!b) Milyen mennyiségi sorokat tartalmaz a tábla?c) Elemezze (s, z, z’) a nyugdíjak koncentrációját!

Megoldás

Az alapellátás nagysága (Ft)

fgyakoriság

f’Kumulált

gyakoriság

grelatív

gyakoriság

g'kumulált relatív

gyakoriság- 10.999 5.143 5.143 0,31 0,31

11.000 - 14.999 118.766 123.909 7,23 7,5415.000 - 19.999 416.628 540.537 25,35 32,8920.000 - 39.999 1.033.161 1.573.698 62,86 95,75

40.000 - 69.854 1.643.5528 4,25 100Összesen: 1.643.552 - 100 -

Az alapellátás nagysága (Ft)

f g’ S z z’

- 10.999 5.143 0,31 46.287.000 0,11 0,1111.000 – 14.999 118.766 7,54 1.543.958.000 3,56 3,6715.000 – 19.999 416.628 32,89 7.290.990.000 16,81 20,4820.000 – 39.999 1.033.161 95,75 30.994.830.000 71,47 91,95

40.000 – 69.854 100 3.492.700.000 8,05 100Összesen 1.643.552 - 43.368.765.000 100

28

3-4 Viszonyszámok

VISZONYSZÁMOK

A statisztikai adatfelvétel során kapott adatokat csoportosítással, sorok képzésével, azok táblázatba rendezésével tehetjük áttekinthetővé. A statisztikai elemzés alapvető feladata, hogy az egyes jelenségek közötti összefüggést feltárja, bemutassa. Ennek kiindulópontja, a következtetések alapja lehet, ha az azonos jelenségre vonatkozó adatokat egybevetjük, egymáshoz hasonlítjuk, viszonyítjuk.A viszonyszám egy statisztikai adatnak egy másik statisztikai adathoz mért viszonyát, arányát fejezi ki.A viszonyszám tehát két statisztikai adat hányadosa. Azt, hogy milyen statisztikai adatokat hasonlítunk össze, a statisztikai sorok különbsége határozza meg. Ha csoportosító és összehasonlító sorokból indulunk ki, akkor azonos fajta adatok összehasonlítását végezzük el. Összehasonlítást végezhetünk különböző fajta adatokból is, pl. a leíró sorok adatainak elemzésekor.

Általános jelölése: V= ;

ahol V = viszonyszámA = viszonyítandó adatB = viszonyítás alapjául kiválasztott adat

Kifejezhető: Százalékos, ezrelékes formában. Együtthatós formában . Képzett mértékegységgel.

Viszonyszám = viszonyítandó adat / viszonyítás alapjául kiválasztott adat

Azonos fajta adatokból számított viszonyszám azt mutatja, hogy a viszonyítandó adat hányszorosa a viszonyítás alapjául választott adatnak.Különböző fajta adatokból (leíró sor), különböző mértékegységű adatokból számított viszonyszám az intenzitási viszonyszám, mely megmutatja, hogy az egyik mennyiségből (számláló) mennyi jut a másik mennyiség (nevező) egy egységére.

Viszonyszámok csoportosításaStatisztikai sor fajtája A sorból számítható viszonyszám megnevezése

(jelölése)Csoportosító sor Megoszlási viszonyszám (pj)

Koordinációs viszonyszám (Vk)Összehasonlító sor:

IdősorTerületi sor

Összehasonlító viszonyszám ( Vö) Dinamikus viszonyszám (Vd) Területi-összehasonlító viszonyszám (Vtö)

Leíró sor Intenzitási viszonyszám (Vi)

29

MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁM

A megoszlási viszonyszám valamely sokaság belső szerkezetét, belső arányait, összetételét fejezi ki. A csoportosító sor a sokaság valamely ismérv szerinti osztályozásaként keletkezik, részsokaságokra bomlik. A belső szerkezet tehát nem más, mint az egyes részsokaságok és a teljes (fő) sokaság aránya.A megoszlási viszonyszámot csoportosító sorokból számoljuk (azonos fajta adatból).Jele: Vm

KiszámításaVm = statisztikai sokaság részadata (részsokaság) / statisztikai sokaság egésze (fősokaság)

Megoszlási viszonyszám minden csoportosító sor elemzésére alkalmas, így vizsgálhatjuk a belső szerkezet mennyiségi, minőségi, területi és tartamidősor esetén is. A megoszlási viszonyszámok összeadhatók.

PÉLDA:1989-ben Magyarországon 35 754 fő orvos volt, ebből 18 896 fő a férfiak száma.

1. Számítsa ki a férfiak és a nők arányát!2. Nevezze meg a kiszámított viszonyszámot!

Megoldás:

Megnevezés Fő Megoszlás(%)  

Férfi 18 896 52,85

 

Nő 16 858 47,15

 

Összesen 35 754 100  

30

DINAMIKUS VISZONYSZÁM

Két időszak vagy időpont adatának éspedig az összehasonlítás tárgyát képező tárgyidőszak (beszámolásiidőszak), valamint az összehasonlítás alapját képező bázisidőszak adatának hányadosa. Ha kettőnél több időpont vagy időszak adatát hasonlítjuk össze, akkor a dinamikus viszonyszám két típusát különböztetjük meg.A kettőnél több tagból számított olyan „láncszerűen" egymáshoz kapcsolódó dinamikus viszonyszámokat, amelyek minden esetben két „szomszédos" időszakot hasonlítanak össze láncviszonyszámoknak nevezzük.

Bázis- és láncviszonyszám kiszámításuk

Bázisviszonyszám:

Láncviszonyszám

Bázisviszonyszám

Összefüggés a bázis- és a láncviszonyszámok közöttA bázis- és láncviszonyszámokat ugyanazon idősorból számítottuk ki. A két viszonyszám tehát egymásból kiszámítható.A bázisviszonyszámokat úgy számítottuk ki, hogy az idősor minden tagját ugyanezzel a számmal osztottuk, köztük tehát az arány nem változott, vagyis a bázis viszonyszámokat úgy kezelhetjük, mintha abszolút számok lennének. Bázisviszonyszámokból tehát láncviszonyszámokat ugyanúgy számítunk, mint az abszolút számokból.A láncviszonyszámokat úgy számítottuk ki, hogy az idősor minden tagját a megelőző időszak (időpont) adatához hasonlítottuk, a láncszerű kapcsolat miatt a láncviszonyszámok szorzatai bázisviszonyszámot adnak.A láncviszonyszámokból a bázisviszonyszámokat úgy számítjuk ki, hogy a vizsgált időszak (időpont) láncviszonyszámát szorozzuk az idősor összes előző láncviszonyszámával.Ezeknek az összefüggéseknek különösen akkor van jelentőségük, akkor hasznosíthatók, ha az idősor eredeti, abszolút adatai nem ismertek, csak az azokból számított viszonyszámok állnak rendelkezésre.

31

Példa:Egy városban az épített új lakások száma az elmúlt öt évben a következő volt:

Év Lakás (db)1996. 2 4001997. 2 5201998. 2 6401999. 2 5002000. 2 250

Feladat: Jellemezze az épített lakások számának időbeli alakulását a megfelelő viszonyszámokkal!

Megoldás

Lakás (db)

Vb (%)  

Vl (%) 

2 400 100   -  

2 520 105 

105 

2 640 110 

104,76

 

2 500 104,2 

94,69 

2 250 93,75 

90 

32

KOORDINÁCIÓS VISZONYSZÁM

A gazdasági, társadalmi jelenségek vizsgálatakor nem elegendő a sokaság belső összetételének, a részsokaság és a teljes viszonyának vizsgálata. Az elemzés során a szerkezetvizsgálat úgy is fontos információt nyújt, ha két részsokaságot, részadatot hasonlítunk egymáshoz.A koordinációs viszonyszámot tehát ugyanazon sokasághoz tartozó két részadat egymáshoz viszonyított arányaként számítjuk ki.Jele: Vk

KiszámításaVk = viszonyított részsokaság, részadat / viszonyítás alapjául szolgáló részsokaság, részadatA viszonyszám mértékegysége megegyezik a vizsgált sokaság mértékegységével, de a viszonyszám kifejezhető a viszonyítás alapjául választott részsokaság 100 vagy 1000 egységére jutó arányszámaként is.Bár a koordinációs viszonyszám a vizsgált sokaság összetételét érzékelteti, de igen kifejező, ha összehasonlításban kap szerepet.Mind a megoszlási, mind pedig a koordinációs viszonyszám a sokaság belső összetételét jelzi, a két viszonyszám úgy is összefügg, hogy egymásból kiszámíthatók bizonyos feltételek mellett. A megoszlási viszonyszám matematikailag egyszerűsítésként is kezelhető, amikoris a köztük lévő arány nem változik. Tehát belőlük a koordinációs viszonyszám ugyanúgy számítható, mint az abszolút számokból.Koordinációs viszonyszámból megoszlási viszonyszám alternatív ismérvváltozatú csoportosításkor számítható.

Példa:

1989-ben Magyarországon 35 754 orvos volt, ebből 18 896 a férfiak száma.Állapítsa meg az egy férfira jutó nők számát!

Megoldás:

Megnevezés FőFérfi 18 896Nő 16 858

Összesen 35 754

33

INTENZITÁSI VISZONYSZÁM

Intenzitási viszonyszámokat leíró sorokból számítunk, ahol azonos gazdasági vagy társadalmi jelenségre vonatkozó különnemű, de összetartozó adatokat szerepeltetünk.Az intenzitási viszonyszám két különböző fajta, de egymással összefüggő adat hányadosa. Az intenzitási viszonyszámmal azt vizsgáljuk, hogy az egyik jelenség milyen intenzitással (gyakorisággal) fordul elő a másik jelenség környezetében, azzal összefüggésben.

A gyakorlatban alkalmazott sokféle intenzitási viszonyszám jellegzetes típusai sűrűséget, ellátottságot kifejező mutatók pl. népsűrűség, gépsűrűség, orvosellátottság, stb. arányszámok - elsősorban a népességstatisztikában születési-, halálozási arányszám, stb. átlagos értéket kifejező mutatószámok pl. átlagkereset, átlagos tejhozam, stb. a gazdálkodás hatékonyságát jelző mutatószámok pl. termelékenység. Az intenzitási viszonyszám mértékegysége általában valamilyen természetes mértékegység, ami a számláló és a nevező természetes mértékegységei alapján határozható meg, s egyben jelzi a viszonyszám kiszámításának módját is.A vizsgált gazdasági, vagy társadalmi jelenségre vonatkozóan következtetéseket akkor tudunk levonni, ha egy korábbi időszak, vagy másik gazdasági, vagy társadalmi jelenség hasonló mutatószámaihoz viszonyítunk, akkor lehet a változást, eltérést lemérni.

PÉLDA:

Egy vállalat tevékenységét jellemző adatok 2006-ban

Megnevezés ÉrtékFoglalkoztatottak létszáma, fő 10

Teljesítmény, db 150Bértömeg, Ft 1.500.000

Feladat: Határozza meg az egy főre jutó teljesítmény, valamint az egy főre jutó átlagbért!

MEGOLDÁS:

34

ÖSSZETETT VISZONYSZÁM

Egy fősokaság részeire, valamint annak egészére vonatkozó, azonos típusú viszonyszámok egymás közötti kapcsolatát tekintve - az előbbieket részviszonyszámoknak, az utóbbit összetett viszonyszámnak nevezzük.

A részviszonyszám képlete:

Ahol j=1, 2, …M : a csoportok száma

Összetett viszonyszám képlete:

azonban, ha a részsokaságokra vonatkozóan nem ismerjük, valamelyik adatot ( Aj -t, vagy Bj -t), akkor ez a számítás nem oldható meg. Akkor a következő két lehetőség valamelyikét választhatjuk:

Ha ismert minden részsokaságra : Aj és Vj .Ebből az következik, hogy minden egyes részsokaságra az ismert adatokból származtatni lehet a

viszonyszám harmadik elemét, jelen esetben egy viszonyszám nevezőjét. (Bj = ). Ezt minden

részsokaságra kiszámítva, azok összege a teljes sokaságra vonatkozóan az összetett viszonyszám nevezőjének az értékét adja meg. Tehát jelen esetben:

Ez a számítás a következő értékektől függ: mekkora a részsokaságonként a részviszonyszámok értéke (Vj) milyen az egyes részsokasághoz tartozó Aj adat aránya a teljes sokasághoz képest .

A számítás végeredménye egy olyan értékű viszonyszám, amely a részsokaságokra jellemző részviszonyszámok nagyságától nagymértékben függ, tulajdonképpen azok egyfajta átlaga.* Ez az összetett viszonyszám súlyozott harmonikus átlagformája.

35

GYAKORLÓ FELADATOK

1. FeladatTesztkérdések. Csak egy jó válasz lehetséges.

1. Az 1 m2-re jutó csapadék mennyiségea) Statisztikai adatb) Intenzitási viszonyszámc) Statisztikai sokaság

2. A csapadék mm-ben kifejezvea) Megoszlási viszonyszámb) Intenzitási viszonyszámc) Statisztikai adat és nem viszonyszám

3. Az alábbiak közül melyik nem intenzitási viszonyszám?a) Egy főre jutó GDPb) Élveszületési arányszámc) Egy oldalra írt karakterek számad) Késztermékre fordított idő

4. Ha Somogy népessége jobban nő, mint Magyarországé, akkor ez azt jelenti, hogy…a) Oda vándorolnak be a legtöbbenb) Somogy népességének az aránya nőc) Megnő az 1000 lakosra jutó orvosok száma.

5. A halálozási arányszám 25-50 ezer fővel növeli a madárinfluenzában meghaltak számát. Ez azt jelenti, hogy…a) Járvány idején nő a halandóságb) A nyilatkozó nem értelmezte helyesen az intenzitási viszonyszámotc) Súlyos a járvány

6. Melyik megoszlási viszonyszám?a) 1000 nőre jutó férfiak számab) Inflációc) A vizsgán megfeleltek aránya

7. A …… viszonyszám valamely sokaság belső szerkezetét, belső arányait, összetételét fejezi ki.a) Megoszlásib) Koordinációsc) Dinamikus

8. A …… viszonyszámot ugyanazon sokasághoz tartozó két részadat egymáshoz viszonyított arányaként számítjuk ki.

a) Területib) Megoszlásic) Koordinációsd) Dinamikus

9. Melyik nem koordinációs viszonyszám?a) Eltartottsági rátab) 100 szellemi dolgozóra jutó fizikai dolgozóc) Főiskolai hallgatókra jutó oktatók száma

10. Melyik dinamikus viszonyszám?a) Infláció ütemeb) Termék árrésen belül a nagykereskedelmi árrésc) 1000 lakosra 9 élveszületés jutott

36

2. feladat

Nevezd meg a viszonyszámok fajtáit!a) A devizapiacon 300 Ft-ot kértek egy euróért. Intenzitásib) Az egyik városban január 1-én a lakások száma 3500 db volt. Adat, nem viszonyszámc) A kifutó modellekre 10% kedvezményt adnak. Megoszlási, dinamikusd) A sífelszerelések forgalmának 40%-a a sílécek eladásából származik. Megoszlásie) A Ford 4%-kal növelte újautó értékesítést az előző évhez képest. Dinamikusf) A nyomtató teljesítménye 19 lap percenként. Intenzitásig) A VW csoport piaci részesedése 21%. Megoszlásih) Tavaly 100 háztartásra 103 hűtőszekrény jutott. Intenzitásii) Egybefüggő terület 50%-os beépítettséggel eladó. Megoszlásij) Lakások 288.000 Ft/m2-es ártól eladók! Intenzitási

3. FeladatA bruttó hazai termék értéke

Év GDPmilliárd Ft 2000 = 100% Előző év = 100%

2000 13528,62001 15270,12002 17180,62003 18940,72004 20717,12005 22055,12006 23561,5

Feladat: Töltsd ki a táblázat hiányzó adatait!

Megoldás

ÉvGDP

milliárd Ft 2000 = 100% Előző év = 100%

2000 13528,6 100 -

2001 15270,1 112,9 112,9

2002 17180,6 127 112,5

2003 18940,7 140 110,2

2004 20717,1 153,1 109,4

2005 22055,1 163 106,5

2006 23561,5 174,2 106,8

37

4. Feladat

Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igaz vagy hamis!

A megoszlási viszonyszám a sokaság szerkezetét jellemzi. IA megoszlási viszonyszámok összeadhatók. IAz intenzitási viszonyszám mértékegysége rendszerint százalék. HA dinamikus viszonyszám a tárgy és a bázis adat hányadosa. IMind a megoszlási, mind pedig a koordinációs viszonyszám a sokaság belső összetételét jelzi.

I

Leíró sorokból számítható koordinációs viszonyszám. HA bázis és láncviszonyszámok egymásból is számíthatóak, nem csak közvetlenül az eredeti adatokból.

I

Az intenzitási viszonyszám mindig a jelenséggel együtt nő. H

5. FeladatA népesség alakulása egy városban 1987. és 1996. között:

Év Népesség száma (fő) 1987 = 100% 1991 = 100% Előző év = 100%1987. ... ... ... ...1988. ... 102,5 ... ...1989. ... ... ... 106,71990. 12.300 118 ... ...1991. ... 125 ... ...1992. ... ... 112 ...1993. ... ... ... ...1994. ... ... 120 104,41995. ... ... ... ...1996. 13.900 ... ... 102,1

Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!

Megoldás

38

6. FeladatA kiskereskedelmi forgalom alakulása Nógrád megyében:

Év 

Eladási forgalom millió Ft 1980 = 100% Előző év = 100%

1980. 1.795 ... ...1981. ... 107,2 ...1982. 2.074 ... ...1983. ... ... 106,81984. ... 135,2 ...1985. ... ... ...1986. ... 163,8 107,8

a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!b) Nevezze meg a statisztikai tábla, illetve a benne található statisztikai sorok típusát!

Megoldás

39

7. Feladat

Magyarország népességének alakulása 1960. és 1996. között:

Év Népesség száma

(ezer fő)1960 = 100%

Előző időszak = 100%

1960. ... ... ...1970. ... ... 103,61980. 10.709,5 107,5* ...1990. 10.374,8 ... ...1996. ... ... 98,0*

Feladat:a) Töltse ki a táblázatot!b) Értelmezze a *-gal jelölt mutatókat!

Megoldás

40

8. FeladatEgy vendéglátó vállalat forgalmát jellemző adatok:

HónapokForgalom

(eFt)június =100%

Előző hó =100%

Eltérés az előző hónaphoz képest

eFt %Június ... ... ... ... ...Július ... ... ... ... -5

Augusztus ... ... ... 50 ...Szeptember ... 110 ... ... ...

Október ... ... ... 100 ...November ... ... ... ... 10December ... ... ... 300 4

a) Számítsa ki a hiányzó adatokat!b) Nevezze meg a fenti táblában szereplő sokaság típusát és a táblát alkotó statisztikai sorokat!

Megoldás

41

9. FeladatEgy vállalat tevékenységére vonatkozóan az alábbi adatokat ismerjük:

Év 

Termelés(ezer db)

 1992 = 100%

 

Előző év = 100%

 

Változás

%-ban e db-ban1992. … … … … …1993. 620 … … … 201994. … 125 … … …1995. … … 108 … …1996. … … … 13,6 …1997. 880 … … … …1998. 870 … 98,9 … …1999. 875 … … … …2000. … … … … …

A vállalat összesen 7 225e db-ot termel!Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!

Megoldás:

10. Feladat1994-ben - a KSH adatai szerint - az infláció mértéke 23,5% volt. Ez átlagosan havonta hányszázalékos áremelkedésnek felel meg?

Megoldás

11. FeladatHavi 5%-os infláció évesítve hány %-os áremelkedést jelent?

Megoldás

42

12. Feladat

Határozza meg, hogy egy vállalat adott osztályán a férfiak hány %-a diplomás! Ismert, hogy a diplomásoknak 55%-a, a dolgozóknak pedig 48%-a férfi, továbbá az, hogy az adott osztályon a dolgozók 62%-a diplomás.

Megoldás

13. Feladat

A külföldre utazó magyarok számának megoszlása a közlekedés módja szerint 1990. évben:

Közlekedés módja Külföldre utazó magyarok

száma (ezer fő)közúton 12 148,00

repülőgépen 334,8hajón 11,2

vonaton 1 104,40együtt 13 595,40

Számítsa ki a külföldre utazó magyarok számának a közlekedés módja szerinti megoszlását kifejezőstatisztikai mutatószámokat!

Megoldás

43

14. Feladat

Az alábbi vállalatokról ismertek a táblázatban megadott viszonyszámok:

Időszak  

„A” Sörgyár „B” Sörgyár „C” SörgyárÁrbevétel változás %-ban 

1993 = 100% 1995 = 100% Előző év = 100%1990. 75 65 -1991. 83 67 1081992. 94 72 1021993. 100 86 1101994. 107 93 109,51995. 120 100 107

a) Viszonyszámok segítségével hasonlítsa össze a fenti vállalatok árbevételének változását!b) Melyik vállalatnál volt nagyobb az árbevétel változása?

Megoldás

15. Feladat

Március 8-án rendezett FTC – UTE labdarúgó-mérkőzésen 18 300 néző volt. A nőnap alkalmából a hölgyek ingyen tekintették meg a mérkőzést. Ismert továbbá, hogy a rendezők összesen 14 800 jegyet adtak el.a) Mennyi volt a nők aránya a stadionban?b) Nevezze meg a kiszámított mutatót!

Megoldás:

44

16. Feladat

1989-ben Magyarországon 35 754 orvos volt, ebből 18 896 a férfiak száma.a) Számítsa ki a férfiak és a nők arányát!b) Állapítsa meg az egy férfira jutó nők számát!c) Nevezze meg a kiszámított viszonyszámokat!

Megoldás

17. Feladat1995. január 1-jén Magyarország lakosságának 52,1 %-a volt nő!a) Számítsa ki az 1000 férfira jutó nők számát!b) Milyen viszonyszámot számított?

Megoldás

45

18. Feladat

A bűncselekmények adatai Magyarországon:  1990 1993

Ismertté vált bűncselekmények 341 061 400 935Ismertté vált bűnelkövetők 112 254 122 621

Ebből: felnőtt 99 990 107 620fiatalkorú 12 264 15 001

Jogerősen elítéltek 46 554 73 366Ebből szabadságvesztésre ítéltek 17 875 23 160

Feladat: Képezzen viszonyszámokat a táblázat adatai alapján!

Megoldás:

46

19. Feladat

Az alábbi táblázat adatsora a világ gyümölcstermelési értékeit tünteti fel 1997-ben, millió tonnában. Határozza meg a gyümölcstermelésre vonatkozó megoszlási viszonyszámokat!Faj Termés (millió t)Citrusfélék 80Banán 80szőlő 60alma 45mangó 15egyéb 70

Megoldás:

Számítsuk ki az összes termést: 80+80+60+45+15+70 = 350millió t

Faj Megoszlási viszonyszámokCitrusfélék (80/350)*100 = 22,86%Banán (80/350)*100 = 22,86%Szőlő (60/350)*100 = 17,14%Alma (45/350)*100 = 12,86%Mangó (15/350)*100 = 4,28%Egyéb (70/350)*100 = 20%

20. Feladat

Az alábbi táblázat adataiból határozzuk meg a földreform támogatások megyénkénti megoszlási viszonyszámait!

Minisztériumi támogatások a szociális földprogramra 1997-benMegye támogatások összesen (E ft)Baranya 27 750Békés 14 600Borsod – A. – Z. 69 670Hajdú-Bihar 8 600Jász – N. – Szolnok 8 800Nógrád 16 500Szabolcs – Sz. - B. 66 800Zala 10 900Összesen 223 620

Megoldás:

Minisztériumi támogatások a szociális földprogramra 1997-benMegye Megoszlási viszonyszámokBaranya (27 750 / 223 620)*100 = 12,41%Békés (14 600 / 223 620)*100 = 6,53%Borsod – A. – Z. (69 670 / 223 620)*100 = 31,15%Hajdú-Bihar (8 600 / 223 620)*100 = 3,85%Jász – N. – Szolnok (8 800 / 223 620)*100 = 3,94%Nógrád (16 500 / 223 620)*100 = 7,38%Szabolcs – Sz. - B. (66 800 / 223 620)*100 = 29,87%Zala (10 900 / 223 620)*100 = 4,87%

47

4-5 Középértékek

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK:1) számtani átlag

a) egyszerűb) súlyozott

2) harmonikus átlaga) egyszerűb) súlyozott

3) mértani átlaga) egyszerűb) súlyozott

4) négyzetes átlaga) egyszerűb) súlyozott

5) Kronologikus átlag

Számított átlagok közötti egyenlőtlenségek:Xh ≤ Xg ≤ X ≤ Xq

Helyzeti középértékek:1. medián 2. modus

SZÁMTANI ÁTLAG:

Az az érték, amelyet az átlagolandó értékek helyére írva azok összege változatlan marad.Akkor alkalmazzuk általában, ha az átlagolandó értékek összegének tárgyi értelme van.

Jele:

SzámításaEgyszerű (súlyozatlan) átlagforma:

N = a megfigyelt átlagolandó értékek számaXi = (i=1, …, N) az i-edik átlagolandó érték

Példa:2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 2, 5, 6Tehát: N = 10

súlyozott átlagforma:

súlyozott forma, ahol

48

Vagy súlyozott forma, ahol

Jellemző, hogy és

mivel

k = az egymástól különböző átlagolandó értékek számafi = a gyakoriságok, amelyeket súlyoknak nevezünkgi = gyakoriságot (fi) elosztjuk az átlagolandó értékek számával (N)

Példa:2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 2, 5, 6Csoportosító sorba rendezve őket:

Xi

Átlagolandó értékek szám (gyakorisága) fi

2 34 25 16 4

Összesen 10

Példa:2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 2, 5, 6

Xi gi

2 0,34 0,25 0,16 0,4

Összesen 1

mivel

49

HARMONIKUS ÁTLAG:

Az az érték, melyet az átlagolandó értékek helyébe helyettesítünk azok reciprokainak összege változatlan marad.Akkor alkalmazzuk, ha az átlagolandó értékek reciprok értékének van tárgyi értelme.Alkalmazása: viszonyszámok átlagolása esetén akkor, ha a számlálót tekintjük súlynak

Jele:

Egyszerű harmonikus átlag:

Súlyozott harmonikus átlag:

Példa:2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 2, 5, 6

Xi

Átlagolandó értékek szám (gyakorisága) fi gi

2 3 0,34 2 0,25 1 0,1

6 4 0,4

Összesen 10 1

Egyszerű harmonikus átlag:

Súlyozott harmonikus átlag:

50

MÉRTANI ÁTLAG:

Egyszerű mértani átlag:Egy statisztikai sokaság mértani átlaga az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, az értékek szorzata nem változik.

Súlyozott mértani átlag:

Példa:2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 2, 5, 6

Xi

Átlagolandó értékek szám (gyakorisága) fi gi

2 3 0,34 2 0,25 1 0,1

6 4 0,4

Összesen 10 1

51

NÉGYZETES ÁTLAG:

Egy statisztikai sokaság értékeinek négyzetes közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva az értékek négyzetösszege nem változik.Alkalmazása: szóródások vizsgálatánál.

Egyszerű négyzetes átlag:

Súlyozott négyzetes átlag:

Példa:2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 2, 5, 6

Xi

Átlagolandó értékek szám (gyakorisága) fi gi

2 3 0,34 2 0,25 1 0,1

6 4 0,4

Összesen 10 1

52

KRONOLÓGIKUS ÁTLAG:

Állapotidősor adataiból (jele: Y) számítjuk!

Két-két megfigyelési időpont közötti időszakra vonatkozó átlagos állományt adja meg.

Két időpont esetén a nyitó- (Y1) és záróállomány (Y2) számtani átlaga, több időpont esetén pedig a két-két időpont közötti időszakokra számított átlagos állományok számtani átlaga.

Általában átlagkészlet, időnként átlaglétszám számítására használjuk.

Példa:

Egy kereskedelmi vállalkozás árukészletéről a következőket ismerjük 2004. I. negyedévében: (Az egyes hónapok zárókészlete egyben a köv. hónap nyitókészlete!)

Időpontok Árukészlet (eFt) január 1. 3500 február 1. 4200 március 1. 3820 április 1. 4100

Számítsuk ki az I. negyedév átlagos árukészletét!

A ker. vállalkozásnál 2004. I. negyedévében átlagosan 3940 eFt értékű árukészlet volt.

53

MÓDUSZ

Ha az adatok statisztikai sorban vannak, akkor a módusz a leggyakrabban előforduló érték.A módusz a leggyakoribb, legáltalánosabb, legjellemzőbb, tipikus érték.Ha diszkrét mennyiségi értékek elemzéséről van szó, akkor a módusz a leggyakrabban előforduló ( azaz legnagyobb gyakoriságú, más szavakkal: legnagyobb valószínűséggel előforduló) elem értéke.

k1=fmo-fmo-1 k2=fmo-fmo+1

k1=gmo-gmo-1 k2=gmo-gmo+1

ahol:

xmo-1,1: a móduszt tartalmazó intervallumot megelőző intervallum felső határak1: a móduszt tartalmazó intervallum gyakoriságának ( fmo) - vagy relatív gyakoriságának: gmo - és az azt megelőző intervallum a gyakoriságának (fmo-1) - vagy relatív gyakoriságának : gmo-1 - a különbsége.k2: a móduszt tartalmazó intervallum gyakoriságának ( fmo) - vagy relatív gyakoriságának: gmo - és az azt követő intervallum a gyakoriságának (fmo+1) - vagy relatív gyakoriságának : gmo+1 - a különbsége.hmo: a móduszt tartalmazó intervallum hossza.

PéldaAzonos osztályhosszak esetén:

Ár (Ft) Utak száma (fi)- 20000 20

20001 - 40000 7240001 - 60000 5260001 - 80000 2580001 - 100000 16

100001 - 15Összesen: 200

mo = 20000k1 = 72-20 = 52k2 = 72-52 = 20h = 20000

A legtöbb út 34444,4 Ft-ba került, azaz a tipikus ár 34444,4 Ft.

54

PéldaNem azonos hosszúságú osztályok esetén:

Életkor(év)

Létszám (fő) fi

Osztályhosszak hi

Azonos hosszra a gyakoriságok

-14 24 10 2414-24 282 10 28224-36 171 12 142,536-50 84 14 6050- 61 14 43,6

Össz: 622 -  - 

A tipikus életkor 20,5 év, azaz a megkérdezettek közül legtöbben 20,5 évesek voltak.

MEDIÁN

Medián Me olyan érték amelynél kisebb értékű adatok legfeljebb 50% ban vannak és nagyobb értékü adatok legfeljebb 50%ban vannak.

1) ha az adatok növekvő stat sorban vannak ( -val jelöltük a sorbarendezett adatokat),, és n adat van,

kiszámoljuk -et:

ha =p egész szám akkor Me bármilyen olyan adat lehet amelyik a p-edik és a p+1-edik adat közé esik.

ha nem egész szám akkor a -edik adat lesz a kvartilis

Me= Me= ,

2) ha az adatok osztályközökben vannak akkor megkeressük azt az osztályközt ahova a kumulált relatív gyakorisága eléri a 50%-ot.

me = a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határaf’me-1 = a mediánt megelőző osztályköz kumulált gyakoriságafme = a mediánt tartalmazó osztályköz gyakoriságah = a mediánt tartalmazó osztályköz hossza

55

Példa

10 autó ára egy kereskedőnél millió Ft-ban:

2,2 2,8 3,0 4,5 2,8 3,2 3,0 2,5 2,0 3,3

Rangsorban:2,0 2,20 2,5 2,8 2,8 3,0 3,0 3,2 3,3 4,5

Medián:

Jelentése: az autók fele 2,9 m Ft-nál olcsóbb, fele ennél drágább.

Példa:

Ár (Ft) Utak száma (fi)Utak megoszlása gi

(%)Kumulált

gyakoriság f'iKumulált relatív

gyakoriság g'i (%)-20000 20 10 20 10

20001 - 40000 72 36 92 46

40001 - 60000 52 26144≥100 = 72≥50 =

60001 - 80000 25 12,5 169 84,580001 - 100000 16 8 185 92,5

100001 - 15 7,5 200 100Összesen: N=200 100    

Az utak fele (vagy 50%-a) 43076,92 Ft-nál olcsóbb, a másik fele ennél drágább.

56

ALSÓ (ELSŐ) KVARTILIS:

Q = olyan érték amelynél kisebb értékű adatok legfeljebb 25% ban vannak és nagyobb értékü adatok legfeljebb 75%ban vannak.

a) ha az adatok növekvő stat sorban vannak ( -val jelöltük a sorbarendezett adatokat), és n adat van,

kiszámoljuk -et:

-ha =p egész szám akkor Q bármilyen olyan érték lehet amelyik a p-edik és a p+1-edik adat közé esik.

-ha nem egész szám akkor a -edik adat lesz a kvartilis

b) ha az adatok osztályközökben vannak akkor megkeressük azt az osztályközt ahova a kumulált relatív

gyakorisága eléri a 25%-ot. Legyen ez at i-edik osztályköz akkor:

FELSŐ KVARTILIS

olyan érték amelynél kisebb értékű az adatok legfeljebb 75% ban vannak és nagyobb értékü adatok legfeljebb 25%ban vannak.

a) ha az adatok növekvő stat sorban vannak ( -val jelöltük a sorbarendezett adatokat),, és n adat van,

kiszámoljuk 3 -et:

-ha3 =p egész szám akkor Me bármilyen olyan adat lehet amelyik a p-edik és a p+1-edik adat

közé esik.

-ha nem egész szám akkor a -edik adat lesz a kvartilis

b) ha az adatok osztályközökben vannak akkor megkeressük azt az osztályközt ahova a kumulált relatív

gyakorisága eléri a 75%-ot. Legyen ez at i-edik osztályköz akkor:

57

Példa

A lakosság jövedelmére vonatkozó reprezentatív adatfelvétel eredményei 1991-ben: Egy főre jutó jövedelem

(ezer Ft/fő)Megfigyelt személyek

száma (ezer fő)50,1-80,0 1880,1-110,0 20110,1-140,0 26140,1-170,0 45170,1-200,0 35200,1-260,0 36260,1-290,0 10290,1-320,0 7320,1-350,0 3

Összesen 200

Az egy főre jutó jövedelem-felvétel eredményeiből számított munkatábla1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

xi,0-xi,1

(e Ft/fő)

fi

(e fő)

hi

(e Ft/fő)

xi,k

(e Ft/fő)

gi (%)

si

(e Ft/fő)

zi

(%)

fi’ (e fő)

gi’(%)

si’(e Ft/fő)

zi’(%)

50,1-80,0 18 30 65 9,0 1170 3,4 18 9 1170 3,480,1-110,0 20 30 95 10,0 1900 5,6 38 19 3070 9,0110,1-140,0 26 30 125 13,0 3250 9,6 64 32 6320 18,6140,1-170,0 45 30 155 22,5 6975 20,6 109 54,5 13295 39,2170,1-200,0 35 30 185 17,5 6475 19,1 144 72,0 19770 58,3200,1-260,0 36 60 230 18,0 8280 24,4 180 90,0 28050 82,7260,1-290,0 10 30 275 5,0 2750 8,1 190 95,0 30800 90,8290,1-320,0 7 30 305 3,5 2135 6,3 197 98,5 32935 97,1320,1-350,0 3 30 335 1,5 1005 2,9 200 100,0 33940 100,0

Összesen 200 - - 100,0 33940 100,0 - - - -

Kvartilisek:A kvartilisek számítása esetén 4 (k=4) egyenlő részre osztjuk a rangsor szerint sorbarendezett mennyiségi értékeket. A három osztópont a következőket fejezik ki: a) Alsó kvartilis: melyik az az érték, amelynél az összes mintában/sokaságban szereplő elem egynegyede

kisebb, háromnegyede nagyobb. (jele: Q1)b) Középső kvartilis: melyik az az érték, amelynél az összes mintában/sokaságban szereplő elem fele (2/4-

e) kisebb, a másik fele pedig nagyobb.(jele: Q2)c) Felső kvartilis: melyik az az érték, amelynél az összes mintában /sokaságban szereplő elem

háromnegyede kisebb, egynegyede pedig nagyobb. (jele: Q3)

Értékük meghatározása lépésenként:1. lépés: Sorszám meghatározás.

S(Q1):

S(Q2):

S(Q3):

58

2. lépés: A kvartiliseket tartalmazó intervallumok kijelölése.(Segítség: 8. sz. táblázat 8. oszlopa: kumulált gyakorisági sor.)

Q1: [110,1-140,0], mert (f ’2=38) és (f ’3=64), tehát a 3. intervallumban van az 50. sorszámú elem.Q2: [140,1-170,0], mert (f ’3=64) és (f ’4=109), tehát a 4. intervallumban van a 100. sorszámú elem.Q3: [200,1-260,0], mert (f ’5=144) és (f ’6=180), tehát a 6. intervallumban van a 150. sorszá mú elem.

3. lépés: Kvartilis érték becslése.

Tehát a vizsgált mintában a megfigyelt személyek egynegyedének az egy főre jutó jövedelme 123,8 ezer Ft/fő-től kisebb volt, háromnegyedének nagyobb. Valamint azt is tudjuk, hogy a személyek között ugyanannyinak volt 164 ezer Ft/fő-től kisebb, mint nagyobb egy főre jutó jövedelme. Viszont 210 ezer Ft/fő feletti jövedelemmel a mintában szereplő személyeknek egynegyede rendelkezett, a többiek (háromnegyedük) egy főre jutó jövedelme ettől kevesebb volt.

59

GYAKORLÓ FELADATOK

1. Feladat

1. Ha egy tó átlagos mélysége 14 m, akkor ez azt jelenti, hogy…a) Lehet olyan pontja a tónak, amelyik mélyebb 14 méternélb) A tó legnagyobb mélysége 14 méterc) A tó legmélyebb pontjától 14 méter az eltérés

2. Milyen mutatószámmal jellemezné leginkább a nyári hőmérsékletet?a) Móduszb) Mediánc) Mértani átlag

3. Melyik állítás hamis?a) Módusza nem csak mennyiségi ismérvnek lehetb) Számtani átlag bármilyen ismérv esetén kiszámíthatóc) A medián mennyiségi ismérvek esetén mindig megállapítható

4. A kifliért a legtöbb helyen 15 Ft-ot kell fizetni. Ekkor…a) 15 Ft az átlagb) 15 Ft a móduszc) 15 Ft a medián

5. A büfében legtöbbször 500 Ft-ot fizetnek, de a vendégek fele ennél többet. Ekkor…a) Mo = 500 Ft, Me ≥500 Ftb) Mo ≥ 500 Ft ≥ Mec) Mo = Me

6. A munkanélküliek 25%-a legalább 5 hónapig keresett új munkahelyet. Ekkor…a) Mo= 25b) Me = 25c) Mo = 5d) Q3 = 5

7. A MÁV-nél az esetek negyedében 5 percnél többet kell várni. Ekkor az 5 perc…a) Alsó kvartilisb) Felső kvartilisc) Módusz

8. A teszten legtöbben 18 pontot szereztek, de a tanulók fele 17 pontot szerzett.a) Mo = 17, Me = 18b) Mo = 18, Me = 17c) Mo ≥17, Me ≥ 18

9. A leckekönyv átlagolásánál akkor járunk a legjobban, ha …… átlaggal számolunk.a) Harmonikusb) Mértanic) Négyzetes

10. Állapotidősor adataiból ……… számíthatunka) Bármitb) Kronologikus átlagotc) Harmonikus átlagot

60

2. Feladat

2008-ban a Főiskolai Kar egyik gazdász tankörébe járó hallgatókat tesztelték az egyik IQ teszt segítségével. A 21 hallgató eredménye a következő volt:

112, 130, 125, 147, 104, 109, 110, 131, 125, 110, 108, 102, 120,108, 104, 110, 106, 118, 113, 98, 112,

a ) Jellemezze középértékekkel az IQ-teszt eredmények eloszlását!b) Számítsa ki és értelmezze a kvartiliseket!

Megoldás

a) Számított középérték: X

112 131 98 112

22114 4

...,

Medián:( 21+1)/2=11. sorszámú elem a rangsorból. Rangsor: 98, 102, 104, 104, 106, 108, 108, 109, 110, 110, 110, 112, 112,

113, 118, 120, 125, 125, 130, 131, 147

Me=110 Mo=110 A leggyakoribb IQ-szint ugyanannyi volt, mint az az IQ-szint , mint amennyi alatti és feletti hallgatók száma, azaz a medián értéke.

b) Q1: (21+1)64 =5,5. az 5. és a 6. átlaga: (106+108)/2= 107 pont. Q2 :(21+1)/2=11. 110 pont Q3 :((21+1)/4)*3=16,5 a 16. és 17. elem átlaga: (120+125)/2= 122,5 pont.

107 IQ-pont alatt a vizsgált hallgatók egynegyede volt, a többieknek magasabb volt a pontjuk.110 pont alatt és felett ugyanannyi hallgató volt. 122,5 pont feletti IQ-pontszámot a hallgatók közül csak egynegyede szerzett.

3. FeladatA következő adatokat ismerjük: -10, -10, -9, -9, -9, -7, -6, -5, -3, -3, -1, -1, 0, 3. Állapítsuk meg az adatsor átlagát, móduszát és mediánját!

MegoldásÁtlag= -5; Módusz= -9; Medián= -5,5;

4. FeladatAz elmúlt néhány napban megmértük a reggeli hőmérsékletet, és a következő eredményeket kaptuk: -8, -7, -10, -4, -2, -8, -8, -7, -3, -5, -4, 3, 2, -9, 1, 4, 4. Mennyi volt a reggeli átlagos hőmérséklet, mennyi a módusz és a medián?

MegoldásÁtlag= -3,8; Módusz= -8; Medián= -4;

61

5. Feladat

Egy megyében több utazási iroda által meghirdetett főszezonbeli utazások reprezentatív felmérést készítettek. A felmérés során a meghirdetett utazások 5 %-át vizsgálták meg. A mintába került utazások ár szerinti megoszlása a következő:

Ár ( Ft-ban) Utazások száma-20000 10

20001-40000 4240001-60000 2260001-80000 1580001-100000 16

100001- 15Összesen 120

Jellemezze az utazási árak eloszlását.a) átlaggal,b) mediánnal,

Megoldás

a) Ft az átlagos

utazási ár.

b) A mintába került utazások ár szerinti megoszlásának kumulált értékei:

Ár ( Ft-ban) f'-20000 10

20001-40000 5240001-60000 7460001-80000 8980001-100000 105

100001- 120Összesen -

Me: (40001-60000) Me= Ft alatt és felett ugyanannyi út volt a

mintában.

6. FeladatEgy ember egy héten keresztül feljegyezte, hogy naponta hány percet tölt tévénézéssel. Az eredmények a napok sorrendjében: 14, 40, 22, 120, 30, 55, 45. Mekkora a medián?

Megoldás: Sorrendbe helyezve a számokat: 14, 22, 30, 40, 45, 55, 120; ezek közül a középső, a negyedik elem 40, ennyi a medián nagysága.

62

7. Feladat

Egy szabad áras cikk piaci forgalmát és átlagárát figyelték meg egy napon. A megfigyelésnél a következő adatokat ismerjük:

Egységár (Ft/kg) Eladott mennyiség(kg)18,00-22,00 18022,01-24,00 35024,01-26,00 30026,01-30,00 370

Összesen 1200Számítsa ki és értelmezze a (z):a) átlagos egységárat,b) móduszt,

Megoldás

a)

Az átlagos egységár 24,59 Ft/kg a minta adatai alapján.

b) Mivel (26-30)-as intervallum 4 Ft/kg-os hosszúságú, ha ez is 2 Ft/kg-os osztályköz hosszúságú lenne, akkor az intervallum gyakorisága (fúj) : 370/2=185 lenne. A (18-22)-es intervallum gyakorisága is átszámítva: (fúj): Ezért a modusz (22,01 -24,00) intervallumban van.

Mo= Ft/kg a leggyakoribb egységár.

8. FeladatKereskedelmi vállalkozás értékesítő egységeinek árbevétele:

Havi árbevétel (e Ft) Egységek száma30000

3001 – 34003401 – 38003801 – 4200

4201

461353

Össz: 30

Mennyi a módusz és a meián?

Megoldás

MediánRangsorból:

Ha N páratlan: -dik érték, azaz a középső érték

Ha N páros: -dik és -dik számtani átlaga, a 2 középső átlaga

63

9. FeladatEgy videokazetta kölcsönzőben egy héten át feljegyezték, hogy egy ember egyszerre hány kazettát kölcsönzött:

A kölcsönzött kazetták száma

Kölcsönzők száma

1 1452 793 464 125 2

Mekkora a számtani átlag és a módusz?

Megoldás:Számtani átlag:

A kölcsönzött kazetták száma (xi)

Kölcsönzők száma (fi) Kölcsönzött videokazetták száma (si=fi*xi)

1 145 1452 79 1583 46 1384 12 485 2 10

összesen 284 499

Átlag: 499/284=1,76, vagyis az átlagos kazettaszám 1,76.

Módusz: 1; A leggyakrabban 1 kazettát kölcsönöznek.

10. FeladatEgy szabad áras cikk piaci forgalmát és átlagárát figyelték meg egy napon. A megfigyelésnél a következő adatokat ismerjük:

Egységár (Ft/kg) Eladott mennyiség(kg)18,00-22,00 18022,01-24,00 35024,01-26,00 30026,01-30,00 370

Összesen 1200Számítsa ki és értelmezze a (z):a) átlagos egységárat,b) móduszt,

Megoldás

a)

Az átlagos egységár 24,59 Ft/kg a minta adatai alapján.

b) Mivel (26-30)-as intervallum 4 Ft/kg-os hosszúságú, ha ez is 2 Ft/kg-os osztályköz hosszúságú lenne, akkor az intervallum gyakorisága (fúj) : 370/2=185 lenne. A (18-22)-es intervallum gyakorisága is átszámítva: (fúj): Ezért a modusz (22,01 -24,00) intervallumban van.

Mo= Ft/kg a leggyakoribb egységár.

64

11. Feladat

Egy óvodai csoportban lévő gyerekek megoszlása:Testmagasság (cm) Gyerekek száma (fő)

118,1-120,0 12120,1-121,0 7121,1-122,0 10122,1-123,0 8123,1-131,0 2

Összesen 39

a) Mennyi az átlagos testmagasság?b) Mennyi az a testmagasság , amelytől az óvodások fele magasabb, fele alacsonyabb?c) Hány cm a leggyakoribb testmagasság az óvodások között?

Megoldás

a)

x

119 12 127 2

39121 04

* ... *, cm az átlagos testmagasság.

b)

Me 39

219 5,

f : ; ; ;...12 19 29

cm az a testmagasság, amelytől az óvodások fele magasabb, fele

alacsonyabb.c)

Mo 1211 122,

cm a leggyakoribb testmagasság az óvodások között.

65

12. Feladat

Egy felsőoktatási intézményben a nappalin tanulók gyakorlat jegyei általános statisztikából 1990/91-es tanév első félévében:

Osztályzat A B C Összesenkar hallgatóinak megoszlása

5 19 23 19 614 32 49 40 1213 24 36 56 1162 20 36 82 1381 1 2 18 21

Összesen 96 146 215 457

Számítsuk ki a gyakorlati jegyek átlagait karonként és az évfolyam egészére!

Megoldás

a) Karonkénti ( részátlagok):

A:

B:

C:

b) Évfolyami ( főátlag):

vagy

66

13. Feladat

Az élve született csecsemőknél a testsúly és nem a következőképpen adódott véletlenszerűen kiválasztott 100 leány és 100 fiú csecsemő adatai alapján.

Magasságcm

Fiú Leány

_ 44 6 644 _ 48 8 1048 _ 52 38 4452 _ 56 32 30

56 _ 16 10 Összesen 100 100

Határozza meg a középértékeket!

Megoldás

Összehasonlítási szempont Fiú LeányÁtlag (cm) 51,8 51,1

Módusz (cm) 51,3 50,8Medián (cm) 51,8 51,1

14. Feladat

Lakásbiztosítások száma

fi fi’ h

-2000 15 15 10002000-3000 50 65 10003000-4000 60 125 10004000-5000 80 205 10005000-6000 25 230 10006000-7000 15 245 1000

7000- 5 250 1000Össz: 250

Határozd meg a móduszt és a mediánt!

Mo=

Me=

67

7-8 Szóródás számítás

A szóródás mutatószámai: a) A szóródás terjedelmeb) Szórás c) Relatív szórás d) Átlagos (abszolút) eltérés e) Variancia

a) A szóródás terjedelme:

Az előforduló legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége

T = Xmax. – Xmin.

Példa:Számítsuk ki egy régió vállalatainak árbevétel adataiból a terjedelmet (millió Ft): 50, 87, 98, 43, 66, 56, 124, 18, 29, 10, 320.

10, 18, 29, 43, 50, 56, 66, 87, 98, 124, 320

millió Ft

b) Szórás (jele: σ szigma)

A leggyakrabban használt szóródási mérőszám, amelyet a hétköznapi ember is gyakran hall. A szórás ( ) az alapadatok számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga. Mindebből tehát az következik, hogy a szórás és a szóródás tartalmilag nem megegyező fogalmak, hiszen a szóródásnak csak egy mérőszáma a szórás.

egyszerű forma: ,

súlyozott forma: .

Példa:Az adatsor: 24, 27, 23, 26 (ezer Ft/t).Az számtani átlaga:

25 ezer Ft/t,

ebből a szórás a következő:

Tehát az önköltségadatok az átlagostól átlagosan 1,58 ezer Ft/t-tal térnek el.

68

Árbevétel kategóriák, millió Ft Vállalatok száma, db

- 20 3021 – 40 4241 – 60 5461 – 80 3881 – 100 23Összesen: 187

Első lépésben az árbevételek átlagát kell kiszámítanunk:

millió Ft

Az árbevételek átlaga 48,1 millió Ft volt. Ezek alapján a szórás a következőképpen alakul:

c) Relatív szórás (jele: V)

Az egyes ismérvértékek átlagosan hány százalékkal térnek el az átlagtól. A relatív szórás (a neve is mutatja) a szórást hasonlítja egy másik statisztikai paraméterhez, méghozzá az adatsor átlagához. Tehát a szórás és az átlag hányadosa:

Példa:Tekintsük az abszolút átlageltérés és a szórás mintapéldájában szereplő árbevétel adatokat. A kiinduló táblázat újbóli feltüntetése nélkül az átlagos árbevétel 48,1 millió Ft volt, míg a szórás értéke 24,9 millió Ft. A relatív szórás tehát:

d) Átlagos (abszolút) eltérés

(jele: δ delta) Az egyes értékek számtani átlagtól vett eltérései abszolút értékeinek számtani átlaga.

egyszerű forma: ,

súlyozott forma:

A súlyozott formát általában (nem mindig) osztályközös gyakorisági sorból számítjuk.

.

69

Példa:A következő önköltségadatokat ismerjük egy vállalat különböző üzemegységeiben (ezer Ft/t): 24, 27, 23, 26.Számítsuk ki ebből az adatsorból az abszolút átlageltérést!

A megoldáshoz – a definícióból következően – először ki kell számítanunk az önköltség adatok számtani átlagát:

ezer Ft/t

A következő lépésben a kiszámított számtani átlagtól való eltérések abszolút értékeinek számtani átlagát, vagyis az abszolút átlageltérést már könnyen számszerűsíthetjük:

ezer Ft/t

Példa:Egy régió nagyvállalatainak árbevétel adatai, adott időszakban

Árbevétel kategóriák, millió Ft Vállalatok száma, db

- 20 3021 – 40 4241 – 60 5461 – 80 3881 – 100 23Összesen: 187

Első lépésben itt is az árbevételek átlagát kell kiszámítanunk:

millió Ft

Második lépésként számszerűsíthetjük az abszolút átlageltérést:

e) Variancia

A variancia nem más, mint a szórásnégyzet. Jele: .

egyszerű forma: ,

súlyozott forma: .

GYAKORLÓ FELADATOK

70

1. FeladatIgaz vagy hamis a megállapítás?

a) A szórás tulajdonképpen az adatok négyzetes átlaga. Hb) A szórás és a szóródás azonos fogalmak. Hc) A relatív szórás százalékban méri az adatok különbözőségét. Id) A szóródás terjedelme az előforduló legnagyobb és legkisebb ismérvérték összege. He) A szórás ( ) az alapadatok számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga. I

f) A variancia nem más, mint a szórásnégyzet. I

2. Feladat1. Egy 10 főt foglalkoztató cégnél az év elején mindenki 10 %-os béremelést kap. Ekkor…

a) A szórás és az átlagbér nem változik.b) Az átlagbér 10 %-kal változik, a szórás nem nő.c) Az átlagbér és a szórás is 10 %-kal nő.

2. A σ jelentése:a) Az egyedi eltérések négyzetösszegeb) Átlagtól való eltérések négyzetes átlagac) Eltérésnégyzetek mértani átlaga

3. A HÉV átlagosan 8 percenként közlekedi, 2 perc szórással. Ekkor…a) A relatív szórás 25%b) A terjedelem 4 percc) V = 4%

4. Ha a ZH eredmények 25-49 intervallumban szóródnak, akkor…a) A szórás legfeljebb 49-25=24b) A medián (49-25)/2=12c) Az átlag kisebb mint 49

5. A következő öt ZH eredménynek melyik lehet a szórása? 11p, 13p, 14p, 18p, 19pa) 91%b) 19pc) 1,9p

6. Öt hallgató ZH eredményének átlaga 50 pont, szórása 5 pont. Ekkor…a) V=5%b) V=10%c) V=0,1%

7. Ha egy 120 e Ft-os átlagkeresetű csoportban mindenki 10 e Ft-os fizetésemelést kap, akkor…a) Az átlagkereset és a szóródás nem változikb) Az átlagkereset 10 e Ft-tal nő, a medián nem változik.c) A medián és az átlagkereset 10 e Ft-tal nő

8. Ha egy kifliért nem kell többet fizetni, mint 20 Ft, akkor…a) 20 Ft a maximális értékb) 20 Ft a mediánc) 20 Ft a szórás

71

3. FeladatEgy bank vidéki fiókjában azt vizsgálták, hogy a lakossági betétesek egy naptári évben hányszor fordultak meg a betétjükkel kapcsolatos ügyben az adott vidéki fiókban. Ezt a következő táblázat foglalja össze:Előfordulások száma Betétesek száma (fő)- 1 82 - 4 265 - 8 499 - 12 25713 - 16 14717 - 20 5621 - 38 12Összesen 555a) Elemezze a fenti táblázat alapján a betéttulajdonosok magatartását középértékek, szóródás segítségével!

Megoldásx = 11,79 , Me=12,03, Mo=11,6σ=4,6, V=38 %,

4. FeladatEgy közkedvelt, Magyarországon gyártott személygépkocsi fogyasztásának ellenőrzésére 150 db-bólálló mintát vizsgáltak meg. A mérési eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza:Fogyasztás (l/100 km) Személygépkocsi (db)

- 4,0 134,1 - 4,5 274,6 - 5,0 415,1 - 5,5 495,6 - 6,0 16

6,1 - 4Összesen 150

Feladat:a) Mennyit fogyaszt átlagosan ez a közkedvelt személygépkocsi?b) Mennyi a tipikus fogyasztás?c) Számítsa ki az átlagos fogyasztástól való átlagos négyzetes eltérést!

Megoldás

a) x = 4,93b) Mo = 235c) s = 0,604

5. Feladat

Egy munkahelyen a március havi fizetések átlaga 32.316 Ft, mediánja 38.540 Ft, szórása 4.125 Ft,relatív szórása ........................... Ha áprilisban mindenki 2.800 Ft-tal több fizetést kap, mint az előzőhónapban, akkor az áprilisi fizetések átlaga .......................... Ft, a medián ......................... Ft, a szórás............................ , a relatív szórás pedig .......................... lesz.

Megoldás

V=12,76 %április: x = 35 116 Ft, Me=41 340 Ft, σ= 4125 Ft, V=11,75 %

72

6. FeladatEgy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 2009. október hó:

Forgalom (eFt)(x)

xi Boltok száma

fi – 400 300 5

401 – 600 500 15601 – 800 700 40801 – 1000 900 201001 – 1200 1100 161201 – 1400 1300 91400 felett 1500 3Összesen ---- 108

Számold ki és értelmezd az átlagot, móduszt, mediánt, szórást, relatív szórást.

Átlag:

Módusz:

A boltok tipikus forgalma 711 eFt.

Medián:

A medián becsült értéke:

középső: sorszáma: (j/k∙N) ½ ∙108 = 54. bolt → 600-800 eFt forgalom közé esik (h = 200)

me (a mediánt magába foglaló osztályköz alsó határa) = 600 eFtf’me-1 (a mediánt megelőző osztályköz kumulált gyakorisága) = 20 fme (a mediánt magába foglaló osztályköz gyakorisága) = 40

A vizsgált boltok felének 770 eFt-nál kevesebb, felének pedig 770 eFt-nál több a forgalma.

Szórás:

mFt

Az egyes boltok forgalma átlagosan 277 eFt-tal tér el az átlagos (822 eFt) forgalomtól.

Relatív szórás

Az egyes boltok forgalma átlagosan 33,7%-kal tér el az átlagos forgalomtól.

73

7. FeladatEgy bolt alkalmazottainak életkorát vizsgálva az alábbi táblázatban látható eredményeket kaptuk:

életkor (év) dolgozók száma (fő)- 25 4

25 - 35 835 - 45 445 - 55 4

55 - 2Össz: 22

Számítsuk ki:a) az átlagotb) a szóródás mutatószámait

Megoldása) x = 36, 36b) R = 50 δ = 10, 57 σ = 12, 26 σ2 = 150, 41 V = 33, 73%

8. Feladat

A 18 éves fiúk körében IQ-tesztet végeztek. 19 főnél az alábbi értékeket mérték:145; 82; 75; 101; 99; 96; 82; 110; 104; 97; 119; 122; 65; 130; 73; 100; 141; 103; 58;Határozza meg az IQ-érték mediánját, móduszát, átlagát, az átlagos eltérést és a szórást!

Megoldás:Rendezzük növekvő sorba az elemeket:58 65 73 75 8282 96 97 99 100101 103 104 110 119122 130 141 145A fentiekből könnyen kiolvasható, hogy a leggyakrabban előforduló elem, így a módusz a 82.

A medián a sorrendben 10-ik elem, azaz a 100.

Az átlag:

58+65+73+ … +141+145XA = ------------------------------------- = 100,1

19

Az átlagos eltérés:

|58-100,1| + |65-100,1|+ … +|141-100,1| +|145-100,1| δ = ------------------------------------------------------------------- = 18,32

19

Szórás:

σ = =24,26

74

9. Feladat

Egy megyében több utazási iroda által meghirdetett főszezonbeli utazások reprezentatív felmérést készítettek. A felmérés során a meghirdetett utazások 5 %-át vizsgálták meg. A mintába került utazások ár szerinti megoszlása a következő:

Ár ( Ft-ban) Utazások száma-20000 10

20001-40000 4240001-60000 2260001-80000 1580001-100000 16

100001- 15Összesen 120

Jellemezd az utazási árak eloszlását szóródási mutatókkal!

Megoldás

c)T= 120000-0=120000Ft-nyi intervallumban szóródnak az árak.

=27058,8

az utak árai átlagosan, abszolút értékben 27058,8 Ft-tal térnek el az átlagtól.

az utak árai átlagosan 31140,8 Ft-tal szóródnak az átlag körül.

V=

a szórás 56,6 %-a az átlagnak.

75

10. Feladat

Egy benzinkút egy napi vásárlóinak megoszlása a fizetett összeg szerint :Fizetett összeg ( Ft) Vásárlók megoszlása (%)

1400-2600 5,12601-3400 12,93401-4200 18,14201-5000 17,05001-5800 13,65801-6600 10,06601-7400 7,07401-8200 4,98201-10000 5,610001-14000 5,8

Összesen 100,0

Jellemezze az adott napon a benzinkútnál vásárlókat a fizetett összeg szerint helyzetmutatókkal!(átlag, szórás, módusz, medián)

Megoldás

X

2000 51 3000 12 9 3800 18 1 4600 17 9100 5 6 12000 5 7

1005385 2

* , * , * , * ... * , * ,, Ft

Fizetett összeg ( Ft)

g' Osztályköz hossz(h)

Ha h= 800, akkor a gyakoriság

1400-2600 5,1 1200 5,1*(800/1200)=3,825

2601-3400 18,0 800 12,9 Mo: 3401-4200 36,1 800 18,1 Me: 4201-5000 53,1 800 17,0

5001-5800 66,7 800 13,65801-6600 76,8 800 10,16601-7400 83,8 800 7,07401-8200 88,7 800 4,98201-10000 94,3 800 5,610001-14000 100,0 800 5,8

Összesen - - 100,0

Me=

Mo: (Az osztályköz vizsgálat után! ld. fenti tábla 3. oszlopa)

Mo=

Az átlagos fizetett összeg 5391 Ft volt adott napon a benzinkútnál a mintában szereplő személyek alapján. A fizetett összegek 2404,4 Ft-tal tértek el átlagosan ettől az értéktől. A leggyakrabban szereplő kifizetett összeg aznap 4060,3 Ft volt. 4854,1 Ft alatt és feletti összeget ugyanannyi vásárló fizetett ki a minta adatai alapján.

76

11. Feladat

A közforgalmú vasúti személyszállítás megoszlása km-övezetek szerint 1994-ben:Kilométer-övezetek Szállított utasok megoszlás (%)

1-30 50,931-50 24,051-80 10,081-100 3,6101-200 6,8201-300 1,9

301- 2,8Összesen 100,0

Döntsd el a következő állításokról, hogy melyik Igaz és melyik Hamis! Választ indokold!a) 1994-ben a vasúti forgalomban átlagosan 51,73 km-t szállították az utasokat.b) Az utazási kilométerek átlagosan 68,78 %-kal térnek el az átlagos utazási kilométertől.c) A leggyakoribb utazási kilométer 50,9.

Megoldás

a) Igaz, mert 15 50 9 40 24 65 10 350 2 8

10051 725

* , * * ... * ,,

b) Hamis, mert σ = 68,78 km

c) Hamis, mert

12. FeladatStat Jenő egyetemi hallgató autóbusszal jár az egyetemre. Néhány napon át megmérte, hogy mennyit kell várnia az első egyetem felé közlekedő autóbuszra. A következő időket tapasztalta (percben):7, 6, 0, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 16, 1, 0, 2, 3, 9, 2, 4, 10, 3, 1, 2, 12, 4, 1

a) Mennyit kellett várnia Stat Jenőnek átlagosan az első autóbuszra?b) Milyen középértékekkel lehet még jellemezni a várakozási időt? Számítsa ki és értelmezze!c) Mennyi a várakozási idő szórása?

Megoldás

a) b) Mo=2 Me=2,5c) s=4,112

77

9-10 Aszimmetria alkalmazása statisztikai sokaság elemzésénél

Az aszimmetria mutatószámai

Az eloszlások lehetnek (amivel foglalkozunk): 1. egymóduszú eloszlás

a) szimmetrikus: Mo = Me = (Q3 – Me) = (Me – Q1) b) aszimmetrikus (ferde)

- baloldali: Mo < Me < (Q3 – Me) > (Me – Q1)- jobboldali: Mo > Me > (Q3 – Me) < (Me – Q1)

2. többmóduszú eloszlás

Az aszimmetria leggyakrabban használt mutatószámai 1. Pearson-féle mutatószám (A-mutató)2. F-mutató

A mutatószámok előjele az aszimmetria irányát mutatja: - bal oldali aszimmetria esetén: > 0, azaz „+”- jobb oldali aszimmetria esetén: < 0, azaz „-”

A mutatószámok értéke az aszimmetria mértékét jelzi.

Az F-mutatót nemcsak a kvartilisek, hanem a többi kvantilis alapján is számíthatjuk. Az F-mutató – szemben az A-val – többmóduszú eloszlásoknál is használható.

Összehasonlításkor mindig ugyanazt a mérőszámot (vagy A vagy F) kell használni!

78

a) Pearson-féle mutatószám (A-mutató):

Értékének nincs korlátja.

A = 0: szimmetrikus eloszlás |A| < 0,2: statisztikailag szimmetrikus 0,2 – 0,6: gyenge, enyhe, mérsékelt aszimmetria0,6 – 1: közepes erősségű aszimmetria|A| > 1: erős aszimmetria

Példa:

Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok: Forgalom (eFt)

(x)xi

Boltok számafi

– 400 300 5 401 – 600 500 15 601 – 800 700 40 801 – 1000 900 201001 – 1200 1100 161201 – 1400 1300 9

1400 felett 1500 3Összesen ---- 108

A boltok forgalom szerinti eloszlása enyhe bal oldali aszimmetriát mutat.

79

b) F-mutató: Az alsó és felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul.

• Baloldali aszimmetria esetén: F>0• Jobb oldali aszimmetria esetén: F<0• Szimmetrikus eloszlás esetén: F=0

Bal oldali aszimmetria esetén a medián az alsó (Q1), jobb oldali aszimmetria esetén a felső (Q3) kvartilishez esik közelebb.

0 0,5 1

0 ≤ | F | ≤ 1 gyenge k ö z e p e s erős

Példa:Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok:

Forgalom (eFt)(x)

xi Boltok száma

fi – 400 300 5 401 – 600 500 15 601 – 800 700 40 801 – 1000 900 201001 – 1200 1100 161201 – 1400 1300 9

1400 felett 1500 3Összesen ---- 108

Medián:

Alsó kvartilis: sorszáma: (j/k∙N) ¼ ∙ 108 = 27. bolt → 600-800 eFt forg. közé esik (h = 200, ai = 600)

f’i-1 = 20; fi = 40;

Felső kvartilis:sorszáma: (j/k∙N) ¾ ∙ 108 = 81. bolt → 1000-1200 eFt forg. közé esik (h = 200, ai = 1000)

f’i-1 = 80; fi = 16;

Eszerint a mutató szerint is enyhe bal oldali aszimmetriát mutat a boltok forgalom szerinti eloszlása.

80

GYAKORLÓ FELADATOK

1. Feladat

1. Az F jelentésea) A szórás és a számtani átlag arányab) Vegyes kapcsolat erősségec) Az elemek középső 50 %-ának aszimetriája

2. Az F mutatóa) Mindig kisebb, mint az A mutatób) Az aszimmetria egyik mérőszámac) Értéke -1 és 1 között változhat

3. Az F-mutatót …. alapján is számíthatjuk.a) nemcsak a kvartilisek, hanem a többi kvantilis b) Átlagok alapján c) Szórás és szóródás

4. Pearson-féle mutatószám (A-mutató) esetébena) Értéke 0 és 1 között lehetb) Értékének nincs korlátjac) A = 0: aszimmetrikus eloszlás

5. Az A-mutatót … használjuk.a) Egymóduszú eloszlásoknálb) Többmóduszú eloszlásoknálc) Kvartilis számokkal

2. Feladat

Magyarországon az egy főre jutó személyes jövedelem átlaga adott évben 46800 Ft, relatív szórása 40 %, a népesség legnagyobb része 39600 Ft jövedelemmel rendelkezett. Jellemezze a jövedelem eloszlás aszimmetriáját!

Megoldás

Ismertek:

Jobboldali aszimmetria jellemzi a jövedelem eloszlását.

81

3. Feladat

Stat Jenő egyetemi hallgató autóbusszal jár az egyetemre. Néhány napon át megmérte, hogy mennyitkell várnia az első egyetem felé közlekedő autóbuszra. A következő időket tapasztalta (percben):7, 6, 0, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 16, 1, 0, 2, 3, 9, 2, 4, 10, 3, 1, 2, 12, 4, 1

Szimmetrikusnak tekinthető e a várakozási idő eloszlása? Számítsa ki és értelmezze az aszimmetria mutatószámait!

Megoldás

x = 4,04 Mo=2 Me=2,5Q1=1,0, Q3=5,75

Szimmetrikusnak tekinthető e a várakozási idő eloszlása? nem: A=1,509F=0,368

4. Feladat

2002-ben a Miskolci Egyetemen a GT-108-as tanulócsoportba került hallgatók felvételi pontszámai akövetkezők voltak:110; 119; 111; 118; 99; 109; 107; 111; 113; 109; 107; 98; 100; 99; 117; 118; 119; 120; 120; 116; 117;118; 119; 120.

Számítsa ki és értelmezze az F mutatót!

Megoldás

Me 114,5F= -0,238

82

5. Feladat

Egy gazdasági társaságnál megvizsgálták, hogy az alkalmazottak szolgálati autója hány kilométertfutott az elmúlt évben. Az adatok a következők voltak ezer km-ben:40, 52, 37, 53, 39, 44, 54, 42, 34, 18, 59, 62, 30, 24, 41, 29, 38, 19, 57, 52, 46, 60, 26, 46, 36, 38, 34,38

Szimmetrikusnak tekinthető-e a várakozási idő eloszlása?

Megoldás:

x = 41;Mo = 46σ = 11,89

nem, A = -0,42

6. Feladat

Egy rendelőintézetben egy adott héten a betegek várakozási ideje a következőképpen alakult:Várakozási idő (perc) Betegek megoszlása (%)

0 - 15 1515,1 - 25 2525,1 - 35 3035,1 – 45 1545,1 - 60 10

60,1 - 5Összesen 100

Számítsd ki az A mutatót!

Megoldás

x = 29,75,Mo= 27,5σ= 15,4 A=0,146

83

7. Feladat

Borsod-Abaúj-Zemplén megyében az őstermelők termőterület szerinti megoszlása:Termőterület (hektár) Őstermelők száma (fő)

0 - 5 1005 - 10 9010 - 25 8025 - 50 6050 - 100 10

100 - 10Összesen 350

Számítsd ki az A mutatót!

Megoldás

x = 18,79; Mo = 4,55; σ = 24,12; A = 0,59

8. Feladat

Órabér (Ft/óra) Dolgozók száma (fő)– 199 100

200 – 224 480225 – 249 700250 – 274 370275 – 299 240

300 – 110Összesen 2000

Jellemezd középértékekkel, szóródás és aszimmetria mutatókkal a dolgozók órabérét a vállalatnál!

Megoldás:

x = 243,72 Ft/ó, Me=240 Ft/ó, Mo= 235 Ft/óσ= 31 Ft/ó, V=12,7 %, A=0,28

84

9. FeladatEgy benzinkút egy napi vásárlóinak megoszlása a fizetett összeg szerint :

Fizetett összeg ( Ft) Vásárlók megoszlása (%)1400-2600 5,12601-3400 12,93401-4200 18,14201-5000 17,05001-5800 13,65801-6600 10,06601-7400 7,07401-8200 4,98201-10000 5,610001-14000 5,8

Összesen 100,0

Jellemezze az adott napon a benzinkútnál vásárlókat a fizetett összeg szerint helyzetmutatókkal!(átlag, szórás, módusz, medián, A mutató)

Megoldás

X

2000 51 3000 12 9 3800 18 1 4600 17 9100 5 6 12000 5 7

1005385 2

* , * , * , * ... * , * ,, Ft

Fizetett összeg ( Ft)

g' Osztályköz hossz(h)

Ha h= 800, akkor a gyakoriság

1400-2600 5,1 1200 5,1*(800/1200)=3,825

2601-3400 18,0 800 12,9 Mo: 3401-4200 36,1 800 18,1 Me: 4201-5000 53,1 800 17,0

5001-5800 66,7 800 13,65801-6600 76,8 800 10,16601-7400 83,8 800 7,07401-8200 88,7 800 4,98201-10000 94,3 800 5,610001-14000 100,0 800 5,8

Összesen - - 100,0

Me=

Mo: (Az osztályköz vizsgálat után! ld. fenti tábla 3. oszlopa)

Mo=

A=

Az átlagos fizetett összeg 5391 Ft volt adott napon a benzinkútnál a mintában szereplő személyek alapján. A fizetett összegek 2404,4 Ft-tal tértek el átlagosan ettől az értéktől. A leggyakrabban szereplő kifizetett összeg aznap 4060,3 Ft volt. 4854,1 Ft alatt és feletti összeget ugyanannyi vásárló fizetett ki a minta adatai alapján. Ezek alapján a benzinkútnál az adott napon kifizetett összegek eloszlását jobboldali aszimmetria jellemezte.

85

11-12 Standardizálás

Standardizálás

Körösy József demográfus statisztikus dolgozta ki és alkalmazta először ezt a módszert a halálozási arányszámok összehasonlítására.A tényezők hatásának elkülönítésére alkalmazzuk. A standardizálás a demográfiai vizsgálatok kiemelkedően fontos eszköze. A módszert ezen területen alkalmazták először, a rendszeres demográfiai közlemények gyakran közölnek standardizált adatokból készített idősorokat, illetve végeznek ilyen területeken összehasonlításokat.

FŐÁTLAGOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA STANDARDIZÁLÁSSAL:

Heterogén (minőségileg különböző csoportokból álló) sokaságokra vonatkozó átlagok, intenzitási viszonyszámok összehasonlítása térben vagy időben.

A főátlag nagyságát két tényező határozza meg:1.) a részátlagok nagysága2.) részsokaságok súlyaránya.

A csoportosított sokaság esetén szükségünk lehet két főátlag összehasonlítására. Az összehasonlítás történhet térben és időben.

- térbeni összehasonlítás esetén a főátlagok különbözőségét- időbeni összehasonlítás esetén a főátlagok változását vizsgáljuk.

A főátlagot az átlagolandó értékek nagysága és a súlyarányok határozzák meg, időbeni és térbeni összehasonlítás esetén ezeknek a tényezőknek a hatását számszerűsítjük. Pl.: egy cégnél dolgozók átlagos keresetének alakulása függ a különféle szakképzettségű, beosztású dolgozók tényleges keresetének változásától, de ugyancsak függvénye a fősokaság összetételének.

A főátlagok összehasonlítása során, a nagyságukat befolyásoló tényezők hatásának számszerűsítésére szolgáló módszert standardizálásnak nevezzük.A térbeni összehasonlítást a főátlagok különbségével, az időbeli összehasonlítást a főátlagok hányadosával végezzük el. A főátlagok hányadosát indexszámnak hívjuk. Az indexszám valamilyen szempontból együvé tartozó adatok együttes relatív átlagos változását (különbözőségét) mutatja meg. A főátlagok összehasonlításánál a két tényező hatását is indexekkel mutatjuk ki, és ezen indexek együttesét, standardizáláson alapuló indexkörnek szokás nevezni.

A heterogén fősokaság jellemezhető számtani átlagokkal és intenzitási viszonyszámokkal. Tér- és időbeli összehasonlításnál a fősokaság átlaga a részsokaságok átlagától és a fősokaság összetételének változásától függ.

86

Jelölések:

I = főátlagindexI’ = részátlagindexI’’ = összetételindexi = egyedi indexK = a főátlagok különbségeK’ = a főátlagok különbségének azon része, mely a részátlagok eltérésből adódikK’’ = a főátlagok különbségének azon része, mely az összetétel eltéréséből adódikk = egyedi különbségek

= összetett intenzitási viszonyszám = főátlagB = az összetételre vonatkozó adat, a viszonyszám nevezőjében szereplő adat (pl.: létszám)A = B*v = a viszonyszám számlálójában szereplő adat (pl.: termelési érték)v = A/B részviszonyszám

ELŐKÉSZÍTŐ SZÁMOLÁSOK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK:

V=

A = S B = N V = Y

: összetett intenzitási viszonyszámVj : rész intenzitási viszonyszám

Aggregát forma:

Számtani átlag forma:

Harmonikus átlag forma:

0

00 B

Bg

87

FŐÁTLAGINDEX:

A tárgyidőszak főátlagának és a bázis év főátlagának hányadosa,A standardizálás alkalmazása során az egyes csoportokra jellemző viszonyszámokat átlagoljuk. A főátlagindex jele: I

Főátlagok különbsége: K

RÉSZÁTLAGINDEX:

A részátlagok változását mutatja az összetétel- változás hatását kiszűrve,A részátlagok megváltozásának hatását úgy mutatjuk ki, hogy ismételten kiszámítjuk mindkét időszakban a főátlagokat, de súlyként azonos standard összetételt alkalmazunk. A részátlagindex jele: I’.

Vagy

A főátlagok különbségének azon része, mely a részátlagok eltérésből adódik: K’

vagy

88

ÖSSZETÉTELINDEX:

A fősokaság összetételi változásának a főátlagra gyakorolt hatását mutatja, Az összetételhatás kimutatására ismételten ki kell számítani a főátlagokat, tényleges összetétellel, de standard részátlagokkal. Az összetételindex jele: I”.

Vagy

A főátlagok különbségének azon része, mely az összetétel eltéréséből adódik: K”

vagy

ÖSSZEFÜGGÉS AZ INDEXEK KÖZÖTT:

a főátlagindex = a részátlagindex és az összetételindex szorzatával;

89

Példa:

90

Példa:

Egy évfolyamba járó 3 csoport a következő gyakorlati jegyeket szerezte statisztikából:Jegyek I. csoport létszáma (fő) II. csoport létszáma

(fő)III. csoport létszáma

(fő)5 1 2 54 2 4 43 3 6 32 4 8 21 5 10 1

Összesen 15 30 15

Határozzuk meg, hogy milyenek az átlagok, illetve van-e eltérés csoportok között az átlagok tekintetében,?

Megoldás:( Az átlag tulajdonképpen értelmezhető egy összetett viszonyszámként is, hiszen két szám hányadosa: a jegyek összege /létszám)

Az I. csoport statisztikai jegyeinek átlaga:

A II. csoport statisztikai jegyeinek átlaga:

A III. csoport statisztikai jegyeinek átlaga:

91

Példa:

Egy ország halandósági viszonyaira vonatkozóan a következő adatokat ismerjük: 

Korcsoport (év)1990  1999 

Népesség (millió fő)

Halálozások száma (ezer fő)

Népesség megoszlása (%)

Halálozási arányszám (ezrelék)

0 - 30 10 33 35 2

31 - 50 7 70 40 6

51 - 3 150 25 40Együtt 20 253 100 -

Elemezzük standardizálás módszerével a halálozási arányszám változását 1990 és 1999 között!

Megoldás

1. Az összetett viszonyszámok meghatározása

Vj = Aj = Bj = )

Az elemzendő összetett viszonyszám a példában:

Halálozási arányszám (ezrelék)=

Jelölésekkel: Halálozási arányszám:

Meghaltak száma összesen:

Lakosság összesen:

(Mindhárom elem mellett az alsó indexben jelölni kell még, azt hogy melyik időpont/időszakra ill. területi egységre vonatkozik, az elemzésemben 0: 1990 1: 1999 jelölést fogom alkalmazni.)

- korcsoportok : j =1,2,3 ( 3 részsokaság alkotja a teljes sokaságot)- 1990-ben népesség : Bj,0 és - 1990-ben a halálozások száma: Aj,0

- 1999-ben a népesség megoszlása : Bj,1

- 1999-ben a halálozási arányszám korcsoportonként:Vj,1(=Aj,1/Bj,1)

Ezen ismert adatok alapján :- 1990-re az összetett viszonyszám értékét az alapadatok segítségével számíthatjuk ki:

=

92

- 1999-re az összetett viszonyszámot súlyozott számtani átlag formában lehet kiszámítani:

=

2. A kiszámítható különbség ( összetett viszonyszámok együttes különbsége) jele: K, azt fejezi ki, hogy az összehasonlított két összetett viszonyszám értéke együttesen mennyivel változott /tér el egymástól.Számítása: K=

Példa adatai alapján:K=13,1-12,65=+0,45 Azaz a halálozási arányszám 0,45 ezrelékkel nőtt 1990-ről 1999-re a vizsgált országban.

3. A kiszámítható hányados (együttes index), jele: I, azt fejezi ki, hogy hány %-kal változott/tér el az összetett viszonyszám értéke.

Számítása: I=

Példa adataiból: I= , %-ban : 103,6 %: azaz a halálozási arányszám 3,6 %-kal nőtt 1990-ről

1999-re a vizsgált országban.

4. A jelen példa megoldása során a standard súlyarányok: a tárgyi időszaki népességarányok lesznek.

=

= =

5. A részviszonyszámok eltéréséből adódó hatás számszerűsítésére kiszámítható különbség (átlagos változás különbsége) jele: K', azt fejezi ki, hogy a részviszonyszámok eltérés átlagosan mennyivel változtatja az összetett viszonyszám értékét.Számítása: K'=

(K'=

= )

93

Példa adatai alapján:K'=13,1-17,655= - 4,555 Azaz a halálozási arányszám 4,555 ezrelékkel nőtt átlagosan, mert a korcsoportonkénti halálozási arányszámok változtak ( 1,3 ; 4 ;10 ezrelékkel csökkent) 1990-ről 1999-re a vizsgált országban.

6. A részviszonyszámok eltéréséből adódó hatás számszerűsítésére kiszámítható hányados (átlagos változás indexe), jele: I', azt fejezi ki, hogy hány %-kal változott/tér el átlagosan az összetett viszonyszám értéke, a részviszonyszámok változásának/eltérésének hatására.

Számítása: I'=

(I'= = )

Példa adatai alapján:

I'=

%-ban: 74,2 %, azaz 25,8 %-kal növelte a halálozási arányszám értékét átlagosan az, hogy a korcsoportonkénti halálozási arányszámok csökkentek 1990-ről 1999-re a vizsgált országban.A korcsoportonkénti halálozási arányszámok változását az egyedi indexek fejezik ki, jele i. (i=Vj,1/Vj,0)

Ezek átlagolásával bizonyos esetekben is kiszámítható az átlagos változás.A példa szerint:0-30 korcsoportban i=2/3,3=0,6060 60,6%31-50 korcsoportban i=6/10=0,6 60,0 %51- korcsoportban i=40/50=0,8 80,0 %

Ezek átlagolásához, most ki kell még számítani az 1999-re érvényes halálozások számát(Aj,1=Bj,1*Vj,1): 0-30: 35*2=7031-50:40*6=24051- : 25*40=1000

I'= = %

7. A jelen példa megoldása során a standard részviszonyszámok a bázis időszaki halálozási arányszámok:

=

( = )

=

94

( = )

8. A súlyarányok eltéréséből (összetétel változásából) adódó hatás számszerűsítésére kiszámítható különbség (összetételváltozást kifejező különbség) jele: K", azt fejezi ki, hogy a súlyarányok eltérése mennyivel változtatja az összetett viszonyszám értékét.Számítása: K"=

(K"=

= )

Példa adatai alapján:K"=17,655-12,65= +5,005 ezrelékAzaz a halálozási arányszám 5,005 ezrelékkel csökkent, mert a népesség korcsoportonkénti arányai megváltoztak 1990-ről 1999-re a vizsgált országban, a növekedés azt jelzi, hogy a magasabb halálozási arányszámmal jellemezhető csoport felé tolódott el a népesség aránya.

9. A részviszonyszámok eltéréséből adódó hatás számszerűsítésére kiszámítható hányados (átlagos változás indexe), jele: I', azt fejezi ki, hogy hány %-kal változott/tér el átlagosan az összetett viszonyszám értéke, a részviszonyszámok változásának/eltérésének hatására.Számítása: I"=

(I"=

= )

95

Példa adatai alapján:

I'=

%-ban: 139,6 %, azaz 39,6 %-kal csökkentette a halálozási arányszám értékét az, hogy a népesség korösszetétele megváltozott 1990-ről 1999-re a vizsgált országban.

10. Nézzük meg, hogy hogyan változott a népesség megoszlása:A vizsgált ország népességnek alakulása 1990-ben:0-30 korcsoportban: (10/20)*100=50 %31-50 korcsoportban: (7/20)*100=35 %51- korcsoportban: (3/20)*100=15 %Ezt összehasonlítva az 1999-re jellemző népességmegoszlással: csökkent 50-ről 35 %-ra az első korcsoportba tartozó népességarány, és nőtt a többi korcsoport aránya ( 35 -ről 40 %-ra és 15-ről 25 %-ra) , pont azoké, amelyeknél eleve magasabb a halálozási arányszám.

Az összetételben bekövetkező olyan változás, amely az alacsonyabb részviszonyszámú részsokaság arányát növeli, a magasabb részviszonyszámú részsokaság arányát csökkenti, ez az összetett viszonyszám értékét összességében csökkenti. ( Tehát K"<0, és I"<100 %). Illetve , ha a magasabb részviszonyszámú sokaság felé tolódik el, akkor ez az összetett viszonyszám értékét növeli. ( Tehát K">0 és I">100 %)

K"=0 illetve I"=100 %, ha:1. A sokaság összetétele nem változik.2. A részviszonyszámok nagysága nem különbözik egymástól, illetve az összetett viszonyszámtól.3. Nincs sztochasztikus kapcsolat a részviszonyszám nagysága és a súly adat változása között.

96

GYAKORLÓ FELADATOK

1. Feladat

1. Egy vállalat A üzemében 10%-kal, B üzemében 20%-kal nőtt a termelés. Ekkor…a) Nőtt a termelés részaránya az A üzembenb) Nőtt a termelés részaránya a B üzembenc) Nem változott a termelés részaránya az üzemek között.

2. A K” méri …a) A főátlag eltérésének hatásátb) Az összetétel különbözőségének hatásátc) A részátlagok eltérésének arányát

3. Az I’…a) Főátlag indexb) Érték indexc) Részátlag index

4. Ha minden telephelyen azonos termelékenységgel dolgoznak, akkor…a) A részátlagok megegyeznek a főátlagokkalb) A részátlag index = 1c) A részátlag index = 0

5. Az összetett viszonyszám kiszámítható a részviszonyszámok…a) Mértani átlagakéntb) Számtani átlagakéntc) Négyzetes átlagaként

6. Ha a részátlagok nem változnak, akkor…a) I’ = 1b) I’ = 0c) I’-t nem lehet meghatározni

7. Ha a férfiaknál és a nőknél is 5%-kal nőtt a termelékenység, akkor…a) I’ = 1,05b) I’ = 1c) I” = 1,05

8. Ha minden részátlag 10%-kal nőtt, akkor…a) I’ = 10b) I’ = 1,1c) I’ = 1,01

9. Ha a fizikai és szellemi dolgozóknál is 5%-kal nőttek a bérek, de a létszám is 5-5%-kal nőtt, akkor…a) I’ = 1,05b) I’ = 1c) I’ = I” = 1,05

10. Ha az öntözött és nem öntözött területeken is 100-100 kg-mal nagyobb a termésátlag Baranyában mint Somogyban, akkor …

a) K = 100b) K’ = 100c) K” = 100

97

2. Feladat

A személyi biztosítási káresetekre vonatkozó néhány adat 1989-ben és 1990-ben:Csoportok Kárfizetés

összegének %-osmegoszlása 1990-ben

Egy biztosítási káresetrekifizetett átlagos összeg

(Ft) 1989

Egy biztosítási káresetre kifizetett átlagos összeg

(Ft)1990

Életbiztosítás 48 9200 10100Betegségbiztosítás 31 1600 1800Balesetbiztosítás 21 1800 2100Összesen 100 2600 . . . .

Elemezze az egy biztosítási káresetre kifizetett átlagos összeg alakulását és az arra ható tényezőket (standardizálás alkalmazásával)!

Megoldás

V0 2600

V1

10048

10100

31

1800

21

21000

4352 6

,

I 4352 6

2600167 4%

,,

i 10100/9200109,8% 1800/1600112,5% 2100/1800116,7%

I '

, , ,

,

100

48

109 8

31

112 5

21

116 7

112 0%

I ' ',

, 167 4

112149 5%

Az egy biztosítási káresetre kifizetett átlagos összeg átlagosan 12%-kal nőtt '89-ről '90-re, mivel mind a 3 biztosítói csoportban növekedés (9,8; 12,5 és 16,7%-os) volt tapasztalható. A kárfizetés összegének megoszlásában arányeltolódás ment végbe (valószínűleg nőtt az életbiztosításokra kifizetett összeg), ennek hatása 49,5%-os növekedésben jelent meg. A két tényező együttesen 67,4%-kal növelte az egy biztosítási káresetre jutó kifizetett összeget.

98

3. Feladat

Egy vállalat a túlórák átlagos időtartamának vizsgálatakor a tárgyévben a következő eredményeket kapták:

Neme Számuk (fő)A túlóra átlagos

Időtartama(óra/fő)

A túlóra átlagos időtartamának változása az előző évhez képest (óra)

FérfiNő

280105

4628

-7+4

Az előző évben a túlóra átlagos időtartama 44 óra volt !

Jellemezze (szövegesen is!) az átlagos túlóra időtartamának változását, és az azt befolyásoló tényezők hatását ! Mutassa be, hogyan változott a nemek létszámaránya !

Megoldás

V 1280 46 105 28

385411

* *, K 411 44 2 9, ,

Nemek V0

Férfi 46+7=53Nő 28-4=24

V 01 280 53 105 24

38545 09

( ),

K ' , , , 411 45 09 3 99 K ' ' , ( , ) , 2 9 3 99 1 09Az átlagos túlóra a vállalatnál együttesen 2,9 óra/fővel csökkent a bázisidőszakhoz képest, egyrészt mert a két nemnél a túlóra ideje változott, ami átlagosan 3,99 óra/fővel csökkentette vállalati szinten a túlóra idejét, másrészt a létszámarány változása miatt ( nőtt a férfiak aránya) a túlóra átlagos ideje nőtt.

99

4. Feladat

Egy országban 1990-ben és 1998-ben épített lakások adatai:Megnevezés 1990-ben 1998-ben

az átlagos alapterület (m2)

Lakások száma (db) Átlagos alapterület (m2 )

Állami erőből 52 4400 64Magán erőből 69 39600 92

Összesen 62,51 44000 ...

Válassza ki a megfelelő választ, állítását indokolja!a) 1998-ben az átlagos alapterület:

1) 78 2) 88,1 3) 89,2 4) egyik semb) Az átlagos alapterület átlagosan

1) 42,7 2) 32,5 3) 7,7 %-kal nőtt. 4) egyik semc) A magánerőből épített lakások aránya 1990-ről 1998-re valószínűleg

1) nőtt 2) csökkent 3) nem változott 4) nem lehet meghatározni.

Megoldás

a) V 14400 64 39600 92

4400089 2

* *, 3.

b) I ' ,

* *,

, 89 2

4400 52 39600 69

44000

89 2

67 3 132,5% 2.

c) I ' ',

,

67 3

62 51 107,7% > 100% nőtt a magánerőből épített lakások aránya, mert ezeknek a lakásoknak

nagyobb általában az alapterülete, és az arányuk növekedése növelte az átlagos alapterületet. 1.

100

5. Feladat

Egy bizonyos termék előállításával X és Y vállalat foglalkozik. Mindkét helyen kétféle (régi és új) technológiával állítják elő a terméket. A termelés és az önköltség adatai:Technológia Termelt mennyiség az Y gyárban Önköltség (eFt/db)

ezer db X gyár Y gyárRégi 300 25 26Új 200 20 22

Összesen 500 24 ...

a) Az X gyár önköltsége együttesen a két technológiában az Y gyáréhoz képest hány %- kal magasabb / alacsonyabb?b) Átlagosan mennyivel alacsonyabb, az X gyár önköltsége az Y -hoz képest?c) Az Y gyár termelésében az X gyáréhoz képest melyik technológia képvisel nagyobb súlyt?

Megoldás

a) I

24300 26 200 22

500

24

24 498 4%

* * ,,

1,6%-kal alacsonyabb

b)

IV

V y

x'

* * /

, ,,

300 25 200 20 500

24 4

23

24 494 3% 5,7%-kal alacsonyabb

c) I ' ',

,,

98 4

94 3104 3% Az új technológia képvisel nagyobb súlyt az Y gyár termelésében X gyárhoz

képest, mivel az adatokból látszik, hogy az új technológia önköltsége az alacsonyabb, tehát a két gyár közötti termelési arány eltolódás abban az esetben növeli a relatív "előnyét" ( nagyobb az önköltsége!) az X gyárnak Y gyárhoz képest, ha X gyárban nagyobb arányt képvisel a termelésen belül a magasabb önköltségű technológia ( azaz a régi technológia).

101

6. Feladat

Egy kereskedelmi vállalat létszám és forgalom adatai az ország két régiójában a következők:

Bolttípus A régió B régióforgalom(M Ft) létszám(fő) forgalom(M Ft) létszám(fő)

X 300 100 248 80Y 360 150 250 100Z 150 75 264 120

Feladat:a) Számítsa ki mind a két régióban az átlagos 1 főre jutó forgalmat!b) Elemezze a termelékenység (1 főre jutó forgalom) eltérését!

Megoldás

7. Feladat

Németország halálozási arányszáma 1995-ben 11‰ volt, Magyarországé ugyanebben az időben 14‰.Németország korcsoportonkénti összetételével súlyozva Magyarország megfelelő korcsoportonkénti halálozási arányszámait, az arányszám 12‰.Feladat: Értékelje a két ország halálozási arányszámainak különbségét!

Megoldás

102

8. Feladat

Az elmúlt évben megvizsgálták, hogy a Tisza-tónál és a Balatonnál hány vendégéjszakát töltöttek el a vendégek.

Vendégek Tisza-tó BalatonVendégéjszakák

száma (ezer)Vendégek száma

(e fő)Vendégéjszakák

száma (ezer)Vendégek száma

(e fő)Belföldi 170 50 1200 322Külföldi 95 18 1980 400

a) Számítsa ki mindkét üdülőkörzetben az átlagos tartózkodási időt!b) Hasonlítsa össze számszerűen és szövegesen a két üdülőkörzetben az átlagos tartózkodási időt és akülönbségre ható tényezőket!

Megoldás

103

9. Feladat

Az 1980-ban és az 1990-ben épített lakások száma és átlagos alapterülete a szobák száma szerintcsoportosítva a következőképpen alakult:

Szobákszáma

Lakások száma (ezer db) Átlagos alapterülete (m2)1980. 1990. 1980. 1990.

1 5 3 35 431,5 9 3 44 542 39 11 59 68

2,5 15 7 74 803 és több 22 20 92 110Összesen 92 44 ... ...

Feladat:Számítsa ki, hogy hány m2-rel nőtt az épített lakások átlagos alapterülete a vizsgált időszakban és mutassa ki a változásban szerepet játszó tényezők hatását!

Megoldás

104

10. Feladat

Az alábbi táblázat a hazai három-, négy- és ötcsillagos szállodák vendégforgalmának néhány adatát tartalmazza 2001 és 2002 augusztusára a külföldi vendégekre vonatkozóan.

Szálloda típus

Vendégek száma, ezer

fő

Vendégéjszakák száma, ezer

éjszaka

Egy vendégre

jutó éjszakák száma,

éjszaka/fő

Vendégek száma, ezer fő

Vendégéjszakák száma, ezer

éjszaka

Egy vendégre

jutó éjszakák száma,

éjszaka/fő2001. augusztus 2002. augusztus

***** 32 85 30 86**** 100 304 108 314*** 143 476 141 458össz

a) Számítsa ki az átlagos egy vendégre jutó éjszakák számát 2001 és 2002 augusztusában!b) Elemezze az egy vendégre jutó éjszakák számának alakulását indexekkel és különbséggel is. Értelmezze

szövegesen a kapott eredményeket!

Megoldás

a)

Szálloda típus

Vendégek száma, ezer fő

B0

Vendégéjszakák száma, ezer

éjszaka

A0

Egy vendégre

jutó éjszakák száma

éjszaka/főV0

Vendégek száma, ezer fő

B1

Vendégéjszakák száma, ezer

éjszaka

A1

Egy vendégre

jutó éjszakák száma

éjszaka/főV1

2001. augusztus 2002. augusztus***** 32 85 2,66 30 86 2,87**** 100 304 3,04 108 314 2,91*** 143 476 3,33 141 458 3,25

Mind 275 865 3,15 279 858 3,08

Ha V: Egy vendégre jutó éjszakák száma, akkor A: Vendégéjszakák száma, B: Vendégek számaInnen háromféleképpen is számítható az átlagos egy vendégre jutó éjszakák száma. 2001-re például:

14310032

47630485

0

000 B

VBV

14310032

33,3*14304,3*10066,2*32

105

Főátlag és teljes különbség:

0

00

1

11 :B

VB

B

VBI =3,08/3,15=97,77%.

K=3,08-3,15=-0,0702

A vizsgált szállodákban az átlagos egy vendégre jutó éjszakák száma tehát 2001-ről 2002-re 2,2%-kal, vagy 0,07 éjszaka/fővel csökkent.

Részátlag index és részhatás különbség:Válasszuk az 1. időszakot állandónak.

= 3,08 / = 3,08/3,144=97,79 %.

K’=3,08-3,144=-0,0694

Tehát, ha kiszűrjük azt a hatást, hogy a vendégek száma (B) a két évben szállodatípusonként különbözik, és feltesszük egy ez mind a két évben a 2002. augusztusi (B1) megoszlást követi, akkor megállapíthatjuk, hogy pusztán azért, mert az egy vendégre jutó éjszakák száma szállodatípusonként 2001-ről 2002-re változott (majdnem mindegyik vizsgált szállodatípusban csökkent), 2002 augusztusára az átlagos egy vendégre jutó éjszakák száma 2001 augusztusához képest 2,21%-kal vagy 0,0694 éjszaka/fővel csökkent.

Összetétel index és Összetétel hatás különbség: Mivel az előbbiekben az 1. időszakot vettük állandónak, most a 0 időszakot kell állandónak választanunk.

0

00

1

01 :"B

VB

B

VBI /3,15=3,15/3,15=0,997.

K”=3,144-3,15=-0,0008

Tehát ha kiszűrjük azt a hatást, hogy az egy vendégre jutó éjszakák száma (V) a két évben szállodatípusonként különbözik, és feltesszük egy ez mind a két évben a 2001. augusztusi (V0) mintát követi, akkor megállapíthatjuk, hogy pusztán azért, mert a vendégek száma/összetétele 2001-ről 2002-re változott (valamelyest csökkent), 2002 augusztusára az átlagos egy vendégre jutó éjszakák száma 2001 augusztusához képest 0,3%-kal, vagy 0,0008 éjszaka/fővel csökkent.

I’*I’’=I=0,779* 0,997=0,9777K=K’+K”=-0,0694+-0,0008=-0,0702

Ha a másik súlyozást (részátlag indexnél standardnak a 0. és az összetételindexnél az 1. időszakot) választottuk volna, akkor az eredmény:

I’=0,9792I”=0,9985K’=-0,0656 éj / főK”=-0,0046 éj /fő.

106

11. Feladat

Ismeretesek a borsótermesztésre vonatkozóan a következő adatok Közép-Dunántúl megyéiben:

MegyeBetakarított terület (%)

Termésátlag (t/ha)

1997 1998 1997 1998Fejér 61 65 2,9 2,6

Komárom- Esztergom 27 16 2,7 2,4Veszprém 12 18 2,1 2,0

Közép- Dunántúl összesen 100 100

a) Hogyan alakult a borsó termésátlaga? (Főátlag index)b) Mutassa ki a megyénkénti betakarított terület változásának hatását! (Összetételindex)c) Az indexek közötti összefüggés segítségével határozza meg a részátlag indexeket!d) Értelmezze az eredményeket!

Megoldás

Ismeretesek a borsótermesztésre vonatkozóan a következő adatok Közép-Dunántúl megyéiben:

Megye

Betakarított terület (%)

Termésátlag (t/ha)

1997 1998 1997 1998B0 B1 V0 V1

Fejér 61 65 2,9 2,6Komárom- Esztergom 27 16 2,7 2,4Veszprém 12 18 2,1 2,0

Közép- Dunántúl összesen 100 100

Termésátlag = Termelt mennyiség / Betakarított területV=A/B, Innen:

V: TermésátlagA: Termelt mennyiségB: Betakarított terület

a)

0

000 B

VBV =2,75 t/ha

=2,434 t/ha

0

00

1

11 :B

VB

B

VBI =2,434/2,75=0,8851

107

b) Válasszuk a 0. időszakot állandónak:

0

00

1

01 :"B

VB

B

VBI =0,98

a. időszakot választva állandónak I”=0,9838)

c) I=I’*I” I’=I/I”I’=0,8851/0,98=0,903. (Ez természetesen ebben az esetben 1. időszaki súlyozású adat.)

(A 0. időszaki súlyozású I’=0,8851/0,9838=0,8996).

d)I értelmezése:

1998-ra Közép-Dunántúlon a termésátlag lecsökkent az 1997-es évi 88,51%-ára.I” értelmezése:

Ha kiszűrjük azt a hatást, hogy a termésátlagok az egyes megyékben a két évben különböznek, és feltesszük a megyékben ezek mind a két évben megegyeznek az 1997-es termésátlagokkal, akkor megállapíthatjuk, hogy pusztán azért, mert a betakarított terület 1997-ről 1998-ra megyénként megváltozott (eltolódott a kisebb termésátlagú megyék javára), a közép-dunántúli termésátlag 1998-ra 1997-hez képest 2%-kal lecsökkent.

I’ értelmezése:Ha kiszűrjük azt a hatást, hogy a betakarított terület nagysága az egyes megyékben a két év során megváltozott, és feltesszük a megyékben ezek mind a két évben megegyeznek az 1998-as betakarított terület nagyságával, akkor megállapíthatjuk, hogy pusztán azért, mert a megyékben a termésátlag 1997-ről 1998-ra megváltozott (lecsökkent), a közép-dunántúli termésátlag 1998-ra 1997-hez képest 9,7%-kal lecsökkent.

108

13-15 Érték, ár, volumen index, indexsorok, területi indexek

INDEXSZÁMÍTÁS

Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű, közvetlenül nem összesíthető javak összességére vonatkozóan a mennyiségek, az árak időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgálnak.

Jelölések: q = mennyiség p = egységár v = érték = q ∙ p

Az értékben való összesítést aggregálásnak, az összesített értékadatot (∑v) pedig aggregátumnak nevezzük.

EGYEDI INDEXEK: a termékekre számított dinamikus viszonyszámok

értékindexek:

árindexek:

volumenindexek:

ÁR-INDEX

p = egységár

Laspeyres:

Paasche:

Fischer:

Árindex átlagformái

vagy

Árváltozás okozta értékkülönbség(ek)

Általában , mert az értékesített mennyiség összetétele nem azonos a bázis és a tárgyi időszakban.

ÉRTÉK-INDEX

v = érték = q ∙ p

109

Értékindex átlagformái

vagy ahol:

Értékkülönbség

A bázisidőszakról a tárgyidőszakra a … értéke átlagosan … %-kal nőtt/csökkent, ami … (ezer/millió) Ft érték növekedést/csökkenést okozott.

VOLUMEN-INDEX

q = mennyiség

Laspeyres:

Paasche:

Fischer

Volumenindex átlagformái

vagy

Volumenváltozás okozta értékkülönbség(ek)

A bázis időszakról a tárgyi időszakra átlagosan … %-kal nőtt/csökkent az eladott/termelt termékek mennyisége, ami … (ezer/millió) Ft érték növekedést/csökkenést okozott.

110

ÖSSZEFÜGGÉSEK1. Indexek között:

a) egyedi indexek:

b) együttes indexek:

2. Aggregátumok között:

TERÜLETI INDEXEK

A területi indexek két-két terület (város, megye,… ill. ország) adatainak összehasonlításra alkalmazhatók.

A területi volumenindex azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó területen a termelés, értékesítés mennyisége hányszorosa, hányadrésze az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének, értékesítésének.

A területi árindex azt mutatja meg, hogy az egyik területen kialakult árszínvonal milyen arányban áll a másik terület árszínvonalával. A területi értékindexet nem értelmezzük!!!

A különböző súlyozású indexformulák eredményei között lényegesen nagyobbak lehetnek az eltérések, ezért főképpen a Fisher-féle indexet használjuk.

Időbeli összehasonlításnál a „0” és „1” nem cserélhető fel, míg területinél az „A” és „B” igen! Ebből következik, hogy az I…(A/B) a reciproka az I…(B/A) -nak! A területi indexeket számíthatjuk azonos, ill. különböző valuták esetén.

Különböző valutákban történő összehasonlításkor az árindex nem fejezhető ki százalékos formában (mert a számláló és a nevező mértékegysége nem azonos). Az így számított árindex azt fejezi ki, hogy a két ország valutá-jának vásárlóereje milyen arányban áll egymással a vizsgált termékek körében, azaz megmutatja, hogy egy adott (a bázisul szolgáló) ország egy egységnyi valutája a másik (összehasonlítandó) ország hány valutájával egyenlő az összehasonlított termékek körében. (Ezt az indexet gyakran vásárlóerő-paritásnak is nevezik.)

111

Példa

Az alábbi táblázat egy gyümölcsexportáló cég almafelvásárlására vonatkozó adatait tartalmazza 1994 és 1995 évekre.

AlmafajtaFelvásárolt mennyiség,

ezer tonnaFelvásárlási egységár,

Ft/kg1995 1994 1995 1994

Minőségi alma 1550 1200 25 30Léalma 300 450 10 13Mind        

a) Értelmezze az érték-, ár- és a volumenindexeket!b) Mutassa ki az indexek közötti szorzatos összefüggést!c) Mutassa be különbségmutatókkal a mennyiség- és árváltozás hatását!

Megoldás

Almafajta

Felvásárolt mennyiség, ezer

tonna

Felvásárlási egységár, Ft/kg

Árbevétel, millió Ft

Fiktív árbevétel, millió Ft

1995 1994 1995 1994 1995 1994q1 q0 p1 p0 q1 p1 q0 p0 q1 p0 q0 p1

Minőségi alma

1550 1200 25 30 38750 36000 46500 30000

Léalma 300 450 10 13 3000 5850 3900 4500Mind 41750 41850 50400 34500

Értékindex:

=41750/41850=0,9976. Kv=41750-41850=-100 MFt

Az árbevétel 1995-re 1994-hez képest lecsökkent 0,24 %-kal.

Árindex:Paasche árindex:

01

111

pq

pqI p

=41750/50400=0,828 Kp1=41750-50400=8650 MFt

Ha mindkét évben a 1995 évi mennyiségeket értékesítettük volna, akkor pusztán az árváltozások miatt az árbevétel 17,2%-kal csökkent volna.

Laspeyres árindex:

=34500/41850=0,824 Kp0=34500-41850=-7350 MFt

Ha mindkét évben az 1994 évi mennyiségeket értékesítettük volna, akkor pusztán az árváltozások miatt az árbevétel 17,6 %-kal csökkent volna.

112

Volumen index:Laspeyres volumneindex:

=50400/41850=1,204 Kq0=50400-41850=8550 MFt

Ha mindkét évben az 1994 évi árakon értékesítettünk volna, akkor pusztán az értékesített mennyiség változása miatt az árbevétel 20,4 %-kal megnőtt volna.

Paasche volumenindex:

=41750/34500=1,210 Kq1=41750-34500=7250 MFt.

Ha mindkét évben a 1995 évi árakon értékesítettünk volna, akkor pusztán a mennyiség változása miatt az árbevétel 21,0 %-kal megnőtt volna.

a) Iv = Iq0 * Ip

1= Ip0 Iq

1

0,9996=0,828*1,2040,9976=0,824*1,210

b)Kv =41750-41850=-100 MFtKp

1=41750-50400=8650 MFt Kq0=50400-41850=8550 MFt

Kp0=34500-41850=-7350 MFt Kq

1=41750-34500=7250 MFtKv = Kq

0 * Kp1= Kp

0 Kq1

113

GYAKORLÓ FELADATOK

1. Feladat

Az alábbi táblázat a hazai agrárkülkereskedelem egyes termékcsoportjainak export adatait tartalmazza 2001 és 2002 év vonatkozásában.

TermékExportált mennyiség,

ezer tonnaExport árbevétel,

milliárd Ft2001 2002 2001 2002

Burgonya 2,9 5,3 0,1 0,2hagymafélék 22,9 13,4 1,5 1,1

Káposztafélék 14 14 1,8 1,4Mind        

a) Hogyan alakult az árbevétel reálértéke 2001-ről 2002-re, ha az élelmiszerek fogyasztói árindexe az előző évhez képest 105,4% volt?

b) Határozza meg az érték-, ár-, és volumenindexeket, értelmezze a kapott eredményeket!

Megoldás

Termék

Exportált mennyiség, ezer

tonna

Export árbevétel, milliárd Ft

Export ár (ezer Ft /Kg), Árbevétel/mennyiség

Fiktív árbevételek

2001 2002 2001 2002 2001 2002q0 q1 q0p0 q1p1 p0 p1 q0p1 q1p0

Burgonya 2,9 5,3 0,1 0,2 0,03 0,04 0,11 0,18hagymafélék 22,9 13,4 1,5 1,1 0,07 0,08 1,88 0,88

Káposztafélék 14 14 1,8 1,4 0,13 0,10 1,40 1,80Mind 3,4 2,7 3,39 2,86

a)Értékindex:

=2,7/3,4=0,794 Kv=2,7-3,4=-0,7

Az export árbevétel 2001-ről 2002-re 10,6%-kal (0,7 milliárd forinttal) csökkent.

Paasche árindex:

01

111

pq

pqI p

=2,7/2,86=0,944 Kp1=2,7-2,86=-0,16

Ha mindkét évben a 2001 évi mennyiségeket értékesítettük volna, akkor pusztán az árváltozások miatt az árbevétel 5,6%-kal (0,16 milliárd forinttal) csökkent volna.

Laspeyres volumneindex:

=2,86/3,4=0,841 Kq0=2,86-3,4=-0,54

Ha mindkét évben a 2000 évi árakon értékesítettünk volna, akkor pusztán az értékesített mennyiség változása miatt az árbevétel 15,9 %-kal (0,61 milliárd forinttal) csökkent volna.

114

Vagy: Laspeyres árindex:

=3,39/3,4=0,997 Kp0=3,39-3,4=-0,01

Ha mindkét évben a 2000 évi mennyiségeket értékesítettük volna, akkor pusztán az árváltozások miatt az árbevétel 0,003%-kal (0,01 milliárd forinttal) csökkent volna.

Paasche volumenindex:

=2,7/3,39=0,797 Kq1=2,7-3,39=-0,69

Ha mindkét évben a 2001 évi árakon értékesítettünk volna, akkor pusztán a mennyiség változása miatt az árbevétel 20,03 %-kal (0,69 milliárd forinttal) csökkent volna.

Iv = Iq0 * Ip

1= Ip0 Iq

1

0,794=0,944*0,8410,794=0,997*0,797

Kv = Kq0 * Kp

1= Kp0 Kq

1

-0,7=-0,16+-0,54-0,7=-0,01+-0,69

b) Reálérték változás: =2,7/3,4/1,054=75,3%

115

2. FeladatEgy vállalkozás termelési és árbevétel adataiból a következők ismertek:

Termék 2002 2004Mennyiség (hl) Árbevétel (eFt) Mennyiség (hl) Árbevétel (eFt)

A 7.500 80.000 3.700 41.000B 10.000 110.000 7.000 82.000C 50.000 470.000 58.000 600.000

Feladat:a) Számítsa ki és értelmezze az árindexet- termékenként- a termékek összességére b) Hogyan változott a termelés mennyisége átlagosan?c) Elemezze az értékesítés alakulását!

Megoldás

116

3. Feladat

A piacon egy árus két árujára vonatkozóan az alábbi adatok álltak rendelkezésre:Termék fajtája Terv Tény

Mennyiség Ár (Ft/kg) Mennyiség Ár (Ft/kg)Paradicsom (kg) 280,0 180 310,0 57Őszibarack (kg) 3,0 5 650 3,1 5 700

Feladat:a) Számítsa ki hogyan változott:1. Az eladási érték termékenként külön-külön és a két termékre együttesen!2. Az értékesítés volumene termékenként külön-külön és a két termékre együttesen!3. Az eladási ár termékenként külön-külön és a két termékre együttesen!b) Állapítsa meg, mekkora volt a bevételváltozás az ár-, illetve a volumenváltozás miatt!c) Mutassa be az érték-, ár- és volumenindex közötti összefüggést!

117