近代物理實驗

實驗一

Stefan-Boltzmann’s Law of Radiation

第八組

9912002 陳俞亘

9912034 陳俐卉

一、實驗目的

驗證熱輻射定律 𝑈𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚 ∝ 𝑇4。

二、實驗原理

1859 年，德國物理學家 Kirchhoff 提出了輻射定律（law of radiation），

指出在確定的溫度下，物體對輻射能之放射率或吸收率與表面之性質有關。而黑

色物質對輻射能具有較大的吸收能力。如果一個物體在任何溫度下都能完全吸收

任何頻率的輻射能，那麼這個物體便稱為黑體（blackbody）。當然，實際上並

不可能得到一個完全黑體。但在實驗上，我們可以用一個開了一個小孔的空腔來

近似一個完全黑體。當外界輻射能經由小孔射入空腔後，此輻射線經過多次反射，

幾乎無機會再由小孔出射，故可視為輻射能被空腔所完全吸收。若加熱此空腔至

某一溫度，觀察由小孔之出射光譜，該光譜與在同一溫度之黑體之吸收光譜應該

完全相同。

1879 年，J.Stefan 由實驗結果歸納而得到：空腔輻射體單位時間內輻射的

總能量，即輻射功率（R）與空腔輻射體的絕對溫度（T）之四次方成正比，即

𝑅 = 𝜎𝑇4

𝜎 = 5.67 × 10−8(Watt ∙ m−2𝐾−4)稱為史帝芬常數（Stefan constant），為實

驗決定出來的經驗常數。五年之後，即 1884 年，波茲曼以熱力學的觀點從理論

直接導出該式，後來這個式子就叫做史帝芬-波茲曼定律（Stefan-Boltzmann

law）。

普朗克黑體輻射定律（也簡稱作普朗克定

律或黑體輻射定律）（Planck's law,

Blackbody radiation law）是用於描述在任意

溫度下，從一個黑體中發射的電磁輻射的輻射

率與電磁輻射的頻率的關係公式。這裡輻射率

是頻率的函數：

𝑑𝐿(𝜆, 𝑇)

𝑑𝜆=

2𝑐2ℎ𝜆−5

𝑒ℎ𝑐

𝜆𝑘𝑡 − 1

− − − − − − − − − − − (1)

𝑐 = 𝑐𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑡 = 3.00 ∙ 108 [𝑚

𝑠]

ℎ = 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐𝑘 ′𝑠𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 6.62 ∙ 10−34 [𝐽 ∙ 𝑠] 𝑘 = 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛′𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 1.381 ∙ 10−23[𝐽𝐾−1]

式(1)的積分，從波長𝜆 = 0到𝜆 = ∞的 L(T)

𝐿(𝑇) =2𝜋 5

15∙

𝑘4

𝑐2ℎ3∙ 𝑇4 − − − − − − − − − − − (2)

這裡的L(T) = 𝜎𝑇4，𝜎 = 5.67 × 10−8[W ∙ m−2 ∙ 𝐾−4]

「黑體」指的是，「該物體能夠吸收所有照射到物體的電磁輻射，沒有任何

的輻射能夠穿透該物體—透射或自物體反射出來」，因為物體不會反射任何的電

磁波（光），自然看起來是黑色的，這也就是為何物體稱之為黑體的由來。一般

物體都不是標準的黑體，因為一般物體並不會完全吸收外來的輻射，科學家稱之

為灰體（gray body）。

欲證明史蒂芬波茲曼定律，我們量測從燈泡的燈絲發射出來的輻射，視為近

似點狀的高溫熱輻射源，可以作為實驗的理想熱輻射源。首先，先固定燈絲到熱

感應器(thermopile)的距離，量測 energy flux 𝜙，會與 L(t)成比例。

𝜙 ∝ 𝐿(𝑡)

因此我們又可以寫成

𝑈𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚 ∝ 𝑇 4

記得溫度是以凱氏溫標計算。因為我們是在室溫下量測，所以上式改寫成

𝑈𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚 ∝ (𝑇 4 − 𝑇𝑅4)

我們可以忽略𝑇𝑅4的影響，對兩邊取對數，可得到

ln 4ln .U T const

所以我們可以得到一個直線斜率為 4的實驗結果

鎢絲燈電阻公式：

R(t)=R0 (1+ 2t t ) − − − − − − − − − − − − (3)

其中，R0 = 0°C 時的電阻， 3 14.82 10 K ， 7 26.76 10 K

在 0°C 時的 R0可以用下面公式計算得出：

0 2

( )

1

R

R R

R tR

t t

− − − − − − − − − − − − −(4)

其中 Rt 為室溫。

利用式(4)求出 R0，然後代入式(3)求出的燈絲溫度，

最後根據 273T t 得到：

2

0

1 ( )273 4 1

2

R tT

R

− − − − − − − − (5)

lnU

lnT

三、實驗儀器

編號 儀器名稱 數量

1 電源供應器 1

2 燈泡 1

3 燈泡插座 1

4 光學軌道 1

5 放大器 1

6 熱感應器 1

7 三用電表 3

8 接線 8

9 82Ω電阻 1

四、實驗步驟

測量 R0

1. 將實驗儀器接好，如下圖。

2. 由電源供應器輸出電壓，

紀錄安培計與伏特計量到的 I 與V 。

(注意：安培計要轉到 DC)

3. 利用 I 與V ，算出 0R 。

測量 R(t)，並驗證史帝芬-波茲曼定律

1. 將實驗儀器接好，如下圖。

2. 由電源供應器輸出電壓，

紀錄安培計與伏特計量到的 I 與V 和熱感應器量到的 ( )U V 。

(注意：電壓不可超過 6V，否則燈泡會燒壞。)

3. 利用 I 與V ，算出 ( )R t 。

再利用 ( )R t 算出T。

4. 利用U與T，驗證史帝芬-波茲曼定律。

五、實驗數據與分析

測量 R0

理論上 R0是當 T=0°C 時，測到的電阻。但我們實驗上無法在 T=0°C 的環

境下做實驗，因此我們測得的 R0是室溫下的電阻。不過 T=0°C 實測到的 R0和

室溫下測到的 R0相差不遠，所以我們直接以室溫下的 R0來計算。

我覺得”82Ω電阻”會接觸不良，因為我們第一次做的時候，算出來的電阻

0 0.59R ，非常大。接了很多次，結果都是如此。後來第二次再做的時候，才終

於測到比較小的電阻。

由歐姆定律：V IR ，算出 R0

I(A) V(V) R0(Ω)

0.06 0.01 0.16667

0.13 0.03 0.23077

0.18 0.04 0.22222

0.28 0.06 0.21429

0.31 0.07 0.22581

0.35 0.08 0.22857

平均： 0 0.214R

測量 R(t)，並驗證史帝芬-波茲曼定律

由歐姆定律：V IR ，算出 R(t)

由公式(5)： 2

0

1 ( )273 4 1

2

R tT

R

，可算出燈泡的溫度 T(K)

其中： t 室溫(K)， 3 14.82 10 K ， 7 26.76 10 K

I(A) V(V) R(t)(Ω) T(K) U(V) U(mV) lnT lnU

0.28 0.05 0.1785714 237.899 0.46 460 5.472 6.131

0.86 0.53 0.6162791 641.910 0.46 460 6.464 6.131

1.81 1.00 0.5524862 585.650 0.46 460 6.373 6.131

2.45 1.83 0.7469388 754.702 0.78 780 6.626 6.659

2.86 2.37 0.8286713 823.686 1.24 1240 6.714 7.123

3.15 2.96 0.9396825 915.571 1.65 1650 6.820 7.409

3.35 3.30 0.9850746 952.569 2.06 2060 6.859 7.630

3.85 4.26 1.1064935 1049.987 3.06 3060 6.957 8.026

4.07 4.77 1.1719902 1101.640 3.80 3800 7.005 8.243

4.35 5.31 1.2206897 1139.656 4.96 4960 7.038 8.509

4.54 5.64 1.2422907 1156.415 5.65 5650 7.053 8.639

4.63 5.97 1.2894168 1192.758 6.15 6150 7.084 8.724

算出來的斜率為 3.8134，近似於 4。

故可驗證史帝芬-波茲曼定律。

y = 3.8134x - 18.423

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

6.20 6.40 6.60 6.80 7.00 7.20

lnU

lnT

lnU - lnT

lnU-lnT

線性(lnU-lnT)

修正

本來公式(5)是 2

0

1 ( )273 4 1

2

R tT

R

但我們實際上測的 R0是室溫下的電阻

因此把公式修正為

2

0

1 ( )4 1

2

R tT t

R

− − − − − − − − (6)

其中： t 室溫(K)， 3 14.82 10 K ， 7 26.76 10 K

由式(6)，可算出燈泡的溫度 T(K)

I(A) V(V) R(t)(Ω) T(K) U(V) U(mV) lnT lnU

0.28 0.05 0.1785714 265.499 0.46 460 5.582 6.131

0.86 0.53 0.6162791 669.510 0.46 460 6.507 6.131

1.81 1.00 0.5524862 613.250 0.46 460 6.419 6.131

2.45 1.83 0.7469388 782.302 0.78 780 6.662 6.659

2.86 2.37 0.8286713 851.286 1.24 1240 6.747 7.123

3.15 2.96 0.9396825 943.171 1.65 1650 6.849 7.409

3.35 3.30 0.9850746 980.169 2.06 2060 6.888 7.630

3.85 4.26 1.1064935 1077.587 3.06 3060 6.982 8.026

4.07 4.77 1.1719902 1129.240 3.80 3800 7.029 8.243

4.35 5.31 1.2206897 1167.256 4.96 4960 7.062 8.509

4.54 5.64 1.2422907 1184.015 5.65 5650 7.077 8.639

4.63 5.97 1.2894168 1220.358 6.15 6150 7.107 8.724

由上圖可以發現：

算出來的斜率為 3.9406，比未修正前的斜率 3.8134，更近似於 4。

故可驗證史帝芬-波茲曼定律。

y = 3.9406x - 19.411

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

6.20 6.40 6.60 6.80 7.00 7.20

lnU

lnT

lnU - lnT

lnU-lnT

趨勢線