Sterowanie Napędów Maszyn i Robotó · Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, ... Transmitancja

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wykład 4b - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesemtrwałym

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wstęp

Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymielementami wykonawczymi w układach regulacji.

Zalety:

duży moment obrotowy,

dobra sprawność,

małe wymiary.

Wady:

iskrzenie (zakłócenia przemysłowe),

zużywanie się szczotek komutatora.

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szeregsilników prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących siębardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.


Budowa i działanie silnika elektrycznego DC

Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym

Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutekoddziaływania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polemmagnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.




W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetycznewytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone wnieruchomej obudowie silnika zwanej stojanem.




Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojeniaskładające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem.Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiałuferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prąduprzepływającego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.




Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektorystrumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebieprostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramkiuzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunkuprzepływającego prądu.




Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki,wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typuobwodem sterowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięciazasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego atym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianęprędkości kątowej wirnika.



Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwoduwirnika

parametry elektryczne

Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika,Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjnośćzastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ωs –prędkość kątowa wirnika.



Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwoduwirnika

parametry mechaniczne

Ms – moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B –współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – momentbezwładności zredukowany do wału wirnika, iw – prąd płynący wuzwojeniach wirnika, Mobc – stały moment obciążenia silnika.



Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależnościpomiędzy napięciem zasilającym silnik (Uz ) a prędkością kątową silnika(ωs).

Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnikamożna napisać dwa równania modelujące jego działanie.

Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa możnanapisać równanie elektryczne silnika

Uz = URw + ULw + E (1)

Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentówprzeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako

Ms = Ma + Mv + Mobc (2)


Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne

Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prąduprzez niego płynącego

URw = Rw iw (3)

Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne dozmian prądu przez nią płynącego (straty w obwodzie magnetycznymzostały tutaj pominięte)

ULw = Lwdiwdt

(4)

Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jestsiła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jestproporcjonalna do prędkości kątowej wirnika

E = keωs (5)

gdzie: ke – stała elektryczna, zależna m.in. od strumieniamagnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.

Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania (10), otrzymamy

Uz = Rw iw + Lwdiwdt

+ keωs (6)


Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne

Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, momentobrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik mapostać

Ms = kmiw (7)

gdzie km – stała mechaniczna, zależna m.in. od strumieniamagnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.

Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać

Ma = Jdωs

dt(8)

Moment związany z oporami ruchu wirnika

Mv = Bωs (9)

Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania (10)

kmiw = Jdωs

dt+ Bωs + Mobc (10)


Równanie dynamiki silnika DC

Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DCUz = Rw iw + Lw

diwdt

+ keωs

kmiw = Jdωs

dt+ Bωs + Mobc

(11)

stosując przekształcenie Laplace’aUz (s) = Rw iw (s) + Lw iw (s)s + keωs(s)kmiw (s) = Jdωss + Bωs(s) + Mobc

(12)

a następnie iw (s) =

Uz (s)− keωs(s)

Rw + Lw s

iw (s) =Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

km

(13)

czyliUz (s)− keωs(s)

Rw + Lw s=

Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

km(14)



mającUz (s)− keωs(s)

Rw + Lw s=

Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

km(15)

można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkośćkątową wirnika

kmUz (s)− kmkeωs(s) = (Rw + Lw s)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc ) (16)

Rysunek : Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwoduwirnika



Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego zmagnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:

Mobc = 0 (17)

co daje transmitancję operatorową postaci

G (s) =ωs

Us(s)=

km

LwJs2 + (RwJ + LwB)s + (kmke + RwB)(18)

Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakterukładu oscylacyjnego.



Aby móc przeprowadzić numeryczną symulację działania silnika należyzdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe).

Załóżmy, że:

Rw = 2 Ω,

J = 0.1kgm2

s2,

Lw = 0.1 H,

B = 0.5Nms

rad,

ke = 0.1V s

rad,

km = 0.1Nm

A,


Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne

Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego,poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu wprzestrzeni stanów z czasem ciągłym

X (t) = AmcX (t) + BmcU(t)y(t) = CmcX (t) + DmcU(t)

(19)

gdzie: X (t) ∈ Rn - wektor stanu, U(t) ∈ Rm - wektor sygnałówsterujących, y(t) ∈ Rp - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałówwyjściowych, Amc ∈ Rn×n - macierz stanu Bmc ∈ Rn×m - macierzsterowania, Cmc ∈ Rp×m - macierz wyjścia.

Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnychzmiennych fizycznych.

Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, żekolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przyzałożeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,ciągłego układu dynamicznego.



Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawieukładu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC

Uz = Rw iw + Lwdiwdt

+ keωs

kmiw = Jdωs

dt+ Bωs + Mobc

(20)

po przekształceniudiwdt

= − ke

Lwωs −

Rw

Lwiw +

1Lw

Uz

dωs

dt= −B

Jωs +

km

Jiw −

1JMobc

(21)

można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań

Xfiz =

[iwωs

],Ufiz =

[Uz

Mobc

](22)



Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, zwykorzystaniem wektora stanu i sterowań:

Xfiz =

[iwωs

],Ufiz =

[Uz

Mobc

](23)

jest następującyXfiz =

−Rw

Lw− ke

Lwkm

J−B

J

Xfiz +

1Lw

0

0 −1J

Ufiz

Y =[

0 1]Xfiz +

[0 0

]Ufiz

(24)

Xfiz = AfizXfiz + BfizUfiz

Y = CfizXfiz + DfizUfiz(25)


Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Mając transmitancję operatorową postaci

G (s) =ωs

Us(s)=

km

LwJs2 + (RwJ + LwB)s + (kmke + RwB)(26)

stosując następujące podstawienia

kω20 =km

LwJ, 2ξω0 =

RwJ + LwB

LwJ, ω20 =

kmke + RwB

LwJ(27)

można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego

G (s) =Y (s)

U(s)=

k

T 2s2 + 2ξTs + 1(28)

G (s) =Y (s)

U(s)=

kω20s2 + 2ξω0s + ω20

(29)

gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0 - pulsacja drgańnietłumionych.



Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej

G (s) =kω20

s2 + 2ξω0s + ω20(30)

Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następującerównania stanu

x1(t) = x2(t)x2(t) = −ω20x1(t)− 2ξω0x2(t) + u(t)

(31)

równanie wyjściay(t) = kω0x1(t) (32)



Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:

Xfaz =

[x1x2

],Ufaz = Uz (33)

jest następujący Xfaz =

[0 1−ω20 −2ξω20

]Xfaz +

[01

]Ufaz

Y =[kω20 0

]Xfaz + [0]Ufaz

(34)

˙Xfaz = Afaz (t)Xfaz + Bfaz (t)Ufaz (t)

Y = CfazXfaz + DfazUfaz(35)


Człon oscylacyjny - właściwości

Transmitancja operatorowa

G (s) =Y (s)

U(s)=

k

T 2s2 + 2ξTs + 1(36)

G (s) =Y (s)

U(s)=

kω20s2 + 2ξω0s + ω20

(37)

Odpowiedź skokowa

y(t) = L−1[ust

1s

kω20s2 + 2ξω0s + ω0

]= kust

[1− 1√

1− ξ2e−ξω0t sinω0

√1− ξ2t + φ

] (38)

φ = arctg

√1− ξ2ξ

(39)



Rysunek : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego



Transmitancja widmowa

G (jω) =kω20[(ω

20 − ω2)− j2ξω0ω]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(40)

Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa


Człon oscylacyjny

Transmitancja widmowa

G(jω) =kω20 [(ω

20 − ω

2)− j2ξω0ω]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(41)

P(jω) =kω20 [(ω

20 − ω

2)]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(42)

Q(jω) = −k[2ξω30ω]

(ω20 − ω2)2 + (2ξω0ω)2(43)

Rysunek : Logarytmicznecharakterystyki amplitudowa i fazowa


Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wykład 4b - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesemtrwałym

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016


Documents

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotó · Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, ... Transmitancja