· stožac jest tijelo izgra đeno od dužina koje povezuju vrh stošca smješten to čno iznad središta njegove kružne baze, s to čkama njegove kružne baze. Pravac odre đen

1

Zadatak 081 (Ivana gimnazija)

Polumjer osnovke stošca dugačak je 6 cm a visina stošca iznosi 12 cm Stranice trokuta čija je

ravnina paralelna s ravninom osnovke stošca diraju plašt stošca Na kojoj su udaljenosti ravnina

trokuta i ravnina osnovke stošca ako su duljine stranica trokuta 5 7 i 8 cm

Rješenje 081

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Stožac je rotacijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne njegove katete Uspravni

stožac jest tijelo izgrađeno od dužina koje povezuju vrh stošca smješten točno iznad središta njegove

kružne baze s točkama njegove kružne baze

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta

Formule za površinu trokuta glase

bull P r s= sdot

gdje je r polumjer upisane kružnice trokutu a s poluopseg trokuta

2

a b cs

+ +=

bull ( ) ( ) ( ) Heronova formulaP s s a s b s c= sdot minus sdot minus sdot minus

gdje su a b i c duljine stranica trokuta a s poluopseg trokuta

2

a b cs

+ +=

Sličnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 1

1 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Prvi poučak sličnosti (K ndash K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta

Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su

proporcionalne

Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne

Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K)

2

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici

Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

d

R

r

v

x

V

EP

DS

C

BA

Sa slike vidi se

12 6 VS v VP x PS d SD R PE r= = = = = = =

Budući da je ravnina trokuta ABC usporedna s ravninom osnovke stošca njezin presjek sa stošcem je

kružnica polumjera r Ona je upisana trokutu ABC pa joj polumjer r možemo izračunati na sljedeći način

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P r sr s s s a s b s c

P s s a s b s c

= sdotrArr sdot = sdot minus sdot minus sdot minus rArr

= sdot minus sdot minus sdot minus

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

s s a s b s c

r s s ss

a s b s c rs

sdot minus sdot minus sdot minusrArr sdot = sdot minus sdot minus sdot minus =sdot rArr

Najprije izračunamo poluopseg s trokuta ABC

5 7 85 7 8 20

102

20

2 22

a b c

s s s s cma b cs

= = =+ +

rArr = rArr = rArr = rArr =+ +=

Polumjer r kružnice je

3

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

10 5 7 810 10 5 10 7 10 8 10 5 3 2

10 10

s a b c

r rs s a s b s cr

s

= = = =sdot minus sdot minus sdot minus sdot sdot sdot

rArr = rArr = rArrsdot minus sdot minus sdot minus=

djelomično

korjeno

10 10 3 10

vanj

0 3 100 3

10 10 e 10r r r

sdot sdot sdot sdotrArr = rArr = rArr rArr = rArr

1010 3 33

10 10r r r cm

sdot sdotrArr = rArr = rArr =

S D

P E

V

x

v

r

d

Uočimo slične trokute ∆VSD i ∆VPE (imaju jednake kutove) i napišimo razmjer

12 6 3VS VP SD PE v x R r x= rArr = rArr = rArr

6 12 3 6 12 63 2 3 x x x cmrArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Ravnine trokuta ABC i osnovke stošca međusobno su udaljene

( )12 2 3 2 6 3 d PS d VS VP d v x d d cm= rArr = minus rArr = minus rArr = minus sdot rArr = sdot minus

Vježba 081

Polumjer osnovke stošca dugačak je 06 dm a visina stošca iznosi 12 dm Stranice trokuta

čija je ravnina paralelna s ravninom osnovke stošca diraju plašt stošca Na kojoj su udaljenosti

ravnina trokuta i ravnina osnovke stošca ako su duljine stranica trokuta 5 7 i 8 cm

Rezultat ( )2 6 3 d cm= sdot minus

Zadatak 082 (Matija gimnazija)

Duljina hipotenuze pravokutnoga trokuta je 9 cm Izračunajte obujam (volumen) stošca koji

nastaje rotacijom toga trokuta oko katete duljine 4 cm

4

Rješenje 082

Ponovimo


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

2 2 2 2 2 2 2 2 2 c a b a c b b c a= + = minus = minus



kružne baze s točkama njegove kružne baze Pravac određen točkama V i S zove se os stošca Dužinu

AV zovemo izvodnicom stošca i označavamo sa s Ona povezuje vrh stošca s točkom na obodu baze

osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V

Obujam uspravnog stošca s bazom polumjera r i visinom v iznosi

1 2

3V r vπ= sdot sdot sdot

v

rb = r

c = 9a = v = 4

E

Uočimo da je polumjer osnovke nastalog stošca jednak duljini druge katete zadanog trokuta Prema

Pitagorinu poučku dobije se

2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 4 81 16 16 81 81 16 65c a b r r r r r= + rArr = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

Nadalje visina nastaloga stošca jednaka je duljini katete oko koje je rotirao polazni pravokutni trokut

tj

v = 4 cm

Traženi obujam stošca jednak je

1 1 2602 2 36

2 265

4

5 43 3 3

V r v V cm cm V cr cm

v cmmπ π π= sdot sdot sdot rArr rArr = sdot sdot

=sdot rArr =

=sdot

5

Vježba 082



Rezultat 3

112 V cmπ= sdot

Zadatak 083 (Ana gimnazija)

Duljina prostorne dijagonale drvene kocke je 24 cm Iz kocke je izrezan valjak najvećega

mogućega obujma Koliki je obujam toga valjka

3 3 384 3 192 3A cm B cmπ πsdot sdot sdot sdot

3 3 772 1536C cm D cmπ πsdot sdot

Rješenje 083

Ponovimo

( ) ( )1

2

nn m n m n n

a a a a a a a a b a b+

= sdot = = sdot = sdot

Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Kocka (heksaedar) spada u pravilne poliedre Omeđena je sa šest sukladnih strana koje su kvadrati

ima 8 vrhova i 12 bridova Prostorna dijagonala kocke je dužina koja spaja dva vrha koji ne leže na istoj strani Postoje četiri

prostorne dijagonale i one se sve sijeku u jednoj točki

Duljina D prostorne dijagonale kocke dana je formulom

3D a= sdot

pri čemu je a duljina brida kocke

Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze (osnovke) r i visine h imaju jednake obujme (volumene)

Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot

Budući da je zadana duljina prostorne dijagonale kocke možemo izračunati duljinu brida

racio3

nalizacija1

nazivnika33 3

3

DD a a D a D a= sdot rArr sdot = rArr sdot = sdot rArr = rArr rArr

( )[ ]

3 3 3 24 3

2 3 33 33

24D D cmD

a a a aD cmsdot sdot sdot

rArr = sdot rArr = rArr == rArr rArr = rArr

6

24

3

38 3

cma a cm

sdotrArr = rArr = sdot

Iz kocke je izrezan valjak najvećega mogućega obujma

r

v

a

a

a

V

U

C

Y1

Sa slike vidi se

1

2v a r a= = sdot

Obujam valjka iznosi

21 12 2

82 4

3V r v V a a V a cma aπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr rArr= sdot

( ) ( )2 21 1 2 2

8 3 8 3 8 3 8 34 4

V cm cm V cm cmπ πrArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr

1 13 364 3 8 3 64

43 8 3

4V cm V cmπ πrArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr

3 316 3 8 3 384 3 V cm V cmπ πrArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 083

Duljina prostorne dijagonale drvene kocke je 24 dm Iz kocke je izrezan valjak najvećega




Rezultat A

Zadatak 084 (Marija gimnazija)

Čaša u obliku valjka visine 12 cm i promjera 7 cm napunjena je do vrha vodom Na čašu

se postavi posuda u obliku stošca iste visine i promjera kao čaša pa ih se okrene kao na skici pri čemu

dio vode iz čaše ispuni stožac Kolika je visina neispunjenoga dijela čaše Napomena Pri okretanju

posuda nije iscurilo ništa vode

7

3 4 6 8A cm B cm C cm D cm

Rješenje 084

Ponovimo

Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze r i visine h imaju jednake obujme (volumene) Taj obujam

iznosi

2V r hπ= sdot sdot

Obujam uspravnog stošca s bazom polumjera r i visinom h iznosi

3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se

12 2 7 h cm r cm H v h H h v= sdot = + = rArr = minus

Budući da pri okretanju posuda nije iscurilo ništa vode volumen vode pune čaše jednak je zbroju

volumena vode punog stošca i volumena vode dijela čaše visine v

1 12 2 2 2 2 2

3

1

23r h r h r v r h r h

r

r vπ π π π ππ

πsdot sdot = sdot sdot sdot + sdot sdot sdotrArr sdot sdot = sdot sdot sdot + sdotsdot

sdot rArr

1 13 3 3 3 3

3 3h h v h h v h h v h v hrArr = sdot + rArr = sdot + rArr sdot = + sdot rArr + sdot = sdotsdot rArr

2 23 3 3 2 3 2 3 12

3 3v h h v h v h v h v cmrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

8

22 4 8

312v cm v cm v cmrArr = sdot rArr = sdot rArr =

Visina neispunjenoga dijela čaše iznosi

12 8 4 H h v H cm cm H cm= minus rArr = minus rArr =

Odgovor je pod B

Vježba 084



dio vode iz čaše ispuni stožac Kolika je visina neispunjenog dijela čaše Napomena Pri okretanju



Rezultat B

Zadatak 085 (Eugen srednja škola)

Pravokutnik sa stranicama 6 cm i 10 cm zakrene se oko dulje stranice za 150ordm Koliki je

obujam tijela nastalog ovom rotacijom

Rješenje 085

Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom

broju r gt 0 (polumjeru kruga)

Ploština kružnog isječka sa središnjim kutom α dana je formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka

Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam

iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S

Sa slike vidi se da je osnovka (baza) tijela kružni isječak površine

2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα

πsdot sdot sdot sdot sdot=

sdot sdot sdot= rArr rArr = rArr = rArr =

Obujam tijela iznosi

( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm

π ππ =sdot sdot sdot sdotsdot sdot=rArr = sdot rArr rArr = sdot rArr

= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm

π πsdot sdot sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr

2 35 3 10 150 V cm cm V cmπ πrArr = sdot sdot sdot rArr = sdot

Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot

Zadatak 086 (Iva gimnazija)

Spremnik oblika uspravnog valjka polumjera 3 m postavljen je na bazu U spremniku se svaki

sat količina vode poveća za 1500 L Koliko se podigla razina vode u spremniku za 5 sati punjenja

(Napomena 1 L = 1 dm3)

0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka

Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine h imaju jednake obujmove Taj obujam

iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica

Za 5 sati spremnik se napuni sa 75 m3 vode

3 35 1500 7500 7500 75 V L V L V dm V m= sdot rArr = rArr = rArr =

Računamo za koliko se podigla razina vode u spremniku

1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π

= sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr =sdot sdot

sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m

m πrArr rArr = rArr =

sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica

Najprije izračunamo visinu valjka koji ima polumjer baze r = 3 m i obujam 15 m3

3 31500 1500 15 V L V dm V m= rArr = rArr =

1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Dakle za 1 sat razina vode podigne se za 0053 m

Za 5 sati razina vode porast će za

5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086


sat količina vode poveća za 15 hl Koliko se podigla razina vode u spremniku za 5 sati punjenja


0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A


Neka je r polumjer polukugle i osnovice uspravnog stošca Ako su volumeni polukugle i

stošca jednaki kolika je visina stošca

1 2 3

2A v r B v r C v r D v r= sdot = = sdot = sdot

Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle

Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi

3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11

volumen polukugleuvjet

1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ

= sdot sdot sdotsdot sdot

rArr rArr=

sdot sdot sdot = rArrsdot sdot

=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π

sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr sdot sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr = sdot sdot rArr

22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π

sdot sdotrArr = sdot sdot rArr = sdot

sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087

Neka je 2 polumjer polukugle i osnovice uspravnog stošca Ako su volumeni polukugle i


4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A

Zadatak 088 (4B TUPŠ)

Koliko iznosi razmak između dvije susjedne oznake na menzuri ako ona označava 1 cm3 a

unutarnji promjer menzure iznosi 1 cm

Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je

∆V = 1 cm3 2 middot r = 1 cm =gt r = 05 cm ∆h =

Računamo

1

2

2 2 2V r h r h V r h V

r ππ π π∆ = sdot sdot ∆ rArr sdot sdot ∆ = ∆ rArr sdot sdot sdot= ∆

sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ

∆rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm

π πrArr ∆ = rArr rArr ∆ =

sdot

12

2 sdotsdotsdotsdot r

∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ

Zadatak 089 (Tonka maturantica)

Čaša u obliku valjka visine 12 cm i promjera 7 cm napunjena je do vrha vodom Na čašu se

postavi posuda u obliku stošca iste visine i promjera kao i čaša pa ih se okrene kao na skici pri čemu

dio vode iz čaše ispuni stožac

Kolika je visina ispunjenoga dijela čaše

Napomena Pri okretanju posuda nije iscurilo ništa vode


Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2

3V r hπ= sdot sdot sdot


jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica

Uočimo da valjak (čaša) i stožac imaju jednake promjere baze 2 middot r (tj jednake polumjere baze r) i

jednake visine h Pri prelijevanju u posudu oblika stošca stane jedna trećina vode iz čaše (valjka) a u

valjku ostane vode do visine v valjka

1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h

valjak novi valjakstož

r v r h r h r v

ac

π π π π π πsdot sdot = sdot sdot sdot + sdot sdot rArr sdot sdot = sdot sdot sdot + sdot sdot rArr

1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r

r v h h v h v hπ π ππ

sdotrArr sdot sdot = sdot sdot sdot + sdot sdot rArr = sdot + rArr sdot + =sdot

rArr

[ ]121 1

12 123 3

h cv h h v cm cmmrArr = minus sdot rArr rArr = minus sdot= rArr

112 12 412 8

3v cm cm v cm cm v cmrArr = minus sdot rArr = minus rArr =

Odgovor je pod D

2inačica



valjku ostanu dvije trećine vode do visine v valjka

2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h

ππ π π π π πsdot sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot sdot sdot rArr sdot sdot sdot= sdot sdot

sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3

v h v ch cm m v cm v cm v cmrArr = sdot rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr ==

Odgovor je pod D

Vježba 089

Čaša u obliku valjka visine 12 dm i polumjera 35 cm napunjena je do vrha vodom Na čašu

se postavi posuda u obliku stošca iste visine i promjera kao i čaša pa ih se okrene kao na skici pri

čemu dio vode iz čaše ispuni stožac



14


Rezultat D

Zadatak 090 (Domagoj srednja škola)

Zadana su dva stošca Polumjer baze prvog je 4 puta veći od polumjera baze drugog stošca a

visina prvog stošca je 4 puta manja od visine drugog stošca Koliki je omjer volumena prvog i drugog

stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1

n b a bn n na b a b n a

c c

sdotsdot = sdot = sdot =

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b


1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Volumen prvog stošca je

( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r

π π π= sdot sdot sdot rArr rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot

sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2

1 13 3V r v V r vπ πrArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot

Volumen drugog stošca je

1 12 2

22

22 2 23 3

r r

v vV r v V r vπ π= sdot sdot sdot rArr rArr

=

== sdot sdot sdot

Omjer volumen iznosi

15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π

sdot sdot sdot sdot sdot sdot

= rArr = rArr = rArr =


Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A


Presjek uspravnog stošca sa ravninom koja ga raspolavlja i okomita je na bazu stošca je

jednakostraničan trokut površine 3 Volumen stošca iznosi

3 8 3 16 3 8 3 32 3

3 3 3A B C D Eπ π π π π

sdot sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot

Rješenje 091

Ponovimo

( ) 1 b a bn n n n m n m

a b a b a a a a a ac c

sdot+sdot = sdot = sdot = sdot =


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2



Jednakostranični trokut ima tri jednaka kuta α = 60deg i tri jednake stranice

Duljina visine jednakostraničnog trokuta duljine stranice a iznosi

3

2

av

sdot=

Ploština jednakostraničnog trokuta duljine stranice a iznosi

3

2

4

aP

sdot=

16



v = r sdotsdotsdotsdot 3


v = a sdotsdotsdotsdot 3

2

a

a

a

Računamo polumjer baze r

[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P

sdot sdotsdot sdot sdot sdot sdot= rArr rArr = rArr == = rArrsdot rArr

13

2 2 2 23 3 3 3 3 3

3P r r P rP rrArr = sdot rArr sdot = rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr= sdot

2 2

1 1 1 1r r r rrArr = rArr = rArr = rArr =

Volumen stošca iznosi

[ ]31 12 2 3

33 3 3

3 1V r v V rv r r rr Vπ π π= sdot sdot sdot rArr rArr = sdot sdot= sdot =sdot sdot rArr = sdot sdot rArr rArr

3 331

3 3V Vπ πrArr = sdot sdot rArr = sdot

Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17

Zadatak 092 (Matematičko natjecanje srednja škola)

Jednakostranični stožac presječen je ravninom koja prolazi vrhom stošca Presjek te ravnine i

baze stošca je tetiva duljine jednake polumjeru baze Ako je polumjer baze r koliki je obujam manjeg

dijela stošca odsječenog tom ravninom

3 3 213 3

6 4 3 4A r B r

π πsdot sdotsdot minus sdot minus

3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r

π πminus sdot sdotsdot sdot sdot sdot minus

Rješenje 092 (Rješenje je ponudila Laura Župčić gimnazija Bjelovar)

Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0

n a c a d b ca b a b a a a n

b d b d

sdot minus sdotsdot = sdot = ge = minus =

sdot

( )21

a c a c a b a bn m n m

a a a a a a ab d b d n n n

sdot minus+sdot = = sdot = = = minus

sdot

Osnovka ili baza stošca je krug Točku V nazivamo vrhom stošca Visina stošca v udaljenost je vrha

do ravnine baze Plašt stošca opisuju izvodnice VA kad točka A putuje obodom kruga Stožac je

uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze Presjek stošca s ravninom koja prolazi

njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni presjek Ako je stožac uspravan onda su

osni presjeci sukladni jednakokračni trokuti s osnovicom duljine 2 r i krakovima duljine s

(izvodnicama)

Obujam uspravnog ili kosog stošca s površinom osnovice (baze) B i visinom v iznosi

3

1V B v= sdot sdot

Jednakostraničan stožac je stožac kojemu je svaka izvodnica jednaka promjeru baze

osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta)

Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina

18

polumjera označava se slovom r Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane

točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga)

Ako je r polumjer kruga tada je površina kružnog isječka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana

formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Dužina koja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva




jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Osni presjek jednakostraničnog stošca jednakostraničan je trokut duljine stranice 2 middot r

2 sdotsdotsdotsdot r 2 sdotsdotsdotsdot r

r

vv

r


r


Iz Pitagorina poučka slijedi

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 3 3v r r v r r v r v r= sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr

23 3v r v rrArr = sdot rArr = sdot

P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r

Tetiva duljine r (polumjera kružnice) osnovicu (bazu) stošca dijeli na dva dijela površina Po i P1 Za

volumen stošca vrijedi

( )1 1 1 1

1 13 1 3 3 3V B v V P P v V P v P vo oB P Po== sdot sdot rArr rArr = sdot + sdot rArr = sdot sdot ++ sdot sdot

Tetivu možemo promatrati kao stranicu jednakostraničnog trokuta duljine r Središnji kut je 60ordm

Površina kružnog isječka jednaka je šestini površine baze

2 2 2 2

60 6360 36

60 603600

r r r rP P P Pi i i i

πα

π π πα

sdot sdot sdot sdot = sdot rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = =

19

Pi

r

r

600

Budući da je površina kružnog odsječka jednaka razlici površine kružnog isječka i površine

jednakostraničnog trokuta stranice r slijedi

2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o

π ππ sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus sdotsdot= minus rArr = rArr = sdot

Tada je obujam dijela stošca odsječenog ravninom jednak

2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot

= sdot sdot rArr rArr = sdot sdot sdot sdot rArr

sdot minus sdot= sdot

= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ

sdot sdot minus sdotrArr = sdot sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot rArr

3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o

π π π sdot sdot minus sdot sdot sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

33 1

2 9 2

rVo

π sdotrArr = sdot minus

Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip

Zadatak 093 (Petra maturantica)

Koliki je obujam stošca čiji je plašt prikazan na skici

12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1

3V r vπ= sdot sdotsdot

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Opseg kružnice polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina kružnog luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana

formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama

Decimalni broj dijelimo dekadskom jedinicom (10 100 1000 10000 hellip ) tako da mu

decimalnu točku pomaknemo ulijevo za onoliko mjesta koliko dekadska jedinica ima nula

s

r

v

l

l

s = 12 cm

αααα = 147degdegdegdeg

Sa slika vidi se

bull izvodnica stošca je s = 12 cm

bull duljina luka l jednaka je opsegu osnovke stošca

12 147

180 180

s cml l

π α πsdot sdot sdot sdot= rArr = rArr

49

5l cmπrArr = sdot

21

Računamo polumjer r osnovke stošca

2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π

= rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr = rArr

= sdot sdot sdot sdotsdot

49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr =

sdot sdot

Uočimo pravokutan trokut i pomoću Pitagorina poučka odredimo visinu v stošca

r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r

= minus rArr = minus rArr = minus

=

=rArr rArr

( ) ( )2 2

12 49v cm cmrArr = minus rArr13 71

10

v cmsdot

rArr =

Traženi obujam iznosi

( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π

sdot= sdot sdot sdot rArr

=

sdot rArr = sdot sdot=

sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

2

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici

Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

d

R

r

v

x

V

EP

DS

C

BA

Sa slike vidi se

12 6 VS v VP x PS d SD R PE r= = = = = = =

Budući da je ravnina trokuta ABC usporedna s ravninom osnovke stošca njezin presjek sa stošcem je

kružnica polumjera r Ona je upisana trokutu ABC pa joj polumjer r možemo izračunati na sljedeći način

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P r sr s s s a s b s c

P s s a s b s c

= sdotrArr sdot = sdot minus sdot minus sdot minus rArr

= sdot minus sdot minus sdot minus

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

s s a s b s c

r s s ss

a s b s c rs

sdot minus sdot minus sdot minusrArr sdot = sdot minus sdot minus sdot minus =sdot rArr

Najprije izračunamo poluopseg s trokuta ABC

5 7 85 7 8 20

102

20

2 22

a b c

s s s s cma b cs

= = =+ +

rArr = rArr = rArr = rArr =+ +=

Polumjer r kružnice je

3

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

10 5 7 810 10 5 10 7 10 8 10 5 3 2

10 10

s a b c

r rs s a s b s cr

s



djelomično

korjeno

10 10 3 10

vanj

0 3 100 3

10 10 e 10r r r


1010 3 33

10 10r r r cm


S D

P E

V

x

v

r

d






Vježba 081








4

Rješenje 082

Ponovimo


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot




Pitagorin poučak


katetama






osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 2


v

rb = r

c = 9a = v = 4

E





tj

v = 4 cm


1 1 2602 2 36

2 265

4

5 43 3 3



=sdot rArr =

=sdot

5

Vježba 082



Rezultat 3

112 V cmπ= sdot






Rješenje 083

Ponovimo

( ) ( )1

2

nn m n m n n




jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot





3D a= sdot



Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


racio3

nalizacija1

nazivnika33 3

3


( )[ ]

3 3 3 24 3

2 3 33 33

24D D cmD



6

24

3

38 3

cma a cm



r

v

a

a

a

V

U

C

Y1

Sa slike vidi se

1

2v a r a= = sdot


21 12 2

82 4


( ) ( )2 21 1 2 2

8 3 8 3 8 3 8 34 4


1 13 364 3 8 3 64

43 8 3



Odgovor je pod A

Vježba 083





Rezultat A






7


Rješenje 084

Ponovimo


iznosi

2V r hπ= sdot sdot


3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se




1 12 2 2 2 2 2

3

1


r

r vπ π π π ππ


sdot rArr

1 13 3 3 3 3


2 23 3 3 2 3 2 3 12


8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

3

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

10 5 7 810 10 5 10 7 10 8 10 5 3 2

10 10

s a b c

r rs s a s b s cr

s



djelomično

korjeno

10 10 3 10

vanj

0 3 100 3

10 10 e 10r r r


1010 3 33

10 10r r r cm


S D

P E

V

x

v

r

d






Vježba 081








4

Rješenje 082

Ponovimo


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot




Pitagorin poučak


katetama






osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 2


v

rb = r

c = 9a = v = 4

E





tj

v = 4 cm


1 1 2602 2 36

2 265

4

5 43 3 3



=sdot rArr =

=sdot

5

Vježba 082



Rezultat 3

112 V cmπ= sdot






Rješenje 083

Ponovimo

( ) ( )1

2

nn m n m n n




jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot





3D a= sdot



Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


racio3

nalizacija1

nazivnika33 3

3


( )[ ]

3 3 3 24 3

2 3 33 33

24D D cmD



6

24

3

38 3

cma a cm



r

v

a

a

a

V

U

C

Y1

Sa slike vidi se

1

2v a r a= = sdot


21 12 2

82 4


( ) ( )2 21 1 2 2

8 3 8 3 8 3 8 34 4


1 13 364 3 8 3 64

43 8 3



Odgovor je pod A

Vježba 083





Rezultat A






7


Rješenje 084

Ponovimo


iznosi

2V r hπ= sdot sdot


3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se




1 12 2 2 2 2 2

3

1


r

r vπ π π π ππ


sdot rArr

1 13 3 3 3 3


2 23 3 3 2 3 2 3 12


8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

4

Rješenje 082

Ponovimo


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot




Pitagorin poučak


katetama






osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


1 2


v

rb = r

c = 9a = v = 4

E





tj

v = 4 cm


1 1 2602 2 36

2 265

4

5 43 3 3



=sdot rArr =

=sdot

5

Vježba 082



Rezultat 3

112 V cmπ= sdot






Rješenje 083

Ponovimo

( ) ( )1

2

nn m n m n n




jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot





3D a= sdot



Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


racio3

nalizacija1

nazivnika33 3

3


( )[ ]

3 3 3 24 3

2 3 33 33

24D D cmD



6

24

3

38 3

cma a cm



r

v

a

a

a

V

U

C

Y1

Sa slike vidi se

1

2v a r a= = sdot


21 12 2

82 4


( ) ( )2 21 1 2 2

8 3 8 3 8 3 8 34 4


1 13 364 3 8 3 64

43 8 3



Odgovor je pod A

Vježba 083





Rezultat A






7


Rješenje 084

Ponovimo


iznosi

2V r hπ= sdot sdot


3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se




1 12 2 2 2 2 2

3

1


r

r vπ π π π ππ


sdot rArr

1 13 3 3 3 3


2 23 3 3 2 3 2 3 12


8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

5

Vježba 082



Rezultat 3

112 V cmπ= sdot






Rješenje 083

Ponovimo

( ) ( )1

2

nn m n m n n




jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot


0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot





3D a= sdot



Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


racio3

nalizacija1

nazivnika33 3

3


( )[ ]

3 3 3 24 3

2 3 33 33

24D D cmD



6

24

3

38 3

cma a cm



r

v

a

a

a

V

U

C

Y1

Sa slike vidi se

1

2v a r a= = sdot


21 12 2

82 4


( ) ( )2 21 1 2 2

8 3 8 3 8 3 8 34 4


1 13 364 3 8 3 64

43 8 3



Odgovor je pod A

Vježba 083





Rezultat A






7


Rješenje 084

Ponovimo


iznosi

2V r hπ= sdot sdot


3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se




1 12 2 2 2 2 2

3

1


r

r vπ π π π ππ


sdot rArr

1 13 3 3 3 3


2 23 3 3 2 3 2 3 12


8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

6

24

3

38 3

cma a cm



r

v

a

a

a

V

U

C

Y1

Sa slike vidi se

1

2v a r a= = sdot


21 12 2

82 4


( ) ( )2 21 1 2 2

8 3 8 3 8 3 8 34 4


1 13 364 3 8 3 64

43 8 3



Odgovor je pod A

Vježba 083





Rezultat A






7


Rješenje 084

Ponovimo


iznosi

2V r hπ= sdot sdot


3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se




1 12 2 2 2 2 2

3

1


r

r vπ π π π ππ


sdot rArr

1 13 3 3 3 3


2 23 3 3 2 3 2 3 12


8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

7


Rješenje 084

Ponovimo


iznosi

2V r hπ= sdot sdot


3

2r h

Vπsdot sdot

=


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

r r

r r

v

H

h

h

h

h

V

U

Sa slika vidi se




1 12 2 2 2 2 2

3

1


r

r vπ π π π ππ


sdot rArr

1 13 3 3 3 3


2 23 3 3 2 3 2 3 12


8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

8

22 4 8




Odgovor je pod B

Vježba 084






Rezultat B




Rješenje 085

Ponovimo




( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot

Obujam valjka


iznosi V B v= sdot


jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

9

150degdegdegdeg

r

r

v

S

S


2 2 2 2150 5

12360 360

150150

360

r r r rB B B B

π α π πα




( )2 225 5 65

101212 12

6

10

rcmrB

V v V cm

V B v

r cm

v cm


= sdot=

36

1

2 25 36 5

10 101 22

cm cmV cm V cm



Vježba 085



Rezultat 3

300 cmπsdot





0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rješenje 086

Ponovimo

3 3 31 1 1 10 L dm m

minus= = sdot

Obujam valjka


iznosi

2V r hπ= sdot sdot

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

10

1inačica




1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

375

0265 2

3 3

37 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=

Odgovor je pod A

2inačica



1

2

2 2 2

2

VV r h r h V

r

r h V h

r

π π ππ π


sdot rArr

( )

315

0053 2

3 3

31 5 m

hV m

r mh m


sdot

=

=



5 middot 0053 m = 0265 m

Odgovor je pod A

Vježba 086




0265 0795 09 25A m B m C m D m

Rezultat A




1 2 3


Rješenje 087

Ponovimo

Obujam kugle


3

4

3V r π= sdot sdot

Obujam stošca


3

2r v

Vπsdot sdot

=

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

11


1 2volumen sto

1 4 321 2 3 1 4 3

2 2 3 3

2 3šca

V

V rr v

rr

VVv

ππ

ππ


rArr rArr=


=

2 2 21 2 23 3 3

3 3 3 3

4

3 32

r v r v r vr r r

π π ππ π π


22 3

2 3 3

3

2

r vr v r

r

ππ

π


sdotsdot

Odgovor je pod A

Vježba 087



4 2 6 1A v B v C v D v= = = =

Rezultat A




Rješenje 088

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


jedinice

0 1a a n

n nb b n

sdot= ne ne

sdot

Zadano je


Računamo

1

2



sdot∆ rArr

( )

3 31 1 1

2 2 2025 02

25

3

05

V cm cm cmh h h h

r cm cmcmπ π ππ


sdot sdot sdotsdot

proširimo

razlomak s 4

1 4

025

cmh h cm


sdot

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

12


∆∆∆∆h

Vježba 088



Rezultat 8

cmπ








Rješenje 089

Ponovimo


Taj obujam iznosi

2V r hπ= sdot sdot


1 2



jedinice

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

13

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

1inačica




1 12 2 2 2 2 2

3 3r h r h


r v r h r h r v

ac


1 1 11

2

2 2 2

3 3 3r h r h

r



rArr

[ ]121 1

12 123 3


112 12 412 8


Odgovor je pod D

2inačica




2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

1

2r h r v r v r h v

r

r r h


sdotsdot rArr

[ ]2 2 2

112 122 23

4 8 3 3


Odgovor je pod D

Vježba 089






14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

14


Rezultat D




stošca

1 1 1 4 16

4 16A B C D E

Rješenje 090

Ponovimo

( ) 1


c c




1 2



jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


( )1 1 1 1 122 2

4 161 1 1 1 13 3 4

41

1

13 4

4

V r v V r v V r

r

v vv

r


sdot

= sdotrArr

=

164

1 1 42 2



1 12 2

22

22 2 23 3

r r


=

== sdot sdot sdot


15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

15

4 42

431 1 1 1 41 12 1

2 2 2 2

2

3

2

33

r vV V V V

V V V Vr

r v

rv vπ

π π

π




Odgovor je pod B

Vježba 090



stošca

1 1 3 6 9

3 9A B C D E

Rezultat A




3 8 3 16 3 8 3 32 3



Rješenje 091

Ponovimo





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot


1 2





3

2

av

sdot=


3

2

4

aP

sdot=

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

16






2

a

a

a


[ ]( )

22 2 22 33 4 3 3

4 4 4

42

4

ra r raP Pr P P


13

2 2 2 23 3 3 3 3 3


2 2



[ ]31 12 2 3

33 3 3


3 331


Odgovor je pod C

Vježba 091

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

17





3 3 213 3

6 4 3 4A r B r


3 3 3 31 1 13 3

2 9 2 9 2C r D r



Ponovimo

( ) n n n

a b a bsdot = sdot

2

1 0


b d b d


sdot

( )21




sdot






(izvodnicama)


3

1V B v= sdot sdot


osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V




3

2

4

aP

sdot=



Pitagorin poučak


katetama



18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

18




formulom

( )2

360

rP

πα α

sdot= sdot





jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot



r

vv

r


r



( )22 2 2 2 2 2 2 2 2



P1

Po

r

60degdegdegdeg

r

r



( )1 1 1 1




2 2 2 2

60 6360 36

60 603600


πα

π π πα


19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

19

Pi

r

r

600



2 2 223 2 3 3 2 3 32

6 4 12 12

r r rrP P P ro o o



2 3 32

12

3

2 3 31 1 23

3 3 12

P ro

v r

V P v V r ro o oπ

π sdot minus sdot



= sdot

( )( )

23 2 3 3 31 3

2 3 3 336 2 18

rV r Vo o

ππ


3 3 32 3 9 2 3 39

2 18 2 18 18 2

2 9

18 18

r r rV V Vo o o


33 1

2 9 2

rVo


Odgovor je pod D

Vježba 092

Odmor

Rezultat hellip



12 cm

147degdegdegdeg

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

20

3 3 3 3 27542 30212 61969 73867A cm B cm C cm D cm

Rješenje 093

Ponovimo





osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V


2

1




2 O r π= sdot sdot


formulom

( )80

1

rl

π αα

sdot sdot=




Pitagorin poučak


katetama



s

r

v

l

l

s = 12 cm


Sa slika vidi se



12 147

180 180

s cml l


49

5l cmπrArr = sdot

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

21


2 2 22

1

22

l O ll r r l r l r

O rπ

ππ π

π π



49 49

495 5 49 2 2 10

r r r r cm

π

π

π

π


sdot sdot


r

sv

2 2 2 2 122 2 2

2

4 9v s r v s r v s

cmr

s cm

r


=

=rArr rArr

( ) ( )2 2


10

v cmsdot

rArr =


( )4

13 711 1 2249

3 3 10

9

13 71

10

r cm

v cV r v V cm

mcmπ π


=


sdot rArr

rArr3

27542 V cmrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 093

Odmor

Rezultat hellip

Documents

· stožac jest tijelo izgra đeno od dužina koje povezuju vrh stošca smješten to čno iznad središta njegove kružne baze, s to čkama njegove kružne baze. Pravac odre đen