Stochastic Sampling als Messprinzip - nambis.bplaced.denambis.bplaced.de/download/pres/SS_Goettingen_2008.pdf · H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 1 Stochastic Sampling

H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 1

Stochastic Samplingals Messprinzip

Holger Nobach

Max-Planck-Institut für Dynamik und SelbstorganisationGöttingen

Physikalisches Kolloquium der Universität Göttingen13.10.2008


Inhalt

Stochastic Sampling Unregelmäßige Abtastung


Inhalt


gewollt natürlich


Inhalt


gewollt natürlich

Vorteil Nachteil


Stationen

, Universität Rostock– Studium Elektrotechnik, Diplom– Promotion Messtechnik

, Dantec Measurement Technology, Kopenhagen– DFG-Postdoc-Programm

, TU Darmstadt– Forschung: Strömungsmesstechnik– Lehre: Messtechnik, Signale und Systeme– Habilitation im Fachbereich Maschinenbau

, Cornell University– Forschung: Strömungsmesstechnik

, Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation, Göttingen– Forschung: Strömungsmesstechnik, Turbulenz, Windkanal– Lehre: Optische Messtechnik


Turbulenzforschung

mikroskopisch

Navier-Stokes-Gleichungen


Turbulenzforschung

makroskopischmikroskopisch


1mm

100m


Turbulenzforschung

Turbulenzmodelle




Turbulenzforschung

Experimentelle Verifikation, Experiment, Messtechnik, Statistische Verfahren

Turbulenzmodelle




Re=;v L7

&7000 000


f-Korrelation

g-Korrelation

E~4" 881 5

"53

TurbulenzspektrumR~1"4 x

x1 52

R~1"4 xx2 5

23

R~exp 4" xx3 5

R~1"4 xx1 5

2

R~exp 4" xx3 5

E~4" 881 5

"53

Messpunkte

Messrichtung

Messpunkte

Messrichtung


Hitzdrahtanemometrie

Anströmung Heiz- / Fühlerelement(Draht)

Abströmung

Wärmeabgabe Strom I

Sensor (dünner Draht:1mm lang 5µm dick)

Stifte (Kontakte und Halterung für den Draht)


Sensor VorverstärkerAnpassung

TP

Analoges Filter:- Anti-Aliasing- Rauschunterdrückung

ADU

AD-Umsetzer:- Diskretisierung

Diskreter Datensatz ui(t

i)

- äquidistant abgetastet- schmalbandiges Rauschen

äquidistanterDatensatz

ui(t

i)

Autokorrelations-funktionR

uu(=

k)

Amplituden-dichtespektrum

U(fj)

Leistungs-dichtespektrum

Suu

(fj)

Four

ier-T

rans

form

atio

n

inve

rse

Four

ier-T

rans

form

atio

n

Four

ier-T

rans

form

atio

n

inve

rse

Four

ier-T

rans

form

atio

n

R(=)=*u(t)u(t+=)+

S(f)=U*U=|U|2


Empfänger

Laser

Strahl-teiler

Sende-linse

Interferenzfeld

Streuteilchen

Signal-burst

Laser-Doppler-Anemometrie


Ges

chw

indi

gkei

t

Zeit

Einzelteilchenmessung . zufällig abgetastete ZeitreiheUnsicherheit der Frequenzschätzung . breitbandiges RauschenKorrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit . Korrelation zw. Datenrate und GeschwindigkeitInterferenz des Streulichtes verschiedener Teilchen . Prozessortotzeit

LDA-Datensatz


unregelmäßig abgetasteterDatensatz

statistische Datenanalyse


unregelmäßig abgetasteterDatensatz

- Mathematische Beschreibung des Signals (z.B. Folge von Dirac-Impulsen)

- Berücksichtigung der unregelmäßigen Abtastung

- Entwicklung geeigneter Schätzer

- Wahl einer geeigneten Rekonstruktions- bzw. Interpolationsvorschrift

- Klassische Datenverarbeitung

Direkte Verarbeitung Signalrekonstruktion undregelmäßige Wiederabtastung

Transformation in einen dünnbesetzten Datensatz

- Quantisierung der Abtastzeitpunkte oder -intervalle

- Berücksichtigung von Signallücken

- Schätzer aus der Prozessidentifikation

Zeit

Ges

chw

indi

gkei

t

Zeit

Ges

chw

indi

gkei

t

ZeitG

esch

win

digk

eit


SS 4f 5'1T $%

0

T

u 4t 5e"2: j f t i$2

= TN 2$!

i=1

N

uie"2: jft i$

2

, Prinzip der direkten Spektralanalyse , Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung

E {SS }=SP/TN

<u2

3SP 4f 5=TN2 {$!i=1

N

u ie"2: j f t i$

2

"!i=1

N

ui2}

Fehlerabschätzung:

Korrektur:


SS 4f 5'1T $%

0

T

u 4t 5e"2: j f t i$2

= TN 2$!

i=1

N

uie"2: jft i$

2

, Prinzip der direkten Spektralanalyse , Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung

E {SS }=SP/TN

<u2

3SP 4f 5=TN2 {$!i=1

N

u ie"2: j f t i$

2

"!i=1

N

ui2}

Fehlerabschätzung:

Korrektur:


LDA-Datensatz

Rekonstruktion undregelmäßige Abtastung

Korrelationsfunktion

Fourier-Transformation

Spektrum


LDA-Datensatz

Rekonstruktion undregelmäßige Abtastung



Spektrum


, Sample-and-Hold-Rekonstruktion

, lineare Interpolation

, exponentielle Rekonstruktion


, Spline-Interpolation

, Kalman-Rekonstruktion, Shannon-Rekonstruktion, Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS), fraktale Rekonstruktion

Allen Rekonstruktionen (unabhängig von der Rekonstruktionsvorschrift) gemeinsam:– Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus dem unregelmäßig

abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu erzeugen, der die spektralen Eigenschaften des Strömungsprozesses widerspiegelt.

– Bei geringer Datenrate verändern sich die spektralen Eigenschaften. Der spektrale Charakter des Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und unabhängig vom zugrundeliegenden Strömungsprozess von der verwendeten Rekonstruktionsvorschrift und der Datenrate bestimmt.


Unregelmäßige Abtastung, Messkette

Prozess

Messgröße

Signal

Verarbeitung

Kenngrößen und -funktionen

Information

Messgerät


Unregelmäßige Abtastung, Messkette , Einfluss des

MessgerätesProzess

Messgröße

Signal

Verarbeitung

Kenngrößen und -funktionen

Information

Prozesseigenschaften Messgerät

Signaleigenschaften

Messgerät


1. Analyse des rekonstruierten Datensatzes

LDA-Datensatz

Rekonstruktion

Resampling

Korrelations-und Spektralanalyse


2. Abschätzung des Filters

Wahre ACFLDA-Datensatz

Rekonstruktion

Resampling


Nach Rekonstruktionerwartete ACF

E { 3RR 4=5}=MR 4=5

3RR 4=5

t 1

t2

=1 =2

R 4=5


3. Korrektur

Wahre ACFLDA-Datensatz

Rekonstruktion

Resampling


Nach Rekonstruktionerwartete ACF

Korrigierte ACF

Nach Rekonstruktionbestimmte ACF

E { 3RR 4=5}=MR 4=5 3R 4= 5=M"1 3RR 4= 5


, Sample-and-Hold-Rekonstruktion– Rekonstruktionsvorschrift– Interpolationsfilter

– Korrektur

, Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H)– Rekonstruktionsvorschrift– Interpolationsfilter

– Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung des linearen Gleichungssystems

, andere Interpolationen– prinzipiell auch für andere Interpolationen geeignet– numerischer Aufwand steigt mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen

stark an– geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation

uR 4t 5=u i f R 4t"t i 5 t i1t0t i/1

E { 3RR4=k 5}=R 405!i="#

0f R 4"=i 5f R 4=k"=i 5 41"e"n6= 5e"n 4=k"= i 5

/!9=1

#R 4=95!i=1

min 4k ,95f R 4=9"=i 5f R 4=k"=95 41"e"n6= 52e"n4=k"2=i/=95

E { 3R R 4=k 5}=e"n=k {R 40 5/ 4e n6="1 52

1"e2 n6= !9=1

#e"n=9 41"e2 n min 4k , 956 = 5R 4=95}

uR 4t 5=u i t i1t0t i/1

3R 4=k 5={ 3RR 40 5 für k=042c/1 5 3RR 4=k 5"c [ 3RR 4=k "15/ 3RR 4=k /15] sonst

c= e"n6 =

41"e"n6 =52


LDA-Datensatz

S&H-Rekonstruktion undregelmäßige Abtastung



Spektrum

FilterkorrekturBestimmung derDatenrate


Slot Correlation

AKF

u iu j

t i t j

t j"t i /u i u j

/16=

i=12Nj=12N j(i

zk=!i=1

N

!j=1j(i

N

u i u j bk 4t j"t i 5

nk=!i=1

N

!j=1j(i

N

bk 4t j"t i 5

bk 46 t 5={1 für 4k"1/256=)6 t04k/1/256=0 sonst 3Rk=zk /nk

-1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4 5


Modellbasierte Rausch- / Varianzschätzung

Slot Correlation

- Local Normalization- Fuzzy Slotting- Local Time Estimation- Wichtungsfaktoren (Transit-Time / Forward-

Backward-Arrival-Time)- etwas geringere Schätzunsicherheit- Offline-Auswertung

S&H-Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung

- Korrektur des Datenratenfilters- Verarbeitung großer Blöcke durch Kürzen

der Korrelationsfunktion- Verwendung schneller Algorithmen (FFT)- kommerzielle Nutzung

unregelmäßig abgetasteter Datensatz

Zeitskalen

- Taylor-Zeitmaß- integrales Zeitmaß

Leistungsdichtespektrum

- Continuous Fourier Transform- Variable Windowing

Räumliche Korrelationsfunktion

- Zeit-Raum-Transformationen


Unregelmäßige Abtastung

, hohe zeitliche Auflösung durch kurze Abtastintervalle, geringes Datenvolumen durch lange Abtastintervalle, sehr effizient, Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen

möglich

Interessante Eigenschaftenauch für andere Anwendungen


Aliasing


Aliasing


Aliasing


Aliasing


Supersampling


Stochastic Sampling


Stochastic Sampling


Stochastic Sampling


Quantisierung


Quantisierung


Stochastic Sampling


Stochastic Sampling

hohe Frequenzen niedrige Frequenzen


Stochastic Sampling

Rekonstruktion stat. Eigenschaften

Prozess / Signal

Abtastung

hohe Frequenzen niedrige Frequenzen


AbtastschemaPoisson-Prozess Mindestabstände max. Abstände Jitter


Abtastschema

20µm

Paul R. Martin, Ulrike Grünert, Tricia L. Chan, and Keely Bumsted: Spatial orderin short-wavelength-sensitive cone photoreceptors: a comparative study of the primate retina. JOSA A, Vol. 17, Issue 3, pp. 557-567

menschl. Retinablaue Zapfen


Anwendungen

, Computer Graphics (Anti Aliasing, Motion Blur, Tiefenschärfe), Punktraster (Informationsgewinnung, Visualisierung), Suchalgorithmen, Tomographie, Signal- und Bildrekonstruktion, Signal- und Systemidentifikation, Bilddatenkompression, Wetter- und Klimavorhersagen, Populationsuntersuchungen, Höchstfrequenztechnik, Astronomie


Particle Image Velocimetry


Particle Image Velocimetry


Empfänger

Laser

Strahl-teiler

Sende-linse

Interferenzfeld

Streuteilchen

Signal-burst

LDA-Beschleunigungsmessung


Anforderungen

, Hohe Genauigkeit der momentanen Teilchengeschwindigkeit

, Akurate Justage der Optik (Streifensystem)

, Hohes Signal-Rausch-Verhältnis

, Durchflugzeit

, Mittenfrequenz

, Teilchengeschwindigkeit

, Momentanfrequenz

, Relative Frequenzänderung

100µm

v=10 ms

a=2000 ms2

6 x=2.5µm10µs

4MHz

9.99210.01 ms

3.99624.004MHz

6 ff

=0.1%


Methoden

, Kurzzeit-FFT, komplexe FFT (direkte Methode), Wavelet, Modellanpassung (LMS), Modellanpassung (Korrelation)



Stochastic Sampling

, hohe Auflösung durch kleine Abtastintervalle, geringes Datenvolumen durch große Abtastintervalle, sehr effizient, Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen

möglich, Rekonstruktion eingeschränkt möglich

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