1.3.2015

1

STRATEJİK DÜŞÜNCE –

OYUN KURAMI

OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL

KAVRAMLAR

a.Oyuncular: Oyunda en az iki oyuncu veya rakip olmalı ve onlarınakılcı hareket ettikleri ve kazanmak için en iyisini yaptıklarıvarsayılır.

b.Stratejiler: Her oyuncunun deneme seçenekleri vardır. Bir oyuncu için herhangi bir strateji kural olup, çeşitli deneme faaliyetleri arasından oyunun seçimini belirler. Her oyuncunun seçenek stratejisinin sayısı sonludur

c.Kazanç veya Ödemeler: Oyunun sonucu kazanma, yitirme veya çekilme olabilir. Her sonuç veya ödeme, negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine karşı kazancını veya kaybını belirler.

d.Ödemeler Matrisi: Bu matris, oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden sonuçlanan kazanç veya kayıpları gösterir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir

OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL

KAVRAMLAR

e.Oyunlar: Oyunların sınıflandırılması genellikle oyuncuların sayılarına göre yapılır. İki kişilik, üç kişilik veya (n) kişilik oyunlar kurulabilir. n=2 ise oyun 2 kişilik, n≥2 ise oyun n kişili oyundur.

f.Tam (arı) Stratejiler: Herhangi bir tam strateji bir oyuncu içinoptimal ise bu tam strateji diğer oyuncu için de optimaldir. Bu tamstratejiler maximin ve minimax kuralına göre ulaşılan değerleriveren stratejilerdir. Tam stratejiler, oyunun tepe noktasını belirler.

g.Karma Stratejiler: Oyunlarda genellikle daha etkili olan karmastratejiler kullanılır. Karma strateji, tam strateji takımındaki olasılıkdağılımıyla tanımlanır.

h.Beklenen Değer: Belirsizlik altında karar verebilmek yani elverişliolan en iyi stratejiyi seçmede beklenen değer kavramı yararlıdır.Beklenen değer olayların olma olasılıkları ile olayın değerininçarpımlarının toplamıdır.

1.3.2015

2

OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL

KAVRAMLAR

i.Herhangi Bir Çözümün Tanımı: İki kişili oyunda, A oyuncusu rakibi olan B oyuncusunun hangi stratejiyi oynayacağını düşünmeden kendisi için x gibi optimal strateji vektörünü elde etmeye çalışır, x vektörü A oyuncusuna oyundan maksimum beklenen kazancı sağlar. Buna karşılık B oyuncusu da A oyuncusunun beklenen kazancını en aza indirecek kendi strateji vektörü [y] yi araştırır. Eğer x* ve y*, A ve B oyuncularının optimal strateji vektörlerini gösterirse, A oyuncusunun beklenen değeri B.D.(x*,y*) olur ki, bu da oyunun değeridir. A ve B optimal şekilde oynarlarsa, B.D.(x*,y*) değeri yani (v), A oyuncusunun uzun dönem ortalama kazancı olur. Buradaki (v) oyunun değeridir.

Oyun Tanımı

Bir oyun;

Oyuncuların önündeki tercihler ya da

yapabilecekleri hareketler eğer mevcutsa,

oyuncuların bu hareketleri

gerçekleştirecekleri düzen ve tüm

oyuncuların tercihlerinin, muhtemel bütün

mantıklı kombinasyonlarının sonuçları

olarak tanımlanır.

Her oyuncu harici bir otorite tarafından sabitlenmediği

takdirde oyunun kurallarını kendi menfaatlerine uygun

şekilde değiştirmek ister.

Oyunu bu şekilde değiştirmekte kullanılan yöntemlere

stratejik hareketler denir.

Stratejik hareketler

Bilginin aktarılması

Esas oyun

(Hamle)

1. Yükümlülükler/taahhütler (commitments) – Koşulsuz

2. Tehditler (threats) - Koşullu

3. Vaatler (promises) - Koşullu

Güvenirlik

Stratejik hareketleri güvenilir

kılmak için;

1. Hareketleri kısıtla

2. Hedeflenen getirileri küçült

1.3.2015

3

1838

1883

1913

1921

1926

1950

Kuram

Oluşumu

Tarihsel gelişim

Oyun teorisi ekonomi alanına ilk olarak aksak

rekabet piyasalarının ekonomik analizinde

kullanılmıştır.

Fransız ekonomist Augustin Cournot’un 1838

yılında yayınladığı “ Researches Into Mathematical

Principles Of The Theory Of Wealth” (Refah

Teorisinin Matematiksel Prensipleri Konusundaki

Araştırmalar) kitabı üretici rekabeti konusundadır

Tarihsel gelişim

1883 yılında Josepf Bertrand, Cournot’un yapmış

olduğu çalışmayı eleştirerek, karar değişkeninin

üretim değil, fiyatların olduğunu ileri sürerek kendi

Duopol modelini yaratmıştır.

1.3.2015

4

Tarihsel gelişim

1913 yılında oyun teorisi açısından en önemli çalışmayı E.Zermelo tarafından yapılmıştır. Bu çalışması ile satranç oyununu inceleyen Zermelo, oyuncularından birinin taşlar satranç tahtasının neresinde olursa olsun her zaman bir kazanma stratejisine sahip olduğunu bulmuştur.

Bu nedenle satranç oyununun her zaman bir çözümünün olduğunu matematiksel olarak ortaya koymuştur. Bu çalışması ile oyun teorisinde günümüzde oyun ağacı formunda olan sıralı oyunların çözümünde kullanılan geriye doğru çıkarım (backwards induction) olarak adlandırılan yöntem bu çalışması ile oluşturmuştur.

Tarihsel gelişim

Saf “Pure” strateji ve karma stratejilerin minimaxçözümde ilk olarak matematiksel tanımlamasını 1921-1927 yılları arasında yapmış olduğu çalışmalarla Emile Boral tarafından gerçekleştirilmiştir.

Bu çalışmasını saf strateji sayısının sınırlı olduğu iki kişilik oyunların minimax teoreminin ispatlanması, von Neumann tarafından, 7 Aralık 1926 gününde Göttingen Matematik Topluluğuna sunması ile gerçekleşmiştir

Oyun Kuramının 3 Ayağı 12

Ekonomik Nash, Harsanyi, and Selten

Sosyal bilimler Brams (1994) Binmore (1994)

Durumsal Fraser and Hipel (1984), Howard (1971, 1998),

1.3.2015

5

Oyun kuramının iki temel kuralı

minimaxDenge kuralı

Oyun kuramı

John von Neumann(1903 - 1957).

1923 yılında Berlin Üniversitesinde kimya tahsili,

1925 te İsviçre'de Teknik Yüksek Okulu'ndan

kimya mühendisliği diploması aldı.

1926 yılında Budapeşte Üniversitesi'nden matematik

doktorası aldı.

Göttingen Üniversitesi'nde, "Kuantum Mekaniğinin

Matematik Temelleri"ni yayınladı.

1944'te Oskar Morgenstern ile John von Neumann'ın birlikte

yazdıkları 'Oyunlar Teorisi ve Ekonomik Davranış' kitabı

çıktı.

Kitabın üçte biri toplamı sıfır olan iki kişilik oyunlarla ilgiliydi.

İkiden fazla oyuncusu olan oyunlarla ilgili bölüm tamamlanmamıştı ve

bu çeşit oyunlar için bir çözüm olduğu kanıtlanmamıştı.

Kitabın son 80 sayfası ise toplamı sıfır olmayan oyunlara ayrılmıştı ve

von Neumann bu çeşit oyunları da aslında bir anlamda toplamı sıfır

oyunlara çevirmeyi deniyordu.

1.3.2015

6

Toplamı “Sıfır” Olan Oyunlar

Genel olarak oyunları toplamı sıfır olan oyunlar ve

toplamı sıfır olmayan oyunlar diye ikiye ayırmak

mümkün.

Örneğin futbol, toplamı sıfır olan bir oyun. Bir takım

diğerini 1-0 yendiğinde, diğer takım da 0-1 yenilmiş oluyor.

Yenilgi ile yenginin toplamı sıfır.

Benzer biçimde poker de toplamı sıfır olan bir oyun. Oyuna

giren para miktarının toplamı, kazanan ve kaybeden

oyuncuların önündeki para miktarının toplamına eşit, yani

sonuç sıfır.

C1 C2 C3 Satır en

küçüğü

R1 16 10 7 7

R2 8 9 4 4

R3 9 1 1 1

Sütun en

büyük

16 10 7

ÇÖZÜM:

Her oyuncunun üçer stratejisi bulunduğundan oyun bir

3 x 3 oyunudur.

İlk önce satır oyuncusuna bakılırsa; bu oyuncu R1 stratejisiniseçerse, sütun oyuncusu C3 stratejisini seçerek kendi kaybınıdolayısıyla rakibinin kazancını mümkün olan en düşük düzeyedüşer.

Bu değer yukarıdaki matrise eklenen “satır en küçüğü”sütununda gösterildiği gibi 7’dir.

Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi seçmesi durumunda sütundakioyuncu gene kendisi için en az (4) kayıp sağlayacak olanstratejiyi yani, üçüncü stratejiyi seçecektir.

Sonuçta, satır oyuncusu için en iyi strateji, R1’dir.

1.3.2015

7

Tepe Noktası (Tam Stratejiler)

Oyunların en basiti tepe noktalı oyunudur. Yani satırında en

küçük ve sütununda en büyük bir tek elamanı olan ödemeler

matrisi düşünülmektedir.

Bu durumda A ya göre oyunun değeri tepe noktası elemanı ve B

ye göreyse tepe noktası elemanın negatif işaretlisidir.

R için oyun değeri 4 ve C için oyun değeri 4 olarak bulunması

nedeniyle her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler birbirini

karşılamaktadır ve oyunun bir tepe noktası vardır. A nın seçeneği II.

strateji, B nin seçeneği de III. stratejidir ve tam stratejileridir.

Oyunun tepe noktası olması dolayısıyla da oyunun değeri 4 dür.

C1 C2 C3 Satır en

küçüğü

R1 9 3 1 1

R2 6 5 4 4

R3 1 4 3 1

Sütun en

büyük

9 5 4

Tepe Noktasız Oyunlar

Bir m x n oyununun tepe noktası yoksa, özellikle m ve n’nin

büyük değerleri için oyunun çözümü zor olabilir. Genel olarak

bir oyunun tepe noktası yoksa oyunu çözmeden önce

mümkünse m ve n değerleri küçültülmesi yani, bazı

stratejilerin devre dışı bırakılmaları uygun olur. Bu işlem

ancak bazı özel stratejilerin belirlenmesiyle gerçekleşir.

Boyut küçültmede kullanılabilecek iki çeşit strateji vardır:

Eş stratejiler ve

Üstünlük stratejileri

1.3.2015

8

John Nash

Lisans ve yüksek lisans eğitimini

Carnegie Institute of Technology'de tamamladı.

Princeton Üniversitesi'nde 21 yaşında hazırladığı doktora tezi, "Oyun Teorisi", ona uzun yıllar sonra, 1994'te Nobel Ekonomi Ödülünü kazandırdı.

John von Neumann'ın oyun teorisindeki sorunları çözüp kullanılır hale getirdi. 30 yaşına kadar parlak fikirleri ve göze çarpan kişiliği sayesinde hızla yükselip matematik camiasının önde gelen isimlerinden biri oldu.

MIT'te profesörlük yapmaya başladığında karısı Alicia Larde ile tanıştı. Çiftin bir oğlu oldu. John Nash soğuk savaş döneminde ordu adına şifre çözücü olarak çalışmıştır.

Nash'ın önerisi:

Bütün oyuncuların kendine göre en yüksek kazancı getirecek

bir stratejisi var ama bu 'dominant strateji' oyundaki yegane

oyuncu o olmadığı için uygulanamaz, o yüzden de bir 'denge'

durumuna razı olunur.

OPEC

OPEC bir petrol fiyatı tespit etmiş. O fiyatı

tutturmak için gerekli üretim kotalarını da

ülkelere dağıtmış. Arz, talep ve fiyat birbiri

ile tutarlı varsayalım.

ülkelerden birinin üretimini kota üstüne

çıkartmaya karar verir. Diğerleri kotaya

sadık kalır :

Üretimini arttıran ülkenin

petrol geliri yeni fiyatla

düşüyorsa, piyasa Nash

dengesindedir. Çünkü bu

durumda dengeyi bozma

üreticilerin işine

gelmemektedir.

Eğer üretimini artıran

ülke yeni fiyattan daha

fazla petrol geliri elde

ediyorsa piyasa Nash

dengesinde değildir.

Çünkü dengeden

sapmadan kârlı çıkan

üretici vardır.

1.3.2015

9

Tutuklunun Açmazı (Mahkum

Teoremi)

Aynı suçtan ötürü iki kişi tutuklanır ve ayrı ayrı odalarda

sorgulanır. Her tutukluya üç seçenek verilir:

1. İtiraf etmek, 2. Ötekini suçlamak, 3. Sessiz kalmak.

Tutuklu açısından en iyi seçenek itiraf etmektir. Eğer öteki

tutuklu da itiraf ederse, en azından çok ağır bir ceza almaktan

kurtulacaktır, yok öteki sessiz kalırsa yegâne tanık olarak

cezadan da kurtulabilecektir. Yani, itiraf 'baskın strateji'dir.

Ama işe bakın ki, eğer birlikte olsalar, ya da işbirliği

yapabilseler, her iki tutuklu da kendi iyilikleri için sessiz

kalacaktı.

Tutuklunun Açmazı

(Mahkum Teoremi)

işbirliksiz (non-cooperative) oyundaki baskın (dominant)

strateji ile işbirlikli oyundaki baskın strateji birbirinden epey

farklıydı.

'Tutuklunun açmazı' oyunu, Nash'in denge kavramıyla

çelişiyordu.

Çünkü Nash, her oyuncunun kendi en iyi stratejisini

izleyeceğini, çünkü öteki oyuncuların da öyle yapacağını

varsayar.

Oysa oyun bunun illa ki böyle olmayacağını gösteriyordu.

Güven telkin etmek

Otomatik ifa

Yetki vermek

Köprüleri yakmak

İletişimi kesmek

İtibar

Salam taktiği

Ekip çalışması

Mantıksızlık

Sözleşmeler

Brinkmanship

Hareketleri kısıtla Getirileri küçült

1.3.2015

10

BELİRSİZLİK ALTINDA KARAR VERME

İyimserlik (maximax)

Kötümserlik (maximin)

Uzlaşma kriteri (criterion of realism)

Eşolasılık kriteri (equally likelihood)

Pişmanlık (minimax)

KARAR TABLOSU / ÖDEMELER MATRİSİ

SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme

Büyük fabrika kurma 200.000 -180.000

Küçük fabrika kurma 100.000 -20.000

Yatırım yapmama 0 0

OLAYLAR

İYİMSERLİK (MAKSİMAKS)

İyimserlik düzeyi (o) en büyük olan seçenek seçilir

ok = {oi} = { {vij}} m

i 1maks

m

i 1maks

n

j 1maks

SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme oi

Büyük fabrika kurma 200 -180 200

Küçük fabrika kurma 100 -20 100

Yatırım yapmama 0 0 0

OLAYLAR

1.3.2015

11

KÖTÜMSERLİK (MAKSİMİN)

Güvenlik düzeyi (s) en büyük olan seçenek seçilir

sk = {si} = { {vij}} m

i 1maks

m

i 1maks

n

j 1min

SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme si

Büyük fabrika kurma 200 -180 -180

Küçük fabrika kurma 100 -20 -20

Yatırım yapmama 0 0 0

OLAYLAR

UZLAŞMA (GERÇEKÇİLİK) KRİTERİ

Hurwicz iyimserlik-kötümserlik indeksi (a) kullanılmasını önermiştir.

İyimserlik ve güvenlik düzeylerinin ağırlıklı ortalaması en büyük olan seçenek seçilir

{a oi + (1 – a) si} 0≤a≤1 iken

Uzlaşık

SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme değer

Büyük fabrika kurma 200 -180 380a-180

Küçük fabrika kurma 100 -20 120a-20

Yatırım yapmama 0 0 0

OLAYLAR

a = 0.8 için değerler: 124, 76, 0

m

i 1maks

UZLAŞMA (GERÇEKÇİLİK)

120a – 20 = 0 a = 0.1667

380a – 180 = 120a – 20 a = 0.6154

0 ≤ a ≤ 0.1667 “Yatırım yapma”

0.1667 ≤ a ≤ 0.6154 “Küçük fabrika kur”

0.6154 ≤ a ≤ 1 “Büyük fabrika kur”

1.3.2015

12

EŞOLASILIK

Laplace “olaylar hakkında hiçbir şey bilmeme” ile “tüm

olayların gerçekleşme olasılıklarının eşit olması”nın

eşdeğer olduğunu iddia etmiştir.

Satır ortalaması (beklenen değeri) en büyük olan seçenek

seçilir

Satır

SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme ortalaması

Büyük fabrika kurma 200 -180 10

Küçük fabrika kurma 100 -20 40

Yatırım yapmama 0 0 0

OLAYLAR

PİŞMANLIK (MİNİMAKS)

Savage pişmanlığı (fırsat kaybını)

j olayının gerçek olay olması durumunda en iyi seçeneğin getirisi

i seçeneğinin j olayı için getirisi

arasındaki fark olarak tanımlamıştır.

En kötü (en büyük) pişmanlığı en küçük olan seçenek seçilir

pişmanlık değerleri Satır

SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme enbüyüğü

Büyük fabrika kurma 0 180 180

Küçük fabrika kurma 100 20 100

Yatırım yapmama 200 0 200

OLAYLAR

ÖRNEK İÇİN SONUÇLARIN ÖZETİ

YÖNTEM KARAR

Maksimaks “Büyük fabrika kur”

Maksimin “Yatırım yapma”

Uzlaşma a’ya bağlı

Eşolasılık “Küçük fabrika kur”

Minimaks “Küçük fabrika kur”

Uygun yöntem karar vericinin kişilik ve düşünce tarzına bağlıdır.

1.3.2015

13

Thomas C. Schelling37

Eşgüdüm ve odak noktaları

Pazarlık ve taahhüt

Kendi kendine taahhüt

Micro güdüler ve makro davranışlar

Eşgüdüm ve odak noktaları38

Oyunculardan birisi karşı tarafın odak noktasını

yakalayabilirse davranışlarını da anlayabilir.

Okul içinde aradığınız arkadaşınızı nasılbulursunuz?

Taahhüt

Öğrenci

Vaktinde Geç

Öğretmen

Yumuşak 4,3 2,4

Sert 3,2 1,1

1.3.2015

14

Pazarlık ve Taahhüt

Pazarlık tarafları gönüllü olarak seçim

özgürlüklerini kısıtlayabilirler.

Böylece pazarlık güçlerini artırırlar.

Oyun kuramı kişilerin böyle hamlelerini varsaymaz.

Pazarlık ve Taahhüt

Schelling soğuk savaş döneminde gerçek dünyayı

bu yapıda analiz etmiştir.

“ bir komutan ateşkes pazarlığı yaparken, en son

geçtiği köprüyü havaya uçurur. Böylece geri dönüş

seçeneğinden kendisi vaz geçer. Bu onun

pazarlık gücünü artırır.”

Kendi kendine taahhüt - Vaat42

Oyun taraflarından birisinin karşısındakinin onayı

ya da gücü olmadan verdiği kararları uygulamasıdır.

1.3.2015

15

Vaat

Mc Donald’s

Ucuz (20) Pahalı (20)

Burger King

Ucuz (20) 288,288 360,216

Pahalı (20) 216,360 324,324