Sucesiones y seriesPuedes leer una introduccin sencilla a las sucesiones enpautas comunes de nmeros.Qu es una sucesin?

Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden.

Finita o infinitaSi la sucesin sigue para siempre, es unasucesin infinita,si no es unasucesin finitaEjemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesin muy simple (y es unasucesin infinita){20, 25, 30, 35, ...} tambin es una sucesin infinita{1, 3, 5, 7} es la sucesin de los 4 primeros nmeros impares (y es unasucesin infinita){4, 3, 2, 1} va de 4 a 1hacia atrs{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesin infinita donde vamos doblando cada trmino{a, b, c, d, e} es la sucesin de las 5 primeras letrasen order alfabtico{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesin de las letras en el nombre "alfredo"{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesin quealterna0s y 1s (s, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)En ordenCuando decimos que los trminos estn "en orden", nosotros somos los que decimosqu orden! Podra ser adelante, atrs... o alternando... o el que quieras!Una sucesin es muy parecida a unconjunto, pero con los trminosen orden(y el mismo valor s puede aparecer muchas veces).Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es lasucesinque alterna 0s y 1s. Elconjuntosera slo {0,1}La reglaUna sucesin sigue unareglaque te dice cmo calcular el valor de cada trmino.Ejemplo: la sucesin {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

Pero la regla debera ser una frmula!Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cmo se calcula el: 10 trmino, 100 trmino, o n-simo trmino(dondenpuede ser cualquier nmero positivo que queramos).As que queremos una frmula con "n" dentro (dondenser la posicin que tiene el trmino).Entonces, cul sera la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?Primero, vemos que la sucesin sube 2 cada vez, as que podemos adivinar que la regla va a ser "2 n". Vamos a verlo:Probamos la regla: 2nnTrminoPrueba

132n= 21=2

252n= 22=4

372n= 23=6

Estocasifunciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidadmenosde lo que debera, as que vamos a cambiarla un poco:Probamos la regla: 2n+1nTrminoRegla

132n+1 = 21+ 1 = 3

252n+1 = 22+ 1 = 5

372n+1 = 23+ 1 = 7

Funciona!As que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla comoLa regla para {3, 5, 7, 9, ...} es:2n+1Ahora, por ejemplo, podemos calcular eltrmino 100: 2 100 + 1 =201NotacinPara que sea ms fcil escribir las reglas, normalmente lo hacemos as:Posicin del trmino

Es normal usarxnpara los trminos: xnes el trmino nes la posicin de ese trmino

As que para hablar del "quinto trmino" slo tienes que escribir:x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuacin, as:xn= 2n+1Ahora, si queremos calcular el 10 trmino, podemos escribir:x10= 2n+1 = 210+1 = 21Puedes calcular el 50 trmino? Y el 500?Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:Tipos de sucesionesSucesiones aritmticasEl ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesin aritmtica (o progresin aritmtica), porquela diferencia entre un trmino y el siguiente es una constante.Ejemplos1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesin tiene una diferencia de 3 entre cada dos trminos.La regla esxn= 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,...

Esta sucesin tiene una diferencia de 5 entre cada dos trminos.La regla esxn= 5n-2Sucesiones geomtricasEn una sucesin geomtrica cada trmino se calcula multiplicando el anterior por un nmero fijo.Ejemplos:2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesin tiene un factor 2 entre cada dos trminos.La regla esxn= 2n3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesin tiene un factor 3 entre cada dos trminos.La regla esxn= 3n4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesin tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos trminos.La regla esxn= 4 2-nSucesiones especialesNmeros triangulares1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesin se genera a partir de una pauta de puntos en un tringulo.Aadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente nmero de la sucesin.

Pero es ms fcil usar la reglaxn= n(n+1)/2Ejemplo: El quinto nmero triangular es x5= 5(5+1)/2 =15, y el sexto es x6= 6(6+1)/2 =21Nmeros cuadrados1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente nmero se calcula elevando al cuadrado su posicin.La regla esxn= n2Nmeros cbicos1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente nmero se calcula elevando al cubo su posicin.La regla esxn= n3Nmeros de Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente nmero se calcula sumando los dos que estn antes de l.El 2 se calcula sumando los dos delante de l (1+1)El 21 se calcula sumando los dos delante de l (8+13)La regla esxn= xn-1+ xn-2Esta regla es interesante porque depende de los valores de los trminos anteriores.Por ejemplo el 6 trmino se calculara as:x6= x6-1+ x6-2= x5+ x4= 5 + 3 = 8Series"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es lasumade una sucesin.Sucesin: {1,2,3,4}Serie: 1+2+3+4 = 10Las series se suelen escribir con el smboloque significa "smalos todos":Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros trminos de la sucesin2n+1"

Que son los cuatro primeros trminos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24