Sündmuste korrutis

Tinglik tõenäosusOlgu fikseeritud mingi katse ning A ja B suvalised katsega seotud sündmused tõenäosustega P(A) ja P(B). Olgu veel P(B) 0.

Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel B nimetatakse sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B toimus ja tähistatakse P(AB) või P(A / B) või P(A \ B).

Näide

Urnis on 3 võiduga ja 7 võiduta loteriipiletit. Sündmuseks B on võiduga pileti tõmbamine 1. katsel (piletit tagasi ei panda). Sündmuseks A on võiduga pileti tõmbamine teisel katsel.

Sündmuse A tõenäosus on juhul, kui toimus sündmus B (ehk tingimusel B) 2/9, vastupidisel juhul (kui sündmus B ei toimunud, ehk esimesel katsel tõmmati välja võiduta pilet) aga 3/9.

P(AB) = 2/9, 9/3)|( BAP

Sõltuvad ja sõltumatud sündmusedSündmust A nimetatakse sõltuvaks sündmusest B, kui sündmuse A tõenäosus oleneb sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest. Sündmust A nimetatakse sõltumatuks sündmusest B, kui kehtib seos

P(A | B) = P(A)

ning sündmus A sõltub sündmusest B kui P(A | B) P(A).

Näited

Kui viskame täringut kaks korda järjest, siis teisel katsel saadavate silmade arv (sündmus A) ei sõltu esimesel katsel saadavast silmade arvust (sündmus B).

“Ochkod” (“Blackjack’i”) mängides tõmmatakse kaardipakist järjest kaarte neid tagasi panemata. Iga järgmise kaardi tõmbamisel sõltub saadav silmade arv sellest, millised kaardid on juba välja tõmmatud.

Tõenäosuste korrutamislauseKahe mistahes sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne ühe osasündmuse tõenäosuse ja teise osasündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega:

P(AB) = P(A)·P(B | A) = P(B)·P(A | B)

Tõestus (klassikalise tõenäosuse definitsiooni puhul):

Leiame sündmuse A tingliku tõenäosuse tingimusel B. Selleks tuleb sündmuse AB toimumiseks soodsate juhtude arv k jagada sündmuse B toimumiseks soodsate juhtude arvuga m (kuna eeldame sündmuse B toimumist):

mk

BAP )|(nmnk

::

Olgu n mingi katse kõikide võrdvõimalike juhtude arv ning A ja B mingid selle katsega seotud sündmused.

)()(

BPABP )|()()( BAPBPABP

Analoogselt tõestatakse ka, et P(AB) = P(A)·P(B|A).

Sõltumatute sündmuste korrutisKui sündmused A ja B on sõltumatud, siis P(A|B) = P(A) ja tõenäosuste korrutamislausest järeldub, et

).()()( APBPABP

Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on võrdne osasündmuste tõenäosuste korrutisega.

Tõenäosuste korrutamislause üldistus:

)....|(...)|()()...( 12112121 nnn AAAAPAAPAPAAAP

Kui n sündmust on sõltumatud, siis:

).(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP

Täistõenäosuse valem.Moodustagu sündmused B1 , ... , Bn (hüpoteesid) täieliku sündmuste süsteemi tõenäosustega P(B1), ... , P(Bn). Mõnega (või kõigiga) sündmustest Bi kaasneb sündmus A, kusjuures A tinglik tõenäosus tingimusel Bi on P(A | Bi). Siis

nABABABA ...21

ja korrutamislausest

).|()()( iii BAPBPABP

Tõenäosuste liitmislause kohaselt

)(...)()()( 21 nABPABPABPAP (1)

Asendame valemis (1) üksikud liidetavad viimase võrduse parema poolega. Saame täistõenäosuse valemi:

.)|()()(1

n

iii BAPBPAP

Näide 1

Loosirattas olevast sajast piletist võidavad kümme. Kui tõenäone on kolme pileti järjestikusel võtmisel ainult võitude saamine?

Tähistame sündmused järgnevalt:Lahendus

A: võidu saamine esimese piletiga;B: võidu saamine teise piletiga;C: võidu saamine kolmanda piletiga.

Sündmus “Kolme pileti järjestikusel võtmisel saadakse ainult võidud” on nüüd väljendatav sündmuste A, B ja C korrutisena: ABC. Tõenäosuste korrutamislause üldistuse põhjal:

).|()|()()( ABCPABPAPABCP

)|( ABCP : P(“3. piletiga saadi võit, juhul kui võit saadi ka kahe esimese piletiga”).

).|()|()()( ABCPABPAPABCP

Selles valemis esinevad tinglikud tõenäosused tähendavad:

: P(“Teise piletiga saadi võit, juhul kui võit saadi ka esimese piletiga”);)|( ABP

10010

999

988

970200720 0,000742

Vastus. Kolme järjestikuse võidu saamise tõenäosus on 0,000742.

Näide 2

Tähistame sündmused järgnevalt:Lahendus

A: juhuslik tudeng sooritab eksami;B1: tudeng on 1. grupist;B2: tudeng on 2. grupist;B3: tudeng on 3. grupist.

Vastus. Suvaline tudeng sooritab eksami tõenäosusega 0,89.

Eksamile tuleb üliõpilasi kolmest grupist. 1. grupis on 7, teises 6 ja kolmandas 8 tudengit. Esimese grupi tudeng sooritab eksami tõenäosusega 0,9, teise grupi tudeng tõenäosusega 0,8 ja kolmanda grupi tudeng tõenäosusega 0,95. Millise tõenäosusega sooritab eksami juhuslikult sisseastunud tudeng?

Sündmus A saab kaasneda suvalisega sündmustest B1, B2, B3 (tudengid saavad olla vaid nimetatud kolmest grupist). Täistõenäosuse valemi kohaselt:

)|()()|()()|()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP

217 9,0 8,0

216 95,0

218 89,0

Bayesi valem.Olgu antud hüpoteeside täielik süsteem H1 ,... , Hn ning olgu teada nende hüpoteeside tõenäosused P(H1), ... , P(Hn). Tehakse katse, mille tulemuseks on mingi sündmus A, mille tinglikud tõenäosused P(A|H1), ... P(A|Hn) olgu teada. Siis avaldub hüpoteesi Hi tinglik tõenäosus Bayesi valemi kujul:

.)()(

)()()(

1

n

iii

iii

HAPHP

HAPHPAHP

Tõestus. Korrutamislause põhjal

),()()()()( iiii HAPHPAHPAPAHP

millest

)(

)()()(

AP

HAPHPAHP ii

i

,

)()(

)()(

1

n

iii

ii

HAPHP

HAPHP

täistoenäosuse valem

mida oli vaja näidata.

Näide 3

Tähistame sündmused järgnevalt:Lahendus

A: musta masti tõmbamine; H1: kaart on 1. pakist; H2: kaart on 2. pakist; H3: kaart on 3. pakist;

36-st kaardist koosnev kaardipakk jagati kolmeks: esimeses 10 kaarti, neist 6 musta masti, teises 12 kaarti, neist 7 musta masti ja kolmandas 14 kaarti, neist 5 musta masti. Juhuslikust pakist valiti juhuslik kaart, see osutus mustaks. Millised on tõenäosused, et kaart pärineb esimesest, teisest või kolmandast pakist?

36/10)( 1 HP 10/6)( 1 HAP

36/12)( 2 HP 12/7)( 2 HAP

36/14)( 2 HP 14/5)( 3 HAPTõenäosus, et kaart pärineb 1. pakist, eeldusel, et kaart on musta masti:

31

111 )()(

)()()(

i ii HAPHP

HAPHPAHP

14/536/1412/736/1210/636/1010/636/10

31

P(“must mast on pärit 2. pakist”):

31

222 )()(

)()()(

i ii HAPHP

HAPHPAHP

14/536/1412/736/1210/636/1012/736/12

187

P(“must mast on pärit 3. pakist”):

3

1

333 )()(

)()()(

i ii HAPHP

HAPHPAHP

185

Bernoulli valemi tuletamine.Lähteülesanne:

Leida tõenäosus, et n sõltumatu katse korral esineb sündmus A täpselt m korda, kui igal katsel on sündmuse A tõenäosus P(A)=p.

Lahenduskäik:ASündmuse A vastandsündmuse tõenäosus: pAP 1)( : q

n katsest koosneva seeria korral on üheks võimaluseks sündmuse A m-kordseks esinemiseks järgmine tulemus:

korda korda

: ... ...m n-m

B AA A AA A

Katsete sõltumatuse eelduse tõttu on sündmuse B tõenäosus:)......()( AAAAAAPBP )(...)()(...)( APAPAPAP mnm qp

Lisaks sündmusele B võime m katsetulemust A “kombineerida” n erinevale positsioonile erineval viisil. Tõenäosuste liitmislause põhjal:

mnC

Bernoulli valem.

Näide 4Leida mündi 10-kordsel viskamisel vapi 4 korda esinemise tõenäosus.Lahendus

Siin p = q = 0,5 ja Bernoulli valemi põhjal

205,021

21

)!410(!4!10

64

10,4

P

mnmmnmmnnm qp

mnmn

qpCP

)!(!!

:,

Saadud valemit nimetatakse Bernoulli valemiks.

Erijuhud: 1) kui m = n, siis Pn,n = pn

2) kui m = 0, siis P0,n = qn

Näide 5Arvuti mitteriknemise tõenäosus garantiiaja jooksul on 0,8. Leida 4 aparaadi korral tõenäosus selleks, et garantiiremonti ei vaja 0, 1, 2, 3, 4 arvutit.

Lahendus

On antud:

n = 4; p = 0,8; q = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.

Bernoulli valemist leiame:

0016,02,0 44,0 P

0256,02,08,0!3!4 3

4,1 P

2 22,4

4!0,8 0,2 0,1536

2! 2!P

4096,02,08,0!3!4 3

4,3 P

4096,08,0 44,4 P

Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv.Lähteülesanne:

Leida, millise sagedusega esineb sündmus A n katsest koosnevas sõltumatute katsete seerias kõige tõenäosemalt.

Tuleb leida sageduse väärtus m0, mille korral Bernoulli valemi kohaselt arvutatud tõenäosus Pm,n on maksimaalne:

Lahendus

Esimesest võrratusest:

1010

00

00

00 )!1()!1(!

)!(!!

mnmmnm qp

mnmn

qpmnm

n pq

m0+1n-m0

100

mp

mnq

)()1( 00 mnpmq

qpnmpq 0)(

qpnm 0

nmnm PP ,10,0 nmnm PP ,10,0 ja (1)

1

Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv.Teisest võrratusest grupist (1) saame analoogselt:

pnpm 0

Kokkuvõttes oleme leidnud, et kõige tõenäosemalt esinev sagedus on:

Näide 6Hobuste traavivõistlustel võidab hobune nimega “Hõbevälk” tõenäosusega 0,4. Milline on kõige tõenäosem “Hõbevälgu” võitude arv viieteistkümnes sõidus?Lahendus

Siin p = 0,4, q = 0,6 ja n = 15. Valemi (2) põhjal

4,04,0156,04,015 0 m

pnpmqnp 0 (2)

4,64,5 0 m

Vastus. “Hõbevälgu” tõenäoseim võitude arv on 6.