Sul problema di Darboux per l'equazione z xy= f(x, y, z, z x, z y)

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Text of Sul problema di Darboux per l'equazione z xy= f(x, y, z, z x, z y)

  • SEMINARIO MATEMATICO DELL 'UNIVERSITA" 1) I FERRARA

    1) irettm'e: Prof. (;. Zx.VIRNEI{.

    SUL PROBLEMA DI DARBOUX

    PER 12 EQUAZIONE z~=f(x , y, z, z~, z.)

    Nota (li ROIr ( 'ONTI [Fireuze)

    1. - - I1 ln'oblema di I)at,',ocx pro" l'equazione alle derivale parziali del secondo ordine

    (A) z.,.: ,=fIz, y, z, z.,.. Zy)

    eousiste, eom'b nolo, nella ricerca di una soluzione . : : at.r, y) della IA). definita in un rettangolo assegnato

    R: O~x~a , O~y~b

    del piano .r. y, la quah, si riduca a due funzioni z(.e), ~(y), Imre asse gnate, lungo i lati di R uscenti da (0, 0): la z(x, y) eercata deve quindi soddisfare le comlizioni a] contorno

    z( . r . O) = z Ix ) , I) _

  • 1~I0 ROI~F:ICTO C.x'l" i

    l lecentemente PiE HAR'rMAN ed A. WINTER'-') hanno risolto la (1') nei campo delle funzioui z(x, y) di cht.~xe 1 (vale a dii-e delle funzioni cont inue insieme con le der ivate lWinle), sul)ponemlo ~(.r), z(y) alwh'esse di classe 1 ed imponemlo al ia f(.r, y, z, p, q) di essere cont inua v l i ra(tara hello s t rato

    ed uniformemente ]ip,~chi(ziana ri,~petto alh, due variabili p e q: tab, ri- .~ult;ltO segna lln uotev0le I)l'ogres.~o r ispelto ai preeedelit i , ottemlt i (nel

    caso the ]a ~ d ipenda ef fet t ivamente da p e q) eo l l 'amntettere la l ipsehit-

    zianitfi del la f r ispetto alle tre var iabi l i z, p e q :*).

    Mantcncndo .s'ulla f le ipote.~i :lt'nerali di HARTMAN r XVINTNER tratte- remo ora il problema nel ea.~o di ,(:e) e z(y) lip.~ehitziam' (anziehO di classe 1) e mostrercmo I'esistenza di una .~oluzione di {(') nel r delle z(x , y) l ipsehitziane in R.

    Pree isamente mostreremo i]

    T~:OnEMa. Siano ~(:r) e z(y) due ]unzioni l ipschitziane i, 0 0 tale da acersi

    (1) I/t.r.v. : . p, q) I 0 tale ehe per ogni eoppia (.r. y, z,

    p', q') (.r, y, z. p", q") di punt( di ,~ .~i abbia

    [2) I f~ . r ,y . z .p" ,q" ) - - /{ . r . ! t , z ,p ' ,q ' ) [

  • Sul problema di Dr r162 131

    Per giungere a quest(~ risultato ci varremo di un'Ol)l)Orruna (( ver- sione in due variabili >) del procedimento di al)l)rossim;~zione di L. TO.','~LL~ gi5 largamente impiegato nella risoluzione dei problen~i ai limiti per le equazioni differenziali ordinarie ~). A quanto ei risulta g questa la prima applieazione di tale proeedimento nel camI)o delle equazioni alle derivate parziali.

    2. - - Per ogni intero n > () indiehiamo con R~,i i rettangoli

    i i+ l j j~ - I R~,j: -a .~x~ a, b

  • 132 ROBEItTO CONTI

    si ha in R, per la (1)

    9 (3) I z(n)('r, y) [ ~ A Mab, I zx (n)(x,y) ] ~__ B ib ,

    [zy(n)(x,y) [~C Ma.

    Queste disuguaglianze provano the ]e z(n)(x, y) sono in R equilimi- tate ed equilipschitziane, quindi si pus estrarre dal la { z(n) (x, y) ] una suc- cessione the indicheremo ancora coil I z(n)(x, y)I, uniformemente conver- gente in R verso una z(x, y) anch'essa lipsehitziana.

    Segue da ci5 (:he ha senso porre

    A(.r, y) --Iz(.~', y) - - :(.r) - - ~(y) + z0 - -

    f , P

    ~))d~d~ I, ] ]

    0 0

    e noi avremo dimostrato il nostro teorema faeendo vedere che (~

    (4) /~(x, y)_--0, (x, y) ~ R.

    Ora, se (x, y) appart iene ad R- -R , , ~ per la (T.~), tenuto conto di (2) :

    y)

  • Sul problcma di ])arboux, ccc. 133

    quando n ~ oo; per il tevzo termine risulta dal teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, applieabile in xirlfl delle il)otesi l'atle sulla /(x, y, z, p, q).

    Restano perci6 da considerate i due ultimi termini; faremo per questo vedere, nel n. successive, che dalla I z(n)(x, Y) I ~ possibile estrarre una successione I=( v)(x, Y) I tale che I zx(~)(x, Y) I e I zy ( ~)(x, Y) I convergono in media (del 1~ ordine) in R. Da ci6 seguirh in virtfi delle 'fltre ipolesi elm i rispettivi limiti in media sono proI)rio z.,.(,c, y) e Zy(X, y) (natural- mente a meno di un insieme di R di misura nulla) e quindi

    iim__oo f f I "O) - - Z'r(~)(~' r') l d~dr' = O ; R

    lira f f i z r (~. , rd)-- zy(~)(~., ~) [d~d~=0. I / R

    Infatti , ammesso ad es. che zx(~)(x, y) couverga in media (, d(,tto p(x, y) il limite in media, si ha per 0_~x~_-a e per quasi tutti gli y di (0, b) :

    X

    ]z(x, y) - - - c (y ) - - /p (~, y)d~ I ~ _ [z(x, y)- -z( ' ) ( . , ' , Y) I + 6

    -{-Iz(~)(x, y ) - -x (y ) - - / p(~, y)d~[ ~ Iz(x, y)- -z(~) l . r . Y) I+ ,2 0

    + [ i z~:(~)(~, y) - - p(~, y) I d~, o

    quindi, ancora per quasi tutti gli y di (0, b) X

    z(x. y ) - -~(y)+ /p(~, y)d~, !

    b e pet' quasi tutti gli x di (0, a):

    z~,tx, y) = p(x, y).

    3. - - Per provare l'csistenza di una .~u('ce.~.~ioue zx(~)( x. Y) I [i z~(v)( x, Y)I] eonvergente in media (e quimli, c.onw si h osservalo era. il teorema enunciate) ci varremo di un note criterio di M. RH;sz").

    6) M. RIESZ, Sur los ensembles compacts de /onction.~ sommablcs, Acta Mathc- matica, (Szeged), 6, 1932-4, 136-142.

  • 1~ ROBERTO CONTI

    Definiamo perei6 la funzione p(")(x, y)[q(")(x, y)] in tutto il piano x, y uguaglian(tola a zx(n)(x, y) [a zx(n)(x, y)] dove questa esiste finita, ed uguagliandola invece a zero negli altri tmnti di /~ e(I in tutti quelli fuori di R. Si ha allora per le (3)

    (5) / . f ]P (n ) (x 'Y ) ldxdy=/ f [zx (n) (x , y),dxdy'< [B+Mb]ab, - -o r - -o r R

    ed analogamente

    (5')

    ~= 00 -~ OO

    / j'lq('>

  • Rul p rob len la d i Darboux , etc. 135

    .4-00 -t-co

    j f I i ,2-- ~ p(n)(x -t- h , y) -- p('Z)(x, y) ( dxdy ; - - r - -00

    -400+00

    - -00 - - ~O

    ed osserviamo che g

    11< I~,~ + Ii,2 , 12 < I~,, + I2,,,

    per poter dimostrare le (6) sarii suffieiente mostrare the ~ Ii,./ ~---r k) per i, j = 1, 2; proveremo anzi addir i t tura le

    (6') I,,~_< e(O, k), I,,2 _< r 0), I2,~

  • 136 RonzaTO CO~TI

    Quindi se b/u ~ k la l)rima delle (6') segue in virtfi della seconda (3), mentre se ~ b/n > k potremo spezzare (0, b/n) nei" due intervall i (0, b/n--k) e (b/n--k, b/n). Per la (T~) ~ Izfl nl(x, y-~k)-- --zx(n)(x, y) [ ~ 0 se 0 "~ y ~ b/n--k, perci6 l 'ult imo integrale scritto si r iduee a

    a b/n

    f / [zx(n)(x, y + k)--z:o'n)(x, y)'dxdy a/n; bln--k

    e, ancora per la seconda (3), segue l'asserto, eio~ la pr ima (6'). In modo del tutto analogo si ottiene la terza (6'). Passiamo ora a considerate I~,2, per il quale, dal la definizione della

    p(n)(x, y) e poi dalla seconda (3) si ha a--h b a b

    I : , , " - / f ' zx.(n)(x + h, y)-- zx(n)(x, y) ' dxdy nL/ f [ zx(n)(x, y) [ dxdy-~ - 0 0 a - -k 0

    h b a--h

    + / f l z. a/2 ~ a/~l.

    Ora, se a/n > It, in virtfi della seconda (3) si ha a--b b

    (7) 1,,,_< ~(,~, 0) +f /I ..(~)(~ + h, y ) - ~(~)(~, y) I ~l.~ey, aln bin

    se invece ~ a/n~_~h si spezza (0, a/n) in (0, a/n--h), (a/n--h, a/n) e

  • Sul problema di Darboux, ecc. 137

    si ha aln b

    / (Izx(n)( x + h, y)- - z.r(n)(x, y) ldxdy : 0 bin

    aln--h b ./ -- / ] z,(n) (x -4- h, y) -- zfl n) (x, y) I dxdy -b 0 b/n

    a/n b / / "-[- I zx (n) (x + h, y) -- Z.r(n) (X, y) [ d,rdy aln--h bin

    aln--h

  • 138 ROBERTO CONTI

    - - l(u, ~, z(")(u, ~), zx(")(u, ~,), zy(")(u, ~)) l d~ + a,=--h b,,

    +cb.[ /'l.x(t*)(u+h, y)--..(')(,,, y) ld,,,ty+ 0 0

    a,~--h ba

    + L,,. ] (!./ . ,(, , + ~, ~)-.,(.,(u, ~) I ~,,,,.~,. 0 5

    La funzione ](x, y, z, p, q) ~ uniformemente continua nel parallele- pipedo (x, y) E R. I z l~ .A . -~ iab , I P l ~ B + Mb, I q l ~ C'~ Ma e poich~, le z(t*)(x, y) sono equicontinue avremo

    a- -h :b

    .f f [zflt*)(x+h, y)--zf l")(x, y),dxdy

  • ,,;ul probh'mu di lmrboux, vcc. 139

    .'qA'gll(r a--h b ! j j + h. : / ) - < / /

    aln him

    e da l la (7) abb iamo a i lo ra la seeomla dei ie 16'). In re .do ;sn;l log., SUlq)O.'s, to

    (S ' ) I - - La >0,

    si r icava la quapta (6'). l ) i qui, le (6), cite insieme con h, t5), (5') permet-

    tOl|O, per il c r i te r io di RH.:sz, di a f fern iare l 'esistel lza di lln~l ~otto.~u('ves

    .qiom' {p(~)(.r ' , Y) I [{ q(~)(x, Y)I] uonvet'gente in medi;t in t l l l to il pi;Ino x, y e quindi l 'es is tenza di una sottosu(.('es.~iotte I z.t -(v)('r. Y) I [{ zy (~l'r' , Y) I]

    the converge in media in R. Da ci5 la (4).

    4. - - Oss. 1. - - l,e (,),~ (8') non vappvesentano nn;t ves i r iz ione t.fft, t-

    t iva, poich6 si pub senli)re l)ensare di ~('olnl)ol' l 't ' lWeVt.Utiv;tnmsltt ' R in un

    nmnero f in i fo di re t tango l i s imil i , le uui qlimensioni o', b' .~oddisfino t~)

    e (8'). Risoi to il p rob lema per c iascuno di ta l l re t tango l i (a Imvtive da qn~lli

    cont igu i agi i assi coord inat i ) ie d iverse sol izioni > ~' )st itnisc,, ,,

    unn soluzione di IC) ( :ont imm e iil).~cilitziana in R.

    Oss. 2. - - Se le quant i th z. p. q sono dei vettovi (veali) a /," ( .(mq,)

    nenl i , il l ) rocedimento vesta in; f l terato neli~ sostanz; l : t.sso perci5 ,~i ;q)-

    pl iea anche a l la r i so luz ione dei s is temi di pquazioni

    02z~ =[ (x ,y ; z~, , z , ; p~, , p~: q~, , q , ) , ~ i=: l . "' 1,) . . . . , . . . . . . . . - - . . . . . . ~x~y

    con Iv c,)ndizi,)ni

    z,~.v. 0) := :~l . r ) , : ,10 , y ) - - : , (y ) . ( i ---- 1. "2 . . . . . k ) .

    O.~'.~. 3. - - Anche l 'estenuiom, al e;1.~o delh, eqmlz i .n i ~'on i re v:lrialfi l i

    ind ipendent i u, c, w

    03z ~u~v~w = f u, v, w; z . , z. , z..',

    o con un numero maggiore di var iab i l i , non vi('lliede ('he vav iant i fomtmli.

    Oss. ~. - - Se z, p, q, anzieh