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Sumário
TRIGONOMETRIA ............................................................................................................3
GEOMETRIA ESPACIAL ..................................................................................................8
Geometria Plana – Fórmulas Básicas ...........................................................................8
Prismas ........................................................................................................................ 11
Cilindro ......................................................................................................................... 18
Pirâmide ....................................................................................................................... 21
Cone ............................................................................................................................. 24
Esferas ......................................................................................................................... 27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 32
3
TRIGONOMETRIA
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Onde:
a hipotenusa
bcatetos
c
É no triângulo retângulo que vale a máxima Pitagórica: “O quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.
2 2 2a b c
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
As relações trigonométricas básicas são aquelas que associam as medidas
dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As principais são: seno,
cosseno e tangente. O ângulo, medido em graus, é indicado pela letra x.
Função Notação Fórmula
seno sen x
Cateto Oposto
sen xHipotenusa
4
cosseno cos x
cosCateto Adjacente
xHipotenusa
tangente tan x
Oposto
tan
Catetox
Cateto Adjacente
Relação Fundamental
2 2cos 1sen x x
Círculo Trigonométrico
5
Valor numérico de Sen, Cos, Tan, Cotg, Sec e Cossec
0 30 6
ou
45 4
ou
60 3
ou
90 2
ou
sen 0 1
2
2
2
3
2 1
cos 1 3
2
2
2
1
2 0
tan 0 3
3 1 3
cotg 3 1 3
3 0
sec 1 2 3
3
3
3 2
cossec 2 3
3
2 3
3 1
Sinal das funções trigonométricas
1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ Quadrantes (+)
sen + + – – cossec 2
cos + – – + sec 4
tan + – + – cotg 3
6
Identidades Trigonométricas
2 2cos 1sen x x
tancos
sen xx
x
cost
xco g x
sen x
1sec
cosx
x
1cossec
sx
en x
2 2sec 1 tanx x
2 2sec 1 tco x co g x
Seno e Cosseno da soma e da diferença de arcos
Soma Diferença
cos cossen x y sen x y sen y x cos cossen x y sen x y sen y x
cos cos cosx y x y sen x sen y cos cos cosx y x y sen x sen y
Testes
1. Um papagaio (ou pandorga) é preso a um fio esticado que forma um ângulo
de 45° com o solo. O comprimento do fio é de 100m. Determine a altura do
papagaio em relação ao solo.
A) 10 2
B) 20 2
C) 30 2
D) 40 2
E) 50 2
7
2. Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede
vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada
ao chão é de:
A) 0,5 m
B) 1 m
C) 1,5 m
D) 1,7 m
E) 2 m
3.Se 4 cos15º cos75ºy , então y² vale:
A) 1
B) 1/4
C) 1/2
D) 3/4
E) 2
4. Complete as lacunas abaixo:
i. cosseno é positivo no _____ e _____ quadrantes.
ii. seno é negativo no _____ e _____ quadrantes.
iii. tangente é negativa no _____ e _____ quadrantes.
iv. secante é positiva no _____ e _____ quadrantes.
Gabarito
1.E 2.A 3.B
8
GEOMETRIA ESPACIAL
Geometria Plana – Fórmulas Básicas
Triângulo Triângulo Retângulo Triângulo
Equilátero
Retângulo
Fig
ura
Áre
a
2
b hA
2
b hA
2 3
4
aA A b h
Pe
rím
etr
o
P a b c P a b c 3P a 2P a b
9
Quadrado
Hexágono
Regular Círculo
Fig
ura
Áre
a
2A a 26 3
4
aA 2A r
Pe
rím
etr
o
4P a 6P a 2C r
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo vale a relação: 2V F A
V vertice
onde A Aresta
F Face
Face: é qualquer figura plana que delimita o poliedro. Formada por, no
mínimo, 3 arestas.
Aresta: é qualquer linha (lado) que determina a face.
Vértice: é o ponto de encontro de, pelo menos, 3 arestas.
10
Testes
1.Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em
6 unidades. Calcule o número de faces.
2.O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número
de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
3.Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de
Hexaedro?
Gabarito
1.8
2.10
3.F = 6, A = 12, V = 8
11
Prismas
São poliedros convexos que possuem 2 faces iguais, em planos paralelos,
denominadas BASES e cujas faces laterais são paralelogramos (para prismas
oblíquos) e retângulos (para prismas retos).
Exemplos
Prisma Oblíquo Prisma Reto
Prisma Triangular Regular
Área da Base
2 3
4b
aA
Área Lateral
3lA a H
Área Total
2 33
2t
aA aH
Volume
2 3
4
aV H
12
Prisma Quadrangular Regular
Área da Base
2
bA a
Área Lateral
4lA a H
Área Total
24 2tA aH a
Volume
2V a H
Prisma Hexagonal Regular
Área da Base
2 23 36 3
4 2b b
a aA A
Área Lateral
6lA a H
Área Total
26 3 3tA aH a
Volume
2 33
2
aV H
13
O CUBO – Hexaedro Regular
Área da Base
2
bA a
Área Lateral
24lA a
Área Total
26tA a
Volume
3V a
Diagonal de Face
2fd a
Diagonal do Cubo
3fd a
14
Testes
1. Noticiou o Suplemento Agrícola do jornal "O Estado de São Paulo", em
6/9/95, que a Secretaria da Agricultura e Abastecimento determinou que os
produtores de tomates enviem a mercadoria ao CEAGESP usando caixas,
padronizadas do tipo K, cujas dimensões internas são: 495mm de
comprimento, 355mm de altura e 220mm de largura. Cada medida tem uma
tolerância, para mais ou menos, de 3mm. A diferença entre o volume máximo e
o volume mínimo de cada caixa (em mm³):
A) 1.097.832
B) 1.078.572
C) 2.176.404
D) 2.160.000
E) 2.700.000
2. Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com
dimensões de 15cm de comprimento, 7,5cm de largura a 4cm de altura.
Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do ferro é 7,8g/cm³?
A) 35,1
B) 234
C) 351
D) 2340
E) 3510
15
3. Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma sala tem 8 mm de
largura, 10 mm de comprimento e 8 mm de altura. A capacidade, em litros,
dessa sala é:
A) 640
B) 6400
C) 800
D) 8000
E) 80000
4. A aresta de um tetraedro regular mede 2 cm. A medida do volume desse
poliedro, em cm³, é:
A) 2 2
3
B) 4 3
3
C) 8 2
D) 8 3
E) 16
16
5. Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância
máxima entre dois vértices deste paralelepípedo é:
A) 7 cm.
B) 8 cm.
C) 9 cm.
D) 10 cm.
E) 11 cm.
6. Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem
3m e 4m. Se a altura deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base,
então seu volume, em m³, é igual a:
A) 60
B) 30
C) 24
D) 12
7. Uma caixa-d'água, com a forma de um paralelepípedo retângulo, tem
capacidade para 1.000 litros. Qual é a capacidade de outra caixa, semelhante à
primeira, cujas medidas das arestas são 20% maiores?
A) 1.728 litros
B) 1.800 litros
C) 1.836 litros
D) 1.900 litros
E) 1.948 litros
17
8.A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de
comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas
e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água
restante no reservatório atingiu a altura de:
A) 2m
B) 3m
C) 7m
D) 8m
E) 9m
9. Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o
volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é:
A) 125
B) 100
C) 75
D) 60
E) 25
10. Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de
dimensões 15m e 10m. A quantidade necessária de litros de água para que o
nível de água da piscina suba 10 cm é:
A) 0,15 L
B) 1,5 L
C) 150 L
D) 1.500 L
E) 15.000
18
Gabarito
1. B
2. E
3. E
4. A
5. A
6. A
7. A
8. C
9. A
10.E
Cilindro
Entre todas as definições possíveis para o cilindro, a melhor diz que é um
prisma de base circular, assim sendo, temos...
Diâmetro
2D r
Área da Base
2
bA r
Área Lateral
2lA r H
Área Total
22 2lA r H r
Volume
2V r H
Cilindro Equilátero
2H r
19
Testes
1.Sabendo-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8cm de diâmetro e
18,5cm de altura e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900ml, o volume
de ar contido na lata "cheia" e "fechada" é: (Adote = 3,14)
A) 29,44 ml
B) 10,0 ml
C) 15,60 ml
D) 21,72 ml
E) 35,50 ml
2.Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a
3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual
a 20m². Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.
1.1
2.2
3.3
4.4
5.5
3.Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio
da base 3m. O nível da água nele contida está a 2
3 da altura do tanque. Se =
3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:
A) 113040
B) 169040
C) 56520
D) 37680
E) 56520
20
4.Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente
cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com
diâmetro 2 vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido
nesse segundo recipiente?
A) 1,5 cm
B) 2 cm
C) 2,5 cm
D) 4,5 cm
E) 5 cm
Gabarito
1. A
2. B
3. A
4. C
21
Pirâmide
São poliedros convexos cujas faces laterais são triangulares.
Exemplos
Pirâmide Reta Pirâmide Oblíqua
Pirâmide Triangular Regular
Área da Base
2 3
4b
aA
Área Lateral
3
2l
a APA
Área Total
23 3
2 2t
a AP aA
Volume
2 3
4 3
a HV
22
Onde AP é o apótema da Pirâmide
Pirâmide Quadrangular Regular
Área da Base
2
bA a
Área Lateral
2lA a AP
Área Total
22tA a AP a
Volume
2
3
a HV
Pirâmide Hexagonal Regular
Área da Base
2 23 36 3
4 2b b
a aA A
Área Lateral
3lA a AP
Área Total
23 33
2t
aA a AP
Volume
2 3
2
aV H
23
O TETRAEDRO REGULAR
Área da Base
2 3
4b
aA
Área Lateral
2 33
4l
aA
Área Total
2 3tA a
Volume
3 2
12
aV
Testes
1. São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um
dos planos um triângulo ABC de área 30cm² e no outro plano um ponto
qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:
A) 10cm³
B) 20cm³
C) 30cm³
D) 40cm³
E) 50cm³
24
2. Considere um tetraedro retangular e um plano que o intercepta. A única
alternativa correta é:
A) a intersecção pode ser um quadrilátero
B) a interseção é sempre um triângulo
C) a interseção é sempre um triângulo equilátero
D) a intersecção nunca é um triângulo equilátero
E) a intersecção nunca é um quadrilátero
Gabarito
1.E
2.A
Cone
De forma semelhante ao cilindro, podemos dizer que o cone é uma
pirâmide de base circular.
Diâmetro
2D r
Área da Base
2
bA r
Área Lateral
lA r g
Área Total
2
lA r g r
Volume
2
3
r HV
Cone Equilátero
2g r
26
1.A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da
base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8cm, então o volume
do cone, em centímetros cúbicos, é
A)64
B)48
C)32
D)16
E)8
2.Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm.
Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a
base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?
A) 10 3 cm
B) 3 10 cm
C) 20 2 cm
D) 20 cm
E) 10cm
3.Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base medindo 6cm.
Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?
A) 20
27
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Gabarito
1.A
2.A
3.E
Esferas
Diâmetro
2D r
Superfície Esférica
24Sup r
Volume
34
3V r
28
Testes
1.Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é
igual a:
A)
3
3
r
B) 32
3
r
C) 3r
D) 32r
E) 32 r
2.Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a
uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma
circunferência. O raio desta circunferência, em cm é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
29
3.A razão entre a área lateral do cilindro equilátero e da superfície esférica,
da esfera nele inscrita, é:
A) 1
B) 1
2
C) 1
3
D) 1
4
E) 2
3
4.Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro
circular reto de altura h = 12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 3
E) 13
5. Qual o diâmetro, em cm, de uma esfera cujo do raio vale 8cm?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
30
6.Numa esfera de diâmetro 20 cm, a metade do raio vale?
A) 5 cm
B) 10 cm
C) 15 cm
D) 20 cm
7.A superfície de uma esfera vale 16 m². O diâmetro dessa esfera, em m,
vale?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
8.Numa esfera de raio igual 4 cm, o volume, em cm³, vale?
9. Uma esfera que possui raio de 05 cm possui uma superfície esférica
igual a?
10.Qual o volume de uma esfera cujo diâmetro vale 6cm?
31
Gabarito:
1. E
2. E
3. A
4. C
5. D
6. A
7. B
8. V = 3
3
256cm
9. S = 100 π cm2
10. V = 36 π cm3
Sugestão de sites para consulta:
1.www.alunosonline.com.br
2.www.somatematica.com.br
3.www.matematicadidatica.com.br
32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Matemática: de olho no
mundo do trabalho. Volume único. São Paulo: Editora Scipione, 2004.
MACHADO, A. DOS S. Matemática Machado. Volume único. São Paulo.
Editora Atual, 2009.
DEGENSZAJN, D; DOLCE, O; IEZZI, O. & PÉRIGO, R. Matemática – Volume
único. São Paulo: Editora Atual, 5ªed., 2011.