TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

O que você deve saber sobre

Desde o teorema de Pitágoras, o longo caminho da trigonometria começa pelo estudo do triângulo retângulo e das razões entre as medidas de seus lados. Uma possibilidade de obter as razões, usada neste tópico, é partir da semelhança entre triângulos retângulos com um dos vértices coincidente.

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observe esta construção:

• Pontos A, B, B’ e B’’: colineares

• Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB”

Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados correspondentes proporcionais

Tendo como referência o ângulo :

• Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a em cada triângulo

• Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a em cada triângulo

• Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo

I. Semelhança de triângulos retângulos

Para qualquer triângulo retângulo semelhante a ABC, as razões correspondentes serão iguais àsrazões obtidas anteriormente. Essas três razões trigonométricas recebemos nomes de cosseno, seno e tangente

do ângulo e são definidas como:

II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente

Razões entre dois lados de cada um dos triângulos:


Trigonometria no Triângulo retânguloClique na imagem a baixo para ver a animação.


Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º):

a) o quadrado de lados e sua diagonal:

Os ângulos assinalados medem 45º:

III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis


b) o triângulo equilátero de lados e altura

O ângulo mede 60º.

Valores de seno, cosseno e tangente:



O ângulo denominado na figura do

eslaide anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e tangente:

• Os valores das razões trigonométricas de ângulos quaisquer são dados em calculadoras científicas.

• Ângulos complementares: valor do seno de um deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de um deles é o inverso do valor da tangente do outro.

• Os valores da tangente desses dois ângulos são inversos um do outro.



IV. Relação fundamental da trigonometria


Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2

Razões trigonométricas do ângulo assinalado:

Triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 1 unidade:

Triângulo ABC:

Reescrevendo o teorema de Pitágoras:

Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC:

IV. Relação fundamental da trigonometria


(Ufla-MG) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada , conforme a figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2.

Sendo 1 = 30 cm e 2 = 20 cm, calcule a altura da árvore.

1

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(Ufes) Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45º em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60º.

Qual a altura do edifício?

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


RESPOSTA:

(UFMG)Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O:Sabe-se que:• os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm;• a reta AB tangencia a circunferência no ponto B;• o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC;• E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF.

Calcule o comprimento do segmento OF.

6EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


(UFC-CE)A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo.

Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo.

7EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS10

RESPOSTA: Calcule:a) cos ABQ

b) cos ABP

c) cos QBP


(Fuvest SP)

Na figura a seguir, as cincunferencias têm centros A e B. O raio

da maior é do raio da menor; P é um ponto de intersecção

delas e a reta AQ é tangente à cincunferência menor no ponto

Q.

54

^

^

^

(UFRJ) A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e a OB.

Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60º, calcule a medida do raio R da circunferência maior. Justifique.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS11

RESPOSTA:


(UFScar-SP) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir.

a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo Â (formado pelos lados AC e AB).

b) Deduza a fórmula que dá a área SABC do triângulo, em função de b e c

(comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo Â.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS12

RESPOSTA:


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