Súmernosti7.ročník ZŠ

Mgr. Zuzana Blašková

ZŠ Staničná 13, Košice

Osová súmernosťurčenie

základné rysovanie

vlastnosti

úlohy s riešeniami

osovo súmerné útvary

precvičovanie

Stredová súmernosťurčenie

základné rysovanie

vlastnosti

úlohy s riešeniami

stredovo súmerné útvary

precvičovanie

Zahrajme saabeceda

vyskúšajme sadoplňovačka

Záver

Čím sa vyznačujú tieto obrázky?Sú súmerné

Zistite, či je ľudská tvár súmerná

Zistili sme

• veci okolo nás môžu byť súmerné– motýľ, ...

• sú veci, ktoré nie sú súmerné– ľudská tvár, ...

• vieme preložiť priamku, ktorá znázorňuje „čiaru“, podľa ktorej sú predmety súmerné

Osová súmernosť

• zrkadlenie• to, čo je na jednej strane, musí byť

aj na strane druhej• vodná hladina

zrkadlo, vodná hladina – os súmernosti

zrkadloo

vodná hladina

o

Určenie osovej súmernosti

• Osová súmernosť je určená priamkou – osou súmernosti o

• Osová súmernosť je zobrazenie, ktoré bodu A priradí bod A´ tak, že

AA´ o a |A´,o| = |A,o|

Zobrazujeme bod A v osovej súmernosti

o

A

A´

Zapisujeme: O(o): A -> A´

Čítame: bod A´ je obrazom bodu A v osovej súmernosti podľa osi o alebo v osovej súmernosti podľa osi o sa bod A zobrazí do bodu A´

oA

A´

Úloha

• Je daná os o a úsečka AB. Zobraz úsečku AB v osovej súmernosti podľa osi o. Čo platí o veľkosti A´B´?

• Zapíšeme:• O(o): AB -> A´B´

A

A´

B

B´

oVeľkosť originálu a jeho obrazu sú rovnaké

|AB| = |A´B´|

Zistenie

Osová súmernosť je zhodné zobrazenie, pretože zachováva dĺžky úsečiek

|AB| = |A´B´|

• Narysuj úsečku CD a priamku p, C p. Zobraz úsečku CD v osovej súmernosti podľa priamky p. Čo vieš povedať o obraze bodu C?

• Bod C a C´ splývajú – prečo?• Takéto body sa nazývajú

Úloha

p

CC´

D

D´samodružné body zobrazenia

Zistenie

Bod, ktorý sa zobrazí sám do seba nazývame samodružný bod zobrazenia

Zapisujeme: O(o): A -> A (A je samodružný)

Vlastnosti samodružných bodov osovej súmernosti:

• ležia na osi súmernosti

• je ich nekonečne veľa

• tvoria os súmernosti

ÚlohaJe daná priamka o a ľubovoľný trojuholník ABC.

Priamka o a ABC nemajú spoločný žiaden bod. Zobraz ABC v osovej súmernosti podľa priamky o.

A

C

B

o

A´

B´

C´

Zistenie

Ak chceme zobraziť celý útvar, musíme po jednom zobrazovať jeho vrcholy.

Nezabudni!

Hneď ako vrchol (bod) prenesieš, označ ho príslušným písmenom. Inak sa ti môže stať, že v spleti čiar sa pomýliš

Úlohy1) Zobraz obdĺžnik ABCD podľa jeho uhlopriečky AC.2) Zobraz kružnicu k(S;4cm) podľa jej sečnice

3) Zobraz CAT podľa výšky va

4) Narysuj ľubovoľný päťuholník MATIK. Zobraz ho podľaa) osi MKb) osi XY, X - stred KM, Y - stred ITc) osi o, ktorá s päťuholníkom nemá spoločný žiaden bod

Pri všetkých úlohách označ samodružné body. Nezabudni na zápis

2 3 4a1 4b 4c

Zápis: O(AC): ABCD -> AB´CD´

Body A a C sú samodružné, pretože ležia na osi súmernosti

Zápis: O(XY): k(S,4cm) -> k´(S´,4cm)

Body X a Y sú samodružné, pretože ležia na osi súmernosti

X

Yk

k´

Zápis: O(va): CAT -> C´AT´

Body A a PA sú samodružné, pretože ležia na osi súmernosti

Zápis: O(MK): MATIK -> MA´T´I´K

Body M a K sú samodružné, pretože ležia na osi súmernosti

Zápis: O(XY): MATIK -> M´A´T´I´K´

Body X a Y sú samodružné, pretože ležia na osi súmernosti

Zápis: O(o): MATIK -> M´A´T´I´K´

Samodružné body tento útvar nemá, pretože os súmernosti s päťuholníkom nemá spoločný bod

Osovo súmerné útvary• Čo je zaujímavé na týchto obrázkoch?

Osovo súmerné útvary

• útvary, ktoré sa zobrazia samé do seba (dve zhodné polovice)

• vieme ich „preložiť“ na polovicu tak, že obe časti sú úplne rovnaké

• vieme u nich nájsť ich os súmernosti

úsečkaZ

ákla

dné

osov

o sú

mer

né

útva

ry

úsečka

rovnoramenný trojuholník

Zák

ladn

é os

ovo

súm

erné

út

vary

úsečka

rovnostranný trojuholník

rovnoramenný trojuholník

Zák

ladn

é os

ovo

súm

erné

út

vary

úsečka

rovnostranný trojuholník

kružnica

rovnoramenný trojuholník

Zák

ladn

é os

ovo

súm

erné

út

vary

Koľko je všetkých riešení?

úsečka

rovnostranný trojuholník

obdĺžnik (štvorec)

kružnica

rovnoramenný trojuholník

Zák

ladn

é os

ovo

súm

erné

út

vary

úsečka

rovnostranný trojuholník

kružnica

pravidelný päť-(n)-uholník

rovnoramenný trojuholník

Zák

ladn

é os

ovo

súm

erné

út

vary

obdĺžnik (štvorec)

úsečka

rovnostranný trojuholník

kružnica

pravidelný n-uholník

rovnoramenný trojuholník

Základné osovo súmerné útvary

urči a zapamätaj si, koľko osí súmerností majú tieto útvary

ktoré ďalšie osovo súmerné útvary poznáš?

obdĺžnik (štvorec)

Základné geometrické útvaryv osovej súmernosti

• bod

• úsečka

• trojuholník

• kružnica

• štvorec

Je tento obrázok súmerný?

je súmerný, ale nie podľa osi – neviem nájsť os súmernosti

je súmerný podľa stredu

Určenie stredovej súmernosti

• Stredová súmernosť je určená bodom – stredom súmernosti S

• Stredová súmernosť je zobrazenie, ktoré bodu A priradí bod A´ tak, že

S AA´ a |A´S| = |AS|

Zobrazujeme bod A v stredovej súmernosti

S

A

A´

A

A´

S

• Zapisujeme: S(S): A -> A´• Čítame: Bod A´ je obrazom bodu A v

stredovej súmernosti podľa stredu S alebo v stredovej súmernosti podľa stredu S sa bod A zobrazí do bodu A´

Úloha• Je daný bod S a úsečka AB. Zobraz úsečku

AB v stredovej súmernosti podľa stredu S. Čo platí o úsečkách AB a A´B´?

• Zapíšeme:• S(S): AB -> A´B´

Veľkosť originálu a jeho obrazu sú rovnaké

|AB| = |A´B´|A

A´

SB

B´

Obraz úsečky je rovnobežný s jej vzorom AB | | A´B´

Zistenie

Stredová súmernosť je zhodné zobrazenie, pretože zachováva dĺžky úsečiek

Stredová súmernosť zachováva aj rovnobežnosť

|AB| = |A´B´|

AB | | A´B´

• Narysuj úsečku CD. Zobraz túto úsečku v stredovej súmernosti podľa bodu C. Čo vieš povedať o obraze bodu C?

• Bod C a C´ splývajú – prečo?• Ako sa nazýva tento bod?

Úloha

D´

D

C´= CC

Zistenie

Bod, ktorý sa zobrazí sám do seba nazývame samodružný bod zobrazenia

Zapisujeme: S(S): A -> A

(A je samodružný)

Stredová súmernosť má jeden samodružný bod – stred súmernosti

ÚlohaJe daný bod S a ľubovoľný trojuholník ABC. Bod

S leží mimo trojuholníka Zobraz ABC v stredovej súmernosti podľa bodu S.

A

C

B

A´

B´

C´

S

Zistenie

Ak chceme zobraziť celý útvar, musíme po jednom zobrazovať jeho vrcholy.

Nezabudni!

Hneď ako vrchol (bod) prenesieš, označ ho príslušným písmenom. Inak sa ti môže stať, že v spleti čiar sa pomýliš

Úlohy1) Zobraz obdĺžnik ABCD podľa stredu jeho

uhlopriečok2) Zobraz kružnicu k(S;4cm) podľa ľubovoľného bodu

bodu na kružnici3) Zobraz SYR podľa jeho ťažiska.4) Narysuj ľubovoľný päťuholník MATIK. Zobraz ho

podľaa) bodu mimo päťuholníkab) bodu Tc) priesečníka priamok AK a MI

Pri všetkých úlohách označ samodružné body. Nezabudni na zápis

2 3 4a1 4b 4c

Zápis: S(S): ABCD -> CDAB

Zápis: S(X): k(S,r) -> k´(S´,r)

Zápis: S(T): SYR -> S´YR´

Zápis: S(C): MATIK -> M´A´T´I´K´

Zápis: S(T): MATIK -> M´A´TI´K´

Zápis: S(P): MATIK -> M´A´T´I´K´

Stredovo súmerné útvary

• útvary, ktoré sa zobrazia samé do seba

• vieme u nich nájsť ich stred súmernosti

• z osovo súmerných základných útvarov vyber tie, ktoré sú aj stredovo súmerné

úsečka

Svzor obraz

vzorobraz

Zák

ladn

é st

redo

vo

súm

erné

útv

ary

úsečka

kružnica

S

vzor

obraz

vzor

obraz

vzor

obraz

Zák

ladn

é st

redo

vo

súm

erné

útv

ary

úsečka

štvorec (obdĺžnik) S

kružnica

A

D C

BX

X´

Zák

ladn

é st

redo

vo

súm

erné

útv

ary

úsečka

S

kružnica

A

D

C

BX

X´

šesťuholník

E

F

Zák

ladn

é st

redo

vo

súm

erné

útv

ary štvorec

(obdĺžnik)

úsečka

kružnica

Základné stredovo súmerné útvary

kde sa nachádza stred súmernosti týchto útvarov?

ktoré ďalšie stredovo súmerné útvary poznáš?

Je trojuholník (ľubovoľný, rovnoramenný, rovnostranný) stredovo súmerný? Prečo?

šesťuholník

štvorec (obdĺžnik)

Základné geometrické útvaryv stredovej súmernosti

• bod

• úsečka

• trojuholník

• kružnica

• štvorec

V nasledujúcej úlohe roztrieďte písmená:

-len osovo súmerné

-len stredovo súmerné

-osovo aj stredovo súmerné

-nesúmerné

Abeceda

A

F

EG

HI

JL

B

K

M

N

D

C

P

R

S

T

U

OV

W

Z

X

Y

osovo súmerné

stredovo súmerné

nesúmerné

ľubovoľnou priamkou

osou súmernosti

kolmicou na úsečku

osová súmernosť je určená...

Pri zobrazovaní bodu v osovej súmernosti používam

iba pravítko s ryskou

pravítko s ryskou a kružidlo

uhlomer a pravítko s

ryskou

Šesťuholník je útvar ...

stredovo súmerný

osovo súmerný

stredovo a osovo

súmerný

nie je súmerný ani stredovo ani

osovo

Stredovo súmerné útvary sú...

štvorec, obdĺžnik,

trojuholník, kružnica

rovnostranný trojuholník, kružnica, úsečka

kružnica, úsečka,

pravidelný šesťuholník

Osovo súmerné útvary sú...

kružnica, trojuholník,

úsečka, päťuholník

obdĺžnik rovnoramenný

trojuholník, pravidelný

šesťuholník

obdĺžnik rovnoramenný

trojuholník, päťuholník

Ak O(o): CD -> C´D´, potom platí:

|CD| = |C´D´|

CD || C´D´a

|CD| = |C´D´|

CD || C´D´

Ak S(H): FGH -> F´G´H, tak platí:

bod H sa nezobrazuje

bod H je samodružný bod

je to osová súmernosť

bod H je samodružný bod a je to stredová

súmernosť

S(KU): KRUH ->KR´UH´

Zobrazím štvorec KRUH v osovej súmernosti podľa jeho uhlopriečky KU. Správny zápis tejto súmernosti je:

O(o): KRUH ->K´R´U´H´

O(KU): KRUH ->KR´UH´

Osová súmernosť - zhrnutie• Zápis: O(o): A -> A´

O(o): CD -> C´D´

• zhodné zobrazenie |AB| = |A´B´|

• samodružné body ležia na osi súmernosti, je ich nekonečne veľa, ich obraz je zhodný s pôvodným bodom

• ak chcem zobraziť ľubovoľný rovinný útvar, musím zobraziť každý vrchol útvaru

• osovo súmerný útvar je ten, ktorému viem nájsť os súmernosti tak, že sa zobrazí sám do seba

Stredová súmernosť - zhrnutie• Zápis: S(S): A -> A´

S(S): CD -> C´D´

• zhodné zobrazenie |AB| = |A´B´|; AB || A´B´

• samodružný bod je len jeden a to stred súmernosti

• ak chcem zobraziť ľubovoľný rovinný útvar, musím zobraziť každý vrchol útvaru

• stredovo súmerný útvar je ten, ktorému viem nájsť stred súmernosti tak, že sa zobrazí sám do seba

Všade okolo seba nájdeš veľa

predmetov, ktoré sú súmerné.

Skús určiť os alebo stred

súmernosti.

Veľa zdaru