Supplerende opgaver til Trip’s matematiske Bog 3 ...kurser.ef.dk/trip/Bog3/05_Integral.pdf1 1 − +3 3 ∫ − b) ( ex x+ xp( ))dx ∫ −2 6 c) cos(2x d) x ∫ −π/4 π/2 5038

Supplerende opgaver til Trip’s matematiske Bog 3. ©Forlaget TRIP.Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

V. Integralregning§§ 23-27. Side �

Integralregning (§§ 23-27)

5001 Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a)f(x)=3∙x0,4+7 b)f(x)=2∙7x+x7

c)f(x)=8∙exp(x)+ln(25)∙5x d)f(x)=e2∙exp(2x)+12∙x5

5002Bestemvedhåndkraftsamtligestamfunktionertilhveraffunktionerne a)f(x)=3x−4+5x−11 b)f(x)=4∙x−7 − ln(81) ∙ 3x

c)f(x)=5∙ln(x)+9 d)f(x)=3cos(x) − 6 sin(x)

5003Bestemvedhåndkraftsamtligestamfunktionertilhveraffunktionerne a)f(x)=4∙ln(2)∙2x − ln(8) ∙ exp(ln(2) ∙ x) b)f(x)=2∙x−1+1 c)f(x)=5∙ln(x)+5 d)f(x)=14∙x−8+3∙8x

5004Bestemvedhåndkraftsamtligestamfunktionertilhveraffunktionerne

a) f xx

( ) = −5

6 b) f x xx

( ) = ⋅ −42

c) f xx

x( ) =

2

d) f xx

x( )

,

=0 5

5005Bestemvedhåndkrafthvertafdeubestemteintegraler

a) f x x dx( ) exp( )= ⋅∫7 3 b) f x dxx x( ) ( )= ⋅ +∫ 5 7 3

c) f x x x dx( ) (exp( ) exp( ))= + ⋅∫ 4 3 2 d) f x x x dx( ) (exp( ) exp( ))= + ⋅∫ 5 3 10

5006 Bestem ved håndkraft hvert af de ubestemte integraler

a) f xx

xdx( ) = ∫ 5 b) f x

x

x xdx( ) =

⋅ −∫ 3

c) f xx

x xdx( ) =

⋅∫3

d) f xx

x xx x dx( ) ( )=

⋅− ⋅∫

42

5007Bestemvedhåndkraftsamtligestamfunktionertilhveraffunktionerne a)f(x)=8∙(8x + 4)2 b)f(x)=5∙exp(10x+1) c)f(x)=sin(3x + 8) d)f(x)=2∙ln(5x + 8)

5008Bestemvedhåndkraftsamtligestamfunktionertilhveraffunktionerne a)f(x)=x∙(3x2 + 1)2 b)f(x) = (6x2+4)∙sin(x3 + 2x) c)f(x)=4x∙cos(x2 + 6) d) f(x)=x∙ln(x2 + 1)

5009Bestemvedhåndkraftsamtligestamfunktionertilhveraffunktionerne

a) f xx

x( )

exp( )exp( )

=+1

b) f xx x

x x( ) =

++ +

20 2

5 1

3

4 2

c) f xx

x x( ) ( ) (ln( ) )= + ⋅ +1

1 2 2 d) f x x x( ) sin( ) (cos( ) )= ⋅ + 5 3


V. Integralregning§§ 23-27. Side 2

5010Bestemvedhåndkraftforhveraffunktionernedenstamfunktiontilfunktionenhvisgrafgårgennempunktetmedkoordinatsæt(2,3):

a)f(x)=(2x − 5)2 b)f(x) = 6 ∙ (4x − 7)2

c)f(x) = 6x∙(x2 − 2)2 d)f(x)=(2x − 1) ∙ (x2 − x)3


a) f xx

( ) =−2

4 17 b) f x

x

x( ) =

+2 11

c) f xx

( ) =+4

8 9 d) f x

x x

x x( ) =

++ +2

250

3

4 2


a)f(x)=cos(2x − 8) b) f(x) = 4 ∙ sin(6x − 1) c)f(x)=(2x − 3) ∙ sin(4x2 − 12x) d)f(x)=x∙cos(3x2 − 25)

5013Bestemvedhåndkraftforhveraffunktionernedenstamfunktiontilfunktionenhvisgrafgårgennem punktet med koordinatsæt (−1,7):

a)f(x)=2∙exp(3x+1) b)f(x)=x2∙exp(2x3+5) c)f(x)=(x+1)∙exp(x2+2x +1) d)f(x)=(x+3)∙exp(x2 + 6x)

5014Bestemvedhåndkraftforhveraffunktionernedenstamfunktiontilfunktionenhvisgrafgårgennem punktet med koordinatsæt (4,−2):

a)f(x)=43x − 10 b)f(x)=8− x+5

c)f(x)=3e2x − 5 d)f(x)=5−2x+10

5015Bestemdenstamfunktiontilfunktionen

f xx x

( ) =+4

2

hvisgrafgårgennempunktetmedkoordinatsæt(3,5).

5016 Bestem den stamfunktion til funktionen

f x x x( ) ln( )= +


5017Bestemsamtligestamfunktionertilfunktionenf x x( ) sin( )=

5018Bestemsamtligestamfunktionertilfunktionen

f xx

x x( ) =

− +2 5 6

5019Bestemsamtligestamfunktionertilfunktionenf(x)=x2∙cos(x)



5020Bestemdenstamfunktiontilfunktionen

f x x x( ) exp( )= ⋅2


5021Bestemdenstamfunktiontilfunktionenf x x x x( ) ln( )= ⋅ +

hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (1,6).

5022Bestemdenstamfunktiontilfunktionenf x x x( ) exp( )= ⋅ + 3


5023Bestemdenstamfunktiontilfunktionenf x x x( ) (ln( ))= ⋅ ⋅ +4 43 2 1

dergårgennempunktetmedkoordinatsæt(2,5).

5024Betragtfunktionenfmedforskriftf(x)=x2 − 3x − 10

Bestemdetostamfunktionertilfunktionenf hvisgraferharførsteaksensomtangent.

5025Betragtfunktionenfmedforskriftf(x)=x2 − 13x+41

Bestemeventuellestamfunktionertilfunktionenf hvisgraferharlinjenmedligningy=x+2

somtangent.

5026 Betragt funktionen fmedforskriftf(x)=exp(5x+3)

Bestemeventuellestamfunktionertilfunktionenf hvisgraferharlinjenmedligningy=2x+8

somtangent.

5027Betragtfunktionenfmedforskriftf(x)=exp(5∙x + 2)− exp(4 ∙ x)

Bestemeventuellestamfunktionertilfunktionenf hvisgraferharlinjenmedligningy=3

somtangent.

5028Betragtfunktionenfmedforskriftf(x)=x2+exp(x)

Bestemeventuellestamfunktionertilfunktionenf hvisgraferharlinjenmedligningy=5x+1

somtangent.(Dumåhernøjesmedtilnærmedeværdier)



5029Betragtfunktionenfmedforskriftf(x)=ln(x − 5) − 2

Bestemeventuellestamfunktionertilfunktionenf hvisgraferharlinjenmedligningy=7

somtangent.

5030Ladf være en funktion der er defineret i [–2;11], og som har en stamfunktion F.TabellenvisernogleværdierforfunktionenfogstamfunktionenF:

x –2 0 4 8 11f(x) 5 2 –6 15 31F(x) 23 29 28 25 95

Beregnhvertafintegralerne

a) f x dx( )−∫ 2

4

b) f x dx( )

−∫ 2

11 c) f x dx( )

4

11

∫ d) f x dx( )

0

8

∫

5031Ladf være en funktion der er defineret i [–10;10], og som har en stamfunktion F.TabellenvisernogleværdierforfunktionenfogstamfunktionenF:

x –10 –5 0 5 10f(x) −7 –2 –1 6 13F(x) 55 32 −25 4 50


a) f x dx( )−∫ 10

10

b) f x dx( )

−∫ 10

0 c) f x dx( )

−∫ 5

5

d) f x dx( )

0

5

∫

5032Ladf være en funktion der er defineret i [0;12], og som har en stamfunktion F.TabellenvisernogleværdierforfunktionenfogstamfunktionenF:

x 0 3 6 10 12f(x) 5 4 0 2 7F(x) 34 46 51 55 61


a) f x dx( )6

12

∫ b) f x dx( )

4

6

∫ c) f x dx( )10

3

∫ d) f x dx( )

12

0

∫

5033Ladf være en funktion der er defineret i [−5;25], og som har en stamfunktion F.TabellenvisernogleværdierforfunktionenfogstamfunktionenF:

x 0 5 10 15 20f(x) −6 –8 –11 − 7 0F(x) 14 −20 − 55 − 100 − 117


a) f x dx( )5

15

∫ b) f x dx( )

15

20

∫ c) f x dx( )20

0

∫ d) f x dx( )

0

5

∫



5034Detoplysesat

f x dx( )1

95∫ = , f x dx( )

4

97∫ = −

og g x dx( )

1

43∫ =

Bestemhvertafintegralerne

a) f x dx( )1

4

∫ b) ( ( ) ( ))f x g x dx+∫1

4

c) ( ( ) ( ))5 3

1

4⋅ + ⋅∫ f x g x dx

5035Detoplysesat

f x dx( )

−∫ =4

814 , f x dx( )

6

158∫ =

og f x dx( )

6

85∫ = −


a) f x dx( )8

15

∫ b) f x dx( )

−∫ 4

15

c) f x dx( )

−∫ 4

6

d) f x dx( )

15

4−

∫

5036 Det oplyses at

f x dx( )

−∫ = −8

47 , f x dx( )

11

463∫ = −

og g x dx( )

−∫ =8

1156


a) f x dx( )−∫ 8

11

b) ( ( ) ( ))f x g x dx−

−∫ 8

11

c) ( ( ) ( ))5 2

8

11⋅ − ⋅

−∫ f x g x dx

5037Bestemvedhåndkrafthvertafintegralerne:

a) ( )x x dx4 2

1

13 3− +

−∫ b) ( exp( ))x x dx+

−∫ 2

6

c) cos( )2x dx

−∫ π/4

π/2


a) ( )x dx−∫ 6 3

5

8

b) (ln( ) )x x dx+∫1

2

c) 53 1

1

0 x dx+−∫


a)2

86

4

xdx

+−∫ b)

x

xdx

20

6

2+∫

c)x

x xdx

++ +−

−

∫2

4 524

2


a) x dxx⋅ −∫ 32 1

1

2

b) ( ) exp( )x x x dx2 3

1

02 6 8+ ⋅ + +

−∫ c) ln( )2 5

2

3x dx+

−∫


a) ( ) ( )x x x dx− ⋅ − +∫ 3 6 102 3

3

4

b) (exp( ) ) (exp( ) ln( ))x

xx x dx+ ⋅ +∫

1 3

3

4



5042Bestemhvertafintegralerne:

a) x dx2

2

76+∫

b) sin( )x dx+∫ 11

5

5043Bestemhvertafintegralerne:

a) (exp( ) )x x dx⋅ −−

−

∫ 4

1

b) ( ln( ))4

10

5⋅ ⋅ −

−

−

∫ x x dx

c) ( ln( ))94

2⋅ − ⋅ −

−

−

∫ x x dx

5044Bestemvedhåndkraftkonstantenkså

( )k

xdx+ =∫ 1 7

1

5

5045Bestemvedhåndkraftkonstantenkså

( )k x x dx⋅ − ⋅ =∫ 4 3

0

14 2

5046 Bestem konstanten kså

k dxx

2

510∫ =

5047Bestemkonstantenkså

( )x x k dx⋅ + =∫2

650

5048Bestemkonstantenksåx

x kdx

+=∫7

84

5049Etcas-programgiver

solve

⌠⌡

s

0x⋅expx x = 0.1, s

→ s = .391659 or s = -.531812Warning: More solutions may exist

Gørredeforatderkunertoløsningertilligningen.


solve

⌠⌡

4

3

x + 1s x = 6, s

→ s = 1.48693Warning: More solutions may exist

Gørredeforatderkunkanværeenløsningtilligningen.


solve

⌠⌡

s

0

2x ⋅expx x = 5, s

→ s = 1.62034Warning: More solutions may exist

Gørredeforatderkunkanværeenløsningtilligningen.



5052Bestemvedhåndkrafttalletsså( )2 1 18

3x dx

s+ =∫

5053Bestemvedhåndkrafttalletsså3 1 262

0⋅ + =∫ ( )x dx

s

5054Bestemvedhåndkrafttallettsåe2

05xt

dx∫ =

5055Bestemtallettsåln( )x dx

t+ =∫ 2 3

0

Detoplyses,atderkunerenløsning.

5056 Bestem tallet tså( exp( ))x x dx

t 2

29+ =

−∫5057Bestemtallettså

( )x dxxt 2

02 91+ =∫

5058Betragtfølgende”resultater”

1)

⌠⌡

1

-1

1sinx

x → 0

2)

⌠⌡

4

-1

xsinx

x→ 16.6305Warning: Questionable accuracy

a)Overvejhvilkeproblemerderermedhvertafintegralerne. b)Tegngraferneforintegranderne.

5059Betragtfølgende”resultater”

1)fnint

xln x

, x, -2, 2

→ 0.

2)fnint

1expx - 1

, x, -1, 2

→ 10.1777Warning: Questionable accuracy




5060 Betragt følgende ”resultater”

1)

⌠⌡

10

1

12 - lnx

x→ 11.3651Warning: Questionable accuracy

2)

⌠⌡

5

-1

xexpx - 1

x → 2.88189


5061 Bestem ved håndkraft arealet af det begrænsede område der afgrænses af graferne for funktio-nernemedforskrifter

f(x)=x2 − 8x+18ogg (x)=x+4

5062 Bestem ved håndkraft arealet af det begrænsede område der afgrænses af graferne for funktio-nernemedforskrifter

f(x) = − 2x2+8x+10ogg (x) = − 2x+18

5063 Bestem arealet af det begrænsede område der afgrænses af graferne for funktionerne med for-skrifter

f x xx

( ) = +24 ogg (x)=x+5

Prøveventueltomdukanløseopgavenvedhåndkraft.


f(x)=exp(2x)ogg (x)=exp(3x)+0,05


f(x)=ln(x)+4ogg (x)=x2− 6x+9

5066 Betragt funktionerne med forskrifter f(x)=x3 − 3x2ogg (x)=x − 3

a)Tjekvedindsættelseiforskrifterneatgraferneskærerhinandenfor x = − 1, x=1ogx=3. b)Bestemvedhåndkraftarealetafdettodelteområdederafgrænsesafgrafernefordetofunk-

tioner.

5067 Betragt funktionerne med forskrift f(x)=x4 − 13x3 + 56x2 − 92x+48ogg (x)=0

Bestemarealetafdettredelteområdederafgrænsesafgrafernefordetofunktioner.

5068 Det oplyses at graferne for funktionerne med forskrifter f(x)=x3+1ogg (x)=3x afgrænserettredeltbegrænsetområde.Bestemarealetafdettetredelteområde.



5069 Bestem arealet af det firdelte område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifterf(x)=9∙cos(x)ogg (x)=x − 1

5070Førsteaksenoggrafenforfunktionenmedforskriftf(x)=x4 − 9x3 + 26x2 − 24x+2

afgrænseretområdeifjerdekvadrantderharetareal. a)Bestemarealetafdetteområde. b)Linjenmedligningx = k,delerområdetitoområderderhverharetareal.Bestemtalletkså

detoområdersarealererligestore.

5071Grafenforfunktionenmedforskrift f x x x( ) exp( )= − 3 afgrænsersammenmedlinjenmedligningx = k,k>0ogkoordinatsystemetsakseretområdederharetareal.

Bestemdeværdieraftalletkforhvilkearealeter10.

5072Betragtfunktionenmedforskriftf(x)=exp(x).Grafenafgrænsersammenmedlinjenmedlig-ningx = k,k>0ogakserneetområdeiførstekvadrantAkderharetareal.

Grafenafgrænsersammenmedlinjernemedligningerx = kogx=2k,k>0ogførsteaksenetområdeiførstekvadrantBkderharetareal.

a)BestemtalletksåBker100gangesåstortsomAk. b)Bestemksomfunktionafn,n >0,nårBkerngangesåstortsomAk.5073Betragtfunktionenmedforskriftf(x)=x2 − 14x +24.Grafenafgrænsersammenmedførsteak-

senenpunktmængdeMifjerdekvadrantderharetareal. a)BestemarealetafM. PunktmængdenMdelesaflinjenmedligningx = kitopunktmængderderhverharetareal. b)Mellemhvilkegrænserskalkligge? c)BestemtalletksådendelafMderliggertilvenstrefork,er5gangesåstorsomdendelder

liggertilhøjrefork.

5074Graferneforfunktionernef(x)=exogg (x)=x2+1afgrænsersammenmedlinjenmedligningx = k,k>0enpunktmængdeAkiførstekvadrantderharetareal.

a)BestemtalletksåarealetafAker100.Detograferafgrænserogsåsammenmedlinjenmedligningx = −k,k>0enpunktmængdeBk iandenkvadrantderharetareal.

b)BestemtalletksåarealerneafAkogBkerligestore.

5075Førsteaksenoggrafenforfunktionenmedforskriftf(x)=(x − 3)2 − 3 ∙ ln(x)

afgrænseretbegrænsetområde.Bestemarealetafdetteområde.

5076 Førsteaksen, linjen med ligning x=k,0<k<37oggrafenforfunktionenmedforskriftf x

x( ) ln( )=

37

afgrænseretbegrænsetområdeifjerdekvadrant.a)Bestemfork=1arealetafdetteområde.b)Bestemtalletk så arealet af området er 16.

5077Førsteaksen,linjernemedligningerx = −10 og x = −5 og grafen for funktionen med forskrift f(x)=ln(|x|)

afgrænseretbegrænsetområde.Bestemarealetafdetteområde.


V. Integralregning§§ 23-27. Side �0

5078Førsteaksen,linjernemedligningerx=k og x = − k,k>0oggrafenforfunktionenmedforskrift

f xx

( ) exp( )= − ⋅510

afgrænseretbegrænsetområdeAitredjeogfjerdekvadrant.a)Bestemtalletksåarealetafdetteområdeer25.b)Bestemtalletksåarealetafdetteområdeer1000000.c)Førsteaksen,linjernemedligningerx = − k og x=m, − k<m<koggrafenforfunktionenafgrænseretbegrænsetområdeB.Bestemfork = 6 tallet m,såarealetafBerhalvtsåstortsomarealetafA.

5079Førsteaksenoggrafenforfunktionenmedforskriftf(x)=exp(x − 1) − 10 ∙ sin(x)

afgrænseretbegrænsetområdeifjerdekvadrant.Bestemarealetafdetteområde.

5080Figurenvisergrafenforenkontinuertfunktionf.Funktionenhar3nulpunkter,derkaldesa,bogc. GrafenafgrænsersammenmedførsteaksentoområderM1ogM2.Detoplysesat

f x dxa

b( ) ,∫ =10 7163

ogat

f x dxa

b( ) ,∫ = 4 3244

a)Bestem f x dxb

c( )∫ .

b)BestemarealetafområdetM2.

5081Figurenvisergrafenforenkontinuertfunktionf.Funktionenhar4nulpunkter,derkaldesa,b, cogd.GrafenafgrænsersammenmedførsteaksentreområderM1,M2ogM3.Detoplysesat

f x dxa

c( ) ,∫ = −22 0718 , f x dx

b

c( ) ,∫ = 7 1078

ogat

f x dxb

d( ) ,∫ = 3 3296

BestemarealetafhvertafområderneM1,M2ogM3.

a b c

f

M2

M1

1

1

a b c

f

M2

M1

11

M3

d


V. Integralregning§§ 23-27. Side ��

5082Figurenvisergrafenforenkontinuertfunktionf.Funktionenhar4nulpunkter,derkaldesa,b, cogd.GrafenafgrænsersammenmedførsteaksentreområderM1,M2ogM3.Arealerneafdetreområderer α (M1)=10,222 α (M2) = 6,750 α (M3)=14,850


a) f x dxa

b( )∫

b) f x dxb

c( )∫

c) f x dxa

d( )∫

d) f x dxb

d( )∫

5083Figurenvisergrafenforenkontinuertfunktionf.Funktionenhar3nulpunkter,derkaldesa,bogc. GrafenafgrænsersammenmedførsteaksentoområderM1ogM2.Detoplysesat

f x dxa

c( ) ,∫ = 4 3046

ogatarealetafområdetM1 er 26,5484.

Bestem f x dxb

c( )∫ .

5084Betragtfunktionernemedforskrifterf(x)=ln(x)ogg (x)=exp(x)

Graferneharetskæringspunkt. a)Findx-koordinatentilskæringspunktetogkalddens. Graferneafgrænsersammenmedlinjenmedligningx = k,k>setområdeMk,derharetareal

A(k). b)BestemenforskriftforfunktionenA(k). c)Bestemtalletk,såarealeter25. d)Bestemtalleth,sålinjenx = hhalvererarealetic). e)BestemarealetafdendelafM10derliggeroverførsteaksen. f)BestemarealetafdendelafM10derliggerunderførsteaksen.

ab c

f

M2

M1

11

M3 d

a b c

f

M2

M1

11



5085Betragtforx ≤ 0 funktionerne med forskrifterf x x g x x( ) ( )= = −3 og

Graferneafgrænsersammenmedlinjenmedligningx = k,k<0etområdeMk,derharetarealA(k).

a)Bestemarealetafdetområdeudtryktvedk. b)Bestemtalletk, så arealet er 76. c)BestemA(−11). d)BestemarealetafdendelafM−16 derliggeroverførsteaksen. e)BestemarealetafdendelafM−16derliggerunderførsteaksen.

5086 Beregn ved håndkraft volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området

{(x,y)| −1 ≤ x ≤ 5 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 6x + }drejes 360° omkring førsteaksen.

5087Beregnvedhåndkraftvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ 2x+1}

drejes 360° omkring førsteaksen.

5088Beregnvedhåndkraftvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 1 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ e2x }


5089Beregnvedhåndkraftvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet

{(x,y)| 1 ≤ x ≤ 6 ∧ 0 ≤ y ≤ ln( )x }drejes 360° omkring førsteaksen.

5090Bestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdetmellemførsteaksenoggrafenforfunktionenmedforskrift

f(x)=x+ln(x) , 2 ≤ x ≤ 4drejes 360° omkring førsteaksen.

5091Beregnvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 0 ≤ x ≤ 4π ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∙ cos(x)+x+1}


5092Bestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdetmellemførsteaksenoggrafenforfunktionenmedforskrift

f(x)=2x+ln(x) , 1 ≤ x ≤ 4drejes 360° omkring førsteaksen.

5093Ladkværeetpositivttal.Betragtdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ k∙x2+2}

drejes 360° omkring førsteaksen. Bestemtalletk,såvolumenetbliver224.



5094Ladkværeetpositivttal.Betragtdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ (sin(x))2+k}

drejes 360° omkring førsteaksen. Bestemtalletk,såvolumenetbliver35.

5095Ladaværeetpositivttal.Betragtdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 0 ≤ x ≤ a∧ 0 ≤ y ≤ 3 + x3}

drejes 360° omkring førsteaksen. Bestemtalleta, så volumenet bliver 456.

5096 Lad aværeetpositivttal.Betragtdetomdrejningslegemederfremkommernårområdet{(x,y)| 0 ≤ x ≤ a∧ 0 ≤ y ≤ 5x + 2x + 1}

drejes 360° omkring førsteaksen. Bestemtalletasåvolumenetbliver890.

5097 Betragt i intervallet [0;3] funktionerne foggmedforskrifter

f xx

g x x( ) ( )= + = +2

10010 100 og

a) Gør rede for at for − 10 ≤ x ≤ 0 er 0 ≤ g (x) ≤ f(x).b)Beregnvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommervedatdrejeområdetmellemgraferne 360° omkring førsteaksen.

5098 Betragt i intervallet [− π/2;π/2] funktionerne foggmedforskrifterf(x)=2+cos(x)ogg (x) = 2 − cos(x)

a) Gør rede for at for − π/2 ≤ x ≤ π/2 er 0 ≤ g (x) ≤ f(x).b)Beregnvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommervedatdrejeområdetmellemgraferne 360° omkring førsteaksen.

5099 Betragt i intervallet [0;5] for k ≥ 0 funktionerne foggmedforskrifterf(x)=2x+kogg (x)=x+k

a) Gør rede for at for 0 ≤ x ≤ 3 er 0 ≤ g (x) ≤ f(x).b)Bestemtalletksåvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommervedatdrejeområdetmellem graferne 360° omkring førsteaksen, bliver 500.

5100Betragtfunktionenmedforskrift f(x) = − x2+7x − 6 , 2 ≤ x ≤ 5

oglinjenlmedligningy=4.Bestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdetmellemgrafenforfunktionenfoglinjenl drejes 360° omkring l.

5101Betragtfunktionenmedforskrift f(x)=exp(x) , − 1 ≤ x ≤ 2

oglinjenlmedligningy = −3.Bestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdetmellemgrafenforfunktionenfoglinjenl drejes 360° omkring l.


V. Integralregning§§ 23-27. Side ��

5102Betragtfunktionenmedforskriftf x x x x( ) = − ≤ ≤5 1 16 ,

oglinjenlmedligningy=2.Bestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdetmellemgrafenforfunktionenfoglinjenl drejes 360° omkring l.

5103Betragtfunktionenmedforskrift f(x)=(sin(x))2 , 0 ≤ x ≤ 2π

oglinjenlmedligningy = − 5.Bestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårområdetmellemgrafenforfunktionenfoglinjenl drejes 360° omkring l.

5104BetragtområdetM={(x,y) | − 2 ≤ x ≤ 4 ∧ − 3 ≤ y ≤ 2x+x)}

BestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårM drejes 360° omkring linjen lmedligningy = − 3.

5105BetragtområdetM={(x,y) | 1 ≤ x ≤ 5 ∧ 2 ≤ y ≤ exp(x) + x2}

BestemvolumenetafdetomdrejningslegemederfremkommernårM drejes 360° omkring linjen lmedligningy=2.

Documents

Supplerende opgaver til Trip’s matematiske Bog 3 ...kurser.ef.dk/trip/Bog3/05_Integral.pdf1 1 − +3 3 ∫ − b) ( ex x+ xp( ))dx ∫ −2 6 c) cos(2x d) x ∫ −π/4 π/2 5038