SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET - bib.irb.hr · PDF fileNumeričko modeliranje u termodinamici Seminarski rad - 1 - SADRŽAJ 1. UVOD ... a moderna je industrija zahtijevala

SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

SVEUČILIŠNI STUDIJ STROJARSTVA

DIPLOMSKI RAD

TERMODINAMIČKA ANALIZA KOMPAKTNOG

IZMJENJIVAČA TOPLINE

Mentor: prof. dr. sc. Bernard Franković, dipl. ing.

Rijeka, rujan 2015. Sandra Kvaternik

0069053037

zadatak

IZJAVA

Sukladno članku 9. Pravilnika o diplomskom radu, diplomskom ispitu i završetku studija

diplomskih sveučilišnih studija Tehničkog fakulteta Sveučilišta u Rijeci, izjavljujem da sam

samostalno izradila diplomski rad prema zadatku br. 2170-15-12-15-3, klasa 602-04/15-

05/24 u razdoblju od 16. oţujka 2015. do 14. rujna 2015. godine.

Rad je izraĎen prema zadatku Povjerenstva za diplomske ispite sveučilišnog studija

strojarstva te mi je u radu pomogao mentor prof. dr. sc. Bernard Franković, dipl. ing.

Rijeka, 14. rujna 2015. Sandra Kvaternik

__________________

ZAHVALA

Zahvaljujem mentoru prof. dr. sc. Bernardu Frankoviću, dipl. ing. i dr.sc. Paolu Blecichu,

dipl. ing. na pomoći, vodstvu i strpljenju tijekom izrade ovog diplomskog rada.

Numeričko modeliranje u termodinamici Seminarski rad

- 1 -

SADRŽAJ

1. UVOD ................................................................................................................................ 1

2. PRIJELAZ TOPLINE ........................................................................................................ 3

2.1. Općenito ....................................................................................................................... 3

2.2. Osnovni oblici prijelaza topline ................................................................................... 4

2.2.1. ProvoĎenje ............................................................................................................ 4

2.2.2. Konvekcija ........................................................................................................... 9

2.2.3. Zračenje topline .................................................................................................. 12

2.2.4. Prolaz topline ...................................................................................................... 14

3. IZMJENJIVAČI TOPLINE ............................................................................................. 16

3.1. Općenito o izmjenjivačima topline ............................................................................ 16

3.2. Klasifikacija izmjenjivača topline ............................................................................. 17

3.2.1. Podjela prema meĎusobnom strujanju fluida ..................................................... 17

3.2.2. Podjela prema konstrukciji ................................................................................. 18

3.2.3. Podjela prema stupnju kompaktnosti ................................................................. 20

3.3. Kompaktni izmjenjivači topline ................................................................................ 21

4. MATEMATIČKI MODEL .............................................................................................. 24

4.1. Domena ...................................................................................................................... 24

4.2. Jednadţbe očuvanja ................................................................................................... 26

4.2.1. Poddomena zraka ............................................................................................... 26

4.2.2. Poddomena cijevi i lamela ................................................................................. 28

4.3. Rubni uvjeti ............................................................................................................... 29

4.4. Postupak rješavanja jednadţbi očuvanja ................................................................... 31

5. OPIS PRIMIJENJENE NUMERIČKE METODE .......................................................... 32

5.1. Metoda kontrolnih volumena ....................................................................................... 33

5.2. Opis diskretizacijske sheme .......................................................................................... 37

5.3. Opis algoritma za rješavanje polja tlakova i brzina ..................................................... 44

Numeričko modeliranje u termodinamici Seminarski rad

- 2 -

5.4. Računalni program Fluent i Gambit .............................................................................. 52

6. REZULTATI .................................................................................................................... 54

6.1. Analiza termodinamičkih parametara ........................................................................ 56

6.1.1. Temperature zraka i stijenke .............................................................................. 56

6.1.2. Učinkovitost izmjenjivača topline ...................................................................... 58

6.1.3. Proračun koeficijenta prijelaza topline konvekcijom ......................................... 59

6.1.4. Pad tlaka u izmjenjivaču topline ........................................................................ 67

6.2. Raspodjela temperaturnih polja ................................................................................. 69

6.2.1. Laminarno strujanje ............................................................................................ 69

6.2.2. Turbulentno strujanje ......................................................................................... 71

6.3. Raspodjela polja vektora brzina ................................................................................ 73

6.3.1. Laminarno strujanje ............................................................................................ 73

6.3.2. Turbulentno strujnje ............................................................................................ 76

7. PRORAČUN SNAGE CIJEVNOG LAMELNOG IZMJENJIVAČA TOPLINE ........... 79

7.1. OdreĎivanje stupnja kompaktnosti ............................................................................ 80

7.2. Grubi proračun snage izmjenjivača topline ............................................................... 82

8. ZAKLJUČAK .................................................................................................................. 83

9. LITERATURA ................................................................................................................. 85

I. Pregled oznaka ................................................................................................................. 87

II. Popis slika ........................................................................................................................ 92

III. Popis tablica ..................................................................................................................... 95

IV. Popis priloga ..................................................................................................................... 96

Termodinamička analiza kompaktnog izmjenjivača topline

Diplomski rad

1

1. UVOD

Izmjena toplina povezana je s gibanjem čestica. Viša temperatura uzrokuje brţe, a niţa

temperatura sporije gibanje čestica. Poznata je činjenica da toplina uvijek prelazi s tijela više

na tijelo niţe temperature.

Rad svakog izmjenjivača topline temelji se upravo na ovim, već poznatim, zakonitostima.

Izmjenjivači topline, a posebice cijevno lamelni, nalaze vrlo široku primjenu u tehnici

grijanja, hlaĎenja i klimatizacije (engl. HVAC), energetskoj, prehrambenoj, preraĎivačkoj i

autoindustriji, elektronici, svemirskoj tehnici itd.

Danas se velika pozornost posvećuje poboljšanju učinkovitosti izmjenjivača povećavanjem

izmijenjenog toplinskog toka. Povećanje površine izmjene topline uzrokovalo je veće

dimenzije ureĎaja, a moderna je industrija zahtijevala smanjenje volumena i mase. Balansom

izmeĎu dviju krajnosti, nastali su kompaktni izmjenjivači topline čija se osnovna osobina,

kompaktnost, odreĎuje kao omjer ukupne površine izmjene topline i ukupnog volumena

izmjenjivača topline.

Nadalje, zbog porasta ekološke svijesti, javljaju se dodatni zahtjevi za zaštitom okoliša i

energetskom učinkovitošću. Posljedice toga su novi konstrukcijski zahtjevi u pogledu veće

kompaktnosti. Samim time razvile su se specifične geometrije kompaktnih izmjenjivača

topline, sve u cilju postizanja bolje učinkovitosti te zbog prilagodbe novim potrebama struke.

Zadatak ovog diplomskog rada je usporedba rezultata mjerenja kompaktnog cijevno lamelnog

izmjenjivača topline u Laboratoriju Tehničkog fakulteta i rezultata numeričkog modeliranja.

No, tijekom tekuće akademske godine javili su se odreĎeni problemi i nije bilo moguće vršiti

mjerenja, te je stoga izvršena numerička analiza izmjenjivača topline za različite Reynoldsove

brojeve i način strujanja zraka (laminarno ili turbulentno strujanje). Rezultati su, potom,

usporeĎeni s vrijednostima dobivenim pomoću eksperimentalnih izraza (Wang-Chi) za

računanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom i pada tlaka.

Diplomski rad se sastoji od devet poglavlja. U drugom su poglavlju dane osnove iz prijelaza

topline provoĎenjem i konvekcijom te zračenjem. Poznavanje mehanizama prijelaza topline je

nuţno za shvaćanje rada izmjenjivača topline. Prikazani su praktični izrazi za izračun


Diplomski rad

2

koeficijenata prijelaza topline konvekcijom i prolaza topline kroz ravnu stijenku i stijenku

cijevi.

Treće poglavlje donosi kratki pregled raznih vrsta izmjenjivača topline. Prikazana je osnovna

podjela, a potom podjela rekuperativnih izmjenjivača topline. Naposljetku su, ukratko, opisani

tipovi kompaktnih izmjenjivača topline.

Četvrto poglavlje uvodi u definiranje matematičkog modela: od proračunske domene, preko

jednadţbi očuvanja do definiranja rubnih uvjeta.

Peto poglavlje sadrţi opis primijenjene numeričke metode. Svako numeričko rješavanje nekog

problema jest pretvaranje sustava diferencijalnih jednadţbi te početne i rubne uvjete u sustav

algebarskih jednadţbi. Opisana je primijenjena diskretizacijska shema i algoritam za

rješavanje polja tlakova i brzina, a na kraju je prikazana umreţena domena.

U šestom su poglavlju prikazani rezultati numeričkog proračuna i usporedba rezultata

dijagramima, tablicama i slikama.

Kroz sedmo poglavlje izveden je grubi proračun snage cijevnog lamelnog izmjenjivača

topline iz Laboratorija na Tehničkom fakultetu. Na temelju dimenzija, odreĎen je stupanj

kompaktnosti, a potom i snaga ureĎaja.

U osmom poglavlju nalaze se zaključne misli o cjelokupnoj problematici te ideje za

poboljšanje termodinamičke analize izmjenjivača topline s ciljem dobivanja što točnijih

rezultata.

Deveto poglavlje donosi popis literature.

Na kraju rada nalazi se popis slika, tablica i priloga te nacrt izmjenjivača topline.


Diplomski rad

3

2. PRIJELAZ TOPLINE

2.1. Općenito

Tijela ili dijelovi tijela različitih temperatura koja su u meĎusobnom dodiru nastoje postići

temperaturnu ravnoteţu izjednačavanjem svojih temperatura. Kao što je poznato, toplina

prelazi s tijela više temperature na tijelo niţe temperature [1,2].

Prema staroj, tvarnoj teoriji topline smatralo se da je toplina nerazoriva toplinska tvar, tzv.

flogiston, koja se pri grijanju dovodi, a pri hlaĎenju odvodi tijelu, a mjera njezine količine

izraţavala se u kilokalorijama. Naknadno se ustanovilo da bi ta toplinska tvar trebala biti bez

teţine i pritom vrlo čudnih svojstava (drugačijih u odnosu na ponašanje drugih tvari) te je ta

teorija sve manje i manje zadovoljavala.

U 19. stoljeću su, točnije 1842. godine, njemački liječnik Robert Julius Mayer i engleski

istraţivač J. P. Joule, nezavisno jedan od drugoga, spoznali da toplina nije vezana uz neku

posebnu tvar bez teţine koja kao takva prelazi s jednog tijela na drugo, već da se radi o

jednom od oblika preobraţaja energije. Stoga, toplina ne postoji kao izolirani oblik energije,

nego je izraz ''toplina'' preuzet iz spomenute tvarne teorije topline. Kada se danas spominje

prijelaz topline, zapravo se nastoji saţeto izreći da toplije tijelo dio one svoje energije koja je

funkcija temperature predaje hladnijem tijelu, a da se pritom ne pojavljuje nikakav samostalan

oblik topline.

Dakle, toplina se kao oblik energije moţe podvrći općem zakonu o odrţanju energije prema

kojemu se ukupna količina energije ne mijenja iako se energija moţe pretvarati iz jednog

oblika u drugi. Prema dotičnom zakonu, jedinica energije jednog sustava mjera mora

odgovarati točno odreĎenom broju jedinica drugoga sustava mjera, ali se različiti oblici

energije, pa tako i toplina, mogu mjeriti istom jedinicom, primjerice u J.


Diplomski rad

4

2.2. Osnovni oblici prijelaza topline

Izmjena topline izmeĎu dva tijela različite temperature vrši se na dva načina: izmjena topline

konvekcijom i provoĎenjem, što je vezano za tvar, te izmjena topline zračenjem

elektromagnetnim valovima, koje nije vezano za tvar.[1]

2.2.1. Provođenje

Izmjena topline provoĎenjem [1] vrši se sudarom, tj. meĎusobnim djelovanjem molekula

različite prosječne brzine. Ako molekula ima višu temperaturu, ima višu i brzinu te prilikom

hlaĎenja ona usporava, dok hladnija molekula ubrzava prilikom grijanja.

Prema Fourierovom zakonu, ako se obje površine neke stijenke odrţavaju pri stalnim

temperaturama 𝑡1 i 𝑡2 (℃), kroz stijenku prolazi toplina 𝑄 (J):

𝑄 = 𝜆𝑡1 − 𝑡2

𝛿𝐹𝜏

(2.1)

gdje je 𝜆 koeficijent toplinske vodljivosti u W/mK, 𝛿 debljina stijenke u m, 𝐹 u m2 površina

izmjenjene topline, a 𝜏 u s je vrijeme. Na slici 2.1 prikazana kondukcija uz spomenute

veličine.

Slika 2.1 Provođenje topline kroz ravnu stijenku


Diplomski rad

5

Pri tome, kroz stijenku u jedinici vremena prolazi količina topline koju još moţemo nazvati

toplinskim tokom 𝑄 (W):

𝑄 =𝑄

𝜏 . (2.2)

Toplinski tok koji prolazi jedinicom površine jest gustoća toplinskog toka 𝑞 (W/m2):

𝑞 =𝑄

𝐹=𝑄

𝐹𝜏= 𝜆

𝑡1 − 𝑡2

𝛿 .

(2.3)

U vrlo tankom sloju debljine 𝑑𝑥 koji leţi unutar stijenke, javlja se temperaturni pad 𝑑𝑡 te je

gustoća toplinskog toka negativna:

𝑞 = −𝜆𝑑𝑡

𝑑𝑥 .

(2.4)

U jednadţbi (2.4) negativnim se predznakom uzima u obzir da toplina uvijek struji iz područja

više temperature u područje niţe temperature te je omjer dt/dx temperaturni gradijent u smjeru

x koji je pozitivan u smjeru porasta, a negativan u smjeru pada temperature.

Toplinski otpor 𝑊 (K/W) moţe se izraziti pomoću toplinskog toka:

𝑄 =𝑄

𝜏=𝑡1 − 𝑡2

𝑊

(2.5)

𝑄 𝑊 = 𝑡1 − 𝑡2 .

(2.6)

Iz jednadţbi (2.5) i (2.6) za stijenku površine 𝐹 i debljine 𝛿 dobije se otpor toplinske

vodljivosti

𝑊 =𝛿

𝐹𝜆

(2.7)

koji je veći što je stijenka deblja, a presjek prolaza topline manji. Toplinski otpor nije svojstvo

tvari.

Specifični toplinski otpor 𝑤 (m2K/W) je toplinski otpor sveden na 1 m

2 presjeka:


Diplomski rad

6

𝑤 = 𝑊𝐹 =𝛿

𝜆 , (2.8)

a koeficijent toplinskog otpora 𝜔 (mK/W) jest:

𝜔 =𝑊𝐹

𝜆=

1

𝜆 . (2.9)

Navedena veličina je fizikalno svojstvo materijala kao i koeficijent toplinske vodljvosti 𝜆.

Toplinski vodiči mogu biti meĎusobno povezani uzastopno ili usporedno. U slučaju da se radi

o usporedno smještenim vodičima (slika 2.2), toplinski se otpori zbrajaju:

𝑊𝑝 = 𝑊𝑖

𝑛

𝑖

=1

𝐹

𝛿𝑖𝜆𝑖

𝑛

𝑖

=1

𝐹 𝛿𝑖

𝑛

𝑖

𝜔𝑖 , (2.10)

pa toplinski tok dobiva sljedeći oblik:

𝑄 𝑝 =𝑡1 − 𝑡2

𝑊𝑝= 𝑡1 − 𝑡2

𝐹

𝛿𝑖𝑛𝑖 𝜔𝑖

. (2.11)

Vrijednost toplinskog otpora ne mijenja se promjenom redoslijeda pojedinih slojeva.

Slika 2.2 Prikaz uzastopnog spoja vodiča


Diplomski rad

7

Prosječni koeficijent toplinskog otpora kod uzastopnog spoja vodiča je:

𝜔𝑝 = 𝛿𝑖𝑛𝑖 𝜔𝑖𝛿𝑢𝑘

, (2.12)

pri čemu je 𝛿𝑢𝑘 ukupna debljina stijenke:

𝛿𝑢𝑘 = 𝛿𝑖

𝑛

𝑖

. (2.13)

U konačnici slijedi da je prosječni koeficijent toplinske vodljvosti:

𝜆𝑝 =1

𝜔𝑝=

𝛿𝑖𝑛𝑖

𝛿𝑖𝜔𝑖𝑛𝑖

. (2.14)

U slučaju da se radi o uzduţno smještenim vodičima (slika 2.3), zbrajaju se toplinske

vodljivosti:

𝐿𝑑 = 𝐿𝑖

𝑛

𝑖

= 𝜆𝑖𝐹𝑖𝛿𝑖

𝑛

𝑖

, (2.15)

te prosječni koeficijent toplinske vodljvosti iznosi:

𝜆𝑑 = 𝜆𝑖𝛿𝑖𝑛𝑖

𝛿𝑖𝑛𝑖

. (2.16)

Slika 2.3 Prikaz usporednog spoja vodiča


Diplomski rad

8

Općenito vrijedi da je 𝜆𝑑 > 𝜆𝑝 , što je vrlo vaţno za mnoge izolacije. Pritom, razlika će biti

veća što se debljine slojeva materijala manje razlikuju i što je veća razlika koeficijenata

toplinske vodljivosti.

Toplinski tok kroz uzduţno poredane slojeve iznosi

𝑄 𝑑 = 𝜆𝑑 𝑡1 − 𝑡2

𝛿𝐹 (2.17)

pri čemu ovdje ne vrijedi jednadţba (2.13) jer slojevi teku okomito na površinu stijenke, a u

smjeru strujanja topline.

Toplinski tok kroz stijenku cilindrične stijenke (slika 2.4) radijusa r u m iznosi:

𝑄 = −𝑑𝑡

𝑑𝑟𝜆𝐹 = −

𝑑𝑡

𝑑𝑟2𝜋𝑟𝐿𝜆

𝑑𝑡 = −𝑄

2π𝐿𝜆∙𝑑𝑟

𝑟 /

𝑟

𝑟1

𝑡1 − 𝑡 = −𝑄

2π𝐿𝜆∙ ln

𝑟

𝑟1

𝑡1 − 𝑡2 = −𝑄

2π𝐿𝜆∙ ln

𝑟2

𝑟1

𝑄 = 2π𝐿𝜆𝑡1 − 𝑡2

ln𝑟2

𝑟1

.

(2.18)


Diplomski rad

9

Slika 2.4 Provođenje topline kroz stijenku cijevi

2.2.2. Konvekcija

Konvekcija [1] kao izmjena topline izmeĎu tekućine u gibanju i čvrste stijenke, predstavlja

jedan od najvaţnijih oblika prijelaza topline u tehnici. Konvekcija je pojava kod koje se tople

čestice kreću od stijenke u jezgru struje gdje se hlade miješajući se s hladnom tekućinom, dok

hladne čestice iz jezgre dolaze k stijenci pritom se grijući. Takvo poprečno gibanje čestice

svojstveno je turbulentnom strujanju. Pri laminarnom strujanju, strujna vlakna se ne miješaju

zbog čega nema ni izmjena čestica, pa se izmjena topline vrši samo provoĎenjem kao i kod

tekućina u mirovanju.

Razlikujemo slobodnu i prisilnu konvekciju. Kod slobodne konvekcije strujanje topline je

izazvano samom izmjenom topline. Čestice se ugriju na toplijoj stijenci, postaju lakše, diţu se

uvis i izazivaju strujanje. Prisilna se konvekcija ostvaruje umjetno i neovisno o prijelazu

topline te je izazvana nekim vanjskim uvjetima (npr. razlikom tlaka).

Prema Newtonu, toplinski tok izazvan konvekcijom izračunava se na sljedeći način:

𝑄 = 𝛼𝑎𝐹 𝑡𝑎 − 𝑡1 = 𝛼𝑏𝐹 𝑡2 − 𝑡𝑏 , (2.19)

gdje je 𝛼 koeficijent prijelaza topline u W/m2K, a 𝑡𝑎 i 𝑡𝑏 temperature fluida u ℃. Na slici 2.5

prikazan je prijelaz topline konvekcijom kroz ravnu stijenku uz spomenute veličine u

jednadţbi (2.19).


Diplomski rad

10

Slika 2.5 Prijelaz topline konvekcijom kroz ravnu stijenku

Koeficijent prijelaza topline 𝛼 ovisi o fizikalnim svojstvima fluida (gustoća, viskoznost,

toplinska vodljivost, specifični toplinski kapacitet) i o načinu strujanja. Pri turbulentnom

strujanju zbog bolje izmjene topline, koeficijent prijelaza topline će, takoĎer, biti veći.

Obzirom da postoje različiti uvjeti prijenosa topline, (izobraţeno i neizobraţeno prisilno

turbulentno strujanje u cijevima, laminarno strujanje u cijevima, poprečno nastrujavana cijev i

cijevni snop, uzduţno nastrujavana ravna stijenka itd.) eksperimentalnim putem su utvrĎeni

izrazi za računanje bezdimenzijske značajke koja sadrţi koeficijent prijelaza topline 𝛼.

Nusseltova značajka je ona pomoću koje se odreĎuje vrijednost koeficijenta prijelaza topline

𝛼 te je funkcija triju bezdimenzijskih značajki – Reynoldsove, Prandltove i Grashofove. Ime

su dobile prema istraţivačima zasluţnim na tim poljima znanosti.

Reynoldsova značajka 𝑅𝑒 glasi:

𝑅𝑒 = 𝑤𝐿

𝜂 , (2.20)

pri čemu je 𝑤 brzina fluida u m/s, 𝐿 duljina ploče u m, a 𝜂 dinamički viskozitet u Pas.

Prandltova značajka 𝑃𝑟 je omjer kinematičkog viskoziteta 𝜈 u m2/s i koeficijenta

temperaturne vodljivosti 𝑎, takoĎer u m2/s:


Diplomski rad

11

𝑃𝑟 =𝜈

𝑎 . (2.21)

Grashofova značajka se računa prema formuli (2.22)

𝐺𝑟 =𝜌 − 𝜌0

𝜌∙𝑔𝐿

𝜈2 , (2.22)

gdje je 𝜌 odnosno 𝜌0 gustoća fluida u blizini stijenke, tj. gustoća udaljenog fluida u kg/m3, a g

je ubrzanje sile teţe u m/s2.

Nusseltova značajka ovisi o prethodno navedenim bezdimenzijskim značajkama i koristi se za

proračunavanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom:

𝑁𝑢 =𝛼𝐿

𝜆= 𝑁𝑢 𝑃𝑟,𝑅𝑒,𝐺𝑟 . (2.23)

Jednadţba (2.23) se koristi za ploče, no zamjenom duljine 𝐿 promjerom cijevi 𝑑 moguće je

izračunati Nusseltovu značajku za cijevi.

Svrstavanjem strujanja u dvije velike grupe postiţe se pojednostavljenje izraza (2.23).

Primjerice, kod prisilnog strujanja pri većim brzinama koje je izazvano većim padom tlaka,

sile uzgona su jako male u odnosu na sile tromosti pa Grashofova značajka gubi utjecaj. Za

prisilno strujanje, stoga, vrijedi:

𝑁𝑢 = 𝑁𝑢 𝑃𝑟,𝑅𝑒, . (2.24)

S druge strane, kod slobodne konvekcije gdje nema nametnute brzine, iščezava Re značajka

jer bilo koja brzina struje ovisi kod termičkog uzgona o temperaturnom polju, tj. o rješenju

jednadţbi.

U izračunima za prijelaz topline, nastala je i Pecletova značajka:

𝑃𝑒 = 𝑅𝑒 ∙ 𝑃𝑟 = 𝑤𝑙

𝜂∙𝜈

𝑎=𝑤𝑙

𝑎 . (2.25)


Diplomski rad

12

2.2.3. Zračenje topline

Zračenje [1] je oblik prijenosa topline elektromagnetnim valovima različitih valnih duljina 𝜆,

što znači da prijelaz topline nije vezan za tvar. Tijelo koje zrači odaje ili prima energiju

zračenja u fotonima.

Jednoznačna i nepromjenjiva karakteristika boje neke zrake nije njena valna duljina, već njena

frekvencija 𝜈 u s−1 koja je s valnom duljinom povezana preko brzine rasprostiranja svjetlosti

𝑐 (2.34). Prilikom prolaska zrake kroz neki medij, brzina i valna duljina se ne mijenjaju, a

frekvencija ostaje jednaka.

𝑐 = 𝜆𝜈 (2.26)

Zračenje koje odaje neko tijelo sastoji se od zraka koje su se reflektirale o površinu dotičnog

tijela, od zraka koje je tijelo eventualno propustilo te od zraka koje tijelo emitira.

Temperaturno zračenje je ono čiji je sastav ovisan o prirodi supstance koja zrači i o njenoj

temperaturi. U spektru elektromagnetskih valova, toplinsko zračenje se pojavljuje u području

valnih duljina: ultraljubičasto zračenje – od 3 do 400 nm, vidljiva svjetlost – od 0,4 do 0,76

μm i kao dominantno infracrveno zračenje u pojasu valnih duljina – od 1 do 1000 μm .

Od energije zračenja koja dospijeva do promatrana tijela, jedan dio 𝑟 će se reflektirati od

ozračene površine tijela, drugi dio 𝑎 će se apsorbirati pri prolazu kroz tijelo i pritom povećati

njegovu unutarnju energiju, a ostatak 𝑑 će proći kroz tijelo. Slijedi

𝑟 + 𝑑 + 𝑎 = 1 (2.27)

gdje je 𝑟 koeficijent reflekcije, 𝑎 koeficijent apsorpcije, a 𝑑 koeficijent dijatermnosti.

Uglavnom sva kruta tijela gotovo potpuno apsorbiraju dozračenu energiju te je 𝑑 = 0.

Količina energije koju tijelu dovodimo mora biti jednaka količini energije koju tijelu

odvodimo da bi temperatura ostala konstantna. Stoga je koeficijent apsorpcije jednak omjeru

emitirane 𝐸 i dozračene energije 𝐸 ′ (W/m2) nekog tijela koje je u toplinskoj ravnoteţi.

𝑎 =𝐸

𝐸 ′≤ 1 (2.28)


Diplomski rad

13

Količina emitirane energije odreĎene valne duljine ovisi o materijalu tijela, stanju površine i

temperaturi. Kada tijelo upije cjelokupno zračenje koje padne na njega, onda se ono naziva

crnim tijelom te se ono vodi kao idealni emiter i apsorber zračenja i za njega vrijedi 𝑎 = 1.

Stvarna se tijela (𝑎 < 1) usporeĎuju s teoretskim tijelom koje za odreĎenu temperaturu T i

valnu duljinu zrači najveću moguću energiju. Stupanjem emisije ε usporeĎuje se realno

tijelo s idealnim crnim tijelom, te ovisi o temperaturi, kutu emisije i valnoj duljini:

휀 =𝐸

𝐸 𝐶 (2.29)

gdje je 𝐸 odzračena energija prirodnog tijela uvijek manja od odzračene energije 𝐸 𝐶 crnog

tijela u W/m2. Za crno tijelo vrijedi da je ε =1. Isto vrijedi i za dozračenu energiju: dozračena

energija stvarnog tijela je manja od dozračene energije crnog tijela:

𝑎 =𝐸

𝐸 𝐶. (2.30)

Iz jednadţbi (2.37) i (2.38) slijedi Kirchhoffov stavak prema kojem za svako tijelo u ravnoteţi

sa zračenjem vrijedi (2.39) što znači da neko tijelo osobito jako emitira u onoj boji koju jako i

apsorbira:

𝑎 = 휀. (2.31)

Prema Stefan-Boltzmannovom zakonu, energija 𝐸 𝐶 koju crna stijenka emitira u jednu

polovicu prostora iznosi:

𝐸 𝐶 = σ𝑇4 = 𝐶𝑐 𝑇

100

4

, (2.32)

gdje je σ konstanta te iznosi σ = 5,667 ∙ 10−8 W/m2K

4, a 𝐶𝑐 = 100𝜍4 = 5,667

W/m2(100K)

4.

Za prirodna tijela odzračena energija je jednaka:

𝐸 𝐶 = 𝐶 𝑇

100

4

= 휀𝐶𝑐 𝑇

100

4

,

𝐶 = 휀𝐶𝑐 .

(2.33)


Diplomski rad

14

2.2.4. Prolaz topline

Prolaz topline [1,2] je izmjena topline izmeĎu dvaju fluida odijeljenih krutom stijenkom (slika

2.6). Pritom se koristi koeficijent prolaza topline 𝑘 u W/m2K koji obuhvaća sve uzastopne

toplinske otpore:

𝑄 = 𝑘𝐹 𝑡𝑎 − 𝑡𝑏 = 𝑡𝑎 − 𝑡𝑏 1

𝑊 . (2.34)

Za višeslojnu ravnu stijenku koeficijent prolaza topline 𝑘 računa se na sljedeći način:

𝑘 =1

𝑊𝐹=

1

1𝛼𝑎

+ 𝛿𝑖𝜆𝑖

+1𝛼𝑏

𝑛𝑖

. (2.35)

Slika 2.6 Prolaz topline kroz ravnu stijenku

Da bi se odredila temperature stijenki na granicama pojedinih slojeva, koristi se izraz koji se

temelji na činjenici da je toplinski tok u ustaljenom stanju kroz sve slojeve jednak:

𝑞 = 𝑘 𝑡𝑎 − 𝑡𝑏 = 𝛼𝑎 𝑡𝑎 − 𝑡1𝑛 =𝛿𝑛𝜆𝑛 𝑡1𝑛 − 𝑡2𝑛 = 𝛼𝑏 𝑡2𝑛 − 𝑡𝑏 . (2.36)


Diplomski rad

15

Pri računanju prolaza topline kroz stijenku cijevi (slika 2.7), koristi se sljedeći izraz:

𝑄 = 2𝑟1𝜋𝐿𝛼𝑎 𝑡𝑎 − 𝑡𝑠1 = 2𝜋𝐿𝜆𝑡𝑠1 − 𝑡𝑠2

ln𝑟2

𝑟1

= 2𝑟2𝜋𝐿𝛼𝑏 𝑡𝑠2 − 𝑡𝑏 ,

𝑄 =2𝜋𝐿

1𝑟1𝛼𝑎

+ 1𝜆

ln𝑟2

𝑟1+

1𝑟2𝛼𝑏

𝑛𝑖

𝑡𝑎 − 𝑡𝑏 = 𝑘𝐹 𝑡𝑎 − 𝑡𝑏 .

(2.37)

Nadalje, površina stijenke cijevi je

𝐹 = 2𝜋𝐿𝑟 , (2.38)

pa se koeficijent prolaza topline kroz stijenku cijevi računa pomoću jednadţbe (2.31)

𝑟𝑘 =1

𝑟1𝛼𝑎 + 1𝜆

ln𝑟𝑖+1

𝑟1+

1𝑟𝑖+1𝛼𝑖+𝑎

𝑛𝑖

. (2.39)

Pritom vrijedi:

Ako je 𝛼𝑎 < 𝛼𝑖+𝑎 vrijedi 𝑟 = 𝑟1 , (2.40)

Ako je 𝛼𝑎 > 𝛼𝑖+𝑎 vrijedi 𝑟 = 𝑟𝑖+1. (2.41)

Slika 2.7 Prolaz topline kroz stijenku cijevi


Diplomski rad

16

3. IZMJENJIVAČI TOPLINE

3.1. Općenito o izmjenjivačima topline

Tehnički izmjenjivači [1,2] topline su toplinski aparati u kojima se izmjenjuje toplina izmeĎu

dva ili više fluida radi zagrijavanja ili ohlaĎivanja jednog fluida drugim. Vrlo je širok prikaz

beskrajnog opsega izmjenjivača koji se mogu podijeliti u tri grupe:

Rekuperativni izmjenjivači topline – fluidi različitih temperatura odijeljeni su krutom

stijenkom te izmjenjuju toplinu prolazom topline (konvekcijom s površinom stijenke i

provoĎenjem kroz stijenku). S obzirom na oblik razdjelne stijenke razlikuju se:

o cijevni izmjenjivači topline i

o pločasti izmjenjivači topline.

Regenerativni izmjenjivači topline – izmjena topline izmeĎu dva plina vrši se

posredstvom krute (akumulacijske) mase (slika 3.1).

Direktni izmjenjivači topline – izmjena topline izmeĎu dva fluida vrši se direktnim

dodirom struja u prostoru miješališta.

S obzirom da se u ovom radu analizira cijevni lamelni izmjenjivači topline koji pripada grupi

rekuperativnih izmjenjivača topline, daljnji tekst odnosit će se na spomenutu grupu.

Slika 3.1 Regenerativni izmjenjivač topline


Diplomski rad

17

3.2. Klasifikacija izmjenjivača topline

Izmjenjivači topline se, nadalje, mogu podijeliti na tri načina: prema meĎusobnom strujanju

fluida, prema konstrukciji te prema stupnju kompaktnosti. [3]

3.2.1. Podjela prema međusobnom strujanju fluida

S ozbirom na meĎusobni smjer strujanja fluida, razlikuju se istosmjerni, protusmjerni i

unakrsni rekuperatori. Kod paralelnih rekuperatora struje koje izmjenjuju toplinu su paralelne

i teku u istom smjeru, dok kod protusmjernih paralelne struje teku u suprotnim smjerovima,

čime izmjenjivači topline postiţu i bolji učin (slika 3.1). Unakrsni rekuperatori ističu se po

tome što se struje koje izmjenjuju toplinu meĎusobno kriţaju. [1,2] Izmjenjivač topline

promatran u ovom radu spada u unakrsne rekuperatore.

Slika 3.2 Dijagrami istosmjernog i protusmjernog strujanja


Diplomski rad

18

3.2.2. Podjela prema konstrukciji

Proučavajući geometriju konstrukcije, postoji gruba podjela izmjenjivača topline u dvije

grupe koje se mogu dalje dijeliti.[4]

Cijevni izmjenjivači topline izraĎeni su od cijevi pri čemu jedan fluid struji unutar, a drugi

izvan cijevi. Promjer, duljina, raspodjela, debljina stijenke i broj cijevi mogu se mijenjati čime

se postiţu različita svojstva izmjenjivača topline. Daljnja podjela cijevnih izmjenjivača

topline slijedi:

Koaksijalni izmjenjivači topline – jedna ili više cijevi smještene su koncentrično

unutar druge cijevi, većeg promjera. Koriste se kod osjetljivog grijanja i hlaĎenja

procesnih fluida gdje se zahtjeva mala površina izmjene topline (slika 3.2a).

''Shell and tube'' izmjenjivači topline – sastoje se od snopova cijevi smještenih unutar

bubnja (slika 3.2b). Mogu biti horizontalne ili vertikalne izvedbe, s pregradama ili bez,

s jednim ili više prolaza fluida. Koriste se za hlaĎenje ulja, kao generatori pare u

nuklearnim elektranama, u kemijskoj industriji itd.

Spiralni izmjenjivači topline – sadrţe spiralne cijevi smještene unutar bubnja čime se

postiţe veći koeficijent prijelaza topline nego u ravnim cijevima. Upotrebljavaju se za

čiste fluide te kao koaksijalni kondenzatori i isparivači.

Slika 3.3 Cijevni koaksijalni izmjenjivač topline

Ulaz

Topli fluid

Izlaz

Ulaz (Hladni fluid)

Izlaz


Diplomski rad

19

Slika 3.4 Cijevni izmjenjivač topline ''Shell and tube''

Pločasti izmjenjivači izraĎeni se od tankih ploča koje formiraju strujne kanale. Struje fluida

odvojene su ravnim pločama koje su glatke ili valovite. Primjenjuju se za izmjenu topline

izmeĎu raznih kombinacija plinova, tekućina i dvofaznih struja.

Orebreni pločasti izmjenjivači topline – sadrţe paket tankih valovitih ili orebrenih

ploča koje odvajaju fluide (slika 3.3a). Strujanje moţe biti istosmjerno ili

protusmjerno. Upotrebljavaju se za izmjenu topline izmeĎu dva tekuća fluida, ali su

zbog konstrukcije ograničeni visinom tlaka i temperature.

Spiralni pločasti izmjenjivači topline – dvije paralelne ploče formirane su u spiralu

tvoreći dva kanala koji najčešće rade na protusmjernom načelu. Svaki od kanala ima

jedan dugi zakrivljeni prolaz (slika 3.3b). Kompaktni su i skupi.

Lamelni izmjenjivači topline – sadrţe set paralelnih i tankih lamela koje se profilirane

i zavarene zajedno. Postiţe se veća efektivnost i manja masa te veća površina prijelaza

topline.


Diplomski rad

20

Slika 3.5 Pločasti izmjenjivači topline:a) Pločasti s orebrenjem; b) Pločasti spiralni

3.2.3. Podjela prema stupnju kompaktnosti

Stupanj kompaktnosti 𝛽 omjer je površine za prijenos topline i volumena izmjenjivača

topline. Ako je površina izmjene topline jako velika u odnosu na volumen izmjenjivača, tj,

ako je 𝛽 > 700 m−1, radi se o kompaktnim izmjenjivačima topline. Visok stupanj

kompaktnosti moţe se postići na različite načine. [4]

Tipični ''shell and tube'' izmjenjivač topline ima stupanj kompaktnosti manji od 100 m−1, dok

su ljudska pluća jedna od najkompaktnijih izmjenjivača topline sa stupnjem kompaktnosti od

oko 17500 m−1. [5]

Procesni

fluid

Hladna

voda

Hladna voda

Procesni

fluid

a)

b)


Diplomski rad

21

3.3. Kompaktni izmjenjivači topline

Mali prolazi struje imaju dva efekta: laminarno strujanje i veliki pad tlaka. Laminarno

strujanje karakterizira nizak koeficijent prijelaza topline pa je efikasnost nuţno poboljšana

različitim novim tehnikama što je povećalo raznovrsnost kompaktnih izmjenjivača topline.

Prvi takvi izmjenjivači topline su već spomenuti pločasti izmjenjivači topline. Veliki

koeficijent prijelaza topline postiţe se malim hidrauličkim promjerom, jakom interakcijom

izmeĎu dvije struje fluida, povećanjem turbulencije valovitim i orebrenim pločama. No, zbog

visokog pada tlaka te temperaturnog ograničenja i ograničenja tlaka, javila se potreba za

razvojem novih modela pločastih izmjenjivača topline. Tako su nastali lemljeni i zavareni

pločasti izmjenjivači umjesto brtvljenih, a potom i ''Shell and plate'' zavareni izmjenjivači

topline s parom okruglih ploča (slika 3.4), APV hibridni zavareni pločasti izmjenjivač topline

(par ploča je zavaren tako da formira eliptične cijevne kanale) itd. Nadalje, povećanje

efektivnosti moţe se postići i valovitim i orebrenim pločama umjesto ravnih i glatkih jer se na

taj način povećava turbulencija koja uzrokuje porast koeficijenta prijelaza topline. [5]

Slika 3.6 Shell and plate izmjenjivač topline

Plate-fin izmjenjivači topline su vrsta kompaktnih izmjenjivača izraĎenih od slojeva valovitih

ploča i odvojenih ravnim pločama kreirajući tako serije orebrenih kanala (slika 3.5). Različite

performanse ostvaruju se promjenom broja i veličine ploča i orebrenih slojeva kao i vrste

rebra koja se mogu aranţirati na različite načine čime se postiţe protusmjerno, unakrsno ili

kombinirano strujanje. Nadalje, povećanje učinkovitosti postiţe se raznim oblicima valovitih

Ulaz

Izlaz


Diplomski rad

22

ploča (perforirana, valovita, ozupčana) čime se povećava površina prijelaza topline, a s time i

kompaktnost izmjenjivača. [5]

Slika 3.7 Cijevni lamelni i plate-fin izmjenjivač topline

Cijevni lamelni izmjenjivači topline (slika 3.5) vrlo se često izraĎuju kao kompaktni jer plin

(zrak) ima vrlo mali koeficijent prijelaza topline, pa se lamelama postiţe velika površina uz

još uvijek mali volumen izmjenjivača topline. Sastoji se od cijevi s lamelama pričvršćenim

izvana. Lamele mogu biti ravne, orebrene, valovite, a cijevi okrugle, eliptične ili pravokutne.

Uzimajući u obzir da je koeficijent prijelaza topline konvekcijom na strani plina puno manji

od onog na strani tekućine, uporabom lamela povećava se površina prijelaza topline, a time i

učinkovitost izmjenjivača topline. Njihova je primjena široka – od grijanja i hlaĎenja do

ventilacije i klimatizacije. [4]

U kompakte izmjenjivače topline spadaju i gore navedeni spiralni izmjenjivači topline, PCHE

(printed circuit heat exchangers) s vrlo visokim stupnjem kompaktnosti te The Marbond

izmjenjivač topline. PCHE izmjenjivači topline su dobili ime prema postupku proizvodnje

Cijevni lamelni

izmjenjivač topline

Plate-fin izmjenjivač

topline


Diplomski rad

23

kojim se kemijskim urezivanjem ravne metalne ploče formiraju u jezgru izmjenjivača. Te se

ploče potom gomilaju i veţu difuzijom tvoreći čvrsti metalni blok s preciznim prolazima

fluida koji mogu biti različitih oblika. Sličan postupak koristi se i za The Marbond

izmjenjivač topline koji ima potencijal za još niţe hidrauličke promjere, ali time i veću

poroznost jezgre ureĎaja. [5]

Slika 3.8 PCHE izmjenjivač topline

S obzirom na njihovu kompaktnost, ovi se izmjenjivači vrlo teško čiste i vrlo su osjetljivi na

vanjske uvjete, posebice u pogledu temperature i brzine fluida koji struji kroz njih, stoga

zahtijevaju bolju kontrolu vanjskih uvjeta nego standardni ''shell and tube'' izmjenjivači

topline. Svako zaprljanje povećava toplinske otpore i smanjuje učinkovitost ureĎaja. Uzroci

onečišćenja mogu biti različiti: taloţenje, kristalizacija, kemijske reakcije, korozija i

djelovanje bioloških mikroorganizama. Uzimajući u obzir prednosti kompaktnih izmjenjivača,

ali i nedostatke poput oteţanog čišćenja i ograničenja, potrebno je dobro razmotriti gdje je

pogodno ugraditi ovakav izmjenjivač topline. [6]


Diplomski rad

24

4. MATEMATIČKI MODEL

4.1. Domena

Kako bi se izvršila numerička analiza cijevnog lamelnog izmjenjivača topline potrebno je

izabrati proračunsku domenu. Kod izmjenjivača topline s jednolikom raspodjelom brzina

strujanja fluida na ulazu, za domenu se odabire najmanji ponavljajući isječak u izmjenjivaču

topline, a za dobivena rješenja pretpostavlja se da odgovaraju rješenjima za cijeli izmjenjivač.

Dakle, za promatrani cijevni lamelni izmjenjivač topline, domena predstavlja isječak omeĎen

susjednim lamelama i cijevima, a na rubovima domene postavljaju se rubni uvjeti simetrije i

periodičkog ponavljanja kako bi odabrani isječak postao reprezentativan za cijeli izmjenjivač

topline. [7]

Proračunska domena obuhvaća fluid, cijevi i lamele, te ulazno i izlazno proširenje po cijeloj

visini izmjenjivača topline. Cijevi su bakrene u šahovskom rasporedu, a ravne lamele izraĎene

su iz aluminija. Na unutarnjoj stijenci cijevi postavlja se rubni uvjet konstantne temperature.

Na bočnim stranama domene postavlja se rubni uvjet periodičkog ponavljanja, a na izlazu

zraka odabire se izlazni uvjet izlaznog tlaka (engl. Pressure outlet) kako bi se spriječilo

eventualno povratno gibanje zraka. Rubni uvjet simetrije postavlja se na gornjoj i donjoj

strani domene. Na slici 4.1 prikazana je domena s rubnim uvjetima.

Domena je proširena za cijelu duljinu izmjenjivača 𝐿2 na ulaznoj strani, te s dvije duljine 𝐿2

na izlaznoj strani zraka. Kraće proširenje na ulaznoj strani zraka potrebno je kako se zadani

profil brzine strujanja zraka na ulazu u domenu ne bi značajnije promijenio do ulaza u

izmjenjivač topline. Na izlaznoj strani potrebno je veće proširenje kako bi se ostvarilo

smirivanje struje zraka koja moţe postati nestabilna. Nacrt domene izmjenjivača topline na

kraju rada daje detaljniji prikaz domene proračuna.

Promatranom problemu pristupa se usporedno: provoĎenje topline u poddomeni krutine i

prijelaz topline u poddomeni fluida rješavaju se istovremeno u numeričkoj analizi. Domena je

konstruirana i umreţena programom Gambit 2.4, dok su računalna analiza i obrada rezultata

izvršeni u Fluent 6.3.


Diplomski rad

25

Slika 4.1 Prikaz domene s rubnim uvjetima

Ulaz zraka

Izlaz zraka

(zadani

izlazni tlak

Periodični

rubni uvjet Periodični

rubni uvjet

Rubni uvjet:

simetrija

Rubni uvjet:

simetrija

Rubni uvjet:

konstantna

temperatura


Diplomski rad

26

U analizi prijelaza topline i strujanja zraka u izmjenjivaču topline uvedene su sljedeće

pretpostavke:

- strujanje je stacionarno,

- zanemareni su uzgonski efekti i prijelaz topline zračenjem,

- specifični toplinski kapacitet i toplinska vodljivost zraka su konstante vrijednosti i

- fizikalna svojstva materijala cijevi i lamela su temperaturno neovisna.

4.2. Jednadžbe očuvanja

Matematički model zadanog izmjenjivača topline opisan je sustavom parcijalnih

diferencijalnih jednadţbi za trodimenzijsko stacionarno laminarno ili turbulentno strujanje

zraka.

4.2.1. Poddomena zraka

U poddomeni zraka, prijelaz topline i laminarno strujanje fluida opisani su jednadţbama

kontinuiteta (ili jednadţba očuvanja mase – JOM), jednadţbama očuvanja količine gibanja

(JOKG) te jednadţbama očuvanja energije (JOE).

Jednadţba kontinuiteta izgleda na sljedeći način:

𝜕(𝜌𝑤𝑥)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑤𝑦)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤𝑧)

𝜕𝑧= 0, (4.1)


Diplomski rad

27

a jedndaţbe očuvanja količine gibanja (ili Navier-Stokeseove jednadţbe):

x- smjer:

𝜕(𝜌𝑤𝑥𝑤𝑥)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑤𝑥𝑤𝑦)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤𝑥𝑤𝑧)

𝜕𝑧

= −𝜕𝑝

𝜕𝑥+𝜕

𝜕𝑥 𝜂𝜕𝑤𝑥𝜕𝑥

+𝜕

𝜕𝑦 𝜂𝜕𝑤𝑥𝜕𝑦

+𝜕

𝜕𝑧 𝜂𝜕𝑤𝑥𝜕𝑧

, (4.2)

y- smjer:

𝜕(𝜌𝑤𝑦𝑤𝑥)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑤𝑦𝑤𝑦)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤𝑦𝑤𝑧)

𝜕𝑧

= −𝜕𝑝

𝜕𝑦+𝜕

𝜕𝑥 𝜂𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜂𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜂𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑧 ,

(4.2)

z- smjer:

𝜕(𝜌𝑤𝑧𝑤𝑥)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑤𝑧𝑤𝑦)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤𝑧𝑤𝑧)

𝜕𝑧

= −𝜕𝑝

𝜕𝑧+𝜕

𝜕𝑥 𝜂𝜕𝑤𝑧𝜕𝑥

+𝜕

𝜕𝑦 𝜂𝜕𝑤𝑧𝜕𝑦

+𝜕

𝜕𝑧 𝜂𝜕𝑤𝑧𝜕𝑧

. (4.4)

Ako se strujanje zraka modelira kao turbulentno, svaku od JOKG jednadţbi potrebno je

proširiti na jednadţbe (4.5) i (4.6):

𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝜌𝑤𝑖𝑘) =

𝜕

𝜕𝑥𝑗 𝜂 +

𝜂𝑡𝜍𝑘 𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑗

+ 𝜂𝑡 𝜕𝑤𝑖𝜕𝑥𝑗

+𝜕𝑤𝑗

𝜕𝑥𝑖 −

2

3 𝜌𝑘 + 𝜂𝑡

𝜕𝑤𝑘𝜕𝑥𝑘

𝛿𝑖𝑗 𝜕𝑤𝑗

𝜕𝑥𝑖− 𝜌휀 i

(4.5)


Diplomski rad

28

𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝜌𝑤𝑖휀) =

𝜕

𝜕𝑥𝑗 𝜂 +

𝜂𝑡𝜍휀 𝜕휀

𝜕𝑥𝑗

+휀

𝑘𝐶1휀 𝜂𝑡

𝜕𝑤𝑖𝜕𝑥𝑗

+𝜕𝑤𝑗

𝜕𝑥𝑖 −

2

3 𝜌𝑘 + 𝜂𝑡

𝜕𝑤𝑘𝜕𝑥𝑘

𝛿𝑖𝑗 𝜕𝑤𝑗

𝜕𝑥𝑖− 𝐶2휀𝜌

휀2

𝑘.

(4.6)

Izrazi predstavljaju jednadţbe standardnog k-ε modela turbulencije u kojima je k (m2/s2)

turbulentna kinetička energija, a ε (m2/s3) disipacija kinetičke energije. Turbulentna

dinamička viskoznost je 𝜂𝑡 , a konstante u standardnom k-ε modelu su 𝐶1휀 , 𝐶2휀 , 𝜍𝑘 i 𝜍휀 . [8]

Posljednja jednadţba je jednadţba očuvanja energije, koja izgleda kako slijedi:

𝜕 𝜌𝑤𝑥𝑇

𝜕𝑥+𝜕 𝜌𝑤𝑦𝑇

𝜕𝑦+𝜕 𝜌𝑤𝑧𝑇

𝜕𝑧=𝜕

𝜕𝑥 𝜆

𝑐𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜆

𝑐𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆

𝑐𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑧 .

(4.7)

Toplinska vodljivost i specifični toplinski kapacitet zraka pretpostavljeni su kao temperaturno

neovisni i konstantne su vrijednosti [9]:

𝜆𝑧𝑟 = 0,025 W/mK i

𝑐𝑝 = 1006 J/kgK .

4.2.2. Poddomena cijevi i lamela

U poddomeni lamela i cijevi provoĎenje topline se izraţava jednadţbom očuvanja energije:

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+𝜕2𝑇

𝜕𝑧2= 0. (4.8)


Diplomski rad

29

Fizikalna svojstva materijala lamela i cijevi pretpostavljaju se neovisnima o temperaturi.

Fizikalna svojstva aluminija su [9]:

𝜆𝑎𝑙 = 202,4 W/mK ,

𝑐𝑝 = 871 J/kgK i

𝜌𝑎𝑙 = 2719 kg/m3 .

Fizikalna svojstva bakra su [9]:

𝜆𝐶𝑢 = 387,6 W/mK ,

𝑐𝑝 = 381 J/kgK i

𝜌𝐶𝑢 = 8978 𝑘g/m3 .

4.3. Rubni uvjeti

Ulazna ploha (ulaz zraka)

Na ulazu u domenu definirana je jednolika raspodjela brzina strujanja fluida. Zadaje se

početna brzina strujanja 𝑤𝑖 , temperatura 𝑇𝑖 i tlak zraka 𝑝𝑖 .

komponente brzina

𝑤𝑥 = 𝑤𝑖 ; 𝑤𝑦 = 0; 𝑤𝑧 = 0 (4.9)

U ovom je radu ispitivano za područje Reynoldsovih brojeva 𝑅𝑒 = 500 − 5000 što odgovara

ulaznim brzinama zraka do 𝑤𝑖 = 6,79 m/s. Konkretno ulazne brzine zraka iznose:

temperatura zraka:

𝑇𝑧𝑟 = 𝑇𝑖 . (4.10)

Ulazna temperatura zraka je konstantna te iznosi 𝑇𝑖 = 293 K.


Diplomski rad

30

Izlazna ploha (izlaz zraka)

Na izlazu iz domene postavlja se rubni uvjet izlaznog tlaka što podrazumijeva zadavanje

statičkog tlaka i temperature, vektor brzine i parametre turbulencije za povratno strujanje.

Ako se pojavi povratno strujanje zraka na izlazu iz domene, ovaj rubni uvjet omogućava bolju

konvergenciju rješenja od rubnog uvjeta izobraţenog strujanja.

Bočne plohe

Zadan je periodički rubni uvjet koji se koristi kada se izmeĎu susjednih prolaza na strani zraka

očekuje ponavljajuće rješenje polja temperature, tlaka i vektora brzina. Na ovaj se način

pretpostavlja da su toplinski tokovi i vektori brzina na ulazu u domenu jednaki onima na

izlazu iz domene.

Gornja i donja ploha

Na ovim se plohama postavlja rubni uvjet simetrije s obzirom da domena predstavlja

reprezentativni isječak cijelog izmjenjivača topline. Time se uvjetuje da nema fluksa skalara

niti toka kroz granicu te su brzine i gradijenti svih varijabli u smjeru normale no os simetrije

jednaki nuli.

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 0 (4.11)

𝜕𝑤𝑥𝜕𝑦

= 0; 𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑦= 0;

𝜕𝑤𝑧𝜕𝑦

= 0 (4.12)

Unutarnja stijenka cijevi

Zadana je konstanta temperatura, odnosno izotermni rubni uvjet (𝑇 = 𝑇𝑤 ,𝑖𝑛 ) na unutarnjoj

stijenci cijevi. Primjenjuje se kada fluid u cijevima izmjenjivača topline ima vrlo veliki

toplinski kapacitet u odnosu na toplinski kapacitet zraka. Gustoća toplinskog toka izmeĎu

unutarnje stijenke i materijala cijevi se računa na sljedeći način:


Diplomski rad

31

𝑞 =𝜆

∆𝑛 𝑇𝑤 ,𝑖𝑛 − 𝑇𝑤 . (4.13)

Temperatura vode, odnosno unutarnje stijenke cijevi iznosi 𝑇 = 𝑇𝑤 ,𝑖𝑛 = 323 K.

Granične plohe izmeĎu poddomene fluida i poddomene krutine

Brzina strujanja zraka na površinama lamela i cijevi koji su u doticaju sa zrakom je nula (engl.

no-slip condition) pa je gustoća toplinskog toka provoĎenja topline na strani zraka jednaka

onoj na strani materijala cijevi i lamela:

𝜆𝑤 ∙𝜕𝑇𝑤𝜕𝑛

= 𝜆𝑧𝑟 ∙𝜕𝑇𝑧𝑟𝜕𝑛

.

(4.14)

4.4. Postupak rješavanja jednadžbi očuvanja

Ovim je matematičkim modelom opisano stacionarno prisilno strujanje i izmjena topline u

domeni proračuna. Rješavanje u poddomeni fluida podrazumijeva rješavanje jedne jednadţbe

kontinuiteta, jedne jednadţbe očuvanja energije i triju Navier-Stokesovih transportnih

jednadţbi u laminarnom modelu, odnosno šest u turbulentnom pri čemu se polja tlaka i brzina

unutar domene računaju (postupkom predviĎanja i korekcije) SIMPLE algoritmom.

Jednadţba 3D provoĎenja topline u krutini rješava se paralelno s jednadţbama očuvanja za

poddomenu fluida [10].


Diplomski rad

32

5. OPIS PRIMJENJENE NUMERIČKE METODE

Numeričko rješavanje [11] zadanog problema sastoji se u tome da se primjenom odreĎene

numeričke metode prevode sustavi diferencijalnih jednadţbi te početnih i rubnih uvjeta u

sustav algebarskih jednadţbi.

Najpoznatije numeričke metode su metoda konačnih elemenata (MKE), metoda konačnih

razlika (MKR), te metoda kontrolnih volumena (MKV).

Metodom kontrolnih volumena se područje proračuna (domena) zamjenjuje odreĎenim

brojem kontrolnih volumena. Svaki kontrolni volumen odvojen je od susjednih zamišljenim

granicama (e, w, n, s, b, t) i ima svoj centralni čvor (P), koji je okruţen čvorovima susjednih

kontrolnih volumena (E, W, N, S, B, T). Zakoni očuvanja primjenjuju se na svaki pojedinačni

volumen te se integracijom prevode u jednadţbe diskretizacije koje se povezuju s

jednadţbama diskretizacije susjednih kontrolnih volumena.

Prvi korak je podjela područja proračuna na kontrolne volumene te definiranje čvorova. Svaki

je čvor okruţen kontrolnim volumenima, a granice kontrolnih volumena definiraju se na

sredini izmeĎu susjednih čvorova. Pri tome se, za zadani problem, koriste meĎusobno

pomaknute mreţe za skalarne (temperatura, tlak), odnosno vektorske (brzina strujanja)

veličine.

Drugi korak je diskretizacija kojom se dobivaju jednadţbe diskretizacije integriranjem

diferecijalne jednaţbe po kontrolnom volumenu. Jednadţba diskretizacije predstavlja bilancu

fluksa nekog fizikalnog svojstva u kontrolnom volumenu. Formiranjem takvih jednadţbi za

sve kontrolne volumene u proračunskom području dobiva se sustav algebarskih jednadţbi koji

povezuje varijable promatranog fizikalnog svojstva u svim čvorovima proračunskog područja.

Za kontrolne volumene na granicama proračunskog područja, pripadajuće jednadţbe

diskretizacije se modificiraju tako da uključuju utjecaje rubnih uvjeta kroz izvorne članove.

Treći korak je rješavanje dobivenog sustava algebarskih jednadţbi čime se postiţe raspodjela

varijable promatranog fizikalnog svojstva u svim čvorovima mreţe. Pomoću računalnih

programa, sustav alegebarskih jednadţbi rješava se primjenom direktnih metoda (Gaussova

metoda eliminacije) ili iteracijskim metodama (Gauss-Seidelov postupak iteracije) pri čemu

se potonji zbog jednostavnosti puno češće upotrebljava. Pri uporabi iteracijskog postupka, u


Diplomski rad

33

prvom se koraku pretpotavljaju nepoznate vrijednosti, a obilaskom kroz sve čvorove dobivaju

se nove vrijednosti koje se koriste kao početne u sljedećem iteracijskom koraku. Postupak se

ponavlja do postizanja konvergencije rješenja, odnosno do postizanja zadovoljavajućeg

kriterija točnosti.

5.1. Metoda kontrolnih volumena

Prethodno najavljena metoda kontrolnih volumena jedna je od najčešće primjenjivanih

metoda u modeliranju strujanja fluida. [11]

Područje se proračuna zamijeni odreĎenim brojem kontrolnih volumena, a potom se zakoni

očuvanja primjenjuju na pojedine volumene te se integracijom prevode u sustav algebarskih

jednadţbi.

Općom jednadţbom očuvanja je moguće opisati sve jednadţbe očuvanja kojima se opisuje

strujanje i prijelaz topline.

Opća jednadţba očuvanja glasi

𝜕 𝜌 ∙ 𝜙

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌 ∙ 𝑤 ∙ 𝜙 = 𝑑𝑖𝑣 𝛤 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜙 + 𝑆𝜙 . (5.1)

Integracijom prethodne jednadţbe po kontrolnom volumenu i vremenu, dobit ćemo njen

integrirani oblik koji je osnova za primjenu metode kontrolnih volumena:

𝜕

𝜕𝑡𝛥𝑡

𝜌 ∙ 𝜙 ∙ 𝑑𝑉

𝐶𝑉

∙ 𝑑𝑡 + 𝑛

𝐴

∙ 𝜌 ∙ 𝑤 ∙ 𝜙 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑑𝑡

𝛥𝑡

= 𝑛

𝐴

∙ 𝛤 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜙 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑑𝑡

𝛥𝑡

+ 𝑆𝜙𝐶𝑉

∙ 𝑑𝑉 ∙ 𝑑𝑡

𝛥𝑡

.

(5.2)


Diplomski rad

34

S ozbirom da se radi o stacionarnom problemu, integrirani oblik prethodne jednadţbe

moţemo prikazati na jednostavniji način ako izbacimo nestacionaran član. Jednadţba u

nastavku se još naziva diskretizacijska jednadţba te opisuje bilancu toka neke varijable 𝜙 u

odabranom kontrolnom volumenu. Lijeva strana jednadţbe predstavlja jedinični konvektivni

fluks, dok desna strana sadrţi jedinični difuzijski fluks i izvor ili ponor svojstva 𝜙 unutar

kontrolnog volumena. Svrha postupka diskretizacije je pretvaranje diferencijalne jednadţbe u

odgovarajući sustav algebarskih jednadţbi čijim se rješavanjem dobija raspodjela varijable 𝜙

u čvorovima mreţe:

𝑛

𝐴

∙ 𝜌 ∙ 𝑤 ∙ 𝜙 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑛

𝐴

∙ 𝛤 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜙 ∙ 𝑑𝐴 + 𝑆𝜙𝐶𝑉

∙ 𝑑𝑉. (5.3)

Na slici 5.1 prikazan je kontrolni volumen te čvorovi i granice kontrolnog volumena.

Slika 5.1 Kontrolni volumen i čvorovi trodimenzijske mreže

Pretpostavimo li da izvora varijable 𝑆𝜙 nema, diferencijalna jednadţba će glasiti:

𝜕

𝜕𝑥 ∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝜙 +

𝜕

𝜕𝑦 ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝜙 +

𝜕

𝜕𝑧 ∙ 𝑤𝑧 ∙ 𝜙

=𝜕

𝜕𝑥 𝛤 ∙

𝜕𝜙

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝛤 ∙

𝜕𝜙

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧 𝛤 ∙

𝜕𝜙

𝜕𝑧 .

(5.4)


Diplomski rad

35

Tok uvijek mora zadovoljiti jednadţbu kontinuiteta:

𝜕 ∙ 𝑤𝑥

𝜕𝑥+𝜕 ∙ 𝑤𝑦

𝜕𝑦+𝜕 ∙ 𝑤𝑧

𝜕𝑧= 0. (5.5)

Integracija diferencijalnih jednadţbi po kontrolnom volumenu:

𝜕

𝜕𝑥 ∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝜙 𝑑𝑉

𝐶𝑉

+ 𝜕

𝜕𝑦 ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝜙 𝑑𝑉

𝐶𝑉

+ 𝜕

𝜕𝑧 ∙ 𝑤𝑧 ∙ 𝜙 𝑑𝑉

𝐶𝑉

= 𝜕

𝜕𝑥 𝛤 ∙

𝜕𝜙

𝜕𝑥 𝑑𝑉

𝐶𝑉

+ 𝜕

𝜕𝑦 𝛤 ∙

𝜕𝜙

𝜕𝑦 𝑑𝑉

𝐶𝑉

+ 𝜕

𝜕𝑧 𝛤 ∙

𝜕𝜙

𝜕𝑧 𝑑𝑉 𝑖

𝐶𝑉

(5.6)

Slijedi:

𝜕 ∙ 𝑤𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑉

𝐶𝑉

+ 𝜕 ∙ 𝑤𝑦

𝜕𝑦𝐶𝑉

𝑑𝑉 + 𝜕 ∙ 𝑤𝑧

𝜕𝑧𝑑𝑉

𝐶𝑉

= 0. (5.7)

∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝐴 ∙ 𝜙 𝑒 − ∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝐴 ∙ 𝜙 𝑤 + ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝐴 ∙ 𝜙 𝑛 − ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝐴 ∙ 𝜙 𝑠

+ ∙ 𝑤𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝜙 𝑡 − ∙ 𝑤𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝜙 𝑏

= 𝛤 ∙ 𝐴 ∙𝜕𝑇

𝜕𝑥 𝑒− 𝛤 ∙ 𝐴 ∙

𝜕𝑇

𝜕𝑥 𝑤

+ 𝛤 ∙ 𝐴 ∙𝜕𝑇

𝜕𝑦 𝑛

− 𝛤 ∙ 𝐴 ∙𝜕𝑇

𝜕𝑦 𝑠

+ 𝛤 ∙ 𝐴 ∙𝜕𝑇

𝜕𝑧 𝑡− 𝛤 ∙ 𝐴 ∙

𝜕𝑇

𝜕𝑧 𝑏 i

(5.8)

∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝐴 𝑒 − ∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝐴 𝑤 + ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝐴 𝑛 − ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝐴 𝑠

+ ∙ 𝑤𝑧 ∙ 𝐴 𝑡 − ∙ 𝑤𝑧 ∙ 𝐴 𝑏 . (5.9)


Diplomski rad

36

Radi definiranja jednadţbe diskretizacije, uvodimo nove veličine na granicama kontrolnih

volumena: konvektivni maseni fluks po jedinici površine 𝐹 = 𝜌 ∙ 𝑤

te difuzijska vodlljivost 𝐷 = 𝛤/𝛿𝑥

U nastavku će se koristiti pretpostavka da su površine na granicama kontrolnog volumena

jednake (𝐴𝑤 = 𝐴𝑒 = 𝐴𝑛 = 𝐴𝑠 = 𝐴𝑡 = 𝐴𝑏 = 𝐴), a difuzijski član će se linearno interpolirati:

Iz jednadţbe kontinuiteta slijedi:

𝐹𝑤 = ( ∙ 𝑤𝑥)𝑤 ; 𝐹𝑒 = ( ∙ 𝑤𝑥)𝑒 ;

𝐹𝑛 = ( ∙ 𝑤𝑦)𝑛 ; 𝐹𝑠 = ( ∙ 𝑤𝑦)𝑠;

𝐹𝑡 = ( ∙ 𝑤𝑧)𝑡 i 𝐹𝑏 = ( ∙ 𝑤𝑧)𝑏

(5.10)

𝐷𝑤 =𝛤𝑤𝜕𝑥𝑊𝑃

; 𝐷𝑒 =𝛤𝑒𝜕𝑥𝑃𝐸

;

𝐷𝑛 =𝛤𝑛𝜕𝑦𝑃𝑁

; 𝐷𝑠 =𝛤𝑠𝜕𝑦𝑆𝑃

;

𝐷𝑡 =𝛤𝑡𝜕𝑧𝑃𝑇

i 𝐷𝑏 =𝛤𝑏𝜕𝑧𝐵𝑃

.

(5.11)

𝐹𝑒 ∙ 𝜙𝑒 − 𝐹𝑤 ∙ 𝜙𝑤 + 𝐹𝑛 ∙ 𝜙𝑛 − 𝐹𝑠 ∙ 𝜙𝑠 + 𝐹𝑡 ∙ 𝜙𝑡 − 𝐹𝑏 ∙ 𝜙𝑏

= 𝐷𝑒 ∙ 𝜙𝐸 −𝜙𝑃 − 𝐷𝑤 ∙ 𝜙𝑃 − 𝜙𝑊

+ 𝐷𝑛 ∙ 𝜙𝑁 − 𝜙𝑃 − 𝐷𝑠 ∙ 𝜙𝑃 − 𝜙𝑆

+ 𝐷𝑡 ∙ 𝜙𝑇 −𝜙𝑃 − 𝐷𝑏 ∙ 𝜙𝑃 − 𝜙𝐵 .

(5.12)

𝐹𝑒 − 𝐹𝑤 = 0; 𝐹𝑛 − 𝐹𝑠 = 0; 𝐹𝑡 − 𝐹𝑏 = 0. (5.13)


Diplomski rad

37

5.2. Opis diskretizacijske sheme

Da bismo mogli izračunati tok varijable ϕ na granicama kontrolnih volumena, potrebno je

upotrijebiti jednu od aproksimacijskih shema. Za ovaj problem odabrana je uzvodna shema

drugog reda (engl. second order upwind scheme).

Prostorna točnost uzvodne sheme prvog reda moţe biti poboljšana uključivanjem vrijednosti

varijabli u tri čvora umjesto dva čime se postiţe da je uzvodna shema drugog reda drugog

reda točnosti. TakoĎer, mogućnost pojave ''laţne difuzije'' je puno manja nego kod uzvodne

sheme prvoga reda. [12]

Shema zadovoljava svojstvo odrţivosti jer koristi dosljedne izraze za računanje tokova na

granicama kontrolnih volumena. Da bi odrţivost bila osigurana, tok svojstva 𝜙 koji ulazi iz

jednog kontrolnog volumena, mora biti jednak toku koji ulazi u susjedni kontrolni volumen.

Uz odrţivost, zadovoljen je i uvjeti prenosivosti jer shema uzima u obzir smjer toka. Shema

zadovoljava uvjet ograničenosti, iako uvjetno. [12]

Navedenoj diskretizacijskoj shemi moţe se pristupiti na dva načina: s pretpostavkom da je tok

varijable pozitivan, odnosno negativan.

Pretpostavit ćemo da je tok varijable pozitivan (slika 5.2), odnosno da vrijedi za brzine

i za površine

𝑤𝑥𝑤 > 0, 𝑤𝑥𝑒 > 0, 𝑤𝑦𝑠 > 0, 𝑤𝑦𝑛 > 0,𝑤𝑧𝑡 > 0, 𝑤𝑧𝑏 > 0 (5.14)

𝐹𝑤 > 0, 𝐹𝑒 > 0, 𝐹𝑠 > 0, 𝐹𝑛 > 0, 𝐹𝑡 > 0, 𝐹𝑏 > 0. (5.15)


Diplomski rad

38

Slika 5.2 Pozitivan smjer strujanja

Prema tome varijable na granici kontrolnih volumena iznose:

što u nastavku daje:

𝜙𝑤 =3

2𝜙𝑊 −

1

2𝜙𝑊𝑊 ,

𝜙𝑒 =3

2𝜙𝑃 −

1

2𝜙𝑊 ,

𝜙𝑠 =3

2𝜙𝑆 −

1

2𝜙𝑆𝑆 ,

𝜙𝑛 =3

2𝜙𝑃 −

1

2𝜙𝑆 ,

𝜙𝑏 =3

2𝜙𝐵 −

1

2𝜙𝐵𝐵 i

𝜙𝑡 =3

2𝜙𝑃 −

1

2𝜙𝐵 ,

(5.16)


Diplomski rad

39

SreĎivanjem se dobiva

pa slijedi

𝐹𝑒 ∙ 3

2𝜙𝑃−

1

2𝜙𝑊 − 𝐹𝑤 ∙

3

2𝜙𝑊−

1

2𝜙𝑊𝑊 + 𝐹𝑛 ∙

3

2𝜙𝑃−

1

2𝜙𝑆 − 𝐹𝑠

∙ 3

2𝜙𝑆−

1

2𝜙𝑆𝑆 + 𝐹𝑡 ∙

3

2𝜙𝑃−

1

2𝜙𝐵 − 𝐹𝑏 ∙

3

2𝜙𝐵−

1

2𝜙𝐵𝐵 +

= 𝐷𝑒 ∙ 𝜙𝐸 − 𝜙𝑃 − 𝐷𝑤 ∙ 𝜙𝑃 − 𝜙𝑊

+ 𝐷𝑛 ∙ 𝜙𝑁 − 𝜙𝑃 − 𝐷𝑠 ∙ 𝜙𝑃 − 𝜙𝑆

+ 𝐷𝑡 ∙ 𝜙𝑇 − 𝜙𝑃 − 𝐷𝑏 ∙ 𝜙𝑃 − 𝜙𝐵 .

(5.17)

3

2𝐹𝑒𝜙𝑃 −

1

2𝐹𝑒𝜙𝑊 −

3

2𝐹𝑤𝜙𝑊 +

1

2𝐹𝑤𝜙𝑊𝑊

+ 3

2𝐹𝑛𝜙𝑃 −

1

2𝐹𝑛𝜙𝑆 −

3

2𝐹𝑠𝜙𝑆 +

1

2𝐹𝑠𝜙𝑆𝑆

+ 3

2𝐹𝑡𝜙𝑃 −

1

2𝐹𝑡𝜙𝐵 −

3

2𝐹𝑏𝜙𝐵 +

1

2𝐹𝑏𝜙𝐵𝐵

= 𝐷𝑒𝜙𝐸 −𝐷𝑒𝜙𝑃 −𝐷𝑤𝜙𝑃 + 𝐷𝑤𝜙𝑊

+ 𝐷𝑛𝜙𝑁 − 𝐷𝑛𝜙𝑃 − 𝐷𝑆𝜙𝑃 + 𝐷𝑆𝜙𝑆

+ 𝐷𝑡𝜙𝑇 − 𝐷𝑡𝜙𝑃 − 𝐷𝑏𝜙𝑃 + 𝐷𝑏𝜙𝐵 ,

(5.18)

3

2𝐹𝑒 +

3

2𝐹𝑛 +

3

2𝐹𝑡 + 𝐷𝑒 + 𝐷𝑤 + 𝐷𝑛 + 𝐷𝑠 + 𝐷𝑡 + 𝐷𝑏 𝜙𝑃

= 𝐷𝑒𝜙𝐸 + 3

2𝐹𝑤 +

1

2𝐹𝑒 + 𝐷𝑤 𝜙𝑊 + −

1

2𝐹𝑤 𝜙𝑊𝑊 + 𝐷𝑛𝜙𝑁

+ 3

2𝐹𝑠 +

1

2𝐹𝑛 + 𝐷𝑠 𝜙𝑆 + −

1

2𝐹𝑠 𝜙𝑆𝑆 + 𝐷𝑡𝜙𝑇

+ 3

2𝐹𝑏 +

1

2𝐹𝑡 + 𝐷𝑏 𝜙𝐵 + −

1

2𝐹𝑏 𝜙𝐵𝐵 .

(5.19)


Diplomski rad

40

Prethodnu se jednadţbu moţe prikazati pomoću koeficijenata 𝑎:

gdje je pri tome:

U slučaju da se radi o negativnom smjeru toka (slika 5.3), tj. da vrijedi za brzine

𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝐸𝜙𝐸 + 𝑎𝑊𝜙𝑊 + 𝑎𝑊𝑊𝜙𝑊𝑊 + 𝑎𝑁𝜙𝑁 + 𝑎𝑆𝜙𝑆 + 𝑎𝑆𝑆𝜙𝑆𝑆 + 𝑎𝑇𝜙𝑇

+ 𝑎𝐵𝜙𝐵 + 𝑎𝐵𝐵𝜙𝐵𝐵 , (5.20)

𝑎𝑃 =3

2𝐹𝑒 +

3

2𝐹𝑛 +

3

2𝐹𝑡 + 𝐷𝑒 + 𝐷𝑤 + 𝐷𝑛 + 𝐷𝑠 + 𝐷𝑡 + 𝐷𝑏 ,

𝑎𝐸 = 𝐷𝑒 ,

𝑎𝑊 =1

2𝐹𝑒 +

3

2𝐹𝑤 + 𝐷𝑤 ,

𝑎𝑊𝑊 = −1

2𝐹𝑤 ,

𝑎𝑁 = 𝐷𝑛 ,

𝑎𝑆 =1

2𝐹𝑛 +

3

2𝐹𝑠 + 𝐷𝑠 ,

𝑎𝑆𝑆 = −1

2𝐹𝑠,

𝑎𝑇 = 𝐷𝑡 ,

𝑎𝐵 =1

2𝐹𝑡 +

3

2𝐹𝑏 + 𝐷𝑏 i

𝑎𝐵𝐵 = −1

2𝐹𝑏 .

(5.21)

𝑤𝑥𝑤 < 0, 𝑤𝑥𝑒 < 0, 𝑤𝑦𝑠 < 0, 𝑤𝑦𝑛 < 0, 𝑤𝑧𝑡 < 0, 𝑤𝑧𝑏 < 0, (5.22)


Diplomski rad

41

i površine

slijedilo bi:

Slika 5.3 Negativan smjer strujanja

𝐹𝑤 < 0, 𝐹𝑒 < 0, 𝐹𝑠 < 0, 𝐹𝑛 < 0, 𝐹𝑡 > 0, 𝐹𝑏 > 0, (5.23)

𝜙𝑤 =3

2𝜙𝑃 −

1

2𝜙𝐸 ,

𝜙𝑒 =3

2𝜙𝐸 −

1

2𝜙𝐸𝐸 ,

𝜙𝑠 =3

2𝜙𝑃 −

1

2𝜙𝑁 ,

𝜙𝑛 =3

2𝜙𝑁 −

1

2𝜙𝑁𝑁 ,

𝜙𝑏 =3

2𝜙𝑃 −

1

2𝜙𝑇 ,

𝜙𝑡 =3

2𝜙𝑇 −

1

2𝜙𝑇𝑇 .

(5.24)


Diplomski rad

42

Koeficijenti 𝑎 bi tada iznosili:

U općenitom obliku vrijedi:

Za pozitivan tok

Za negativan tok

𝑎𝑃 = − 3

2𝐹𝑤 +

3

2𝐹𝑠 +

3

2𝐹𝑏 + 𝐷𝑒 + 𝐷𝑤 + 𝐷𝑛 + 𝐷𝑠 + 𝐷𝑡 + 𝐷𝑏 ,

𝑎𝐸 = 𝐷𝑒 − 1

2𝐹𝑤 +

3

2𝐹𝑒 ,

𝑎𝐸𝐸 =1

2𝐹𝑒 ,

𝑎𝑊 = 𝐷𝑤 ,

𝑎𝑁 = 𝐷𝑛 − 1

2𝐹𝑠 +

3

2𝐹𝑛 ,

𝑎𝑁𝑁 =1

2𝐹𝑛 ,

𝑎𝑁𝑁 =1

2𝐹𝑛 ,

𝑎𝑆 = 𝐷𝑠 ,

𝑎𝑡 = 𝐷𝑡 − 1

2𝐹𝑏 +

3

2𝐹𝑡 ,

𝑎𝑇𝑇 =1

2𝐹𝑡 i

𝑎𝐵 = 𝐷𝑏 .

(5.25)

𝜙𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎 =3

2𝜙𝑖−1 −

1

2𝜙𝑖−2, (5.26)


Diplomski rad

43

Općeniti oblik jednadţbe diskretizacije za 1D slučaj je

gdje je:

Pritom vrijedi:

𝛼𝑤 = 1 za 𝐹𝑤 > 0 i 𝛼𝑒 = 1 za 𝐹𝑒 > 0;

𝛼𝑤 = 0 za 𝐹𝑤 < 0 i 𝛼𝑒 = 0 za 𝐹𝑒 < 0.

Analogno formulama za 1D slučaj mogu se izvesti općenite formule i jednadţe za promatrani

3D slučaj.

Za kontrolne volumene na granicama domene pripadajuće jednadţbe diskretizacije se

modificiraju tako da uključuju utjecaje rubnih uvjeta. Susjedni koeficijent 𝑎 uz čvor na granici

izjednačuje se s nulom i uvrštava se zadani fluks u izvorni član.

𝜙𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎 =3

2𝜙𝑖+1 −

1

2𝜙𝑖+2. (5.27)

𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝐸𝜙𝐸+ 𝑎𝑊𝜙𝑊 + 𝑎𝐸𝐸𝜙𝐸𝐸 + 𝑎𝑊𝑊𝜙𝑊𝑊 , (5.28)

𝑎𝑃 = 𝑎𝐸 + 𝑎𝑊 + 𝑎𝐸𝐸 + 𝑎𝑊𝑊 + 𝐹𝑒 − 𝐹𝑤 ,

𝑎𝐸 = 𝐷𝑒 + −1

2𝐹𝑤 1− 𝛼𝑤 + −

3

2𝐹𝑒 1− 𝛼𝑒 ,

𝑎𝑊 = 𝐷𝑤 +1

2𝐹𝑒𝛼𝑒 +

3

2𝐹𝑤𝛼𝑤 ,

𝑎𝐸𝐸 =1

2𝐹𝑒 1− 𝛼𝑒 i

𝑎𝑊𝑊 = −1

2𝐹𝑤 𝛼𝑤 .

(5.29)


Diplomski rad

44

5.3. Opis algoritma za rješavanje polja tlakova i brzina

Jedan od osnovnih algoritama za proračuna polja tlakova i brzina, koji je korišten i u ovom

slučaju je SIMPLE algoritam (Semi – Implicit Method for Pressure-Linked Equations). [12] U

osnovi, to je iteracijski postupak koji uključuje pretpostavke i korekcije za proračun tlakova

korištenjem pomaknutih mreţa za proračun polja brzina. Iteracija se vrši dok rješenje ne

konvergira, tj. do trenutka kada se razlika izmeĎu novih i starih vrijednosti brzine i tlakova ne

smanji ispod unaprijed zadanog kriterija točnosti.

Pomaknuta mreţa računa skalarne veličine u čvorovima izvorne mreţe, a brzine u čvorovima

pomaknute mreţe (kontrolni volumeni 𝑤𝑥 , 𝑤𝑦 i 𝑤𝑧 komponenti brzina) odnosno na granicama

kontrolnih volumena izvorne mreţe (slika 5.4). Korištenjem pomaknute mreţe za komponente

brzina, izbjegava se nepravilan utjecaj tlaka u jednadţbama diskretizacije, a brzine se

računaju tamo gdje su potrebne za proračun skalara kod konvekcijsko - difuzijskih problema

te nisu potrebne interpolacijske funkcije za proračun brzina na granicama kontrolnih

volumena. U nastavku je opisan proračun za 2D problem radi preglednosti, no u numeričkom

proračunu radi se o 3D problemu.

Slika 5.4 Raspodjela skalarnih i vektorskih veličina oko

kontrolnog volumena kod pomaknute mreže


Diplomski rad

45

Postupak proračuna:

Prije svega, pretpostavlja se polje tlakova p* i korištenjem tog polja tlakova rješavaju se

jednadţbe diskretizacije i izračunavaju se komponente brzine wx* i wy* prema jednadţbama:

Zatim se definiraju korekcije tlakova i brzina kao razlika izmeĎu točnog polja tlaka p i

pretpostavljenog polja tlaka p* kako slijedi u nastavku:

Na sličan se način definiraju i korekcije brzina:

Točno polje tlakova p daje, uvrštavanjem u jednadţbe očuvanja količine gibanja, točno polje

brzina. Novodobivene točne vrijednosti uvrštavaju se u jednadţbe očuvanja količine gibanja,

a oduzimanjem jednadţbi diskretizacije za pretpostavljene brzine wx* i wy* od jednadţbi

diskretizacije za brzine wx i wy slijedi:

𝑎𝑖 ,𝐽 ∙ 𝑤𝑥𝑖 ,𝐽∗ = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑥 𝑛𝑏

∗ + 𝑝𝐼−1,𝐽∗ − 𝑝𝐼,𝐽

∗ ∙ 𝐴𝑖 ,𝐽 + 𝑏𝑖 ,𝐽 i

𝑎𝐼,𝑗 ∙ 𝑤𝑦𝐼 ,𝑗∗ = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑦 𝑛𝑏

∗ + 𝑝𝐼,𝐽−1∗ − 𝑝𝐼,𝐽

∗ ∙ 𝐴𝐼,𝑗 + 𝑏𝐼,𝑗 .

(5.30)

𝑝 = 𝑝∗ + 𝑝′ . (5.31)

𝑤𝑥 = 𝑤𝑥∗ + 𝑤𝑥

′ i

𝑤𝑦 = 𝑤𝑦∗ + 𝑤𝑦

′ . (5.32)

𝑎𝑖 ,𝐽 ∙ 𝑤𝑥𝑖 ,𝐽 −𝑤𝑥𝑖 ,𝐽∗

= 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑥 𝑛𝑏 − 𝑤𝑥 𝑛𝑏∗ + [ 𝑝𝐼−1,𝐽 − 𝑝𝐼−1,𝐽

∗ )− (𝑝𝐼,𝐽 − 𝑝𝐼,𝐽∗

∙ 𝐴𝑖 ,𝐽 i

𝑎𝐼,𝑗 ∙ 𝑤𝑦𝐼 ,𝑗 − 𝑤𝑦𝐼 ,𝑗∗ = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑦 𝑛𝑏 − 𝑤𝑦 𝑛𝑏

∗ + [ 𝑝𝐼,𝐽−1 − 𝑝𝐼,𝐽−1∗ ) −

(𝑝𝐼,𝐽 − 𝑝𝐼,𝐽∗ ∙ 𝐴𝐼,𝑗 .

(5.33)


Diplomski rad

46

Korištenjem jednadţbi korekcije, prethodne jednadţbe moţemo napisati kako slijedi:

Osnovna aproksimacija SIMPLE algoritma je ispuštanje članova 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑥𝑛𝑏′ i 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑦𝑛𝑏

′

što ne utječe na konačno rješenje jer će korekcije tlaka i brzina biti jednake nuli u slučaju

kovergiranog rješenja (𝑝 = 𝑝∗,𝑤𝑥 = 𝑤𝑥∗,𝑤𝑦 = 𝑤𝑦

∗ ). Uzimajući to u obzir, sreĎivanjem se

dobiva

gdje je:

Prethodnim jednadţbama definiraju se korekcije brzina koje se uvrštavaju u jednadţbe (5.32)

te u nastavku slijedi

𝑎𝑖 ,𝐽 ∙ 𝑤𝑥𝑖 ,𝐽′ = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑥 𝑛𝑏

′ + 𝑝𝐼−1,𝐽′ − 𝑝𝐼,𝐽

′ ∙ 𝐴𝑖 ,𝐽 i

𝑎𝐼,𝑗 ∙ 𝑤𝑦𝐼 ,𝑗′ = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑦 𝑛𝑏

′ + 𝑝𝐼,𝐽−1′ − 𝑝𝐼,𝐽

′ ∙ 𝐴𝐼,𝑗 .

(5.34)

𝑤𝑥𝑖 ,𝐽′ = 𝑑𝑖 ,𝐽 ∙ 𝑝𝐼−1,𝐽

′ − 𝑝𝐼,𝐽′ i

𝑤𝑦𝐼 ,𝑗′ = 𝑑𝐼,𝑗 ∙ 𝑝𝐼,𝐽−1

′ − 𝑝𝐼,𝐽′ ,

(5.35)

𝑑𝑖 ,𝐽 =𝐴𝑖 ,𝐽𝑎𝑖,𝐽

,

𝑑𝐼,𝑗 =𝐴𝐼,𝑗

𝑎𝐼,𝑗 .

(5.36)

𝑤𝑥𝑖 ,𝐽 = 𝑤𝑥𝑖 ,𝐽∗ + 𝑑𝑖 ,𝐽 ∙ 𝑝𝐼−1,𝐽

′ − 𝑝𝐼,𝐽′ ,

𝑤𝑦𝐼 ,𝑗 = 𝑤𝑥𝐼 ,𝑗∗ + 𝑑𝐼,𝑗 ∙ 𝑝𝐼,𝐽−1

′ − 𝑝𝐼,𝐽′ ,

(5.37)


Diplomski rad

47

gdje je:

Polje brzina mora zadovoljavati jednadţbu kontinuiteta čija jednadţba diskretizacije za

skalarni volumen prikazan na slici 5.5 ima oblik:

Slika 5.5 Prikaz kontrolnog volumena

𝑑𝑖+1,𝐽 =𝐴𝑖+1,𝐽

𝑎𝑖+1,𝐽 i

𝑑𝐼,𝑗 =𝐴𝐼,𝑗+1

𝑎𝐼,𝑗+1 .

(5.38)

𝜌 ∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝐴 𝑖+1,𝐽 − 𝜌 ∙ 𝑤𝑥 ∙ 𝐴 𝑖 ,𝐽 + 𝜌 ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗+1− 𝜌 ∙ 𝑤𝑦 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗 . (5.39)


Diplomski rad

48

U jednadţbu (5.39) uvrštavamo prethodno definirane brzine (5.37):

što se moţe napisati kao:

Pritom vrijedi:

Jednadţba (5.41) predstavlja jednadţbu korekcije tlaka čijim se rješavanjem dobiva polje

korekcije tlaka p'.

Nakon što je izračunato polje korekcije tlaka moguće je izračunati i točno polje tlaka

𝑝 = 𝑝∗ + 𝑝′ , te se korištenjem prethodno navedenih jednadţbi mogu izračunati i komponente

brzina wx i,J, wx i+1,J, wy I,j te wy I,j+1.

𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝑖+1,𝐽 + 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝑖 ,𝐽 + 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗+1 + 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗 ∙ 𝑝𝐼,𝐽′

= 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝑖+1,𝐽 ∙ 𝑝𝐼+1,𝐽′ + 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝑖 ,𝐽 ∙ 𝑝𝐼−1,𝐽

′ + 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗+1

∙ 𝑝𝐼,𝐽+1′ + 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗 ∙ 𝑝𝐼,𝐽−1

′

+ 𝜌 ∙ 𝑤𝑥∗ ∙ 𝐴 𝑖 ,𝐽 − 𝜌 ∙ 𝑤𝑥

∗ ∙ 𝐴 𝑖+1,𝐽 + 𝜌 ∙ 𝑤𝑦∗ ∙ 𝐴

𝐼,𝑗

− 𝜌 ∙ 𝑤𝑦∗ ∙ 𝐴

𝐼,𝑗+1

(5.40)

𝑎𝐼,𝐽 ∙ 𝑝𝐼,𝐽′ = 𝑎𝐼+1,𝐽 ∙ 𝑝𝐼+1,𝐽

′ + 𝑎𝐼−1,𝐽 ∙ 𝑝𝐼−1,𝐽′ + 𝑎𝐼,𝐽+1 ∙ 𝑝𝐼,𝐽+1

′ + 𝑎𝐼,𝐽−1 ∙ 𝑝𝐼,𝐽−1′ + 𝑏𝐼,𝐽

′ . (5.41)

𝑎𝐼,𝐽 = 𝑎𝐼+1,𝐽 + 𝑎𝐼−1,𝐽 + 𝑎𝐼,𝐽+1 + 𝑎𝐼,𝐽−1,

𝑎𝐼+1,𝐽 = 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝑖+1,𝐽 ,

𝑎𝐼−1,𝐽 = 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝑖 ,𝐽 ,

𝑎𝐼,𝐽+1 = 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗+1,

𝑎𝐼,𝐽−1 = 𝜌 ∙ 𝑑 ∙ 𝐴 𝐼,𝑗 te

𝑏𝐼,𝐽′ = 𝜌 ∙ 𝑤𝑥

∗ ∙ 𝐴 𝑖 ,𝐽 − 𝜌 ∙ 𝑤𝑥∗ ∙ 𝐴 𝑖+1,𝐽 + 𝜌 ∙ 𝑤𝑦

∗ ∙ 𝐴 𝐼,𝑗− 𝜌 ∙ 𝑤𝑦

∗ ∙ 𝐴 𝐼,𝑗+1

(5.42)


Diplomski rad

49

Moguća je divergencija jednadţbe korekcije tlaka ako se prilikom iteracijskog postupka ne

koristi podrelaksacija, te se dobiva novo poboljšano polje tlaka

gdje je 𝛼𝑝 podrelaksacijski faktor tlaka

On omogućava dodavanje pretpostavljenom polju tlaka p* takav udio polja korekcije tlaka

koji je dovoljno velik za pribliţavanje konvergiranom rješenju iteracijskim postupkom, ali i

dovoljno malen da osigura stabilnost iteracijskog postupka.

Podrelaksacija se koristi i za brzine da bi se postigle nove poboljšane komponente brzina

pri čemu su:

- 𝛼𝑤𝑥 i 𝛼𝑤𝑦 podrelaksacijski faktori za brzine s vrijednostima izmeĎu 0 i 1

- 𝑤𝑥(𝑛−1)

i 𝑤𝑦(𝑛−1)

vrijednosti komponenta brzine iz prethodne iteracije.

Korištenjem podrelaksacije, jednadţbe diskretizacije 𝑤𝑥 i 𝑤𝑦 komponenta brzina imaju oblik:

𝑝𝑛𝑒𝑤 = 𝑝∗ + 𝛼𝑝 ∙ 𝑝′ (5.43)

0 < 𝛼𝑝 < 1. (5.44)

𝑤𝑥𝑛𝑒𝑤 = 𝛼𝑤𝑥 ∙ 𝑤𝑥 + 1 − 𝛼𝑤𝑥 ∙ 𝑤𝑥

(𝑛−1) i

𝑤𝑦𝑛𝑒𝑤 = 𝛼𝑤𝑦 ∙ 𝑤𝑦 + 1− 𝛼𝑤𝑦 ∙ 𝑤𝑦

(𝑛−1)

(5.45)

𝑎𝑖 ,𝐽𝑎𝑤𝑥

∙ 𝑤𝑥 𝑖 ,𝑗 = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑥 𝑛𝑏 + 𝑝𝐼−1,𝐽 − 𝑝𝐼,𝐽 ∙ 𝐴𝑖 ,𝐽 + 𝑏𝑖 ,𝐽 + 1− 𝛼𝑤𝑥 ∙𝑎𝑖 ,𝐽𝑎𝑤𝑥

∙ 𝑤𝑥 𝑖 ,𝐽 𝑛−1 i

𝑎𝐼,𝑗

𝑎𝑤𝑦∙ 𝑤𝑦 𝐼,𝑗 = 𝑎𝑛𝑏 ∙ 𝑤𝑦 𝑛𝑏 + 𝑝𝐼,𝐽−1 − 𝑝𝐼,𝐽 ∙ 𝐴𝐼,𝑗 + 𝑏𝐼,𝑗 + 1 − 𝛼𝑤𝑦 ∙

𝑎𝐼,𝑗

𝑎𝑤𝑦

∙ 𝑤𝑥 𝐼,𝑗 𝑛−1 .

(5.46)


Diplomski rad

50

Podrelaksacija ima utjecaj i na jednadţbu korekcije tlaka pa članovi 𝑑 imaju oblik:

Pravilan odabir podrelaksacijskih faktora (što ovisi od slučaja do slučaja) su bitni za proračun

jer utječu na optimalan broj iteracija i stabilnost iteracijskog postupka, što konačno moţe

rezultirati točnijim rješenjem proračuna uz njegovo kraće vrijeme trajanja.

SIMPLE algoritam predstavlja iteracijsku metodu za proračun tlakova i brzina. Na slici 5.6

prikazan je dijagram toka SIMPLE algoritma. Shematskim se prikazom moţe lakše uočiti

redoslijed postupka proračuna algoritma.

𝑑𝑖 ,𝐽 =𝐴𝑖 ,𝐽 ∙ 𝛼𝑤𝑥𝑎𝑖,𝐽

,

𝑑𝑖+1,𝐽 =𝐴𝑖+1,𝐽 ∙ 𝛼𝑤𝑥𝑎𝑖+1,𝐽

,

𝑑𝐼,𝑗 =𝐴𝐼,𝑗 ∙ 𝛼𝑤𝑦𝑎𝐼,𝑗

i

𝑑𝐼,𝑗+1 =𝐴𝐼,𝑗+1 ∙ 𝛼𝑤𝑦𝑎𝐼,𝑗+1

.

(5.47)


Diplomski rad

51

Slika 5.6 Blok dijagram SIMPE algoritma


Diplomski rad

52

5.4. Računalni program Fluent i Gambit

Modeliranje i umreţavanje domene proračuna izvršena je računalnim program ANSYS

Gambit. Mreţa se sastoji od oko 4,7 milijuna kontrolnih volumena u obliku kvadra ili

heksaedra. Na slici 5.7 prikaza je umreţena domena.

Umreţavanje se vršilo u nekoliko koraka. Najprije su umreţene bočne ravnine, potom se

pomicanje umreţenih ravnina po vektoru širine volumena dobiju kontrolni volumeni. Mreţa

mora biti što finija da bi se postiglo konvergirajuće rješenje. TakoĎer, potrebno je pripaziti da

asimetrija izmeĎu kontrolnih volumena ne bude veća od 0,5 i da omjer duljeg i kraćeg brida

ne bude veći od 10. [7]

U početku se krenulo s manjim dimenzijama kontrolnih volumena kako bi mreţa bilo što

gušća, obzirom da gustoća mreţe utječe na rezultate numeričkog modeliranja. No, trebalo je

pripaziti da ukupan broj kontrolnih volumena ne prijeĎe odreĎenu granicu nakon koje bi

Fluent imao poteškoća pri vršenju proračuna. Isto tako, pregusta mreţa oteţava rad računalu s

obzirom na ograničenja memorije i softvera. Uzimajući sve navedeno u obzir, nakon nekoliko

pokušaja odabrane su dimenzije kontrolnih volumena koje su dale konačnu gustoću mreţu s

kojom su i softver i računalo mogli djelovati.

Mreţa je potom spremljena i učitana računalnim programom Fluent 6.3 gdje se problem dalje

analizira i iterira. Fluent nam omogućuje analizu karakterističnih termodinamičkih parametara

(lokalnih koeficijenata prijelaza topline, specifičnih toplinskih tokova na strani zraka te

prosječnih izlaznih temperatura) te prikaz raspodjele polja temperatura i vektora brzina.

OdraĎeno je 19 slučajeva, a analize su trajale i po osam sati, ovisno o sloţenosti problema

(laminarno ili turbulentno strujanje).


Diplomski rad

53

Slika 5.7 Umrežena domena: a) cijela domena; b) detalj domene

a)

b)


Diplomski rad

54

6. REZULTATI

U diplomskom radu je odraĎeno 19 slučajeva za različite Reynoldsove brojeve. Razmatrano je

strujanje za 𝑅𝑒 = 500 − 5000 s korakom od 500, laminarno i turbulentno strujanje, pri čemu

se turbulentno strujanje nije analiziralo za 𝑅𝑒 = 500.

Pri izradi ovih analiza bazirala sam se na postojećim člancima i istraţivanjima [13,14] koji su

se bavili sličnom problemom, odnosno prijelazom topline u izmjenjivačima topline.

Promjena Re broja u promatranim slučajevima očitovala se kroz promjenu masenog protoka

zraka na ulazu u domenu. Formulom (6.1) se iz Re broja dobije iznos masenog toka 𝑚 (kg/s)

koji se potom unese u vrijednost rubnog uvjeta za ulaz zraka:

pri čemu je 𝑑𝑐 promjer ovratnika cijevi u m, 𝐴𝑚𝑖𝑛 minimalna površina fluida u smjeru

strujanja u m2, a 𝜂𝑢𝑙 dinamički viskozitet zraka na ulazu u domenu u Pas.

U ovom su radu uzete sljedeće vrijednosti navedenih veličina:

𝑑𝑐 = 8,6 m2 ,

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 51 mm2 i

𝜂𝑢𝑙 = 18,24 ∙ 10−6 Pas.

U tablici 6.1 prikazani su izračunati maseni protoci zraka u ovisnosti o Re broju, a na slici 6.1

vidljiv je način promjene rubnog uvjeta promjenom masenog protoka zraka na ulazu u

domenu.

𝑅𝑒𝑑𝑐 =𝑚 ∙ 𝑑𝑐

𝐴𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝜂𝑢𝑙 ,

𝑚 =𝑅𝑒𝑑𝑐 ∙ 𝐴𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝜂𝑢𝑙

𝑑𝑐,

(6.1)


Diplomski rad

55

Tablica 6.1 Vrijednosti masenog protoka u ovisnosti u Re broju

𝑹𝒆 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

𝒎

g/s 0,0541 0,108 0,162 0,216 0,2704 0,325 0,379 0,433 0,487 0,541

Slika 6.1 Promjena rubnog uvjeta na ulazu u domenu

Fluent omogućava ispis raznih termodinamičkih parametara od kojih će ovdje biti prikazani

gustoće toplinskih tokova, temperatura stijenke i izlazna temperatura zraka te pad totalnog

tlaka u izmjenjivaču topline, tj. u domeni proračuna. U nastavku će biti i grafički prikaz

raspodjele temperatura i vektora brzina u ravnini 𝑧 = 1,575 koja se nalazi izmeĎu dviju

promatranih lamela.


Diplomski rad

56

6.1. Analiza termodinamičkih parametara

6.1.1. Temperature zraka i stijenke

Jedan od postavljenih rubnih uvjeta bio je konstantna ulazna temperatura zraka i izotermni

rubni uvjet na unutarnoj stijenci cijevi:

Za izračun koeficijenta konvektivnog prijelaza topline, potrebno je poznavati temperature

zraka na izlazu kao i temperaturu stijenke s kojom zrak izmjenjuje toplinu. U tablici 6.2

prikazane su izlazne temperature zraka 𝑇𝑖𝑧𝑙 za laminarno i turbulentno strujanje te aritmetička

sredina ulazne i izlazne temperature zraka koja se vodi kao referentna temperatura 𝑇𝑟𝑒𝑓 .

Tablica 6.2 Izlazne i referente temperature zraka

Laminarno strujanje Turbulentno strujanje

Re Izlazna temperatura

zraka 𝑇𝑖𝑧𝑙 [K]

Referentna

temperture zraka

𝑇𝑟𝑒𝑓 [K]

Izlazna temperatura

zraka 𝑇𝑖𝑧𝑙 [K]

Referentna

temperture zraka

𝑇𝑟𝑒𝑓 [K]

500 314,31 303,65 - -

100 308,87 300,93 309,20 301,07

1500 305,92 299,46 309,12 301,06

2000 304,22 298,61 309,03 301,0

2500 303,17 298,08 309,02 301,02

3000 302,09 297,55 309,01 301,01

3500 301,95 297,48 309,00 301,00

4000 301,02 297,01 308,99 300,99

4500 300,39 296,69 308,86 300,93

5000 300,435 296,63 307,99 300,49

𝑇𝑧𝑟 = 293 K i

𝑇𝑤 ,𝑖𝑛 = 323 K. (6.2)


Diplomski rad

57

Usporedbom izlaznih temperatura moguće je uočiti da se kod turbulentnog strujanja postiţe

bolje zagrijavanja zraka jer je prijelaz topline bolji. Pri manjim Re brojevima, izlazna je

temperatura slična kod različitih strujanja, no porastom brzine, laminarnim se strujanjem

postiţe lošije zagrijavanja zraka.

U tablici 6.3 prikazane su temperature stijenke 𝑇𝑆 koja je u dodiru sa zrakom, a koje su

potrebne za izračun koeficijenta prijelaza topline konvekcijom.

Tablica 6.3 Temperature stijenke


Re Temperatura stijenke

𝑇𝑆 [K]

Temperatura stijenke

𝑇𝑆 [K]

500 320,71 -

100 320,38 320,34

1500 320,09 319,47

2000 319,97 318,78

2500 319,91 318,21

3000 319,79 317,71

3500 319,61 317,28

4000 319,51 316,89

4500 319,26 316,54

5000 319,15 316,23

Na slici 6.2 prikazana je promjena izlazne temperature zraka u ovisnosti o Re broju. Iz grafa

je jasno vidljivo kako kod laminarnog strujanja, povećanjem ulazne brzine zraka, izlazna

temperatura puno intenzivnije pada nego što je to slučaj kod turbulentnog strujanja. Kod

potonjeg uočljiva je vrlo mala razlika u temperaturi od slučaja do slučaja. Prema tome, pri

turbulentnom strujanju postiţe se viša temperatura zraka na izlazu od koja je gotovo konstanta

u cijelom rasponu promatranih Re brojeva.


Diplomski rad

58

Slika 6.2 Promjena izlazne temperature zraka u ovisnosti o Re broju

6.1.2. Učinkovitost izmjenjivača topline

Na temelju očitanih temperatura, moguće je prikazati promjenu učinkovitosti izmjenjivača

topline 𝜙 u ovisnosti o Re broju (dijagram 6.1). Učinkovitost se računa na sljedeći način:

𝜙 =∆𝑇𝑚𝑖𝑛∆𝑇𝑚𝑎𝑥

=𝑇𝑢𝑙 − 𝑇𝑖𝑧𝑙𝑇𝑆,𝑐𝑖𝑗𝑒𝑣 − 𝑇𝑢𝑙

, (6.3)

gdje je 𝑇𝑆,𝑐𝑖𝑗𝑒𝑣 temperatura stijenke cijevi u K te iznosi 323 K.

Proučavajući ovaj dijagram, moguće je zaključiti da izmjenjivač topline ima veću

učinkovitost pri turbulentnom strujanju nego što je ona pri laminarnom strujanju kod većih

Re brojeva. Isto tako, učinkovitost pada s porastom brzine jer njen porast uzrokuje niţu

temperaturu zraka na izlazu iz domene. Obzirom da se pri turbulentnom strujanju javljaju vrlo

male razlike izmeĎu izlaznih temperatura, učinkovitost izmjenjivača topline je vrlo slična za

gotovo sve Re brojeve. Malo veći pad učinkovitosti vidljiv je pri 𝑅𝑒 = 5000.

298299300301302303304305306307308309310311312313314315316

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Tem

pe

ratu

ra [

K]

Reynoldsov broj

Izlazna temperatura zraka

Laminarno strujanje

Turulentno strujanje


Diplomski rad

59

Slika 6.3 Učinkovitost izmjenjivača topline u ovisnosti o Re broju

6.1.3. Proračun koeficijenta prijelaza topline konvekcijom

Koeficijent prijelaza topline proračunava se pomoću gustoće toplinskog toka 𝑞 (kroz površine

s kojima je zrak u dodiru) kako slijedi:

𝛼 =𝑞

𝑇𝑆 − 𝑇𝑟𝑒𝑓.

(6.4)

Kao i temperature, gustoća toplinskog toka očitava se iz Fluenta. U tablici 6.4 izlistane su

očitane gustoće toplinskih tokova i proračunati koeficijenti prijelaza topline konvekcijom

prema jednadţbi 6.4.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Uči

nko

vito

st iz

mje

njiv

ača

top

line

Re broj

Učinkovitost izmjenjivača topline

Laminarno strujanje

Turbulentno strujanje


Diplomski rad

60

Tablica 6.4 Gustoća toplinskog toka i koeficijent prijelaza topline u ovisnosti o Re broju


Re Gustoća toplinskog

toka 𝑞 [W/m2]

Koeficijent prijelaza

topline konvekcijom

𝛼 [W/m2K]

Gustoća toplinskog

toka 𝑞 [W/m2]

Koeficijent prijelaza

topline konvekcijom

𝛼 [W/m2K]

500 444,56 26,06 - -

100 645,71 33,19 963,88 50,02

1500 781,19 37,87 1297,11 70,46

2000 907,004 42,48 1571,73 88,39

2500 1023,05 46,89 1804,76 104,99

3000 1131,09 50,89 2006,48 120,29

3500 1229,45 55,56 2183,12 134,18

4000 1312,16 58,32 2343,02 146,44

4500 1391,25 61,64 2492,79 159,69

5000 1455,19 64,62 2631,13 167,16

U području strujanja 300 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 3000, prema Wangu i dr., izmjenjivači topline s manjim

brojem redova cijevi (𝑁𝑅 = 1− 2) imaju veće prosječne koeficijente prijelaza topline od

izmjenjivača topline s većim brojem redova cijevi. [7]

Primjerice, kod manjih brzina strujanja (𝑅𝑒 ≤ 3000) i pri 𝑁𝑅 = 1 − 2, smanjenje razmaka

izmeĎu lamela dovodi do povećanja koeficijenta prijelaza topline. No, razmak lamela ima

manji utjecaj na koeficijente prijelaza topline u području turbulentnog strujanja (𝑅𝑒 > 3000)

i pri 𝑁𝑅 > 4.

Na faktor trenja 𝑓, broj redova cijevi nema toliko značajan utjecaj kao vanjski promjer cijevi

𝑑𝑣, korak lamela 𝑠𝑓 i korak cijevi 𝑋𝑇 i 𝑋𝐿. Faktor trenja i pad tlaka rastu s porastom promjera

cijevi ili smanjenjem razmaka izmeĎu cijevi.

Za proračun 𝑗 faktora, koriste se Wang-Chi korelacije [7]:

𝑗 = 0,108 𝑅𝑒𝑑𝑐−0,29

𝑋𝑇𝑋𝐿 𝐶1

𝑠𝑓

𝑋𝐿 𝐶2

𝑠𝑓

𝑑𝑐

−1,084

𝑠𝑓

𝐷𝑕 −0,786

i

(6.5a)


Diplomski rad

61

𝑗 = 0,108 𝑅𝑒𝑑𝑐𝐶3𝑁𝑅

𝐶4 𝑠𝑓

𝑋𝑇 −0,93

𝑠𝑓

𝑑𝑐 𝐶5

𝑠𝑓

𝐷𝑕 𝐶6

(6.5b)

Faktor 𝑗 ovisi o 𝑅𝑒 broju, geometriji lamela (slika) i broju redova cijevi. Korelacije za faktore

(6.5a) i (6.5b) predviĎaju 88,6% rezultata eksperimentalnh mjerenja unutar ±15%, a

prosječno odustupanje je 7,5%. [7]

Slika 6.4 Geometrija cijevnog lamelnog izmjenjivača topline s ravnim lamelama:

a) linijski raspored cijevi; b) šahovski raspored cijevi

𝑋𝑇 i 𝑋𝐿 predstavljaju poprečni i uzduţni korak cijevi dok je 𝑠𝑓 korak lamele. Karakteristična

duljina u Reynoldsovoj značajki 𝑅𝑒𝑑𝑐 je promjer ''ovratnika'' 𝑑𝑐 koji iznosi:

𝑑𝑐 = 𝑑𝑣 + 2𝛿𝑓

(6.6)

gdje je 𝛿𝑓 debljina lamele u m.

Koeficijenti 𝐶1-𝐶6 se računaju na sljedeći način:


Diplomski rad

62

𝐶1 = 1,9− 0,23 ln𝑅𝑒𝑑𝑐 ,

𝐶2 = −0,236 + 0,126 ln𝑅𝑒𝑑𝑐

𝐶3 = −0,361 −0,042𝑁𝑟ln𝑅𝑒𝑑𝑐

+ 0,158 ln 𝑁𝑟 𝑠𝑓

𝑑𝑐

0,41

,

𝐶4 = −1,224 −0,076

ln𝑅𝑒𝑑𝑐 𝑋𝐿𝐷𝑕

1,42

,

𝐶5 = −0,083 +0,058𝑁𝑅ln𝑅𝑒𝑑𝑐

i

𝐶6 = −5,735 + 1,21 ln 𝑅𝑒𝑑𝑐𝑁𝑟

.

(6.7)

Wang i Chi su takoĎer predloţili i izraz za računanje faktora trenja 𝑓 [7]:

𝑓 = 0,0267𝑅𝑒𝑑𝑐𝐶7

𝑋𝑇𝑋𝐿 𝐶8

𝑠𝑓

𝑑𝑐 𝐶9

,

(6.8)

a koeficijenti 𝐶7-𝐶9 računaju se prema:

𝐶7 = 0,739𝑋𝑇𝑋𝐿

+ 0,177𝑠𝑓

𝑑𝑐−

0,00758

𝑁𝑅− 0,764,

𝐶8 =64,021

ln𝑅𝑒𝑑𝑐− 15,689 i

𝐶9 = 1,696 −15,695

ln𝑅𝑒𝑑𝑐.

(6.9)

Korelacija za faktor 𝑓 (6.8) predviĎa 85,1% rezultata eksperimentalnh mjerenja unutar

±15%, a prosječno odustupanje je 8,3%.

Korelacije za 𝑓 i 𝑗 su dobivene na temelju ispitivanja 74 izmjenjivača topline s različitim

omjerima na ravnim lamelama. Raspon geometrijskih parametra su:

broj redova cijevi 1 ≤ 𝑁𝑅 ≤ 6,

vanjski promjer cijevi 6,4 ≤ 𝑑𝑣 ≤ 12,7 mm,

hidraulički promjer 1,3 ≤ 𝑑𝑕 ≤ 9,4 mm,

poprečni korak cijevi 17,7 ≤ 𝑋𝑇 ≤ 31,8 mm,


Diplomski rad

63

uzduţni korak cijevi 12,4 ≤ 𝑋𝐿 ≤ 27,5 mm,

korak lamele 1,2 ≤ 𝑠𝑓 ≤ 8,7 mm,

debljina lamele 0,12 ≤ 𝛿𝑓 ≤ 0,2 mm,

strujanje zraka u području 300 ≤ 𝑅𝑒𝑑𝑐 ≤ 20000.

Izračunavanjem fakora 𝑗 i 𝑓, moguće je odrediti koeficijent prijelaza topline konvekcijom 𝛼 i

pad tlaka ∆𝑝 na ravnim lamelama cijevnog izmjenjivača topline[7] :

𝛼 = 𝑗𝜆

𝐷𝑕𝑅𝑒𝑃𝑟1/3 = 𝑗

𝜌𝑤𝑚𝑎𝑥𝑃𝑟2/3

𝑐𝑝 = 𝑗𝑚

𝐴𝑚𝑖𝑛

𝑐𝑝

𝑃𝑟2/3 i

∆𝑝 = 𝑚 𝐴𝑚𝑖𝑛

2

2𝜌𝑖 4𝑓

𝐿2

𝐷𝑕

𝜌𝑖𝜌𝑚

+ 2 𝜌𝑖𝜌𝑜− 1

+ 𝑚 𝐴𝑚𝑖𝑛

2

2𝜌𝑖 1− 𝜍2 + 𝐾𝑖 − 1− 𝜍

2 − 𝐾0 𝜌𝑖𝜌𝑜 .

(6.10)

Pri čemu je:

𝜍 =𝐴𝑚𝑖𝑛𝐿1𝐿3

=𝐿1𝐿3 − 𝛿𝑓𝑁𝑓

𝐿1𝐿3𝐿1𝐿3 = 1 − 𝛿𝑓𝑁𝑓

(6.11)

Koeficijenti 𝐾𝑖 i 𝐾0 uzimaju u obzir pad tlaka na ulazu i izlazu iz izmjenjivača koji nastaju

zbog naglog proširenja i suţenja presjeka zračnog kanala, te ovise o 𝜍, 𝑅𝑒 i geometriji lamele.

Budući da je pad tlaka zbog suţenja i proširenja mali u odnosu na pad tlaka u izmjenjivaču

topline te da se zbog malih temperatura u ovoj analizi promjena gustoće fluida (zraka) moţe

zanemariti, izraz (6.10) se pojednostavljuje:

∆𝑝 = 4𝑓𝐿2

𝐷𝑕

𝑚 𝐴𝑚𝑖𝑛

2

2𝜌.

(6.12)

Hidraulički promjer 𝑑𝑕 računa se na sljedeći način:

𝑑𝑕 =4𝐴𝑚𝑖𝑛𝐴𝑇

𝐿2

(6.13)


Diplomski rad

64

gdje je 𝐴𝑇 ukupna površina prijelaza topline na strani zraka u m2.

U nastavku slijedi proračun koeficijenta konvektivnog prijelaza topline i pada tlaka pomoću

Wang-Chi korelacije kako bi se dobiveni rezultati mogli usporediti s onima koji su dobiveni

numeričkom analizom.

Za početak, potrebne su nam vrijednosti pojedinih veličina izmjenjivača topline

𝑁𝑅 = 4

𝑋𝑇 = 21 mm

𝑋𝐿 = 16 mm

𝑠𝑓 = 3,15 mm

𝛿𝑓 = 0,3mm

𝑑𝑣 = 8 mm

𝛿𝑓 = 0,3 mm

𝐿2 = 64 mm

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 51 mm2

𝐴𝑇 = 2642,9 mm2

(6.14)

Fizikalna svojstva zraka:

gustoća zraka 𝜌 = 1,2 kg/m3

dinamički viskozitet 𝜂 = 18,24 ∙ 10−6 Pas

koeficijent toplinske vodljivosti 𝜆 = 0,025 W/mK

specifični toplinski kapacitet 𝑐𝑝 = 1006 J/kgK

Na temelju prethodnih podataka, moguće je izračunati hidraulički promjer 𝑑𝑕 i promjer 𝑑𝑐 :

𝑑𝑕 =4 ∙ 51

2642,964 = 4,94 mm,

𝑑𝑐 = 8 + 2 ∙ 0,3 = 8,6 mm i

𝑃𝑟 =𝜈

𝑎=𝜂𝑐𝑝

𝜆=

18,24 ∙ 10−6

0,025∙ 1006 = 0,7339.

(6.15)


Diplomski rad

65

U tablici 6.5 prikazani su proračunate vrijednost koeficijenata 𝐶3 − 𝐶9. Budući da se u ovom

radu analizira izmjenjivač topline s brojem redova cijevi 𝑁𝑅 = 4, za proračun faktora 𝑗 koristi

se jednadţba (6.5b). Stoga nam za proračun nisu potrebni koeficijenti 𝐶1 i 𝐶2.

Tablica 6.5 Vrijednosti koeficijenata 𝐶3-𝐶9

𝑹𝒆 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

𝑪𝟑 -0,179 -0,183 -0,184 -0,185 -0,186 -0,186 -0,186 -0,187 -0,187 -0,187

𝑪𝟒 -1,289 -1,282 -1,279 -1,277 -1,276 -1,274 -1,273 -1,273 -1,272 -1,271

𝑪𝟓 -0,046 -0,049 -0,051 -0,052 -0,053 -0,054 -0,054 -0,055 -0,055 -0,055

𝑪𝟔 0,107 0,945 1,436 1,785 2,054 2,275 2,461 2,623 2,766 2,893

𝑪𝟕 0,269 0,269 0,269 0,269 0,269 0,269 0,269 0,269 0,269 0,269

𝑪𝟖 -5,387 -6,421 -6,934 -7,266 -7,506 -7,693 -7,844 -7,971 -8,078 -8,172

𝑪𝟗 -0,829 -0,576 -0,450 -0,369 -0,31 -0,264 -0,227 -0,196 -0,169 -0,147

Pošto su izračanuti koeficijenti, moguće je pristupit proračunu faktora 𝑗 i 𝑓 kako bi se mogle

dobiti vrijednosti koeficijenta prijelaza topline konvekcijom 𝛼 i pad tlaka ∆𝑝 te izvršiti

usporedba s podacima dobivenih analizom. U tablici 6.6 prikazani su faktori 𝑗 i 𝑓, a u tablici

6.7 koeficijent prijelaza topline i pad tlaka u ovisnosti o Re broju. Kao što se moglo i

očekivati, navedene vrijednosti su u porastu kako se povećava i Reynodlsov broj. Koeficijent

prijelaza topline uvijek raste s porastom brzine koja je u proporcionalnom odnosu s Re

brojem. Naravno, s većom brzinom raste i pad tlaka.

Tablica 6.6 Vrijednosti koeficijenata 𝑗 i f

𝑹𝒆 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

𝒋 0,0274 0,0165 0,0122 0,0099 0,0084 0,0073 0,0066 0,0059 0,0054 0,0051

𝒇 0,0755 0,0532 0,0455 0,04139 0,0388 0,0370 0,0357 0,0346 0,0338 0,0331


Diplomski rad

66

Tablica 6.7 Vrijednosti koeficijenata 𝛼 i pada tlaka ∆𝑝

𝑹𝒆 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

𝜶

(W/m2K)

35,94 43,24 48,13 51,91 55,04 57,72 60,08 62,21 64,14 65,92

∆𝒑

(Pa) 1,833 5,169 9,939 16,079 23,555 32,344 42,433 53,809 66,465 80,394

S obzirom da su sada poznati koeficijenti prijelaza topline konvekcijom pri laminarnom i

turbulentnom strujanju, a u prethodnoj tablicu su navedene vrijednosti dobivene Wang-Chi

korelacijama, na slici 6.4 prikazana je usporedba za različite Reynoldsove brojeve.

Koeficijenti prijelaza topline konvekcijom rastu s porastom Re broja, odnosno s porastom

brzine strujanja zraka. Pri turbulentnom strujanju postiţu se veći koeficijenti jer pri je prijelaz

topline puno bolji zbog intenzivnog miješanja toplih i hladnih čestica. TakoĎer, kod ovog je

strujanja porast koeficijenta intenzivniji, te se s porastom brzine postiţu vrijednosti veće od

100 W/m2K. Vrijednosti dobivene Wang-Chi korelacijama puno su bliţe rezultatima

laminarnog strujanja nego turbulentnog.

Slika 6.5 Koeficijent prijelaza topline konvekcijom u ovisnosti o Re broju

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Ko

efi

cije

nt

pri

jela

za t

op

line

ko

nve

kcijo

m[W

/m^2

K]

Reynoldsov broj

Koeficijent prijelaza topline konvekcijom

Laminarno

Turbulentno

Wang-Chi


Diplomski rad

67

6.1.4. Pad tlaka u izmjenjivaču topline

Pad tlaka u izmjenjivaču topline, odnosno u domeni proračuna, računa se kao apsolutna

vrijednost razlike ulaznog i izlaznog tlaka [15]:

∆𝑝 = 𝑝𝑖𝑧𝑙 − 𝑝𝑢𝑙 .

(6.16)

Općepoznato jest da pad tlaka raste s porastom brzine što je i vidljivo u analizi promatranog

problema. U tablici 6.8 prikazan je pad tlaka za laminarno i turbulentno strujanje u ovisnosti o

Reynoldsovoj značajki.

Tablica 6.8 Pada tlaka ∆𝑝 pri laminarnom i turbulentnom strujanju


Re Pad tlaka ∆𝑝 [Pa] Pad tlaka ∆𝑝 [Pa]

500 2,52 -

100 6,14 21,58

1500 11,64 34,01

2000 18,84 44,97

2500 25,99 56,78

3000 33,39 72,72

3500 44,29 85,43

4000 55,50 94,02

4500 65,21 102,45

5000 71,92 110,9

Na slici 6.5 grafički je prikazan pad tlaka za različite Re brojeve pri laminarnom i

turbulentnom strujanju te proračunate vrijednosti dobivene Wang-Chi korelacijama prikazane

u tablici 6.7.


Diplomski rad

68

Slika 6.6 Pad tlaka u ovisnosti o Re broju

UsporeĎujući rezultate, pad tlaka dobiven Wang-Chi korelacijama je , kao i kod koeficijenta

prijelaza topline konvekcijom, puno bliţi padu tlaka pri laminarnom strujanju, štoviše, linije

promjene se gotovo poklapaju. Kod turbulentnog strujanja, s obzirom da je ono vrlo

nestabilno i kaotično, i pri manjim brzinama postiţu se veći padovi tlaka koji dodatno rastu

kako raste i brzina strujanja zraka.

U konačnici, turbulentnim strujanjem se kod Reynoldsovih brojeva od 𝑅𝑒 = 1500, postiţe

puno bolje zagrijavanje zraka jer je veći koeficijent prijelaza topline konvekcijom, ali s druge

strane pad tlaka takoĎer intezivno raste, što je potrebno uzeti u obzir. Sveukupno gledajući,

laminarno strujanje je pogodno kod malih brzina, tj kod 𝑅𝑒 ≤ 500(1000) jer je tada i

učinkovitost izmjenjivača topline povoljna, pad tlaka je zanemarivo mali, a izlazna

temperatura zraka je povoljna. No, čim se radi o većim brzinama, turbulentno strujanje

pokazuje vidno bolje rezultate, osim u padu tlaka.

0

20

40

60

80

100

120

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Pad

tla

ka [

Pa]

Reynoldsov broj

Pad tlaka

Laminarno strujanje

Turbulentno strujanje

Wang-Chi


Diplomski rad

69

6.2. Raspodjela temperaturnih polja

Grafički prikaz najbolje pokazuje promjenu temperature zraka od ulaza do izlaza iz domene

proračuna. Raspodjela temperatura prikazana je za ravninu 𝑧 = 1,575 na polovici izmeĎu

dviju lamela.

Najprije slijedi prikaz za laminarno, a potom za turbulentno strujanje.

6.2.1. Laminarno strujanje

Na sljedećim će slikama (6.7 i 6.8) biti prikazana promjena temperature zraka u navedenoj

ravnini pri različitm Re brojevima.

Slika 6.7 Promjena temperature zraka pri laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 500; 1500; 2500

𝑅𝑒 = 500

𝑅𝑒 = 2500

𝑅𝑒 = 1500


Diplomski rad

70

Slika 6.8 Promjena temperature zraka pri laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 3000; 4000; 5000

U promatranoj ravnini, kako se mijenja brzina zraka na ulazu u domenu proračuna, moţe se

uvidjeti kako se zrak drugačije zagrijava od slučaja do slučaja. Pri 𝑅𝑒 = 500, zrak se uspio

zagrijati vrlo dobro, do pribliţno 314 K. No kako raste Re broj, tako se zrak slabije zagrijava.

Najbolje se zagrije onaj zrak koji je u dodiru s vanjskom stijenkom cijevi, no kako je za

laminarno strujanje značajno da se strujnice ne miješaju, tako se ni ovdje topli zrak koji je u

dodiru s cijevim ne uspije izmiješati s hladnim zrakom, što rezultira niskom temperaturom

zraka na ulazu. Što je brzina zraka veća, miješanje zraka je lošije te je i temperatura zraka na

izlazu sve niţa.

𝑅𝑒 = 5000

𝑅𝑒 = 4000

𝑅𝑒 = 3000


Diplomski rad

71

6.2.2. Turbulentno strujanje

Slike 6.9 i 6.10 prikazuju promjenu temperature zraka pri turbulentnom strujanju.

Slika 6.9 Promjena temperature zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑅𝑒 = 1000; 2500; 3500

Promatrajući sliku 6.8, a potom i 6.9 uviĎa se sljedeće: temperatura zraka na izlazu iz domene

znatno se ne mijenja. S obzirom na kaotičnost turbulentnog strujanja, javljaju se vrtloţenja

nakon proširenja domene, tj. na izlazu iz izmjenjivača topline što će poslije biti vidljivo u

poglavlju 6.3. Nadalje, zbog vrtloţnih strujanja koja se nastavljaju i nakon toga, dolazi do

promjene temperature zraka na izlaznom dijelu domene, dok se ponovno ne postigne

izobraţeno strujanje. U usporedbi s laminarnim, kod turbulentnog stujanja se zrak, koji se

najbolje zagrije uz vanjsku stijenku cijevi, puno bolje izmiješa s hladnim zrakom što u

konačnici rezultira višom temperaturom zraka kod većih brzina i to već na izlazu iz

izmjenjivača topline, a potom i na izlazu iz domene. Izuzetak je jedino laminarno strujanje

pri 𝑅𝑒 = 500.

𝑅𝑒 = 3500

𝑅𝑒 = 2500

𝑅𝑒 = 1000


Diplomski rad

72

Slika 6.10 Promjena temperature zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑅𝑒 = 4000; 4500; 5000

𝑅𝑒 = 4000

𝑅𝑒 = 5000

𝑅𝑒 = 4500


Diplomski rad

73

6.3. Raspodjela polja vektora brzina

Uz grafičke prikaze raspodjela temperatura, potrebno je prikazati i raspodjelu vektora brzina

koja će se takoĎer izvršiti za ravninu 𝑧 = 1,575 i različite Reynoldsove brojeve.

6.3.1. Laminarno strujanje

Laminarno strujanje je mirno, jednolično strujanje fluida u paralelnim slojevima s malim

miješanjem meĎu njima, bez turbulencija. U nastavku će biti prikazani vektori brzina pri

𝑅𝑒 = 500; 1500; 3000 i 5000.

Slika 6.11 Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 500: a) cijela

domena; b) detalj domene

a)

b)


Diplomski rad

74

Slika 6.12 Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 1500: a) cijela domena; b) detalj

domene

Slika 6.13 Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 3000: a) cijela


a)

b)

b)

a)


Diplomski rad

75

Slika 6.14 Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 5000: a) cijela domena; b) detalj

domene

Kroz slike 6.11-6.14 vidljivo je kako se strujanje mijenja promjenom ulazne brzine zraka. Što

je ta brzina veća, javljaju se veća vrtloţenja iza cijevi, a posljedica toga je i suţenje presjeka

strujanja. TakoĎer, kod većih Re brojeva, miješanje zraka se prolongira više prema prema

izlazu iz domene: pri 𝑅𝑒 = 5000 polja viših brzina odrţavaju se do izlaza iz domene, dok

kod 𝑅𝑒 = 500 to nije slučaj. I pri laminarnom strujanju javljaju se odreĎena vrtloţenja koja

nisu tako izraţena kao kod turbulentnog strujanja.

a)

b)


Diplomski rad

76

6.3.2. Turbulentno strujnje

Turbulentno strujanje je nepravilno i vrtloţno gibanje koje se pojavljuje kada fluid struji

pored čvrstih predmeta ili kada brzina prijeĎe odreĎenu granicu. Za ovo je strujanje, takoĎer,

karakteristično da svaka čestica fluida ima još dodatnu brzinu koja moţe biti djelomično u

smjeru glavnog strujanja, a djelomično oprečna na smjer strujanja.

U nastavku će biti prikazani vektori brzina pri 𝑅𝑒 = 1000; 2500; 4000 i 5000 na slikama

6.15-18.

Slika 6.15 Vektori brzina zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑅𝑒 = 1000: a) cijela domena; b) detalj

domene

b)

a)


Diplomski rad

77


domene

Slika 6.17 Vektori brzina zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑅𝑒 = 4000: a) cijela


a)

a)

b)

a)


Diplomski rad

78


domene

Proučavajući turbulentno strujanje, primjećuje se da su vrtloţenja puno veća i češća, što je i

karakteristično za ovaj tip strujanja. Što je veća brzina zraka na ulazu, to su vrtloţenja

učestalija, a zrak poprima vrlo visoke brzine tijekom samog strujanja kroz izmjenjivač

topline, odnosno izmeĎu cijevi gdje se grije. Maksimalne se brzine javljaju na izlazu iz

izmjenjivača topline gdje se pojavljuju i najveća vrtloţenja koja poboljšavaju izmjenu

topline, ali i otpore strujanja. Ako se ove slike usporede s raspodjelom temperatura, vidljivo je

da se na izlazu iz izmjenjivača postiţe postupno ujednačena temperatura zraka kako se hladni

i topli zrak miješaju i kako vrtloţenja polako nestaju, a strujanje postaje izobraţeno.

b)

a)


Diplomski rad

79

7. PRORAČUN SNAGE CIJEVNOG LAMELNOG IZMJENJIVAČA

TOPLINE

U idealnom slučaju, da bi se ustvrdila točnost numeričkog proračuna, trebalo bi usporediti

podatke dobivene numeričkim modeliranjem s eksperimentalnim rezultatima dobivenim

mjerenjem na postojećem izmjenjivaču topline.

Budući da mjerenje nije bilo ostvarivo, u ovom je poglavlju predstavljen jedan cijevno

lamelni izmjenjivač topline (slika 7.1). Radi se o ureĎaju dimenzija 300×200×60 mm (duljina

×širina×visina) s jednim redom cijevi kojih je sveukupno šest. Radionički nacrt ovog

izmjenjivača topline s relevantnim dimenzijama nalazi se na kraju rada meĎu prilozima.

Promatrani izmjenjivač topline pripada grupi rekuperatora, a namijenjen je izmjeni topline

izmeĎu tekućine i plina, npr. vode i zraka. MeĎusoban odnos strujanja izmeĎu dva fluida je

unakrsan što pogoduje povećanju učinkovitosti ureĎaja.

Podaci o izmjenjivaču topline:

duljina: 𝐿 = 300 mm;

širina: 𝑏 = 60 mm;

visina: 𝑕 = 200 mm;

promjer cijevi: 𝐶𝑢 𝜙12 × 0,75;

broj cijevi: 𝑁 = 6;

promjer kolektorskih cijevi: 𝑑 = 20 mm;

debljina lemele: 𝛿𝑓 = 0,15 mm;

korak lamele: 𝑠𝑓 = 3 mm;

širina lamele: 𝑏𝑓 = 30 mm;

broj lamela: 𝑁𝑓 = 96.


Diplomski rad

80

Slika 7.1 Promatrani izmjenjivač topline

7.1. OdreĎivanje stupnja kompaktnosti

Stupanj kompaktnosti je omjer ukupne površine prijelaza topline izmjenjivača topline i

njegovog volumena. Ukupan prijelaz topline na strani izmjenjivača jednak je zbroju površina

lamela i oplošja cijevi.

Ukupna površina lamela 𝐹𝑓 računa se kao umnoţak broja lamela i vrijednost njihove

dvostruke površine:

𝐹𝑓 = 2 ∙ 𝑁𝑓 ∙ 𝑏 ∙ 𝑕

𝐴 = 2 ∙ 96 ∙ 0,03 ∙ 0,2 = 1,152 m2 . m2.

(7.1)


Diplomski rad

81

Oplošje cijevi 𝐹 računa se prema formuli (2.30), a ukupno oplošje dobije se mnoţenjem

dobivene vrijednosti s brojem cijevi:

𝐹 = 𝑁 ∙ 𝑑 ∙ π ∙ 𝐿

𝐴 = 6 ∙ 0,012 ∙ π ∙ 0,3 = 0,068 m2 .

(7.2)

Ukupna površina prijelaza topline iznosi:

𝐹𝑢𝑘 = 𝐹𝑓 + 𝐹

𝐹𝑢𝑘 = 1,152 + 0,068 = 1,22 m2.

(7.3)

Volumen izmjenjivača topline računa se kako slijedi:

𝑉 = 𝐿 ∙ 𝑏 ∙ 𝑕

𝐹𝑢𝑘 = 0,3 ∙ 0,2 ∙ 0,06 = 1,8 ∙ 10−3 m3.

(7.4)

S obzirom da su sada izračunati svi potrebni podaci, moguće je odrediti stupanj kompaktnosti:

𝛽 =𝐹𝑢𝑘𝑉

=1,22

1,8 ∙ 10−3

𝛽 =2,408

3,6 ∙ 10−3= 677,78 m−1 ≈ 700 m−1..

(7.5)

Izmjenjivač topline smatra se kompaktnim ako je stupanj kompaktnosti veći od 700 m-1 što

znači da ovaj izmjenjivač topline sluţbeno ne pripada grupi kompaktnih izmjenjivača topline

prema [4, ali s obzirom da je ta vrijednost vrlo blizu granične, moţe se zaključiti da se radi o

kompaktnom izmjenjivaču topline.


Diplomski rad

82

7.2. Grubi proračun snage izmjenjivača topline

Snaga izmjenjivača topline 𝑃 u W moţe se okvirno dobiti kao umnoţak ukupne površine

ureĎaja, postignute temperaturne razlike izmjenom topline i prosječnog koeficijenta prijelaza

topline konvekcijom.

Za proračun snage koristit će se rezultati dobiveni numeričkom analizom iz poglavlja 6.

Za temperaturnu razliku primijenit će se maksimalna postignuta. Ulazna temperatura zraka

iznosi 𝑇𝑢𝑙 = 293 K, a najveća izlazna temperatura prema tablici 6.2 jest 𝑇𝑖𝑧𝑙 = 314,31 K pri

laminarnom strujanju i 𝑅𝑒 = 500. Prema tome slijedi:

∆𝑇 = 𝑇𝑖𝑧𝑙 − 𝑇𝑢𝑙

∆𝑇 = 314,31 − 293 = 21,31 K.

(7.6)

Koeficijent prijelaza topline konvekcijom, prema tablici 6.5 kreće se od 𝛼 = 26,06 W/m2K

do 𝛼 = 167,16 W/m2K. Kao prosječni koeficijent uzet će se da je 𝛼 = 60 W/m

2K.

Ukupna površina izmjenjivača topline odreĎena je u jednadţbi (7.3).

Na temelju ovih podataka, snaga izmjenjivača topline iznosi:

𝑃 = 𝛼 ∙ ∆𝑇 ∙ 𝐹𝑢𝑘

𝑃 = 60 ∙ 21,13 ∙ 1,22 = 1546,72 W = 1,5 kW.

(7.7)

Potrebno je napomenuti da je ovaj proračun snage izraĎen vrlo ugrubo te da korišteni podaci

nisu podaci dobiveni mjerenjem na dotičnom izmjenjivaču topline. Ovo je samo prikaz kako

bi to izgledalo da se mjerenje i analiza vršila na stvarnom izmjenjivaču topline.


Diplomski rad

83

8. ZAKLJUČAK

U ovom je radu izvršena termodinamička analiza kompaktnog izmjenjivača topline. Budući

da mjerenje parametara stvarnog izmjenjivača, naţalost, nije bilo moguće, analiza je izvršena

numerički, a podaci o dimenzijama izmjenjivača topline kombinirani su na temelju raspona

geometrijskih parametara prema Wang-Chi-u.

Da bi se utvrdila relevantnost podataka dobivenih numeričkom analizom, izvršena je

usporedba s rezultatima koji su dobiveni Wang-Chi korelacijama te je ona grafički potom

prikazana kroz dijagrame. Postiglo se vrlo dobro podudaranje izmeĎu laminarnog strujanja i

Wang-Chi korelacija, dok turbulentno lagano odskače.

Poznato jest da s porastom brzine raste koeficijent prijelaza topline konvekcijom, ali raste i

pad tlaka u izmjenjivaču topline. S druge strane, učinkovitost pada, no taj je pad velik kod

laminarnog, a zanemarivo malen kod turbulentnog, gdje je je učinkovitost općenito veća pri

gotovo svim Re brojevima.

Ako se usporeĎuju temperature stijenke s kojom zrak izmjenjuje toplinu, pri laminarnom

strujanju ona neznanto pada s porastom Re broja i visoke je vrijednosti (320 − 319 K), a pri

turbulentnom strujanju porastom brzine temperatura stijenke sve više pada. Nadalje, izlazna

temperatura zraka je veća pri turbulentnom strujanju i njezin je pad mali kroz porast Re broja,

a pri laminarnom strujanju jedino se pri 𝑅𝑒 = 500 postigla visoka temperatura zraka na

izlazu.

Koeficijent prijelaza topline moguće je dodatno povećati promjenom geometrije izmjenjivača

topline, npr. valovitim lamelama ili orebrenjem iza cjevi gdje se uglavnom javljaju vrtloţenja

i slabije je zagrijavanje zraka. Mogućnosti je mnogo i da bi se postigli što kvalitetniji rezultati,

potrebno je izvršiti detaljnije usporedbe izmeĎu pojedinih modela

Pri rješavanju problema vezanih za prijelaz topline, postoje tri različita pristupa: analitički,

eksperimentalni i numerički. Analitički pristup je idealan, ali je ograničen fizikalnim

problemom i geometrijom domene. Eksperiment je najrealniji i, zapravo, nezaobilazan u

istraţivanjima poput ovog, ali je isto tako skup i zahtjevan. Rješavanje problema numeričkim

metodama sve je češće i jednostavnije kako se razvijaju brza računala, a troškovi padaju. No,


Diplomski rad

84

numerička analiza je ponekad ograničena sloţenošću fizikalnog problema ili samom

geometrijom domene. Pregusta mreţa domene daje bolje rezultate, ali usporava analizu i

numerički proračun, pa je potrebno pronaći neko kompromisno rješenje.

Kako bi se što više pribliţilo eksperimentalnoj metodi, izvršen je grubi proračun snage i

stupnja kompaktnosti cijevnog lamelnog izmjenjvača topline iz Laboratorija Tehničkog

fakulteta. Cilj proračuna bio je upoznati se načinom na koji se on vrši, izrada radioničkog

nacrta koji se nalazi na kraju rada u prilozima te općenito uporaba teorije u praksi.

Najbolji pristup bio bi usporedba numeričke i eksperimentalne metode, tj, da se rezultati

dobiveni numeričkom analizom usporede s rezultatima dobivenim mjerenjem na stvarnom

izmjenjivaču topline. U suprotnom, ne moţemo biti sigurni da je numerička analiza uistinu

valjana, već ostaju samo pretpostavke bazirane na iskustvu i znanju.


Diplomski rad

85

9. LITERATURA

[1] Bošnjaković F.: Nauka o Toplini, Svezak I., II. i III.,V. Izdanje, Graphis d.o.o,

Zagreb, 2012.;

[2] Trp. A.: Tehnički izmjenjivači topline, bilješke se predavanja, Tehnički

fakultet, Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 2013.;

[3] Long C., Sayma N.: Heat Transfer, Ventus Publishing ApS, 2009.;

[4] Kakac S., Liu H.: Heat exhangers: selection, rating and thermal design, 2nd

ed., CRC Preso LLC, New York, USA, 2002.;

[5] Li Q., Flamant G., Yuan X., Neveu P., Luo L.,: Compact heat exchangers: A

review and future applications for a new generation of high temperature solar

receivers, Renewable and Sustainable Energy 15(2011) 4855-4872, 2011.;

[6] Hesselgreaves J.E.: Compact heat exchangers: Selection, design and

operations, Elsevier Science Ltd., Oxford, UK, 2001.;

[7] Blecich P.: Utjecaj raspodjele zraka na termohidraulička svojstva lamelnog

izmjenjivača topline , doktorska disertacija, Tehnički fakultet, Sveučilište u

Rijeci, Rijeka, 2014.;

[8] ...: ANSYS Fluent 6.3 – Documentation, PA, Pittsburgh, USA, 2009.;

[9] Raţnjević K..: Termodinamičke tablice:dijagrami, 3. izdanje, Narodna Tehnika

Hrvatske, Zagreb 1989.;

[10] Blecich P.: Utjecaj geometrijskih veličina rebara na izmjenu topline i otpore

strujanja u isprekidanom pravokutnom orebrenju; Numeričko modeliranje

prijelaza topline, poslijediplomski doktorski studij, Tehnički fakultet,

Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 2009.;

[11] Trp. A., Lenić K.: Numeričko modeliranje u termodinamici, bilješke se

predavanja, Tehnički fakultet, Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 2013.;


Diplomski rad

86

[12] Versteeg H. K., Malalasekera W.: An introduction to Computational Fluid

Dynamics: The finite volume method, 2nd ed., Pearson Education Limited,

Edinburgh Gate, England, 2007.

[13] Čarija, Z., Franković B., Perčić M., Čavrak M.: Heat transfer analysis of fin-

and-tube heat exchangers with flat and louvered fin geometries, International

journal of refrigeration 45(2014) 160-167,2014.;

[14] Ţic J.: Numerička analiza prijelaza topline kod izmjenjivača topline s lamelnim

orebrenjem, diplomski rad, Tehnički fakultet, Sveučilište u Rijeci, Rijeka,

2007.;

[15] Delač B., Trp A., Lenić K.: Numerical investigation of heat transfer

enhancement in a fin and tube heat exchanger using vortex generators,

International journal of refrigeration, 78(2014) 662-669,2014..


Diplomski rad

87

I. Pregled oznaka

Latinična slova:

Oznaka Značenje

A površina, 2m

a faktor apsorpcije zračenja, apsorptivnost, -

temperaturna (toplinska) difuzivnost, 2m s

C konstanta, -

reducirana konstanta zračenja crnog tijela, 5,667 W/m2 (100K)

4

c brzina svijetlosti, m s

specifični toplinski kapacitet, J kgK

d faktor propusnosti zračenja, dijatermija, -

promjer, m

E energija zračenja,2W m

F površina izmjene topline, m2

f faktor trenja, -

Gr Grashofova značajka, -

g ubrzanje sile teţe, 29,81 m s

j Colburnov faktor, -

K koeficijent, -

k koeficijent prolaza topline, W/m2K


Diplomski rad

88

turbulentna kinetička energija, m2/s

2

L duljina, m

l duljina, m

𝑚 maseni protok, kg/s

N broj, -

Nu Nusseltova značajka, -

n normala, -

P snaga, W

Pr Prandtlova značajka, -

p tlak, Pa

Q toplina, J

Q toplinski tok, W

q specifični toplinski tok, 2 3W m, W m , W m

Re Reynoldsova značjka, -

r faktor refleksije zračenja, refleksivnost, -

radijus, m

s korak, m

T apsolutna (termodinamička) temperatura, K

t vrijeme, s

temperatura, ℃

V obujam, 3m


Diplomski rad

89

W toplinski otpor, K/W

w brzina, m s

specifični toplinski otpor, m2K/W

X korak cijevi, m

x, y, z osi u Kartezijevu koordinatnom sustavu

Grčka slova:

Oznaka Značenje

koeficijent prijelaza topline konvekcijom, 2W m K

stupanj kompaktnosti, m-1

, , x y z mreţni koraci, m

čvorna udaljenost, m

debljina stijenke, m

휀 dispacije kinetičke energije, m2/s

2

funkcija, -

učinkovitost izmjenjivača topline, -

toplinska vodljivost, W mK

dinamička viskoznost, 2Ns m

kinematska viskoznost, 2m s

gustoća, 3kg m

𝜍 konstanta, -


Diplomski rad

90

Stefan-Boltzmanova konstanta, 5,667∙10-6

W/m2K

4

𝜏 vrijeme, s

𝜔 koeficijent toplinskog otpora, K/W

Donji indeksi:

Oznaka Značenje

0 uz stijenku

12,1n izmeĎu tijela 1 i 2, 1 i n

a, b oznake fluida

c crno tijelo

d uzduţno

dc promjer ovratnika (engl. collar diameter)

f lamela

h hidraulički

izl izlazno

L uzduţni

max maksimalno

min minimalno

p poprečno

R red

ref referentno


Diplomski rad

91

s stijenka

T poprečeno

uk ukupno

ul ulazno

v

vanjski

x, y, z u smjeru osi koordinatnog sustava

Gornji indeksi:

Oznaka Značenje

vektor

Kratice:

PCHE engl. Printed circuit heat exchanger

JOM jednadţba očuvanja mase

JOKG jednadţba očuvanja količine gibanja

JOE jednadţba očuvanja energije


Diplomski rad

92

II. Popis slika

Slika 2.1. Provođenje topline kroz ravnu stijenku ..................................................................... 4

Slika 2.2. Prikaz uzastopnog spoja vodiča ................................................................................ 6

Slika 2.3. Prikaz usporednog spoja vodiča ................................................................................ 7

Slika 2.4. Provođenje topline kroz stijenku cijevi ...................................................................... 9

Slika 2.5. Prijelaz topline konvekcijom kroz ravnu stijenku .................................................... 10

Slika 2.6. Prolaz topline kroz ravnu stijenku ........................................................................... 14

Slika 2.7. Prolaz topline kroz stijenku cijevi ........................................................................... 15

Slika 3.1. Regenerativni izmjenjivač topline ........................................................................... 16

Slika 3.2. Dijagrami istosmjernog i protusmjernog strujanja ................................................. 17

Slika 3.3. Cijevni koaksijalni izmjenjivač topline .................................................................... 18

Slika 3.4. Cijevni izmjenjivač topline ''Shell and tube'' ........................................................... 19

Slika 3.5. Pločasti izmjenjivač topline: a) Pločasti s orebrenjem; b) Pločasti spiralni .......... 20

Slika 3.6. Shell and plate izmjenjivač topline .......................................................................... 21

Slika 3.7. Cijevni lamelni i plate-fin izmjenjivač topline ......................................................... 22

Slika 3.8. PCHE izmjenjivač topline ....................................................................................... 23

Slika 4.1. Prikaz domene s rubnim uvjetima ........................................................................... 25

Slika 5.1. Kontrolni volumen i čvorovi trodimenzijske mreže ................................................. 34

Slika 5.2. Pozitivni smjer strujanja .......................................................................................... 38

Slika 5.3. Negativni smjer strujanja ........................................................................................ 41

Slika 5.4. Raspored skalarnih i vektorskih veličina oko kontrolnog volumena kod pomaknute

mreže ........................................................................................................................................ 44


Diplomski rad

93

Slika 5.5. Prikaz kontrolnog volumena .................................................................................... 47

Slika 5.6. Blok dijagram SIMPLE algoritma ........................................................................... 51

Slika 5.6. Umrežena domena: a) cijela domena; b) detalj domene ......................................... 53

Slika 6.1. Promjena rubnog uvjeta na ulazu u domenu ........................................................... 55

Slika 6.2. Promjena izlazne temperature zraka u ovisnosti o Re broju ................................... 58

Slika 6.3. Učinkovitost izmjenjivača topline u ovisnosti o Re broju ........................................ 59

Slika 6.4. Geometrija cijevnog lamelnog izmjenjivača topline s ravnim lamelama: a) s linijski

raspored cijevi; b) šahovski raspored cijevi ............................................................................ 61

Slika 6.5. Koeficijent prijelaza topline konvekcijom u ovisnosti o Re broju ........................... 66

Slika 6.6. Pad tlaka u ovisnosti o Re broju .............................................................................. 68

Slika 6.7. Promjena temperature zraka pri laminarnom strujanju i

𝑹𝒆 = 𝟓𝟎𝟎; 𝟏𝟓𝟎𝟎; 𝟐𝟓𝟎𝟎 .................................................................................................... 69

Slika 6.8. Promjena temperature zraka pri laminarnom strujanju i

𝑹𝒆 = 𝟑𝟎𝟎𝟎;𝟒𝟎𝟎𝟎;𝟓𝟎𝟎𝟎 ....................................................................................................... 70

Slika 6.9. Promjena temperature zraka pri turbulentnom strujanju i

𝑹𝒆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎; 𝟐𝟓𝟎𝟎; 𝟑𝟓𝟎𝟎 ..................................................................................................... 71

Slika 6.10. Promjena temperature zraka pri turbulentnom strujanju

i 𝑹𝒆 = 𝟒𝟎𝟎𝟎; 𝟒𝟓𝟎𝟎; 𝟓𝟎𝟎𝟎 ................................................................................................... 72

Slika 6.11. Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟓𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 73

Slika 6.12. Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟏𝟓𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 74

Slika 6.13. Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟑𝟎𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 74

Slika 6.14. Vektori brzina zraka pri laminarnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟓𝟎𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 75


Diplomski rad

94

Slika 6.15. Vektori brzina zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 76

Slika 6.16. Vektori brzina zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟐𝟓𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 77

Slika 6.17. Vektori brzina zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟒𝟎𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 77

Slika 6.18. Vektori brzina zraka pri turbulentnom strujanju i 𝑹𝒆 = 𝟓𝟎𝟎𝟎: a) cijela domena;

b) detalj domene ....................................................................................................................... 78

Slika 7.1. Promatrani izmjenjivač topline ............................................................................... 80


Diplomski rad

95

III. Popis tablica

Tablica 6.1. Vrijednost masenog protoka u ovisnosti o Re broju ............................................ 55

Tablica 6.2. Izlazna i referentna temperatura zraka ............................................................... 56

Tablica 6.3. Temperature stijenke ........................................................................................... 57

Tablica 6.4. Gustoća toplinskog toka i koeficijent prijelaza topline u ovisnosti o Re broju ... 60

Tablica 6.5. Vrijednost koeficijenata 𝑪𝟑 − 𝑪𝟗 ........................................................................ 65

Tablica 6.6. Vrijednost koeficijenata j i f ................................................................................ 65

Tablica 6.7. Vrijednost koeficijenata 𝜶 i pad tlaka ∆𝒑 ........................................................... 66

Tablica 6.8. Pad tlaka ∆𝒑 pri laminarnom i turbulentnom strujanju ..................................... 67


Diplomski rad

96

IV. Popis priloga

Prilog I. Radionički nacrt izmjenjivača topline

Prilog II. Nacrt domene izmjenjivača topline

Documents

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET - bib.irb.hr · PDF fileNumeričko modeliranje u termodinamici Seminarski rad - 1 - SADRŽAJ 1. UVOD ... a moderna je industrija zahtijevala