SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

DUNJA STRAKA

ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike

Osijek, 2014

2

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

DUNJA STRAKA

ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike

Osijek, 2014

3

"Ovaj završni rad je izrađen u Osijekupod vodstvom prof. dr. sc. Branka Vukovića i

Maje Varga Pajtler prof. asistent u sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike

na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku".

4

SADRŽAJ

1.Sažetak .................................................................................................................................... 5

2.Uvod ........................................................................................................................................ 7

3.Opis Lagrangeovih točaka ...................................................................................................... 8

3.1.Točka L1 ......................................................................................................................... 10

3.1.1.SOHO ....................................................................................................................... 10

3.2.Točka L2 ......................................................................................................................... 10

3.3.Točka L3 ......................................................................................................................... 11

3.4.Točke L4 i L5 ................................................................................................................. 11

4.Pronalazak Lagrangeovih točaka .......................................................................................... 12

5.Stabilnost Lagrangeovih točaka ............................................................................................ 20

5.1.Stabilnost točaka L1 I L2 ................................................................................................ 20

5.2.Stabilnost točke L3 ......................................................................................................... 20

5.3.Stabilnost točaka L4 I L5 ................................................................................................ 21

6.Događaji ................................................................................................................................ 21

7.Zaključak ............................................................................................................................... 24

8.Literatura ............................................................................................................................... 25

8.Životopis ................................................................................................................................ 25

5

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE

DUNJA STRAKA

1. Sažetak:

U ovom završnom radu ćemo se upoznati sa Zemljinim Lagrangeovim točkama. Općenito,

Lagrangeove točke su točke u svemiru u kojima malo tijelo, pod utjecajem gravitacije

dvaju većih tijela, ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti od njih. Gravitacijsko

privlačenje dviju većih masa jednako je centripetalnoj sili potrebnoj da tijelo rotira

zajedno s njima.

Pronaći ćemo na kojoj su udaljenosti smještene Lagrangeove točke te vidjeti koje su

stabilne, a koje nisu.

U svakom sustavu dvaju teških tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet

teoretskih Lagrangeovih točaka (L1, L2, L3, L4 i L5), ali samo su dvije stabilne (L4 i L5).

(23 stranice, 5 slika, 1 literaturni navod)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: Lagrangeove točke/problem dvaju tijela/problem triju tijela

Mentor: prof.dr.sc. Branko Vuković i Maja varga Pajtler prof. asistent

Ocjenjivač: prof. dr. sc. Branko Vuković

Rad prihvaćen:

6

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

EARTH'S LAGRANGE POINTS

DUNJA STRAKA

1. Abstract

In this final thesis we will get acquainted with the Earth's Lagrangian points. In general, the Lagrange

points are in space where the small body, under the influence of gravity two larger bodies remain in

orbit at approximately the same distance from them. The gravitational attraction of two large masses

are precisely equals to the centripetal force required to rotate the body along with them.

We will find how far are located the Lagrangian points, and see which are stable and which are not.

In every system of two heavy bodies (eg. Sun-Jupiter or Earth-Moon) , in theory there are five

Lagrangian points (L1, L2, L3, L4 and L5), but only two of them are stable (L4 and L5).

(23 pages, 5 figures, 1 references)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: Lagrange points/three-body problem/two-body problem

Supervisor:Branko Vuković PhD and Maja varga Pajtler PhD

Thesis accepted:

7

2. Uvod

Cilj ovog završnog rada je prikazati Zemljine Lagrangeove točke te opisati kako

gravitacijske sile djeluju između triju ili više tijela.

Joseph Louis Lagrange bio je talijansko-francuski matematičar i astronom. Možemo reći

kako je Lagrange jedan od osnivača teorije analitičke mehanike, te pored toga, radio je na

problemima varijacijskog računa. Također, teoretski je proračunao kako se pod strogim

uvjetima može postići stabilna ravnoteža triju tijela.

Osim što su točke dobile naziv po Lagrangeu, možemo ih još nazvati i libracijske točke.

To su točke gdje se centrifugalna i gravitacijska sila dvaju tijela poništavaju.

Centrifugalna sila je inercijska sila koju tijelo osjeća kad se nalazi u sustavu koji se giba.

Suprotno od centrifugalne sile dijeluje gravitacijska sila, koja tijelo privlači u središte

kružnice. Ako se treće tijelo nalazi između dva tijela,pod utjecajem gravitacije dva veća

tijela, treće tijelo (tijelo zanemarive mase) ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti.To

je egzakno rješenje klasičnog problema triju tijela.

„Smatrao sam beskorisnim čitanje analiza; prevelik broj metoda se demonstrira odjednom.

Analize moramo proučavati kroz rad (pokuse), samo na taj način ih možemo iskoristiti.“

Joseph-Louis Lagrange

8

3. Opis Lagrangeovih točaka

Lagrangeove točke su točke u svemiru u kojima malo tijelo, pod utjecajem gravitacije

dvaju većih tijela, ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti od njih.

U svakom sustavu dvaju teških tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet

teorijskih Lagrangeovih točaka (L1, L2, L3, L4 i L5) (Slika 1). Točke L1, L2 i L3 leže na

pravcu koji spaja središta masa tijela M i m inazivaju se kolinearne točk, a točke L4 i L5

tvore vrhove zamišljenog jednakostraničnog trokuta s tijelima M i mte ih zovemo

ekvilateralnim točkama.

Lagrange je izdvojio pet točaka ravnoteže u kojima tijela zanemarive mase mogu orbitirati

s dvama većim tijelima. Primjer problema triju tijela je sustav Sunce-Zemlja-satelit.

Problem triju tijela u nebeskoj mehanici nema opće analitičko rješenje. Smatra se da treće

tijelo ima zanemarivu masu u odnosu na dva veća tijela. Za treće je tijelo Joseph-Louis

Lagrange našao da može neopterećeno opstati u sustavu, na položaju pet točaka u ravnini

u kojoj se sva tijela gibaju. Lagrangove točke su točke gdje se gravitacijske sile triju tijela

poništavaju, mjesta gdje letjelica (satelit) može biti „smještena“ u orbiti, te je udaljenost

između tijela konstanta.

9

Slika 1: Prikaz pet Lagrangeovih točaka. Letjelica koja je prikazana na slici je

National Aeronautics and Space Administration’s (NASA) Wilkinson Microwave

Anisotropy Probe (WMAP) Observatory koja kruži oko Sunca u drugoj Lagrangeovoj

Na Slici 2 možemo vidjeti ograničen problem triju tijela. Ograničen oblik problema

razmatra gibanje tri tijela, s time da je treće tijelo točkasto i bez mase.𝑀1 i 𝑀2su veće

mase (u ovom primjeru su to Sunce i Zemlja), a m predstavlja zanemarivo malo tijelo.

Vektori𝑟1,𝑟2 i 𝑟prestavljaju položaje tijela𝑀1, 𝑀2 i m s obzirom na centar mase𝑀1 i 𝑀2.

Položaji tijela 𝑀1 i 𝑀2 nisu uvjetovani masom m, već je obrnuto, položaj masem je

uvjetovan položajima masa 𝑀1 i 𝑀2.

Slika 2: Ograničen problem triju tijela

U nastavku ćemo govoriti o Zemljinim Lagrangeovim točkama. Svaka točka ima svoju

zadaću, značenje, te služi za proučavanje svemira.

10

3.1. Točka L1

Zemljina Lagrangeova točka L1 se naziva još unutarnja točka jer se nalazi između Zemlje i

Sunca.U točki L1 su gravitacijske sile Zemlje i Sunca koje djeluju na tijelo mase mjednake

centripetalnoj sili, tako da omogućujutijelu (svemirskoj letjelici) da ostane u toj točki. Točka

L1 nalazi se na pravcu koji spaja Sunce i Zemlju. Tijelo mase m u Lagrangeovoj točki L1 ima

orbitalni period1 od jedne zemaljske godine. Također, položaj tijela (satelita) omogućuje

neprekidna mjerenja Sunčevog vjetra izvan utjecaja geomagnetskog polja. Satelit šalje

podatke parametra Sunčevog vjetra u realnom vremenu oko 30 minuta prije nego što Sunčev

vjetar stigne do Zemljine magnetosfere.Također, svemirska letjelica (SOHO) koja se nalazi u

točki L1 nam savršeno služi za promatranje Sunca.

3.1.1. SOHO

Solarni Heliosferični Observatorij (SOHO) je svemirska letjelica koja izgrađena od strane

Europskih industrijskih udruženih tvrtki predvođenih Matra Marconi Space (današnji

Astrium). Lansiran je 2. prosinca 1995. godine za proučavanje Sunca u Lagrangeovoj točki

L1, a do sada je otkrio oko 2700 kometa. SOHO je projekt međunarodne suradnje Europske

svemirske agencije (ESA) i NASA-e. NASA je bila odgovorna za lansiranje svemirske

letjelice SOHO. Prvobitno je SOHO trebao biti u orbiti dvije godine, no nastavlja s radom

više od 18 godina u svemiru. U liplju 2013. godine produljena mu je misija do prosinca 2016.

godine.

SOHOje dizajniranza proučavanjeunutarnje struktureSunca. Također, pomoću njega vidimo

kako Sunce funkcionira. Prema ESA-i, glavno otkriće je pronalaženje plinske struje ispod

Sunčeve vidljive površine, kao i praćenje česte promjene magnetskog toka.

3.2. Točka L2

Kod Lagrangeove točke L2, koja se naziva još i vanjska točka, suma gravitacijskih sila (koje

potječu od tijela masa 𝑀1 i 𝑀2)na tijelo mase mjednaka je centripetalnojsili. Nalazi se na oko

1,5 milijuna kilometara odZemlje. U točku L2 lansiran je MAP satelit i vjerojatno u

1Orbitalni period je vrijeme koje je potrebno da tijelo napravi jednu punu orbitu oko drugog

tijela

11

budućnosti Next Generation Space Telescope, upravo zato što ih je tamo relativno

jednostavno držati na istoj poziciji, a ujedno se štedi i gorivo. Inače, točke L1 i L2 su

nestabilne na vremenskoj skali od približno 23 dana, što znači da je za satelite smještene u tim

točkama potrebno vršiti korekciju njihovih putanja.

3.3. Točka L3

Točka L3 se naziva vanjska točka, isto kao i L2. Ona se nalazi na strani Sunca (Slika 1),

odnosno, nalazi se na suprotnoj strani prve i druge Lagrangeove točke, a između njih je

smješteno Sunce. Točka L3 nalazi se na pravcu kojiprolazi točkama L1 i L2. Sunce se nalazi

između njih, tj. s jedne Sunčeve strane se nalazi točka L3, a s druge strane točke L1 i L2 (kao

što vidimo na Slici 1). Kada bismo svemirsku letjelicu stavili u točku L3, koja se nalazi iza

Sunca, mi je sa Zemlje ne bi mogli vidjeti. Točka L3 nije iskorištena jer se cijelo vrijeme

nalazi iza Sunca što je zanimljivo, te ju zbog toga pisci znanstvene fantastike koriste kao

točku u kojoj se nalazi nalazi zagonetni "Planet-X". U točki L3 se ne nalazi svemirska

letjelica. NASA je ustanovila kako nema nikakve koristi od točke L3 budući da je skrivena iza

Sunca.Međutim, orbita te točke nestabilna je (s ciklusom od 150 dana).

Smatra se kako je položaj točke L3 ugrožen gravitacijskim poremećajem drugih planeta koji

kruže oko Sunca.

3.4. Točke L4 i L5

Preostale dvije Lagrangeove točke, L4 i L5, tvore trokute s tijelima masa 𝑀1 i 𝑀2(slika 1).

Točka L4, Sunce i Zemlja tvore jednakostraničan trokut. Isto tako, točka L5, Sunce i Zemlja

tvore drugi jednakostraničan trokut, jednak onome što ga čine točka L1, Sunce i Zemlja.

Lagrangeove točke L4 i L5 su stabilne, što znači da, kada bi svemirska letjelica bila

postavljena u te točke, nakon malog pomaka iz ravnotežnog položajasama bi se vratila u

ravnotežni položaj, bez dodatnog utroška energije.

U točkama L4 i L5 sustava Zemlja-Mjesec nisu pronađena nikakva tijela, ali su zato

pronađene velike koncentracije prašine, što je još 1956. godine primijetio poljski astronom

Kazimierz Kordylewski. Lagrangeove točke u Mjesečevoj orbiti oko Zemlje spominju se i

12

kao idealne svemirske baze, jer na tim mjestima ne bi bilo težine, pa se ne bi trebalo trošiti

gorivo za lansiranje letjelica. Materija za takvu bazu mogla bi biti posuđena sa samog

Mjeseca.

4. Pronalazak Lagranegovih točaka

Kako bismo pronašli Lagrangeove točke, moramo promatrati konstantnu udaljenost između

triju tijela. Promatramo Sliku 1:𝑀1 i 𝑀2su dvije mase (Sunce i Zemlja), a 𝑟1i𝑟2njihovi radij-

vektori. Ukupna sila (vektorski zbroj dviju gravitacijskih sila) koja djeluje na treću masu m, s

radij-vektorom 𝑟, bit će zadana sljedećom relacijom:

F⃗⃗ = −GM1m

|r⃗ − r1⃗⃗⃗⃗ |3(r⃗ − r1⃗⃗⃗⃗ ) −

GM2m

|r⃗ − r2⃗⃗⃗⃗ |3(r⃗ − r2⃗⃗⃗⃗ )

pri čemu su 𝑟1i𝑟2 funkcije vremena, a mase 𝑀1 i 𝑀2 rotiraju jedna oko druge. Možemo

primjeniti rješenje za 𝑟1(𝑡) i𝑟2(𝑡) koje dobijemo kada rješavamo problem dvaju tijela za 𝑀1 i

𝑀2 i tražiti rješenje za jednadžbu kretanja. Stacionarna rješenja nazivaju se Lagrangeove

točke.

F⃗⃗(t) = m d2r⃗(t)

dt2

Kako bi rješili problem, moramo se prilagoditi referentnom sustavu kako bi mogli uzeti u

obzir mase na fiksnoj poziciji. U tom istom neinercijskom okviru upute, koordinate proizlaze

iz centra mase dvije veće mase.

Po 3. Keplerovom zakonu (kvadrati ophodnih vremena planeta oko Suncaodnose se kao

kubusi njihovih velikih poluosi) možemo izraziti kutnu brzinu rotirajućeg sustava

Ω2𝑅3 = 𝐺 (𝑀1 + 𝑀2)

U gore navedenoj formuli, R nam predstavlja udaljenost između dviju masa, a Ω predstavlja

kutnu brzinu.Budući da se nalazimo u ne inercijskom referentnom sustavu, moramo uzeti u

obzir pseudo sile (očigledne sile vršene na sve mase u ne inercijskom referentnom sustavu).

Ovdje oduzimamo Coriolis silu, koja odbija objekte vodoravno kada je promatrana u

rotirajućem referentnom sustavu, i centrifugalnu silu, koja ukazuje radijalno van sustava i

odvlači tijelo od njegovog centra rotacije. Prema tome dovodimo u vezu efektivnu silu u

13

rotacijskom referentnom sustavu s kutnim ubrzanjem sa inercijskom silom F slijedećom

transformacijom

�⃗�Ω = �⃗� − 2𝑚 (Ω⃗⃗⃗ ×𝑑𝑟

𝑑𝑡) − 𝑚Ω⃗⃗⃗ × (Ω⃗⃗⃗ × r⃗)

Prva korekcija je Coriolisova sila, 2𝑚 (Ω⃗⃗⃗ ×𝑑𝑟

𝑑𝑡),a ona predstavlja silu na česticu koja se giba

u sustavu koji rotira, a druga korekcija je centrifugalna sila, Ω⃗⃗⃗ × (Ω⃗⃗⃗ × r⃗). Efektivna sila može

se izvesti iz potencijala

𝑈Ω = 𝑈 − �⃗�(Ω⃗⃗⃗ × 𝑟) +1

2(Ω⃗⃗⃗ × 𝑟)(Ω⃗⃗⃗ × 𝑟)

𝐹Ω⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −∇𝑟𝑈Ω +

𝑑

𝑑𝑡(∇�⃗⃗�𝑈Ω)

Prvi dio korekcije nam predstavlja položaj ravnotežne točke, a drugi dio korekcije nam

određuje stabilnost gibanja oko točke ravnoteže.

Veličine koji su ovisne o brzini u efektivnom potencijalu ne utječu na poziciju ravnotežnih

točaka, ali su bitne u određivanju dinamičke stabilnosti kretanja oko ravnotežnih točaka.

Dinamička stabilnost nam omogućava da tijelo ostane nepromjenjeno tijekom utjecaja

vanjskih sila.

14

Slika 3: Prikaz poopćenog potencijala

Na Slici 3 je vidljivo je da se točke L4 i L5 nalaze na vrhovima uzvisina, dok se točke L1, L2 i L3

nalaze se u sedlastom dijelu. Iz toga bi se činilo da su točke L4 i L5 nestabilne. Međutim, kada se

satelit počne "spuštati nizbrdo", njegova brzina se povećava i tu počinje djelovati Coriolisova sila koja

šalje satelit u stabilnu (ali nepravilnu) orbitu oko Lagrangeove točke.

Smještamo ishodište koordinatnog sustava u centar mase tako da je z os paralelna kutnoj

brzini, tj. kutna brzina se proteže u smjeru z osi kao što možemo vidjeti na Slici 5.

Ω⃗⃗⃗ = Ωk̂

𝑟 = 𝑥(𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂

𝑟1⃗⃗⃗ ⃗ = −𝛼𝑅𝑖̂

𝑟2⃗⃗⃗⃗ = 𝛽𝑅𝑖 ̂

15

Slika 4: Kutna brzina duž z osi

𝛼 𝑖 𝛽 dani su izrazima:

𝛼 =𝑀2

𝑀1 + 𝑀2 , 𝛽 =

𝑀1

𝑀1 + 𝑀2

što slijedi iz izraza za udaljenosti tijela masa 𝑀1 + 𝑀2od centra mase sustava.

Kako bismo našli ravnotežne točke, tražimo da je zadovoljen uvjet �⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡= 0, te ćemo tražiti

rješenja jednadžbe 𝐹Ω⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 0⃗⃗

𝐹Ω⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝑚Ω2 (𝑥 −

𝛽(𝑥 + 𝛼𝑅)𝑅3

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

− 𝛼(𝑥 − 𝛽𝑅)𝑅3

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

) 𝑖̂

+𝑚Ω2 (𝑦 −𝛽𝑦𝑅3

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

− 𝛼𝑦𝑅3

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

) 𝑗 ̂ (1)

Ako uzmemo da je 𝐹Ω⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 0, možemo pronaći točke ravnoteže

{𝑥[(𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2]3

2[(𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2]3

2 − 𝛽(𝑥 + 𝛼𝑅)𝑅3[(𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2]3

2

− 𝛼(𝑥 − 𝛽𝑅)𝑅3[(𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2]3

2} 𝑖̂ = 0

16

Ako uzmemo y=0 jer se točke nalaze na x osi, možemo pronaći prve tri Lagrangeove točke

𝑥(𝑥 + 𝛼𝑅)3(𝑥 − 𝛽𝑅)3 ± 𝛽(𝑥 + 𝛼𝑅)𝑅3(𝑥 − 𝛽𝑅)3 ± 𝛼(𝑥 − 𝛽𝑅)𝑅3(𝑥 + 𝛼𝑅)3 = 0

Kako bi pojednostavili račun, uzimamo x=R(u+𝛽), gdje nam R predstavlja udaljenost

između dva tijela 𝑀1 i 𝑀2.

𝑅(𝑢 + 𝛽)𝑅3(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)3𝑅3𝑢3 ± 𝛽𝑅(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)𝑅3𝑅3𝑢3 ± 𝛼𝑅𝑢𝑅3𝑅3(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)3 = 0

(𝑢 + 𝛽)(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)3𝑢3 ± 𝛽(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)𝑢3 ± 𝛼𝑢(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)3 = 0

𝑢(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)[(𝑢 + 𝛽)(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)2𝑢2 ± 𝛽𝑢2 ± 𝛼(𝑢 + 𝛼 + 𝛽)2] = 0

Uzmemo da je 𝛼 + 𝛽 = 1 i dobijemo

(𝑢 + 𝛽)(𝑢 + 1)2𝑢2 ± 𝛽𝑢2 ± 𝛼(𝑢 + 1)2 = 0

(𝑢 + 1 − 𝛼)(𝑢 + 1)2𝑢2 ± (1 − 𝛼)𝑢2 ± 𝛼(𝑢 + 1)2 = 0

[(𝑢 + 1)3 − 𝛼(𝑢 + 1)2]𝑢2 ± [𝑢2 − 𝛼𝑢2] ± 𝛼(𝑢 + 1)2 = 0

Dobivamo tri jednadžbe petog reda

[(𝑢 + 1)3 − 𝛼(𝑢 + 1)2]𝑢2 − (𝑢2 − 𝛼𝑢2) + 𝛼(𝑢 + 1)2 = 0 (2)

[(𝑢 + 1)3 − 𝛼(𝑢 + 1)2]𝑢2 − (𝑢2 − 𝛼𝑢2) − 𝛼(𝑢 + 1)2 = 0 (3)

[(𝑢 + 1)3 − 𝛼(𝑢 + 1)2]𝑢2 + (𝑢2 − 𝛼𝑢2) + 𝛼(𝑢 + 1)2 = 0 (4)

Sada moramo rješiti ove tri jednadžbe. Možemo rješiti aproksimacijom s obzirom na sustav

Zemlja-Sunce.

Prvo rješavamo prvu jednadžbu

𝑢 −1 − 𝛼

(𝑢 + 𝛼)2+

𝛼

(𝑢 − 1 + 𝛼)2= 0

𝑢 − 1 + 𝛼 = −𝛿

Ako uzmemo da je 𝛿 ≪ 1

𝑢 = 1 − 𝛿 − 𝛼 ≅ 1 − 𝛿

17

(1 − 𝛿) − (1 + 2𝛿) +𝛼

𝛿2= 0

−3𝛿 +𝛼

𝛿2= 0

−3𝛿3 + 𝛼 = 0

𝛿 = (𝛼

3)

1

3

𝑢 = 1 − (𝛼

3)

1

3

Rješavanjem druge jednadžbe na isti način dobijemo

𝑢 = 1 + (𝛼

3)

1

3

Rješavanjem treće jednadžbe na isti način dobijemo

𝑢 = −1 −5

12𝑎

Zakonačna rješenja prve tri Lagrangeove točke dobijemo

𝐿1: (𝑅 [1 − (𝛼

3)

1

3] , 0 )

𝐿2: (𝑅 [1 + (𝛼

3)

1

3] , 0 )

𝐿3: (−𝑅 [1 +5

12𝛼] , 0 )

Za sustav Zemlja-Sunce vijedi 𝛼~3 × 10−6, a R= 1AU, što približno iznosi 1,5 × 108 km. 1

AU2 je mjerna jedinica za duljinu. Upotrebljava se u astronomiji, te je približno jednaka

udaljenosti Zemlje od Sunca. Prva i druga Lagrangeova točka se nalaze 1,5 milijuna

kilometara od Zemlje, a treća Lagrangeova točka se nalazi na istoj udaljenosti od Sunca kao

što se Zemlja nalazi, samo na suprotnoj strani.

18

Kako bi našli jednakostranične Lagrangian točke, L4 i L5, moramo uravnotežiti sile

gravitacije izvšene od strane 𝑀1 i 𝑀2 sa centrifugalnom silom koja djeluje radijalno van

centra mase. Kako je sila u smjeru okomita uključujući sile gravitacije, prikladno je razložiti

efektivnu silu na paralelne i okomite komponente uzimajući u obzir distancu između mase M

i centra mase, koristeći projekcijske vektore 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 i 𝑥𝑖 − 𝑦𝑗. Ortogonalna projekcija tada

glasi

[𝑥 −𝛽(𝑥+𝛼𝑅)𝑅3

((𝑥+𝑅𝛼)2+𝑦2)32

−𝛼(𝑥−𝛽𝑅)𝑅3

((𝑥+𝑅𝛼)2+𝑦2)32

] 𝑦 − [𝑦 −𝛽𝑦𝑅3

((𝑥+𝑅𝛼)2+𝑦2)32

−𝛼𝑦𝑅3

((𝑥−𝛽𝑅)2+𝑦2)32

] 𝑥=

𝑥𝑦 +−𝑅3𝛽𝑦(𝑥 + 𝛼𝑅) + 𝑅3𝛽𝑥𝑦

((𝑥 + 𝑅𝛼)2 + 𝑦2)3

2

+−𝑅3𝛼𝑦(𝑥 − 𝛽𝑅) + 𝑅3𝛼𝑥𝑦

((𝑥 − 𝑅𝛽)2 + 𝑦2)3

2

− 𝑥𝑦 =

−𝑅3𝛽𝑦𝑥 − 𝑅4𝛼𝛽𝑦 + 𝑅3𝛽𝑥𝑦

((𝑥 + 𝑅𝛼)2 + 𝑦2)3

2

+−𝑅3𝛼𝑦𝑥 + 𝑅4𝛼𝛽𝑦 + 𝑅3𝛼𝑥𝑦

((𝑥 − 𝑅𝛽)2 + 𝑦2)3

2

𝐹Ω⊥ = 𝛼𝛽𝑦Ω2𝑅4 (

1

((𝑥 + 𝑅𝛼)2 + 𝑦2)3

2

−1

((𝑥 − 𝑅𝛽)2 + 𝑦2)3

2

)

Ako je 𝐹Ω⊥ = 0 i 𝑦 ≠ 0, ravnotežne točke moraju biti na jednakoj udaljenosti od dviju masa.

(1

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

−1

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

) = 0

1

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

=1

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

Iz ovog gore izraza nam slijedi kako je 𝑥 = 𝑅

2(𝛽 − 𝛼) =

𝑅

2(1 − 2𝛼)

𝑥 + 𝛼𝑅 =𝑅

2 (5)

𝑥 − 𝛽𝑅 = −𝑅

2 (6)

Kako bi dobili 𝐹Ω∥ , krečemo iz jednadžbe (1)

19

(𝑥 −𝛽(𝑥 + 𝛼𝑅)𝑅3

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

− 𝛼(𝑥 − 𝛽𝑅)𝑅3

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

) 𝑥 + (𝑦 −𝛽𝑦𝑅3

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

− 𝛼𝑦𝑅3

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

) 𝑦

𝑥2 + 𝑦2 +−𝛽𝑅3[𝑥(𝑥 + 𝛼𝑅) + 𝑦2]

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

+−𝛼𝑅3[𝑥(𝑥 − 𝛽𝑅) + 𝑦2]

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

Ako uvrstimo izraze (5) i (6) u gornju jednadžbu dobivamo

𝑥2 + 𝑦2 +−(1 − 𝛼)𝑅3[𝑥(𝑥 + 𝛼𝑅) + 𝑦2]

((𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2)3

2

+−𝛼𝑅3[𝑥(𝑥 − (1 − 𝛼)𝑅) + 𝑦2]

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

(𝑥 + 𝛼𝑅)2 + 𝑦2 = (𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 −𝑅3(𝑥2 + 𝑦2)

[(𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2]3

2

(7)

Kada uvrstimo (7) u (1), dobivamo

𝐹Ω∥ = mΩ2

𝑥2 + 𝑦2

𝑅(

1

𝑅3−

1

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

)

Zahtjevajući da paralelna komponenta bude jednaka nuli, zato što se mase 𝑀1i 𝑀2 nalaze na x

osi, to nas dovodi do stanja da se ravnotežne točke nalaze na udaljenosti R od svake mase.

Kao što na slici 3 vidimo, L4 se nalazi na jednom vrhu jednakostraničnog trokuta, dok se

druge dvije mase nalaze na ostala dva vrha. Lagrangeovu točku L5 dobijemo zrcalnom

refleksijom točke L4.

Prvo moramo izračunati Lagrangeovu točku L4, vodeću točku jednakostraničnog trokuta, koja

je određena s pozicijom točaka 𝑀1 i 𝑀2 na preostalim vrhovima.

1

𝑅3−

1

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

= 0

1

𝑅3=

1

((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

𝑅3 = ((𝑥 − 𝛽𝑅)2 + 𝑦2)3

2

𝑦 = ±√3

2 𝑅

20

Kordinate Lagrangeovih točaka L4 i L5 glase

𝐿4: (𝑅

2(1 − 2𝛼),

√3

2𝑅)

𝐿5: (𝑅

2(1 − 2𝛼), −

√3

2𝑅)

5. Stabilnost Lagrangeovih točaka

Joseph Louis Lagrange teoretski je proračunao da se pod strogo određenim uvjetima može

postići stabilna ravnoteža triju tijela. Ova teorija potvrđena je 1906. godine otkrićem dvije

grupe asteroida (Trojanci) u orbiti planeta Jupitera.

U svakom sustavu dvaju teških tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet

Lagrangeovih točaka, ali samo su točke L4 i L5 stabilne. Točke L4 i L5 stabilne su pod

uvjetom da je omjer masa 𝑀1

𝑀2> 24,96, gdje je 𝑀1 masa Sunca, a 𝑀2 masa Zemlje. Taj uvjet

zadovoljen je za sustav Sunce-Jupiter (𝑀𝑠

𝑀𝐽= 1000), zatim sustav Zemlja-Mjesec (

𝑀𝑍

𝑀𝑀𝐽=

83,33).

5.1. Stabilnost točaka L1 i L2

Za neka veća istraživanja promatrana je stabilnost prve i druge Lagrangeove točke u sustavu

Sunce-Zemlja. Već smo ranije spomenuli kako se satelit SOHO nalazi u točki L1, a NASA

planira poslati još i satelit MAP u točku L2. Zbog odstupanja od ravnotežnog položaja, točke

L1 i L2 su nestabilne, te će ta odstupanja rasti eksponencijalno s vremenom.

Zbog nestabilnosti točaka, sateliti koji se nalaze u Lagrangeovim točkama L1 i L2 odlutat će

nakon nekoliko mjeseci.

5.2. Stabilnost točke L3

Lagrangeova točka L3 smještena je iza Sunca te je mi ne možemo vidjeti sa Zemlje. „Planet

X“ se nalazi u točki L3, te je njegova orbita nestabilna. Iako „Planet X“ ne postoji,

Lagrangeova točka L3 se čini dobrim mjestom za satelit. „Planet X“ mnogi znanstevnici

21

koriste u knjigama i filmovima zato što ne znaju što se u toj točki nalazi. Nama je još

neotkrivena, nema svemirske letjelice i ne vidimo ju sa Zemlje.

5.3. Stabilnost točaka L4 i L5

Smatra se kako su Lagrangeove točke L4 i L5 najstabilnije točke. One odgovaraju lokalnom

maksimumu poopćenog potencijala, što inače upućuje na nestabilno stanje, no ove su dvije

točke stabilneuslijed djelovanja Coriolisove sile. Masa smještena blizu točaka L4 i L5 klizit

će prema dolje niz potencijal kao što vidimo na slici 4, ali dok klizi, također i ubrzava te tu

počinje djelovanje Coriolisove sile, koja masu šalje u orbitu oko Lagrangeove točke. L4 i L5

također nazivamo i Trojanskim točkama, a ime su dobila po tri Trojanska asteroida,

Agamenom, Ahilej i Hektor.

6. Događaji

Nama najpoznatija NASA-ina svemirska letjelica (SOHO) smještena je u prvoj Lagrangeovoj

točki. Solarni Heliosferični Observatorij (SOHO) lansiran je 2. prosinca 1995. godine te je

otkrio oko 2700 kometa. Svemirska letjelica SOHO kruži oko Sunca unutar Zemljine orbite

pri čemu ima nesmetan pogled na Sunce, što mu dozvoljava konstantno prikupljanje

podataka, te može prikupiti podatke vezane za Sunčevu aktivnost.

Lagrangeova točka L1 značajna je u orbiti binarnih zvjezdanih sustava. Binarni zvjezdani

sustav je sustav u kojem svaka od zvijezda rotira oko drugezvijezde brzinom od gotovo 500

km/s. Zemlji za orbitu oko Sunca treba godinu dana, a dvjema zvijezdama za međusobnu

orbitu jedne oko druge treba samo pet minuta. Možemo jednostavnije reći kako se binarni

zvjezdani sustav sastoji od dvije zvijezde, te svaka kruži oko njihovog zajedničkog centra

mase. Način nagomilavanja materije na zvijezdu kroz Lagrangeovu točku L1 odgovoran je za

eksploziju supernove tipa I. Ekspolozija se događa kada masivna zvijezda potroši svoje

nuklearno gorivo, pri čemu jezgra postaje nestabilna, pa kolapsira.Supernova tipa I nastaje u

dvojnim zvjezdanim sustavima. Zvjezdani sustav koji može proizvesti Tip I supernovu mora

za člana imati barem jednog bijelog patuljka. Preduvijet za nastanak supernove je taj da

bijelog patuljka mora biti veća od 1.38 Sunčevih masa (oko 2,85x1030kg).

22

NASA-in nasljednik Svemirskog teleskopa Hubbel je Svemirski teleskop James Webb

(JWST). Svemirski teleskop Hubble (HST) projekt je nastao suradnjom NASA-e i Europske

svemirske agencije. Postavljen je u kružnu orbitu oko Zemlje (za jedan krug treba mu

prosječno 96 minuta) na visini od 600 km. Srce teleskopa čini 2,4 metarsko zrcalo. Težak je

oko 10 tona. Dugačak je 11 metara, a širok 4,2 metra. Energiju potrebnu za rad dobiva iz

solarnih ploča dimenzija 2,6 x 7,1 metara. Njegov zamjenik JWST ima veći promjer zrcala,

kao što možemo vidjeti na Slici 5. Lansiranje JWST planirano je 2018. godine uz pomoć

Ariane 5, te će kružiti oko Lagrangeove točke L2. Ariane 5 je europska raketačiji je

jednokratan sustav lansiranja korišten u svrhe prijevoza tereta do geostacionarnih orbita ili

niskih Zemljinih orbita. Druga Lagrangeova točka L2 je popularno stanište i za druge

svemirske letjelice, uz JWST, tu su smještene Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

(WMAP), Gaia, svemirska letjelica Herschel i Eddington.

Slika 5: Usporedba Hubbel i James Webb Svemirskog teleskopa

Za sada u trećoj Lagrangeovoj točki L3 nije smiještena ni jedna svemirska letjelica, niti se

planira postaviti u skoroj budućnosti. NASA je objavila da nema nikakve koristi od stavljanja

svemirskih letjelica u Lagrangeovu točku L3 s obzirom da se nalazi iza Sunca. Lagrangeova

točka L3 se često koristi u znanstvenoj fantastici (knjigama, filmovima, serijama...) kao

„Planet X“.. „Planet X“ bi bio jako sličan našoj Zemlji, ali na suprotnoj strani Sunca, pa bi

zbog toga uvijek bio kriven od ljudskih očiju, te ga mi nikad ne bi mogli vidjeti s lica Zemlje.

Treća i četvrta Lagrangeova točka nagoviještaju kako prirodno orbitirajuće tijelo bi trebalo da

ostane unutar ovih točaka unatoč preturbaciji, za razliku od kolinearnih točaka koje zahtjevaju

23

održavanje objekata koje je čovjek napravio. Ovo predviđanje je potvrđeno 1906 godine

otkrićem Jupiterovih asteroida Trojanaca. Jupiterovi Trojancise nalaze na Jupiterovoj stazi,

60° ispred i iza Jupitera.

24

7. Zaključak

Ovim završnim radom obrađena je tema Lagrangeovih točaka, s naglaskom na Zemljine

Lagrangeove točke. Svrha ovog rada je upoznati se s pet točaka ravnoteže u kojima tijela

zanemarive mase mogu orbitirati s dva veća tijela. Pronašli smo mjesta gdje letjelica (satelit)

može biti „smještena“ u orbiti, te je udaljenost između tijela konstanta.

Također, prikazali smo kako pronaći stabilnost Lagrangeovih točaka. Prema izračunima,

najstabilnije su točke L4 i L5. No, u Lagrangeovoj točki L1 se nalazi svemirska letjelica

SOHO koja nam govori mnogo o unutrašnjosti Sunca. Iako je prošla prvobitna odluka da

SOHO ostane samo dvije godine, NASA, koja je odgovorna za SOHI-no lansiranje, produljila

je misiju do 2016.

25

8. Literatura

http://www.spacealliance.ro/articles/view.aspx?id=200903060441 -16.9.2014.

http://bs.wikipedia.org/wiki/Lagrangeova_ta%C4%8Dka -16.9.2014.

http://www.nasa.gov/mission_pages/soho/ -17.9.2014.

http://mafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/Lagrangeove_tocke.pdf -19.9.2014.

http://hr.wikipedia.org/wiki/Coriolisov_u%C4%8Dinak -19.9.2014.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mechanics/lagpt.html -19.9.2014.

http://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html -19.9.2014.

http://www.spacealliance.ro/articles/view.aspx?id=200903060441 -20.9.2014.

9. Životopis

Ovaj rad napisala je Dunja Straka. Rođena je u Osijeku, 30.09.1992. Osnovnu školu je

završila u Valpovu, gdje je i odrasla. Po završetku osnovne škole, upisala je Opću gimnaziju u

Valpovu, te danas studira na Odjelu za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u

Osijeku. U slobodno vrijeme bavi se odbojkom i trčanjem.