Symulacje Komputerowe

Adam Lipowski

Zakład Fizyki Kwantowej (p.205 G-III)Tel: 8295062e-mail: lipowski@amu.edu.plhttp://www.amu.edu.pl/~lipowski/java/java.html

Komputery w nauce:

- analiza numeryczna (np. obliczenie całki metodą trapezów)- obliczenia symboliczne (Mathematica, Maple)- zbieranie i analiza danych- wizualizacja- symulacje

Symulacje:

Problem jest dobrze sformułowany (znane są np. równania go opisują-ce), jednak jest on zbyt trudny do ścisłej analizy matematycznej.Powodem trudności może być np., zbyt duża liczba zmiennych, nieli- niowość, przypadkowe zaburzenia (szum) itp.

Przykłady nierozwiązywalnych problemów:

- problem trzech ciał (mechanika klasyczna, równania Newtona)- atom helu (mechanika kwantowa, równanie Schrödingera )- układy o wielu stopniach swobody: gaz, ciało stałe, ciecz, polimery, makromolekuły,..., - społeczeństwo, transport, ekosystem, sztuczna inteligencja,...

Ale czy znamy reguły ewolucji np. ekosystemu?

Cząstki elementarne

Atomy

Ciała makroskopowe

Planety

Układy planetarne

Galaktyki

Metagalaktyki

Komórki

Tkanki

Organizmy

Społeczności

Makromolekuły

Tranzystor

Komputer

WWWWie

lkoś

ć, z

łożo

ność

‘Nauka o złożoności’ – proste reguły mogą prowadzić do skomplikowanych zachowań, struktur

Interdyscyplinarność

Symulacje modeli teorii gier: dylemat więźnia

Modelowanie współzawodnictwa i współdziałania, altruizm.

Wybór optymalnej strategii. Ewolucja (programowanie genetyczne),...

A i B oskarżeni są o przestępstwo. Jeżeli żaden z nich nie oskarży drugiego to obaj dostaną po roku kary. Jeżeli obaj się oskarżą to dostaną po trzy lata kary. Jeżeli jeden z nich oskarży drugiego a drugi nie, to ten drugi dostanie 5 lat kary a pierwszy wyjdzie na wolność.

Iterowany dylemat więźnia

Problemy obliczeniowe złożone

Komiwojażer, zagadnienie plecakowe, problem spełnialności, planowanie obciążenia dla maszyn wieloprocesorowych,...

Rynki finansowe, ekosystemy, struktura białek, szkła spinowe,…

Symulowane wyżarzanie, algorytmy genetyczne, algorytmy mrówkowe , przeszukiwanie tabu,...

Przejścia fazowe: zagadnienie łatwe – zagadnienie trudne

Symulacje układów atomowych

- Dynamika Molekularna

- Monte Carlo

Cząsteczka C60 (fulleren) zaadsorbowana na krzemie

Lokalizacja atomów wyznaczona za pomocą Dynamiki Molekularnej

Struktura C60

Makromolekuły

Kompleks białko-DNA

http://www.ccd.bnl.gov/visualization/gallery/pdb/pdb.html

Kompleks AchE-FAS

Model sieci metabolicznej bakterii Escherichia coli

Układy złożone:

- sieci losowe- nieliniowość, chaos i fraktale- wyłanianie się wzorców

O czym (niestety) nie będziemy mówić

Sieć WWW

Struktura połączeń internetowych

Nauka - wyszukiwanie podobieństw

Łańcuchy pokarmowe

Sieć oddziaływań międzyproteinowych

Kolor węzła określa fenotypowy efekt usunięcia danego białka: czerwony – śmiertelny, zielony – nie-śmiertelny, pomarańczowy – spowolnienie wzrostu, żółty - nieznany

Modelowanie Sieci

-Grafy losowe- sieci rzeczywiste mają inne rozkłady statystyczne (to nie są grafy losowe!)-scale-free networks (niezmiennicze ze względu na zmianę skali długości)

Jak powstają sieci?wzrost restrukturyzacja

Geometria niestandardowa...

Diffusion-Limited Aggregation

Struktury fraktalne w przyrodzie

Wszechświat

Samopodobieństwo

Wymiar fraktalny

gdzie N() jest liczbą trójkątów o wymiarze potrzebnych do pokrycia tego zbioru

Wymiar fraktalny c.d.

Zbiór Cantora

tym razem mamy

Sztuka fraktalna

Terytorium pokryte przez 500 cząstek błądzących przypadkowo.

Fraktalna struktura pożarów lasu

Fraktalna struktura domen w punkcie krytycznym ferromagnetyka

Chaos i nieprzewidywalność

Komputerowa analiza prostych dynamicznych układów nieliniowych uświadomiła powszechność chaosu

r

x

r

Period doubling tree

xn+1=rxn(1-xn)

Równanie logistyczne

Jest to bardzo proste równanie ekologiczne:opisuje liczebność populacji w kolejnych latach

Powstawanie wzorców

Różnicowanie się komórek

Powstawanie wzorców c.d.

Proste reakcje chemiczne prowadzą do złożonych struktur czasoprzestrzennych

Struktury spiralne

Poruszające się przypadkowo termity mogą wytwarzać pewne struktury

Termit:- porusza się przypadkowo aż do napotkania kawałka drewna- jeżeli termit niesie drewno to upuszcza je- jeżeli nie niesie to je podnosi

Life Convey’a

Jeżeli:-żywa komórka ma więcej niż trzech żywych sąsiadów to umiera (przeludnienie)-żywa komórka ma mniej niż dwóch żywych sąsiadów to umiera (samotność)-pusta komórka ma trzech to staje się żywa-żywa komórka ma dwóch lub trzech żywych sąsiadów to jej stan się nie zmienia

Literatura

-P. Coveney, R. Highfield Granice złożoności (Prószyński i S-ka, 1997)

- D. Stauffer, H. E. Stanley Od Newtona do Mandelbrota - wstęp do fizyki teoretycznej (WNT, 1997)

- E. Ott Chaos w układach dynamicznych (W.N.T., 1997)

- T. Pang Metody obliczeniowe w fizyce. Fizyka i komputery (PWN, 2001)

- D. W. Heermann Podstawy symulacji komputerowych w fizyce (WNT, 1997)

Fizyka na komputerze