Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
����������� ��������� ������������������������������������������������� ���
����������������������������������������������������� �����!���"��#��
�������$�� �%&�'(�(�($����)��� ������*("����� �%&����� &�+����&�+� �&�!��,�&��-������������������%���(� � ����($���
� ��� �%-
�����������% ����������.��/��,��0�1����
����������-���'�2/����%����3(���4���� ��
�(���������
������ �������% ����������.��5�%!������ �
!���"��#�������4364
ön söz
sevgili öğrenciler
Kitabı hazırlarken ortak vaktimizden çaldığım eșim Nebihan AKÇA’ya ithaf olunur.
Ayrıca kitabın hazırlanmasında görüș, öneri ve çözümleriyle katkıda bulunan değerli öğretmen arkadașlarım:
Durmuș ÖZDEMİR, Hüseyin KOÇAK, Mehmet ÇOBAN, Mesut YAȘA, Muhammet ȘİMȘEK, Onur ÖZTÜRK, Yunus TUĞRUL hocalarımıza
teșekkürü bir borç biliriz.
Öncelikle bu kitap 8. sınıftaki öğretmen ve öğrencilerimizin soru bankası ve uygulama ihtiyaçlarını tek kitapta gidermek için hazırlan-dı. Bir öğrenci bu kitaptaki uygulamaları ve testleri hakkını vererek
çözerse bașarısız olma ihtimali bulunmamaktadır. Aylarca süren Sorular öğrenci seviyesi gözetilerek kolaydan zora gidecek șekilde
hazırlanmıș olup Uygulanan MEB Müfredatına birebir uyumludur.
Tüm öğrencilerimize sınavda bașarılar dileriz.
E: [email protected]: www.hiperzeka.com
/ hiperzeka / hiperzeka / hiperzeka
�����!����%�����&'��/��$�6�"�8����
�(�")*+# 394 35 39
A: �����,�-����/���0'(�1�>��� ?4A34B4�(�")*+# 231 12 892(�")*+# 231 41 993(�"114# 898 03 01
56�0�0�����978-605-329-968-4
Korkma, sönmez bu șafaklarda yüzen al sancak;Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olayım, çehrene ey nazlı hilal!Kahraman ırkıma bir gül; ne bu șiddet, bu celal?Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal...Hakkıdır, Hakk’a tapan, milletimin istiklal.
Ben ezelden beridir hür yașadım, hür yașarım,Hangi çılgın bana zincir vuracakmıș? Șașarım.Kükremiș sel gibiyim; bendimi çiğner, așarım,Yırtarım dağları, enginlere sığmam, tașarım.
Garb’ın afakını sarmıșsa çelik zırhlı duvar,Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,“Medeniyet’’ dediğin tek diși kalmıș canavar?
Arkadaș! Yurduma alçakları uğratma sakın,Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın,Kim bilir, belki yarın belki yarından da yakın.
Bastığın yerleri “toprak’’ diyerek geçme, tanı,Düșün altındaki binlerce kefensiz yatanı.Sen șehid oğlusun, incitme, yazıktır, atanı,Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı.
Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki feda?Șüheda fıșkıracak, toprağı sıksan șühedaCanı, cananı, bütün varımı alsın da Hüda,Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüda.
Ruhumun senden İlahî, șudur ancak emeli:Değmesin mabedimin göğsüne namahrem eli.Bu ezanlar, ki șehadetleri dinin temeli,Ebedî, yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder, varsa tașım,Her cerihamdan, İlahî, boșanıp kanlı yașım,Fıșkırır ruh-ı mücerred gibi yerden naașım,O zaman yükselerek arșa değer, belki, bașım.
Dalgalan sen de șafaklar gibi ey șanlı hilal!Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helal.Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlal.Hakkıdır, hür yașamıș bayrağımın hürriyet;
Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin istiklal.
Mehmet Akİf ERSOY
İSTİKLâL MARŞI
Ey Türk Gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk Cumhuriyeti’ni, ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel senin en kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi seni bu hazineden mahrum etmek is-teyecek, dahili ve harici bedhahların olacaktır. Bir gün, istiklâl ve cum-huriyeti müdafaa mecburiyetine düșersen, vazifeye atılmak için, içinde bulunacağın vaziyetin imkân ve șeraitini düșünmeyeceksin! Bu imkân ve șerait, çok namüsait bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl ve cum-huriyetine kasdedecek düșmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiș bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanın kale-leri zaptedilmiș, bütün tersanelerine girilmiș, bütün orduları dağıtılmıș ve memleketin her köșesi bilfiil ișgal edilmiș olabilir. Bütün bu șerait-ten daha elim ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktida-ra sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hatta hıyanet içinde bulunabilirler. Hatta bu iktidar sahipleri șahsi menfaatlerini, müstevlilerin siyasi emel-leriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr-ü zaruret içinde harap ve bitap düș-müș olabilir.
Ey Türk istikbalinin evladı! İște, bu ahval ve șerait içinde dahi vazifen, Türk İstiklâl ve Cumhuriyeti’ni kurtarmaktır! Muhtaç olduğun kudret, da-marlarındaki asil kanda mevcuttur!
ATATÜRK’ÜN GENÇLİĞE HİTABESİ
ÜNİTE - 1 ÇARPANLAR ve KATLAR
Bölünebilme Kuralları.......................................................................... 2
Çarpanlar ve Katlar............................................................................. 3
Asal Sayılar......................................................................................... 4
Çarpan Algoritması............................................................................. 5
Doğal Sayıların Asal Çarpanlara Ayrılması........................................... 7
Çarpan Algoritması - Verilmeyen İfadeleri Bulma................................... 9
Pekiștirme Testi - 1............................................................................. 10
Pekiștirme Testi - 2............................................................................. 12
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)............................................................. 14
En Küçük Ortak Kat (EKOK)................................................................. 16
EBOB - EKOK Uygulamaları................................................................. 19
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Problemleri............................................. 20
En Küçük Ortak Kat (EKOK) Problemleri.............................................. 22
Pekiștirme Testi - 3............................................................................. 24
Pekiștirme Testi - 4............................................................................. 26
Aralarında Asal Sayılar ....................................................................... 28
Pekiștirme Testi - 5............................................................................. 32
Yeni Nesil Ünite Testi - 1..................................................................... 36
Yeni Nesil Ünite Testi - 2..................................................................... 38
Yeni Nesil Ünite Testi - 3..................................................................... 40
Yeni Nesil Ünite Testi - 4..................................................................... 42
ÜNİTE - 2 ÜSLÜ SAYILAR
Tam Sayılar Pozitif Kuvveti.................................................................. 46
Tam Sayıların Negatif Kuvveti.............................................................. 48
Rasyonel Sayıların Tekrarlı Çarpımının Üslü Gösterimi......................... 49
Pekiștirme Testi - 6............................................................................. 50
Pekiștirme Testi - 7............................................................................. 52
Ondalık Sayıların Çözümlenmesi......................................................... 54
Pekiștirme Testi - 8............................................................................. 56
Üssün Üssü........................................................................................ 58
Üslü Sayılarda Sıralama..................................................................... 59
Pekiștirme Testi - 9............................................................................. 60
Üslü Sayılarda Çarpma İșlemi............................................................. 62
Üslü Sayılarda Bölme İșlemi................................................................ 65
Pekiștirme Testi - 10........................................................................... 70
Pekiștirme Testi - 11........................................................................... 72
Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar......................................................... 74
Pekiștirme Testi - 12........................................................................... 76
Bilimsel Gösterim................................................................................ 78
Pekiștirme Testi - 13........................................................................... 80
Yeni Nesil Ünite Testi - 5..................................................................... 82
Yeni Nesil Ünite Testi - 6..................................................................... 84
Yeni Nesil Ünite Testi - 7..................................................................... 86
Yeni Nesil Ünite Testi - 8..................................................................... 88
Yeni Nesil Ünite Testi - 9..................................................................... 90
ÜNİTE - 3 KAREKÖKLÜ SAYILAR
Tam Kare Sayılar................................................................................ 94
Kareköklü Sayılar................................................................................ 95
Üslü Sayıların Karekökleri................................................................... 96
Pekiștirme Testi - 14........................................................................... 98
Tam Kare Olmayan Sayıların Karekök Değerlerini Tahmin Etme........... 100
Pekiștirme Testi - 15........................................................................... 102
Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar............................................................ 104
Devirli Ondalık Sayılar........................................................................ 105
Pekiștirme Testi - 16........................................................................... 106
Kareköklü Sayılarda Çarpma İșlemi.................................................... 108
Kareköklü Sayılarda Bölme İșlemi....................................................... 109
Pekiștirme Testi - 17........................................................................... 110
Pekiștirme Testi - 18........................................................................... 112
Pekiștirme Testi - 19........................................................................... 114
Kareköklü Bir İfadeyi a§b Șeklinde Yazma........................................... 116
a§b Șeklindeki Bir İfadeyi Kök İçine Alma........................................... 118
Çarpımları Doğal Sayı Olan Kareköklü Sayılar...................................... 119
Pekiștirme Testi - 20........................................................................... 120
Pekiștirme Testi - 21........................................................................... 122
Kareköklü Sayılarda Toplama - Çıkarma İșlemi.................................... 124
Ondalıklı Sayıların Karekökü............................................................... 127
Pekiștirme Testi - 22........................................................................... 130
Pekiștirme Testi - 23........................................................................... 132
Pekiștirme Testi - 24........................................................................... 134
Pekiștirme Testi - 25........................................................................... 136
Yeni Nesil Ünite Testi - 10.................................................................... 138
Yeni Nesil Ünite Testi - 11.................................................................... 140
Yeni Nesil Ünite Testi - 12.................................................................... 142
Yeni Nesil Ünite Testi - 13.................................................................... 144
Yeni Nesil Ünite Testi - 14.................................................................... 146
ÜNİTE - 4 VERİ ANALİZİ
Sütun Grafiği...................................................................................... 150
Çizgi Grafiği...................................................................................... 151
Pekiștirme Testi - 26........................................................................... 154
Daire Grafiği...................................................................................... 156
Pekiștirme Testi - 27........................................................................... 158
Yeni Nesil Ünite Testi - 15.................................................................... 160
Yeni Nesil Ünite Testi - 16.................................................................... 162
Yeni Nesil Ünite Testi - 17.................................................................... 164
ÜNİTE - 5 OLASILIK
Basit Olayların Olma Olasılığı.............................................................. 168
Pekiștirme Testi - 28........................................................................... 172
Pekiștirme Testi - 29........................................................................... 174
Pekiștirme Testi - 30........................................................................... 176
Yeni Nesil Ünite Testi - 18.................................................................... 178
Yeni Nesil Ünite Testi - 19.................................................................... 180
Yeni Nesil Ünite Testi - 20.................................................................... 182
ÜNİTE - 6 CEBİRSEL İFADELER ve ÖZDEȘLİKLER
Cebirsel İfadeler................................................................................. 186
Cebirsel İfadeleri Farklı Biçimde Yazma............................................... 187
Cebirsel İfadelerde Toplama - Çıkarma................................................. 188
Pekiștirme Testi - 31........................................................................... 190
Cebirsel İfadelerde Çarpma İșlemi...................................................... 192
Cebirsel İfadelerde Çarpma İșleminin Modellenmesi.......................... 194
Pekiștirme Testi - 32........................................................................... 196
İki Kare Farkı Özdeșliği....................................................................... 198
Tam Kare Özdeșliği............................................................................ 199
Pekiștirme Testi - 33........................................................................... 200
Özdeșliklerin Modellenmesi............................................................... 202
Pekiștirme Testi - 34........................................................................... 204
Çarpanlara Ayırma............................................................................. 206
İki Kare Özdeșliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma....................... 207
Tam Kare Özdeșliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma................... 208
Pekiștirme Testi - 35........................................................................... 210
Pekiștirme Testi - 36........................................................................... 212
Yeni Nesil Ünite Testi - 21.................................................................... 214
Yeni Nesil Ünite Testi - 22.................................................................... 216
Yeni Nesil Ünite Testi - 23.................................................................... 218
Yeni Nesil Ünite Testi - 24.................................................................... 220
ÜNİTE - 7 DOĞRUSAL DENKLEMLER
Doğrusal Denklemler.......................................................................... 224
Pekiștirme Testi - 37........................................................................... 228
Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler................................................. 230
Pekiștirme Testi - 38........................................................................... 234
Koordinat Sistemi............................................................................... 236
Pekiștirme Testi - 39........................................................................... 238
Doğrusal İlișkiler (Bağımlı - Bağımsız Değișkenler).............................. 240
Doğrusal İlișki Grafiği.......................................................................... 241
Pekiștirme Testi - 40........................................................................... 244
Pekiștirme Testi - 41........................................................................... 246
Eksenlere Paralel Doğruların Grafiği.................................................... 248
Eksenleri Kesen Doğruların Grafiği...................................................... 249
Orijinden Geçen Doğruların Grafikleri.................................................. 250
Bir Noktanın Bir Doğru Üzerinde Olması.............................................. 251
Pekiștirme Testi - 42........................................................................... 252
Eğim................................................................................................... 254
Koordinat Düzleminde Eğim................................................................ 255
Denklemleri Verilen Doğrunun Eğimi................................................... 257
Pekiștirme Testi - 43........................................................................... 258
Pekiștirme Testi - 44........................................................................... 260
Pekiștirme Testi - 45........................................................................... 262
Eșitsizlikler......................................................................................... 264
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eșitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi 265
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eșitsizliklerin Çözümü...................... 266
Pekiștirme Testi - 46......................................................................... 270
Pekiștirme Testi - 47........................................................................... 272
Pekiștirme Testi - 48........................................................................... 274
Yeni Nesil Ünite Testi - 25.................................................................... 276
Yeni Nesil Ünite Testi - 26.................................................................... 278
Yeni Nesil Ünite Testi - 27.................................................................... 280
Yeni Nesil Ünite Testi - 28.................................................................... 282
Yeni Nesil Ünite Testi - 29.................................................................... 284
Yeni Nesil Ünite Testi - 30.................................................................... 286
Yeni Nesil Ünite Testi - 31.................................................................... 288
Yeni Nesil Ünite Testi - 32.................................................................... 290
Yeni Nesil Ünite Testi - 33.................................................................... 292
ÜNİTE - 8 ÜÇGENLER
Üçgenin Yardımcı Elemanları............................................................... 296
Kâğıt Katlayarak Üçgenin Yardımcı Elemanlarını Elde Etme.................. 298
Pekiștirme Testi - 49........................................................................... 300
Pekiștirme Testi - 50........................................................................... 302
Üçgen Eșitsizliği................................................................................. 304
Üçgen Eșitsizliği Uygulamaları............................................................ 306
Pekiștirme Testi - 51........................................................................... 308
Pekiștirme Testi - 52........................................................................... 310
Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları.......................................................... 312
Pekiștirme Testi - 53........................................................................... 316
Pekiștirme Testi - 54........................................................................... 318
Üçgen Çizebilme Șartları.................................................................... 320
Pekiștirme Testi - 55........................................................................... 322
Pisagor Bağıntısı................................................................................ 324
Özel Dik Üçgenler............................................................................... 326
Pisagor Bağıntısı Uygulaması............................................................. 327
Kenar Uzunlukları Verilen Bir Üçgenin Dik Üçgen Olup Olmadığına Pisagor Bağıntısını Kullanarak Karar Verme.......................................................
328
Koordinat Sisteminde Pisagor Bağıntısı.............................................. 329
Pekiștirme Testi - 56........................................................................... 330
Pekiștirme Testi - 57........................................................................... 332
Pekiștirme Testi - 58........................................................................... 334
Pekiștirme Testi - 59........................................................................... 336
Eș Șekiller.......................................................................................... 338
Benzer Șekiller................................................................................... 340
Eș - Benzer Üçgenler ........................................................................... 342
Pekiștirme Testi - 60........................................................................... 344
Pekiștirme Testi - 61........................................................................... 346
Pekiștirme Testi - 62........................................................................... 348
Yeni Nesil Ünite Testi - 34.................................................................... 350
Yeni Nesil Ünite Testi - 35.................................................................... 352
Yeni Nesil Ünite Testi - 36.................................................................... 354
Yeni Nesil Ünite Testi - 37.................................................................... 356
Yeni Nesil Ünite Testi - 38.................................................................... 358
Yeni Nesil Ünite Testi - 39.................................................................... 360
ÜNİTE - 9 DÖNÜȘÜM GEOMETRİSİ
Koordinat Sisteminde Öteleme............................................................ 364
Koordinat Sisteminde Yansıma (Simetri) Dönüșüm Geometrisi............. 365
Pekiștirme Testi - 63........................................................................... 366
Pekiștirme Testi - 64........................................................................... 368
Ardıșık Öteleme ve Yansıma............................................................... 370
Ötelemeli - Yansıma Uygulamaları...................................................... 371
Pekiștirme Testi - 65........................................................................... 372
Yeni Nesil Ünite Testi - 40.................................................................... 374
Yeni Nesil Ünite Testi - 41.................................................................... 376
ÜNİTE - 10 GEOMETRİK CİSİMLER
Dik Prizmalar...................................................................................... 380
Pekiștirme Testi - 66........................................................................... 384
Pekiștirme Testi - 67........................................................................... 386
Silindir................................................................................................ 388
Pekiștirme Testi - 68........................................................................... 390
Silindirin Yüzey Alanı........................................................................... 392
Pekiștirme Testi - 69........................................................................... 394
Silindirin Hacmi.................................................................................. 396
Pekiștirme Testi - 70........................................................................... 398
Dik Piramitler...................................................................................... 400
Pekiștirme Testi - 71........................................................................... 402
Dik Koni.............................................................................................. 404
Pekiștirme Testi - 72........................................................................... 406
Yeni Nesil Ünite Testi - 42.................................................................... 408
Yeni Nesil Ünite Testi - 43.................................................................... 410
CEVAP ANAHTARI 413
ÇARPANLAR VE KATLAR
1.ÜNİTE
���������������� ������������������������������������������ ��������������������-
������������� ��������������
���������� ���� � !"�
1. BÖLÜM
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
2
�� ����� ��������� ���������������� ���� �
������������������������� ���������������������������-� ������������ ����������
ÖRNEK:�����������������������
������������������� ���������� ��� ����������� �!�-� �"�#��"$���� ������ ���"�������� ����������
ÖRNEK:����� � ���%���������
�������&���'�����"$���� ����(�(�������� ��"$�� ����������
����� �� &� �� '� �"�� "$��� � � ���������� "$�� ������������
���������������)���������*���"����� ��������������� ��������� ����������
ÖRNEK:�"���� � ���%���������
"�����+�, �� � ��������� ����������
"�����"�&���&���'����� �"����� ����������
"���� �*�����*���"����� �������������.��������� ����������
������������������������� �����������#���������� ������������� ����������
ÖRNEK:��������������
�������������������������� ���������������� �������������� ����������
ÖRNEK:������"�����/�
�������������������� ���������� ��� ����������� �!�-� �/�#��/$(��� ������ ����/����� ����������
ÖRNEK:������ � ���%���������
��������&���&���'�/��/$(��� ����(�(���������� �/$� ����������
��/�����&���&�/�'�����/$(��� ��������/$� �����������
���������������0���������� �.�, � , ��1��2�#����$���� �����-� ����$�� ����������
ÖRNEK:����������������
����������� ��������� ���� ������ ������������������ ��������
12 45 80 105 165 300 540
2
3
6
5
10
9
4
1. BÖLÜMKONUNUN ÖZÜ
����������� ����� ���������
3
Çarpanlar ve Katlar | Çarpanlar ve Katlar
������������������������������������ÖRNEK:������ � ��!��� �,�.�!��� � ��(�� ��
ÇÖZÜM: ���'����
������������
���������"��
������������
���� � ��.�!���
������"�����������������$ ���
� )��������� ������������ � ��.�! � �4���������� ���������(������ ���*������������� � ��.�!� �������
� ���������� � ��.�!��� ��� �������(������� � ���������������
��� ��
��� ��
��� ��
��� ��
��� ��
��� ��
�� "�
!�� "�
"�� ��
�#�� ��
���� ��
���� �/
���� ��
���� ��
���� ��
�������$�� ������ �������� ����%��&�� ������� �����
1. BÖLÜM
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
4
Çarpanlar ve Katlar |��������!���
� ��#��������������4��*�.�������� �� ����������������$���������������� ������ �������
� 5����.������ ��$����
� ����� ����������
� �$����� 4 ���.�, ���� ���� (��
� 6������� ����������� ����"����#���$����*�.������� ���������������� � ��
� 7��� ������"�������������"�������/����4�����������
ÖRNEK:�����/��"����������� �� ����*�8��������� � �?
ÇÖZÜM:"�����$��� �����������7��� ����������
�����"$�� �����������7��� ����������
������$�� �����������7��� ����������
������$��� �����������7��� ����������
�/�����#���������� 4 ����4��*�.�������� �� �������������7��� � ��
�� ����""���"�������� '�������� ���� ����� (��� ��
��� �������)
�� ��* � ����+�� � �� ��� ���� ���,���� �� �-������� ���� �����
��� "���"/���/������/� '�������� ���� ����� (��� ��
��� �������)
�� !.* � ����+�� � �� ��� ���� ��.,��� �� �-������� ���� �����
1. BÖLÜMKONUNUN ÖZÜ
����������� ����� ���������
5
ÖRNEK: ���� � ����.�!��� � ��(�� ��#������������,����������
ÇÖZÜM:����� � ���� ��������.��8��.��������9���������� �. ���������.������ ����4������������4������! � ����(�(�����������$���� ���� � ��#���� ��4�������������������������#�������
NOT: 5����.������ ����4�������(��(������������
��
�
"
�
���'�������"�
���'��"�"��4���������� � ��
7��.�!��� ���#��"$ ���
�
�
�
"
�� ������"# ��������Çarpanlar ve Katlar
7��.�!��� :;����� � 4 :
����
7��.�!��� :;����� � 4 :
����
7��.�!��� :;����� � 4 :
��"�
7��.�!��� :;����� � 4 :
����
7��.�!��� :;����� � 4 :
����
7��.�!��� :;����� � 4 :
"���
7��.�!��� :;����� � 4 :
�� �
7��.�!��� :;����� � 4 :
"���
7��.�!��� :;����� � 4 :
��!�
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
���#�
1. BÖLÜM
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
6
Çarpanlar ve Katlar |
7��.�!��� :;����� � 4 :
���!�
7��.�!��� :;����� � 4 :
"�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
���"�
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
��� �
7��.�!��� :;����� � 4 :
�"���
7��.�!��� :;����� � 4 :
������
7��.�!��� :;����� � 4 :
"�����
7��.�!��� :;����� � 4 :
������
7��.�!��� :;����� � 4 :
����#�
7��.�!��� :;����� � 4 :
������
7��.�!��� :;����� � 4 :
������
1. BÖLÜMKONUNUN ÖZÜ
����������� ����� ���������
7
$#%�����!��� ���������� ����� �����! ������ | Çarpanlar ve Katlar
������ ��!�� ���������� � ����.�!��� ��.�!���% ���� � ����(�(���������(�(���.���� ���� ���
���������<��������������� �������������������#���������
ÖRNEK:���� � ����.�!��� � �.�!���% ���� � ����(�� ��#��.�!��� � ������ �����,����������
�
�
�
��
�
"
�� ÇÖZÜM:
���'�������"�4���������� ��������;��������'��"�"��4���������� � ��
���� � ����.�!��� ���#��"���(!���� ������
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
1. BÖLÜM
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
8
���������� %��&�� ��������� +������ ����� �����
Çarpanlar ve Katlar |
��������%��&�����% �������$�� +����(��/ ���� �����
��
�
A
�
" "
��
9
��
� �
��
F
���
� �
��
�
B
"
" �
��
E
/�
�
" "
��
�
C
"
� �
�� �"�"��'�
!�� ��"����'�
"�� ������'�
�#�� ���""���'�
���� "������'�
��� ��� %��&�� ��� �* � $� � � �� ����%������ ������%���)
��� ��� %��&�� ����$� � ���##,�����%����%���� ����$�����)
��� �*�*-��������/��� ����+���-����� +�������*������ -��� ������� �� �� �� ��%�� ���� ������%���)
1. BÖLÜMKONUNUN ÖZÜ
����������� ����� ���������
9
ÖRNEK:�74� ����.�!���8��� � �����#�����������,��������(�(�(��
A
B
C
9
�
�
�
"
�
ÇÖZÜM: A
B
C
9
�
�
�
"
�
7�'�����"��
��'���"��
=�'�"��
9�'��
�� ������"# �������&�'� ����!����(�)��� ������� | Çarpanlar ve Katlar
7�'�
��'
=�'
9�'
7�'�
��'
=�'
9�'
5�'
7�'�
��'
=�'
9�'
A
B
C
9
�
�
�
"
"
7�'�
��'
=�'
9�'
��
A
B
C
9
�
�
�
�
��
��
A
�
�
"
�
�
7�'� �
A
B
C
9
�
�
"
"
�
7�'�
��'
=�'
9�'
��
A
��
��
9
�
�
B
C
�
��
A
B
C
��
E
�
�
�
�
9
�
!�
A
B
C
9
�
�
�
�
�
7�'�
��'
=�'
9�'
��
A
���
"�
9
�
"
B
C
�
��
A
B
��
9
�
�
�
C
�
"�
7�'�
��'�
=�'�
9�'�
7�'�
��'�
=�'�
9�'
7�'�
��'
=�'�
9�'�
5�'�
7�'�
��'
=�'
9�'
7�'�
��'
=�'
9�'
10
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
&�
�� �������� ����� (���� �� ������-���%��&�� ������������ ��)
72���� �2�/� =2�� � 92��
�� �#������������ %��&����������%���)
72�� � �2�"� =2��� 92��
�� �!������������� ������ �� ������& �+���%���)
72���� �2���� =2���� 92���
��
A
B7
3 2
'��������%��&�����-��������9.��%���)
72��� � �2���� =2���� 92���
�� A �
�
"
"
'������� ��� %��&�� ��� $�� �� ���������%���)
72���� �2���� =2�"�� 92�"�
��
302928272625242322212019181716151413121110987654321
� M(�� ��#�������� ����������������-������
.�������� �+������%����$�����)
72���� �2��� � =2��/� 92���
� ��� %��&�� ��� �* � $��� �� ������������ �����(������)
72���� �2��� � =2���� 92����
!�A
B
C
9
E
�
�
�
"
"
�
'����������� %��&�� ���������� A
C� �+������-���%���)
72�� � �2��� =2�/� 92���
"� �� ��������� �##,��� ��%�� �� ��-��������*��#,������������%������.���9.��%���)72����� �2����� =2���� � 92����
11
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
���������� ������ � ���������������������������-������� � ���������������� ������������ ������� ������������ ���������
�#�
N����� ' ����""
NN����� ' �"���"����
NNN����� ' ������
NO����� ' �"��������
'�������� ��� � ����� ��% �������������)72��� �2��� =2�" � 92��
���
36 m 2
� 7�� �"��������������� 8����*.����������(�(��(��� ������� �������(4�� � ��
.��������� ������%/��� �������-���%� �� �)72�� � �2��� =2�"� 92��
��� /���� � ����+�� � �� ��� ����� ���������� �������%��-��+���� �� �)72�/� �2��� =2��� 92��
���
64
72
81
125
'�������� ���� ����� (��������� %��&�� ������ ���� ������/��� ����)
72���� �2���
=2���� 92����
���2a . 3b . 5c
�*�$�-���� ������/��� ����+����� ��� � ������ ���� ���������/���������%���������%���)72���� � �2�"��� =2����� 92���
��� 7�'������"�����
� ��'������������
'�������$�� �� ��������9.��%���)72����� �2����� =2��"� � 92����
���450
3 5
3
5 B
A
'��������%��&�����-�������
�9.��%���)72�� � �2���� =2���� 92���
� �
Bilgi:�������������,��� �������� � ��.�! � �4���������� ������������-� ����� ���� ���������
.��������������� �����(����������� ������� ��)72���� �2�""� =2��� � 92���
12
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
&-
��� a � � � b �� %
� ���������� � ��.�!��� ���.�� �������-����(�� ��#������4 ���
.��������9�9-��%���)
72���� �2���� =2���� 92���
�� A K
2 3
35
5
B L
C5
5
'�������� %��&�� ���% ������ $�-� �� �������(���/������ �����)
72� 7�� � ��"� �����.�!� �#�� ��
�2� ��� ���$ ���
=2� 7� #��R� � �� � ���� ����� �� .�!� �#�� ��
92� 7�� ��R�� � ����� � ��
�� ��� %��&�� ����$��� ���##,�����%����%���� ����$�����)
72�� � �2��� =2��� 92�/
��� ����'��a���"b����%
� M(�� ������� � ����.�!��� �#����-��4 ���
.��������9�9-��%���)
72�� � �2��� =2��� 92�/
�� �:�* �:�* -:�� +��������##����������*�$�-������������������� �����(������)
72������%� �2�"���%
=2�"���%�� 92�"����%�
�� A '�7�� � �� ��������� ������������� ����
B '���� � ��.�, ������� �������������� � ������������4�������� � ��� ����
.������� 48 9 30 � �+����-��-���%���)72��� �2�� � =2��� 92��
� A
B
C
9
�
�
�
�
�
'�������� �� �� ������ ����A C. D9 � �+������-���%���)
72��� �2��� =2��� 92��
!� ��� %��&�� ������ %��&�+� �3��2��2� ������������ %��&�� ��������&- �+���%���)
72���� �2�/� =2��� 92��
13
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
�������� �� ��� ��� � � ��� ��������� ��������������������� � ���������������� ������������ ����-��� ������������ ���������
"�
A
� ���� 7� � � �� !��� �,� .�!��� � 4�������������������*��������������� �8���%���4��������� �%� ��
.���������������������� �����(����� �� �)
72���� �2���� =2���� 92���
�#�
S����������( (����(�� ���4� ������(������.������ ���� ������� � ��-������ ����� � ����
.���������� ������������ ����- ������& �+���%���)
72��/�� �2��// � =2����� 92���"
���
Bilgi: 7��.�!��� � �� �!�� �������!��� �,� ��� ��� �!����� �������
� T������U���� � � ���� .�!��� ��� #���$ �����&�'����� ����(�(��.������� � �!���� ��
.��� ���� �������� ���� �����(������& �+��� �������)
72���� �2��� =2���� 92���
���� V�#����������������,��� ���� ��� ��
720x����
� �+������-������� ����
��&���$������� ��%��9�/�-
�����/�� ���%� +� ����)
72��� �2�� � =2��� 92��
���
Bilgi: ���� !��� �,� �� � �� �����������,��� � ����������.�!��� �,� �� � � ��-�������� �!�� ���4� ���(� � ����-�������� �������
� T������U����� � ������������������"�����/�� �����(!� ����������� ,��� � ��� ������ �.� ������� �!�� �/&�&"'��$����
� �(��������������������� � ��
6 30 42 54
.��� ���� ��������� ���� �������%�����+���++� �������)
72��� �2��� =2�"� 92��
���� 7������ ���������������4�� ���4� �4����-����� �����)��� ���4 ��� �����"�� ���,������������#�� ��
.������������&������������-������%/��� ������� ��)
72��� �2�� � =2���� 92���
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
14
6���#����*�,��������� � � ��������������������������� ���(�� �� ��5��������W� ���������15�W�2��������7�#����� �� � ��5�W�$(�5�W�17���2�����8� �������
ÖRNEK:����#������ �� � ��5�W�$(�(��(�� ��
ÇÖZÜM:�0� �� ���.�!��� ��� �� ��
��
��
�
"
�
�
�
�
"
"
��
/
/
/
"
�
)��� ���� � � � ���� � ��������� � �� � ����� �.������ ���5�W���(�� �� ��.�! � � ��
5�W�1������2�'���"�'��
<���=������������� ������ ����5�W����.���� � ��
<���=�7�� 4 ��� ����5�W���$����
������������ ����>.?.,����� �����
Çarpanlar ve Katlar | En Büyük Ortak Bölen (EBOB)-���23�4
���
5�W�:
������
5�W�:
�� ����
5�W�:
�� ����
5�W�:
��
��"�
5�W�:
��"���
5�W�:
�� ����
5�W�:
� ��/
5�W�:
!�
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
15
������������ ����>.?.,����� �����
-���23�4En Büyük Ortak Bölen (EBOB) | Çarpanlar ve Katlar
����
5�W�:
��
������
5�W�:
��
/���
5�W�:
"�
���"�
5�W�:
���
����
5�W�:
��
������
5�W�:
��
����
5�W�:
�#�
"����
5�W�:
���
���/�
5�W�:
��
������
5�W�:
�
������
5�W�:
���
/���
5�W�:
���
������
5�W�:
��
������
5�W�:
!�
������
5�W�:
���
�����
5�W�:
���
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
16
6���#����*�,��������� � ���� ��� ����������.���!��� �,� ��� ���(�� �� ��5��R�.���W� ��R �15RWR2��������7�#����� �� � ��5RWR$(�5RWR17���2�����8� �������
ÖRNEK:����#��"��� �� � ��5RWR$(�(��(�� ��
ÇÖZÜM: "�
��
��
�
�
�
�
"
�
��
��
�
�
�
5RWR1����"�2�'����"���'���
<��=������������ ������ ����5RWR�������� � ��
������������ ����>@?@,����� �����
Çarpanlar ve Katlar | En Küçük Ortak Kat (EKOK)-���23�4
/�
5RWR:
��
����
5RWR:
��
����
5RWR:
��
����
5RWR:
��
����
5RWR:
��
����
5RWR:
�
���
5RWR:
��
����
5RWR:
!�
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
17
"���
5RWR:
������
5RWR:
������
5RWR:
������
5RWR:
��
����
5RWR:
�� ����
5RWR:
�� "���
5RWR:
� ����
5RWR:
!�
"�"�
5RWR:
"� ����
5RWR:
�#� /���
5RWR:
��� "���
5RWR:
���
""��
5RWR:
��� ��"�
5RWR:
��� ���"
5RWR:
��� ����
5RWR:
���
������������ ����>@?@,����� �����
En Küçük Ortak Kat (EKOK) | Çarpanlar ve Katlar -���23�4
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
18
ÖRNEK:�'��"�"�
��'����"����������������#����� �� � ��5�W��#��5RWR$(�(��(�� ��
ÇÖZÜM:
�'��" ��"
��'������"���W� ������.�!�����������.�������� ��.�! � �5�W�$(�#�����
5�W�1���2�'����"�
�'��"���"
��'������"���
W� ������.�!�������������������� ��#���� ��������� ��.�! � �5RWR$(�#�����
5RWR1���2�'��"�"���
������������ ����>.?.$�>@?@,����� �����
Çarpanlar ve Katlar | En Küçük Ortak Kat (EKOK)-���23�4
�� 7�'����"�
��'��"�""
5�W�17���2�'�
5RWR17���2�'�
�� 7�'������
��'��"��"
5�W�17���2�'�
5RWR17���2�'�
�� 7�'�"����
��'�"���"
5�W�17���2�'�
5RWR17���2�'�
�� 7�'����"
��'����""
5�W�17���2�'�
5RWR17���2�'�
�� 7�'�"���
��'�"������
5�W�17���2�'�
5RWR17���2�'�
�� 7�'��"���
��'�����"'5RWR�17��2
5�W��17��2
� '5RWR�17��2
5�W��17��27�'��"�"���
��'����"
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
19
ÖRNEK:a
%
%
%
�
b
�
e
�
�
"
"
�
)���*�,�,��� �� � �8� �����������U��#����� �� ���.�!��� ���� �� 4 ��
�'�?� ��'�?
����1���2�'�?
����1���2�'�?
ÇÖZÜM:�����*�,�������� ������������*�,�����4 �����
b
�
e
�
�
"
"
�
a
%
%
%
�
�
"
"
�
�'�����'���
��'���"�"�'���
����1���2�'��
����1���2�'���"�"���'�/�
�5��&��5��6!"������� � | Çarpanlar ve Katlar -���23�4
����1���2�'
����1���2�'
�'�
��'�
�
e
f
f
�
a
b
%
�
�
�
�
"
��
����1���2�'
����1���2�'
�'�
��'�
�
e
f
f
�
a
b
%
�
�
"
"
�
��
����1���2�'
����1���2�'
�'�
��'�
�
�
�
e
�
a
b
%
�
�
�
"
�
��
����1���2�'
����1���2�'
�'�
��'�
�
e
e
f
�
a
b
%
%
�
�
�
"
��
��
����1��%2�'
����1��%2�'
�'�
��'�
%
�
e
e
�
a
a
a
b
�
�
"
�
�
��
����1��%2�'
����1��%2�'
�'�
��'�
%
%
�
�
a
b
b
�
"
�
�
��
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
20
-���23�4
ÖRNEK:�����#��"����(�(��(�(����������(�4��4� �(�(��(� �� �������������!�.���������%�� ���
.�� �+���������%&��%���+��� ���� �)
ÇÖZÜM:R(�4����4� �(�(��(� ����������!�.���������%���������(�(�(��(�����#��"��� �� � ������������� ������������
5�W�1����"�2�'���"�'����
���:���'���!�.��(�4
"��:���'���!�.��(�4
<�!�����&���'�/�!�.��(�4�������������
��
��
�
"
�
"�
��
��
��
�
�
�
�
�
"
�
NOT: ������!�.�����.���!�.����� � ��5�W���(��� � ��
Çarpanlar ve Katlar | EBOB Problemleri
�� �#����(��$�����/��� �����-������������ +����$�(%���+���--����� ����/�� ���%��, ��&����- ������� ��)
��� ������(�(����� � , ���������� � , ��������-���%��#�� ��
.������- ��(������/���� ������$� �� /�� � �����- � �-�� ��� ����%�� �����/ ��������� ��)
�� �! �$��� � � /��� ���$���������������� +���� $� ���+���-�� ��-� �� �� /�� � ��% �, � ���� ������� ��)
�� "� ��A A�
/��� ���� ����-� �� �� ��&�� ����� ��������%���)
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
21
-���23�4EBOB Problemleri | Çarpanlar ve Katlar
��� ��� %�� #�� ��� %�� (�(��(�(����� ���� �!� �4� �(�(��(� ����������!�.����� � ����
.�������*��%&��%�� ���� �)
��� ����8�#������8$� �� ���� ,��� �%���! ���-� 4 � ����� #�� *�.� � ��%�� 4������� �4� ��������� ��.(#�������(�%� ��
.��%�������%%�$� ������)
�� ����#��%�������������,��� �!��� �,� ��� ��-� ��
� �����'���
� ����%�'����
� ����������*�9�9-������%���)
!�� ��� �� #�� ��� �� (�(��(�(����� ������ 8���4�����������*.�������4�����������������,����8���%�����.�������4� � #�����8���4��� �����,��������������
.��%���%/���������)
"�� ����� � ������ � ,�� ��� � ��� !�� �������8������� ���� ������8����/�� ���� �� 4�8��.����4 ����4 ���
.�����������������������%����������������+�����)
�#�� /��%��#���"��%��(�(��(�(��������� * �!�.� � ���� �4� � (�(��(� � ��� ������!�.����� �%� ��
B�������(�����+� �+��#��,����&�� ��������*��%����������-+�� �+���+�+ ��)
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
22
ÖRNEK:����* ��������� � ( ��������� �������������8��������������������8������������� � ( (����
.� �������������������� ���������������%�������� �������� ������������� ��)
ÇÖZÜM:9�� ��������� � ( ���4����������#�����8���������8��.����4 ��������.����(�� �� ���� ��� ��(�(��� � ��
5RWR1������2�'�"�����'�����8������� ��������� � ( ������
�
�
��
��
�
�
"
�
�
NOT: R�.���� ������������ �����(4%��5RWR��(��� � ��
�� � �� �&
� �+� ��&�� +�� %�&������ ������%����� �+� ��)
��� ���� �����������������$�����#��"�$�� �� �� -� ���*�.�������� ��� � ��
E�������� ��������������%���)
�� �� $� �� ���� ����� �� ���� ���##,�����%���������������%���)
�� �� �������� �� �� ��% �� ��+� �(�+�(�+��"����������+�� ���-� ��)
-���23�4 Çarpanlar ve Katlar | EKOK Problemleri
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
23
��� 6��� ��� �����%��� ��� ������ ����� ����%���������������������#����� ������6����������-�������� �������$ �������#���������
.� � ���� ��- ��� �� ��� ���� $���� �����������%� ��)
��� 7��$������(�%��� � ��� ��$��#���$�� �������������� �����
?���-�� ������ �� � � ��������� ����������*� ,����%����-���$�����)
�� �����!� ����8������/$�� �#����$�� �� �� � �-��*����,���������8���� ����
.�������*����&����������%�� $�����)
!�� ���� ��(��� "� ��� �*� �����%�� ���� ���$4�����#����$4�� �8�(!����� �����%�� ��
.���� ��������-�����������#,���/�� �� ����� ���������*������%�����-$�����)
"� A +=K A12 8
'�������� � �+� ����-��� ���+���������&������%������� ��������%���)
�#� � $� �! ���� ������ �� ��%�� ������������� ���������������+��- �����������������%���)
-���23�4EKOK Problemleri | Çarpanlar ve Katlar
24
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
&7
�� ��$� ����� �������������������� ����%���)
72��� �2�/� =2��� � 92���
�� ��$��!���� ����������%�������������%���)
72�/� � �2����� =2����� 92�"��
�� ������������%/� ������(����-���������������� ������ �-�������(���������)
72����#��// � �2����#���"
=2����#����� 92����#����
�� >���%������������#� ��������������� �����(����� �+��)
72�"�#����� �2���#����
=2����#����� 92���#����
�� F��� � � ���� ��������� �� ���������� �� �� �# � ������ ���� ������ ������& �+�������%���)
72����� �2�/� � =2���� 92�"�
�� �� $� �# ���� ����� �� ���� �� �%����+�� ���%����$�����)
72�"� �2��� =2�� � 92��
�� 7�#���������� � ��
� 5�W�17���2�'�"
� 5RWR17���2�'�"�
� ������������.�������%���)
72����� �2���� � =2���� 92�"�
$��%��&�����������������������'������'(�����%�)������*�
� 7�#����� �� � ����.�!��� ���� �� 4�4�����4� ��#������4 ���
� 7�'��"�"���
� ��'����"��
!� � $� . ���� ������ �� ����� ������� ����%���)
72��"�" � �2��"�"�
=2����"� 92����"�
"� � $� . ���� ������ �� ��%�� �����������%���)
72����"�� �2��"�"�����
=2����"����� 92����"�����
25
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
�������� �� ����� ������� �� ����� ����� � ��� !"#$#% &� �� ����� ����� ������ !"�$�% '�������� �( � ���������� � ����
,.��,,��,/�%��,0������������������-�����'������'(�����%�)������*�
R
L
M
M
M
�
�
�
"
�
�
A
B
B
C
�
� M(�� ��7�#��R�� �� � ���������� ���#����-��4 ���
�#� ���������%���)
72���� �2���� =2�"� � 92���
��� @��������%���)
72��� � �2�"�� =2���� 92���
��� � $� @ ���� ������ �� ����� ������� ����%���)
72���� �2��� =2��� 92��
��� � $� @ ���� ������ �� ��%�� �����������%���)
72����� �2����� =2�"��� 92����
��� G����� �������>.?.,��$�����-
��� 23 � ������ ���� >@?@, ���
��%���)
72���� �2���� =2���� 92�"�
���� 9�� � ���4 �� �4�� � �� .�! � ��� ��8����4� �������8�����#���������
� 7���V��(�%(�'���
� �(�%(�V�=���'���
� =���V�9�����'�"�
.������������������������� �����& �+�������%���)
72��� � �2���� =2��/� 92�"�
,3��%��,4�����������������������'�-�����'(�����%�)������*�
� 7�#��R�� �� � ����.�!��� ���� �� 4�4�����4� ��#������4 ���
A
B2
C2
K
L2
3 7
3 5
��� >.?.H�*@I��%���)
72���� �2�� � =2��� 92��
� � >@?@H�*@I��%���)
72����� �2����� =2�"��� 92����
26
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
&8
��� "���8�#������8$� ������,��� �%����(����� -��%��#���� 4��%�� 4��������� ���-������ �� ���������(�%� ��
.������ ��� �-�����������-��� ������ ����%� ����+ �����)
72���� �2���� =2���� 92���
�� 12 cm 12 cm
20 cm 20 cm
� ���%��#�����%��(�(��(�(���������� ������ �*������4�����4���������8����(.�(.���-��������
@��� ��� �% ��� ���� (���� �� �-���� ��& �+��%���� �� ��� +��� ����)
72�� � �2��� =2�/� 92���
��� 5�8���� ��(�� ����� � � "$����� #�� �$�����. � � ���*����,�������������� � ����
?�� ��� ����+�� ������ #,���/�� ���������%����+��$�����)
72���� �2��" � =2���� 92���
�� .���������(��J����������� -+��$�(�������������������� -������.�����% ���������#�##’���� ���(����������������������-����������##,������� ���(���-������� ��������J$����������- �����(����� �� �)
72����#��"�� �2����#��"�
=2����#����� 92����#����
��� N�� ����� � , ��������%������$���#���$���� �-� � ��� *��� �,��������� �����%�� � ������(� � , �������.������%��#�� �?
� NN�� ����� %�� #�� ���� %�� (�(��(�(����� �����(�4�!�. ������� ��4� �!�.����-� �%� ����(�!�.� ��(�(��(�(����,����.�%����(�?
� NNN���"�� ����������.�. ��� ��������#������ �� �� �������������?
'��������&��� �+ �����(��� �-���%���+�%�����%������������ +�� �+�������� ��� ��)
72�M�� ��N� �2�M�� ��NN
=2�N�#��NNN � 92�N��NN�#��NNN
��� 6������ ����������"�8��������������8������������� � ( �� � ���
G � ����� ��� &������� ���� ��-�������������%��-������ ���(����������� ��)
72�0� � �2�+�4��
=2�Y��4���� � 92�=(�
27
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
�������� �� ����� �������������������� ��� !"#$#%&�������������������!"�$�%'�������� �( � ���������� � ����
� 150 cm 165 cm
� Z�(��(��� �����%��#������%���������� *- �!�. ���������������������� ��� ���%�������� ��� ������4� �(�(��(� �!�-.����� �%� ��
.�+���� ����+�� �+������������������������+�+��������������+��� ��)
72��������"������
�2���������������
=2�������
92���������������
!�
ABC
554025
15105
Kanal Adı
ProgramSüresi (DK)
ReklamSüresi (DK)
� M(�� ���� ����� 7�� ��� =� ����� � ��!��8��� #�� ������ �������� #������4 ���� �(�������� � ���!��8���#�� ������#���!��� ��� 4 � ���(4 (�(������
.����������������$�.���� ����-���&�����+���� ���� ������K���� ���%��-�&�����+���&+�������)
72���� �2���� =2��� � 92��"
"� �$��� ���� ����������%��������������� ����������������������+�� ����������%���)
72���� �2��"� =2���� 92�"�
�#� x
A
33 88
63
35
� M(�� ���� �����.�!���4����������(.-�� ��������������#������4 ���
.���������������������� �����(����� �� �)
72��� � �2���� =2�/�� 92�//
��� 20 b
d
ca
54 45
30
� M(�� ���� 4������� �� ��� %�� #�� �� *�,����������� ��(�(��(�(� ���� � � ������������� ������������4� ���
.��������9�9-9���%���)72�"�� �2�"�� =2�"�� 92�"�
���
72 KG
Buğday Pirinç
X KG
� ����8��(����#��V��8�!����.��4� ��������� �� ����������������*�.��� 4����#��*�.�� -��%��4�����������(�(�(����
.��%������ ������������������J�������� �����(����� �-+��)72�"�� ����� =2���� � 92��"�
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
28
� �$�����4���� ���������������15�W��'��2����������� ����� ������ ����������
ÖRNEK:H!*��I$�H"*�#I����%/� ����� ��������� +����)
ÇÖZÜM:��'�����������
���'�������"�����������$�����4���� ������������(�(��.���1�������2���� ��������������
/�'����"�/
���'�������������������6���� � ���$�����4���� ������������� � ��.������ ����� ��
� ����� ������� �� ������ ����� ��
� 7��� ������ ����� ��
� 7�� 4 ��� ������ ����� ��
� 7��� ������ �� ��5�W�$�� ����5RWR$�� ��(�� �� ��.�! � ���4� ���
�������$�� ������%/� ��������� ��������� � �� ���L�M*� +���� ���L�”�������������
7���23�4 �� ����� ��������� ��� ��� ��)���������!��� �&��
�� (1, 6)
�� (3, 4)
�� (9, 15)
�� (10, 17)
�� (16, 21)
�� (7, 10)
� (18, 27)
!� (2, 15)
"� (28, 49)
�#� (26, 39)
��� (54, 81)
��� (77, 91)
��� (34 ,51)
��� (55, 77)
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
29
ÖRNEK:V�#������� ������ �������������U
x �y �
' ����V�&����,�����. �?
ÇÖZÜM:V�#����� �� ���� ���������,������������*[���8� ��������8�������
x �:�� �y �:� "
' ' �� x �y "
' ����V�'�������'�"� ��������V�&���'���&�"�'��$ ���
ÖRNEK:V�&���#����\�"���� ���������������� V&� ��
�]" ��'
���V�&����,�����. �^
ÇÖZÜM: V&� ��]" �
'V&� ��:"�]" ��:"
' ' ��
V�&���'��
������V�'�"��\�"�'��
��������'�/
V�&���'�"�&�/�'���$����
J$����� ��������� ����������� �+���� ���� �����
7���23�4� ��� ��)���������!��� �&�- | Çarpanlar ve Katlar
�� x ' "y �
�� V�'������������'�
�� x ' /y ��
�� V�'������������'�
��� ��V�'������ V�'������������'�
��� ��V�'������ V�'������������'�
��� "�V�'������ V�'������������'�
��� V�\���#����&������ ����� ��
V�]���&�
' ����
� ����������*J9���%���)
�� V�&���#����\�"���� ����� ��
V&��]"
' ����
� ����������*J����%���)
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
30
ÖRNEK:7�'��"�"�
��'�����" � �� ���� ������ � �?
ÇÖZÜM:7�� � ����.�!��� ���#��"$ ���
��� � ����.�!��� ���#���$����
7�#����� �� � ���� ����.�!� ����� � ��.���7�#����� �� ���� ����� ��
�� ����� ��������� ��� ��� ��)���������!��� �&�77���23�4
�������$�� ������ ������� ��������� � �&� +���� ������� � �����
��� 7�'�����"
� ��'�"����
��� =�'�����"
� 9�'������"�
��� 5�'�"���
� _�'����"�
��� `�'��"���
� )�'�""���
��� R�'��"�����
� d�'�"���/�
�������� ���� ���� >.?. $� >@?@, ������� �����
��� g�'��"��
� h�'�"���
� 5�W�1g��h2�'�?� 5RWR1g��h2�'�?
�� Y�'�""���
� i�'��"��
� 5�W�1Y��i2�'�?� 5RWR1Y��i2�'�?
!�� <�'��"��
� M�'�"����
� 5�W�1<��M2�'�?� 5RWR1<��M2�'�?
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
31
7���23�4� ��� ��)���������!��� �&�8 | Çarpanlar ve Katlar
ÖRNEK:�7� �������� � � � ������ � ���� ��������(�(��8�����7$� �������%������������� �!�� ��. �?
ÇÖZÜM:7��������8�������%�������� ���� ��
���]����]����]��"�]����]����]����]����]����]��/��(��
��� �*�����*������"$����� ��������������� ����(�(��.����(�� ����� �������#��"$���������-������������
`���������]��"�]����]��/�� �� ��� ��
7�� � �������%������������� �!�� �'���&�"�&���&�/�'���$����
�� �#������ �.��������� ��������� ��*.�������%����+���� �� �)
�� G�����+�� ��������� �����������- ��������� ��* � ����� ��% ����+���� �� �)
�� G�����+�� �K� ������������ �-����� ��� ��* K ����� ��% ����+���� �� �)
��� �� j� 9� j� ��� ����� ������� ��� ���� 9� � ���� ����� ��
.����� ��������% /��� �N ������$�����)
�� ��� ������ ��� � ������� %��&�+��# ��* �� ���� ���� ��& �+� �� ����%���)
��� �#������� ��������� �� � ��� �&���'��� � ���������������% /��� ������
� ��)
32
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
&9
�� A����������� �����(������� �-�������� ���)
72���������� �2���������/
=2���������� � 92����������
�� �������� ���� ����� (�������,��������������� ��������)
72����������� �2��������"�
=2�/������� � 92����������
�� �# � �� ���� ����������%�������������%���)
72��� �2���� =2��"� � 92����
��� �#������� ����������� ��� ��
a 8 10= ���9���%���)
72�/ � �2���� =2���� 92���
�� G�����+�� ���$������ ������ �-�������� ���� ��� ��� ���������� ����� ���� �� �-�� ��% ����+$�����)
72�/� �2��� =2��� 92��
��
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
E�� ��� $�� �� ���� ����� ��% ��-����������� ���� ��������� ���)
72��� �2�� � =2��� 92��
�
14
25
33
77
'�������� ������ $�� �� ���� ������� ���� �� �������� ��% ������� ��������� ����%/�� ����)
72�"� �2�� � =2��� 92��
!�� �V�#���&��� �� ���� ��������� ��� ��
�V ���&� "�
'
� ����������J����%���)
72��� �2��� =2��� 92���
"�
14
35
39
44
'�������� ���� ����� (���� � -����������� ����+���� �����- ��������� � ��)
72���� �2�"/� =2�"�� 92���
33
*�+�,�� ��������
����������� ����� ���������
�������� �� ��� � ����� ������� ���������� ��������������������� �����
�#�I. 22 . 32
II. 23 . 52
III. 32 . 72
IV. 33 . 5
'���������� %��&�� ��������� +������ ����� (��� �� ��� ��������� ���)
72�N�#��NO� �2�NN�#��NO
=2�N�#��NNN� 92�NN�#��NNN
���� �#������� ������ ��� ��
EBOB(a,b) + EKOK(a,b) = 36
.��� ���� �9� ����� ��������- �����(����� �� �)
72��� � �2��"� =2���� 92���
��� a ��b ��
' % ��� ""
'
� �#�����%�#������� ����������� ��� ��
.��� ���� a+cD�
/������ �����
��%���)
72� ���
� �2� ���
� =2� /��
� 92� ����
��� G�����+�� �"�$������� ������- ��������� ���� ��� ����������*��������%/��� �����+���� ��- �)
72��� �2�" � =2��� 92��
��� 74� ��7�#��R�� �� � ����.�!��� ���� �� 4�*[���#������4 ���
R
L
M
N
N
�
�
"
�
�
��
A
B
C
9
�
.�������(����(��/���+� ��-��������� ��������� ���)
72�7�����R� �2�������d
=2�=�����g� 92�9�����h
��� 7"�#��/7��������� ������� ��� ��
� 5�W�17"��/72�'��
� ������ ���� � ����� ��% /��� �����+���� �� �)
72��� �2�"� =2��� 92��
���
��-+2
� 7�� ����%������������� 8����������(�(�-�(��� ���� ��������������� � ��
.��� ���� �� ���������� %�$������ ���������%-+,��)
72���� �2��� � =2���� 92���
1. BÖLÜM
KONUNUN ÖZÜ����������� ����� ���������
34
Çarpanlar Katlar |
��
2 24 4
30 3 36
5 45 3
� M(�� ���� ����(�� �� � ���8�������� �����-������� �������*�!����� ���������( (-������� �� ��.�! � ��� �� 4 ��
� T������U�����"�����'�"�
�I
1 3
2
4 5
E��� � �� ������ �-�� ���� ����& �+���%���)
�I
3 30 2
60 40
a
E�� �������*���������%���)
��
36 cm2
50 cm2
52 cm2
40 cm2
� M(�� ���� ������ 8����� ������ � %�� %����-���������� �������(4�����(����.������-��� 8������ �� 4 ��
.��� ����* &��%� ��� ���� �� ��-�������� %�$�� ���� ��� �� �� ��%-+,��)
��� ����#��%�!��� �,� ��� �� �����8���U
� 5�W��1���2�'�"
� 5�W��1���%2�'��
� 5�W��1��%2�'��
.�������*�9�9-������%���)
��� �7�#������������� �� ��� ��
�� ������7���� ����� ��
�� ����������� ����� ��
� �� �7�� ����� �� ��������� ���
.��������� ������%/��� ��9.��-���$�����)
��
12 b15
a
24
35
O�'P.QRB�K�OP
� M(�� �� #������� � � �(��% ��� ���� ������� �������� �$���� �‘y�� ���� 1�� #�� � �*��2� ���� ����� � �� �� ���� �� �%� ���R�������� � 4 ����� � ��� #������� � ��� �(-�(��(�(� �����#���� (������ �� ��.�-! � � ���
.��������9���%���)
1. BÖLÜMKONUNUN ÖZÜ
����������� ����� ���������
35
| Çarpanlar ve Katlar
�� 2 cm
2 cm
Şekil - 1
105 cm235 cm2
15 cm2
� R����� � ��(�(��(��� �� ��� ���%���������$���������� ��� ����������� 8���4������������- �����#���(��� ���� � ��������������������� ��(�� ��#������4 �����(��� ����������������� �,��� ��������� �����.���!���%�$����� ��� �� �� ���! 4 � ����S�����]��$�����8���������� 8����� �����(4 (�(�%� ��
.��������������������������� �����/�� ���%����+����������)
� 72����� � � �2����� � � =2���� �� � 92��"�
�� g����#�������� � ������������������ ��� ���8�����! ��� � ����(� ��� ���8�����-����������������%�$����,�������� � ���74� ���(� ������8��������������4�� !������%��#������%���(#� ��� �����! �%���4�����������(4�������#����������#������4 ���
Zemin Birinci Duvar
210 cm
300 cm
İkinci Duvar
.�������*+��� ���+���$�������+�������� �����+����-��������+����� ������������+���$��������%����+�� ����)
� 72���� � � �2��� � � � =2���� � � 92���
36
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
&��
��� R������� 4 ����������� ��������������� ����������� �!�� �� � ���������������������(�� �� ��� � ���T������U����� � ���������� 4 ���������������������������#���$�����<�!�� � � ������������������������������� ����������� �!�� �� � ����������������������(�(��.������� �� ��� � ��
1. Kutu 2. Kutu
N����� � NN����� � NNN��"�� � NO����
'������������ ��������������� �� �������������� �������������� �����.�����������������%����$�����)
72��� � � �2��� � � =2�" � � �� 92��
�� ����� � ������.� ����, ���#���������������� 4�,�� �#��*����������� 4 �����������������[���������4� ��#������4 ���
Alış Fiyatı 40 TL
Kâr Oranı %30
ÇANTA
Alış Fiyatı 20 TL
Kâr Oranı %45
KALEM
Alış Fiyatı 30 TL
Kâr Oranı %50
DEFTER
.����� ���(������������������ � +�� ����� ��& �+ �� �������� ����� ��������* %���� $� ��- �+������+�������S�� �����-���������/������������% ���S�� ����+���)
72�"�� �2���
=2�/�� 92����
��
a 40 21b
c
56
30
O�'P.QRB�K�OP
� M(�� �� #������� � � �(��% ��� ���� ����������������$������������ 1��#�����*��2����������� ����� �%� ���R����-����� 4 ���#�������� ����(�(��(�(� ��-���#���� (������ �� ��.�! � � ���
.��������9�9-/������� �-� �-������� ����& �+���%���)
72�/�� �2���� =2���� 92���
37
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
��� ����.�, .���! �� � � �!�����������(%(��� �� � ���* ��% ������� ���� � � ��������������(��* ��% ���4 �����.��� ������*������ ���7�#��������8������������������ ��%�*����%�� ���
100 TL
60 TL A Gübresi% 24 Azot
50 kg
B Gübresi% 42 Azot
50 kg
� +�, .��*�8������ � ��%�*�������� ����� � �8�������� �� � ��(���� � ��� �!�� ���* ��% ������� ���� � � �� ����4 ��� � �8����������9*����������!%��4������� ��%�* ���(�(���.�, .���� � �8������.�������<d$�������������
.�������%/�%����+���������-(��������%ER��(�/�� ����+���&����)
72���� � � �2��� � � � =2�"�� � � 92���
��� 7�4��)� ��#��_ ��)� �������#���!����.���0 � ��%����#��7�� ��%����������� �� ����������� ���������� �������� ������ ������
DomatesCinsi
Sırık
Alakır
AlınanMiktar(Kg)
ÖdenenTutar(TL)
a
b
78
35
AyşeHanım
DomatesCinsi
Sırık
Alakır
AlınanMiktar(Kg)
ÖdenenTutar(TL)
c
d
54
65
FatmaHanım
'����������� ����*�*-*��������� ��������������-����+���� ����� ����-����+�������%����% �����+���&� ��)
72��/� � �2�"�� � � =2�"�� � � 92�"/
38
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
&-
��� 74� ��������� �����. ������������� � � ����(�%(�� � ��,�����(���� �#������4 ���
27 57 16
25 20
ATAKIMI
bTAKIMI
48 34 15
4926
.�+�%�������������-� �� /��+���+��� ������� ���������� %��&�� ��������& �+����������������������+�%��%����/��� ���+���)
72��"� � � �2���� � � =2��� � � � 92���
��� 74� ��7���#������$������� ������������ ������ ��� �%�!� ���,����� � �.����! ��� �������,�4�����#������4 ���
%30Peşinat Oranı
Ali Bey
Taksitli Ödeme Fişi
Müşteri Adı:
Cep Telefonu SatışLtd. Şti.
Aylık Taksit Tutarı 350
%40Peşinat Oranı
Berk Bey
Taksitli Ödeme Fişi
Müşteri Adı:
Cep Telefonu SatışLtd. Şti.
Aylık Taksit Tutarı 300
� )���������������! ��� �!�4������������������� �� ��������%���� ( �����4� ���
T����-�&�� �/������/�����###ER,������ ����������*� $�.���� ��� ���-�&�� �/���%���& �+��%ER���+���&�-�� ��)
72������ � �2����� � � � =2������� � 92�����
��� 7���������� �� ���� �������7�� ������ ���(����7��#���7�� �� ����� ������� ����������T������U�"��#���"�� �� ���� ������� ��� ��
.������������������� �����(�����+������� ������� ��)
72��"� � � �2���� � � =2��/� � � 92�/�
39
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
��
����� ���� �� ������ ����� ����-+����-������������+����� ����� ������������ ��&��+������/��� ������ ����������� �� �-����-+2$��#-+2� ����������*������������ �����%/��� ������� ��)
72��� �2��� =2�"� 92��
�� 1
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 3 4 5 6 7 8 9 10
21
98 99 100
� ���� �� ���$�������$�� �������� � ����� ����4� �����(���8�������� ����
� ��"$���� �������� �
� ���$���� ��������#���
� ���$����� �������� �� � ������ ����
.��� ���� �� ��� ��� ����-� �����������+����%����$�����)
72�/� �2���� =2���� 92���
�� 74� ���� �!�� �� �.���� ���� � � �� ������ �.�!��� ��� ����
A B
FD
HG I
E
C
� S�������*���������(��8� ������� �!(���(��- ����(���4�� � � �!(���(�� ������.��- ����T������U���� �7�� ������.�� ���
.�������.9N9P��%���)
72���� �2���� =2��/� 92���
�
18 m2 27 m2
30 m2
25 m2 35 m2
M(�� ������������������ 8�����.��������������*.�� ������ 8��� 4�������� ���������� �� � -����
.� ��������� ��� ����� ���� ��- ���+���� -���������� ��+ ����� ����������� ���$�� +������- �+ ���� �� �����& �+�������%+����������)
72�/�� �2����� =2����� 92����
40
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
&7
�� 15 cmA
A AA
A
30 cm
B
B
BB B
A AA
A
B
BB B
20 cm10 cm
� �������������������� � � ��(�� ����4�������7�#��������� ����������(4 (�(!��������� �������(��������� �*������4�� !��� �*������ �%���#����� �����4�(������%��4���������������������(�(��(�(�� ������������8���������4 �����%�� ���
.����������%�������� ���%�����$�.��������������� ��)
72���#������������������������������2����#�����������������������������=2����#��"��������������������������92�"��#����
��
1. Şekil 2. Şekil
9
42
32
35 49
11
L
K
� ���S���������� �������� �����������.��8����������4 �����������(�� ����� 4 � � !��� �4���������� ��������������4���������8����.��8����������4 ���������
.�������@9R�������� �����(����� �� �)
72��"� � � �2���� � � =2��"� � � 92���
41
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
�� ���� �����$������$��������(����-� � �� 4� ��� �� � #�� ��� 6��� ��(�%(� � ���8����������������� �������� �.������-���
� �(��8���� � ��U
� �7���(�%((���$���� ���� �� � �� ����
� �����(�%((���$��� ���� �� � �� ����
� �7���(�%((���$��� ���� �� � �� ����
� �����(�%((��"$��� ���� �� � �� ����
'������� $�� �� ��� ���� � $� .����-� ������� ���������� ����- ���/������%���)
72��� �2��� =2��� 92�"
��
A CB
� S��������� 7�� ��� =� ����������� birer �����(�(��(��� ��� ���%������������#��%$���
� 5�W��1��2�'�"
� 5�W��1��%2�'��
� 5�W��1�%2�'��
� ����������*��� �%�$���������%+������)
72�/�� �2�/�� =2�/�� 92�/�
��� �����4�� ���(�(�������(�(��(�(��"��%����������%��� �������������� ��������� ���� ������9����� 8���4�����������(���� ��(�(�������� �����������%��#����%��(�(��(�(��������� 8���4��-������������������������� ��� ����%��4���������4�(��������#��� �� ��8��������4� ����8���������4 �����%�� ���
8 cm 8 cm 8 cm
6 cm6 cm. . . . . .
. . . . . .
6 cm
.���� �+� ������(������� ���&����(������������������������������������������������� �� ���$�� ������ �����(����� ���� ���+��)
A) B)15 cm
15 cm 16 cm 24 cm
24 cm
36 cm
36 cm16 cm C) D)
42
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
&8
�� M� .! � ��(�(��(�(�����������.��������.�#�������$����� 7��������� ������.��������� .����8�������#�� ������������������������������������(��� ��� �"��%���"��
%��#�����%�������.�,��� ������� ������������
40 cm 35 cm 30 cm
� 7���"��%��#��"��%���� .!� ������� ������ ������������ �� (�� �������(�������������������
.�������� ����� �� ��������+���/���#-+����%�& ���� �� �������%�����������+�+ ��)
72��� � � �2��� � � =2�� � � � 92��
��� 74� �� #������� .�! �� ���(����� ��� %�!��� �,� ��� ��� ��
x
b
c
a b
18 m
n 30
.� ��� �������+9�,��� �-���
����%���������%���)
72���� �2���� =2��"� 92��/
��
A B C D
� ���� ����� �(�(��� �$���� "�$�� �����(����� � �� 4�"�� �!� � ���7�����=�#��9��( (�� �� �%� ����$����� ����������.����(��� � �!�7$���"$���� ����������.����(��� � �!��$�����$���� ����������.����(��� � �!�=$�����$����� ����������.��� �(��� � �!� 9$��� �%� ��� 9� �(- ((�� ���*��� �! �������� ���� �4������� ����� ���� �!��� �.��� �����-�%� ��� �(� �� �� "�� �(��� � �!(�� 9��( ((�� �� ����� �%�� ���
.��� ���� �� ������+ ������� .����������� �����������+��� ���&��������������������%���)
72���� �2���� =2���� 92���
43
Yeni Nesil Test����������� ����� ���������
�� $��� ���� ������������ � �������-�$�& �������
� �����(� ��������%�������$������$�������1��#������*��2��(�����#���������
� ��h(�� ��$����� ����������4����� �4����
� ��h(�� �"$���� ��������.����� �4����
� ��h(�� ��$���� ���������4����� �4����
�� .���������%�����-�������������� ��+�������)
72�/� �2���� =2���� 92���
�� .���������%�����-������ ����������� ��+�������)
72��� �2��� =2��� 92��
��28 cm2
32 cm2
42 cm2
� M(�� ������ � #������������� 8��������-8������� ����� (�(��(��� � ����� � �������(4�� � ��
.����������� ��� ����� �����%-+2��)
72���� �2���� =2���� 92���
�� <� �:��$�����$����������������� �-� ��.�! � ����,� �������������#���������-������8� �������
� T������U����'����"�������'���
� �����������������'����������"�������'����
.��������U����������+�� ����� ���� ������& �+�� � �����������,�� � �� �-�� ����� �� ��& �+���%���)
72���� �2���� =2�"� � 92���
!�� 74� ��7��$����.� � ����� �*�����4�,����#������4 ���
9 9 9 90 0 0 01 1 1 1
� �(� .� � �� 4�,��� ������� 4��������� 8������(!� (4���4� ������(�*���� �� ��������/���������������������4���������(�� ������(�*���� �� ��������������"�������/����4����������������� ������
� 9�� �*�����Rdgh�4�,�����.��U
� ��Rd�#��gh��������� �� �� � ��5�W�$(���$����
� ��d�#��g������ ���� ����� ��
.��� ���� ���� �� �-�� �� �����@RB<�/������+��%�####��-��+����� ����� ��������%��/�(���������� +� ��)
72��� �2�� � =2�/� 92���
NOTALINIZ
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������