Szilrdsgtan ttelsor

Szilrdsgtan ttelek21.A feszltsg fogalma, a feszltsgi llapot22.Tetszleges skhoz tartoz feszltsgvektor jellemzse, feszltsgi tenzor23.Ffeszltsgek s feszltsgi firnyok24.Alakvltozs, relatv szgvlts25.Alakvltozsi llapot jellemzse, deformcivektor26.Fnylsok s alakvltozsi firnyok27.Hajltsbl szrmaz alakvltozs, tblzatos mdszer28.Hajltsbl szrmaz alakvltozs, Mohr mdszer29.Rugalmas gerenda differencilegyenlete30.Nyrsbl szrmaz deformci szmtsa31.Klpontos hzs, nyoms. Magidom32.Az alakvltozsi energia33.Hatrozatlan szerkezetek Castigliano tteleinek alkalmazsa34.Hatrozatlan szerkezetek ermdszer (trzstartk mdszere)35.Hatrozatlan szerkezetek Clapeyron egyenletek

21. A feszltsg fogalma, a feszltsgi llapot

22. Tetszleges skhoz tartoz feszltsgvektor jellemzse, feszltsgi tenzor(tfeds van 21, 22, s 23 kztt)

FeszltsgvektorAz anyag rszecski hatst, bels erket gyakorolnak egymsra. E bels erk nagysga s megoszlsa a test klnbz helyein ms s ms lehet. Egy egyenslyi errendszerrel terhelt test valamely bels P pontjban annak kis krnyezetben hogyan oszlanak meg a bels erk?

Vgjuk t gondolatban a testet egy a P-n tmen tetszleges S1 skkal, s tvoltsuk el a test jobbra lev rszt. A megmaradt bal oldali rsz egyenslynak fenntartshoz a metszetfelleten azt a megoszl errendszert kell mkdtetni, melyet az eltvoltott rsz gyakorolt re az tvgst megelzen. A harmadik bra azt szemllteti, hogy a P ponton tmen (ugyancsak tetszleges) S2 skkal a bels erk egy msik rendszert trhatjuk fel. A kt brarszlet S1 illetve S2 skjt egy-egy olyan egysgvektorral is megadhatjuk, melyek a skokra merlegesek s a skok ltal kettosztott trnek a testet nem tartalmaz rszbe mutatnak. Vegyk az S sk P-t tartalmaz, A terlet darabjra hat bels erk eredjt, B-t. Azonban nem tudjuk, hogy mekkora terleten megoszl erk eredjt jellemzi.A P-beli viszonyok pontos jellemzsre adott esetn a mennyisg, a P-tl s -tl egyarnt fgg feszltsgvektor alkalmas. A

Feszltsg mrtkegysge: . A feszltsg nem tvesztend ssze az ignybevtellel. Az ignybevtel egy metszetre, a feszltsg pedig a metszet egy pontjra vonatkozik. Adott ponton tmen klnbz skokhoz klnbz feszltsgvektorok (), s adott sk klnbz pontjaihoz is ltalban klnbz feszltsgvektorok tartoznak ().

Feszltsg komponensek

A feszltsgvektornl klnsen fontos a normlissal egyez lls s az arra merleges, vagyis a metsz skba es sszetevkre trtn felbonts.

Legyen az normlvektor (P-t tartalmaz) sk s az sk metszsvonalban felvett egysgvektor . Ekkor felbonthat a kvetkezkppen: , ahol a normlis feszltsg, a nyr, vagy cssztat feszltsg. A s feszltsgkomponenseket gyakran szintn gy nevezik.Kapcsolat a feszltsgvektorok kzttMilyen kapcsolat ll fenn egy adott ponthoz tartoz klnbz feszltsgvektorok kztt?

Ttel: A szilrd test tetszleges P pontjn ttett, hrom egymsra merleges skhoz tartoz feszltsgvektorok a P-n tmen brmely tovbbi skhoz rendelt feszltsgvektort meghatrozzk.

Ha a ttelben szerepl merleges skok meghatrozta bzisvektor koordinta rendszerben a tetszleges sk normlvektornak koordinti nx, ny, nz, akkor

FeszltsgllapotA P-beli feszltsgllapot ismerete azt jelenti, hogy tetszleges, P-bl indul normlvektorhoz meg tudjuk hatrozni a hozztartoz -t. A feszltsgllapotot a vizsglt ponthoz tartoz feszltsgvektorok sszessgeknt is definiljk. A feszltsgllapot meghatrozshoz szksges hrom feszltsgvektor szemlltetse az brn lthat. Az brzolsi md lnyege: P krnyezetben egy kicsiny lhosszsg tglatest lapjain szemlltetjk a feszltsgkomponenseket. Elenysz lhosszsgok esetn a koordinta-skokkal prhuzamos hasblapokon bred feszltsgek azonosnak tekinthetk a P-hez tartoz feszltsgekkel.

Feszltsgtenzor, dualits ttele

A felcserlt index nyrfeszltsgeknek egyenlnek kell lennik az egyensly fenntartsa rdekben. gy a feszltsgtenzor 6 fggetlen adattal adhat meg.

, ahol a felcserlt index nyrfeszltsgek egyenlk.

Feladat:

Adott , ; Keressk

; ; ;

Adott , ; Keressk

; ;

Feszltsgllapot adott pontbanA test tetszleges P pontjn tmen skhoz kpest a feszltsgvektor ltalban nem klnleges helyzet (a. bra). Lehetsges azonban a P-n tmen skok kztt olyat is tallni, melyhez kpest specilis helyzet (vagy mret) tartozik. A b. brn merleges a P-n tmen skra, a c. brn pedig a skhoz feszltsgvektor tartozik. Mindkt esetre igaz, hogy . A P-n tmen, ilyen tulajdonsggal rendelkez skok a ffeszltsgi skok.

Ttel: Tetszleges feszltsgllapot esetn a vizsglt ponton tmen skok kztt mindig tallhat legalbb hrom, egymsra merleges feszltsgi sk.

Ha hromnl tbb ilyen sk van, akkor vgtelen sok van. A ffeszltsgi skokhoz tartoz neve ffeszltsg. A legltalnosabb esetben hrom klnbz ffeszltsg ltezik. Az

(algebrai rtelemben) egyms utn kvetkez hrom ffeszltsget gy jelljk: . A feszltsgllapotokat mrmost a kvetkezkppen osztlyozhatjuk:

Trbeli feszltsgllapot: mindhrom feszltsg zrustl klnbzik,

Skbeli feszltsgllapot: kt ffeszltsg klnbzik zrustl,

Egytengely feszltsgllapot: egy ffeszltsg klnbzik zrustl.A szilrd test brmely pontjban felvehetnk hrom olyan egymsra merleges egysgvektort, melyek ffeszltsgi skok normlvektorai. A hrom bzisvektor ltal kijellt koordinta-rendszer tengelyeit. A feszltsgi ftengelyeket jelljk gy, hogy az 1,2,3 jel tengelyekhez a ffeszltsgek tartozzanak. Trbeli feszltsgllapot esetn az -hez tartoz feszltsgvektor . 23. Ffeszltsgek s feszltsgi firnyok

(tfeds van 21, 22, s 23 kztt)

Feladat: Ffeszltsgek meghatrozsaInvarinsok:

( 3 eredmny (

Feladat: Feszltsgi firnyok meghatrozsa

Kiszmolni mind a 3 ffeszltsggel

24. Alakvltozs, relatv szgvlts

(tfeds van 24, 25, s 26 kztt)Alakvltozsi jellemzk:

Vegynk fel a szilrd test valamely P pontjnak szk krnyezetben egy tetszleges helyzet A pontot, melynek helyt az elemi hosszsg r helyvektorral adjuk meg. A deformci utn az A pont a P ponthoz kpest a r helyvektor A' pontba kerl. Ha a r helyvektor hosszt elg kicsinek vesszk gy is fogalmazhatunk, hogy az alakvltozs sorn a r vektor a r vektorr transzformldik. A =r - r vektor nyilvnvalan jellemz a P pont krnyezetnek alakvltozsra, ezrt torzulsvektornak nevezzk. A torzulsvektor s r hnyadosnak r 0 tmenettel kpzett hatrrtke a deformci vagy alakvltozsi vektor.

A vektor nyilvnvalan jellemz a P pont krnyezetnek alakvltozsra, ezrt torzulsvektornak nevezzk. A torzulsvektor s hnyadosnak (0 tmenettel kpzett hatrrtke a deformci vagy alakvltozsi vektor:

Az n index a vektorral azonos irnyts egysgvektorra utal.

A deformcivektor a nagyon kicsi, de egysgnyi hosszsg irnyvektorhoz tartoz torzulsvektor. Egy adott n irnyhoz a szilrd test minden pontjhoz rendelhet egy deformcivektor, amelyet az vektor-vektor-fggvnnyel adhatunk meg.

Az alakvltozsi vektort - hasonlan a feszltsgvektorhoz - felbonthatjuk egy n irny s egy arra merleges sszetevre:

Fajlagos hosszvltozs: egy l hosszsg elem deformci sorn elszenvedett l hosszvltozsnak s eredeti hossznak hnyadosa (pozitv, ha az alakvltozs sorn az elem hosszabb, negatv, ha rvidebb lesz).A P pontban felvett n egysgvektor fajlagos hosszvltozsa:

Az s az vektorok ltal bezrt szg:

A deformcivektor irny vetlete az adott irnyhoz tartoz fajlagos hosszvltozs, -re merleges vetlete pedig az egysgvektor deformci sorn szenvedett szgelfordulsa.

dimenzi nlkli mennyisgek.

Mi gy hasznltuk:

25. Alakvltozsi llapot jellemzse, deformcivektor

(tfeds van 24, 25, s 26 kztt)

Alakvltozsi (deformcis) tenzor:

Az oszlopokban az x, y, z irnyokhoz tartoz alakvltozsi vektorok komponensei tallhatk. Az sszefggst mtrix alakban is felrhatjuk:

Vagy szimbolikus jellssel:

Az alakvltozsi tenzor szimmetrikus, azaz , a mtrixreprezentciban a ftlra szimmetrikus elemek pronknt megegyeznek. Az alakvltozsi tenzor teht 6 fggetlen adattal jellemezhet.

Ttel: A test egy pontjnak alakvltozsi llapott az alakvltozsi tenzor, illetve annak komponensei egyrtelmen meghatrozzk.

Az alakvltozsi llapotokat a falakvltozsok segtsgvel osztlyozhatjuk.

Trbeli: ha mindhrom falak-vltozs klnbzik nulltl

Skbeli: ha csak egy falakvltozsi komponens nulla. Tetszleges irnyhoz tartoz

deformcivektor benne van az alakvltozsi fskban.

Lineris: ha kt falakvltozsi komponens nulla. Tetszleges irnyvektorhoz tartoz deformci-vektor az alakvltozsi ftengelybe esik.

26. Fnylsok s alakvltozsi firnyok

(tfeds van 24, 25, s 26 kztt)

FalakvltozsokAz deformcivektor ltalban egy irny s egy erre merleges irny komponensre bonthat. Ha s egysgvektorok, akkor

s

Ttel: Adott pont brmely alakvltozsi llapota esetn mindig tallhat hrom, egymsra merleges irny, amelyekre az a jellemz, hogy a hozzjuk tartoz deformcivektoroknak csak normlis irny sszetevje van. Ezek az alakvltozsi firnyok.

Az alakvltozsi firnyok ltal alkotott hrom, egymsra merleges skot alakvltozsi fskoknak nevezzk. Rendszerket koordintarendszerknt is hasznlhatjuk.

Ebben a rendszerben az alakvltozsi llapot tenzorkomponensei kzl csak az azonos indexek klnbznek nulltl.

Mtrixreprezentciban:

Ilyenkor a tenzornak csupn hrom fggetlen komponense van. Nem elegend hrom falakvltozsi komponens ismerete, azt is tudni kell, hogy egy nknyesen felvett, x, y, z koordintarendszerhez kpest az 1,2,3 jel ftengelyrendszer hogyan helyezkedik el. A hrom firny megadshoz szintn hrom adatra van szksg. Az alakvltozsi llapot jellemzse teht minden esetben 6 adattal trtnik.

Alakvltozsi firnyok/fnylsok skbeli esetre: a sajtvektorok irnyaiban nincs nyrs, csak hzs s nyoms. Ktdimenzis tenzorok esetn:

deformcivektor ( a szgvltozs)

Feladat: Adott ;

(

(

27. Hajltsbl szrmaz alakvltozs, tblzatos mdszer

Szls rtkek kiszmolsa

s y Mohr mdszerrel meghatrozhat.

Plda

ahol

, ahol

A tartk ignybevtelt figyelembe vve, tblzatokbl kinzhetjk az y, E, I, rtkeket.28. Hajltsbl szrmaz alakvltozs, Mohr mdszer

A nyomatki brt, mint terhelst fel kell tenni a tart helyettest tartjra, s a nyomatki rtkeket el kell osztani E*I-vel, azaz a tart merevsgvel.

Mint statikai feladatot megoldva a tart nyrer brja az eredeti bra szgelfordulsi brjt (), a nyomatki brja az eredeti bra lehajlsi brjt(y) adja.

Befogott tart helyettest tartja az ellenttes oldali befogs.29. Rugalmas gerenda differencilegyenlete

A rd alak tart tengelye a tartra hat erk hatsra deformldik. Mivel ltalban skban terhelt tartkkal foglalkozunk, mondhatjuk, hogy a tart deformldott tengelyvonala a rugalmas vonal skgrbe. Fel kell rnunk a rugalmas vonal egyenletnek felrsra.

A rugalmas vonal valamely pontjban a grblet s a krdses pontban rvnyes hajlt nyomatk kztt a kapcsolat:

A skgrbk grbleti viszonyaira vonatkozlag:

- a differencilhat y= f(x) egyenlet skgrbe grblete:

- a grblet eljelt akkor vesszk pozitvnek, ha az y tengellyel szembenzve a krdses pontban a grbe konkv (bra)

A koordinta rendszert a szoksos mdon felvve azt mondjuk, hogy y geometriai jelentse: a rugalmas vonal rintjnek irnytangense (avagy szgelforduls fggvny, y pedig a lehajls fggvny)

Mivel rd alak tartk tengelyvonala a terhels hatsra csak igen kevss deformldhat, y s ennek ngyzete elhanyagolhat. A grblet szmtsra szolgl differencilegyenlet teht j kzeltssel gy rhat: .

A grblet mechanikai adatokkal kifejezve a rugalmas vonal differencilegyenlett kapjuk:

Koordinta-rendszernk megvlasztsa s a hajlt nyomatk rtelmezse folytn, pozitv hajlt nyomatk esetn negatv grblet rugalmas vonal alakulna ki, a kplet teht eljelhibval adn a grbletet. Hogy ezt a hibt elkerljk M-t negatv eljellel vesszk.

Alkalmazsa:

Eredeti clunkat vagyis a rugalmas vonalat ler fggvny meghatrozst az differencilegyenlet egymst kvet kt integrlsval rhetjk el.

Az els integrls utn megkapjuk az yy (x) fggvnyt, mely a rugalmas vonal x koordintj pontjhoz hzott rint irnyszgnek tangenst, ill. j kzeltssel az irnyszgt adja meg. Ez egyben az x koordintj szelvny elfordulsi szge is.

A msodik integrls mr magt a rugalmas vonal egyenlett szolgltatja.

A rd klnbz szakaszaira nem mindig ugyanaz a differencilegyenlet rvnyes. Az integrls eredmnyekppen nyert fggvnyre bizonyos feltteleknek kell teljeslnik.

Plda:

rjuk a konzoltart rugalmas vonalnak differencil egyenlett, a rugalmas vonal egyenlett, a jobb oldali vgpont elmozdulst s a vgkeresztmetszet elfordulst! Adott: l, E, I. A, F.

A rugalmas vonal differencilegyenlethez szksg van a hajlt nyomatk fggvnyre: Ez a teljes tarthosszon rvnyes.

A differencilegyenlet teht:

, ahol 0