Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi - Anugerah Firdauzi · PDF fileDalam domain waktu : c e sin 1 t (t 0) c(t) a a e b e cos 1 t 2 k k r k 1 k kt k 2 k k r k 1 k kt k q j 1 pjt j +

Bab 4: Analisis Sistem Kendali EL303: Sistem Kendali

___________________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 24

♦ Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi

§ Sistem Orde-3 :

)10()ps)(s2s(

P

)s(R

)s(C2nn

2

2n <<

+++= ζ

ωζωω

Respons unit stepnya:

{} )0t(

1)2(

et1sin

1

]1)2([

t1cos)2(1)2(

e1)t(c

2

pt

n2

2

2

n22

2

tn

≥+−

−−−

+−+

−−+−

−=

−

−

ββζωζ

ζβζβζ

ωζββζββζ

ζω

dengan:

n

p

ζωβ =

Mengingat:

0)1()1(1)2( 2222 >−+−=+− ζβζββζ

maka suku yang mengandung e-pt selalu negatif .



Respons Transient Sistem Orde Tinggi:

Fungsi alih loop tertutup:

)s(H)s(G1)s(G

)s(R)s(C

+=

Secara umum:

)s(d)s(n

)s(H;)s(q)s(p

)s(G ==

Diperoleh:

)nm(asasasa

bsbsbsb

)s(n)s(p)s(d)s(q

)s(d)s(p

)s(R

)s(C

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0 ≤++++++++

=

+=

−−

−−

L

L

Dengan menghitung pole-pole dan zero-zero nya, diperoleh:

)ps()ps)(ps(

)zs()zs)(zs(K

)s(R

)s(C

n21

m21

++++++

=L

L

Untuk pole-pole yang berbeda, diperoleh tanggapan unit stepnya:

∑= +

+=n

1i i

i

ps

a

s

a)s(C

• Pole dan zero yang berdekatan akan saling melemahkanpengaruhnya.

• Pole yang sangat jauh dikiri bidang s memiliki pengaruh yangkecil pada tanggapan waktu alih.

Bila sistem memiliki pole nyata dan kompleks sekawan, maka :



∏ ∏

∏

= =

=

+++

+=

q

1j

r

1k

2kkk

2j

m

1ii

)s2s()ps(s

)zs(K

)s(C

ωωζ



Bila semua pole-polenya berbeda, maka:

∑ ∑= = ++

−+++

++=

q

1j

r

1k2kkk

2

2kkkkkk

j

j

s2s

1c)s(b

ps

a

sa

)s(Cωωζ

ζωωζ

Dalam domain waktu :

)0t(t1sinec

t1cosebeaa)t(c

2kk

r

1k

ktkk

2kk

r

1k

ktkk

q

1j

pjtj

≥−+

−++=

∑

∑∑

=

−

=

−

=

−

ζω

ζω

ωζ

ωζ

Kurva tanggapan orde tinggi : gabungan dari sejumlah kurvaeksponensial dan kurva sinusoidal teredam:

• Pole-pole loop tertutup menentukan tipe tanggapan waktu alih.• Zero-zero loop tertutup menentukan bentuk tanggapannya.



♦ Pole-pole Loop Tertutup Dominan:

• Orde tinggi seringkali didekati dengan orde-2 untuk

memudahkan analisis.

• Pendekatan ini dapat dilakukan bila ada sepasang pole

dominan terhadap pole-ple lainnya.

• Suatu pole A disebut dominan terhadap pole B bila

perbandingan bagian real nya minimal 1 : 5 dan tak ada zero

didekatnya.

• Pole loop tertutup dominan seringkali muncul dalam bentuk

pasangan kompleks sekawan.

Pole P2 dominan terhadap P2 bila :

5

1

2

1 ≤σσ



♦ Kestabilan Sistem

• Semua pole loop tertutup harus berada disebelah kiri sumbu

imajiner.

• Pole-pole pada sumbu imajiner membuat sistem berosilasi

dengan amplitudo tetap, sehingga harus dihindari.

• Kestabilan sistem tak dipengaruhi oleh input, tetapi oleh

sifatnya sendiri.

• Semua pole loop tertutup berada disebelah kiri bidang s belum

menjamin karakteristik transient yang memuaskan.

• Bila pole dominan terlalu dekat dengan sumbu imajiner,

timbul osilasi berlebihan atau tanggapannya menjadi lambat.



o ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK

§ Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak

untuk jenis input tertentu..

§ Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step,

mungkin memiliki galat untuk input ramp.

§ Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka)

sistem ybs.

♦ Klasifikasi Sistem Kendali

§ Sistem kendali dapat dikelompokkan terhadap

kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola,

dst.

§ Input sebenarnya pada sistem seringkali merupakan

kombinasi input-input tersebut.

§ Besarnya galat terhadap setiap jenis input tersebut

merupakan indikator kebaikan (goodness) sistem tersebut.



Bentuk umum fungsi alih loop terbuka:

)1sT()1sT)(1sT(s

)1sT()1sT)(1sT(K)s(H)s(G

p21N

mba

++++++

=L

L

§ Ada N buah pole loop terbuka di titik asal pada bidang s.

§ Sistem diatas disebut bertipe N ( N=0, 1, 2 ).

§ Tipe sistem berbeda dengan orde sistem !

§ Bila tipe sistem bertambah, maka ketelitiannya

meningkat pula.

§ Kenaikan tipe sistem akan menimbulkan masalah

kestabilan sehingga perlu kompromi antara kestabilan

dan ketelitian keadaan tunak.

§ Tipe maksimum sistem umumnya 2.



Galat Keadaan Tunak

Fungsi alih loop tertutup :

)s(H)s(G1

)s(G

)s(R

)s(C

+=

dan :

)s(H)s(G1

1

)s(R

)s(H)s(C1

)s(R

)s(E

+=−=

Diperoleh :

)s(R)s(H)s(G1

1)s(E

+=

Galat keadaan tunak:

)s(H)s(G1

)s(sRlim)s(sElim)t(elime

0s0stss +

===→→∞→

§ Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat

statik.

§ Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya.

§ Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan,

percepatan, dst.

§ Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu,

dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap

waktu.



♦ Konstanta Galat Statik

)0(H)0(G1

1

s

1

)s(H)s(G1

slime

0sss

+=

+=

→

Konstanta galat posisi statik:

)0(H)0(G)s(H)s(GlimK0s

p ==→

Sehingga galat keadaan tunak :

pss K1

1e

+=

Untuk sistem tipe 0:

K)1sT()1sT(

)1sT)(1sT(KlimK

21

ba

0sp =

++++

=→ L

L

Untuk sistem tipe 1 atau lebih:

)1N()1sT()1sT(s

)1sT)(1sT(KlimK

21N

ba

0sp ≥∞=

++++

=→ L

L

Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Step:

K1

1ess +

= untuk sistem tipe 0

0ess = untuk sistem tipe ≥1



Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Ramp:

)s(H)s(sG

1lim

s

1

)s(H)s(G1

slime

0s

20sss

→

→

=

+=

Konstanta galat kecepatan statik :

)s(H)s(sGlimk0s→

=υ


υK

1ess =

Untuk sistem tipe 0 :

0)1sT)(1sT(

1sT)(1sT(sKlimk

21

ba

0sv =

++++

=→ L

L

Untuk sistem tipe 1 :

K)1sT)(1sT(

1sT)(1sT(sKlimk

21

ba

0sv =

++++

=→ L

L

Untuk sistem tipe 2 atau lebih :

)2N()1sT)(1sT(s

1sT)(1sT(sKlimk

21N

ba

0sv ≥∞=

++++

=→ L

L

∞==υK

1ess for type 0 systems

K

1

K

1ess ==

υ

for type 1 systems



0K

1ess ==

υ

for type 2 or higher systems



§ Pengertian galat kecepatan pada Kv menunjukkan galat

posisi untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan.

§ Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada

keadaan tunak.

§ Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun

memiliki galat posisi pada keadaan tunak.

§ Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp

tanpa menimbulkan galat pada keadaan tunak.



Input unit parabola/akselerasi:

2

t)t(r

2

= for 0t ≥

0= for 0t <

Galat keadaan tunaknya:

)s(H)s(Gslim

1

s

1

)s(H)s(G1

slime

2

0s

30sss

→

→

=

+=

Konstanta galat percepatan statik:

)s(H)s(GslimK 2

0sa →=


ass K

1e =



Konstanta Galat Percepatan Statik :

For a type 0 system,

0)1sT)(1sT(

)1sT)(1sT(KslimK

21

ba2

0sa =

++++

=→ L

L


0)1sT)(1sT(s

)1sT)(1sT(KslimK

21

ba2

0sa =

++++

=→ L

L


K)1sT)(1sT(s

)1sT)(1sT(KslimK

212

ba2

0sa =

++++

=→ L

L

For a type 3 or higher system,

)3N()1sT)(1sT(s

)1sT)(1sT(KslimK

21N

ba2

0sa ≥∞=

++++

=→ L

L

Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola:

∞=sse for type 0 and type 1 systems

K

1ess = for type 2 systems

0ess = for type 3 or higher systems



§ Pengertian galat percepatan pada Ka menunjukkan galat

posisi untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan.

§ Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola

pada keadaan tunak.

§ Sistem tipe 2 mampu mengikuti input parabola, meskipun

memiliki galat posisi pada keadaan tunak.



♦ Hubungan antara Integral Galat pada Input Stepdan Galat Keadaan Tunak pada Tanggapan Ramp.

Definisikan:

)s(Edt)t(e)]t(e[L0

st =∈= ∫∞ −

Maka:

)s(Elimdt)t(edt)t(elim0s00

st

0s →

∞∞ −

→==∈ ∫∫

Ingat:

)s(H)s(G1

1

)s(R

)s(C)s(H1

)s(R

)s(E

+=−=

Sehingga:

+

=→

∞

∫ )s(H)s(G1

)s(Rlimdt)t(e

0s0

Untuk input unit step :

υK

1

)s(H)s(sG

1lim

s

1

)s(H)s(G1

1limdt)t(e

0s

0s0

=

=

+

=

→

→

∞

∫

= steady-state actuating error in unit-ramp response

Dengan demikian :

ssr0edt)t(e =∫

∞

dengan : e(t) = galat untuk tanggapan unit step

essr = galat keadaan tunak untuk tanggapan unit

ramp



§ Bila essr = 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali.Hal ini menunjukkan bahwa sistem dengan ∞=vK akan munculminimal sekali overshoot bila diberi input step.



o ANALISIS KEPEKAAN

§ Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen

penyusunannya merupakan ukuran ketergantungan

karakteristiknya terhadap komponen tersebut.

,)s(Kinchange0

0

)s(Tinchange00

)s(KInd

)s(TInd)s(ST

K ==

dengan:

)s(R/)s(C)s(T =

Definisi kepekaan lain:

)s(K/)s(dK

)s(T/)s(dT)s(ST

K =

§ Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan

dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s)

yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s).

§ Definisi diatas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil.

§ Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi.

§ Sistem ideal memiliki kepekaan nol terhadap setiap parameter.



Pandang sistem kendali sbb:

Fungsi alih loop tertutup:

)s(GK1

)s(GK

)s(R

)s(C)s(T

2

1

+==

dengan: K1 : fungsi alih transducer input

K2 : fungsi alih tranducer balikan

G(s): gabungan fungsi alih amplifier, rangkaian stabilisator, motor dan roda gigi pada lintasan maju.



♦ Kepekaan Sistem terhadap K1:

1

1

11

T

1K dK)s(dT

)s(TK

K/dK)s(T/)s(dT

S ==

dengan:

111 K

)s(T

)s(GK1

)s(G

dK

)s(dT=

+=

Sehingga:

1K

)s(T

)s(T

K)s(S

1

1T

1K ==

§ Setiap perubahan karakteristik pada K1 langsung berpengaruh

pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan.

§ Elemen yang digunakan untuk K1 harus memiliki karakteristik

presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

♦ Kepekaan Sistem terhadap K2:

2

2

22

T

2K dK)s(dT

)s(TK

K/dK)s(T/)s(dT

)s(S ==

dengan:

2

21

22

1

2

2

2

1

2 )]s(GK1[K

)s(GK

)]s(GK1[

)s(GK0

dK

)s(dT

+−

=+−

=

Sehingga:



)s(GK1

)s(GK

)]s(GK1[K

)s(GK

)s(T

K)s(S

2

2

2

21

22

12T

2K +−

=+

−=



Untuk nilai frekuensi dengan K2G(s)>>1, maka:

1)s(ST

2K −=

§ Setiap perubahan karaktersitik pada K2 langsung berpengaruh

pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan.

§ Elemen yang digunakan untuk K2 harus memiliki karakteristik

presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

§ Tanda minus menunjukkan arah perubahan karakteristik

komponen dan sistem berlawanan.

♦ Kepekaan Sistem terhadap G(s):

)s(dG

)s(dT

)s(T

)s(G

)s(G/)s(dG

)s(T/)s(dT)s(ST

)s(G ==

dengan:

22

1

22

2112

)]s(GK1[K

)]s(GK1[K)s(GKK))s(GK1(

)s(dG)s(dT

+=

+−+

=

Sehingga:

)s(GK1

1

)]s(GK1[

K

)s(T

)s(G)s(S

2

2

2

1T

)s(G +=

+−

=

§ Agar kepekaan sistem terhadap komponen G(s) kecil, perlu

dirancang agar K2G(s) sebesar-besarnya, tetapi tak perlu

presisi.



§ Kepekaan sistem tergantung pada frekuensi, sehingga sistem

peka atau tidak terhadap G(s) hanya pada cakupan frekuensi

tertentu saja.

Documents

Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi - Anugerah Firdauzi · PDF fileDalam domain waktu : c e sin 1 t (t 0) c(t) a a e b e cos 1 t 2 k k r k 1 k kt k 2 k k r k 1 k kt k q j 1 pjt j +