Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniera Qumica Carrera de
Ingeniera Qumica
Materia: Matemticas III (304)
Tema Investigativo: Calculo y Fracciones Parciales
Integrantes:Berenisse FigueroaMaria Jose Hansen VikKasandra
MoraKatherine Romero Kevin Rosales Segovia
Profesor: Ing. Qco. David Muoz.
Tercer Nivel A
INDICE
Introduccin... 2 Calculo 4 Calculo Infinitesimal. 6 Calculo
Diferencial... 7 Calculo Integral. 9 Fracciones Parciales 10
Ejemplo de Fracciones Parciales. 13 Bibliografa ... 15
INTRODUCCION
Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de
encontrar la mejor forma de hacer algo. Por ejemplo, un granjero
necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la ms apropiada para
producir la mayor ganancia. Un mdico desea seleccionar la menor
dosis de una droga que curara cierta enfermedad. A un fabricante le
gustara minimizar el costo de distribucin de sus productos. Algunas
veces un problema de este tipo puede formularse de modo que
implique maximizar o minimizar una funcin en un conjunto especfico.
Si es as, los mtodos de clculo proporcionan una herramienta
poderosa para resolver el problema.La mayora de las operaciones
matemticas con que trabajamos vienen en pares de inversas: suma y
resta, multiplicacin y divisin, elevacin a potencias y extraccin de
races. En cada caso, la segunda operacin deshace la primera y
viceversa. Una razn para nuestro inters en las operaciones inversas
es su utilidad en la resolucin de ecuaciones.El clculo constituye
una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una
vez construido, la historia de la matemtica ya no fue igual; la
geometra, el lgebra y la aritmtica, la trigonometra, se colocaron
en una nueva perspectiva terica. Detrs de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teora, existe, indudablemente, la evolucin
de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante
prestar atencin en el bagaje de conocimientos que se acumula,
desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn
momento en particular y a travs de alguna persona en especial, al
nacimiento de una nueva idea, de una nueva teora, que seguramente
se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado
actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento.Es
por ello a que a manera ms simplificada a un universo de
innumerables ideas podemos asegurar como eternos estudiantes que
calculo desde sus comienzos, transformaciones e innovaciones como
tal se puede establecer exactamente como una tesis irrevocable de
que El clculo es la matemtica del cambio, y la principal
herramienta para estudiar las razones de cambio en un proceso como
tal1
DESARROLLO DE LA INVESTIGACION
El clculo diferencial es la rama de las matemticas que comprende
el estudio y aplicacin del clculo diferencial y del clculo
integral. El clculo diferencial se origina en el siglo XVII al
realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la
velocidad de los cuerpos al caer al vaco ya que cambia de un
momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,
teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo
infinitesimalmente pequeo.En 1666, el cientfico ingls Isaac Newton
fue el primero en desarrollar mtodos matemticos para resolver
problemas de esta ndole. Casi al mismo tiempo el filsofo y
matemtico alemn Gottfried Leibniz realizo investigaciones similares
e ideando smbolos matemticos que se aplican hasta nuestros das.
Destacan otros matemticos por haber hecho trabajos importantes
relacionados con el clculo diferencial, sobresale entre otros,
Pierre Fermat matemtico francs, quien en su obra habla de los
mtodos diseados para determinar los mximos y mnimos acercndose casi
al descubrimiento del clculo diferencial. Dicha obra influencio a
Leibniz en la investigacin del clculo diferencial.Fermat dejo casi
todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella poca era comn
entr los matemticos el plantearse problemas unos a otros, por lo
que frecuentemente se ocultaba el mtodo propio de solucin, con el
fin de reservarse el xito para si mismo y para su nacin; ya que
haba una gran rivalidad entre los franceses, alemanes y los
ingleses, razn por la que las demostraciones de Fermat se hayan
perdido. Los procesos generales y las reglas prcticas sencillas del
clculo diferencial se deben a Newton y a Leibniz; sin embargo, por
ms de 150 aos el clculo diferencial contino basndose en el concepto
de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases ms
firmes y lgicas al margen de lo infinitamente pequeo. l calculo
diferencial se ha ido desarrollando a travs de los aos,
consolidndose en una herramienta tcnico-cientfica que se utiliza en
el anlisis de procesos que contienen magnitudes en constante
cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones qumicas, los
cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y econmicos de las
naciones, en la astronoma, la estadstica, etc. A Newton y a Leibniz
se les llama fundadores del clculo ya que fueron los primeros en
estudiar el problema geomtrico fundamentalmente del clculo
diferencial, que se denomina: Problemas de las tangentes en el cual
hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.2
Calculo InfinitesimalEl clculo infinitesimal descubierto a
finales del siglo XVII por Isac Newton y Gottfried Wilhem von
Leibinz - es la rama de las matemticas que trata de los conceptos
fundamentales de lmite y variacin.Casi desde sus comienzos tuvo un
profundo efecto en en pensamiento cientfico, matemtico y racional,
debido parcialmente a la potencia, elegancia y versatilidad de sus
tcnicas y tambin a su asociacin con la fsica newtoniana.El clculo
sigue siendo una de las ramas ms importantes de la matemtica para
el cientfico y el ingeniero, y cada vez ms para el economista y el
estadista.El clculo infinitesimal se divide en dos partes: Calculo
diferencial, que trata de tasas de variacin y el clculo integral,
que se ocupa de sumar las cantidades que varan.
Calculo Diferencial El clculo diferencial es una parte del
anlisis matemtico que consiste en el estudio de cmo cambian las
funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de
estudio en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin
estrechamente relacionada es la de diferencial de una funcin.El
estudio del cambio de una funcin es de especial inters para el
clculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las
variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a
cero (se hace tan pequeo como se desee). Y es que el clculo
diferencial se apoya constantemente en el concepto bsico del lmite.
El paso al lmite es la principal herramienta que permite
desarrollar la teora del clculo diferencial y la que lo diferencia
claramente del lgebra.Desde el punto de vista matemtico de las
funciones y la geometra, la derivada de una funcin en un cierto
punto es una medida de la tasa en la cual una funcin cambia
conforme un argumento se modifica.
En muchos problemas, se conoce la derivada de una funcin y el
objetivo es hallar la funcin en s. Por ejemplo, un socilogo que
conoce la razn a la cual crece la poblacin puede utilizar esta
informacin para predecir futuros niveles de poblacin; un fsico que
conoce la velocidad de un cuerpo en movimiento probablemente desee
calcular la futura posicin del cuerpo; un economista que conoce la
tasa de inflacin quiz desee estimar los precios futuros.El proceso
de hallar una funcin a partir de su derivada se denomina anti
derivacin o integracin indefinida.
Calculo Integral La integracin es un concepto caracterstico del
clculo y del anlisis matemtico. De manera ms directa y resumida una
integral es una generalizacin de la suma de infinitos sumandos
infinitamente pequeos.El clculo integral, encuadrado en el clculo
infinitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de
integracin o anti derivacin, es muy comn en la ingeniera y en la
ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y
volmenes de regiones y slidos de revolucin.
Luego de todos estos conceptos bsicos en calculo surgi una
necesidad mas imperiosa en la inteligencia del ser humano como la
de la creacin de mtodos que permitan resolver problemas con mayor
facilidad, es asi como nacieron las ecuaciones diferenciales.Una
ecuacin diferencial es aquella que implica una derivada o una
diferencial. Las ecuaciones diferenciales son una de las
herramientas ms tiles para estudiar fenmenos continuos, incluidas
situaciones importantes que ocurren en la administracin, la economa
y las ciencias sociales y biolgicas.El tipo ms sencillo de ecuacin
diferencial tiene la forma
En el cual la derivada de la cantidad y est dada explcitamente
como una funcin de la variable independiente x. Tal ecuacin puede
resolverse simplemente hallando la integral indefinida de g(x). Una
caracterizacin completa de todas las soluciones posibles de la
ecuacin se denomina solucin general, y una solucin que satisface
las condiciones alternas especficas se denomina solucin
particular.Una ecuacin diferencial ordinaria de n-esimo orden
tiene, en general, una solucin que contiene n constantes
arbitrarias.A tal solucin podemos llamarle la solucin general.
Otros trminos que se usan con frecuencia son solucin completa,
primitiva completa, integral completa.
Fracciones Parciales
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer
expresiones racionales y obtener sumas de expresiones ms
simples.
Hay cuatro casos:Se distinguen 4 casos:
Factores lineales distintosDonde ningn par de factores es
idntico.
Dondeson constantes a determinar, y ningn denominador se
anula.
Factores lineales repetidosDonde los pares de factores son
idnticos.
Dondeson constantes a determinar, y ningn denominador se
anula.
Factores cuadrticos distintosDonde ningn par de factores es
igual.
Dondeson constantes a determinar, y ningn denominador se
anula.
Factores cuadrticos repetidos
Dondeson constantes a determinar, y ningn denominador se
anula.En caso de ser lineal la descomposicin de factores se la
realiza de la siguiente manera:Paso 1Siempre se debe de fijar si el
grado de la funcin del numerador es menor que la del denominador.
Si es mayor se debe realizar una divisin larga para bajar el grado
de la funcin del numerador.
Paso 2
Se tiene que factorizar el denominador para obtener un producto
de factores lineales, px +q, o factores cuadrticos irreductibles, ,
y agrupar los factores repetidos para que la funcin del denominador
sea un producto de factores diferentes de la forma , donde o los
nmeros m y n no pueden ser negativos.
Paso 3Si son Descomposicin en fracciones parciales en la cual
cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor
lineal repetido.
Ejemplo maestro
Primero observar que el numerador tiene grado 2 y el denominador
grado 3 por lo tanto no se tiene que hacer una divisin larga.
Segundo factorizar el denominador.
Tercero colocar cada factor obtenido de la siguiente forma
Obtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo igualo al
numerador.
Ahora formo mi primera ecuacin con los trminos al cuadrado
asi
Las tres ecuaciones son:
Este es el mtodo ms empleado por nosotros los estudiantes en la
bsqueda de los valores en las fracciones parciales.Todo
conocimiento plasmado en los libros actuales o escritos matemticos
estn dados por largas y continuas jornadas de estudios, demostracin
y dedicacin a esclarecer dudas.Rene Descartes concluyo que Las
matemticas son el medio para establecer la verdad en todos los
campos3En el mundo de las matemticas y en calculo especficamente
nada esta dicho ni escrito aun, todo se va dando de a poco pero a
pasos agigantados es por ello que la famosa frase de Arqumedes lo
dice todo Dadme un punto de apoyo y mover el mundo4Citas y
Bibliografa
El Clculo, Louis Leithold, Cuarta Edicin Calculo diferencial e
integral, Purcell Varberg Rigdon, Octava Edicin.
http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/wp-content/uploads/2012/09/Integraci%C3%B3n-por-Fracciones-Parciales1.pdf
Ecuaciones Diferenciales elementales, Earl D. Rainville
http://miryaarace.blogspot.com/2012/09/calculo-infinitesimal.html
Calculo Diferencial e Integral, William Anthony Granville.
1 Francois Antoine de L Hopital, 1690.2Leonardo Euler,
17803Descartes, 16354Arquimides, 235 aC
