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7/21/2019 TAREA2UNINDAD 2unad

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1. A partir del triángulo con vértices A (−2,1 ) , B (4,7 ) , C (6,−3) :

a. Hallar las ecuaciones de los lados x

(¿¿1, y 1)¿

x

(¿¿2, y2)¿

Primero el lado A (−2,1 ) , B (4,7 )

Para hallar las ecuaciones utilizare la siguiente formula:Primero el lado

y=( y2− y

1

x2− x

1)( x− x

1 )+ y1

Sustituyendo valores

y=

(

7−1

4−(−2) )( x−(−2))+(1)

Realizando operaciones

y=( 66 ) ( x+2 )+(1),

y= x+3 Ecuación del lado A,

x(¿¿1, y 1)¿

x(¿¿2, y2)¿

Segundo el lado B (4,7 ) , C (6,−3 ) ,

Sustituyendo valores y realizando operaciones

y=(−3−7

6−4 ) ( x−4 )+7 ,

y=(−10

2 ) ( x−4 )+7 ,

y=−5 x+20+7

y=−5 x+27 Ecuación del lado B,C



x

(¿¿1, y 1)¿

x

(¿¿2, y2)¿

Tercer el lado C (6,−3 ) , A (−2,1 ),

y=(1−(−3)−2−6 ) ( x−6)+3 ,

y=( 4−8 ) ( x−6 )+(−3)

y=−0.5 ( x−6 )+3 , y=−0.5 x+3 !"

y=−0.5 x Ecuación del lado C, A



a. #eterminar la ecuación de la recta $ue pasa por el vértice A % es

paralela al lado opuesto BC

&riángulo con vértices A (−2,1 ) , B (4,7 ) , C (6,−3) :

Encontrar el a pendiente de la recta de que pasa por los vértices B,C

x

(¿¿1, y1)¿

x

(¿¿2, y 2)¿

B (4,7 ) , C (6,−3)

FORMUA

x2

−¿ x

1

y2−¿ y1

¿m=¿

Sustituyendo valores tene!os que"

m=−3−7

6−4=−10

2 # $%

Utilizando la si&uiente 'or!ula (all)ra!os la ecuación que se nos pide en este

caso que pasa por el vértice A

x

(¿¿1, y1)¿

A (−2,1)

y− y1=m( x− x1)

Sustituyendo valores

y−1=−5( x−(−2 ))

y−1=−5( x+2)



y=−5 x−10+1

y=−5 x−9



a. Encontrar las ecuaciones de las rectas $ue pasan por el vértice B %

trisecan el lado opuesto AC

*ri)n&ulo con vértices A+$,-., B+/,0., C+1,$2."3ri!ero de4o encontrar los puntos que trisecan la recta A,C

x(¿¿1, y1)¿

x(¿¿2, y 2)¿

A+$ ,-., C+1,$2.3ara esto utilizare la si&uiente e5presión al&e4raica

D=( 2 x1+ x

2

3,2 y

1+ y

2

3 )Sustituyendo ten&o que

2(−2)+6¿

¿1+(−3)¿

2(¿3¿) D=¿

#

2−3

−4+63

,¿

(¿¿ 3 )

D=( 23 ,−1

3 )

E=( x1+2 x

2

3,

y1+2 y

2

3 )Sustituyendo tenemos que:

1+2(−3)= ¿3

−2+2(6)3

,¿

E=¿

#

1−6=¿3

−2+123

,¿

¿

E=( 103 ,−5

3 )

Ahora hallaremos las ecuaciones de las rectas x

(¿¿1 , y1)¿

x

(¿¿2 , y2)¿

B(4, 7), D (0.67,−0.33 )



y=( y2− y

1

x2− x

1)( x− x

1 )+ y1

y=(−0.33−7

0.67−4 ) ( x−4 )+7 # (−7.33

−3.33 ) ( x−4 )+7 # 2.20 ( x−4 )+7

y=2.20 x−1.8 a ecuación de la pri!er recta que pasa por los vértices B, 6

x

(¿¿1 , y1)¿

x

(¿¿2 , y2)¿

B+/, 0., E (3.33,−1.67 )

y=

(

y2− y

1

x2− x1

)( x− x

1 )+ y1

y=(−1.67−7

3.33−4 ) ( x−4 )+7

y=(−8.67

−0.67 ) ( x−4 )+7

y=12.94 ( x−4 )+7 '

12.94 x−51.76+7

y=12.94 x−44.76



a. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas $ue pasan por los

vértices A , B , C % son paralelas a los lados opuestos.

&riángulo con vértices A(!),1*, (+,*, -(,!"*:

Encontrando las pendientes con la formula

x2−¿ x1

y2−¿ y1

¿m=¿

&riángulo con vértices A(!),1*, (+,*, -(,!"*:

A (−2,1) , B(4,7 )

m= 7−1

4−(−2) #6

6 #-

B (4,7 ) , C (6,−3)

m=−3−7

6−4=−10

2 # $%

C (6,−3 ) , A(−2,1)

m=1−(−3)−2−6 #

4

−8 #$78%

/a recta $ue pasa por el vértice C % es paralela al lado opuesto A , B

C (6,−3 )

y− y1=m( x− x1)

y−(−3)=1( x−6) , y+3= x−6−3

0= x− y−9

la recta $ue pasa por el vértice B % es paralela al lado opuesto C , A

(+,*,



y− y1=m( x− x1)

y−7=−0.5( x−4) , y−7=−0.5 x+2

y=−0.5 x+2+7 , y=−0.5 x+9

0=−0.5 x− y+9

/a recta $ue pasa por el vértice A % es paralela al lado opuesto B ,C

,

A(!),1*

y−1=−5( x−(−2)) ,

y−1=−5( x+2)

y=−5 x−10+1

0=−5 x− y−9



*eniendo ya las ecuaciones de las rectas procederé a encontrar los vértices

utilizando siste!a de ecuaciones si!ult)neas8

• 3ri!ero el vértice que une las rectas deas ecuaciones"

x− y=+9

−0.5 x− y=−9

Resu!iendo nos queda

(−0.5) x− y=+9

(1 )−0.5 x− y=−9

y=3

x−3=+9

x=+9+3

x=12

• Se&undo los vértices que une las rectas deas ecuaciones"

−0.5 x− y=−9

x− y=+9

Resumiendo nos queda

(−5 )0.5 x+ y=+9

(1)5 x+ y=−9

y=11

0.5 x+11=+9

0.5 x=+9−11

x=−4

• *ercero los vértices que une las rectas deas ecuaciones"

5 x+ y=−9



− x+ y=−9

Resu!iendo nos queda

(−1)5 x+ y=−9

(5 )− x+ y=−9

y=−9

x−(−9)=+9

x=+9−9

x=0



a. #eterminar las coordenadas del 0aricentro, circuncentro, % ortocentro



a. -alcular el área del triángulo



1. Hallar el valor de k para $ue la recta kx+(k −1 ) y−18=0 sea paralela

a la recta 4 x+3 y+7=0

3ara que estas dos rectas sean paralelas de4en tener la !is!a pendiente porlo que tene!os que i&ualarlas8

Considere!os entonces que" Ax+By+C =0 y la 'or!ula !# − AB

6ónde: A # /B # 2C # 0

9

A # :

B # +($-.C # $-;A continuación igualare las pendientes de cada ecuación

−k

(k −1)=−4

3

k

(h−1)=

4

3

3k =4 (h−1)

3k =4k −4

k =4

1. #eterminar el valor de k para $ue la recta k 2 x+ (k +1 ) y+3=0 sea

perpendicular a la recta 3 x−2 y−11=0

−k 2

(k +1)=−3

2

k 2

(k +1)=

3

2



−2k 2=3(k +1)

0=3k +3+2k 2

k =?

1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto $ue se mueve de tal

manera $ue su distancia de la recta 4 x−3 y+12=0 es siempre igual al

do0le de su distancia del ee X .

4 x+123 = y

4 x

3+4= y

2 4( x)3

+

'%

(2,%*

!1 ). (!

1,).*

0 4 (0,4)

1 3."" (1,3."

"*

/lamemos al punto desconocido (2,%*

y−4¿2

x−0¿2+¿2¿

d=2√ ¿

d=4 ( x2 )+ y2−8 y−16

d=4 x2

+ y2

−8 y+16



1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto $ue se mueve de tal

manera $ue su distancia de la recta y+2=0 es siempre igual a su

distancia del punto (2,0) .

P(2,%* (),4*

y−0¿2

x−2¿2+¿¿

d=√ ¿

y−0¿2

x−2¿2+¿

d=¿d= x

2−4 x+4+ y2

0= x2−4 x+4+ y

2



1. Escri0ir la ecuación de la familia de rectas tangentes a un c5rculo cu%o

centro está en el origen % cu%o radio es +. 6ra7$ue tres elementos de la

familia, especi7cando en cada caso el valor del parámetro.

Antes de comenzar con el procedimiento, recordemos $ue la Ecuación ordinaria

de la circunferencia es:

x−h¿2+( y−k )=r2

¿

#ónde:C (h , k ) es el centro de la circunferencia

r=radiode la circunferencia

D ( x , y )un punto generico

#e los datos $ue nos dan en el planteamiento del eercicio podemos deducir$ue

C (0,0)=centro de lacircunferencia

r=4

Analizando la situación podemos implementar el punto genérico tomando como0ase uno de los valores del ee de las 2 % $ue en este caso tomar5amos el valor", % nos $uedar5a de la siguiente manera:

C (0,0) , D(3, y)

Por lo $ue podemos asumir $ue:

y−0¿2=42

3−0¿2+¿¿

32+ y

2=42

9+ y2=16

y2=16−9

y2=7

y=√ 7

Ahora puedo decir $ue %a tenemos dos puntos con sus coordenadas.

C (0,0) , D(3,√ 7)Por lo tanto ahora %a podemos o0tener la pendiente de la recta $ue pasara porestos dos puntos

m= y

1− y

x1− x



m=√ 7−0

3−0

m=√ 7

3

8iguiendo encontrare ahora la ecuación de

la recta: x

m(¿¿ 1− x ) y1− y=¿

x

√ 7

3(¿¿ 1−0)

y1−0=¿

y=√ 7

3 x

Esta es la recta que pasara por los

puntos C , #Ahora tenemos $ue

y−√ 7=−√ 7

3( x−3) Esta ser5a la primera

ecuación de la recta tangente a la circunferencia

C (0,0 ) , D(−3,−√ 7)

y+√ 7=−√ 7

3( x+3)



C (0,0) , D(−3,√ 7)

m= y

1− y

x1− x

m= √ 7−0

−3−0

m=√ 7

3

y−√ 7=√ 7

3 x+2.64



1. 9n c5rculo tiene su centro en el punto C (−2,−4) . -alcule su área,

sa0iendo $ue es tangente a la recta x+ y+12=0 .



nstrucciones ()*#emuestre formalmente las siguientes proposiciones, de manera clara, precisa

% coherente, argumentando con la profundidad necesaria cada paso. En caso

de re$uerir un teorema previo (por eemplo de geometr5a, trigonometr5a o

álge0ra superior*, incorpórelo a su tra0ao con la de0ida demostración. -ite sus

fuentes de acuerdo con la norma APA.

). &eorema. 8i ϕ es un ángulo entre dos rectas, L

1, L

2 , entonces

tan ϕ= m

2−m

1

1+m1 m2

,m1

m2

≠−1

#ondem

1 es la pendiente del lado inicial L

1 %m

2 es la pendiente

$ue forma el lado terminal L

2 , considerando $ue el ángulo ϕ se

mide en sentido contrario a las manecillas del relo, del lado inicial allado 7nal.

Para demostrar este teorema utilice la siguiente 7gura:

;0servemos $ue:∅+α

1=α

2,obien,∅=α

2−α

1

9tilizando la fórmula:

tan∅= m

2−m

1

1+m1∗m2

/os datos $ue tenemos son:

<' "1.=> ' tan< ' 4.)1?1'+=.=1> ' tan?1 ' 1.1+"?)'=4.=> ' tan ?) ' .4@

-omentario

m1 = tan α1, y m2 = tan α2

Entonces tenemos $ue:

t an∅= 6.09−1.14

1+1.14∗6.09



tan∅= 4.95

7.94

tan∅=0.62

8i k es una constante cual$uiera diferente de cero, demuestre $ue todo

punto $ue está so0re la recta Ax+By+C =0 tam0ién estará so0re la recta

kAx+kBy+kC =0 .

#eduzca con ello la condición necesaria % su7ciente para la coincidencia de

rectas



14. #emuestre $ue en un triángulo cual$uiera las 0isectrices de los ángulos

interiores se cortan en un punto $ue e$uidista de los tres lados (incentro*.

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