Tareas Geo y Trig Propuestas

8/20/2019 Tareas Geo y Trig Propuestas

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ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE

Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz

1

MATEMÁTICAS III (PROGRAMA SINTÉTICO)

Tercer SemestreAsignatura: Geometría euclidiana y trigonometría

Créditos: 8 Horas de teoría: 3 Horas de práctica: 1 Horas de Lab : 1

Objetivo:

Al finalizar el curso el alumno comprenderá los conceptos y resultados fundamentales de la GeometríaEuclidiana y de la trigonometría sobre triángulos en relación con paralelismo, congruencia, semejanzay las funciones trigonométricas. Se espera que el alumno relacione el conocimiento teórico con laaplicación práctica de los criterios de semejanza y trigonometría para que confirme la validez de loaprendido en el aula.

Contenido programático por unidad

Unidad I. Geometría Euclidiana (40 horas)

Puntos, rectas, segmentos y rayos

Definición de ángulo y triángulo

Copiar un segmento, un ángulo y un triángulo dado

Bisecar un ángulo dado

Construcción de una paralela a una recta dada

Dividir un segmento en n partes iguales.

Construir el punto medio de un segmento dado

Construir una perpendicular a una recta dada.

Construir la mediatriz de un segmento

Construcciones de puntos y líneas importantes en un triángulo

Construcción del teorema – meta.

Concepto de congruencia.

Congruencia de triángulos. Postulados

Demostraciones.

Razones y proporciones.

Concepto de semejanza.

Semejanza de triángulos. Postulados Demostraciones.

Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y semejanza.

Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos)

Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.)

Tipos de ángulos dentro de la circunferencia

Teoremas en la circunferencia.


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Unidad II. Trigonometría (40 horas)

Ángulos

Positivos, negativos y coterminales

Unidades y sus conversiones Razones trigonométricas

Razones trigonométricas

Valores exactos de las razones trigonométricas en2

,3

,4 ,

6 ,0

y sus múltiplos

Triángulo rectángulo

Resolución de triángulos rectángulos.

Problemas de aplicación.

Triángulo oblicuángulo

Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos

Resolución de triángulos utilizando Ley de Cosenos Planteo y resolución de problemas de aplicación

Funciones trigonométricas

Concepto

Gráfica de funciones trigonométricas simples

Gráficas de funciones trigonométricas compuestas

Identidades trigonométricas

Ecuaciones Trigonométricas


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Unidad I. Geometría Eucli diana

Definiciones básicas

(Puntos, rectas, segmentos y rayos, Definición de ángulo y triángulo)Resuelve los siguientes problemas y señala la respuesta correcta. Debes Justificar.

1) x = ? 2) x = ?

a. 145º a. ab. 90º b. 90ºc. 72.5º c. 90 - ad. 45º d. 180 - ae. 35º e. 180+ a

3) x = ? 4) x = ?

a. 30º a. 180 – a - bb. 45º b. 2ac. 75º c. 180 -2 ad. 90º d. 180 - ae. 105º e. 180+ 2a

5) x = ? 6) x = ?

a. 90º a. 18ºb. 180º - a - b b. 72º

c. a + b - 180º c. 90ºd. – a - b d. 108ºe. a + b e. 128º

7) x = ? 8) x = ?

a. 45º a. 30ºb. 60º b. 40ºc. 90º c. 50ºd. 180º d. 60ºe. 360º e. 100º

9) x = ? 10) x = ?

a. 30º a. 35ºb. 60º b. 45ºc. 90º c. 55ºd. 120º d. 65ºe. 150º e. 90º

145º Xº a xº

xº60º 45º

aº xº aº

xºaº bº xº

72º

xºxº xº

xº

xº

100º

50º

2xºxº xº

2xº

35º Xº


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4

Resuelve lo que se te pide en cada pregunta.

1) x = ? 2) MQ; bisectriz del


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5

13) F // G; G perpendicular 14) x = ?con M; x = ?

15) x = ? 16 ) P // Q; x = ?

Angulos: Problemas Verbales

Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario.

1. Determina el complemento de 72º.2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?3. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?4. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.5. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.6. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.7. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?8. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?9. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos

ángulos?10. Determina el complemento de 42º18'.11. Determina el suplemento de 154º27'42''.12. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.

13. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?14. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor

de esta división?15. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?16. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos

respectivos?17. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?18. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

T

50º

F

G

x

M

5x

x

4x

110º

x

3x 2x

Q

P


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6


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7

Encuentra el valor del ángulo según la figura, no olvides justificar tus respuestas.

1) RT = RS = PS;


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Triángulos: Problemas Verbales

1. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a) 67 y 47 b) 22 y 135c) a y 2a

2. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.

3. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos interiores de la base?

4. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que elángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

5. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?

6. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulosinteriores del triángulo.

8. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que elángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.

9. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior delvértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.

10. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de losángulos interiores del triángulo.

11. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?

12. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden losángulos agudos?

13. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero.¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

14. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulosinteriores de este triángulo?

15. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determinala medida del ángulo menor de este triángulo.


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TrazosCONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

Las construcciones indicadas en los siguientes problemas deben hacerse con regla y compásúnicamente, en hojas blancas o en hojas de papel albanene. Tome el segmento anterior como su unidad.

Trácese una recta horizontal en la parte superior de una hoja de papel. Utilizando la longitud del segmentoque aparece mas adelante, márquese una escala, con el compás, de al menos 10 unidades de largo. Utilicela escala cuando sea necesario para resolver los problemas que siguen.

Constrúyase triángulos cuyos lados tengan las longitudes dadas a continuación:

a) 5,6,8 b) 3,5,7

c) 4,4,5


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Dibújese un triángulo obtusángulo cualquiera y trácese la bisectriz de cada uno de sus ángulos.

Dibuje un triangulo escaleno cualquiera Δ ABC. Copie el triángulo a una rayo dado.

Construya un triángulo equilátero con un lado de longitud 5.

Construya un triángulo isósceles con la base de la longitud 8 y dos lados congruentes de longitud 5.

Trace un cuadrilátero cualquiera. Copie éste a un lado de un rayo dado.

Construir un triángulo rectángulo isósceles.

Construir un rombo, dadas las longitudes de sus diagonales.

Construir un paralelogramo, si se dan uno de sus ángulos, la longitud del lado más corto y la longitud dela diagonal más larga.

Construir un ángulo de 60°




Construir un triángulo isósceles, si se dan la base y la altura correspondiente.

Trisecar un segmento dado.

Construir un segmento de longitud √2, √3, y √6.

Construir un triángulo rectángulo dado un ángulo agudo y la longitud de la hipotenusa.

Construir un triángulo equilátero, dado un segmento cuya longitud es igual al perímetro del triángulo.

Construir un triángulo equilátero dada su altura.

Construir un rombo, dado un ángulo y un segmento cuya longitud sea igual a la longitud del rombo.

Construir un paralelogramo, si se dan un ángulo agudo, un lado y la diagonal más larga.

Líneas y puntos importantes del triángulo

Construir un triángulo equilátero. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e inscrita.


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12

g)_______ Icoságonoh) 9 lados_______________i)_______ Dodecágono j) 10 lados_______________

k)_______Endecágonol) 15 lados ___________

3. Completa la siguiente tabla.

POLÍGONO CARACTERÍSTICAS

EQUILÁTERO

Polígono que tiene sus ángulos iguales.

CONVEXO

Polígono que tiene ángulos internos entrantes.

Es el que es a la vez equilátero y equiángulo.

IRREGULAR

4. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las definiciones de los conceptos de polígonos regulares y a lae figura.

CONCEPTO DEFINICIÓN EN LA FIGURA

CENTRO

Es el segmento que une el centro con un vértice del polígono. OA y OE

AOE

APOTEMA

BD

Ángulo formado por cada dos lados consecutivos del polígono.

HAE

C1

C2

Sea ABCDE un polígono inscrito en C1y circunscrito en C2.


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5. Relaciona las siguientes columnas (para cualquier polígono regular de n lados) 2rt = dos ángulos rectos = 180°

CONCEPTO FÓRMULA

( ) Ángulo central (x)2

)3()1(

nn

( ) Ángulo interno (i)n

nrt )2(2)2(

( ) Ángulo externo (e)n

360)3(

( ) Suma de los ángulos internos (Si) )3)(4( n

( ) Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice (d) rt 4)5(

( ) Número total de diagonales que pueden tazarse desde todos los vértices (D)n

360)6(

( ) Suma de los ángulos externos (Se) )2(2)7( nrt

6. De acuerdo a las propiedades de los polígonos contesta las siguientes preguntas.

1) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 1260° ¿Cuál es el polígono?2) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 135°?3) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un icoságono?

4) Determina el número total de diagonales que pueden trazarse en un endecágono regular.5)¿Cuál es el polígono en el que pueden trazarse 20 diagonales en total?6) ¿Cuánto vale cada ángulo interior de un pentadecágono?7) ¿Cuánto suman los ángulos externos de un decágono regular?8) ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados?9) ¿Qué polígono tiene el doble número de diagonales que de lados?10) ¿Qué polígono tiene 25 diagonales más que lados?


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Cuadriláteros: Problemas Verbales

1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los otros

ángulos interiores? 2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina lamedida de todos los ángulos interiores de ese romboide.

3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.?

4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.

5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.

7. Completa la siguiente tabla:

Propiedad Cuadrilátero(s) que cumple(n) dicha propiedad

Diagonales iguales

Todos sus lados iguales

Lados opuestos iguales

Sus diagonales se dimidian

Diagonales perpendicularesÁngulos opuestos iguales

Sus diagonales son bisectrices

Una diagonal dimidia a la otra y viceversa

Todos sus lados desiguales

Sólo dos ángulos interiores congruentes

La suma de sus ángulos exteriores es 360º

Sin ángulos interiores congruentes

9. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que ladiagonal menor mide 6 cm.

10. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medidade la diagonal del rectángulo formado.


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PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las fórmulas de perímetro y área de cada figura.

NOMBRE FÓRMULAS FIGURA

TRIÁNGULO

P=Elementos (a,b,c)A=Elementos (b y h)A=Elementos (a,b,c)

CUADRADO

P=ElementosA=Elementos

PARALELOGRAMO

A=Elementos (B,b,h)

ROMBO



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POLÍGONO IRREGULAR



CIRCUNFERENCIALongitud =Elementos

CÍRCULOA=Elementos

2. Obtén el perímetro y área de cada una de las siguientes figuras, en el caso de las figuras con área sombreada soloobtén el perímetro y área de la misma.

Área:________ Perímetro:_______ Área:_______ Perímetro:________


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18

2. Completa la siguiente tabla con respecto a las definiciones presentadas y a su representación en la gráfica.

Concepto Definición En la figura

Radio

Segmento determinado por dos puntos de lacircunferencia.

BC

Secante

Cualquier recta que toque a la circunferencia en unpunto y sólo uno.


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ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

3. Completa la siguiente tabla.

Clase de ángulo Figura Fórmula

Ángulo central

AC B2

1

Semi - inscrito ABCBA2

1

Interior

DE BC A 2

1

BD BC A 2

1

Formado por dostangentes


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20


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21

Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:

1) x = ? 2) x = ? 3)


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23

13) OS//QP; 14) OA = AB; x = ? 15) Los arco AB, BC


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24

10) AB tangente;


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AB = 4 cm.

9) ABCD cuadrado, AB = 6 cm., 10) La figura representa un cuadrado deA es centro de los arcos BD y EC. lado 24 cm.

11) ABCD cuadrado, BC = 6 m., 12) A, B, C y D puntoscada lado está dividido en tres medios de los lados delpartes iguales. cuadrado.

BC = cm.

15) Cuadrado de lado 12 cm. 16 Cuadrado de lado 8 cm.

CD =

17) Semicircunferencias congruentes 18) Circunferencia dede 6 cm. de diámetros radio 4 cm.

perpendiculares entre sí AB y AC tangentes,


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19) Cuadrado de lado 12 m. 20) Circunferencia de radio 8 cm. yhexágono regular circunscrito.

Ángulos

1. Teoría. Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyoarco tiene longitud igual al radio.

- 360º = 2 radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide2

radianes (un cuarto de vuelta)

- 180º = radianes (media vuelta) - Como 180º = rad, resulta que 1º =180

rad

- Un ángulo de 1 radian tiene

180 = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

º

º180

y

rad

x

ejemplo: 40º a rad

º40

º180

y

rad y =

º180

º40 rad

18

4 rad

9

2 rad

2. Convierta de grados a radianes y viceversa según sea el caso.1. 60° 2. 90° 3. 120° 4. 150°5. 71.72° 6. 11.83° 7. 61°24’ 8. 75°30’

9. 6

10. 4

11. 10

12.

3

5

13.

7

9

14.

13

20

15. 2 16. 1.3

3. Calcular el COMPLEMENTO de los siguientes ángulos, exprese el resultado en radianes.39º 87º13’ 17º16” 42º24’35” 69º7’19”

4. Calcule el SUPLEMENTO y exprese el resultado en grados o radianes:

Transformar los siguientes ángulos según indique en cada caso.

27º37’15” 4.5 radianes 68º13’45”

1.58 radianes 45º27’ 143º19’45”

A

C


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7) Determinar el suplemento de 159º17’. Expresar su resultado en radianes.

8) Calcular el complemento de .6

rad

Expresar su resultado en grados.

9) Determinar el suplemento de 1.27 rad. Expresar su resultado en grados

10) Calcular el complemento de .12

rad

Expresar su resultado en grados

6. Utilice la fórmula de longitud de arco ( s ) apropiada para encontrar la información que falta. s r s r

1. 2 pulg 25 radianes 2. 1cm 70 radianes

3. 1.5 pies 4 radianes 4. 2.5 cm 3 radianes5. 3 m 1 m 6. 4 pulg 7 pulg7. 40 cm 20° 8. 5 pies 18°

Ejemplo aplicación

1) 35º59’59”=______rad. 2) ___" ___' __º.5

3rad

3) 750º=______rad. 4) ___" ___' __º.5.14 rad

5) ___" ___' __º.4

rad

6) 124º19’35”=____rad.


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1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.?2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s.3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando

viaja a 120 km/h?4) Faltan algunos ejercicios.



Valores exactos de las razones trigonométricas en2

,3

,4 ,

6 ,0

y sus múltiplos

1. Para un triángulo rectángulo ABC, defina las razones trigonométricas.2. En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus

ángulos agudos. Suponga que los triángulos son triángulos rectángulos.

a) b)10 2 1 5


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3. Con una calculadora encuentre el valor numérico de la función y/o el ángulo, según sea el caso.a) sen 23,57º = b) cos 73,39º = c) tg 7,12º =

d) sen A = 0.345 e) cos B =0.987 c) tg C = 0.65

4. Algunos valores de las funciones trigonométricas los puedes calcular directamente sin usar calculadora.Calcula según la figura y luego comprueba con tu calculadora.

a. sen 30ºb. cos 30ºc. sen 60ºd. cos 60ºe. ¿es necesario conocer las medidas del triángulo?

5. Repita el ejercicio anterior pero ahora utilice un ángulo de 45°. Haga una figura para guiarse.

6. Si se sabe que

cos

sentg . Calcule, sin usar calculadora, los valores de la tangente para los

ángulos dados en los ejercicios anteriores.

7. Si se sabe que cosec = sen

1, sec =

cos

1 y cotg =

tg

1. Calcule, sin usar calculadora los

valores de la cosecante(cosec), la secante (sec) y la cotagente (cotg) para los ángulosusadosantes.

8) Utiliza una calculadora y encuentra las razones trigonométricas de los ángulos: 0º, 25º,45º,70º y 85º. ¿Entrequé valores varía el seno y el coseno?

9) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricas delos siguientes ángulos:

a) 19º b) 34º12`32`` c) 55º d) 12,5º10. Utilizando el plano cartesiano encuentra las funciones trigonométricas de los triángulos OPA,

donde O es el origen, P, el punto dado y A la intersección del segmento perpendicular a X y que

pasa por P. Diga los ángulos agudos de cada triángulo.

a) P( 2, 5)b) P( - 2, 3)

c) P( 2, - 6)

d) P( - 4, -3 )e) P( 12, 5)

f) P( 6, - 8)g) P( 10, - 6)

h) P( - 5, - 4)

6

a

a ah


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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

TERCER SEMESTRE

Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia 30

Diga los signos de la RT en cada uno de los cuadrantes. Justifique.

11. Sí él ,25 .0 B Cos construye un triángulo rectángulo y determina el valor de las funcionespara el ángulo B.12. Sí la ,75 .0 ATan

construye el triángulo rectángulo y determina el valor de las funcionesdel ángulo A.

13. Dado el ,7

5 ACos hallar los valores de las demás funciones del ángulo A.

14.Dada la ,3

8 B Sec

hallar los valores de las demás funciones del ángulo B.

15. Si el5

3 ASen

y el ángulo A se localiza en el tercer cuadrante, calcular el valor de las demás

funciones trigonométricas.

16. Si la2

3 B Cot

y el ángulo B pertenece al cuarto cuadrante, calcular el valor de las demás

funciones trigonométricas.17.Diga de dónde “salen” y muestre los dos “triángulos mágicos”.

18. En una tabla coloque los valores de las RT de los ángulos2 ,

3 ,

4 ,

6 ,0

y sus multiplos.

19. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 45 sen 30 sen 2 2

b) 45 cos 45 sen 2 2 2

c) 45 cot 2 60 sen 2 30 tan 4

3 60 cos

4 2 3

d) 60 sen 30 cot 2

1 45 tan 3

2 2 2

20. Completa la siguiente tabla: x 120 150 210 240 300 330 sin x

3

2

1

2

1

2

3

2

3

2

1

2

cos x 1

2

3

2

tan x

cot x

sec x

csc x


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TERCER SEMESTRE


Triángulo rectángulo

Resolución de triángulos rectángulos.

Problemas de aplicación.

Los de secundaria.

En las siguientes figuras, calcula el valor de las incógnitas, aplicando el teorema de Pitágoras.

Resuelve los siguientes problemas:

1. Calcula la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60cm y cada uno de los lados iguales 50cm.2. Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 10m por lado.3. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado?4. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m?5. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28m de largo 21m de ancho?6. ¿A que altura lega una escalera de 10m de largo en un muro vertical si su pie está a 3m del muro?7. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm ¿Cuánto mide su apotema?8. Un terreno rectangular de 4000m de largo por 3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite una

medición directa ¿Cuál es la longitud de su diagonal?9. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 72m de altura se desea poner tirantes de 120m

para darle mayor estabilidad ¿A que distancia del pie de la torre deben fijarse los tirantes para que quedencompletamente tensos y sujetados desde la parte más alta de la torre?

10. Las tres bases a que se sujetan los cables que sirven para la estabilidad de un poste están situadas a 36mdel pie del poste. Calcular la longitud de los cables, si el poste tiene una altura de 48m.

I) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. Haga una figura por cada ejercicio.a) = 24º y c =16.

B


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TERCER SEMESTRE


b) a = 32.46 y b = 25,78c) = 24º y a =16

d) = 71º , c = 44

e) a = 312,7 ; c = 809f) b = 4.218 ; c = 6.759

g) = 81º12’ ; a = 43,6

C A

c

a

b


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TERCER SEMESTRE


3

4

5

6

7


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TERCER SEMESTRE


8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo

enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a

un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superiorcon un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

10. 11.

12.

13.

14.


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TERCER SEMESTRE


16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a ladosopuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si ladistancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetoslos cables?

17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30

grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distanciaentre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de

longitud en el suelo.

2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para elángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está elobjeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?

3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentrela altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3m. del suelo.

4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Unminuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada delavión.

5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio de 10 m, ve el otro lado de lamisma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa eledificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo dedepresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

15.


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TERCER SEMESTRE


g) Desde la punta B de una torre, el ángulo de depresión D de otra torre, que dista 27 m de la primera es de25°. Si la torre más alta mide 65 m. Calcula la altura de la torre menor.


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TERCER SEMESTRE


Triángulo oblicuángulo

Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos y ley de cosenos

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, calcular su área.

1. Sabiendo que '2878,'757,50 C Amb

2. Sabiendo que '1514,'859,15 B Acmc

3. Sabiendo que '10101,5.32,41 Acma

4. Sabiendo que mcmbma 70,50,60

5. Sabiendo que 120,5,4 Bmcma

6. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º. 7. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm. 8. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m. 9. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.10.En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a,

b, g son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triánguloen cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º

b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

c) c = 10 cm. = 40º = 70º

d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43º

e) = 53º = 75º c = 30,5 cm.

f) = 48º = 68º c = 47,2 mm.

11. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º.

Hallar el perímetro del paralelogramo.12. Desde un punto seobservan unos chopos con un ánguo de 36º, si avanzamos hacia ellos en linea recta y los

volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué altura tienen los chopos?.13. Tres puntos A, B y C están unidos por carrteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km.

y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.14. Un carpintero debe hacer una mesa triángular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el a´nguo

opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?.15. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va

por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabode media hora?.

16. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y lacopa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden

PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º17. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo

que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?


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TERCER SEMESTRE


18. Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una alturade 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

19. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el

edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parteinferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.

20. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm.Determina la longitud de la diagonal menor.

21. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y elángulo a entre ellos.

22. Dos hombres están en un llano separados 3000 m uno del otro, observan un helicóptero. Susángulos de elevación respecto al objeto volador son de 600 y 750. Determinar la altura aque se encuentra en ese momento el helicóptero.

23. Tres circunferencias, cuyos radios miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes exteriormente entre si.Encontrar los ángulos que forman cuando se unen los centros de dichas circunferencias.

24. Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el punto B. Un puntoC que es visible desde A y B se encuentra a 384 m de A y 555 m de B. ¿Cuál será la longitud deltúnel si el ángulo ACB mide 350 45/ ?

25. Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre desde un punto situado a 100 m de una ella. Siel ángulo medido es de 20° y la torre forma un ángulo de 68° con el suelo, determina su altura.

26. Después de un choque, un poste del alumbrado público no quedó perpendicular al suelo. Su sombra es de 5.5m cuando el sol es de 68°. Calcula el ángulo de variación de su inclinación si antes del choque proyectaba unasombra de cinco metros a la misma hora.

27. ¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo isósceles cuyo ángulo basal mide 30° y su base mide 25 cm?

28. En la circunferencia de centro en O y radio 10 cm, el arco AB mide 120°. ¿Cuánto mide la cuerda que lo

subtiende?29. Un rombo tiene lados de diez cm, si el ángulo de uno de sus vértices es 65°, calcula la longitud de susdiagonales.

30. Una linterna que se encuentra a seis metros de la pared de una casa genera una circunferencia de luz dediámetro 4.2 metros con la luz que genera ¿Cuál es el ángulo de salida del rayo de luz de la linterna?

Funciones trigonométricas Revisar esto en el Laboratorio de MatemáticasConcepto Pendiente

Gráfica de funciones trigonométricas simples Pendiente

Gráficas de funciones trigonométricas compuestas Pendiente


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Identidades Trigonométricas Demuestra las siguientes Identidades:


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Ecuaciones Trigonométricas

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.

1.

3sin

2 x

2.

2sin

2 x

3.

3cos

2 x

4.2cos 1 x

5. 24sin 3 x

6.2sin 2sin 3 0 x x

7.22cos 3cos 1 0 x x

8.2tan 3 x

9.2cot 1 x

10. tan cot 2 x x

11. A sen A 2cos3

12. 022

senx x sen

13. 252 2

senA A sen

14. 3csc2 x senx

15. 2

)1(3cos2

senx x

16. A A

22 sec1tan3

Me Encanta Dios (Jaime Sabines)

Me encanta Dios es un viejo magnífico que no se toma en serio. A él le gusta jugar y juega, y a veces se le pasa la manoy nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente. Pero esto sucede porque es un poco cegatón y bastante torpecon las manos. Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda, o Cristo, o Mahoma, o mi tía Chofi, para

que nos digan que nos portemos bien. Pero esto a él no le preocupa mucho: nos conoce. Sabe que el pez grande setraga al chico, que la lagartija grande se traga a la pequeña, que el hombre de traga al hombre. Y por eso inventó lamuerte: para que la vida - no tú ni yo – la vida, sea para siempre.

Ahora los científicos salen con su teoría del Big Bang... Pero ¿que importa si el universo se expandeinterminablemente o se contrae? Esto es asunto sólo para agencias de viajes. A mi me encanta Dios. Ha puesto ordenen las galaxias y distribuye bien el tránsito en el camino de las hormigas. Y es tan juguetón y travieso que el otro díadescubrí que ha hecho -frente al ataque de los antibióticos- ¡bacterias mutantes!

Viejo sabio o niño explorador, cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso, hace campos deflores o pinta el cielo de manera increíble. Mueve una mano y hace el mar, y mueve la otra y hace el bosque. Y cuandopasa por encima de nosotros, quedan las nubes, pedazos de su aliento.

Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos, y manda tormentas, caudales de fuego, vientos desatados, aguasalevosas, castigos y desastres. Pero esto es mentira. Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja.Dios siempre está de buen humor. Por eso es el preferido de mis padres, el escogido de mis hijos, el más cercano demis hermanos, la mujer mas amada, el perrito y la pulga, la piedra mas antigua, el pétalo mas tierno, el aroma másdulce, la noche insondable, el borboteo de luz, el manantial que soy.

A mi me gusta, a mi me encanta Dios. Que Dios bendiga a Dios…

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