Teˇcenje pod pritiskomhikom.grf.bg.ac.rs/.../Zadaci-TecenjePodPritiskom.pdf · 2015-09-28 · sa koautorima, Zadaci iz Mehanike ﬂuida sa ispita odrˇzanih u 1974. i 1975. god.)

2

Tecenje pod pritiskom

Zadatak 2.1. Kroz sistem prikazan na slici ostvaruje se proticajQ = 35 l/s, odnosno u rezervoar R utice ista kolicina vode Q koja iz njegai istice1. Odrediti silu pritiska kojom vazduh deluje na kruzni poklopacrezervoara cilindricnog oblika, precnika 5 m. Nacrtati u pogodnoj razmerienergetsku i pijezometarsku liniju.

Resenje. Energetska (Bernoulli-jeva) jednacina za presek u rezervoaru Ri izlazni presek IZL (kroz koji voda istice) glasi:

ER = EIZL + ∆ER→IZL (2.1)

Rezervoar je relativno velikog poprecnog preseka, pa se brzinska visina u1Ova pretpostavka garantuje ustaljeno tecenje i vazi za sve zadatke u ovom poglavlju.

Ukoliko ona nije eksplicitno naznacena na slici (kao u ovom zadatku), pretpostavlja se da jerezervoar dovoljno velike zapremine da je promena nivoa u njemu kroz vreme zanemarljivomala.

63

64 2. Tecenje pod pritiskom

njemu moze zanemariti, odnosno energetska kota (u rezervoaru) priblizno jejednaka pijezometarskoj koti:

ER = ΠR +v2R

2g≈ ΠR (2.2)

Pijezometarska kota u izlaznom preseku (gde voda slobodno istice punimpresekom) nalazi se u tezistu preseka (posto je pritisak u svim tackama poobimu mlaza jednak nuli) pa je energetska kota u tom preseku:

EIZL = ΠIZL +v22

2g= 8.00 +

v22

2g(2.3)

gde je v2 – brzina vode u cevi precnika d2. Izgubljena energija izmedu presekaR i IZL je:

∆ER→IZL =v21

2g

(ξUL + ξZ + λ1

8.0D1

)+

v22

2g

(ξK + λ2

√10.02 + 2.02

D2

)

(2.4)

Brzine vode kroz pojedine cevi su2:

v1 =4 × 0.035

3.14× 0.152= 1.98 m/s v2 =

4 × 0.0353.14× 0.102

= 4.46 m/s (2.5)

Zamenom (2.2), (2.3), (2.4) i (2.5) u polaznu jednacinu (2.1) dobija se:

ΠR = 8.00 +1.982

19.62

(0.5 + 2 + 0.022

8.00.15

)+

+4.462

19.62

(1 + 0.1 + 0.025

10.200.10

)= 12.43 m

Brzinske visine su3:v21

2g=

1.982

19.62= 0.200 m

v22

2g=

4.462

19.62= 1.012 m

2Brzine vode se izrazavaju u [m/s], i to zaokruzivanjem na dva decimalna broja, alise proracun kroz zadatak uvek obavlja sa tacnim vrednostima. Sve ovo moze imati zaposledicu da se ponekad mnozenjem napisanih (zaokruzenih) brojeva ne dobija napisani(tacni) rezultat, vec vrednost koja bi, usled zaokruzivanja, bila neznatno pogresna. Istanapomena vazi i za broj π (π = 3.1415926 . . . )

3Rastojanja se izrazavaju u [m], s time da se horizontalna rastojanja pisu sa jednimdecimalnim brojem a vertikalna sa dva (odnosno pri pisanju se zaokruzuju). Brzinskevisine se pisu sa tri decimalna broja, da bi se istaklo da njih treba pisati sa vise znacajnihcifara u cilju smanjivanja greske u proracunu ukoliko se radi sa zaokruzenim brojevima(jer se pri proracunu pojedinacnih gubitaka odgovarajuci koeficijenti mnoze sa brzinskomvisinom).

65

Na slici su prikazane4 energetska i pijezometarska linija5.

Na osnovu jednacine mirovanja fluida, pritisak vazduha (odnosno pritisakna povrsini vode) iznosi:

pVAZ = ρg(ΠR − ZA) = 1.0 × 9.81(12.43− 8.00) = 43.44 kPa

Trazena sila na poklopac rezervoara je:

F = pVAZAPOK = 43.443.14× 5.02

4= 853.0 kN

4Slika je nacrtana u tzv. distordovanoj razmeri, odnosno razmera za vertikalne duzineje veca od razmere za horizontalne, sto je inace uobicajeno u sistemima sa znatno vecimdimenzijama u jednom pravcu (u ovom zadatku je RV = 2RH).

5U ovoj Zbirci usvojena je konvencija da se energetske linije crtaju isprekidanom, apijezometarske punom linijom. Ovakav nacin crtanja usvojen je po analogiji sa otvorenimtokovima gde je linija nivoa istovremeno i pijezometarska linija (puna linija), dok se e-nergetska linija crta isprekidano. Ovo se naglasava jer je u prethodnoj zbirci (G. Hajdinsa koautorima, Zadaci iz Mehanike fluida sa ispita odrzanih u 1974. i 1975. god.) biousvojen obrnut nacin obelezavanja.


Zadatak 2.2. Voda istice iz rezervoara A kroz cev precnika d = 100 mm.Nakon izlaska iz rezervoara cev se racva u dva kraka (istog precnika d), odkojih se prva cev moze zatvoriti zatvaracem Z. Sracunati proticaje kroz svecevi ako je zatvarac Z otvoren (lokalni gubitak na njemu iznosi ξZ = 0.7)i za taj slucaj nacrtati energetske i pijezometarske linije za sve cevi u od-govarajucoj razmeri. Izracunati za koliko ce se promeniti proticaj Q2 krozgornju cev ako se zatvarac Z potpuno zatvori.

Resenje. Energetska jednacina za presek A (u rezervoaru A) i izlazni pre-sek iz gornje cevi, uz zanemarenje brzinske visine u rezervoaru (odnosnoEA = ΠA), glasi:

67

ΠA = 8.00 +v22

2g+

v20

2g

(ξUL + λ

2.0d

)+

v22

2g

(ξ0→2R + 2ξK + λ

16.0d

)⇒

v22 =

19.62(11.00− 8.00)− v20(0.5 + 0.04 2.0

0.10)1 + 0.2 + 2 × 0.2 + 0.0416.0

0.10

= 7.358− 0.1625v20 (2.6)

Energetska jednacina za presek u rezervoaru A i za presek u rezervoaru B(kroz prvu cev), uz zanemarenje brzinskih visina u rezervoarima (odnosnoEA = ΠA, EB = ΠB), glasi6:

ΠA = ΠB +v20

2g

(ξUL + λ

2.0d

)+

v21

2g

(ξ0→1R + ξK + ξZ + λ

10.0d

+ ξIZL

)

⇒ v21 =

19.62(11.00− 6.00)− v20(0.5 + 0.04 2.0

0.10)0.6 + 0.2 + 0.7 + 1 + 0.0410.0

0.10

⇒

v21 = 15.09− 0.20v2

0 (2.7)

Jednacina kontinuiteta za racvu glasi:

Q0 = Q1 + Q2 ⇒ v0 = v1 + v2 ⇒ v20 = v2

1 + v22 + 2v1v2 (2.8)

Zamenom (2.6) i (2.7) u (2.8), sledi:

v40 − 26.34v2

0 + 34.65 = 0 ⇒

v20 =

−(−26.34)±√

(−26.34)2 − 4× 1 × 34.652

Jedino od cetiri resenja ove jednacine koje fizicki ima smisla je:

v0 = 5.00 m/s

Brzine u cevima su:

v1 =√

15.09− 0.20× 5.002 = 3.18 m/s

v2 =√

7.358− 0.1625× 5.002 = 1.82 m/s

Povrsina (svih) cevi je A = d2π/4 = 0.102 × 3.14/4 = 0.007854 m2, pa suproticaji kroz pojedine cevi Qi = viA:

Q0 = 0.0392 m3/s Q1 = 0.0250 m3/s Q2 = 0.0143 m3/s

6Kad voda utice u rezervoar kroz cev kao sto je to slucaj sa donjom cevi u ovom zadatku,tada je izgubljena energija upravo jednaka brzinskoj visini na izlazu, odnosno ξIZL = 1.Ovaj podatak se u zadacima obicno ne zadaje, vec se podrazumeva.


Ako se zatvarac potpuno zatvori, tada je v′1 = 0 i v′0 = v′2, pa se jednacina(2.6) svodi na:

ΠA = 8.00 +v′222g

+v′222g

(ξUL + ξ0→2

R + 2ξK + λ18.0d

)⇒

v′2 =

√19.62(11.00− 8.00)

1 + 0.5 + 0.2 + 2 × 0.2 + 0.0418.00.10

= 2.52 m/s

Trazeno povecanje brzine u gornjoj cevi je (u procentima):

∆v2 =2.52− 1.82

1.82100% = 38.4%

69

Zadatak 2.3. Proticaj na mlaznici prikazanoj na slici odreduje se naosnovu merenja razlike pritisaka zivinim manometrom. Pod pretpostavkomda se u presecima A i B (na mestima gde je prikljucen zivin manometar)ostvaruje hidrostaticki raspored pritisaka (tj. da je pijezometarska kota kon-stantna za jedan presek) i da su strujnice medusobno paralelne i upravne napresek, izracunati kotu do koje ce dostici mlaz (pretpostaviti da ce se mlazpopeti iznad otvora mlaznika za 90% brzinske visine mlaza).

Resenje. Jednacine hidrostatike za tacke C i D glase:

ΠZ =pC

ρZg+ ZC

ΠZ =pD

ρZg+ ZD

⇒ pC − pD = ρZg∆h (2.9)

odnosno:

ΠA =pC

ρVg+ ZC

ΠB =pD

ρVg+ ZD

⇒ ΠA − ΠB =pC − pD

ρVg− ∆h (2.10)


Zamenom (2.9) u (2.10) dobija se:

ΠA − ΠB =(

ρZ

ρV− 1

)∆h (2.11)

Jednacina kontinuiteta glasi:

Q1 = Q2 = Q3 ⇒

v1 =(

d2

d1

)2

v2

v3 =(

d2

d3

)2

v2

(2.12)

Energetska jednacina za preseke A i B glasi:

ΠA +v21

2g= ΠB +

v23

2g+ λ1

10.0d1

v21

2g+

v22

2g

(ξK + λ2

10.0d2

)+

+v23

2g

(ξK + λ3

10.0d3

)⇒

ΠA − ΠB =v21

2g(λ1

10.0d1

− 1) +v22

2g

(ξK + λ2

10.0d2

)+

+v23

2g

(1 + ξK + λ3

10.0d3

)(2.13)

Zamenom (2.11) i (2.12) u (2.13), dobija se:

v2 =

√√√√√√19.62

(13.61.0 − 1

)0.80

(0.150.20

)4(1.25− 1) + 0.3 + 1.8 +

(0.150.10

)4(1 + 0.3 + 3)

=

= 2.87 m/s

Proticaj kroz cevovod je:

Q = 2.870.152 × 3.14

4= 0.051 m3/s

Brzina na izlaznom delu mlaznice je:

vML =(

0.150.075

)2

2.87 = 11.49 m/s

Mlaz ce se popeti do kote:

KML = 25.0 + 0.911.492

19.62= 31.06 m

71

Zadatak 2.4. Na slici je prikazan vodovodni sistem na kome se proticajodreduje iz podataka o pritiscima u presecima neposredno uzvodno od kolenai iz poznatih geometrijskih i hidraulickih karakteristika cevi. Lokalni gubitakna ulazu u cev je zanemarljiv, kao i lokalni gubici na kolenima. Sracunatilokalni gubitak na zatvaracu (izraziti ga u odnosu na brzinsku visinu u cevinizvodno od zatvaraca), kao i kotu otvora cevi. U pogodnoj razmeri nacrtatienergetsku i pijezometarsku liniju.

Resenje. Na osnovu poznatih pritisaka na manometrima u presecima uz-vodno od kolena, kao i njihovih polozajnih kota, preko osnovnih jednacinahidrostatike mogu se izracunati pijezometarske kote u tim presecima:

ΠM1 =pM1

ρg+ ZM1 =

−251 × 9.81

+ 110.00 = 107.45 m (2.14)

ΠM2 =pM2

ρg+ ZM2 =

501 × 9.81

+ 100.00 = 105.10 m (2.15)

Energetska jednacina za preseke u kojima je poznata pijezometarska kota je:

ΠM1 +v2

2g= ΠM2 +

v2

2g+ λ

√500.02 + 10.02

d

v2

2g(2.16)

Zamenom (2.14) i (2.15) u (2.16) dobija se:

v =

√√√√19.62(107.45− 105.10)

0.02√

500.02+10.02

0.2

= 0.96 m/s


Koeficijent lokalnog gubitka na zatvaracu odreduje se iz energetske jednacineza presek u rezervoaru (gde je ER = ΠR) i presek M1:

ΠR = ΠM1 +v2

2g+

v2

2g

(ξZ + λ

1000.0d

)⇒

ξZ =19.62(113.00− 107.45)

0.962− 0.02

1000.00.20

− 1 = 16.9

Kota otvora cevi odreduje se iz energetske jednacine za presek M2 i izlaznipresek7:

ΠM2 +v2

2g= ZOTV +

v2

2g+ λ

500.0d

v2

2g

ZOTV = 105.10− 0.02500.00.20

0.962

19.62= 102.74 m

7Duzina cevi izmedu navedenih preseka se aproksimira sa 500 m, posto je cev skorohorizontalna, a “tacna” duzina cevi je

√500.02 + 2.742 = 500.01 m.

73

Zadatak 2.5. Odreditisnagu turbine u sistemu prikaza-nom na slici, ako je precnik cevid = 100 mm, koeficijent linijskihgubitaka λ = 0.025, a citanje nadiferencijalnom manometru (ra-zlika pritisaka) ∆pM = 3.5 kPa.

Resenje. Diferencijalnimanometar M meri razliku pri-tisaka izmedu tacke u gor-njem rezervoaru R1 na koti 10.0(+ strana) i preseka u cevi nakoti 10.0 (− strana), uz pret-postavku da su strujnice u cevipravolinijske i normalne na pre-sek, te da je odgovarajuca pi-jezometarska kota (ΠM−) mero-davna za ceo presek. U tomslucaju, moze se napisati slede-ce:

ΠM+ =pM+

ρg+ 10.00

ΠM− =pM−

ρg+ 10.00

⇒

ΠM− = ΠM+ − ∆pM

ρg= 21.00− 3.5

1 × 9.81= 20.64 m (2.17)

Energetska jednacina za presek u rezervoaru i presek cevi u kome je priklju-cen manometar (a u kome je pijezometarska kota ΠM−) glasi:

21.00 = ΠM− +v2

2g+

v2

2g(ξUL + λ

13.0d

+ ξK) (2.18)


v =

√16.62(21.00− 20.64)

1 + 1 + 0.02513.00.10 + 0.5

= 1.10 m/s ⇒


Q = 1.100.102 × 3.14

4= 8.67 · 10−3 m3/s

Energetska jednacina za preseke u rezervoarima je:

21.00 = 1.00 +v2

2g(ξUL + λ

26.0d

+ 3ξK + ξIZL) + HT

gde je HT – razlika energetskih kota u presecima neposredno uzvodno i niz-vodno od turbine (uobicajeni termin je “pad turbine”), koji iznosi:

HT = 21.00− 1.00− 1.102

19.62(1 + 0.025

26.00.10

+ 3 × 0.5 + 1) = 19.38 m

Konacno, snaga turbine je:

NT = ηTρgQHT = 0.8× 1× 9.81× 0.00867× 19.38 = 1.32 kW

Zadatak 2.6. Posmatra se crpljenje vode iz rezervoara A u rezervoarB crpkom C1 (prvi slucaj – crpka C2 je iskljucena i voda ne protice krozdonju cev). Za dato citanje na manometru M1 odrediti snagu crpke, ako jenjen koeficijent korisnog dejstva η = 0.80. Ukoliko se ukljuci i crpka C2 saistim koeficijentom korisnog dejstva η (drugi slucaj), pri cemu je sada citanjena manometru M2 isto kao na manometru M1 (a koje je ostalo neprome-njeno, odnosno kao u prvom slucaju), kolikom ce snagom raditi crpka C1?Pretpostaviti da je koeficijenat η crpke C1 ostao nepromenjen. Nacrtati upogodnoj razmeri pijezometarsku i energetsku liniju za prvi slucaj.

75

Resenje. Iz citanja na manometru M1 odreduje se prvo pijezometarskakota na mestu gde je manometar prikljucen (presek 1):

Π1 =pM1

ρg+ ZM1 =

17.371 × 9.81

+ 98.00 = 99.77 m

a zatim se pomocu energetske jednacine za preseke u rezervoaru A i 1 racunaproticaj:

ΠA = Π1 +v21

2g+

v21

2g

(ξUL + λ1

10.0d1

)⇒

v1 =

√19.62(100.00− 99.77)

1 + 0.5 + 0.0310.00.10

= 1.00 m/s

Q1 = 1.000.102 × 3.14

4= 7.85 · 10−3 m3/s

Q1 = Q2 ⇒ v2 =(

0.100.15

)2

1.00 = 0.44 m/s

Za sracunati proticaj, snaga crpke se racuna iz energetske jednacine napisaneza preseke u rezervoarima A i B:

ΠA = ΠB +v21

2g

(ξUL + ξK1 + λ1

17.0d1

)+

+v22

2g

(ξR + ξK2 + ξIZL + λ2

2.0 +√

25.02 + 10.02

d2

)− HC1

gde je HC1 – razlika energetskih kota u presecima neposredno nizvodno iuzvodno od crpke (uobicajeni naziv je “visina dizanja crpke”), koja iznosi:

HC1 = 110.00− 100.00 +1.002

19.62

(0.5 + 0.2 + 0.03

17.00.10

)+

+0.442

19.62

(0.3 + 0.1 + 1 + 0.02

28.930.15

)= 10.35 m

SC1 =1ηρgQ1HC1 =

10.8

1000× 9.81× 0.00785× 10.35 = 997 W


U slucaju kada su ukljucene obe crpke, kroz donju i gornju cev idu istiproticaji kao kroz gornju cev u prethodnom slucaju. Kroz gornju cev se nemenja proticaj jer je citanje na manometru M1 ostalo nepromenjeno. Krozdonju cev ide isti proticaj kao kroz gornju jer su cevi istog precnika, duzinei oblika, a manometar M2 je postavljen na mestu odgovarajucem onom nakome je postavljen manometar M1 kod gornje cevi, pa je pijezometarskakota za odgovarajuci presek donje cevi Π2 = Π1 = 99.77m. Proticaj i brzinakroz kosu cev je dva puta veci:

Q′2 = 2Q2 ⇒ v′2 = 2v2 = 2 × 0.44 = 0.89 m/s ⇒

H ′C1 = 110.00− 100.00 +

1.002

19.62

(0.5 + 0.2 + 0.03

17.00.10

)+

+0.892

19.62

(0.3 + 0.1 + 1 + 0.02

28.930.15

)= 10.51 m ⇒

S ′C1 =

1ηρgQ′

1H′C1 =

10.8

1000× 9.81× 0.00785× 10.51 = 1012 W

Dakle, da bi se trazeni uslov ostvario, potrebno je da se snaga crpke povecaza:

∆SC1 =1017− 997

997100% = 1.5%

77

Zadatak 2.7. Za instalaciju prikazanu na slici, izracunati koliko sepotrosi elektricne energije kojom se napaja motor crpke za 5 sati rada, uko-liko je momenat sile na osovini tocka (poluprecnika r = 1.0 m) konstantan iiznosi M = 800 Nm. Koeficijent sile (odnosno odnos sile kojom voda delujena tocak i inercijalne sile na izlazu iz cevi) iznosi CF = 0.9 i on obuhvatasve gubitke usled trenja, razlike brzina tocka i vodenog mlaza i sl. Sracunaticitanje na manometru M1, koji se nalazi neposredno uzvodno od crpke.Nacrtati u pogodnoj razmeri pijezometarsku i energetsku liniju.

Resenje. Moment sile na osovini tocka jednak je proizvodu sile F kojomvoda deluje na tocak i kraka sile (poluprecnik tocka):

M = F × r = CF ρQvr = CF ρv2d22π

4r

Iz ove jednacine dobija se:

v2 =

√4 × 800

0.9× 1000× 0.102 × 3.14× 1.0= 10.64 m/s

Q = 10.640.102 × 3.14

4= 0.0836 m3/s

Na osnovu jednacine kontinuiteta je:

v1 =(

d2

d1

)2

v2 =(

0.100.25

)2

10.64 = 1.70 m/s

Visina dizanja crpke HC odreduje se iz energetske jednacine za presek urezervoaru i izlazni presek:


0.80 = 2.00 +v22

2g+

v21

2g

(ξUL + ξK + λ1

√5.02 + 2.02 + 2.0

d1

)+

+v22

2gλ2

10.0d2

− HC ⇒

HC = 2.0− 0.8 +1.702

19.62

(0.7 + 0.1 + 0.020

7.390.25

)+

+10.642

19.62

(1 + 0.025

10.00.10

)= 21.59 m

79

Snaga crpke i energija utrosena za vreme t = 5 h su:

S =1ηC

ρgQHC =1

0.751 × 9.81× 0.0836× 21.59 = 23.6 kW

E = St = 23.6× 5 = 118 kWh

Pijezometarska kota u preseku ispred crpke dobija se iz energetske jednacineza presek u rezervoaru i presek u kome je prikljucen manometar:

0.80 = Π1 +v21

2g+

v21

2g

(ξUL + ξK + λ1

√5.02 + 2.02 + 2.0

d1

)⇒

Π1 = 0.80− 1.702

19.62

(1 + 0.7 + 0.1 + 0.020

7.390.25

)= 0.46 m

Trazeni pritisak na manometru odreduje se iz jednacine hidrostatike:

p1 = (ΠM1 − ZM1)ρg = (0.46− 2.50)1× 9.81 = −20.0 kPa

Zadatak 2.8. Izracunati snagu crpke, ako se za vrednost koeficijentalokalnog gubitka na zatvaracu ξV = 10 u cevcici A–B precnika d1 = 1 mmostvaruje laminarno tecenje sa Reynolds-ovim brojem Re = 100. Radi jed-nostavnosti proracuna, zanemariti uticaj proticaja u cevcici A–B na jedna-cine kontinuiteta u cvorovima A i B, odnosno zanemariti promenu proticajaduz cevi precnika d2 = 200 mm. Kinematski koeficijent viskoznosti vode jeν = 10−6 m2/s, a gustina vode je ρ = 1.0 kg/dm3.

Resenje. Brzina vode u cevcici je:

Re =v1d1

ν⇒ v1 =

100× 10−6

0.001= 0.10 m/s


Energija izgubljena izmedu preseka A i B, racunato duz cevcice precnika d1,gde se ostvaruje laminarno strujanje, uz zanemarivanje lokalnih gubitaka,iznosi:

∆EA−B =64Re

4.0 + 2(4.0− 3.1)d1

v21

2g=

64100

5.80.001

0.102

19.62= 1.89 m

Taj isti gubitak, racunat duz cevi precnika d2, iznosi:

∆EA−B =v22

19.62

(ξV + λ2

4.0d2

)⇒

v2 =

√19.62× 1.89

10.0 + 0.03 4.00.20

= 1.87 m/s

Posto je d2 = 200d1, proticaj kroz cev d2 je znatno veci od onoga kroz d1

(Q2 � Q1), pa se Q1 moze zanemariti u jednacini kontinuiteta.

Q2 = 1.870.202 × 3.14

4= 0.0588 m3/s

Energetska jednacina za struju duz cevi precnika d2 glasi:

1.0 = 1.0 +v22

2g

(ξUL + 2ξK + ξV + λ2

12.0 + 2× 3.0d2

+ ξIZL

)− HC ⇒

HC =1.872

19.62(0.5 + 2 × 0.4 + 10 + 0.03

18.00.20

+ 1) = 2.68 m

S =1ηρgQ2HC =

10.8

1 × 9.81× 0.0588× 2.68 = 1.93 kW

Zadatak 2.9. Za zatvoreni sistem cevi i rezervoara (A i B) odreditiproticaje Q1 i Q2 i potrebnu snagu crpke. U pogodnoj razmeri nacrtatienergetsku i pijezometarsku liniju za gornju cev.

Resenje. Proticaj kroz sistem moze se odrediti iz energetske jednacine zapreseke u rezervoarima duz struje kroz donju cev:

ΠB = ΠA +v22

2g(ξUL + λ2

10.0d2

+ ξIZL) ⇒

v2 =

√19.62(5.00− 4.50)0.5 + 0.0210.0

0.20 + 1= 1.98 m/s

81

Q2 = 1.980.202 × 3.14

4= 0.0622 m3/s

Cevi na prskacu su istih precnika i hrapavosti i postavljene su simetricnou odnosu na vertikalnu osu, pa su i proticaji kroz ove dve cevi medusobnojednaki:

Q1 =0.0622

2= 0.0311 m3/s ⇒ v1 =

4 × 0.03110.052 × 3.14

= 15.85 m/s

Visina dizanja crpke HC odreduje se iz energetske jednacine za presek urezervoaru A i izlazni presek na prskacu:

4.50 = 5.50 +v21

2g+

v22

2g(ξUL + λ2

20.0 + 1.5d2

+ ξK) +

+v21

2g

(ξR + λ1

√1.02 + 0.52

d1

)− HC ⇒

HC = 5.50− 4.50 +1.982

19.62(0.5 + 0.020

21.500.20

+ 0.4) +

+15.852

19.62

(1 + 0.2 + 0.025

1.120.05

)= 24.13 m

Trazena snaga crpke je:

S =1

0.851 × 9.81× 0.0622× 24.13 = 17.33 kW


Zadatak 2.10. Proticaj kroz cev 3 je dva puta veci od proticaja krozcev 2 (Q3 = 2Q2). Odrediti precnik otvora d0 centralno simetricnog prste-nastog zatvaraca na kraju cevi 3. Voditi racuna o kontrakciji mlaza, odnosnoda presek mlaza AML, koji se uzima kao kontrolni presek za energetsku

83

jednacinu, iznosi 70% od poprecnog preseka otvora zatvaraca A0. Gubitakenergije na zatvaracu iznosi 10% od brzinske visine suzenog mlaza. Sracunatisilu kojom fluidna struja deluje na spoj cevi u preseku A–A.

Resenje.

Q3 = 2Q2

Q1 = Q2 + Q3

}⇒ Q1 = Q2 + 2Q2 = 3Q2 ⇒

v1d2

1π

4= 3v2

d22π

4⇒ v1 = 3

(0.100.15

)2

v2 =43v2

7.60 =10.0√

3+

v22

2g+

v21

2g

(ξUL + λ1

10.0d1

)+

v22

2g

ξR + λ2

2√310.0

d2

⇒

v2 =√

19.62(7.60− 5.77)(

43

)2(0.5 + 0.020

10.00.15

)+ 1 + 0.2 +

+ 0.02311.550.10

= 2.24 m/s ⇒

Q2 = 2.240.102 × 3.14

4= 0.0176 m3/s

v3 = 2v2 = 4.49 m/s ⇒ Q3 = 4.490.102 × 3.14

4= 0.0352 m3/s

v1 =43v2 = 2.99 m/s ⇒ Q1 = 2.99

0.152 × 3.144

= 0.0529 m3/s

vMLAML = v3A3 ⇒ vMLCAd2

0π

4= v3

d23π

4⇒

7.60 = − 10.0√3

+v2ML

2g+

v21

2g

(ξUL + λ1

10.0d1

)+

+v23

2g

ξR + λ2

2√310.0

d2

+ ξZ

v2ML

2g⇒

vML ={[

19.62(7.60+ 5.77)− 2.992(

0.5 + 0.02010.00.15

)−

−4.492(0.2 + 0.023

11.550.10

)]/(1 + 0.1)

}0.5

= 13.09 m/s


vMLAML = v3A3 ⇒ vMLCAd2

0π

4= v3

d23π

4⇒

d0 = d3

√v3

vMLCA= 0.10

√4.49

13.09× 0.7= 0.070 m

U zadatku se trazi da se odredi uti-caj fluidne struje na presek A–A,odnosno da se odrede normalna sila,transverzalna i momenat u preseku.Posto cevi 2 i 3 desno od presekaA–A u statickom smislu predstavlja-ju konzolu, presecne sile usled delova-nja fluida, u preseku A–A se odredujupomocu konturne sile vode koja de-luje na konzolu. Ako se posmatra za-premina vode izmedu preseka A–A iizlaznih preseka cevi 2 i 3, moze senapisati jednacina ravnoteze svih sila:

~I1 + ~PX + ~I2 + ~IML + ~G2 + ~G3 + ~K = 0

gde su I – inercijalne sile, P – sila pritiska (u presecima 2 i 3 je 0), G –tezina vode u cevi i K – sila konture, cevi na vodu. Sila vode na konturu,odnosno na konzolu je:

− ~K = ~R = ~I1 + ~PX + ~I2 + ~IML + ~G2 + ~G3

I1 = 1000× 0.0529× 2.99 = 158.2 NI2 = 1000× 0.0176× 2.24 = 39.5 N

IML = 1000× 0.0352× 13.09 = 461.4 N

7.60 = ΠA +v21

2g+

v21

2g

(ξUL + λ

10.0d1

)

ΠA = 7.60− 2.992

19.62(0.5 + 0.020

10.00.15

+ 1) = 6.31 m

PX = pA−AT A1 = 1000× 9.81(6.31− 0.00)

0.152 × 3.144

= 1093.3 N

85

G2 = G3 = 1000× 9.810.102 × 3.14

411.55 = 889.7 N

Presecne sile u preseku A–A su8:

MA−A = (889.7 + 889.7)5.00 = 8896.7 Nm

TA−A = 889.7 + 889.7 + (39.5− 461.4) cos600 = 1568.4 N

NA−A = 158.2 + 1093.3− (39.5 + 461.4) cos300 = 817.7 N

Zadatak 2.11. Posma-tra se laminarno tecenje vo-de kroz cev (unutrasnjeg prec-nika d = 2 mm. Koeficijentkinematske viskoznosti vodeje ν = 10−6 m2s−1. Odre-diti proticaj. Nacrtati pije-zometarsku i energetsku lini-ju. Sracunati prosecni tan-gencijalni napon izmedu vodei zida cevi i ukupnu silu trenjaza celu cev.

Resenje. Energetska jednacina za presek u rezervoaru i izlazni presek glasi:

ΠREZ = ΠIZL +v2

2g+

v2

2g

(ξUL + λ

√5.02 + 3.02

d

)(2.19)

Za laminarno tecenje vazi zavisnost:

λ =64Re

=64ν

vd(2.20)


10.00 = 8.00 +

(1 + 0.3 +

64× 10−6

v × 0.0025.830.002

)v2

2g⇒

8Sila pritiska PA−AX ne deluje u tezistu preseka, ali je njen ekscentricitet veoma mali pa

se odgovarajuci moment sile moze zanemariti.


2.00 = 0.06626v2 + 4.755v

⇒ v = 0.42 m/s ⇒

Q = 0.420.0022 × 3.14

4=

= 1.31 · 10−6 m3/s

Nakon proracuna proticaja, po-trebno je proveriti pretpostavku olaminarnom tecenju:

Re =v d

ν=

0.42× 0.00210−6

= 840 < ReKRIT

Prosecni tangencijalni napon izmedu vode i zida cevi je:

τ = Cτ12ρv2 =

λ

412ρv2 =

14

64× 10−6

0.42× 0.002121000× 0.422 = 1.67 Pa

Ukupna sila trenja je:

T = τOL = 1.67× 0.002× 3.14× 5.83 = 0.062 N

gde je O – okvaseni obim cevi i L – ukupna duzina cevi.

Zadatak 2.12. Na slici je prikazana standardna laboratorijska insta-lacija sa Thompson-ovim ostroivicnim prelivom. Pretpostavljajuci da je do-

87

nji rezervoar R1 dovoljno veliki da nivo vode u njemu ne zavisi od proticajai da je brzinska visina u gornjem rezervoaru R2 zanemarljiva, odrediti kotuvode u gornjem rezervoaru Π2 pri kojoj crpka radi snagom S = 500 W.

Resenje. Potrebno je postaviti tri jednacine: prva je energetska jednacinaza preseke u donjem i gornjem rezervoaru, druga je jednacina prelivanja zaThompson-ov preliv a treca je izraz za snagu crpke:

Π1 = 2.00 + hT +v2

2g(ξRES + λ

1.6D

+ ξIZL) − HC

QT =516

√2gh5

T ⇒ hT =

(256Q2

25 × 19.62

)0.2

= 0.878Q0.4

S =1ηρgQHC ⇒ HC =

ηS

ρgQ

⇒

1.00 = 2.00 + 0.878Q0.4 +1

19.62

(4Q

0.302 × 3.14

)2

(0.5 + 0.021.60.3

+

+ 1) − 0.8× 5009.81× 1000× Q

⇒

−1.00 = 0.878Q0.4 + 16.4Q2 − 0.0408Q−1

Ova jednacina, nakon mnozenja sa −Q, moze se napisati u obliku:

Q = 0.0408− 0.878Q1.4 − 16.4Q3

odnosno, moze se resiti iterativnim postupkom9:

Q(i+1) = 0.0408− 0.878Q1.4(i) − 16.4Q3

(i)

gde je i – redni broj iteracije. Ako se u prvom koraku uzme Q(1) = 0, do-bija se:

Q(2) = 0.0408− 0.878× 0.00001.4 − 16.4× 0.00003 = 0.0408

Q(3) = 0.0408− 0.878× 0.04081.4 − 16.4× 0.04083 = 0.0300

. . .

9Videti objasnjenje na strani 49.


Q(7) = 0.0408− 0.878× 0.03301.4 − 16.4× 0.03303 = 0.0328

Daljim ponavljanjem moze se pokazati da postupak konvergira vrednostiQ = 0.0328 m3/s. Odgovarajuca visina mlaza na Thompson-ovom prelivuje:

hT = 0.878× 0.03280.4 = 0.224 m

pa je trazena kota vode u gornjem rezervoaru:

Π2 = 2.00 + hT = 2.224 m

Documents

Teˇcenje pod pritiskomhikom.grf.bg.ac.rs/.../Zadaci-TecenjePodPritiskom.pdf · 2015-09-28 · sa koautorima, Zadaci iz Mehanike ﬂuida sa ispita odrˇzanih u 1974. i 1975. god.)