Zadaci Sa Trouglom

5/21/2018 Zadaci Sa Trouglom

1/15

TROUGAO

Mnogougao koji ima tri stranice zove se trougao. Osnovni elementi trougla su :

- Temena A,B,C

- Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeleavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a

- Uglovi , unutranji ,, i spoljanji1

,1

,1

1

1

1AB

C

ab

c

Osnovne relacije za uglove i stranice trougla su:

1) Zbir unutranjih uglova u trouglu je 1800tj. ++ = 180

0

2) Zbir spoljanjih uglova je 3600tj. 1 + 1 + 1 =3600

3) Spoljanji i njemu susedni unutranji ugao su uporedni,tj.

+ 1 =+ 1 = + 1 =1800

4) Spoljanji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutranja ugla, tj

1 =+ 1 = + 1 = +

5) Svaka stranica trougla manja je od zbira a vea od razlike druge dve stranice, tj

cabca

bacba

+


2/15

etiri znaajne take trougla su:

1) Ortocentar (H)

2) Teiste (T)

3) Centar upisane krunice (S)

4) Centar opisane krunice (O)

Ortocentarse nalazi u preseku visina trougla ha,hb,hc.( Visina je najkrae rastojanje od temena do naspramn

stranice). Kod otrouglog trougla je u trouglu, kod pravouglog u temenu pravog ugla a kod tupouglog van

trougla.

AB

C

A

B

C

1

1

1

a b

chhh

H

ha hb hc = H Ortocentar

Teina du trougla je du koja spaja teme sa sredinom naspramne stranice. Teine dui seku se u jednoj ta

a to je TEITE TROUGLA. Teite deli teinu du u razmeri 2:1.

AB

C

AB

C

11

1

T

t

t

ta b

c

1:2:

1:2:

1:2:

1

1

1

=

=

=

TCCT

TBBT

TAAT

Tttt cba =


3/15

Centar upisane kruniceje taka preseka simetrala uglova i kod svih trouglova je u oblasti trougla.

AB

C

SS

S

S

r

Ssss =

Centar opisane kruniceje taka preseka simetrala stranica. Kod otrouglog trougla je u trouglu, kod

pravouglog na sredini hipotenuze i kod tupouglog van trougla.

AB

C

s

s

s

AC

AB

BC

or

Osss BCACAB =


4/15

Vrste trouglova:

Trouglovi se dele prema stranicama i prema uglovima.

Prema stranicama: Prema uglovima:

1)

jednakostranini 1)otrougli

2) jednakokraki 2)pravougli

3) nejednakostranini 3) tupougli

Nejednakostranini

A

B

C

ab

c

O = a + b + c

P=222

cba chbhah == ili P = ))()(( csbsass ili P= r s ili P=R

abc

4

gde je:s poluobim s =

2

cba ++,

r-poluprenik upisane krunice i

R-poluprenik opisane krunice.


5/15

Pravougli:

C A

B

a

b

hc q

p

c

O = a + b + c

P=2

ab ili P=

2

cch odavde je:c

bahc

=

a2

+ b2

= c2 Pitagorina teorema

R =2

c; r =

2

cba +; hc = pq ; a = pc ; b = qc ; c= p+q

Jednakokraki :

A B

C

a

bb ha

a_2

hb

Ovde je a osnova i b krak ( kraci)

O = a + 2b P=22

ba bhah = Primena Pitagorine teoreme: ha2+(

2

a)2= b

2


6/15

Jednakostranini:

A B

C

a

a

a hr

r

y

o

O = 3a i P =4

32a

Visina h =2

3a ;

6

3

3

1 ahry == ;

3

3

3

2 ahro ==

Kod ovog trougla sve etiri znaajne take se nalaze u jednoj taki.

Srednja linija trougla(m) je du koja spaja sredine dve stranice i uvek je jednaka polovini

paralelne stranice.

ab

cA B

C

m=c/2

ab

cA B

C

m=a/2

ab

cA B

C

m=b/

2


7/15

Podudarnost

111 CBAABC (SSS)Ako su sve stranice jednog trougla jednake odgovarajuim stranicama drugog trougla.

(SUS)Ako su dve stranice i zahvaeni ugao jednog trougla jednaki dvema stranicama i zahvaenom uglu drutrougla.

(USU) Ako su stranica i na nju nalegli uglovi jednog trougla jednaki sa stranicom i na nju naleglim uglovimadrugog trougla.

(SSU)Ako su dve stranice i ugao naspram vee od njih jednog trougla jednaki dvema stranicama i uglu nasprvee od njih drugog trougla.

Slinost 111~ CBAABC

111 ,, CCBBAA === ,: 11BAAB ,: 11CBBC 11: ACCA

- Ako su dva ugla jednog trougla jednaka sa dva ugla drugog trougla.- Ako su tri stranice jednog trougla proporcionalne trima stranicama drugog trougla.- Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne dvema stranicama drugog trougla i uglovi izmedju tihstranica jednaki.- Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne sa odgovarajuim stranicama drugog trougla, uglovinaspram dveju od tih odgovarajuih stranica su uglovi iste vrste (ili otri, ili pravi, ili tupi).

ZADACI

1)

Dat je pravougli trougao. Poluprenik opisanog kruga je R=15,a poluprenik upisanog kruga je r=Odrediti osnovice.

Poto se radi o pravouglom trouglu, vae formule:

2

cR= i

2

cbar

+=

ab

ba

ba

cba

=

=+

=+

+=

42

42

1230

26

Sada emo iskoristiti Pitagorinu teoremu.

0864842

0900841764

30)42(

2

22

222

222

=+

=++

=+

=+

aa

aaa

aa

cba

18

24

2

6422,1

=

=

=

a

a

a

za 18244224 === ba za 24184218 === ba

+ 432422 aa Kvadratna po a Dakle , stranice trougla su 18,24,30

?

?

?

6

15

_______

=

=

=

=

=

c

b

a

r

R

30

152

2

=

=

=

c

c

Rc


8/15

2) Poluprenik kruga upisanog u jednokraki trougao osnovice 12=a je 3=r . Izraunatipovrinu i obim trougla.

A B

C

Ma

bb

r

rO

D

x

Obeleavamo sa M podnoje visine iz A sa O centar upisane krunice i sa D podnoje poluprenik

stranicu b

Trouglovi BMC i CDO su slini.Okrenuemo ih da bi uoili tu slinost.

M

C

C

D O

2

a

x+rb

r

x

B

Iz slinosti trouglova sledi proporcionalnost odgovarajuih stranica,

Sada primenjujemo Pitagorinu teoremu na trougao AMC

Podelimo sa 3 i reavamo kao kvadratnu jednainu...

1052

822,1

==

=

bx

x

= 3x Nemogue8835 ==+=+= hrxh

________________

??,

3

12

==

=

=

OP

r

a

xbxb

xb

ra

xb

263

3:6:

:2

:

==

=

=

04563

49636

)2()3(6

)(2

2

22

222

22

2

=

=+++

=++

=++

xx

xxx

xx

brxa

32

10212

2

=

+=

+=

O

O

baO

48

2

812

2

=

=

=

P

P

haP


9/15

3)Uglovi trougla se odnose kao 2:3:7. Duina najmanje stranice je a . Odrediti poluprenikR opisane krunice.

A

B C

B 1

45 45

30

a

bc

60

Povuemo visinu 1BB

Stranice 1BB i CB1 su jednake

Da sklopimo sada rezultate:

aBC=

( ) baaaCBABAC

caAB

=+=+=+=

==

132

2

2

2

2

6

2

11

Povrina trougla je:

7:3:2:: =je

2

3

7

k

k

k

=

= =

1512

180

18012

180732

=

=

=

=++

k

k

k

kkk

o

o

o

2

2

2

2

45sin45sin

1

1

11

aCB

aBB

aBBa

BB oo

=

=

==

2

63

2

2

6060

2

2

12

2

60cos60cos

1

11

1

1

11

aaAB

tgBBABBB

ABtg

a

a

AB

BBABABBB

oo

o

o

==

==

==

==

0

0

0

30

45

105

=

= =


10/15

( ) ( )

( )

( )4 134

2132

2

4

4

4

13

2

2

213

2

2

2

2

2

1

+

+==

=

+=

+=

=

a

aa

a

P

abcR

R

abcP

aaa

BBACP

2

3

a

aR= skratimo

R a=

4)Duina luka izmedju dva susedna temena jednakostraninog trougla upisanog u krug

poluprenika rje3

4=l . Odrediti povrinu trougla.

Poto se obim ovog kruga sastoji iz tri ovakva luka:

Poluprenik opisane krunice je:

3

6

23

3

=

=

a

a

(racionaliemo)

323

36

3

3

3

6

==

=

a

a

( )

2

2

3

4

2 3 3 4 3 33 3

4 4

aP

P

=

= = =

2

424

3

43

=

==

=

r

rO

O

3

3ar=


11/15

5) Povrina otrouglog trougla ije dve stranice su 5=a i 3=b je 6=P . Odredi obimtrougla.

I NAIN

Jedan od obrazaca za povrinu je:

Poto je:

Sad emo iskoristiti kosinusnu teoremu:

Moramo ovde menjati obe vrednosti za cos

ili

Poto je trougao otrougli uzeemo 132=c jer bi u suprotnom sa stranicama 3,4,5 bio pravougl

8 2 13O= +

?

63

5

_______

=

==

=

O

Pb

a

sin2

5 36 sin

2

12 4sin

15 5

a bP

=

=

= =

2 2

2 2

2

sin cos 1

cos 1 sin

16cos 125

9cos

25

3 3cos cos

5 5

+ =

=

=

=

= =

2 2 2

2 2 2

2

2

2 cos

35 3 2 5 35

25 9 18

16

4

c a b ab

c

c

c

c

= +

= +

= +

=

=

132

52

18352

222

=

=++=

c

c

c


12/15

II NAIN

Jedan od obrazaca za povrinu trougla je

)2)(2)(8)(8(1636

28

22

22

2836

2

83

2

85

2

8

2

86

))()((

++=

++=

+

+

++

=

=

cccc

cccc

ccccc

csbsassP

= )4)(64(576 22 cc Smena tc =2

ttt

tt

425664576

)4)(64(576

2 +=

=

=+ 0832682 tt Kvadratna po t

1652

2

3668

2

1

2,1

==

=

tt

t

Dakle: ili

A ovo su ista reenja kao kod prvog naina...

6

3

5

=

=

=

P

b

a

132

52

522

=

=

=

c

c

c

4

162

=

=

c

c


13/15

6)Obim pravouglog trougla je 36=O , a poluprenik upisanog kruga je 3=r . Odrediti obimopisanog kruga.

Pazi: BCACABCBACBA 222)( 2222 +++++=++

2

2

2 12 12 36......../ : 2

6 6 18

(21 ) 6 6(21 ) 18 0

21 6 126 6 18 0

21 108 0

ab a b

ab a b

a a a a

a a a a

a a

=

=

+ = + + =

+ =

=+ 0108212 aa Kvadratna po a

129

912

2

321

2

1

2,1

==

==

=

ba

ba

a

1569126 =+=+= bac

Poto je: 1522 == RRc

Obim opisanog kruga je: 152 == RO

?

3

36

_________

=

=

=

krO

r

O

36

O a b c

a b c

= + +

+ + = 2

32

6 odavde izrazimo c

6

a b cr

a b c

a b c

c a b

+ =

+ =

+ =

= +

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

( 6)

36 2 12 12

a b c

a b a b

a b a b ab a b

+ =

+ = +

+ = + + +

ab

ba

ba

cba

cba

=

=+

=+

=+

=++

21

21

4222

6

36


14/15


15/15

Documents

Zadaci Sa Trouglom