Tehnike mrežnog planiranja

Tehnike mrežnog planiranja u upravljanju projektima

Doc. dr.sc. Marko Mladineo, mag.ing.

[email protected]

Sveučilište u Splitu, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Zavod za proizvodno strojarstvo, Katedra za industrijsko inženjerstvo

Sadržaj

1. Uvod

2. Upravljanje projektima

3. Tehnike mrežnog planiranja

3.1. Analiza strukture

3.2. Analiza vremena

3.3. Analiza troškova

3.4. Analiza resursa

4. Zaključak

1. Uvod

Kroz povijest čovječanstva izvedeni su mnogi impresivni projekti, posebno veliki graditeljski pothvati.

2000 1500 1000 500 1 500 1000 1500 2000

prije Krista poslije Krista I

Velika piramida u Gizi

2500. pr. Kr.

230 x 145 m

20 godina gradnje

Colloseum

1. st.

190 x 150 x 50 m

10 godina gradnje

Notre-Dame de Paris

12 - 14. st.

130 x 50 x 60 m

180 godina gradnje

Veliki zid dinastije Ming

15 - 16. st.

8.800 km

100 godina gradnje

Zloupotreba ljudskih resursa - robovi!

1. Uvod

Na koji način se tada upravljalo projektima? Zašto se upravljanje projektima kao znanstvena disciplina pojavilo tek u 20. stoljeću?

2000 1500 1000 500 1 500 1000 1500 2000

prije Krista poslije Krista I

St Paul’s Cathedral

17. st.

160 x 60 x 80 m

50 godina gradnje

Put na mjesec

1960 - 1969.

384.400 km

9 godina do slijetanja

U 20. st.: Drastično skraćenje vremena trajanja projekata!

• Project-il

• Project-ion

• Izvedeno od latinskog proicere = baciti naprijed

• Manu-al

• Man-age

• Izvedeno od latinskog manus = ruka

• Projektni menadžment (Upravljanje projektima)

Ciljano / usmjereno djelovanje / upravljanje

1. Uvod

https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjw0eKg3-DgAhWLCuwKHZI3BF4QjRx6BAgBEAU&url=https://www.saddlespace.org/whittakerm/science/cms_page/view/7795363&psig=AOvVaw196DHmBAJb-c-Pm5i6MnJ_&ust=1551522861591835


Projekt je privremeno uloženi trud da bi se postigao cilj, odnosno proizveo jedinstveni proizvod, usluga ili neki drugi rezultat.

Njegova privremenost ne podrazumijeva kratko trajanje, nego početak i završetak, za razliku od procesa koji može imati kontinuirano trajanje.

VRSTE PROJEKATA

izrada nekog proizvoda ili objekta

istraživački i razvojni projekti

nabava i instaliranje novih strojeva ili opreme

remont i održavanje postrojenja

reorganizacija u poduzeću



Upravljanje projektima (engl. Project Management) podrazumijeva primjenu znanja, vještina, alata i tehnika da bi se osiguralo uspješno izvođenje glavnih grupa procesa unutar projekta:

• Pokretanje projekta

• Planiranje projekta (Tehnike mrežnog planiranja)

• Izvršenje projekta

• Nadzor i kontrola projekta

• Završavanje projekta

Institut za upravljanje projektima je organizacija koja uvodi i vodi računa o standardima za upravljanje projektima (kao što su: ANSI/PMI 99-001-2008 i ISO 21500:2012).


Pri upravljanju projektom, voditelj projekta i njegov tim moraju balansirati između sljedećih projektnih ograničenja:

• Obujam projekta (Analiza strukture)

• Kvaliteta projekta (Analiza strukture)

• Terminski plan projekta (Analiza vremena)

• Budžet projekta (Analiza troškova)

• Resursi projekta (Analiza resursa)

• Rizici za projekt (Analiza rizika)

Najpoznatija skupina alata koja potpomaže upravljanje projektima naziva se: Tehnike mrežnog planiranja.

Nije dio tehnika mrežnog planiranja!


Tehnike mrežnog planiranja utemeljene su na činjenici da je svaki projekt moguće prikazati u obliku mrežnog dijagrama:

One pružaju podršku odlučivanju voditelju projekta pri donošenju bitnih odluka kod upravljanja projektima.

Mogu se promatrati kao dio menadžerskog sustava za podršku odlučivanju (engl. Decision Support System - DSS).


Digresija: Bitno je naglasak staviti na podršku odlučivanju, jer je vrlo upitno može li uopće umjetna inteligencija odlučivati.


Digresija: Odluka je prvenstveno odraz čovjekove volje, koju umjetna inteligencija ne posjeduje, ali joj može biti podrška!


Ključni pojmovi kod Tehnika mrežnog planiranja su:

Projekt – planski zadatak koji je potrebno izvršiti u nekom vremenu.

Aktivnost – dio projekta koji treba obaviti u određenoj ovisnosti o drugim aktivnostima.

Događaj – trenutno zbivanje, nema vlastito vrijeme trajanja.

2017 I I I I I I 2018 I I I I I I 2019 I I I I I I

Projekt Aktivnost Događaj

Gradnja zgrade betoniranje temelja početak ili završetak

betoniranja

Nabava i instaliranje novih strojeva

montaža motora početak ili završetak

montaže

Istraživački i razvojni projekt

laboratorijski eksperiment

početak ili završetak eksperimenta

Reorganizacija u poduzeću

pisanje izvještaja početak ili završetak

pisanja

Remont i održavanje postrojenja

izmjena motornog ulja početak ili završetak

izmjene


Primjeri projekta, aktivnosti i događaja:

Mrežni dijagram - grafički prikaz projekta.

Put - neprekinuti niz aktivnosti od početka do završetka projekta.

Kritični put - put od početnog do završnog događaja projekta koji svojim trajanjem određuje ukupno trajanje projekta.


Najpoznatije tehnike mrežnog planiranja:

1. CPM (Critical Path Method) Metoda kritičnog puta – koristi se pri planiranju projekata kod kojih se može precizno odrediti vrijeme potrebno za izvršenje pojedinih aktivnosti.

2. PERT (Project/Program Evaluation and Review Technique) Metoda procjene i analize projekta – koristi se u planiranju istraživačkih projekata, odnosno projekata gdje vremena imaju više značajku slučajnih nego normiranih veličina.

3. PDM (Precedence Diagram Method) Metoda prethodnosti – koristi se pri planiranju projekata sa složenijim procjenama potrebnih vremena i složenijim međuovisnostima među aktivnostima.


Primjena neke od Tehnika mrežnog planiranja (TMP) odvija se najčešće u četiri koraka:

1.

ANALIZA STRUKTURE

2.

ANALIZA VREMENA

3.

ANALIZA TROŠKOVA

4.

ANALIZA RESURSA



“Ja vidim prirodu kao veličanstvenu strukturu koju mi možemo vrlo malo razumjeti.”

(Albert Einstein)

• izrada liste aktivnosti

• određivanje međuovisnosti među aktivnostima

• određivanje vremena trajanja aktivnosti

• određivanje potrebnih resursa (ljudi, materijala, i sl.)

• određivanje troškova svake aktivnosti

• konstrukcija mrežnog dijagrama

Analiza strukture mrežnog dijagrama odvija se realizacijom sljedećih radnji:


CPM i PERT metode za prikazivanje projekta u obliku mrežnog dijagrama koriste matematički mrežni dijagram (PERT Chart). Stoga se pri konstruiranju treba držati matematičkih pravila.

PDM metoda za prikazivanje projekta u obliku mrežnog dijagrama koristi shematski mrežni dijagram (Project Network Diagram). Takav dijagram ne zahtjeva poštivanje nikakve matematičke dosljednosti, što je svojevrsna prednost.

Aktivnost A Aktivnost B

Aktivnost A Aktivnost B


Najvažnija pravila konstruiranja matematičkog mrežnog dijagrama:

A

A B

A B D

C S1

Svaka aktivnost počinje i završava događajem.

Ako neka aktivnost mora biti završena da bi mogla otpočeti sljedeća, onda aktivnosti moraju biti postavljene jedna iza druge.

Ako dvije ili više aktivnosti imaju isti ili početni ili završni događaj, onda se u cilju jednoznačnosti prikazivanja uvodi prividna aktivnost.


C = B ???

U svrhu prepoznavanja i pronalaženja aktivnosti u matematičkom mrežnom dijagramu potrebno je numerirati događaje.

Koristi se Fulkersonovo pravilo:

1. Početni događaj mreže numerira se početnim brojem (najčešće nulom ili jedinicom), te se precrtaju sve aktivnosti koje izlaze iz početnog događaja.

2. Sljedećim većim brojem numeriraju (najčešće samo parnim) se događaji polazeći odozgo prema dolje, kojima prethode samo precrtane aktivnosti.

3. Opet se precrtaju aktivnosti koje izlaze iz događaja numeriranih u 2. koraku.

4. Koraci 2. i 3. se ponavljaju sve dok se ne numeriraju svi događaji u mrežnom dijagramu.


Jednostavan projekt prikazan načinom CPM i PERT metoda:

Jednostavan projekt prikazan načinom PDM metode:


Projekt "Restrukturiranje

organizacijske strukture"

"Izrada liste zadataka"

8 dana

150 €

6 radnika

"Izrada liste zaposlenika"

10 dana

190 €

7 radnika

"Kontrola liste zadataka i zaposlenika"

5 dana

170 €

5 radnika

"Dodjeljivanje zadataka zaposlenicima"

6 dana

200 €

4 radnika

"Praćenje i kontrola izvršavanja zadataka"

8 dana

220 €

5 radnika

"Izvršavanje zadataka restrukturiranja"

3 dana

160 €

12 radnika

"Procjenjivanje uspješnosti restrukturiranja"

7 dana

190 €

4 radnika


Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 8dA2 10dB3 5dC4 6dD5 8dE6 3dF7 7dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Aktivnost Oznaka Ovisi o t

Izrada liste zadataka A - 8

Izrada liste zaposlenika B - 10

Kontrola liste zadataka i zaposlenika C A, B 5

Dodjeljivanje zadataka zaposlenicima D B 6

Praćenje i kontrola izvršavanja zadataka E B 8

Izvršavanje zadataka restrukturiranja F C, D 3

Procjenjivanje uspješnosti restrukturiranja G E, F 7


Vremenski prikaz projekta pomoću

Gantograma!

“Vrijeme je ono što sprječava da se sve dogodi odjednom.”

(Ray Cummings)


Cilj analize vremena:

• odrediti vrijeme potrebno za izvršenje projekta

• odrediti kritični put

Svrha analize vremena:

• otkriti potrebu za isključivanjem aktivnosti koje leže na kritičnom putu, a koje nisu neophodne za realizaciju projekta;

• otkriti potrebu za usporednim izvođenjem aktivnosti koje inače dolaze u nizu jedna za drugom;

• otkriti potrebu za ulaganjem u novu opremu, ljude i sl.


Da bi se mogla izvršiti analiza vremena, potrebno je za svaku aktivnost j-k definirati vrijeme tjk potrebno za njenu realizaciju.

Za svaki događaj proračunavaju se vremena TE i TL koja označavaju:

TEj - najranije vrijeme događaja j (Earliest Time)

TLj - najkasnije vrijeme događaja j (Latest Time)

Za svaku aktivnost j-k potrebno je izračunati:

TEj - najraniji (mogući) početak aktivnosti j-k

TLj - najkasniji (dozvoljeni) početak aktivnosti j-k

TEk - najraniji (mogući) završetak aktivnosti j-k

TLk - najkasniji (dozvoljeni) završetak aktivnosti j-k


Kod PDM metode:

RP (rani početak)

KP (kasni početak)

RZ (rani završetak)

KZ (kasni završetak)

Nastala 1950-tih godina pri planiranju remonta kemijskog postrojenja.

Svoj naziv dobila u projektu Američke mornarice razvoja nuklearnih podmornica s balističkim projektilima. Projekt je bio vrlo složen, jer je uključivao oko 3.000 kooperanata, dobavljača i suradnika, a vremenski rok završetka projekta je morao biti što kraći.

Metoda kritičnog puta (CPM - Critical Path Method) koristi se pri planiranju projekata kod kojih se može precizno odrediti vrijeme potrebno za izvršenje pojedinih aktivnosti.

3.2. Analiza vremena – CPM metoda

TEj TLj

j

TEk TLk

k

tjk

tjk - vrijeme potrebno za realizaciju aktivnosti j-k

Aktivnost j-k


Proračun ranijih vremena TE (proračun unaprijed) otpočinje od početnog događaja prema završnom:

TEk = max(j) ( TEj + tjk )

za početni događaj usvaja se TE = 0

Proračun kasnijih vremena TL (proračun unatrag) otpočinje od završnog događaja prema početnom:

TLj = min(k) ( TLk - tjk )

za završni (n) događaj usvaja se TLn = TEn


Svaka aktivnost j-k čije je vrijeme trajanja tjk manje od njezinog maksimalno dozvoljenog vremena trajanja, ima određenu vremensku rezervu. Kod analize vremena po CPM i PERT metodi definiraju se četiri vremenske rezerve, a proizlaze iz međuovisnosti različitih aktivnosti:

• ukupna vremenska rezerva (Rt) • slobodna vremenska rezerva (Rs) • uvjetna vremenska rezerva (Ru) • neovisna vremenska rezerva (Rn)


TEj TLj

j

TEk TLk

k

tjk

Aktivnost j-k

Rs

Ru

Rn

Rt tjk

tjk

tjk


Kritični put nalazi se na onim aktivnostima čija je ukupna vremenska rezerva jednaka nuli: Rt = 0. Svako kašnjenje na kritičnom putu, uzrokovat će kašnjenje cijelog projekta. U mrežnom dijagramu može postojati više kritičnih putova.


Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 8dA2 10dB3 5dC4 6dD5 8dE6 3dF7 7dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni










A 8

B

10

C 5

D 6

S1 0

E 8

F 3

G 7

S2 0

S3

0


A 8

B

10

C 5

D 6 S1 0

E 8

F 3

G 7


0

2

6

8 10

4

A 8

B

10

C 5

D 6 S1 0

E 8

F 3

G 7

Numeracija događaja primjenom

Fulkersonovog pravila


0

0

2

10

6

16

8

19

10

26

4

10

A 8

B

10

C 5

D 6 S1 0

E 8

F 3

G 7

Proračun vremena TE (proračun unaprijed)

TEk = max(j) ( TEj + tjk )

TE8 = TE2 + tE = 10 + 8 = 18 TE8 = TE6 + tF = 16 + 3 = 19

TE0 = 0


0

0 0

2

10 10

6

16 16

8

19 19

10

26 26

4

10 11

A 8

B

10

C 5

D 6 S1 0

E 8

F 3

G 7

Proračun vremena TL (proračun unatrag)

TLj = min(k) ( TLk - tjk )

TL2 = TL4 - tS1 = 11 - 0 = 11 TL2 = TL6 - tD = 16 - 6 = 10 TL2 = TL8 - tE = 19 - 8 = 11

TLn = TEn


0

0 0

2

10 10

6

16 16

8

19 19

10

26 26

4

10 11

A 8

B

10

C 5

D 6 S1 0

E 8

F 3

G 7

Kritični put: B-D-F-G

Označavanje kritičnog puta


Nastala 1960-tih godina, a čini temelj na kojem su izgrađeni programski paketi kao što je Microsoft Project.

Originalno opisana kao „ne-računalni pristup CPM metodi”, zbog svog shematskog ne-matematičkog mrežnog dijagrama.

Metoda prethodnosti (PDM - Precedence Diagram Method) koristi se pri planiranju projekata sa složenijim procjenama potrebnih vremena i složenijim međuovisnostima među aktivnostima.

3.2. Analiza vremena – PDM metoda

Aktivnost j t

RP RZ Rt

KP KZ Rs

Aktivnost k t

RP RZ Rt

KP KZ Rs

RPk = RZj,max

RZk = RPk + tk

KZj = KPk,min

KPj = KZj - tj

Rt = KZj - RZj

Rs = RPk,min - RZj

RP - najraniji početak aktivnosti

KP - najkasniji početak aktivnosti

RZ - najraniji završetak aktivnosti

KZ - najkasniji završetak aktivnosti

Rt - ukupna vremenska rezerva

Rs - slobodna vremenska rezerva

t - vremensko trajanje aktivnosti


Osnovna vremena i vremenske rezerve kod PDM metode:

Završetak-Početak

End-Start (ES)

Aktivnost A

Aktivnost B

± Δt

Aktivnost A

Aktivnost B

± Δt

Aktivnost A

Aktivnost B

± Δt

Aktivnost A

Aktivnost B

± Δt

Završetak-Završetak

End-End (EE)

Početak-Završetak

Start-End (SE)

Početak-Početak

Start-Start (SS)


PDM metoda podržava definiranje različitih vrsta međuovisnosti:

Kao i kod CPM metode, proračun ranijih vremena (proračun unaprijed) otpočinje od početnog događaja:

RPk = max(j) ( RPj + tjk )

za početni događaj usvaja se RP = 0

Proračun kasnijih vremena (proračun unatrag) otpočinje od završnog događaja prema početnom:

KZj = min(k) ( KZk - tjk )

za završni (n) događaj usvaja se KZn = RZn


Kod analize vremena po PDM metodi definiraju se dvije vremenske rezerve, a proizlaze iz međuovisnosti različitih aktivnosti:

• ukupna vremenska rezerva (Rt) • slobodna vremenska rezerva (Rs)

Kritični put nalazi se na onim aktivnostima čija je ukupna vremenska rezerva jednaka nuli: Rt = 0.


Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 8dA2 10dB3 5dC4 6dD5 8dE6 3dF7 7dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni










A 8

B 10

C 5

D 6

E 8

F 3 G 7

Konstruiranje mrežnog dijagrama


A 8

0 8

B 10

0 10

C 5

10 15

D 6

10 16

E 8

10 18

F 3

16 19

G 7

19 26

Proračun vremena RP i RZ (proračun unaprijed)

RPk = RZj,max

RPF = RZC = 15

RPF = RZD = 16

Projekt počinje u 0


A 8

0 8

3 11

B 10

0 10

0 10

C 5

10 15

11 16

D 6

10 16

10 16

E 8

10 18

11 19

F 3

16 19

16 19

G 7

19 26

19 26

Proračun vremena KP i KZ (proračun unatrag)

KZj = KPk,min

KZB = KPC = 11

KZB = KPD = 10 KZB = KPE = 11

KZn = RZn


A 8

0 8 3

3 11 2

B 10

0 10 0

0 10 0

C 5

10 15 1

11 16 1

D 6

10 16 0

10 16 0

E 8

10 18 1

11 19 1

F 3

16 19 0

16 19 0

G 7

19 26 0

19 26 0

Proračun vremenskih rezervi Rt i Rs

Rs = RPk,min - RZj

Rs = RPG - RZE = 19 - 18 = 1


A 8

0 8 3

3 11 2

B 10

0 10 0

0 10 0

C 5

10 15 1

11 16 1

D 6

10 16 0

10 16 0

E 8

10 18 1

11 19 1

F 3

16 19 0

16 19 0

G 7

19 26 0

19 26 0


Označavanje kritičnog puta











Dodatni uvjeti: RPA = 6 KZG = 30 SSAC = 5 EEDF = 5

A 8

6 14

B 10

0 10

C 5

11 16

D 6

10 16

E 8

10 18

F 3

18 21

G 7

21 28

30

SSAC = 5

EEDF = 5

Proračun vremena RP i RZ (proračun unaprijed)

Treba poštivati EEDF

RZF = RZD + EEDF = 16 + 5 = 21

RPF = RZF - tF = 21 - 3 = 18

Treba poštivati SSAC

RPC = RPA + SSAC = 6 + 5 = 11

RZC = RPC + tC = 11 + 5 = 16


A 8

6 14

10 18

B 10

0 10

2 12

C 5

11 16

15 20

D 6

10 16

12 18

E 8

10 18

15 23

F 3

18 21

20 23

G 7

21 28

23 30

SSAC = 5

EEDF = 5

Treba poštivati EEDF

KZD = KZF - EEDF = 23 - 5 = 18

KPD = KZD - tD = 18 - 6 = 12

Treba poštivati SSAC

KPA = KPC - SSAC = 15 - 5 = 10

KZA = KPA + tA = 10 + 8 = 18


Proračun vremena KP i KZ (proračun unaprijed)

A 8

6 14 4

10 18 0

B 10

0 10 2

2 12 0

C 5

11 16 4

15 20 2

D 6

10 16 2

12 18 2

E 8

10 18 5

15 23 3

F 3

18 21 2

20 23 0

G 7

21 28 2

23 30 2

SSAC = 5

EEDF = 5



Nastala 1950-tih godina u projektu Američke mornarice razvoja balističkog projektila “Polaris”. Projektil je trebalo lansirati s nuklearne podmornice, što do tada nikad nije bilo učinjeno.

U proračune vremena CPM metode uvodi statistiku i vjerojatnost.

Metoda procjene i analize projekta (PERT - Project/Program Evaluation and Review Technique) koristi se u planiranju novih ili istraživačkih projekata, gdje vremena više imaju značajku slučajnih veličina, nego normiranih.

3.2. Analiza vremena – PERT metoda

Kod metode PERT polazi se od pretpostavke da je teško prognozirati vrijeme trajanja aktivnosti, ali da se očekivano vrijeme može izračunati na temelju dostupnih podataka o sličnim poslovima i/ili primjenom statistike.

Za svaku aktivnost definiraju se tri vremena trajanja aktivnosti:

1. optimističko vrijeme to (ili a)

2. najvjerojatnije vrijeme m (ili b)

3. pesimističko vrijeme tp (ili c)

Smatra se da se procjene vremena trajanja aktivnosti podvrgavaju ß razdiobi.


Optimističko vrijeme trajanja predstavlja vrijeme koje se može postići pod vrlo povoljnim uvjetima rada, odnosno u idealnim uvjetima bez ikakvih smetnji. To je vrijeme za koje je moguće izvršiti neku aktivnost, ali s vjerojatnošću nula.

Pesimističko vrijeme predstavlja vremensko trajanje aktivnosti koje se može dogoditi samo u vrlo nepovoljnim okolnostima izvođenja određene aktivnosti. Ono pokazuje koliko dugo može trajati neka aktivnost kad bi nastale sve prepreke koje mogu nastati, a vjerojatnost za to je nula.

Najvjerojatnije vrijeme predstavlja vremensko trajanje aktivnosti koje u praksi ima najveću pojedinačnu vjerojatnost da se ostvari i koje se javlja u normalnim radnim uvjetima. Ima vrijednost parametra u tjemenu krivulje ß razdiobe.


Na temelju ova tri procijenjena vremena, određuje se očekivano vrijeme trajanja aktivnosti te :

Očekivano vrijeme trajanja aktivnosti dijeli površinu ispod ß razdiobe na dva jednaka dijela, te se ono koristi pri rješavanju mrežnog dijagrama.

Također, potrebno je proračunati varijancu trajanja aktivnosti σ2jk,

koja predstavlja mjeru nesigurnosti s kojom je procijenjeno trajanje aktivnosti. Varijanca ß razdiobe iznosi:

te = ( to + 4·m + tp )

6

σ2jk = (

tp - to ) 2

6


Primjeri ß razdiobi vremena


Na temelju centralnog graničnog teorema i adicionog teorema može se dokazati da će se razdioba vremena TE približiti normalnoj razdiobi, premda se vremena trajanja pojedinih aktivnosti podvrgavaju ß razdiobi.

Varijanca razdiobe vrijednosti TE bit će jednaka zbroju varijanci aktivnosti koje leže na putu događaja čija vrijednost vremena TE se promatra:

σ2TE = Σ σ2

jk

Razdioba vrijednosti vremena TE sve više se približava normalnoj razdiobi što je duži kritični put (barem deset aktivnosti).


Proračunata vrijednost očekivanog vremena (TE) trajanje projekta je srednja vrijednost normalne razdiobe, iz čega slijedi:

• postoji vjerojatnost od 50% da će se promatrani događaj dogoditi u vremenu TE ili ranije

• postoji vjerojatnost od 50% da će se promatrani događaj dogoditi u vremenu TE ili kasnije

• unutar intervala TE ± 3·σTE nalazi se 99,73% vrijednosti TE

TE


Oznaka Ovisi o Optimističko to Najvjerojatnije m Pesimističko tp

A - 6 8 16

B - 9 10 17

C A, B 3 5 7

D B 5 6 13

E B 6 8 10

F C, D 2 3 4

G E, F 6 7 14


Ne koristi se izravno

nijedno od zadanih

vremena!

Oznaka Ovisi o to m tp Očekivano te Varijanca σ2

A - 6 8 16 9 2,778

B - 9 10 17 11 1,778

C A, B 3 5 7 5 0,444

D B 5 6 13 7 1,778

E B 6 8 10 8 0,444

F C, D 2 3 4 3 0,111

G E, F 6 7 14 8 1,778

Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 9dA2 11dB3 5dC4 7dD5 8dE6 3dF7 8dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni


Proračunava se

očekivano vrijeme i

varijanca.


0

0 0

2

11 11

6

18 18

8

21 21

10

29 29

4

11 13

A 9

B

11

C 5

D 7 S1 0

F 3

G 8

E 8

0

0

0 0

2

0

Proračun vremena kao i kod CPM metode

(koriste se očekivana vremena trajanja)

Kod PERT metode na dijagram se upisuje zračnost događaja, odnosno razlika kasnijeg i ranijeg vremena događaja.


Vremenski interval u kojem će proračunati projekt biti izvršen s vjerojatnošću od 99,73% je: TE ± 3·σTE = 29 ± 3·√ (1,778 + 1,778 + 0,111 + 1,778) TE ± 3·σTE = 29 ± 7 = interval od 22 do 36 VJ Vjerojatnost da projekt bude završen do 33 VJ iznosi: z =

TS - TE =

33 - 29 = 1,7 95,5% (očita se iz tablice P(z))

σTE 2,33



“Tko od vas, nakan graditi kulu, neće prije sjesti i proračunati troškove ima li čime dovršiti: da ga ne bi - pošto već postavi temelj, a ne mogne dovršiti - počeli ismjehivati svi koji to vide.”

(Isus Krist; Lk 14,28-30)

Analizom troškova pronalazi se optimalna ovisnost troškova i vremena realizacije pojedinih aktivnosti, ali i projekta kao cjeline.

Za rješavanje problema analize troškova koristi se heuristička metode koja je poznata pod nazivom PERT/COST.

Metoda PERT/COST nastoji uspostaviti odnos između vremena trajanja određenog projekta i troškova realizacije.


Analiza troškova projekta primjenom tehnike mrežnog planiranja sastoji se od:

• određivanja troškova za svaku aktivnost

• proračuna troškova projekta

• određivanja ovisnosti “troškovi-vrijeme” za svaku aktivnost

• proračuna i optimiranja ukupnih troškova projekta


Ukupni troškovi projekta CU sastoje se od zbroja troškova projekta CP i dodatnih troškova CD , a ovise o vremenu trajanja projekta, odnosno o proračunatom vremenu završetka projekta:

CU = CP + CD

Troškovi projekta CP ovise o vremenu trajanja projekta, a svaka aktivnost projekta može biti izvedena normalno ili ubrzano.

Dodatni troškovi CD obuhvaćaju posredne troškove realizacije, ali i tzv. penale koji nastaju ukoliko neki projekt nije izveden u roku.


Optimalno trajanje aktivnosti naziva se normalno trajanje aktivnosti tn .

Troškovi realizacije aktivnosti koje imaju normalno vrijeme trajanja su

minimalni i zovu se troškovi normalnog trajanja Cn .

Minimalno trajanje aktivnosti naziva se ubrzano trajanje aktivnosti tu .

Troškovi koji nastaju pri takvom trajanju aktivnosti nazivaju se

maksimalni, odnosno troškovi ubrzanog trajanja Cu .


Ako se skrati vrijeme izvršenja aktivnosti, u općem slučaju troškovi rastu i to do maksimuma kojega dostižu pri minimalnom mogućem vremenu trajanja promatrane aktivnosti.

Na taj način nastaje funkcija “troškovi-vrijeme” za aktivnost.

Primjenom načela linearnog povećanja troškova pri smanjenju vremena, može se izračunati prirast troškova u jedinici vremena koji se zove prosječni prirast troškova C :

tn– tu

Cu – Cn C =


Kod korištenja PERT/COST metode potrebno je:

1. Treba skratiti aktivnosti koje se nalaze na kritičnom putu sve dok ne

dođe do pojave još nekog kritičnog puta.

2. Ako je moguće skratiti vrijeme trajanja nekoliko aktivnosti, tada u

prvom redu treba skratiti vrijeme kod najjeftinijih aktivnosti, tj.

aktivnosti čiji je C što manji.

3. Kod mrežnih dijagrama koji imaju više kritičnih putova, skraćenje

svakog kritičnog puta obavi se za isti broj vremenskih jedinica, pri

čemu se kod skraćivanja prvo skraćuju aktivnosti koje su najjeftinije.

4. Ovaj proces skraćivanja aktivnosti nastavlja se dok se ne postigne

željeni rok završetka projekta ili dok sve aktivnosti bar na jednom

putu ne budu imale ubrzano trajanje.


Oznaka Ovisi o Normalno tn Ubrzano tu Normalno Cn Ubrzano Cu

A - 8 4 150 300

B - 10 5 190 320

C A, B 5 3 170 350

D B 6 4 200 420

E B 8 7 220 410

F C, D 3 2 160 290

G E, F 7 4 190 370


A 8

0 8 3

3 11 2

B 10

0 10 0

0 10 0

C 5

10 15 1

11 16 1

D 6

10 16 0

10 16 0

E 8

10 18 1

11 19 1

F 3

16 19 0

16 19 0

G 7

19 26 0

19 26 0

Kritični put: B-D-F-G Troškovi: 1280 NJ

Normalno izvođenje projekta


A 4

0 4 3

3 7 1

B 5

0 5 0

0 5 0

C 3

5 8 2

7 10 1

D 4

5 9 1

6 10 0

E 7

5 12 0

5 12 0

F 3

9 11 1

10 12 1

G 7

12 16 0

12 16 0

Kritični put: B-E-G Troškovi: 2460 NJ

Ubrzano izvođenje projekta


Vrijeme izvršenja projekta 16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Troškovi projekta 2460 2133 1795 1665 1602 1538 1478 1418 1358 1332 1306 1280

Vrijeme izvršenja projekta

Tro

ško

vi

Vrijeme izvršenje i troškovi projekta uz normalno trajanje

Vrijeme izvršenje i troškovi projekta uz

ubrzano trajanje





Tro

ško

vi


Optimiranje: smanjenje troškova uz jednako

trajanje projekta

Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 8dA2 10dB3 5dC4 6dD5 8dE6 3dF7 7dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Oznaka Ovisi o tn tu Cn Cu Prirast C

A - 8 4 150 300 38

B - 10 5 190 320 26

C A, B 5 3 170 350 90

D B 6 4 200 420 110

E B 8 7 220 410 190

F C, D 3 2 160 290 130

G E, F 7 4 190 370 60


A 8

0 8 3

3 11 2

B 10

0 10 0

0 10 0

C 5

10 15 1

11 16 1

D 6

10 16 0

10 16 0

E 8

10 18 1

11 19 1

F 3

16 19 0

16 19 0

G 7

19 26 0

19 26 0

Kritični put: B-D-F-G Troškovi: 1280 NJ

Normalno izvođenje projekta


1. iteracija optimiranja PERT/COST metodom:

• Pri normalnom izvođenju projekta kritični put čini niz aktivnosti B-D-F-G.

• Na tom kritičnom putu odabire se aktivnost s najmanjim prosječnim prirastom troškova C.

• Odabrana aktivnost B skraćuje se najviše što je moguće: do njenog ubrzanog trajanja ili do pojave novog kritičnog puta.

• Aktivnost B može se skratiti za 3 VJ sve do pojave novog kritičnog puta A-C-F-G, odnosno sa 10 VJ na 7 VJ, pa je t = 3 VJ.

• To skraćuje vrijeme trajanja projekta za 3 VJ, ali i povećava troškove projekta za: t · C = 3 VJ · 26 NJ/VJ = 78 NJ.

• Konstruira se novi mrežni dijagram.


A 8

0 8 0

0 8 0

B 7

0 7 0

0 7 0

C 5

8 13 0

8 13 0

D 6

7 13 0

7 13 0

E 8

7 15 1

8 16 1

F 3

13 16 0

13 16 0

G 7

16 23 0

16 23 0

Kritični put: A-C-F-G i B-D-F-G Troškovi: 1358 NJ

Projekt nakon 1. iteracije PERT/COST metode


A 5

0 5 0

0 5 0

B 5

0 5 0

0 5 0

C 5

5 10 0

5 10 0

D 5

5 10 0

5 10 0

E 7

5 12 0

5 12 0

F 2

10 12 0

10 12 0

G 4

12 16 0

12 16 0

Kritični put: sve aktivnosti kritične! Troškovi: 2133 NJ

Optimirano ubrzano izvođenje projekta

nakon n iteracija


Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 4dA2 5dB3 3dC4 4dD5 7dE6 2dF7 4dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Troškovi: 2460 NJ

Troškovi: 2133 NJ

Ubrzano izvođenje projekta



Oznaka Ovisi o tn tu Cn Cu Prirast C

A - 8 4 150 300 38

B - 10 5 190 320 26

C A, B 5 3 170 350 90

D B 6 4 200 420 110

E B 8 7 220 410 190

F C, D 3 2 160 290 130

G E, F 7 4 190 370 60

Uvodi se dodatni uvjet za optimiranje:

Penali od 70 NJ/VJ za svaku VJ dulje od ubrzanog trajanja projekta


A 6

0 6 0

0 6 0

B 5

0 5 0

0 5 0

C 5

6 11 0

6 11 0

D 6

5 11 0

5 11 0

E 8

5 13 1

6 14 1

F 3

11 14 0

11 14 0

G 4

14 18 0

14 18 0



uz penale od 70 NJ/VJ




Dodatni troškovi (penali) 0 0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700

Ukupni troškovi 2460 2133 1865 1805 1812 1818 1828 1838 1848 1892 1936 1980

Optimum = Troškovi minimalni = 1805 NJ


Tro

ško

vi



“Ili koji kralj kad polazi da se zarati s drugim kraljem, neće prije sjesti i promisliti da li s deset tisuća može presresti onoga koji na nj dolazi s dvadeset tisuća?”

(Isus Krist; Lk 14,31)

Optimalna raspodjela ograničenih resursa u funkciji vremena za obavljanje bilo koje aktivnosti sastoji se od određivanja vremena početka svake aktivnosti, koje pri zadanim ograničenim resursima osigurava obavljanje projekta u najkraćem roku.

Drugi slučaj optimiranja raspodjele resursa bi bio kada postoji ograničenje da je rok završetka projekta striktno određen, pa u tom roku treba optimalno rasporediti resurse. Takva vrsta optimizacije nalikuje optimizacijskim problemima poznatim kao Job Shop Scheduling, koji se rješavaju različitim optimizacijskim algoritmima.


U rješavanju problema resursa pretežito se koristi Gray-Kiddov heuristički algoritam koji se odvija u dva ponavljajuća koraka:

1. korak: • odredi se prvi vremenski interval i poredaju aktivnosti prema

vrijednosti ukupne vremenske rezerve, čime se određuje prioritet nepomicanja početka promatranih aktivnosti;

• proračunavaju se potrebni resursi za izvođenje aktivnosti koje pripadaju prvom vremenskom intervalu i pomiče njihov početak s obzirom na ograničenost resursa.

2. korak: • usvaja se kraj prvog vremenskog intervala kao početak novog; • određuje se novi vremenski interval i numeriraju aktivnosti kao

u prvom koraku, a zatim se procjenjuju resursi.


Oznaka Ovisi o t Potreban broj resursa (radnika)

A - 6 6

B - 5 7

C A, B 5 5

D B 6 4

E B 8 5

F C, D 3 12

G E, F 4 4

Na raspolaganju je ukupno 14 radnika (ograničeni resursi).


A 6

0 6 0

0 6 0

B 5

0 5 0

0 5 0

C 5

6 11 0

6 11 0

D 6

5 11 0

5 11 0

E 8

5 13 1

6 14 1

F 3

11 14 0

11 14 0

G 4

14 18 0

14 18 0



Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Raspoloživi resursi: 14


Pri izvođenju projekta javlja se nedostatak

resursa!

2. korak optimiranja Gray-Kiddovim algoritmom:

• Drugi vremenski interval u kojem nema promjene u odvijanju aktivnosti, odnosno promjene u potrebnom broju radnika, je vremenski interval [5; 6].

• U ovom intervalu djeluju aktivnosti A, D i E koje zahtijevaju 15 radnika, pa postoji nedostatak od 1 radnika.

• Aktivnost E zbog najveće Rt ima najmanji prioritet nepomicanja, pa se aktivnost pomiče iz ovog intervala u sljedeći.

Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni


Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Raspoloživi resursi: 14

Pomicanjem početaka određenih aktivnosti,

resursi se balansiraju !!!

Izbalansirani resursi nakon n koraka Gray-Kiddovog algoritma:


Zbog nedostatka resursa potrebno je produljiti

trajanje projekta za 3 VJ


Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Troškovi: 1805 NJ Trajanje: 18 VJ

Projekt prije balansiranja resursa

Projekt nakon balansiranja resursa

Troškovi: 1828 NJ Trajanje: 21 VJ




Dodatni troškovi (penali) 0 0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700

Ukupni troškovi 2460 2133 1865 1805 1812 1818 1828 1838 1848 1892 1936 1980


Tro

ško

vi


Novi optimum uz zadana ograničenja resursa

4. Zaključak

4. Zaključak

Vrlo teško je zamisliti razvoj upravljanja projektima bez Tehnika mrežnog planiranje.

One predstavljaju matematičku osnovu na kojoj su izgrađeni svi današnji softveri za upravljanje projektima.

Međutim, završna odluka: “Što činiti? Angažirati više resursa? Povećati budžet projekta?” uvijek je na čovjeku (na voditelju projekta).

Ipak, Tehnika mrežnog planiranja vrlo jasno ukazuje na probleme i ograničenja, te ucrtava smjer u kojem treba djelovati, odnosno smjer u kojem treba donijeti odluku.

Iako se danas preferira prikaz projekta u obliku Gantograma, proračun vremena uvijek proizlazi iz Tehnika mrežnog planiranja.

4. Zaključak

Tehnike mrežnog planiranja koriste mnogi softveri za podršku upravljanju projektima.

Originalna četiri koraka tehnike mrežnog planiranja koristi jedino „legendarni” WinQSB.

No koristi isključivo PDM dijagram, iako prividno tako ne izgleda.

4. Zaključak

Tržišni lider Primavera, kao i najrašireniji Microsoft Project, uz Gantogram koriste isključivo PDM mrežni dijagram, no podržavaju PERT analizu.

4. Zaključak

Dostupniji i besplatni softveri kao što su PERT Chart Expert i GanttProject, također, uz Gantogram koriste isključivo PDM dijagram.

4. Zaključak

NB: Iako su danas u upotrebi uglavnom Gantogrami, a ne mrežni dijagrami, ne smije se zaboraviti da svaki projekt zapravo ima dva Gantograma, jasno vidljiva na mrežnom dijagramu!

Akt. tstu 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 8dA2 10dB3 5dC4 6dD5 8dE6 3dF7 7dG

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24ID

25 26 27 28 29 30

studeni

Literatura Knjige:

H. Kerzner, „Project Management: A Systems Approach to Planning, Scheduling, and Controlling”, 10. izdanje - New York: John Wiley & Sons, 2009.

Institut za upravljanje projektima, „PMBOK© vodič”, 4. izdanje - Novi Sad: Fakultet tehničkih nauka, 2010.

V. Majstorović, „Projektni menadžment”, Mostar: Sveučilište u Sarajevu, 2010.

A. Vila, Z. Leicher, „Planiranje proizvodnje i kontrola rokova”, 2. izdanje - Zagreb: Informator, 1976.

Skripta:

I. Veža, B. Bilić, N. Gjeldum, M. Mladineo, „Upravljanje projektima”, Split: FESB, 2011.

Internet izvori:

Project Management Institute, PMI, https://www.pmi.org/, Pristupljeno: 12/2018.

Microsoft, Microsoft Project, https://products.office.com/hr-hr/project/project-and-portfolio-management-software, Pristupljeno: 12/2018.

Documents

Tehnike mrežnog planiranja