Dimen zionisanje stuba POS SH5 - prizemlje

Osetljivost konstrukcije na horizontalna pomeranja

Konstrukcija se može smatrati nepomerljivom ako su elementi koji je ukrućuju u horizontalnom pravcu relativno simetrično raspoređeni u osnovi objekta i ako njihova krutost na savijanje zadovoljava sledeću bezdimenzionalnu relaciju:

H∗√ ∑Q

∑ Eb I b

≤ 0.60 ; (n≥ 4 )

n - broj spratova konstrukcije,H - ukupna visina deformabilnog dela konstrukcije, mereno od nivoa temelja ili od nivoa

“uklještenja” za uticaj seizmike ili vetra,∑Q - suma svih vertikalnih eksploatacionih opterećenja, uključujući i deo opterećenja koje

prihvataju elementi za ukrućenje,∑ Eb I b - suma krutosti na savijanje u neisprskalom stanju svih vertikalnih elemenata za ukrućenje

objekta u pravcu za koji se utvruđuje osetljivost na pomeranja.

n=5>4

H=5∗2.80=14.00 m

za MB30⇒Eb=31.5 GPa=3150 kN /cm2 (član 52, tabela 8)

Pravac X

∑Q=387.00+568.38+999.98+1792.07+1848.97+861.71=6458.11kN

∑ Eb I b=31.5∗106∗( 0.40∗0.203

12+ 0.20∗0.403

12+ 2∗0.50∗0.203

12+ 2∗0.50∗0.303

12 )∑ Eb I b=133875 kN /m2

Stubovi su promenljivih dimenzija po visini, a radi uprošćenja ovde je uzeta prosečna krutost stubova po visini.

H∗√ ∑Q

∑ Eb I b

=14.00∗√ 6458.11133875

=3.075>0.60

Sistem je sa pomerljivim čvorovima.

Pravac Y

∑Q=300.32+470.02+1337.75+1848.97+50.23=4007.29 kN

Stubovi su promenljivih dimenzija po visini, a radi uprošćenja ovde je uzeta prosečna krutost stubova po visini.

∑ Eb I b=31.5∗106∗( 2∗0.40∗0.203

12+ 2∗0.254

12+ 0.30∗0.503

12 )=135745kN /m2

H∗√ ∑Q

∑ Eb I b

=14.00∗√ 4007.29135745

=2.405>0.60

Sistem je sa pomerljivim čvorovima.

Dužine izvijanja stuba

ψ=∑( EI

l )s

∑( EIl )

r

>0.40

∑ ( EIl )

s - suma krutosti svih stubova vezanih u posmatranom čvoru

∑ ( EIl )

r - suma krutosti svih rigli vezanih u posmatranom čvoru

Pravac X

ψ1=

31.5∗106∗2∗0.65∗0.403

122.80

31.5∗106∗0.20∗0.453

12∗( 1

5.05+ 1

4.90 )=4.05>0.40

ψ2=

31.5∗106∗0.65∗0.403

12∗( 1

2.80+ 1

3.40 )31.5∗106∗0.20∗0.453

12∗( 1

5.05+ 1

4.90 )=3.70>0.40

U donjem čvoru posmatranog stuba upravno na posmatranu ravan vezan je i AB zid koji povećava krutost samog čvora. Taj zid ne daje čvoru dovoljnu krutost da bi se posmatrani čvor tretirao nepomerljivim (totalno uklještenje), ali zbog nemogućnosti određivanja povećane krutosti usled postojanja zida to će biti zanemareno i čvor će se tretirati kao slobodan čvor rama.

Za određivanje faktora efektivne dužine primenjujem formulu za pomerljive ramove British Standard 8110:

k=min {1+0.15∗(ψ1+ψ2 )=1+0.15∗( 4.05+3.70 )=2.162+0.30∗ψmin=2+0.30∗3.70=3.11

k=2.16

hi=h∗k=2.80∗2.16=6.05 m

Pravac Y

ψ1=

31.5∗106∗2∗0.40∗0.653

122.80

31.5∗106∗0.25∗0.453

12∗( 1

5.40+ 1

5.20 )=9.12>0.40

ψ2=0

U donjem čvoru posmatranog stuba u ravni rama vezan je i AB zid koji povećava krutost samog čvora. Taj zid ima dovoljnu krutost tako da posmatrani čvor može da se tretira kao nepomerljivim (totalno uklještenje),

k=min {1+0.15∗(ψ1+ψ2 )=1+0.15∗(9.12+0 )=2.3682+0.30∗ψ min=2+0.30∗0=2

k=2

hi=h∗k=2.80∗2=5.60 m

Vitkost stuba

Kada je dužina izvijanja poznata vitkost stuba se nalazi pomoću sledećeg izraza:

λ=li

ib

li - dužina izvijanja,

ib - poluprečnik inercije betonskog dela poprečnog preseka za osu oko koje se presek obrće prilikom izvijanja ili savijanja.

ib=√ I b

Ab

I b - odgovarajući moment inercije homogenog betonskog dela poprečnog preseka,

Ab - površina homogenog betonskog dela poprečnog preseka.

Pravac X

ib=√ I b

Ab=√ 0.65∗0.403

120.65∗0.40

=0.1155m

λ=li

ib= 6.05

0.1155=52.38

Pravac Y

ib=√ I b

Ab=√ 0.40∗0.653

120.65∗0.40

=0.1876 m

λ=li

ib= 5.60

0.1876=29.84

Za pomerljive i nepomerljive sisteme, provera stabilnosti vitkog elementa na izvijanje nije potrebna ukoliko je zadovoljen bar jedan od sledećih uslova (član 105 PBAB ’87):

λ<25

e1

d>3.50 , λ<75

e1

d>3.50∗λ

75, λ>75

e1 - ekscentricitet normalne sile pritiska sračunat po teoriji I reda za elastičan sistem

d - odgovarajuća visina poprečnog preseka u pravcu ekscentriciteta e1

Pravac X

λ=52.38>25

e1=MN

= 24.001830.77

=0.013 m⟹e1

d=0.013

0.40=0.033<3.50

Uslovi nisu ispunjeni, pa je potrebna kontrola stabilnosti vitkog elementa na izvijanje.

Pravac Y

λ=29.84>25

e1=MN

= 103.561848.97

=0.056 m⟹e1

d=0.056

0.65=0.086<3.50

Uslovi nisu ispunjeni, pa je potrebna kontrola stabilnosti vitkog elementa na izvijanje.

Vitkost stuba se za oba posmatrana pravca nalazi se u granicama 25<λ<75. PBAB ’87 omogućuje da se efekti teorije II reda u ovakvim slučajevima mogu uvesti približnom metodom koja se zove metoda dopunske ekscentričnosti. (član 106 PBAB ’87).

e=e1+e0+eφ+eII

Pravac X

e1 - ekscentricitet usled uticaja I reda

e1=MN

= 24.001830.77

=0.013 m

e0 - ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju

2.0 cm ≤e0=l

300≤ 10.0 cm

e0=l

300=280

300=0.93 cm≤ 2.0cm⟹e0=2.0 cm

Za okvire sa pomerljivim čvorovima dodatna ekscentričnost e0 određuje se iz uslova pretpostavke da je nagib (ugao odstupanja od vertikale) α vitkog stuba okvira usled netačnosti pri izvođenju takav da je ispunjeno

tan α= 1150

−za jednospratneokvire opterećeneuglavnom vertikalnimopterećenjem

tan α= 1200

−za ostale tipove ramova

tan α= 1200

⟹e0=tan α∗h= 1200

∗280=1.40 cm<2.0cm

e0=0.02 m

eφ - ekscentricitet usled tečenja betona

Uticaji skupljnja i tečenja betona mogu se zanemariti ako je bar jedan od sledećih uslova ispunjen:

λ i≤ 50

e1

d≥ 2

N g≤ 0.20∗N q

Kako je λ i=52.38>50, to se uticaji skupljnja i tečenja betona ne mogu zanemariti.

eφ=(e1 g+e0 )∗(2.718α E

1−α E∗φ

−1)α E=

N g

N E

N E=Eb∗Ib∗π2

li2 =

31.5∗106∗0.65∗0.403

12∗π2

6.052 =29445.00 kN

α E=1620.21

29445.00=0.055

e1 g=M g

N g= 21.59

1602.01=0.013 m

φ=3.6 - starost betona u trenutku opterećenja 7 dana, konstrukcija u suvoj sredini vl=40 % („Prednapregnuti beton u teoriji i arhitektonskoj praksi”, Slobodan Romić, tabela 5).

eφ=(0.013+0.02 )∗(2.7180.055

1−0.055∗3.6−1)=0.008 m

eII - dodatni ekscentricitet II reda

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d, za0.00 ≤

e1

d≤0.30

eII=d∗λ i−25

160, za0.30 ≤

e1

d≤ 2.50

eII=d∗λ i−25

160∗(3.50−

e1

d ) , za2.50 ≤e1

d≤ 3.50

za 0.00 ≤e1

d=0.033 ≤0.30⟹eII=

d∗λ i−25100

∗√0.10+e1

d

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d=0.40∗52.38−25

100∗√0.10+0.033

eII=0.040 m

e=0.013+0.02+0.008+0.040=0.081m

NuI=1.90∗1602.01+2.10∗228.76=3524.21 kN

NuII=1.30∗(1602.01+228.76+74.42 )=2476.75 kN

Nu=3524.21 kN - merodavna konstelacija opterećenja

M u=N u∗e=3524.21∗0.081=285.46 kNm

Za ad=0.100 i za simetrično armiranje na osnovu interakcionog dijagrama za pravougaoni

presek (dijagram 2.4.10. Beton i armirani beton BAB 87, knjiga 2.) dobija se:

nu=Nu

b∗d∗f b= −3524.21

40∗65∗20.5∗10−1=−0.66

mu=M u

b∗d2∗f b

=285.46∗102

402∗65∗20.5∗10−1 =0.13}⇒ μ=0.04 %

Aa=μ∗f b

σv∗b∗d= 0.04∗20.5

400∗40∗65=5.33 cm2

usvajam 3∅ 16 Aa=6.03 cm2

Pravac Y

e1 - ekscentricitet usled uticaja I reda

e1=MN

= 103.561848.97

=0.056 m

e0 - ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju

2.0 cm ≤e0=l

300≤ 10.0 cm

e0=l

300=280

300=0.93 cm≤ 2.0cm⟹e0=2.0 cm

Za okvire sa pomerljivim čvorovima dodatna ekscentričnost e0 određuje se iz uslova pretpostavke da je nagib (ugao odstupanja od vertikale) α vitkog stuba okvira usled netačnosti pri izvođenju takav da je ispunjeno

tan α= 1150

−za jednospratneokvire opterećeneuglavnom vertikalnimopterećenjem

tan α= 1200

−za ostale tipove ramova

tan α= 1200

⟹e0=tan α∗h= 1200

∗280=1.40 cm<2.0cm

e0=0.02 m

eφ - ekscentricitet usled tečenja betona

Uticaji skupljnja i tečenja betona mogu se zanemariti ako je bar jedan od sledećih uslova ispunjen:

λ i≤ 50

e1

d≥ 2

N g≤ 0.20∗N q

Kako je λ i=29.84 ≤ 50, to se uticaji skupljnja i tečenja betona mogu zanemariti.

eφ=0

eII - dodatni ekscentricitet II reda

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d, za0.00 ≤

e1

d≤0.30

eII=d∗λ i−25

160, za0.30 ≤

e1

d≤ 2.50

eII=d∗λ i−25

160∗(3.50−

e1

d ) , za2.50 ≤e1

d≤ 3.50

za 0.00 ≤e1

d=0.086 ≤ 0.30⟹eII=

d∗λ i−25100

∗√0.10+e1

d

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d=0.65∗29.84−25

100∗√0.10+0.086

eII=0.014 m

e=0.056+0.02+0.014=0.09 m

NuI=1.90∗1620.21+2.10∗228.76=3558.80 kN

NuII=1.30∗(1620.21+228.76+74.42 )=2500.41kN

Nu=3558.80 kN - merodavna konstelacija opterećenja

M u=N u∗e=3558.80∗0.09=320.29 kNm

Za ad=0.100 i za simetrično armiranje na osnovu interakcionog dijagrama za pravougaoni

presek (dijagram 2.4.10. Beton i armirani beton BAB 87, knjiga 2.) dobija se:

nu=Nu

b∗d∗f b= −3558.80

40∗65∗20.5∗10−1 =−0.67

mu=M u

b∗d2∗f b

=320.29∗102

40∗652∗20.5∗10−1 =0.09}⇒ μmin=1.00 %

(Član 188) Prečnik žice ili šipke podužne armature u stubovima iznosi najmanje ∅ 12mm, a najmanji koeficijent armiranja podužnom armaturom u centrično pritisnutim stubovima iznosi:

μmin=λ

50−0.4 ≥ 0.60 %

μmin=29.84

50−0.4=0.20 %<0.60 %

Kako je stub ekscentrično opterećen povećavam minimalni procenat armiranja sa 0.60% na 1.00%.

Aa=μ∗b∗d=1.00100

∗40∗65=26.0 cm2

usvajam 7∅ 18 Aa=17.81 cm2

Dimen zionisanje stuba POS SH5 - II sprat

Dužine izvijanja stuba

ψ=∑( EI

l )s

∑( EIl )

r

>0.40

∑ ( EIl )

s - suma krutosti svih stubova vezanih u posmatranom čvoru

∑ ( EIl )

r - suma krutosti svih rigli vezanih u posmatranom čvoru

Pravac X

ψ1=31.5∗106∗( 0.50∗0.303

122.80

+

0.65∗0.403

122.80 )

31.5∗106∗0.20∗0.453

12∗( 1

5.05+ 1

4.90 )=2.685>0.40

ψ2=

31.5∗106∗0.50∗0.303

12∗2

31.5∗106∗0.20∗0.453

12∗( 1

5.05+ 1

4.90 )=1.316>0.40

Za određivanje faktora efektivne dužine primenjujem formulu za pomerljive ramove British Standard 8110:

k=min {1+0.15∗(ψ1+ψ2 )=1+0.15∗(2.685+1.316 )=1.602+0.30∗ψmin=2+0.30∗1.316=2.395

k=1.60

hi=h∗k=2.80∗1.60=4.48 m

Pravac Y

ψ1=31.5∗106∗( 0.40∗0.653

122.80

+

0.30∗0.503

122.80 )

31.5∗106∗0.25∗0.453

12∗( 1

5.40+ 1

5.20 )=6.119>0.40

ψ2=

31.5∗106∗0.30∗0.503

122.80

∗2

31.5∗106∗0.25∗0.453

12∗( 1

5.40+ 1

5.20 )=3.115>0.40

k=min {1+0.15∗(ψ1+ψ2 )=1+0.15∗(6.119+3.115)=2.3852+0.30∗ψmin=2+0.30∗3.115=2.935

k=2.385

hi=h∗k=2.80∗2.385=6.68 m

Vitkost stuba

Kada je dužina izvijanja poznata vitkost stuba se nalazi pomoću sledećeg izraza:

λ=li

ib

li - dužina izvijanja,

ib - poluprečnik inercije betonskog dela poprečnog preseka za osu oko koje se presek obrće prilikom izvijanja ili savijanja.

ib=√ I b

Ab

I b - odgovarajući moment inercije homogenog betonskog dela poprečnog preseka,

Ab - površina homogenog betonskog dela poprečnog preseka.

Pravac X

ib=√ I b

Ab=√ 0.50∗0.303

120.50∗0.30

=0.087 m

λ=li

ib= 4.48

0.087=51.49

Pravac Y

ib=√ I b

Ab=√ 0.30∗0.503

120.50∗0.30

=0.1443 m

λ=li

ib= 6.68

0.1443=46.28

Za pomerljive i nepomerljive sisteme, provera stabilnosti vitkog elementa na izvijanje nije potrebna ukoliko je zadovoljen bar jedan od sledećih uslova (član 105 PBAB ’87):

λ<25

e1

d>3.50 , λ<75

e1

d>3.50∗λ

75, λ>75

e1 - ekscentricitet normalne sile pritiska sračunat po teoriji I reda za elastičan sistem

d - odgovarajuća visina poprečnog preseka u pravcu ekscentriciteta e1

Pravac X

λ=51.49>25

e1=MN

= 18.501092.42

=0.017 m⟹e1

d=0.017

0.30=0.056<3.50

Uslovi nisu ispunjeni, pa je potrebna kontrola stabilnosti vitkog elementa na izvijanje.

Pravac Y

λ=46.28>25

e1=MN

= 34.381092.42

=0.032 m⟹e1

d=0.032

0.50=0.064<3.50

Uslovi nisu ispunjeni, pa je potrebna kontrola stabilnosti vitkog elementa na izvijanje.

Vitkost stuba se za oba posmatrana pravca nalazi se u granicama 25<λ<75. PBAB ’87 omogućuje da se efekti teorije II reda u ovakvim slučajevima mogu uvesti približnom metodom koja se zove metoda dopunske ekscentričnosti. (član 106 PBAB ’87).

e=e1+e0+eφ+eII

Pravac X

e1 - ekscentricitet usled uticaja I reda

e1=MN

= 18.501092.42

=0.017 m

e0 - ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju

2.0 cm ≤e0=l

300≤ 10.0 cm

e0=l

300=280

300=0.93 cm≤ 2.0cm⟹e0=2.0 cm

Za okvire sa pomerljivim čvorovima dodatna ekscentričnost e0 određuje se iz uslova pretpostavke da je nagib (ugao odstupanja od vertikale) α vitkog stuba okvira usled netačnosti pri izvođenju takav da je ispunjeno

tan α= 1150

−za jednospratneokvire opterećeneuglavnom vertikalnimopterećenjem

tan α= 1200

−za ostale tipove ramova

tan α= 1200

⟹e0=tan α∗h= 1200

∗280=1.40 cm<2.0cm

e0=0.02 m

eφ - ekscentricitet usled tečenja betona

Uticaji skupljnja i tečenja betona mogu se zanemariti ako je bar jedan od sledećih uslova ispunjen:λ i≤ 50

e1

d≥ 2

N g≤ 0.20∗N q

Kako je λ i=51.49>50, to se uticaji skupljnja i tečenja betona ne mogu zanemariti.

eφ=(e1 g+e0 )∗(2.718α E

1−α E∗φ

−1)α E=

N g

N E

N E=Eb∗Ib∗π2

li2 =

31.5∗106∗0.50∗0.303

12∗π2

4.482 =17426.36 kN

α E=951.78

17426.36=0.055

e1 g=M g

N g= 16.06

951.78=0.017 m

φ=3.6 - starost betona u trenutku opterećenja 7 dana, konstrukcija u suvoj sredini vl=40 % („Prednapregnuti beton u teoriji i arhitektonskoj praksi”, Slobodan Romić, tabela 5).

eφ=(0.017+0.02 )∗(2.7180.055

1−0.055∗3.6−1)=0.009 m

eII - dodatni ekscentricitet II reda

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d, za0.00 ≤

e1

d≤0.30

eII=d∗λ i−25

160, za0.30 ≤

e1

d≤ 2.50

eII=d∗λ i−25

160∗(3.50−

e1

d ) , za2.50 ≤e1

d≤ 3.50

za 0.00 ≤e1

d=0.056 ≤ 0.30⟹eII=

d∗λ i−25100

∗√0.10+e1

d

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d=0.30∗51.49−25

100∗√0.10+0.056

eII=0.031 m

e=0.017+0.02+0.009+0.031=0.077 m

NuI=1.90∗951.78+2.10∗140.64=2103.73 kN

NuII=1.30∗(951.78+140.64+48.97 )=1483.81 kN

Nu=2103.73 kN - merodavna konstelacija opterećenja

M u=N u∗e=2103.73∗0.077=161.99 kNm

Za ad=0.100 i za simetrično armiranje na osnovu interakcionog dijagrama za pravougaoni

presek (dijagram 2.4.10. Beton i armirani beton BAB 87, knjiga 2.) dobija se:

nu=Nu

b∗d∗f b= −2103.73

30∗50∗20.5∗10−1 =−0.68

mu=M u

b∗d2∗f b

=161.99∗102

302∗50∗20.5∗10−1=0.18}⇒ μ=0.12 %

Aa=μ∗f b

σv∗b∗d=0.12∗20.5

400∗30∗50=9.23 cm2

usvajam 3∅ 16 Aa=6.03 cm2

Pravac Y

e1 - ekscentricitet usled uticaja I reda

e1=MN

= 34.381092.42

=0.032 m

e0 - ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju

2.0 cm ≤e0=l

300≤ 10.0 cm

e0=l

300=280

300=0.93 cm≤ 2.0cm⟹e0=2.0 cm

Za okvire sa pomerljivim čvorovima dodatna ekscentričnost e0 određuje se iz uslova pretpostavke da je nagib (ugao odstupanja od vertikale) α vitkog stuba okvira usled netačnosti pri izvođenju takav da je ispunjeno

tan α= 1150

−za jednospratneokvire opterećeneuglavnom vertikalnimopterećenjem

tan α= 1200

−za ostale tipove ramova

tan α= 1200

⟹e0=tan α∗h= 1200

∗280=1.40 cm<2.0cm

e0=0.02 m

eφ - ekscentricitet usled tečenja betona

Uticaji skupljnja i tečenja betona mogu se zanemariti ako je bar jedan od sledećih uslova ispunjen:

λ i≤ 50

e1

d≥ 2

N g≤ 0.20∗N q

Kako je λ i=46.28 ≤ 50, to se uticaji skupljnja i tečenja betona mogu zanemariti.

eφ=0

eII - dodatni ekscentricitet II reda

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d, za0.00 ≤

e1

d≤0.30

eII=d∗λ i−25

160, za0.30 ≤

e1

d≤ 2.50

eII=d∗λ i−25

160∗(3.50−

e1

d ) , za2.50 ≤e1

d≤ 3.50

za 0.00 ≤e1

d=0.064 ≤ 0.30⟹ eII=

d∗λi−25100

∗√0.10+e1

d

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d=0.50∗46.28−25

100∗√0.10+0.064

eII=0.043 m

e=0.032+0.02+0.043=0.095 m

NuI=1.90∗951.78+2.10∗140.64=2103.73 kN

NuII=1.30∗(951.78+140.64+48.97 )=1483.81 kN

Nu=2103.73 kN - merodavna konstelacija opterećenja

M u=N u∗e=2103.73∗0.095=199.85 kNm

Za ad=0.100 i za simetrično armiranje na osnovu interakcionog dijagrama za pravougaoni

presek (dijagram 2.4.10. Beton i armirani beton BAB 87, knjiga 2.) dobija se:

nu=Nu

b∗d∗f b= −2103.73

30∗50∗20.5∗10−1 =−0.6 7

mu=M u

b∗d2∗f b

=199.85∗102

30∗502∗20.5∗10−1=0.10}⇒ μmi n=1.00 %

(Član 188) Prečnik žice ili šipke podužne armature u stubovima iznosi najmanje ∅ 12mm, a najmanji koeficijent armiranja podužnom armaturom u centrično pritisnutim stubovima iznosi:

μmin=λ

50−0.4 ≥ 0.60 %

μmin=46.28

50−0.4=0.53 %<0.60 %

Kako je stub ekscentrično opterećen povećavam minimalni procenat armiranja sa 0.60% na 1.00%.

Aa=μ∗b∗d=1.00100

∗30∗50=15.00 cm2

usvajam 7∅ 18 Aa=17.81 cm2

Dimen zionisanje stuba POS SH5 - III sprat

Dužine izvijanja stuba

ψ=∑( EI

l )s

∑( EIl )

r

>0.40

∑ ( EIl )

s - suma krutosti svih stubova vezanih u posmatranom čvoru

∑ ( EIl )

r - suma krutosti svih rigli vezanih u posmatranom čvoru

Pravac X

ψ1=

31.5∗106∗0.50∗0.303

12∗2

31.5∗106∗0.20∗0.453

12∗( 1

5.05+ 1

4.90 )=1.316>0.40

ψ2=

31.5∗106∗0.50∗0.303

12∗2

31.5∗106∗0.20∗0.453

12∗( 1

5.05+ 1

4.90 )=1.316>0.40

Za određivanje faktora efektivne dužine primenjujem formulu za pomerljive ramove British Standard 8110:

k=min {1+0.15∗(ψ1+ψ2 )=1+0.15∗(1.316+1.316 )=1.3952+0.30∗ψmin=2+0.30∗1.316=2.395

k=1.395

hi=h∗k=2.80∗1.395=3.91 m

Pravac Y

ψ1=

31.5∗106∗0.30∗0.503

122.80

∗2

31.5∗106∗0.25∗0.453

12∗( 1

5.40+ 1

5.20 )=3.115>0.40

ψ2=

31.5∗106∗0.30∗0.503

122.80

∗2

31.5∗106∗0.25∗0.453

12∗( 1

5.40+ 1

5.20 )=3.115>0.40

k=min {1+0.15∗(ψ1+ψ2 )=1+0.15∗(3.115+3.115)=1.9352+0.30∗ψmin=2+0.30∗3.115=2.935

k=1.935

hi=h∗k=2.80∗1935=5.42 m

Vitkost stuba

Kada je dužina izvijanja poznata vitkost stuba se nalazi pomoću sledećeg izraza:

λ=li

ib

li - dužina izvijanja,

ib - poluprečnik inercije betonskog dela poprečnog preseka za osu oko koje se presek obrće prilikom izvijanja ili savijanja.

ib=√ I b

Ab

I b - odgovarajući moment inercije homogenog betonskog dela poprečnog preseka,

Ab - površina homogenog betonskog dela poprečnog preseka.

Pravac X

ib=√ I b

Ab=√ 0.50∗0.303

120.50∗0.30

=0.087 m

λ=li

ib= 3.91

0.087=44.94

Pravac Y

ib=√ I b

Ab=√ 0.30∗0.503

120.50∗0.30

=0.1443 m

λ=li

ib= 5.42

0.1443=37.56

Za pomerljive i nepomerljive sisteme, provera stabilnosti vitkog elementa na izvijanje nije potrebna ukoliko je zadovoljen bar jedan od sledećih uslova (član 105 PBAB ’87):

λ<25

e1

d>3.50 , λ<75

e1

d>3.50∗λ

75, λ>75

e1 - ekscentricitet normalne sile pritiska sračunat po teoriji I reda za elastičan sistem

d - odgovarajuća visina poprečnog preseka u pravcu ekscentriciteta e1

Pravac X

λ=44.94>25

e1=MN

= 21.48745.92

=0.029 m⟹e1

d=0.029

0.30=0.096<3.50

Uslovi nisu ispunjeni, pa je potrebna kontrola stabilnosti vitkog elementa na izvijanje.

Pravac Y

λ=37.56>25

e1=MN

= 41.59735.42

=0.0 57 m⟹e1

d=0. 057

0.50=0. 113<3.50

Uslovi nisu ispunjeni, pa je potrebna kontrola stabilnosti vitkog elementa na izvijanje.

Vitkost stuba se za oba posmatrana pravca nalazi se u granicama 25<λ<75. PBAB ’87 omogućuje da se efekti teorije II reda u ovakvim slučajevima mogu uvesti približnom metodom koja se zove metoda dopunske ekscentričnosti. (član 106 PBAB ’87).

e=e1+e0+eφ+eII

Pravac X

e1 - ekscentricitet usled uticaja I reda

e1=MN

= 21.48745.92

=0.0 29m

e0 - ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju

2.0 cm ≤e0=l

300≤ 10.0 cm

e0=l

300=280

300=0.93 cm≤ 2.0cm⟹e0=2.0 cm

Za okvire sa pomerljivim čvorovima dodatna ekscentričnost e0 određuje se iz uslova pretpostavke da je nagib (ugao odstupanja od vertikale) α vitkog stuba okvira usled netačnosti pri izvođenju takav da je ispunjeno

tan α= 1150

−za jednospratneokvire opterećeneuglavnom vertikalnimopterećenjem

tan α= 1200

−za ostale tipove ramova

tan α= 1200

⟹e0=tan α∗h= 1200

∗280=1.40 cm<2.0cm

e0=0.02 m

eφ - ekscentricitet usled tečenja betona

Uticaji skupljnja i tečenja betona mogu se zanemariti ako je bar jedan od sledećih uslova ispunjen:λ i≤ 50

e1

d≥ 2

N g≤ 0.20∗N q

Kako je λ i=44.94 ≤ 50, to se uticaji skupljnja i tečenja betona mogu zanemariti.

eφ=0

eII - dodatni ekscentricitet II reda

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d, za0.00 ≤

e1

d≤0.30

eII=d∗λ i−25

160, za0.30 ≤

e1

d≤ 2.50

eII=d∗λ i−25

160∗(3.50−

e1

d ) , za2.50 ≤e1

d≤ 3.50

za 0.00 ≤e1

d=0.0 96 ≤ 0.30⟹eII=

d∗λi−25100

∗√0.10+e1

d

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d=0.30∗44.94−25

100∗√0.10+0.0 96

eII=0.0 27 m

e=0.0 29+0.02+0.02 7=0.076m

NuI=1.90∗648.32+2.10∗97.60=1436.76 kN

NuII=1.30∗(648.32+97.60+37.12 )=1017.95 kN

Nu=1436.76 kN - merodavna konstelacija opterećenja

M u=N u∗e=1436.76∗0.07 6=10 9.19 kNm

Za ad=0.100 i za simetrično armiranje na osnovu interakcionog dijagrama za pravougaoni

presek (dijagram 2.4.10. Beton i armirani beton BAB 87, knjiga 2.) dobija se:

nu=Nu

b∗d∗f b= −1436.76

30∗50∗20.5∗10−1 =−0. 47

mu=M u

b∗d2∗f b

=10 9.19∗102

302∗50∗20.5∗10−1=0.12}⇒ μ=0.01 %

Aa=μ∗f b

σv∗b∗d= 0.01∗20.5

4 00∗30∗50=0.77 cm2

usvajam 3∅ 12 Aa=3.39 cm2

Pravac Y

e1 - ekscentricitet usled uticaja I reda

e1=MN

= 41.59735.42

=0.0 57m

e0 - ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju

2.0 cm ≤e0=l

300≤ 10.0 cm

e0=l

300=280

300=0.93 cm≤ 2.0cm⟹e0=2.0 cm

Za okvire sa pomerljivim čvorovima dodatna ekscentričnost e0 određuje se iz uslova pretpostavke da je nagib (ugao odstupanja od vertikale) α vitkog stuba okvira usled netačnosti pri izvođenju takav da je ispunjeno

tan α= 1150

−za jednospratneokvire opterećeneuglavnom vertikalnimopterećenjem

tan α= 1200

−za ostale tipove ramova

tan α= 1200

⟹e0=tan α∗h= 1200

∗280=1.40 cm<2.0cm

e0=0.02 m

eφ - ekscentricitet usled tečenja betona

Uticaji skupljnja i tečenja betona mogu se zanemariti ako je bar jedan od sledećih uslova ispunjen:λ i≤ 50

e1

d≥ 2

N g≤ 0.20∗N q

Kako je λ i=37.56 ≤50, to se uticaji skupljnja i tečenja betona mogu zanemariti.eφ=0 eII - dodatni ekscentricitet II reda

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d, za0.00 ≤

e1

d≤0.30

eII=d∗λ i−25

160, za0.30 ≤

e1

d≤ 2.50

eII=d∗λ i−25

160∗(3.50−

e1

d ) , za2.50 ≤e1

d≤ 3.50

za 0.00 ≤e1

d=0.113 ≤0.30⟹ eII=

d∗λ i−25100

∗√0.10+e1

d

eII=d∗λ i−25

100∗√0.10+

e1

d=0.50∗37.56−25

100∗√0.10+0. 113

eII=0.0 29 m

e=0.0 57+0.02+0.0 29=0.106 m

NuI=1.90∗637.82+2.10∗97.60=1416.82 kN

NuII=1.30∗(637.82+97.60+37.12 )=1004.30 kN

Nu=1416.82 kN - merodavna konstelacija opterećenjaM u=N u∗e=1416.82∗0.106=150.18 kNm

Za ad=0.100 i za simetrično armiranje na osnovu interakcionog dijagrama za pravougaoni

presek (dijagram 2.4.10. Beton i armirani beton BAB 87, knjiga 2.) dobija se:

nu=Nu

b∗d∗f b= −1416.82

30∗50∗20.5∗10−1 =−0. 46

mu=M u

b∗d2∗f b

=150.18∗102

30∗502∗20.5∗10−1 =0.10 }⇒ μmin=1.00 %

Aa=μ∗b∗d=1.00100

∗30∗50=15.00 cm2

usvajam 7∅ 12 Aa=7 . 92 cm2

1. POTREBNA KOLIČINA BETONA ZA BETONIRANJE AB TEMELJNE PLOČE

P=427.56 m2 (preuzeto iz projekta)

d=0.50 m1

V=P∗d=215.00 m3

2. POTREBAN BROJ KONTROLNIH BETONSKIH TELA ZA DOKAZIVANJE MARKE BETONA

Prema statičkom proračunu za AB temeljnu ploču marka betona je MB 30. U skladu sa opisom konstrukcije, projektovanim postupkom građenja i dinamikom građenja predviđena je proizvodnja betona u fabrici betona. Betoniranje temeljne ploče biće izvedeno u roku od 3 dana (potreban broj sati rada, kao i sastav radne brigade dat je u Prilogu).

Broj uzoraka za ispitivanje čvrstoće betona pri pritisku određuje se prema uslovima iz člana 48 PBAB ‘87, i to:

a) za beton dopremljen iz fabrike betona koji zadovoljava uslove utvrđene propisom o srpskom standardu SRPS U.M1.051:

-za svaku vrstu betona najmanje jedan uzorak za svaki dan betoniranja na objektu,

-jedan uzorak u proseku na 150 mešavina ili 100 m3 betona,

-najmanje tri uzorka za jednu partiju betona,

-jedan uzorak od svake isporučene količine betona za konstruktivne elemente koji su značajni za sigurnost konstrukcije i u koje se ugrađuju samo manje količine betona;

b) za beton spravljen isključivo za potrebe objekta, odnosno gradilišta, a pogon ima kontrolu kvaliteta proizvodnje prema propisu o srpskom standardu SRPS U.M1.051, rezultati ispitivanja betona u pogonu mogu se koristiti i za dokazivanje saglasnosti sa uslovima kvaliteta betona na mestu ugrađivanja ako je projektom betona to predviđeno;

c) za beton kategorije B.I koji se proizvodi u pogonu za proizvodnju samo te kategorije betona mora se uzeti broj uzoraka dvostruko veći od broja navedenog u tački a) ovog člana.

Na osnovu odredaba člana 48 PBAB ’87, za proračunatu količinu betona i plan betoniranja, potreban broj kontrolnih betonskih tela je tri. Na ovaj način proveriće se da li kvalitet ugrađenog betona odgovara projektom predviđenom kvalitetu betona.

3. KRITERIJUM ZA DOKAZIVANJE MARKE BETONA

Ocena postignute marke betona vrši se po partijama betona prema jednom od tri kriterijuma koji su definisani članom 46 PBAB `87.

Kriterijum I se primenjuje ako se raspolaže sa n ≤ 15 rezultata ispitivanja čvrstoće na 3, 6 i više uzastopno uzetih uzoraka. Partije čine grupu od tri uzastopna rezultata ispitivanja (X1, X2, X3):

m3≥ MB+k1

x1≥ MB−k2

gde je:k1 = k2 = 3 MPa - za uhodanu proizvodnju;k1 = 4 MPa i k2 = 2 MPA - za vreme uhodavanja proizvodnje;m3 - aritmetička sredina od tri uzastopna rezultata ispitivanja, u MPa;x1 - najmanja vrednost od tri uzastopna rezultata ispitivanja, u MPa.Kriterijum II se primenjuje na veće partije iste vrste betona, sa brojem rezultata 10 ≤ n ≤ 30,

kada je poznata standardna devijacija σ određena ranijijm ispitivanjima iz većeg broja rezultata (najmanje n0 ≥ 30):

mn ≥ MB+1.2σ

x1≥ MB−4 ( MPa )

σ=√∑ ( mn−x i )2

n0

gde je:MB - marka betona;n - broj rezultata ispitivanja u jednoj partiji;mn - aritmetička sredina od n rezultata ispitivanja [MPa];σ - standardna devijacija određena na osnovu velikog broja ranijih ispitivanja iste vrste

betona (n0 ≥ 30);xi - vrednost svake pojedine čvrstoće u partiji od n rezultata.

Kriterijum III se primenjuje na partije 15 ≤ n ≤ 30, kada se računa sa procenjenom standardnom devijacijom Sn od n rezultata:

mn ≥ MB+1.3Sn

x1≥ MB−4 ( MPa )

Sn=√∑ (mn−xi )2

n−1

gde je:Sn - procenjena standardna devijacija od n rezultata ispitivanja.

Na osnovu utvrđenog broja kontrolnih betonskih tela iz tačke 2. (tri betonska tela), kao i na osnovu člana 46 PBAB `87 utvrđujem da je potrebno primeniti Kriterijum I za definisanje marke betona.

4. RECEPTURA ZA BETON MB 30

Osnovni principi kojih se treba pridržavati prilikom izračunavanja sastava betona su:

izbor vrste agregata, nominalno najkrupnije zrno i frakcija za sastavljanje mešavine agregata,

komponovanje granulometrijske krive agregata na bazi usvojenog broja frakcija, uz poštovanje područja ograničenog standardnim granulometrijskim krivama,

usvajanje vrste i klase cementa, ispunjavanje zahteva u pogledu konzistencije betona,

donošenje odluke o upotrebi aditiva za beton, ispitivanje fizičko-mehaničkih svojstava materijala za izradu betona.

Zahtevane karakteriskike su beton marke MB 30, sa tečnom konzistencijom (klasa sleganja S4). Usvojeni materijali su: agregat iz reke Južne Morave separisan u 4 osnovne frakcije, cement PC 20S 42.5N (γsc = 3050 kg/m3) i voda iz gradske vodovodne mreže. Podrazumeva se da je prethodnim ispitivanjima utvrđena podobnost svih materijala za spravljanje betona.

Određivanje potrebne količine vode.

Potrebna količina vode se određuje na osnovu Fereovog empirijskog obrasca:

mv=k0

5√ DD=31.5 m m - nominalno najveće zrno u agregatu,k 0=370 - Fereov koeficijent za rečni krupan i rečni sitan agregat i tečnu konzistenciju.

mv=370

5√31.5=185.58 ≈ 185 kg

Određivanje potrebne količine cementa.

Za beton marke MB 30 potrebno je da se nakon 28 dana ostvari čvrstoća 28fp,b = 38 MPa. (prema članu 29. PBAB `87). Potrebna količina cementa se zatim može odrediti prema Fereovom obrascu:

f28❑

p ,b=k

(1+ωc∗γsc

γ sv )2 ⇒ωc=

γ sv

γ sc∗(√ k

f28❑

p ,b

−1)= 13.05

∗(√ 32038

−1)

ωc=mv

mc= 1

3.05∗(√ 320

38−1)=0.62⇒mc=

1850.62

=298 kg

k - koeficijent koji zavisi od klase cementa i za klasu 42.5 iznosi 320.

Drugi način za određivanje potrebne koli‚,čine cementa je prema formuli Skramtajeva. Za odabranu vrednost koeficijenta A1 = 0.60 i za čvrstoću pri pritisku cementa pri starosti od 28 dana fpc = 42.5 MPa (što odgovara klasi cementa), potrebna količina cementa iznosi:

f28❑

p ,b=A1∗f p ,c∗(ωc−1−0.5 )⇒ωc=

mv

mc= 1

f28❑

p , b

A1∗f p , c+0.5

mv

mc= 1

f28❑

p ,b

A1∗f p , c+0.5

= 138

0.6∗42.5+0.5

=0.503⇒mc=368 kg

Potrebnu količinu cementa usvajam kao srednju vrednost prethodno sračunate dve vrednosti.

mc=298+368

2mc=333 kg

Određivanje potrebne količine agregata.

Potrebnu količinu agregata izračunavam na osnovu jednačine za apsolutnu zapreminu betona.

ma

γ sa+

mc

γ sc+

mv

γ sv+

mad

γ sad+V p=1

gde je:Vp = 0.02 m3 - uobičajena zapremina uvučenog vazduha prilikom mešanja betona;mad - masa aditiva;γad - specifična masa aditiva.

ma=γ sa∗[1−( mc

γ sc+

mv

γ sv+V p)]=2700∗[1−( 333

3050+ 185

1000+0.02)]

ma=1852kg

Konačni sastav betona je:

- masa cementa 333 kg

- masa agregata 1852 kg

- masa vode 185 kg

Prema našem standard SRPS U.M1.057:1984 propisan je granulometrijski sastav mešavine agregata za proizvodnju betona. Prema standard ako se granulometrijska kriva nalazi izmedju referentnih granulometrijskih krivih A i B ona se može koristiti za spravljanje betona kategorije B.II, za koje su prethodna ispitivanja obavezna. Ako se granulometrijska kriva nalazi bliže referentnoj krivi A onda je sadržaj krupnijeg agregata veći, što omogućava postizanje većih čvrstoća betona, ali i smanjivanje konzistencije. Ako se granulometrijska kriva nalazi bliže referentnoj krivi B onda je sadržaj sitnog agregata veći, što omogućuje dobijanje betona sa boljom ugradljivošću, ali i smanjene čvrstoće. Kako je za betoniranje temeljne ploče potrebno ostvariti dovoljnu čvrstoću betona uz zahtevanu tečnu konzistenciju granulometrijski sastav agregata će biti izabran tako da se granulometrijska kriva nalazi izmedju referentnih krivih A i B.

- frakcija 0/4 mm → 35% 1852 = 648 kg

- frakcija 4/8 mm → 15% 1852 = 278 kg

- frakcija 8/16 mm → 20% 1852 = 370 kg

- frakcija 16/31.5 mm → 30% 1852 = 556 kg

Računska zapreminska masa svežeg betona iznosi γsv ,b=185+333+1852=2370 kg /m3.

Metoda Američkog instituta za beton.

1. korak: izbor odgovarajuće konzistencije. Konzistencija je unapred definisana kao tečna, pa je potrebno sleganje od 160 mm.

2. korak: izbor maksimalne veličine zrna agregata. Beton je sa četiri frakcije, pa je maksimalna veličina zrna 31.5 mm.

3. korak: procena potrebne količine vode i sadržaja vazduha. Iz tabele za nearirani beton se očitava potrebna količina vode od mv = 195 kg za veličinu zrna 31.5 mm.

4. korak: izbor vodocementnog faktora. Iz tabele se ocitava potrebni vodocementni factor ωc = 0.54 za zahtevanu čvrstoću betona 30 + 8 = 38 MPa.

5. korak: izračunavanje potrebne količine cementa.

mv=195 kg

ωc=mv

mc=0.54⇒mc=

1950.54

⇒mc=361 kg

6. korak: izračunavanje potrebne količine krupnog agregata. Prema američkom standard pod krupnim agregatom se podrazumeva onaj čija zrna ne prolaze kroz sito otvora 4.75 mm što se razlikuje od definicije krupnog agregata kod nas - zrna koja ne prolaze kroz sito otvora 4 mm. Prema ACI (American Concrete Institute) zapreminski udeo krupnog agregata u jedinici zapremine betona zavisi jedino od njegovog nominalno najvećeg zrna i modula finoće sitnog agregata

M=2.80 - modul finoće sitnog agregata

V z ,ka=0.69 m3 - udeo suvog zbijenog krupnog agregata očitan iz tabele (preračunat za zrno 31.5 mm).

γ z ,ka=1600 kg /m3 - zapreminska masa suvog krupnog agregata u zbijenom stanju.

mz ,ka=0.69∗1600=1104 kg

7. korak: izračunavanje potrebne količine sitnog agregata. Potrebna količina sitnog agregata može se izračunati na dva načina.

a) težinska metoda (manje tačna)

Ukupna masa do sada usvojenih materijala za 1 m3 betona je:mv+mc+mz , ka=195+361+1104=1660 kg

Aproksimirana masa neariranog betona je γsv ,b=2400 kg/m3, tako da je potrebna masa sitnog agregata:

msa=2400−1660=740 kg /m3

b) metoda apsolutnih zapremina (tačnija metoda)

Poznate su vrednosti specifičnih masa za cement γsc=3050 kg /m3, za krupan agregat γs , ka=2680 kg/m3 i sitan agregat γs , sa=2640 kg /m3. Za vodu se može uzeti da je γs , v=1000 kg /m3, dok se iz tabele aproksimativno može uzeti da je sadržaj vazduha 1.2%.

Apsolutne zapremine navedenih materijala su:

V v=195

1000=0.195 m3

V c=361

3050=0.118 m3

V ka=11042680

=0.412 m3

V vaz=0.012 m3

Tada se lako dobija apsolutna zapremina sitnog agregata kao:

V v=1−(0.195+0.118+0.412+0.012 )=0.263m3

Masena količina sitnog agregata iznosi:msa=0.263∗2640=694 kg

Potrebne količine materijala za spravljanje 1 m3 betona zahtevanih svojstava iznose:mv=195 kg

mc=361 kg

mka=1104kg

msa=694 kg

Ukupna količina agregata iznosi mu ,a=1104+694=1798 kg

Procentualno učešće sitnog i krupnog agregata u ukupnom agregatu iznosi:

frakcija 0/4 mm → 6941798

≈ 40 %

frakcija 4/31.5 mm → 11041798

≈ 60 %

Uočava se odstupanje u potrebnim količinama materijala za spravljanje 1 m3 betona sračunatih prema različitim numeričkim postupcima i preporukama. Kako se američka klasifikacija agregata razlikuje od naše i kako su njihove preporuke modifikovane prema našoj klasifikaciji agregata prema krupnoći to rezultate dobijene metodom američkog instituta za beton treba uzeti sa rezervom. Zahtevana svojstva svežeg i očvrslog betona, bez obzira na metodologiu proračuna, moraju se proveriti spravljanjem betona po odabranoj recepturi u laboratoriji. Ukoliko izmerene vrednosti konzistencije, zapreminske mase u svežem stanju ili čvrstoće (kao i druga svojstva betona, uključujući i posebna) ne odgovaraju postavljenim zahtevima neophodno je uraditi korekcije recepture i raditi ponobvna ispitivanja.

ili ukupno msv ,b=2354 kg