ESTADSTICA E INT. ECONOMETRACurso 2009 / 10TEMA 8. MODELOS UNIDIMENSIONALES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADNotas y resmenes de claseUNIDAD TEMTICA II: TEORA DE LA PROBABILIDAD

ESTRUCTURA DEL CAPTULODistribuciones de probabilidad de tipo discreto8.1.Modelo Bernoulli8.2.Modelo Binomial8.3.Modelo Hipergeomtrico8.4.Modelo de PoissonDistribuciones de probabilidad de tipo continuo8.5.Modelo Uniforme8.6.Modelo Exponencial8.7. Modelo Normal BIBLIOGRAFA BSICA: Novales, A., (1997): Estadstica y Econometra, McGraw-Hill, pgs. 201-234.Newbold, P. (1997): Estadstica para los Negocios y la Economa, Prentice Hall, pgs.107-188.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADIntroduccinf(x)= 1/ e x/ , x>0Modelo exponencial

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOProceso de BernoulliEs un experimento con las siguientes caractersticas:Se realiza un experimento con dos resultados posibles: E (xito) y F (Fracaso) tal que:p(E) = pp(F) = q = 1- p p+q =1La repeticin del experimento no altera las probabilidades de E y F Este modelo se puede aplicar a: Poblaciones finitas : se toman elementos al azar con reemplazamiento [urna con bolas, encuestas] Poblaciones infinitas : se observan elementos al azar en un proceso generador estable ( constante) y sin memoria (observaciones independientes). [sexo recin nacido, produccin de una mquina]

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOModelo Bernoulli Notacin : X~ Be(p) La v.a. de Bernoulli X viene definida por: X=0, si el resultado es Fracaso, 1-p = qX=1, si el resultado es xito, pFuncin de probabilidad: p(x) = px (1-p)1-x, x = 0,1. Funcin generatriz de momentos: M(t) = p et + (1-p)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOModelo Binomial Notacin: X ~ B( n,p )Observacin: Be(p) = B ( 1, p )Media: E(X) = n p Varianza: Var(X) = n p (1-p) Funcin generatriz de momentos: M(t) = [ p et + (1-p) ]n Una v.a. Binomial representa el nmero de xitos que ocurren en n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli cuya probabilidad de xito es p.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOModelo HipergeomtricoNotacin: X ~ H(N, k, n)Un conjunto de N objetos contiene: k objetos clasificados como xitos y N-K como fracasos. Se toma una muestra de tamao n, al azar y (sin reemplazo) de entre los N objetos. k xitos N-k fracasosPoblacin: NMuestra nLa v.a. Hipergeomtrica X representa el n de xitos en la muestraFuncin de probabilidad Si el tamao muestral n es muy pequeo en relacin al nmero total de elementos, N, las probabilidades hipergeomtricas son muy parecidas a las binomiales, y puede usarse la distribucin binomial en lugar de la hipergeomtrica.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOModelo de PoissonNotacin: X ~ P()El experimento observado es la aparicin de sucesos en un soporte continuo:*Tiempo (llegada de autobuses a una parada,...) *Espacio (errores por pgina, ...)Caractersticas del proceso: Es estable: produce a largo plazo un nmero medio de sucesos constante por unidad de observacin (tiempo, espacio, rea) Los sucesos aparecen aleatoriamente de forma independiente , es decir, el proceso no tiene memoria, ya que conocer sucesos en un intervalo no ayuda a predecir sucesos en el siguiente.Si el nmero promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo o en una regin especfica es >0. La v.a. X que es igual al nmero de ocurrencias indptes. en el intervalo o regin tiene una distribucin de Poisson con tasa

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOModelo de PoissonNotacin: X ~ P()

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETOAproximacin Poisson de la distribucin binomialSea X el n de xitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de xito p. La distribucin del n de xitos es binomial de media np. Sin embargo, si el n de ensayos n es grande y np tiene un tamao moderado (preferiblemente np7), esta distribucin puede aproximarse bien por la distribucin de Poisson de media =np. La funcin de probabilidad de la distribucin aproximada es entonces:

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo UniformeNotacin: X ~ U(a,b)Una v.a. sigue una distribucin uniforme si su masa de probabilidad est repartida uniformemente a lo largo de su soporte

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo UniformeNotacin: X ~ U(a,b)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo ExponencialNotacin: X ~ Exp()La variable aleatoria X representa el tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia del proceso de Poisson P() F. generatriz de momentos: M(t) = (1- t)1 t< 1/ La distribucin exponencial tiene la propiedad de carencia o prdida de memoria, esto es: P( X< s + t / x> s ) = P( X< t )

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo NormalNotacin: X ~ N(,2)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo NormalNotacin: X ~ N(, 2)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo Normal EstndarNotacin: z ~ N(0,1)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo Normal

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOModelo NormalNotacin: X ~ N(, 2)Si Y = a X b, siendo X ~ N (, 2), entonces:Y ~ N (a b, a2 2 )

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOAproximacin Normal a la distribucin BinomialSea X el n de xitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de xito p. Si n es grande y p no es ni demasiado grande ni pequeo, entonces, la distribucin binomial puede aproximarse bien por la distribucin Normal de media =np y varianza 2= np(1-p). O usando la correccin de continuidad de medio punto (cuando 20n50). Siendo Z la distribucin normal estndar.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUOAproximacin Normal a la distribucin PoissonSea X una v.a. de Poisson con media . Si es grande, entonces, dicha distribucin puede aproximarse bien por la distribucin Normal de media = y varianza 2= . O usando la correccin de continuidad Siendo Z la distribucin normal estndar.

RESUMEN DE CONVERGENCIAS DE DISTRIBUCIONESPoissonP()Normal N(, 2)BinomialB(n,p)HipergeomtricaH(N, k, n)N>50 n/N0,1n20=np 2 =np(1-p) 10= 2 = =np np 7

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