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Curso de Introducción a la Mecánica
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Momento de un par
Cuando dos fuerzas tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par .
El momento total del par respecto al punto O es la suma de los momentos de cada fuerza en O:
FrFrM BAO
Fd
senFrMOx
y
z
A
B
rA
rB
MO
r
d
F
-F
Frr BA
Fr
O
FF OOO MMM
FrM AOF
FrM BO F
Como el vector r es independiente de la elección de O, se obtendrá el mismo resultado eligiendo otro punto O’.
Por lo tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto en el plano formado por el par.
x
y
z
A
B
r’A
r’B
MO’
A
B
rA
rB
x
y
z
MO
F
-F
r
d
d
F
-F
MO
'OO MM
O
O’
BABA 'r'rrrr
A partir de la definición de un par, se concluye que:
Dos pares, uno formado por las fuerzas F1 y –F1, y otro formado por las fuerzas F2 y –F2 tendrán momentos iguales si se cumple que
1. Los dos pares tienen la misma magnitud: F1d1=F2d2
2. Los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano)3. Los dos pares tienen el mismo sentido.
d1
F1
-F1
M1
d2
F2
-F2
M2
El único movimiento que un par le puede impartir a un cuerpo rígido es de rotación.
Ejemplo: Las fuerzas paralelas de igual magnitud ejercidas hacia arriba y hacia abajo sobre los brazos de una cruceta producen un movimiento de rotación sobre la tuerca.
¿Estos pares son equivalentes?
x
y
z
6 in20 lb 20 lb
4 in
4 in
M=120lb in
x
y
z
30 lb
30 lb
4 in
M=120 lb in
x
y
z
30 lb
30 lb
4 in
M=120lb in
Es decir, producen el mismo efecto sobre la caja?
Si. Los pares que tienen el mismo momento M, son equivalentes
Ejemplo 1: Reemplace el par y la fuerza mostrados en la figura por una sola fuerza equivalente aplicada a la palanca. Determine la distancia desde el eje hasta el punto de aplicación de esta fuerza equivalente.
300 N30 cm
150 N
150 N
4 cm 45º
Respuesta: Primero calculamos el momentos de la fuerza en A respecto al punto O.
jmim
j45senm3.0i45cosm3.0r
2023
2023
OA
jN300F
kmN245
kN300m
0N3000
0mm
kji
FrM
2023
2023
2023
OAO
300 N30 cm
150 N
150 N
4 cm 45º
rOA
O
A
kmN12
kN150m08.0
00N150
0m08.00
kji
FrMp
jm08.0r
iN150F
Después calculamos el momentos del par
300 N30 cm
150 N
150 N
4 cm 45ºr
kmN245MO
kmN120Mp
kmN12245
kmN12kmN245
MMM pO
300 N
R
45º
ji
j45senRi45cosRR
2R
2R
jN300F
kN2
R300N300
2
Rk
0N3000
02
R
2
Rkji
FRM
m
300
122452R
kmN12245kN2
R300
Ahora sumamos los momentos calculados
Ejemplo 2. Determine las componentes del par simple que es equivalente a los dos pares mostrados en la figura.
Tarea para entregar el día lunes 1 de abril de 2013 al inicio de la sesión de clase.
Respuesta: Método por pares
km18.0kcm18r CD
jmN4.5
ikN30m18.0FrM DCDCD
iN30F D
Para el momento del par formado por las fuerzas de 30 N en C y D, separadas por una distancia de 18 cm, sobre el mismo plano (x-z) tenemos que
rCD
F
Para encontrar el par correspondiente a cada una las fuerzas en D y E sin que se altere el sistema, colocamos un par de fuerzas de 20 N en A.
km09.0r AD
jN20F D
imN80.1imN80.1
jkN20m09.0FrM DADAD
im12.0r EA
jN20F A
kmN40.2
jiN20m12.0FrM AEAEA
kmN40.2jmN4.5imN80.1
MMMM EAADCDtotal
Respuesta: Método por suma de momentos en un punto fijo
Se calcula la suma de los momentos de las cuatro fuerzas dadas con respecto a un punto arbitrario.
En este caso, el punto D nos simplifica los cálculos, ya que los vectores de posición de los puntos de aplicación de dos fuerza son cero.
Así que, sólo necesitamos calcular los momentos de las fuerzas en los puntos C y E.
EDECDCDEDCtotal FrFrMMM
km18.0kcm18r DC
km09.0im12.0r DE
iN30F C
jmN40.5
ikN30m18.0FrM CDCDC
jN20F E
kmN4.2imN18.0
0N200
m09.00m12.0
kji
FrM EDEDE
kmN40.2jmN4.5imN80.1M total
Ejemplo 3. Una placa de acero está sometida a la acción de dos pares, según se muestra en la figura. Determine (a) el momento del par formado por las fuerzas de 40 N, (b) el valor de si d=820 mm, y la resultante de los dos pares es de 8 N m en sentido contrario a las manecillas del reloj, (c) la distancia perpendicular entre las dos fuerzas de 24 N si la resultante de los dos pares es cero.
(a) El momento del par formado por las fuerzas de 40 N.
mN24
m600.0N40LFM 1N40
L=600 mm
m600.0mm600L
N40F1
(b) El valor de si d=820 mm, y la resultante de los dos pares es de 8 N m en sentido contrario a las manecillas del reloj.
cosmN68.19
cosm820.0N24
cosdFhFM 22N24
6.35123
100arccos
68.19
16
mN68.19
mN16cos
La resultante de los pares es de 8 N m
El momento del par de 24 N es
L=600 mm
d
h mN8
cosmN68.19mN24
MMM N24N40total
(c) La distancia perpendicular entre las dos fuerzas de 24 N si la resultante de los dos pares es cero.
mN24M'M
0M'M
N40N24
N40N24
mm1000m1
mN24N24'M N24
L=600 mm
d
Ejemplo 4. Si P=0, reemplace los dos pares restantes por un solo par equivalente; especifique su magnitud y la dirección de su eje.
Encontramos el momento del par de 25 lb
jin16iin4.39r CB
klb25F B
rCB
jinlb985iinlb400
lb2500
0in16in4.39
kji
FrM BCBlb25
Encontramos el momento del par de 36.5 lb
kin44jin16r AB
rAB
kin44iin4.39r AC
rAC
9281.0in44in16in44in4.39
in44in44in16in4.39
rr
rrcos
2222ABAC
ABAC
d
plano
planolb5.36lb5.36
Ldlb5.36
LMM
senrd AB
in43.17dº86.219281.0arccos
kin4.630jin6.1733iin704
in44in160
in440in4.39
kji
rrL
222
ABAC
2222222 in43.1974in4.630in6.1733in704L
k32.0j88.0i36.0
L
LL
kinlb58.203jinlb85.559iinlb03.229
k32.0j88.0i36.0in43.17lb5.36M lb5.36
kinlb58.203jinlb85.1544iinlb03.629MMM lb5.36lb25total
Ejemplo 5. Dos trabajadores usan bloques y polipastos conectados a la parte inferior de una viga I para elevar un gran tanque cilíndrico. Si la tensión en la cuerda AB es de 54 lb, reemplace la fuerza ejercida en A por la cuerda AB con un sistema equivalente fuerza-par en E.
Respuesta:
kft9jft18ift25.2
kft9jft5.4ft5.22ift25.2L AB
ft25.20
ft9ft18ft25.2L 222AB
k44.0j89.0i11.0
kft25.20
ft9j
ft25.20
ft18i
ft25.20
ft25.2LAB
klb24jlb48ilb6
k44.0j89.0i11.0lb54LFF ABABAB
jft5.22r EA
rEA
LAB
klb24jlb48ilb6FAB
jft5.22rEA
kftlb135iftlb540
lb6ft5.22klb24ft5.22i
lb24lb48lb6
0ft5.220
kji
FrM ABEAE