TEMA 3 Trabajo y Energía - mudarra.cpd.uva.esmudarra.cpd.uva.es/.../programas/fisica1/tema3/2015-2016/Trabajo.pdf · 1.- Trabajo, energía cinética y potencia . 2.- Energía potencial

1.- Trabajo, energía cinética y potencia 2.- Energía potencial. Fuerzas conservativas y no conservativas 3.- Conservación de la energía

TEMA 3 Trabajo y Energía

TEMA 3: TRABAJO Y ENERGÍA

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I

1.- Trabajo, energía cinética y potencia 1.1.- Trabajo. Circulación de un vector

1.2.- Energía cinética. Teorema del trabajo – energía cinética

1.3.- Potencia



Cinemática:

Dinámica:

Estudio y análisis del movimiento de la partícula

( ) ( ) (t)rrdtrddt

mFtv

dtvd

mFta t

0

=⇒=∫=⇒==

Hemos visto:

Por tanto, hay que conocer F(t), para poder resolver las integrales. Sin embargo, normalmente se conoce F(r). No conocemos r(t) (es lo que vamos buscando) Es necesario encontrar otro camino para resolver el problema del

movimiento: conceptos de trabajo y energía

r(t) v(t) a(t)

→→=∑ amF

→→→→

== 00 MFxr

dtLd

Supongamos un problema en el que sea conocido F(t):

?! TEMA 3: TRABAJO Y ENERGÍA


Sea una fuerza F(r) que actúa sobre una partícula, y sea dr un desplazamiento infinitesimal de la misma. Llamamos trabajo elemental de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr a:

dW = F ds cos θ = Ft ds

(dW = Fxdx + Fydy + Fzdz) →→= dr.FdW

ds)|dr(| =→

Notemos que:

De esta forma, si F perpendicular a dr: dW = 0

Trabajo realizado en tres dimensiones

1.1.- Trabajo. Circulación de un vector



∫→→B

A dr.V

NOTA: Dada una función vectorial V = V(r), la integral:

se denomina integral de línea o circulación de V

Así, el trabajo es la integral de línea o circulación de F(r)

( ) ∫=∫=→ BA t

BA dsFrdFBAW

A

Para calcular el trabajo total a lo largo de una cierta trayectoria entre dos puntos A y B:

B



Si tenemos varías fuerzas (Fi(r)) actuando sobre una partícula, cada una de ella producirá un trabajo dWi, y el diferencial de trabajo neto será:

→→→→→→=∑=∑=∑= dr.Fdr).F(dr.FdWdW iii ii

tetanresulFF ii =∑=→→

de forma que el trabajo total es el trabajo de la resultante de las fuerzas

siendo:



Veamos algunos ejemplos de trabajos realizados por algunas fuerzas bien conocidas (el peso, fuerza en un muelle o resorte, fuerza gravitatoria, etc.).

Tendremos siempre que evaluar la integral de F (r) a lo largo de una cierta trayectoria

[W]=[F][L] USI = N.m ≡ J (Julio) ≡ kg.m2.s-2

UNIDADES DE TRABAJO:

( ) ∫=→ BA rdFBAW



Trabajo realizado por un muelle

F = -kx (k ≡ constante del resorte)

El trabajo en un desplazamiento finito, de A (x=xA) a B (x=xB), será:

2B

2A

2A

2B

x

x

2

xx

xxBA

kx21kx

21

)kx21(kx

21kx

21

dxkx)dxkx(W

kxdxFdxdW

B

A

BA

BA

−=

−−−=−

∫−=∫ −=

−==

→

A

B

xA

xB

-kx

(movimiento unidimensional)



F

2B

2A kx

21kx

21W −=

xB xA

x

F = -kx

2Akx

21

− 2Bkx

21

−

Notemos que el trabajo viene dado por la integral de F(x) y es, por tanto, el área bajo la curva F vs x:

( ) ∫=→ BA

xx FdxBAW



Trabajo realizado por una fuerza gravitacional

)r

MmG(r

MmGr

MmGr

MmG

r1GMm

rdrGMmdr

rMmGW

drrMmGdrFdW

urdθudrdurudrdr ; urMmGF

BAAB

r

r

rr 2

rr 2BA

2

θrrrr2

B

A

BA

BA

−−−=−=

==∫−=∫

−=

−==⇒

+=+=−=

→

→→

→→→→→→→

El trabajo en un desplazamiento finito desde A (r=rA) hasta B (r=rB) será:

A

B

rA

rB F

urr r→→

=



► Caso particular: Trabajo realizado por el peso

( )

BAAB

yy

yyBA

mgymgy)mgy(mgy

mgy dymg W

mgdykdzjdyidxjmgdrFdW

B

A

BA

−=−−−=

=−=∫ −=

−=

++

−==

→

→→→→→→

En el caso previo, si los cambios de altura son pequeños (de forma que podamos considerar la gravedad g = GM/r2 constante), el trabajo del peso en un desplazamiento finito entre A (y=yA) y B (y=yB) será:

(El trabajo será positivo cuando yA>yB)

A

B yA

yB

mg



B

x

y

z

0

A

F

v m

a

La energía cinética va a ser la energía que posee un cuerpo en razón de su movimiento

( ) ∫ ⋅=→ BA rdFBAW

Como hemos visto:

( )

( ) C(A)C(B)2

A2

BB

A2B

A2B

A

BA

BA

BA

EEmv21mv

21mv

21vd

21mvdvm

rddtvdmrdamrdFBAW

−=−==∫=∫ ⋅=

=∫ ⋅=∫ ⋅=∫ ⋅=→

Aplicando la 2ª ley de Newton: →→

= amF

Definamos la nueva cantidad: cinética Energía mv21 E 2

C ==

1.2.- Energía cinética. Teorema del trabajo- energía cinética

=

→→v.dvdv.v



“El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su energía cinética” (Teorema del trabajo-energía

cinética o de las Fuerzas Vivas)

• La energía cinética depende del sistema donde se mida (a través de v)

• El trabajo depende del sistema donde se mida (a través de la trayectoria)

• Unidades de energía cinética ≡ unidades de trabajo en el S.I.: Julios (N.m)

CΔEW =

Notemos que:

Tenemos entonces: ( ) ( )BAΔEEEBAW CC(A)C(B) →=−=→



Veamos ya que la aplicación del principio del trabajo y la energía simplifica de manera considerable la resolución de problemas que implican fuerzas, desplazamientos y velocidades:

Consideremos un péndulo, de masa m y longitud l, que se separa de la posición de equilibrio y se deja caer sin velocidad inicial. Se quiere conocer la velocidad de la masa cuando alcanza el punto inferior de la trayectoria (cuando pasa por la posición de equilibrio)

m

l

A

B Aplicando el T. del trabajo-energía cinética:

CΔEW =

( ) ( ) C(A)C(B)C EEBAΔEBAW −=→=→

Tenemos que evaluar las energías cinéticas y calcular el trabajo efectuado.

h



Necesitamos conocer las fuerzas (reales, externas, que actúan sobre la partícula): D.C.L

• La tensión no tiene componente tangencial, por tanto no efectúa ningún trabajo

• El trabajo del peso ya lo conocemos: Wpeso = mgh

gh2v 0-mv21 mgh -EEW B

2BC(A)C(B)BA =⇒=⇒=→

► Trabajo efectuado

mg

T

( ) ∫=∫=→ BA t

BA dsFrdFBAW

Por tanto:

2BC(B)

C(A)

mv21E

o)del repos (parte 0E

=

=► Energía cinética:



Notemos las ventajas del método:

1. No necesitamos determinar la aceleración y luego integrar

2. Todas las magnitudes implicadas son escalares

3. Podemos obviar todas las fuerzas que no realicen trabajo



Cuestión 3.1

Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de 2 m/s cuando se encuentra en x=0. Esta partícula se encuentra sometida a una única fuerza Fx que varía con la posición del modo indicado en la figura. a) ¿Cuál es su energía cinética para x=0? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza desde x=0 m a x=4 m? c) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando se encuentra en x=4 m? Fx (N)

4

0 x (m) 2

6

0



Cuestión 3.2

Un pequeño vehículo experimental movido por cohetes (m=100 kg), parte del reposo en A y se mueve con rozamiento despreciable a lo largo de una pista vertical. Si el cohete impulsor ejerce un impulso constante de 1780 N entre los puntos A y B cortándolo en ese último punto, determinar la distancia s que rodará el vehículo hacia arriba en el plano antes de detenerse (la pérdida de peso debido a los gases expulsados por el cohete es despreciarse).



Muchas veces no interesa sólo la cantidad de trabajo (que produce una máquina, por ejemplo), sino la rapidez con que se produce ese trabajo. La potencia mide la rapidez con que se realiza un trabajo

Potencia media

Potencia instantánea

ΔtΔWP =

vFdtrdF

dtdWP

⋅=⋅==

dtdW

ΔtΔWlímPlímP

0t0t===

→∆→∆

Notemos que:

∫= 21

tt dtPW

Podemos poner también:

1.3.- Potencia

Mientras más rápido se realiza el trabajo la

potencia que se desarrolla es mayor.



UNIDADES DE POTENCIA: [P]=[W][T]-1 USI = J.s-1 ≡ W (Watios) ≡ kg.m2.s-3

Se suelen usar los múltiplos kW y MW

Otras unidades que a veces se usan son CV y HP:

• 1 CV (caballo de vapor)= 736 W

• 1 HP (horse power) = 550 lbf pie s-1 = 746 W

Una unidad usada para expresar trabajo es el kW-h (Kilowatio-hora)

• 1kW-h ≡ trabajo efectuado durante una hora por una máquina que realiza una potencia de 1 kW = 1000(W).3600(s) = 3,6.106 J



Eficiencia Mecánica

Se define la eficiencia (rendimiento) de una máquina η como la relación entre el trabajo de salida y el de entrada. Por lo tanto:

e entradaPotencia de salidaPotencia d

entradaTrabajo de salidaTrabajo deη ==

Siempre se tiene que η <1



2.- Energía potencial. Fuerzas conservativas y no conservativas 2.1.- Energía potencial. Campos escalares. Gradiente de un escalar

2.2.- Fuerzas conservativas y no conservativas



Existen muchas situaciones físicas en las que el trabajo efectuado sobre una partícula es independiente de la trayectoria seguida por esta y sólo depende de las posiciones inicial y final. Ejemplos (que ya hemos visto):

● Trabajo realizado por un muelle:

−−−=−=→

BAABBA r

MmGr

MmGr

MmGr

MmGW

2B

2ABA kx

21 kx

21W −=→

● Trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria:

A

B

rA

rB

A

B

xA

xB

inicial final

inicial final

kx21U 2=

r

M.mGU −=

2.1.- Energía potencial. Campos escalares. Gradiente de un vector



En todas estas situaciones el trabajo se puede poner como la diferencia de una magnitud escalar (U(r)) evaluada en los puntos inicial y final. A esta magnitud se la denomina energía potencial (U):

ΔU)zyU(x)zyU(x)rU()rU(W B B, B,A A, A,BABA −=−=−=→

UNIDADES DE LA ENERGÍA POTENCIAL

[U] =[W]=[Ec]

► Trabajo realizado por el peso (caso particular de la fuerza gravitatoria):

BABA mgymgyW −=→

A

B yA

yB

m.g.yU =

inicial final



En este tipo de situaciones, consideremos dos puntos muy próximos y calculemos el trabajo elemental efectuado por una fuerza entre ellos: A(x,y,z), A’(x+dx, y+dy, z+dz):

( ) ( ) ( )x,y,zdUdzdy,zdx,yxUx,y,zUdW −=+++−=

( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−=++= dzzUdy

yUdx

xUx,y,zdUdzFdyFdxFdW zyx

Y por tanto:

zU ; F

yU ; F

xUF zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

A (x,y,z)

A’ (x+dx, y+dy, z+dz)

Así:

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=++= k zU j

yU i

xUkFjFiFF zyx



∇El operador (operador gradiente o operador nabla) es un operador que actúa sobre funciones escalares.

Dada una función ϕ escalar ϕ = ϕ(r):

k zφ j

yφ i

xφ

zφ,

yφ,

xφ φgradφ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

==∇

UgradUF −=∇−=

Por tanto:



Matemáticamente, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a esa variable manteniendo las otras como constantes.

,....zf,

yf,

xf

∂∂

∂∂

∂∂

.)f(x,y,z,..A =

Ejemplo: volumen de un cilindro de radio r y altura h:

πrh2rV=

∂∂

hπrV 2=

2πrhV=

∂∂ h

r



Dada la función: z(x,y)z =

dyyzdx

xzdz

∂∂

+∂∂

=

El diferencial (total) de z será:



Se habla de fuerzas conservativas cuando el trabajo efectuado sobre la partícula es independiente de la trayectoria seguida por esta y sólo depende de las posiciones inicial y final. En tales situaciones hemos visto que el trabajo se puede obtener a partir de una función escalar denominada energía potencial.

Notemos que para una fuerza conservativa, si la trayectoria es cerrada:

( ) 0rdFa cerradatrayectoriW =∫=

Inversamente se puede afirmar que si el trabajo en una trayectoria cerrada es cero la fuerza es conservativa:

0rdF =∫

vaconservatiF =

(Obviamente será condición necesaria para que una fuerza sea conservativa que F sólo dependa de la posición de su punto de aplicación y no de la trayectoria recorrida)

2.2.- Fuerzas conservativas y no conservativas



Se habla de fuerzas no conservativas cuando el trabajo efectuado sobre la partícula depende de la trayectoria seguida por esta y no depende solamente de las posiciones inicial y final.

En el caso de fuerzas no conservativas, no es posible expresar el trabajo a partir de una ninguna función escalar (o energía potencial).

Ejemplos de este tipo de fuerzas son las fuerzas de rozamiento, donde el trabajo es siempre negativo (fuerza opuesta al desplazamiento) y dependiente de la trayectoria realizada.



Cuestión 3.3

Un tren con una masa total de 2 · 106 kg se eleva 707 m a lo largo de una distancia de 62 km con una velocidad constante de 15 km/h. Si la fuerza de rozamiento es igual al 0.8% del peso, calcular la energía cinética del tren.

a) 1,386 · 1010 J

b) 17,361 · 106 J

c) 9,92 · 1010 J

d) 225000 J



3.- Conservación de la energía 3.1.- Conservación de la energía mecánica

3.2.- Conservación de la energía total



Consideremos una situación en la que tengamos una masa sometida sólo a fuerzas conservativas. En esa situación, los trabajos se pueden expresar en términos de una energía potencial U:

Principio de conservación de la Energía: Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas la Energía mecánica total de la partícula permanece constante en el transcurso del movimiento

( ) cteEUE0UEΔΔEΔUΔEWΔUW

MecánicaCCCC

=≡+⇒=+⇒=−⇒

=−=

http://www.educaplus.org/play-128-conservaci%C3%B3n-de-la-energ%C3%ADa-en-el-p%C3%A9ndulo.html

Cuando la fuerza es conservativa la energía mecánica del sistema permanece cte.

ΔUW −=Tendremos entonces:

3.1.- Conservación de la energía mecánica



http://www.educaplus.org/play-128-conservaci%C3%B3n-de-la-energ%C3%ADa-en-el-p%C3%A9ndulo.html

Cuestión 3.4

Laura y Alicia se balancean una al lado de la otra sobre dos columpios idénticos. Laura, la más joven, es la más ligera. Sus padres las sueltan a la vez, sin impulso y a partir de posiciones iniciales idénticas. Se desprecian rozamientos y la resistencia del aire. a) ¿Cuál de las dos niñas pasa por la vertical del punto de suspensión (posición de equilibrio) con mayor velocidad? b) ¿Cuál vuelve antes a su posición de partida? c) ¿Cuál resulta más fácil de parar?



Curvas de energía potencial

Consideremos una situación en la que tengamos una partícula bajo la acción de una fuerza conservativa. En esta situación existe la función energía potencial. Veamos cómo el análisis de las curvas de Energía Potencial nos permitirá deducir muchas de las características del movimiento resultante. Por simplicidad consideraremos un movimiento en una dimensión (eje X) U=U(x)

x

U

Notemos, en primer lugar, que la fuerza viene dada como: dxdUF −=

La fuerza es igual a la pendiente cambiada de signo

Pendiente positiva ≡ fuerza negativa

Pendiente negativa ≡ fuerza positiva

Pendiente nula ≡ fuerza nula



0F0dxdU

=⇒=

Mínimo: equilibrio estable (1)

Máximo: equilibrio inestable (2)

Equilibrio indiferente (3): U = constante

Los puntos con pendiente nula son puntos donde se anulan las fuerzas posiciones de equilibrio. Dependiendo de la forma de la curva tendremos:

x

U Pendiente nula ≡

fuerza nula 2

1 3

http://www.youtube.com/user/pirc000



http://www.youtube.com/user/pirc000

x

U

Notemos también que: Em=Ec+U ⇒ Ec=Em–U (Em≡cte)

Así, para una energía mecánica total dada (Em):

Em (≡ cte)

Ec=Em–U

U

Ec

• La Ec es máxima en el mínimo de potencial

• La Ec es nula en los puntos de corte (A,B,C y D) puntos de retorno (v=0): pozos de potencial

• Existen puntos en los que no es posible el movimiento (Ec < 0 no se mueven las partículas: x<A, B<x<C y x>D: barreras de potencial

Ec<0 ⇒ v ?? barreras de

potencial

A B C D

Por tanto:



( ) 02

e Ukx21xU +=

Puntos de retorno ( Ec = 0 v = 0; Fuerza máxima)

Amplitud

Máxima velocidad y fuerza nula

U

A -A

Em

Movimiento vibratorio, la amplitud depende de la energía

mecánica total Em x

Em = Ec+ U

Veamos un ejemplo concreto: fuerza elástica en un muelle: ( ) kxxF −=

Representando la ecuación (parábola centrada):

dxdUF −=Puesto que:

ctekx21kxdxFdxU 2 +=∫=∫−=

http://www.edumedia-sciences.com/es/a229-conservacion-de-la-energia

Elegimos de forma arbitraria el origen de Ep

U

Ec 2m kA

21A) U(xA)U(xE =−====














Cuestión 3.5

La energía potencial de un objeto limitado a moverse en la dirección x es:

U(x)=ax4+bx2

donde a=3.0 J/m4 y b=-8 J/m2. Determinar los puntos de equilibrio y ver si éste es estable o inestable.



Cuestión 3.6

Una partícula está obligada a moverse en un campo de fuerzas unidimensional que deriva de la energía potencial representada en la figura adjunta. a) ¿Cuáles son los puntos de posible equilibrio? Discutir la estabilidad de estos equilibrios. b) ¿Cuáles son los puntos en que la fuerza ejercida pasa por un máximo, en módulo? c) ¿Cuáles son los posibles movimientos de una partícula de energía E1, E2, E3 y E4 respectivamente?



Hemos visto que cuando todas las fuerzas son conservativas se conserva la energía mecánica total del sistema.

( ) MecánicaCCncc

CnccΔEUEΔΔUΔEWΔUW

ΔEWWW=+=+=⇒−=

=+=

El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía mecánica del sistema

Pero, ¿qué ocurre cuándo no todas las fuerzas son conservativas? Si tenemos una situación con fuerzas conservativas y no conservativas:

Mecánicanc ΔEW =

http://www.youtube.com/user/pirc000#p/a/u/2/rxsu0TiYw3M

3.2.- Conservación de la energía total

Fc ⇒ Wc Fnc ⇒ Wnc



http://www.youtube.com/user/pirc000%23p/a/u/2/rxsu0TiYw3M

Cuestión 3.7

Un bloque de 2 kg se deja libre sobre un plano inclinado 30º hacia abajo (coeficiente de rozamiento µ=0.2). Calcular la velocidad que lleva el bloque después de haber recorrido 4 m a lo largo del plano inclinado.

30º



totalotraMecánica ΔE0ΔEΔE ==+

Si tomamos el caso de las fuerzas de rozamiento vemos que se convierte en muchas ocasiones en Energía térmica, otras veces se emplea en deformar el material o en realizar reacciones químicas.

Podemos generalizar y decir que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas se transforma siempre en alguna otra forma de energía:

La energía total se conserva

Principio de conservación de la energía

La energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser creada ni destruida; la energía total permanece constante (física clásica)

Dentro del marco relativista, es posible que la masa se transforme en energía y viceversa: Equivalencia masa-energía: ( ) 2cΔmE =

http://www.tu.tv/videos/conservacion-de-la-energia

http://www.youtube.com/user/pirc000#p/a/u/1/JG1HEJUDiSs

¿Qué ocurre con el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas?



http://www.tu.tv/videos/conservacion-de-la-energia

http://www.youtube.com/user/pirc000%23p/a/u/1/JG1HEJUDiSs

(Ayuda: si la masa no se cae es porque la cuerda

tiene tensión)

Cuestión 3.8

Un péndulo consiste en una pequeña masa (m) atada al extremo de una cuerda de longitud L. Tal como muestra la figura la masa se coloca en posición horizontal y se suelta. En el punto más bajo de la oscilación, la cuerda choca con una clavija delgada situada a una distancia R por encima de dicho punto. ¿Cuál es el máximo valor de R para que la masa describa un círculo entero alrededor de la clavija?



Documents

TEMA 3 Trabajo y Energía - mudarra.cpd.uva.esmudarra.cpd.uva.es/.../programas/fisica1/tema3/2015-2016/Trabajo.pdf · 1.- Trabajo, energía cinética y potencia . 2.- Energía potencial