Tema 4

85

4. КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

4. 1. АГЛИ ВО КРУЖНИЦА

4. 1. 1. Централен агол

1. На црт. 1 дадена е кружница k ( ,O p) и определен со точката M. Темето на аголот

лежи во центарот на кружницата и аголот го отсекува лакот AMB од кружницата. Агол чие теме е во ценатарот O на една кружница и отсекува лак AMB од таа кружница се вика централен агол над лакот AMB.

Централен агол над лак во кружница определува единствена тетива, која може, но не мора да лежи во централниот агол. Така на црт. 1 тетивата AB лежи во централниот агол над лакот AMB, но не лежи во централниот агол над лакот ANB.

Секоја тетива од кружницата определува два централни агли. Едниот од нив, во кој лежи тетивата е помал или еднаков на другиот и тој се нарекува централен агол над тетивата. Збирот на двата агла определени со една тетива е еднаков на 3600.

2. Која тетива определува два еднакви централни агли и по колку степени е секој од нив?

3. Нацртај две кружници со еднакви радиуси и во секоја од нив нацртај агол од 70 со теме во центарот на соодветната кружница. Секој од тие агли е централен агол, кој опре де лу ва по една тетива на двете кружници. Измери ги должините на тетивите. Што забележуваш?

Ако прецизно си цртал и мерел, сигурно забележа дека должините на тетивите определени со соодветните централни агли се еднакви.

Помеѓу тетивите, лаците и централните агли во една или во две складни кружници важат следните својства:

а) Еднакви централни агли определуваат еднакви лаци и еднакви тетиви;б) Еднакви лаци определуваат еднакви тетиви и еднакви централни агли;в) Еднакви тетиви определуваат еднакви централни агли над тетива.

4. На црт. 2 се претставени две концентрични кружници со различни радиу си. Централниот агол , ги определува на кружниците и соодветно тетивите AB

и CD, како и кружните лаци AMB и CND. Со мерење можеш да забележиш дека AMB и CND и

86

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

5. Во кружница (O, нанесени се еднаквите тетиви MN и PQ. Ако најди ја ја големината на

6. Колкав дел од кружницата, односно колкав кружен лак одговара на централен

агол од: а) б) в) г) 7. Колкава е големината на централен агол на кој му одговара тетива што е еднаква на радиусот на кружницата?

8. Со две точки една кружница е разделена на два лака во однос Колкав цен трал ен агол одговара на поголемиот

лак од кружницата? 9. Со четири точки кружницата е разделена на четири лаци, од кои трите се еднакви меѓу себе, а четвртиот е еднаков на нивниот збир. Колкава е големината на централните агли на кои им се соодветни така добиените кружни лаци? Направи скица на која со x ќе ги означиш аглите што се еднакви меѓу себе, а

соодветно на текстот на задачата, со поголемиот агол кој е еднаков на збирот на трите помали агли.

4. 1. 2. Периферен агол

Во претходната лекција се потсети на поимот централен агол, а овде ќе се запознаеш со уште еден вид на агол.

1. На црт. 3 дадена е кружница (O,r) и определен со точката Q. Темето на аголот

лежи на кружницата и аголот го отсекува лакот PQM од кружницата.

Агол чие теме лежи на дадена кружница и отсекува лак од кружницата на кој не припаѓа темето, се вика периферен агол над тој лак.

Аголот на црт. 3 ја определува и тетиватата PM и таа се наоѓа во него.

Секој периферен агол определува единствена тетива и таа се наоѓа во него.

Ако АВ е тетивата определена со еден периферен агол над лак, тогаш тој се вика и периферен агол над тетивата АВ.

2. Според црт. 4, определи го односот На дадениот цртеж, триаголникот MNO е рамнокрак, од каде за аглите и важи Аголот е периферен агол, додека е централен, но за двата

агла е заеднички соодветниот кружен лак, односно тие се агли над ист лак. Според

87

претходното, би можеле да претпоставиме дека постои некоја врска меѓу големината на централниот и големината на периферниот агол над ист кружен лак. Таква врска постои и таа гласи вака:

Произволен периферен агол над даден лак е еднаков на половината од централниот агол над истиот лак.

3. Докажи го претходното својство.Нека е периферен, а централен над ист кружен лак.Треба да покажеме дека 2 = . За да го докажеме својството ги разгледуваме

следните три случаи: едниот крак на периферниот агол минува низ центарот на дадената кружница; центарот на кружницата лежи во периферниот агол; центарот на кружницата не лежи во периферниот агол.Првиот случај е докажан во задачата 1. Да го докажеме вториот случај.

На црт. 5. нацртани се аглите и , а потоа е нацртан дијаметарот кој минува низ темето на периферниот агол. Според црт. 5, од и имаме

При докажувањето на овој слу чај, го користевме случајот докажан во задача 1, кога кракот на периферниот агол минува низ центарот на дадената кружница.

4. Докажи го третиот случај од својството за периферните и централните агли. (види црт. 6).

5. За дадениот периферен агол над даден лак, најди ја големината на централниот агол над истиот лак.

а) б) в)

6. Определи колкав е секој периферен агол над лак

кој е од кружницата.

7. Темињата на еден триаголник лежат на кружница. Тие ја разделуваат кружницата

на три лаци од кои два се односно од кружницата. Пресметај ги внатрешните

агли на три агол ни кот?

88


8. Нацртај кружница со произволен радиус, а потоа нацртај во неа и една тетива. Нацртај неколку периферни агли над таа тетива. Што забележуваш за големината на аглите?Ако добро си работел, сигурно утврди дека сите

периферни агли нацртани над истата тетива се еднакви меѓу себе. Ќе го воопштиме ова тврдење со својството за големината на периферните агли над ист кружен лак.

Периферните агли над ист кружен лак се еднакви.

Секој периферен агол над дијаметарот на кружница е прав агол.

9. Докажи го својството на еднаквост на периферните агли над ист кружен лак.Користи го црт. 7 и својството за врската меѓу периферен и централен агол над ист кружен лак.

4. 1. 3. Талесова теорема

1. Најди колкав е периферен агол над лак за кој централниот агол e

2. Нацртај кружница со произволен радиус и еден нејзин дијаметар. Дијаметарот е тетива. Нацртај неколку периферни агли над дијаметарот. Измери ги

нацртаните агли. Што забележуваш?Ако добро работеше сигурно утврди дека аглите се

прави, односно сите се по 900.И во првата задача, користејќи ја формулата за врската

меѓу големините на централниот и соодветиот периферен агол, требаше да добиеш дека периферниот агол е 900.

Од двете задачи може да го извлечеш следното воопштено тврдење, познато како Талесова теорема, според античкиот математичар Талес.

При докажувањето на Талесовата теорема се користи својството за врската меѓу централен и периферен агол над ист лак. Всушнсот, Талесо ва та теорема е директна последица од тоа својство. Ако дијаметарот го разгледаме како два радиуси, тогаш тие се краци на централниот агол од 1800. Секој периферен агол над дијаметарот ќе биде половина од 1800, односно 900 .

89

Талесовата теорема наоѓа примена во различни области од математика та, техни ка-та, градеж ништво то итн.

Но, важи и обратната теорема на Талесовата теорема.

3. Искажи ја обратната теорема на Талесовата теорема (види црт. 8).Ако добро одговори на задачата 3, твојот одговор гласел вака:

Секој прав периферен агол во една кружница е периферен агол над дијаметарот на таа кружница, односно на прав периферен агол во кружница соодветната тетива е дијаметарот на таа кружница.

4. Докажи ја обратната теорема на Талесовата теорема.

5. Најди ја должината на отсечката NP (црт. 9), ако е познато дека: е прав; точките N и P се средиш ни точки на тетивите AM и MB; и радиусот на кружницата е Обратната теорема на Талесовата теорема може да се

искористи за конструирање на прав агол.

6. Конструирај прав агол со помош на Талесовата теорема.

Најпрво ќе нацрташ отсечка со произволна должина, која ќе претставува дијаметар на кружницата на која ќе лежи темето на периферниот агол.

7. Конструирај прав агол без користење на линијар и шестар.Прав агол може да се конструира само со молив, клинци и конци со произволна должина (не многу долги). На едниот крај од едниот конец

врзи го моливот, а на другиот крај врзи го клинецот. Нацртај точка О. Забоди го клинецот во точката О и со оптегнување на конецот, нацртај кружница. Избери точка А од кружницата. Исто како претходно нацртај кружница со центар во А. Нека В е една од пресечните точки. Пак како погоре нацртај кужница со центар во В. Нека С е пресечната точка на третата со првата кружница, различна од А. Тогаш отсечката АС е дијаметар на кружницата. Избери точка Х од првата кружница, која ќе биде теме на правиот агол. Во точките А, С и Х забоди клинци. Потоа оптегни конец околу забодените клинци. Ќе добиеш правоаголен триаголник, а со тоа и прав агол.

8. Нека K(O,r) е круг, а k (O,r) неговата кружница. Од дадена точка надвор од кругот, конструирај тангента на кружницата.Да се потсетиме. Тангента на кружница е права која со кружницата има само една

заедничка точка.

90


За да ја решиш задачата послужи се со црт. 5. Аголот што го зафаќа тангентата со радиусот на кружницата во нивната допирна точка е прав агол. Допирната точка на кружницата со тангентата е теме на правиот периферен агол. Според обратната теорема на Талесовата теорема, тоа ќе биде агол над дијаметарот OA на кружницата чиј центар се наоѓа во средишната точка на отсечката OA.

Конструкцијата ги содржи следните чекори: Определуваме средишна точка O1 на отсечката OA;

Конструираме кружницата со центар во и радиус

Ги наоѓаме пресечнитe точки

Ги повлекуваме тангентите и

Сигурно забележа дека се добиваат две решенија, односно од дадена точка што е надворешна за дадена кружница, може да се повлечат две тангенти.

Со точката A и допирните точки на двете тангенти и кружницата, се добиваат отсечки и кои се викаат тангентни отсечки.

За нив важи следното својство:

Тангентните отсечки што се конструирани од иста точка на дадена кружница се еднакви меѓу себе.

9. Страните на еден триаголник ABC се тангенти на кружница, односно кружницата е впишана во триаголникот. Допирните точки со страните на триаголникот се M, N и P. Најди го периметарот на триаголникот, ако должините на тангентните отсечки се: и

4. 1. 4. Задачи за вежбање

1. Колкав е централниот агол над кружен лак кој е:

а) од кружницата; б) од кружницата; в) од кружницата?

2. Најди ја големината на периферен агол над тетива еднаква на радиусот на дадена кружница.

3. За дадениот периферен агол над даден лак, најди ја големината на централниот агол над истиот лак.

а) б) в) .4. За дадениот централен агол над даден лак, најди ја големината на периферните

агли над истиот лак. а) б) в) .

91

5. Најди ја големината на периферен агол над кружен лак кој е од круж ницата.

6. Темињата на еден триаголник лежат на кружница. Тие ја разделуваат кружницата

на три лаци од кои два се односно од кружницата. Пресметај ги внатрешните агли

на три агол ни кот?

7. Под каков агол се гледа дијаметарот на една кружница, гледано од точка на кружницата?

8. Во остроаголен триаголник MNP повлечени се висините и Докажи дека постои кружница на која и припаѓаат точките M, M1, N и N1 и најди го центарот на таа кружница.

9. За кружница конструирај тангента од точка М која е на растојание од центарот на кружницата.

10. Докажи го својството за тангентните отсечки.

4. 2. ТЕТИВЕН И ТАНГЕНТЕН ЧЕТИРИАГОЛНИК

4. 2. 1. Тетивен четириаголник

1. Нацртај кружница k со центар во точка О и еден конвексен чети риаголник ABCD, чиишто темиња лежат на кружницата. а) Што претставуваат страните на четириаголникот

за круж ни цата?б) Како се викаат внатрешните агли на четири-

аголникот, земајќи предвид дека нивните темиња лежат на кружницата?

Ако добро работеше, сигурно воочи дека страните на четириаголникот се тетиви на кружницата на која лежат неговите темиња, а неговите внатрешни агли се периферни агли.

Четириаголник на кој сите страни му се тетиви на една кружница се вика тетивен четириаголник.

2. Нацртај правоаголник , а потоа околу него опиши кружница. Освен правоаголникот, кои други тетивни четириаголници ги познаваш?

92


3. Нацртај еден тетивен четириаголник, а потоа внимателно измери ги неговите внатрешни агли. Најди ги збировите на двата пара спротивни внатрешни агли. Што забележуваш?

Ако добро измери и пресмета, сигурно си добил дека збирот од два по два спротивни агли на тетивниот четириаголник е

Во таа смисла, ако MNPQ е тетивен четириаголник (црт. 12) и , , и , се внатрешните агли во четириаголникот, тогаш Ова тврдење ќе го искажеме вака:

Спротивните агли во тетивен четириаголник се суплементни.

Навистина, ако и се означени централните агли за кои се соодветни кружните

лаци MNP и MQP, тогаш

4. Нека во еден тетивен четириаголник се дадени големините на два агла чии темиња се соседни за четириаголникот.

а) и б) и

Пресметај ги големините на другите два агли во тој четириаголник.

5. Обиди се да го искажеш обратното тврдење на тврдењето за збирот на спротивните внатрешни агли во тетивен четириаголник.Твојот одговор треба да гласи вака:

Ако во еден четириаголник спротивните агли се суплементни, тогаш тој четириаголник е тетивен, односно околу него може да се опише кружница.

6. Дали може да се опише кружница околу:а) квадрат; б) правоаголник; в) рамнокрак трапез; г) правоаголен трапез.

Образложи го твојот одговор.

7. Во еден тетивен четириаголник еден агол е трипати поголем од неговиот спротивен, додека другите два агла се меѓусебно еднакви. Најди ги аглите на тој четириаголник.

8. Конструирај опишана кружница околу:а) квадрат; б) рамнокрак трапез.

За да ги конструираш кружниците, потребно е да го определиш центарот на секоја од нив.

Бидејќи по дефиниција, кружницата е множеството од точки во рамнината кои се на исто растојание од дадена фиксна точка - центарот на кружницата, а темињата на тетивниот четириаголник треба да се точки од кружницата, секое теме на тетивниот

93

четириаголник треба да е еднакво оддалечено од центарот на бараната кружница. Освен тоа, потсети се дека секоја точка од симетралата на една отсечка е еднакво оддалечена од крајните точки на таа отсечка.

Според тоа, од претходната дискусија следува дека за да ја конструираме кружницата околу еден тетивен четириаголник треба да го определиме пресекот на симетралите на неговите страни, со што ќе биде исполнето барањето за еднакво растојание на темињата (точки од бараната кружница) од центарот на кружницата што ќе ја конструираме (црт. 13).

Кај квадратот можеш да конструираш опишана кружница и со определување на пресекот на дијагоналите. Зошто?

9. Дали може да се конструира кружница околу четириаголник чии агли редоследно се:

а) б) в)

4. 2. 2. Тангентен четириаголник

1. Нацртај квадрат, а потоа во него впиши кружница. Потсети се на претходно изученото, а потоа одговори што претставуваат страните на квадратот за кружницата што е впишана во него.

Сигурно забележа дека страните на квадратот претставуваат збирови од тангентни отсечки за кружницата впишана во него.

Со други зборови квадратот е опишан околу кружницата.

Четириаголник на кој сите страни допираат една кружница се вика тангентен четириаголник.

2. На црт. 14 е даден еден тангентен четириаголник. Внимателно измери ги должините на неговите страни, а потоа пресметај ги збировите од спротивните страни. Што забележуваш?

94


Ако добро си измерил и пресметал, сигурно си добил дека збировите од должините на спротивните страни се еднакви. Тоа е главно својство на тангентните четириаголници.

Според тоа имаме дека

Збировите од должините на спротивните страни на тангентен четириаголник се еднакви.

Ако во еден четириаголник збировите од должините на неговите спротивни страни се еднакви, тогаш тој четириаголник е тангентен, односно во него може да се впише кружница.

Навистина, ако MNPQ е тангентен четириаголник (црт. 14), тогаш неговите страни

се збирови од тангентни отсечки, па имаме дека и

од каде што следува дека

3. Во еден тангентен четириаголник должините на три негови страни последователно

се: а) б) в)

Пресметај ја должината на четвртата страна.

4. Во тангентен четириаголник се дадени три од неговите страни a, b и c. Определи ја чет врта та страна d.

5. Докажи дека во тангентен четириаголник важи следното равенство

каде што L е периметарот на тој четириаголник.

Важи и обратното тврдење на претходното, односно:

Непосредно од последното тврдење произлегуваат неколку последици. Потсети се на четириаголниците кои имаат еднакви збирови на должините на своите спротивни страни. Такви четириаголници се, на пример, квадратот, ромбот, делтоидот итн. Во сите овие четири агол ни ци може да се впише кружница, односно сите тие се тангентни четириаголници.

За да конструираме кружница што е впишана во некој од овие четириаголници, потребно е да го определиме нејзиниот центар. Секоја од страните на четириаголникот во кој сакаме да ја конструираме кружницата треба да е еднакво оддалечена од центарот на впишаната кружница во него. Според својството на точките од симетрала та на еден агол, секоја точка од симетралата на аголот е еднакво оддалечена од неговите краци.

95

Во нашиот случај, страните на четириагол ни кот треба да се еднакво оддалечени од центарот на впишаната кружница во него, па центарот на таквата кружница ќе биде во пресекот на симетралите на внатрешните агли на четириагол ни кот.

За да конструираш кружница во делтоид, разгледај го црт. 15.

6. Впиши кружница во: а) квадрат; б) делтоид; в) ромб.7. Во правоаголник со должини на страните a и b

не може да се впише кружница. Зошто?

Образложи го својот одговор.


1. Што е точно:а) Правоаголникот е тетивен четириаголник.б) Околу правоаголен трапез не може да се опише кружница.в) Ниту еден паралелограм не е тетивен четириаголник. г) Квадратот е тетивен четириаголник.д) Околу секој трапез може да се опише кружница. 2. Во тетивен четириаголник еден агол е 4 пати поголем од неговиот спротивен, а

останатите два се меѓу себе еднакви. Најди ги аглите во четириаголникот.3. Дали може да се конструира кружница околу четириаголник чии агли редоследно

се:

а) б) ;

в) 4. Докажи дека околу правоаголен трапез не може да се опише кружница.5. Искажи го својството на тангентните четириаголници.6. Дали во четириаголник со страни:а) и б) и

може да се впише кружница?

7. Периметарот на еден тангентен четириаголник е L а две соседни страни се долги и Најди ги страните на четириаголникот.

8. Периметарот на тангентен четириаголник ABCD е 27cm. Најди ги должините на

страните BC и CD, ако и .

96


4. 3. ПРАВИЛНИ МНОГУАГОЛНИЦИ

4. 3. 1. Правилни многуаголници

Со поимот многуаголник се запозна во петто одделение. Овде ќе го повториме и продлабочиме знаењето за тој поим. Кај многуаголниците разликуваме неколку основни елементи: темиња, страни, внатрешни и надворешни агли.

1. Разгледај го црт. 16 и наброј ги слично сти те и разликите меѓу дадените многуаголници.

Ако одговори правилно на задачата 1, забележа дека: кај правоаголникот сите агли се еднакви односно сите агли се прави агли; кај ромбот сите страни се еднакви, но аглите не се еднакви; и кај квадратот сите страни се еднакви и сите агли се еднакви.

Многуаголник на кој сите страни се еднакви и сите агли се еднакви се вика правилен многуаголник.

Правилен многуаголник во кој внатрешните агли се еднакви на и страните се еднакви на a, се вика правилен многуаголник со страна a и агол .

2. Кои од многуаголниците на црт. 17 се правилни многуаголници?

Како и за секој n-аголник, односно многуаголник со n страни, така и за правилен n-аголник важат следните формули за пресметување на:

Бројот на дијагоналите во едно теме:

Вкупниот број на дијагонали:

Ако разгледаме еден рамностран триаголник, ќе дојдеме до истиот заклучок како кај квадратот, дека сите страни и сите агли на таквиот многуаголник се еднакви. Што е заедничко за квадратот и рамно-страниот триаголник? По форма тие се различни, но и кај квадратот и кај рамностраниот триаголник сите стра ни се еднакви и сите агли се еднакви. Постојат и други многуаголници со овие каракте ристи ки.

Црт. 16

97

Збирот на внатрешните агли:

Од последната формула добиваме дека аголот на правилен n-аголник е:

3. Пресметај го збирот на внатрешните агли кај правилен:а) петаголник; б) седумаголник; в) дванаесетаголник.

Да се потсетиме уште дека збирот на надворешните агли на секој многуаголник е Ова својство секако важи и за правилните многуаголници.

4. Пресметај го аголот на правилен: а) петаголник; б) шестаголник.

5. Во кој правилен многуаголник големината на неговиот агол е

6. а) Дали секој многуаголник со еднакви страни е правилен?б) Дали постои многуаголник со еднакви агли, кој што не е правилен?

7. Дефинирај периметар на многуаголник.

8. Пресметај го периметарот на рамностран триаголник со страна

Бидејќи кај правилните многуаголници, сите страни се еднакви, имаме дека:

Периметарот на правилен многуаголник се пресметува со формулата L каде што n е бројот на страни на многуаголникот, а a е должината на страната на многуаголникот.

L

9. Пресметај го периметарот на следните правилни многуаголници:а) квадрат со страна 21 mm; б) рамностран триаголник со страна 3,5 cm;в) правилен петаголник со страна 2,8 cm;

г) правилен шестаголник со страна dm.

10. Пресметај ја страната a на правилен n-аголник со даден периметар, ако:а) L=12dm, n=3; б) L=32cm, n=4; в) L=44cm, n=8.

Со решавањето на претходната задача забележа дека преку

периметарот на правилниот n-аголник, страната a може да се

изрази со формулата .

98


4. 3. 2. Впишана и опишана кружница

1. Нацртај рамностран триаголник, а потоа конструирај ги впишаната и опишаната кружница. Ако добро работеше, центарот на впишаната

кружница го определи во пресекот на симетралите на аглите, додека центарот на опишаната кружница е точката што е пресек на симетралите на страните (црт. 18).

Дали центрите на впишаната и опишаната кружница околу рамностраниот триаголник се совпаѓаат?

2. Впиши и опиши кружница околу квадрат. Искористи го црт. 19.Во двете претходни задачи, беа конструирани кружници (впишани и опишани) кај рамно стран

триаголник и квадрат. Заедничко за нив е тоа дека и двата многу агол ни ци се правилни и двете кружници имаат ист центар. Ова својство е карактеристика на сите правилни многуаголници.

Околу секој правилен многуаголник може да се опише кружница.

Во секој правилен многуаголник може да се впише кружница.

На почеток ќе покажеме дека околу секој правилен многуаголник може да се опише кружница. На црт. 20 а) нацртани се две страни од правилен многуаголник. Темињата А и С се соседни на темето В. На црт. 20 б), нацртани се

Црт. 20а) б) в)A B

C

A

О1

sB

SC

B

C

A

О

sBsA

B

C

симетралите sA и sB на внатрешните агли кај темињата А и В, при што аголот е половина од аголот на правилниот многуаголник. Симетралите sA и sB се сечат во точката О. На црт. 20 в) истото е направено за темињата В и С. Притоа симетралите sB и sC се сечат во точкатата О1. Триаголниците АВО и ВСО1 се рамнокраки, со иста основа и ист агол при основата. Според признакот АСА за складност тие се складни, од што следува дека:

99

Центарот на впишаната и центарот на опишаната кружница кај правилен многуаголник се совпаѓаат.

Симетралите на страните и симетралите на аглите во правилен многуаголник минуваат низ центарот на многуаголникот.

. Бидејќи О и О1 лежат на иста полуправа sB и се еднакво оддалечени од темето В, се добива дека точките О и О1 се совпаѓаат, односно тоа е една точка. Значи растојанијата од темињата А, В и С до точката О се еднакви, што значи дека темињата А,

В и С лежат на кружницата k (O, R), каде што . Со иста дискусија се докажува дека и другото соседно теме на С лежи на k (O, R). Продолжувајќи со истата дискусија и за останатите темиња, се докажува дека сите симетрали на внатрешните агли минуваат низ точката О. Според тоа k (O, R) е кружница опишана околу правилниот многуаголник. Центарот на опишаната кружница е во пресекот на кои било две симетрали на внатрешни агли.

За да докажеме дека во правилен многуаголник може да се впише кружница, ќе го искористиме црт. 21. На црт. 21 се нацртани отсечки, секоја од кои го сврзува центарот на опишаната кружница околу правилниот многуголник со темињата на многуаголникот. Од претходната дискусија следува дека Од складноста на триаголниците следува дека соодветните висини се

еднакви, односно од каде што заклучуваме дека страните на правилниот многу агол-ник се еднакво оддалечени од точката О. Според тоа,

тие се тангенти на иста кружница k(O, r), каде што . Значи, k(O, r) е впишана кружница во правилниот многуаголник.

Со претходната дискусија е докажано и следното својство:

Затоа, центарот на впишаната и опишаната кружница се вика и центар на правилниот многуаголник.

3. На црт. 22 се нацртани впишаната и опишаната кружница кај правилен петаголник. Центарот на петаголникот е во пресекот на две симетрали на внатрешни агли. На цртежот се забележува и дека симетралите на страните ЕА и АВ минуваат низ центарот.

Центарот на произволен правилен многуаголник е еднакво оддалечен од крајните точки на која било страна на многуголникот. Тоа значи дека центарот лежи на симетралата на секоја страна од многаголникот.

100


4. 3. 3. Карактеристичен триаголник

кај правилен многуаголник

Во претходната лекција видовме дека во секој правилен многуаголник може да се впише кружница. Во доказот на ова тврдење го искористивме фактот дека рамнокраките триаголници чии краци се два радиуси на опишаната кружница и основата е една од страните на правилниот многуаголник се складни меѓу себе. Со таквите складни триаголници наполно е определено за кој правилен многуаголник станува збор. Бидејќи сите такви рамнокраки триаголници се складни, за нашата работа е сеедно кој од нив ќе го земаме за разгледување.

Секој од рамнокраките триаголници чии краци се два радиуси на опишаната кружница и основата е една од страните на правилниот многуаголник се вика карактеристичен триаголник на правилниот многуаголник.

Аголот при врвот на карактеристичниот триаголник на еден правилен многуаголник се вика централен агол на многуаголникот.

1. На црт. 23 се дадени неколку правилни многуаголници со нивните карактеристични триаголници. Колку карактеристични триаголници има секој од многуаголниците на црт. 23?

Централниот агол на еден правилен многуаголник ќе го означуваме со .

2. На црт. 24 се означени централ ни те агли на неколку правилни многу агол ници. По колку централни агли има секој од многуаголниците на црт. 24?

Ако правилно одговори на задачата 2, забележа дека секој правилен n–аголник има исто толку карактеристични триаголници, односно централни агли, колку што има темиња (страни).

3. Колку изнесува збирот на сите централни агли во правилен n-аголник?Ако правилно одговори на прашањето забележа дека збирот на сите централни

101

Висината во карактеристичниот триаголник на правилен многуаголник се вика апотема на правилниот многуаголник.

агли во многуаголникот е 360. Но, во задачата 2 утврдивме дека секој правилен многуаголник има n централни агли. Според тоа, формулата за пресметување на централниот агол е:

Од карактеристичниот триаголник на еден правилен многу аголник (црт. 25) ги дознаваме сите важни податоци за многу агол никот, односно: колкава е должината на страната на тој многуаголник; колкав е радиусот R на опишаната кружница; колкав е радиусот на впишаната кружница r; и колкави се аголот и централниот агол на многуагол ни кот.

4. Нацртај правилен многуаголник со:а) 3 страни; б) 4 страни.

Потоа нацртај ги нивните карактеристични триаголниции и определи ги големините на нивните централни агли. Каков триаголник е карактеристичниот триаголник на квадрат?

5. Каква врска постои меѓу аголот на правилен многуаголник со аголот при основата на карактеристичниот триаголник?

Потсети се дека карактеристичните триаголници се рамнокраки и складни меѓу себе. Користи го црт. 26.

Ако добро работеше сигурно утврди дека аголот при основата на рамнокракиот три агол ник е двапати помал од аголот на многуаголникот, односно за нив важи . Ова понатаму ќе го искористиме за цртање и конструкција на правилни многуаголници.

6. Докажи дека централниот агол и надворешниот агол на правилен многуаголник се еднакви.

7. Најди ја големината на надворешниот агол кај правилен n-аголник, ако:а) б) в) г) д)

8. Колкави се аглите на карактеристичниот триаголник во правилен:а) петаголник б) шестаголник в) десетаголник ? 9. Колку страни има правилен многуаголник со централен агол од 400 ?

10. Дали постои правилен правилен многуаголник со агол при основата на карактеристичниот триаголник од 400 ?

102


4.3.4. Конструкција на правилни многуаголници

1. Кои податоци за правилниот многуаголник можат да се добијат од неговиот карактеристичен триаголник? Ако точно одговори на задача 1, утврди дека од

карактеристичниот триаголник може да дознаеш за должината на страната, должината на радиусите на впиша-на та и опишаната кружница, големината на централниот агол, големината на аголот на правилниот многу аголник (црт. 27).

2. Нацртај правилен четириаголник со страна и означи еден негов каракте ристичен триаголник. Потоа опиши кружница околу него. При решавањето на задача 2 забележа дека

карактеристичниот триаголник на квадратот е со крак еднаков на радиусот на опишаната кружница и агол при основата еднаков на половината од внатрешниот агол на квадратот или

пак , каде што е централниот агол на квадратот.

Кружните лаци кои одговараат на централните агли на квадратот се еднакви. Зошто?Всушност за да конструираме правилен многуаголник впишан во кружница, наша

задача е да ја поделиме кружницата на n еднакви делови.

3. Конструирај правилен шестаголник со страна За да го конструираме правилниот шестаголник ќе ги искористиме задачите 1 и 2.

Според претходно кажаното, карактеристичниот триаголник е рамнокрак триаголник чија што основа е страната на многу агол никот, а краците се радиуси на опишаната кружница околу правилниот многу агол ник. Значи ако го конструираме карактеристичниот триаголник (црт. 28), ќе можеме да го конструираме и шестаголникот. Но, за да го конструираме карактери стични от триаголник, бидејќи не знаеме колкав е радиусот на опишаната кружница, потребна ни е големината на аголот при основата на тој триаголник. Тој агол можеме да го опреде-ли ме на два начини:

1. , каде што е аголот на шестаголникот;

103

2. , каде што е централниот агол на шестаголникот.

F

Ние ќе работиме како во 2. Најпрво ќе го определиме централниот агол на шестаголникот

односно, ; а потоа аголот при основата

Сега можеме да го конструира ме

карактеристичниот триаголник на шестаголникот (позната е неговата основа и аголот при основата). Конструкцијата се состои во следните чекори:

Карактеристичен триаголник OAB; Кружница со центар во врвот на карактеристичниот триаголник и радиус еднаков

на кракот, односно

Поврзување на темињата на шестаголникот (црт. 29).Сигурно воочи дека карактеристичниот триаголник кај шестоаголник е рамностран

триаголник. 4. Конструирај правилен дванаесетаголник со произволна должина на страната.

Користи ја задачата 3. Кружницата лесно ќе ја поделиш на 12 еднакви делови со помош на симетралите на страните на шестаголникот.

5. Конструирај квадрат впишан во кружница со радиус 2cm.

Конструкција:

(O, ;

(O, ;

(O, ; BD дијаметар на k(O, така што Поврзување на темињата на квадратот (црт. 30)

6. Докажи дека конструираниот четириаголник во задача 5 е квадрат.Централните агли AOB, BOC, COD и DOA се прави. Какви тетиви одговараат на еднакви централни агли? Аглите на четириаголникот ABCD можеш да ги определиш со помош на Талесовата

теорема. 7. Конструирај правилен осумаголник впишан во кружница со радиус Искористи ги задачите 5 и 4.8. Конструирај правилен осумаголник со страна

104



1. Што е заедничко за квадрат и рамностран триаголник?

2. Пресметај го збирот на внатрешните агли на правилен многуаголник со:а) 6 страни; б) 8 страни; в) 10 страни.

Провери дали збирот на надворешните агли на дадените многуаголници е

3. Колку страни има многуаголник чиј збир на внатрешните агли е

4. Што е центар на правилен многуаголник?

5. Пресметај ја апотемата на правилен шестаголник со страна

6. Колкав е аголот на правилен многуаголник со 5, 10 и 12 страни?

7. Колку страни има правилен многуаголник чиј агол е

8. Најдолгата дијагонала на еден правилен многу-аголник со една од страните со која има заедничка точка зафаќа агол од 720. За кој многуаголник станува збор?

9. Секоја страна на еден квадрат е поделена на три еднакви дела како на црт. 31. Дали така добиениот многуаголник е правилен?

10. Пополни ја табелата, знаејќи дека податоците во табелата се однесуваат на правилен многуаголник:

n a L3 ?5 ??

11. Во кружница со радиус впиши правилен:а) триаголник; б) четириаголник; в) осумаголник.

12. Конструирај правилен шестаголник со страна

105

4. 4. ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА

4. 4. 1. Питагорова теорема

Во овој дел ќе побараме уште некои врски меѓу страните на еден вид триаголници, правоаголните триаголници.

1. Нацртај правоаголен триаголник со страни и (познат под името Египетски триаголник).

Потсети се дека најдолгата страна, онаа што лежи спроти правиот агол во триаголникот се вика хипотенуза, додека другите две се викаат катети.

Над страните на триаголникот нацртај квадрати со страни долги и соодветно (црт. 32). Сигурно забележа дека постои врска меѓу плоштините на квадратите нацртани над страните на триаголникот.

Плоштината на квадратот над катета а долга е плоштината на квадратот над катетата b долга е а плоштината на квадратот над хипотенузата c долга е Од равенството може да заклучиме дека плоштината на квадратот нацртан над хипотенузата е еднаква на збирот од плоштините на двата квадрати нацртани над катетите.

2. Дали врската помеѓу страните на правоаголниот триаголник дадена во задача 1, важи за било кој правоаголен триаголник?

Ќе покажеме дека таа врска важи за секој правоаголен триаголник.

Конструираме квадрат ABCD со страна (црт. 33). На страните AB, BC, CD и

DA избираме точки S, P, Q и R така што .a

Тогаш b и

Триаголниците SBP, PCQ, DQR и RAS, сите

мегу себе складни, се правоаголни со катетии a и b, и хипотенуза c.

Триаголниците и се складни па затоа

Слично, и останатите

агли во четириаголникот SPQR се прави. Според тоа

четириаголникот SPQR е квадрат.

106


Плоштината на триаголникот QCP е

Плоштината на квадратот ABCD е еднаква на плоштините на квадратот SPQR зголемен за четирикратната плоштина на триаголникот QPC, односно

Од друга страна,

Бидејќи левите страни на последните две равенства се еднакви, можеме да ги изедначиме

и десните, односно од каде што по средувањето добиваме дека

што требаше да се докаже. Според тоа:

Во кој било правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите.

Ова својство се вика Питагорова теорема, посветена на античкиот математичар Питагора.

3. Најди ја хипотенузата на правоаголен триаголник, со катети:а) б) в)

а) Според Питагоровата теорема, квадратот на хипотенузата е еднаков на

збирот од квадратите на катетите, односно од каде

што за c имаме

Значи, од формулата добиваме дека

4. Најди ја едната катета, ако се познати другата катета и хипотенузата.а) б) в)

а) Од можеме да ја изразиме едната од катетите, во овој случај

па

Формулата според која можеме да ја определиме едната катета m, ако се познати

другата катета n и хипотенузата p гласи

5. Мирко на конец долг врзал летало. На која висина се наоѓа леталото, ако точка та во која стои Мирко со точката која се наоѓа вертикално под леталото е оддалечена од него

(црт. 34). Висината од конецет што го држи Мирко до точката каде што стои е 1,5m.

6. Пресметај ја хипотенузата на рамнокрак правоаголен триаголник чија катета е Црт. 34

107

Ако квадратот на најголемата страна на еден триаголник е еднаков на збирот од квадратите на другите две страни, тогаш триаголникот е правоаголен.

7. Пресметај го периметарот на правоаголен триаголник со хипотенуза и катета

8. Покрај ѕид висок стои скала (црт. 35). Колку треба да биде долга скалата за да се качиме на ѕидот, ако со неа

можеме да се приближиме на до ѕидот?

9. Конструирај квадрат чија плоштинана е еднаква на збирот од плоштините на квадратите со страни и

Важи и обратната теорема на Питагоровата теорема, односно:Црт. 35

Со примена на ова тврдење можеме да провериме дали еден триаголник е правоаголен или не.

10. Провери дали триаголникот со дадените должини на страните е правоаголен:

а) и б) и

а) Триаголникот со дадените должини на страните е правоаголен бидејќи важи

равенството односно квадратот на најголемата страна на триаголникот е еднаков на збирот од квадратите на другите две страни.

4. 4. 2. Примена на Питагоровата теорема

1. Пресметај ја дијагоналата на квадрат со страна

За да ја решиме задачата, ќе го искористиме црт. 36. Што претставува дијагоналата AC на квадратот за правоаголниот триаголник ABC?

Ако правилно одговори на поставеното прашање, за дијагоналата d доби дека како хипотенуза на правоаголниот рамнокрак триаголник со катета a, може да се пресмета по формулата од каде што добиваме дека

.

2. Пресметај го периметарот на квадрат со дијагонала

108


3. Пресметај ја должината на дијагоналата на правоаголник со страни:

а) и б) и в) и

Искористи ја Питагоровата теорема во правоаголниот

триаголник ABC (црт. 37) чии катети се страните на правоаголникот, а хипотенузата е неговата дијагонала.

4. Кошаркар висок 2,1m добил хотелски кревет долг 2m и широк 1m. Може ли кошаркарот да се испружи на креветот?

5. Колку метри жица е потребно за да се загради нива во форма на правоаголник со страна и дијагонала .

6. Во рамнокрак триаголник е дадена должината на основата и висината соодвет на на неа. Пресметај ја должината на кракот на триаголникот.

а) и ; б) и в) и

На црт. 38 воочи го правоаголниот триаголник чии

катети се висината и половина од основата. Потсети се дека висината спуштена од врвот на рамнокрак триаголник се совпаѓа со тежишната линија спуштена кон основата, односно ја дели основата на рамнокракиот триаголник на два еднакви дела.

7. Пресметај го периметарот на рамнокрак триаголник, ако се дадени висината спуштена кон основата и кракот на тој триаголник. а) и б) и

а) Да се потсетиме, формулата за пресметување на периметар на рамнокрак триаголник е

a+2b каде што a е основата, а b е кракот на рамнокракиот триаголник. Од претходната

задача имаме дека од каде што за страната добиваме

односно Тогаш

8. Кај рамностран триаголник, Питагоровата теорема

ги поврзува страната и неговата висина со формулата

Покажи дека формулата е точна (црт. 39).

9. Пресметај го периметарот на рамностран триаголник со висина

109

10. Најди ја висината на рамнокрак трапез ABCD, со основи а и b и крак c (црт. 40).

Со отсечката DF, паралелна со кракот BC, рамнокракиот трапез е разделен на паралелограм BCDF и на рамнокрак триаголник AFD, со основа a – b и висина h. Бараната висина на рамнокракиот трапез е всушност висината на рамнокракиот триаголник. Заради Питагоровата теорема имаме дека

односно

11. Пресметај го периметарот на рамнокрак трапез со основи и

висина

За да го пресметаш периметарот треба да ја знаеш уште должината на кракот. Воочи го правоаголниот триаголник AED на црт. 40.

12. Најди го кракот на правоаголен трапез ABCD, со основи а и b и крак c (црт. 41).

Ако постапиш како во претходната задача ќе добиеш дека

Воочи дека висината h кај правоаголниот трапез е всушност еднаква на должината на кракот d кој што со основите на трапезот зафаќа прав агол.

13. Пресметај го периметарот на правоаголен трапез со основи и висина

14. Пресметај го периметарот на ромб со дијагонали и

Потсети се, каква заемна положба имаат дијагоналите на ромб. На што е еднаква должината на отсечката AS (црт. 42)?

Воочи го правоаголниот триаголник на црт. 39 со катети со должина половина од должината на едната, односно другата дијагонала и хипотенуза еднаква на страната на ромбот.

15. Пресметај ја должината на тетивата на кружница чиј радиус е и растојанието од центарот до тетивата е

110


4. 4. 3. Конструктивни задачи со примена на Питагоровата теорема

1. Пресметај ја дијагоналата на квадрат со страна 1.Ако точно си ја решил задачата, доби дека должината на дијагоналата е . Овој факт сега ќе го искористиме

за конструирање на отсечка со должина еднаква на во избраната мерна единица (cm, dm итн.).

Конструкцијата е многу едноставна. Наша задача е всушност да конструираме квадрат со страна 1 (црт. 43).

Со конструкцијата на отсечката со должина , понатаму ќе можеме да констру ира ме и други

отсечки со должина изразена со некој ирационален број во определена мерна единица. Ако на цртежот на кој сме ја конструирале отсечката со должина

конструираме правоаголен триаголник со катети со должина и должина 1, должината на хипотенузата на така конструираниот триаголник ќе

биде еднаква на ( Понатаму,

ако над отсечката со должина , како катета, констру ира ме правоаголен триаголник со другата катета со должина еднаква на 1, ќе добиеме како хипотенуза отсечка со должина Со продолжување на ваквата постапка можеме за секој природен број n да кон струираме бесконечно многу отсечки со должина (црт. 44).

2. Конструирај отсечка со должина

Ирационалниот број можеме да го претставиме

како .

Од последниот запис на гледаме дека за да конструираме отсечка со бараната дол жи на потребно е да конструираме правоаголен триаголник со катети 2 и 1 (црт. 45).

Но, постои и друг начин за конструирање на

отсечка со должина , бидејќи записот

не е единствен запис со кој можеме да го изразиме

На пример, односно сега се

јавува како катета на правоаголен триаголник со хипотенуза 3 и друга катета со должина 2 (црт. 46).

111

3. Конструирај отсечка со должина:

а) б) в) г) Кога ги изучуваше рационалните броеви научи дека на секој рационален број може

да му се придружи точка од бројната права. Но, дали е можно обратното? Дали на секоја точка од бројната права може да се придружи по еден рационален број? Одговорот на последното прашање е негативен и тоа ќе го поткрепиме со задачата 1 од овој дел, кога требаше да се пресмета дијагоналата на квадрат со страна 1. Добивме дека дијагоналата е

со должина а таа должина е изразена со ирационален број, односно

Меѓутоа, од конструкцијата на квадрат со страна 1 на бројната оска, гледаме дека на истата таа оска има и точка која одговара на ирацио нал ниот број (црт. 47). Како што се забележува од црт. 47, постапката за определување на точка на

бројната оска на која се придружува ирационалниот број се состои од конструирање на квадрат со страна 1, а потоа должината на неговата хипотенуза се нанесува на бројната оска.

Понатаму, кога е определена точката која одговара на бројот на бројната оска може лесно да се определи точката на која е придружен бројот (црт. 48).

На црт. 48 се претставени точките на кои им се придружуваат ирационалните

броеви:

Слично може да се покаже како се одредуваат точките на бројната права на кои им

се придружени реалните броеви: итн.

Разгледувајќи го множеството на реални броеви и конструкциите дадени во овој дел, можеме да заклучиме дека на секој реален број може да му се придружи само една точка од бројната права и обратно, на секоја точка од бројната права може да се придружи само еден реален број. Затоа, за придружувањето на реален број на точка од бројната права, ќе велиме уште дека е претставување на дадениот реален број на бројната права.

112


4. Претстави ги на бројна права броевите:

а) б) в) г) д) ѓ)

5. Претстави ги на бројна права реалните броеви:

а) б) в)

6. Конструирај квадрат со страна


1. Ако е дадена едната катета и хипотенузата на правоаголен триаголник, пресметај ја другата катета:

а) б) в)

2. Најди го радиусот на опишаната кружница околу квадрат со страна

3. Столб висок 40m е врзан со челични јажиња за колчиња забиени во земјата на оддалеченост 9m од неговото подножје. Колкава е должината на челичните јажиња?

4. Пресметај ја висината на рамнокрак триаголник со основа и крак

5 Пресметај ја висината на рамностран триаголник со основа

6. Пресметај ја должината на кракот на рамнокрак трапез со основи и висина

7. Пресметај ја должината на кракот што зафаќа прав агол со основите на правоаголен трапез со основи и висина

8. Пресметај го периметарот на ромб со дијагонали и

9. Пресметај го периметарот на рамностран триаголник со висина

10. Конструирај триаголник со страни и

11. Претстави ги на бројна права следните броеви: а) б) в)

12. Претстави ги на бројна права броевите: а) б) в)

113

4. 5. ПЛОШТИНА НА МНОГУАЛНИК

4. 5. 1. Поим за плоштина

Знаеш дека една проста затворена искршена линија ја дели рамнината на два дела, внатрешен дел и надворешен дел. Искршената линија заедно со внатрешниот дел е многуаголник. Како што отсечкит имаат должини, така и многуаголниците имаат своја карактеристика која се вика плоштина. Секоја површина има своја карактеристика, односно плоштина.

Најчесто за единица мерка за мерење плоштина на површина, се зема плоштината на квадрат со страна еднаква на единица мерка за мерење должина, кој се вика единечен квадрат (црт. 49).

Плоштина на многуагол ник е бројот на единечни квадрати кои би го покриле многуаголникот без преклопување.

Единици мерки за мерење плоштина во зависност од единицата мерка за должина се:

милиметар квадратен

центиметар квадратен

дециметар квадратен

метар квадратен

километар квадратен итн. На црт. 49 се претставени единиците мерки

и Колку милиметри квадратни има во еден центиметар квадратен?На црт. 50 можеш да ги воочиш врските меѓу мерните единици за плоштина.

1 dm

1 dm 10 cm

10 cm1010 cm21 dm2

1 dm2=100 cm2

1 m

1 m 100 cm

100 cm100100 cm21 m2

1 m2=10000 cm2

1 m

1 m 10 dm

10 dm1010 dm21 m2

1 m2=100 dm2

Црт. 50

Пресметувањето на плоштината е многу важно во секојдневниот живот, науката, техниката, земјоделството, градежништвото и многу други области на човековото живеење.

114


Поради огромната примена во праксата се користат и други единици за мерење на плоштина, како што се: ар (a), декар (dek) и хектар (ha). Овде ќе ја дадеме врската на овие мерни единици со метри квадратни:

1. а) Изрази ги во центиметри квадратни следните мерни броеви на плоштината дадени во метри квадратни: 1m2; 5m2; 1,5m2; 12,75m2.б) Изрази ги во метри квадратни следните мерни броеви на плоштината дадени во

дециметри квадратни:

2. Пресметај во квадратни центиметри:

а)

б)

3. Пополни ја пирамидата така што во полето е впишан збирот од полињата под него:

4. На црт. 52 се дадени неколку геометриски фигу-ри. Нека едно квадратче

е единица мерка за плоштина. Колкава е плоштината на секоја од фигурите на дадениот цртеж?

Дали на цртежот има фигури со ист број на квадратчиња кои ги зафаќаат на квадратната основа?

Сигурно забележа дека фигурите B и E имаат еднаква плоштина, што е последица на складноста на овие две фигури (и двете се правоаголници со должини на страните 2 и 5 . Ќе воопштиме до:

Складни фигури имаат еднакви плоштини.

За фигурите кои имаат еднакви плоштини велиме дека се еднаквоплоштни фигури.

И фигури кои не се складни може да имаат еднакви плоштина, а тоа е можно заради разложување (составување) на (од) складни фигури. На црт. 53 се дадени квадрат со

115

страна 4 единици и правоаголник со страни 2 единици и 8 единици, за кои ќе покажеме дека имаат еднакви плоштини.

За да дојдеме до еднаквоплоштноста на дадените четириаголници, ќе го разложиме едниот од нив на два помали правоаголници. Да го разложиме правоаголникот, на тој начин што ќе го поделиме, ,,расечеме” по симетралата на страната со должина 8 единици, на два дела. Добиваме 2 правоаголници со должини на страните 2 единици и 4 единици. Сега ако ги составиме овие мали правоагол ни-чи ња, односно ако ги споиме по должината на страната која е 4 единици, добиваме квадрат со страна 4 единици, што секако е складен со дадениот квадрат (црт. 53).

5. Дали на црт. 54 има еднаквоплоштни фигури?

6. Дали должина на от-сеч ка може да биде изразена со негативен број?

Ако точно си одговорил на прашањето твојот одговор бил негативен. Слично на тоа, плоштината на многуаголник не може да биде изразена со негативен број, односно:плоштината на секој многуа-гол ник се изразува со позитивен број во некоја од мерните единици за плоштина.

4. 5. 2. Плоштина на квадрат, правоаголник и правоаголен триаголник

1. Најди ја плоштината на квадратот со страна a даден на црт. 51, ако 1 квадратче од мрежата има должина на страната односно плоштина

Со колку единечни квадрати може да се покрие квадратот на црт. 55, без преклопување?

Ако правилно одговори на претходната задача, сигурно утврди дека во еден ред можат да се наредат онолку единечни квадратчиња, колку што изнесува мерниот број на должината на страната на квадратот. Значи, во еден ред можат да се наредат a единечни

116


квадрати. Но, имаме a такви редови, па вкупниот број на квадратчиња наредени над квадратот ќе биде a редови по a единечни квадратчиња во секој таков ред, односно единечни квадрати кои ја покриваат површината на квадратот.

Плоштината на секој квадрат е еднаква на квадратот од должината на неговата страна.

Плоштината на секој правоаголник е еднаква на производот од должините на неговите две соседни страни.

Според тоа плоштината на квадрат со страна a е:

Кога пресметуваш плоштина на некоја фигура сите димензии на фигурата треба да ги изразиш во иста мерна единица.

2. Пресметај ја плошината на квадрат со страна:а) б) в)

Изрази ги добиените вредности за плоштината во метри квадратни.

Слично, за плоштината на правоаголник со страни a и b имаме:

3. Пресметај ја плоштината на правоаголен градежен терен со должина и ширина а потоа изрази ја во ари.

4. Еден земјоделец имал градина во форма на квадрат. За да ја загради нивата потрошил жица. Колку садници од градинарското растение му се потребни за да

ја засади целата нива, ако тој знае дека за ќе потроши 18 садници од градинарската култура.

5. Колку пати ќе се зголеми плоштината на квадрат, ако неговата страна се зголеми 3 пати?

Означи ја со a страната на помалиот, а со 3a страната на поголемиот квадрат.

6. Пресметај ја плоштината на правоаголен триаголник со катети а и b.

За да ја решиме задачата ќе го искористиме црт. 56. Ако над хипотенузата на триаголникот поставиме друг триаголник, складен со дадениот, добиваме правоаголник. Според тоа, добиваме дека плоштината на правоаголен триаголник со катети a и b е еднаква на половина од плоштината на правоаголникот со страни a и b, односно:

117

Плоштината на секој правоаголен триаголник е еднаква на полупроизводот од должините на неговите катети.

7. Во табелата се дадени некои од еле мен тите на правоаголен триаголник. Пополни ја табелата.

Катета a Катета b Плоштина P?

110cm ??

8. Нива со плоштина има форма на правоаголник со должина на едната страна Пресметај ја должината на другата страна.

9. На планот на еден град (црт. 57) улиците ,,Кирил и Методиј” и ,,Гоце Делчев” се сечат под прав агол. Должината на улицата ,,Кирил и Методиј” е а на улицата ,,Гоце Делчев” е Пресметај ја плоштината на градскиот квартал заграден од улиците ,,Кирил и Методиј”, ,,Гоце Делчев” и булеварот ,,Македонија”.

4. 5. 3. Плоштина на триаголник

За да ја пресметаме плоштината на било кој триаголник, не само на правоаголен, ќе ја искористиме формулата за плоштина на правоаголен триаголник и разложувањето, односно делењето на триаголникот на правоаголни триаголници. На црт. 58 е даден триагол ни к ABC со страни a, b и c, и висина спуштена кон страната c, означена со hc. Подножната точка на висината е означена со D. Да ги разгледаме триаголниците ACD и BCD. Овие два триаголници се правоаголни, и тоа, првиот со катети AD и CD, а другиот со катети DB и CD. Според формулата за пресметување на плоштина на правоаголен триаголник за нивните плоштини имаме

и

Од друга страна за плоштината на триаголникот ABC имаме дека

односно:

118


Според договорените ознаки, имаме дека

Слично, може да се покаже дека и

Плоштината на правоаголен триаголник е еднаква на полупроизводот од должините на страната и висината спуштена кон неа.

Според тоа плоштината на триаголник со страни a, b и c, и висини ha, hb и hc, спуштени кон страните a,b и c соодветно, се пресметува по формулата

1. Пресметај ја плоштината на триаголник ако се дадени следните негови елементи:

а) б) в)

а)

2. За дадените елементи на триаголникот, најди:

а) ако и б) b, ако и

в) ако и

3. а) Колку пати ќе се намали плоштината на еден триаголник, ако неговата страна се намали 4 пати, а висината остане иста.б) Два триаголника имаат по една страна со иста должина. Колку пати е поголема соодветната висина на едниот триаголник, ако неговата плоштина е 3 пати поголема

од плоштината на другиот триаголник.

4. Периметарот на еден рамнокрак триаголник е Пресметај ја неговата плоштина, ако кракот е

5. Изрази ја формулата за плоштина на рамностран триаголник, само преку неговата страна.Користи ја Питагоровата теорема која ги поврзува страната и висината на еден

рамностран триаголник, односно користи дека

Ако правилно работиш, за пресметување на плоштинатата

на рамностран триаголник со страна a ќе ја добиеш формулата:

119

6. Даден е рамностран триаголник со страна a, висина h и плоштина P. Пополни ја

табелата

Страна a Висина h Плоштина P? ?

?? ? ?

7. Според дадените податоци на црт. 59, кој претставува скица на една цветна градина, пресметај ја плоштината на тревникот.

4. 5. 4. Плоштина на четириаголници

Плоштина на паралелограм

На почеток ќе ја изведеме формулата за пресметување на плоштина на паралелограм. За да го направи ме тоа, паралелограмот ABCD на црт. 60 ќе го разделиме на два триаголници, и Добиените триаголници се складни по признакот САС, бидејќи

и . Од складноста на двата триаголници следува дека тие се еднаквоплошни фигури. Според тоа, за да ја пресметаме плоштината на паралелограмот, доволно е да ја пресметаме плоштината на еден од триаголниците и да ја зголемиме двапати. Имаме дека

Слично се покажува дека (црт. 61)

Значи, плоштината на паралелограм со страна a и соодветна висина ha, односно

страна b и висина hb се пресметува по формулата:

Плоштината на секој паралелограм е еднаква на производот од должината на едната од страните и соодветната висина.

1. Пресметај ја плоштината на паралелограм, за кој се дадени:

а) б) в)

Црт. 59

120


2. Пополни ја табелата, во која се дадени некои од елементите на паралелограм:

плоштина P страна a висина ha плоштина P страна b висина hb

? ?

? ?

Плоштина на ромб и делтоидБидејќи, секој ромб е паралелограм со еднакви страни, плоштината на ромб со

страна a и висина h може да ја пресметуваме по формулата:

Плоштината на секој ромб е еднаква на производот од должината на страната и висината.

Плоштината на секој ромб е еднаква на полупроизводот од должините на неговите дијагонали.

Плоштината на секој делтоид е еднаква на полупроизводот од должините на неговите дијагонали.

Но, за пресметување на плоштината на ромб многу често се користи и друга формула која сега ќе ја изведеме.

Нека е даден ромбот ABCD со должина на страната a и дијагонали d1 и d2 (црт.

62). Пресечната точка на дијагоналите на ромбот ќе ја означиме со S. Знаеме дека дијагоналите на ромбот се заемно нормални и дека се преполовуваат во нивната пресечна точка. Бидејќи (по признакот ССС, страната AC е заедничка и ). За

плоштината на ромбот имаме

Плоштината на ABC e , па за плоштината на

ромбот имаме

Според тоа плоштината на ромбот се пресметува по формулата:

Дадената формула за пресметување на плоштината на ромб важи за сите четириаголници чии дијагонали се заемно нормални. Значи формулата ќе важи и за делтоид.

121

Според тоа плоштината на делтоид со дијагонали d1 и d2 (црт. 63) се пресметува по

формулата : 3. Пресметај ја плоштината на четириаголниците, според дадените податоци за нив:а) ромб со страна и висина б) ромб со дијагонали и в) делтоид со дијагонали и

4. Даден квадрат има страна со должина Еден ромб има иста должина на страната и плош ти на како и квадратот. Пресметај ја висината на ромбот.

5. Пресметај ја должината на една од дијагоналите на делтоид ако е позната неговата плоштина и должината на другата дијагонала:

а) и ; б) и

в) и .

а) Од формулата за плоштина на делтоид имаме дека

односно

6. Пресметај ја плоштината на четириаголниците дадени на црт. 64.Од црт. 64 се забележува дека плоштината на кој било четириаголник може да се определи со ,,делење” на четириаголникот на два триаголника чии плоштини лесно ќе ги пресметаме.

Можам да го расечам четириаголникот на два триаголници.

7. Според податоците дадени на црт. 65 пресметај ја плош ти ната на дадените фигури.

122


Се поставува прашањето како ќе ја определиме плоштината на даден трапез. За да ја определиме формулата по која ќе можеме да ја пресметуваме плоштината на трапез, ќе го разгледаме трапезот ABCD со основи a и b и висина h (црт. 66). Да ја повлечеме дијагоналата на трапезот BD и да ја означиме со Е подножната точка на висината од темето D. Ги добиваме триаголниците АBD и BCD. За да ја пресметаме плоштината на трапезот потребно е да го определиме збирот од плоштините на триаголниците АBD и BCD. Имаме

Бидејќи полузбирот од должините на основите на еден трапез е еднаков на должината на неговата средна линија, односно плоштината на трапез ја пресме ту ва ме по формулата:

Плоштината на секој трапез е еднаква на производот од должините на неговата средна линија и висината.

8. Пресметај ја плоштината на трапез според дадените податоци за него:а) б)

в)

9. Плоштината на еден трапез е а основите му се и Пресметај ја неговата висина.

Од формулата за плоштина на трапез имаме дека

од каде што со заменување на дадените должини добиваме

10. Пополни ја табелата во која податоците се однесуваат на трапез.

Основа a Основа b Средна линија m Висина h Плоштина P? ?

? ?

? ?

11. Во која фигура преминува трапезот, ако должината на страната b се намалува до должина 0, односно се сведе на една точка? Проследи го процесот на менување

Плоштина на трапез

123

на формулата за пресметување на плоштина на трапез и одговори во која формула преминува. 12. Пресметај ја плоштината на секоја од фигурите дадени на црт. 67.

13. На црт. 68 е даден напречниот пресек на насип Н и канал К. Според податоците дадени на цртежот, провери дали со ископува ње то на земјиштето од каналот ќе може да се направи насипот.

Твојата задача всушност е да провериш дали плоштината на напречниот пресек на насипот е

помала од плоштината на каналот.

4. 5. 5. Плоштина на правилни многуаголници

За да ја определиме формулата за пресметување на плоштината на правилен многуаголник, ќе се потсетиме на поимот карактеристичен триаголник. Колку карактеристични триаголници има еден n-аголник?

Земајќи во вид дека карактеристичните триаголници се складни, како и дека во еден n-аголник има исто толку карактеристични триаголници колку што има темиња, односно страни, со користење на формулата за плоштина на триаголник можеме да ја определиме плоштината на секој правилен многуаголник.

124


Да разгледаме еден карактеристичен триаголник на правилен n- аголник. Ако

се познати апотемата и страната на правилниот многуаголник, неговата плоштина е

, каде што a е страната, а h e апотема на правилниот многуаголник (црт. 69).

Но, правилниот многуаголник се состои од n такви триаголници, па за неговата

плоштина имаме .

Плоштината на секој праилен многуаголник е еднаква на полупроизводот од неговиот периметар и должината на апотемата.

Значи плоштината на правилен многуаголник со страна a и апотема h се пресметува

по формулата :

Како што забележа во вториот дел од формулата се јавува периметарот L на правилниот многуаголник. Значи, ако ги знаеме периметарот и апотемата, без да знаеме за кој многуаголник се работи и колкава е должина на неговата страна, може да ја пресметаме плоштината на многуаголникот.

1. Пополни ја табелата во која дадените податоци се однесуваат на правилен многуаголник.

Број на темиња Страна Апотема Плоштина82117 2cm

2. Пресметај ја должината на страната на правилен седумаголник со плоштина

и апотема

Од формулата за пресметување на плоштина на правилен многуаголник се добива

од каде што добиваме дека . Со заменување на познатите величини

во оваа формула се добива дека

3. Пресметај ја апотемата на правилен 13-аголник со страна и плоштина

4. Запиши ја формулата со која ја реши претходната задача.

5. Периметарот на правилен многуаголник е Пресметај ја неговата плоштина ако се знае дека апотемата на шестаголникот е долга

125

6. а) Како ќе се зголеми должината на страната на правилен многуаголник, ако неговата апотема се зголеми 3 пати ?б) Колку пати ќе се зголеми плоштината на еден правилен многуаголник, ако неговата страна се зголеми 4 пати?7. Пресметај ја плоштината на правилен шестаголник со периметар Карактеристичниот триаголник на правилен шестаголник е рамностран триаголник. Потсети се на формулата за пресметување на плоштина на рамностран триаголник.

8. Радиусот на опишаната кружница околу правилен деветаголник е и периметарот е Пресметај ја плоштината на деветаголникот.

9. Централниот агол на правилен многуаголник е Пресметај ја плоштината на многуаголникот ако се познати уште неговата страна и апотемата


Црт. 71

1. Во градината на Љупка, (црт. 70), означени се 7 m2

засадени со карфиол. Пресметај ја плоштината засадена со други градинарски растенија.

2. Пресметај ја дијагоналата на делтоид со плоштина

и една дијагонала долга 30cm.

3. Пресметај ја плоштината на многуаголниците:а) правилен дванаесетаголник со страна и

апотема б) рамностран триаголник со висина в) ромб со страна и дијагонала г) трапез со средна линија и висина

4. Според црт. 71 пресметај ја плоштината на делот од еден парк со цвеќиња, ако е познато дека тревникот и цветниот дел се правилни деветаголници, со апотеми и соодветно.

126


4. 6. ПЕРИМЕТАР И ПЛОШТИНА НА КРУГ

4. 6. 1. Периметар на круг. Должина на кружен лак

Во секојдневниот живот често пати се појавува потребата од пресметување на периметарот на круг (обиколка на тркалото на еден велосипед или автомобил, обиколка на дното на некое буре, обрачи за гимнастика и сл.). Но, јасно е дека периметарот на еден круг не може да се измери со помош на линијар.

Земи три чаши различни по големина, а потоа со нерастеглив конец определи го периметарот на кружните пресеци на секоја од нив. Запиши ги вредностите

за добиените периметри и а потоа пресметај ги количниците

и ( и се дијаметри на чашите, соодветно). Што забележуваш?

Ако добро си работел, си утврдил дека бараните количници се со еднакви или приближни вредности, што значи дека односот меѓу периметарот и дијаметарот на секој круг е еден ист број. Тој број се означува со . Бројот е ирационален број, и во нашите пресметувања ќе ја земаме неговата приближна вредност, односно 3,14.

Количникот од периметарот L на кругот и неговиот дијаметар 2r е еден ист број за секој круг. Тоа е бројот .

Според тоа, периметарот на круг се пресметува по формулата:

1. Пресметај го периметарот на круг со радиус:а) б) в) г)

2. Пресметај го периметарот на круг со дијаметар:

а) б) в) г)

3. Пресметај го радиусот на круг со периметар:а) б)

а) Заради имаме односно

4. Најди го растојанието што го поминува тркало при едно полно завртување, ако има радиус Колкаво растојание поминува при 2 завртувања,

а колкаво при 3 завртувања?

5. Колку пати треба да заврти помалиот запчаник со радиус за поголемиот запчаник со радиус да заврти еднаш?

127

Должина на кружен лак l од кружница со радиус r, кој одговара на

централен агол со големина се пресметува по формулата

Да забележиме дека границата на еден круг е кружница. Периметарот на еден круг е во исто време и должина на неговата кружница.

Многу често во пракса се јавува потреба за мерење делови од кружница, односно кружни лаци.

Да го разгледаме црт. 72. Нацртана е кружница со центар во О и радиус r и централен агол . Сакаме да ја пресметаме должината на кружниот лак за .

На почеток ќе ја разделиме кружницата на 360 еднакви делови, односно кружни лаци. На секој од тие лаци одговара централен агол од 10 .

Бидејќи кружниот лак што одговара на аголот од е добиен со делење на кружницата на 360 еднакви делови, неговата должина ќе биде 360-ти дел од периметарот

на кружницата, односно . Големината на централниот агол мерена во

степени ќе ја означиме со истата ознака . Тогаш бараната должина на кружниот агол е:

Според тоа,

6. Пресметај ја должината на кружниот лак ако се дадени:

а) б)

7. Пресметај го радиусот на кружница во кој на централен агол од 72 му одговара кружен лак долг 15, 7cm.

Од формулата имаме дека Со замена на дадените вредности

добиваме

8. Пресметај ја големината на централниот агол , ако и

9. Пресметај ја должината на кружниот лак l, ако и

Црт. 72

128


4. 6. 2. Плоштина на круг

Плоштината на кругот даден на црт. 73 а) може да ја определиме, ако кругот го поставиме на квадратна мрежа, која е составена од единечни квадрати, а потоа преброиме со колку такви квадрати е покриен кругот (црт. 73 б)).

Црт. 73 Црт. 74

Но, ваквата постапка не е секогаш изводлива, па и овде е потребно да определиме некоја формула според која ќе може побрзо и поедноставно да се пресмета плоштината на кругот. За да дојдеме до формулата за пресметување на плоштината на круг, ќе го искористиме црт. 74. На црт. 74 а) кружницата е разделена со точките A1, A2, A3, . . . , A12 на 12 кружни лаци со еднакви должини. Многуаголникот што се добива со поврзување на овие

точки е правилен дванаесетаголник. Неговата плоштина според веќе познатата формула е

На црт. 74 а) можеш да воочиш дека плоштината на дванаесетаголникот

е приближно еднаква на плоштината на кругот. Да го разгледаме црт. 74 б). Плоштината

на шеснаесетаголникот впишан во кругот (чија плоштина сакаме да ја определиме), е

(a и h се страната и висината на правилниот шеснаесетаголник, соодветно).

Од црт. 74 б) се забележува дека правилниот шеснаесетаголник уште повеќе се ,,прибли-жува’’ кон кружницата. Значи со зголемување на бројот n, вредноста на периметарот на правилниот n–аголник сé повеќе се ,,прибли жува’’ до вредноста на периметарот на кругот, додека должината на апотемата на n–аголникот се ,,прибли жува’’ до должината на радиусот на кругот. Од претходната дискусија можеме да заклучиме дека за доволно голем број n, плоштината на соодветниот правилен n–аголник впишан во кружницата се ,,прибли-жува’’ до плоштината на кругот. Тоа ни дава за право во формулата за пресметување на плоштина на правилен n–аголник да го замениме периметарот на многуаголникот со периметарот на кругот и апотемата на n–аголникот со радиусот на кругот.

Според тоа, плоштината на кругот е:

Плоштината на круг е еднаква на производот од бројот и квадратот на неговиот радиус.

129

1. Пресметај ја плоштината на круг за кој:а) б) в)

2. Најди го радиусот на круг со плоштина:

а) б)

За да го пресметаме радиусот на кругот, ќе ја искористиме формулата која ги сврзува

радиусот и плоштината на тој круг. Од имаме односно

4. 6. 3. Плоштина на кружен исечок и кружен прстен

Со рамнинските геометриски фигури кружен исечок и кружен прстен кои се во насловот, досега не си се сретнал. Затоа, на почетокот ќе ги дефинираме со помош на веќе изучувани фигури.

Пресекот на еден круг со негов централен агол се нарекува кружен исечок.

Разликата на поголемиот со помалиот круг од два концентрични кругови, со различни радиуси, се вика кружен прстен.

На црт. 75 а) е нацртан кружен исечок, а на црт. 75 б) е нацртан кружен прстен.

Од дефиницијата и црт. 75, се гледа дека: границата на еден кружен исечок е составена од еден кружен лак и два радиуса на кругот, а границата на кружен исечок се состои од две кружници.

Изведувањето на формулата за пресметување плоштината на кружен прстен е слично со изведувањето на формулата за пресметување на должината на кружен лак.

а) б)

Црт. 75

130


Имено, плоштината на кружен исечок кој одговара

на централен агол од е Според тоа, ако

големината на централниот агол на кружниот исечок чија

плоштина треба да ја определиме, изразена во степени е

, тогаш:

Плоштината на кружен исечок е еднаква на полупроизводот од должината на соодветниот кружен лак и радиусот на кругот.

Плоштината на кружен прстен е еднаква на производот од бројот и разликата од квадратот на радиусот на поголемиот круг со квадратот на радиусот на помалиот круг.

3. Пресметај ја плоштината на кружен исечок, ако се дадени радиусот и соодветниот централен агол:

а) б) в)

4. Пресметај ја плоштината на кружен исечок ако се дадени должината на соодветниот кружен лак и радиусот на кругот:

а) б) в) .

5. Кружен исечок со радиус 5cm има плоштина 39,25cm2. Најди ја големината на централниот агол кој одговара на кружниот исечок.

6. Пресметај ја плоштината на кружниот прстен, ако и (црт. 77).

За да ја определиш бараната плоштина, од плоштината на големиот круг одземи ја плоштината на помалиот круг.

7. Периметрите на два концентрични кругови се и Пресметај ја плош ти ната на

кружниот прстен што го образуваат круговите.

8. Пресметај ги периметарот и плоштината на фигурата дадена на црт. 78.

131


4. 7. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА

1. Една циркуска арена во форма на круг има радиус Пресметај го нејзиниот периметар.

2. Пресметај ја должината на Екваторот ако неговиот радиус е

3. Колкав е дијаметарот на круг со периметар

4. Колкав радиус има тркало кое со едно завртување поминува пат од

5. Даден е круг со радиус Пресметај ја должината на кружен лак на кој одговара централен агол од:

а) б) в)

6. Колкава е оддалеченоста на половите на Земјината топка од Екваторот, движејќи се по меридијан?

7. Колкав централен агол одговара на кружен лак со должина еднаква на радиусот на кругот.

8. Пресметај го периметарот на обоената фигура прикажана на црт. 79.

9. Пресметај ја плоштината на круг со периметар:

а) б) в)

10. Пресметај ја плоштината на кружен исечок на кој во круг со радиус му одговара централен агол од:

а) б) в) 11. Пресметај ја плошти-

ната на фигурите дадени на црт. 80.

1. Одговори на следните прашања:а) Што е централен агол? б) Што е периферен агол?

2. Пресметај го периферниот агол ако централниот агол над истиот кружен лак изнесува:

а) б) в)

132


3. Користејќи го својството за зависноста на големината на периферниот агол од големината на централниот, нацртај агол што е:

а) 2 пати поголем од даден агол; б) 4 пати помал од даден агол.

4. Нека и се два централни агли над иста тетива во дадена кружница, но нивните темиња се на различни страни на тетивата. Докажи дека и се суплементни агли.

5. Од дадена точка надвор од даден круг конструирај тангента на неговата круж-ница.

6. Дали околу четириаголник со агли, редоследно:

а) и б) и ;

може да се опише кружница?

7. Пресметај го периметарот на тангентен четириаголник ако е познато дека збирот на две негови спротивни страни е

8. а) Опиши кружница околу правоаголник; б) Впиши кружница во делтоид.

9. Пресметај го периметарот на правилен многуаголник со страна централен агол од

10. Во кружница со радиус впиши правилен:а) осумаголник; б) шеснаесетаголник; в) 24-аголник.

11. Еден пливач сакал да преплива река широка . Речната струја го одвела низводно. (црт. 81). Колкаво растојание испливал пливачот?

12. Пресметај ја висината на зградата која има профил даден на црт. 82.

13. Претстави ги на бројна права следните реални броеви:

а) б) в)

14. Пресметај ја должината на тетива на круг со радиус и растојанието на центарот до тетивата од

15. Пресметај ги дијагоналите на делтоид со плоштина P=54cm2 и една дијагонала 30cm.

16. Колкава е плоштината на горниот дел од завртката во форма на правилен шестаголник ако дијаметарот на опишаната кружница околу него е (црт. 83).

17. Пресметај ја плоштината на фигурата дадена на црт. 84.

Documents

Tema 4