Objetivo: El alumno identificará las ecuaciones en derivadas parciales, y aplicará el método de separación de variables en su resolución. 

TEMA 4. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN 

DERIVADAS PARCIALES

Hasta ahora el estudio de las ecuaciones diferenciales se ha limitado a aquellas que involucran incógnitas que son funciones dependientes de una sola variable. Ahora estudiaremos las ecuaciones diferenciales 

parciales, en la que las incógnitas son funciones que dependen de dos o más variables 

independientes.

Las derivadas que aparecen en estas ecuaciones son derivadas parciales.

Introducción• Las ecuaciones que involucran derivadas parciales de unafunción desconocida, aparecen en todas las áreas de la físicamatemática. Algunas de sus aplicaciones son en problemasrelacionados con distribuciones de temperatura yvibraciones.

• Estos problemas llamados problemas de valores en lafrontera, se describen mediante ecuaciones diferencialesparciales lineales de segundo orden. Existen algunosprocedimientos para hallar las soluciones de una ecuacióndiferencial parcial, en el curso veremos uno de ellos el cualconsiste en reducir a la ecuación diferencial parcial en dos omás ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Temario• 4.1 Definición de ecuación diferencial en derivadas parciales. Orden de una ecuación diferencial en derivadas parciales. Ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y no lineal. Solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales: completa, general y particular.

• 4.2 El método de separación de variables

• 4.3 Serie trigonométrica de Fourier. Serie seno de Fourier. Serie coseno de Fourier. Cálculo de los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier.

• 4.4 Ecuaciones de onda, de calor y de Laplace con dos variables independientes. Resolución de una de estas ecuaciones.

DEFINICIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

• Toda igualdad que relaciona a una función desconocida con susvariables independientes y con sus derivadas parciales se llamaecuación diferencial en derivadas parciales y tiene porrepresentación general:

• donde                                            es la variable dependiente.

2 2

2 2, ,..., , , ,..., , ,... 0u u u uF x y ux y x y

, , ,...u u x y z

DEFINICIÓN DE ORDEN DE UNA EDP

•El orden de una EDP, es el orden de las derivadas deorden máximo que aparecen en la ecuación.•El orden de una ecuación en derivadas parcialesestá definido por el número de funciones arbitrariasque contiene su solución.

•El grado está dado por la potencia de la derivada demayor orden.

DEFINICIÓN DE LINEALIDAD DE UNA EDP

•Una EDP es lineal si lo es en la variable dependientey en sus derivadas.

• La variable dependiente y sus derivadas sóloaparecen en combinaciones aditivas de susprimeras potencias.

• Los coeficientes sólo dependen de la variableindependiente.

DEFINICIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES: COMPLETA, GENERAL Y PARTICULAR.

• Una función u(x,y,z,…) es solución general de una EDP de orden“n” si la satisface al sustituirla en ella y además involucra “n”funciones arbitrarias.

• Una solución de una EDP es una función u(x,y) de dos variablesindependientes que posee las derivadas parciales que aparecenen la ecuación y que satisfacen la ecuación en alguna región delplano xy.

• En el curso, no se intenta examinar procedimientos para hallarsoluciones generales de EDP. Con frecuencia, no solo resulta difícilobtener una solución general de una EDP de segundo orden, sinoque normalmente una solución general no es del todo útil en lasaplicaciones.

Clasificación y características de las soluciones de las EDP

Completa: se obtendrán a partir del método de separación de variables, aparecerán constantes arbitrarias igual a la suma del orden de las funciones que se plantean en la solución de la EDP

General: no es fácil obtener este tipo de soluciones por algún método analítico, se identifican por tener funciones arbitrarias igual al orden de la ecuación.

Particular: provienen de la solución completa al tener problemas de valor iniciales o valores en la frontera.

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA OBTENER LA SOLUCIÓN DE UNA EDP DE SEGUNDO ORDEN

• Este método consiste en suponer que la solución de una EDPcon dos variables independientes puede expresarse como elproducto de dos funciones, cada una de las cuales dependesólo de una de las variables.

• Utilizando esta suposición se sustituye en la EDP y seprocede a determinar las funciones para la ecuación dada.

• Este procedimiento requiere separar las variablesgeneralmente de ”x” y de “y” e igualar a una constantellamada “constante de separación” que se asociageneralmente con la letra alpha.

Particularizando

• La forma general de una EDP lineal, de segundoorden se expresa mediante

•Donde A,B,C,…,G son funciones de x y y . CuandoG(x,y)=0, se dice que la ecuación es homogénea; delo contrario es no homogénea.

2 2 2

2 2

u u u u uA B C D E Fu Gx x y y x y

UNA CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

•Una EDP lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes se puede clasificar en una de los tipos siguientes; esta clasificación sólo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Por supuesto , suponemos que al menos uno de los coeficientes A, B y C son distintos de cero. 

Para una EDPLH de segundo orden

Donde:A,B,C,D y F son constantes reales, se dice que es...

2 2 2

2 2 0u u u u uA B C D E Fux x y y x y

2

2

2

4

4

4

hiperbólica si B AC es mayor a cero

parabólica si B AC es igual a cero

elíptica si B AC es menor a cero

Esta clasificación tiene importancia práctica:

•Esta clasificación resulta importante ya quelos métodos de solución numérica para lasEDP lineales de segundo orden difieren deacuerdo con la clasificación de la ecuación.

•Así mismo la clasificación permitiráidentificar las condiciones apropiadas ya seade frontera o condiciones iniciales.

Ecuaciones clásicas de la Física Matemática

• Ecuación de calor unidimensional

es parabólica si t es y

• Transferencia de calor porconducción en una varilla o enun alambre delgado

• u(x,t) representa la temperaturaen un punto x a lo largo de lavarilla en algún tiempo t

2

2 ; 0u uK Kx t

Ecuaciones clásicas de la Física Matemática

• Ecuación de onda unidimensional

es hiperbólica

• Los problemas en vibracionesmecánicos con frecuenciaconducen a la ecuación de onda.

• Una solución u(x,t) representaráel desplazamiento de unacuerda idealizada

2 22

2 2

u uax t

Ecuaciones clásicas de la Física Matemática

• Ecuación de Laplacebidimensional

es elíptica

• Se puede interpretar u(x,y) como el estado estable (es decir independiente del tiempo) de la distribución de temperatura a través de una placa delgada bidimensional.

2 2

2 2 0u ux y

Tarea: Resolución de alguna de las ecuaciones

Serie trigonométrica de Fourier

• Fourier desarrollo una teoría sobre conducción de calor, para la cual necesito las series trigonométricas, que tienen unos coeficientes determinados ingeniosamente por él. 

• Estas series tienen una gran aplicación en fenómenos de naturaleza periódica tales como propagación de señales de sistemas de comunicaciones, vibraciones magnéticas, sonoras, conducción o propagación de calor, entre otras. 

• Proporciona el lenguaje matemático que permite describir con precisión la estructura compleja de una nota musical.

Definición 

Sean f y f’ funciones seccionalmente continuas eny f definida fuera de este intervalo de

tal forma que sea una función periódica de periodo2L. La función f(x) se puede desarrollar como unaserie de Fourier dada por:

donde se conocen como coeficientes deFourier .

0

1cos

2 n nn

a n x n xf x a b senL L

0 , ,n na a b

Cálculo de coeficientes de Fourier 

01

1 cos; 0,1, 2,3,..

1

L

L

L

nL

L

nL

a f x dxL

n xa f x dxL L

nn xb f x sen dx

L L

Serie trigonométrica de Fourier

• La serie de Fourier es una herramienta matemática que permiteexpresar cualquier función periódica, f(x), como una suma defunciones seno y coseno.

• Las series trigonométricas son de la forma

• Donde son constantes reales llamadascoeficientes. Estas series son periódicas con periodo ,generalmente aunque también puede extenderse la teoría paracualquier periodo arbitrario.

0 1 1 2 2cos cos ... cos ...n na a x b senx a x b senx a x b senx

, , 1, 2,3,...n na b n 2

DEFINICIÓN FUNCIÓN PERIÓDICA

0, 0,

:

Sea f t definida t T si f esperiodica con periodo T entonces secumple f t T f t

TEOREMA FUNCIÓN PERIÓDICA

,

,

Sean f t g t funciones periódicas

con periodo T entonces h t dada por

h t a f t b g t a btambién es periódica con periodo T

TEOREMA FUNCIÓN PERIÓDICA

,, .

Si T es periodo de f t entonces nTdonde n es entero también es periodo

Obtención del mínimo periodo

La función senx tiene periodo , ,… ya que…

Sin embargo, el menor de todos los periodos es .

En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando:

donde n es el coeficiente del ángulo.

Periodo natural de la funciónTn

Teoremas útiles para recordar…

1. La suma de funciones pares es una función par2. La suma de funciones impares es una función 

impar3. La multiplicación de funciones pares es una 

función par4. La multiplicación de funciones impares es una 

función par5. La multiplicación de una función par por una 

impar es una función impar.

Teoremas

02

0

a a

a

a

a

Para una función par se c umple que

f x dx f x dx

Para una función impar se c umple que

f x dx

Función par

f x es función par en el intervalo a ,bsi y solo si x en el intervalo se cumple

f x f x

Simétrica con respecto al eje  de las ordenadas

Función impar

f x es función impar en el intervalo a ,bsi y solo si x en el intervalo se cumple

f x f x

Simétrica con respecto al origen

SERIE COSENOIDAL DE FOURIER 

Sean f y f’ funciones seccionalmente continuas en.

Si f es una función par y periódica de periodo 2L,entonces el coeficiente

0

1cos

2 nn

a n xf x aL

0nb

Cálculo de coeficientes para una serie coseno de Fourier

00

0

:

1 2

1 2cos cos

1 0

L L

L

L L

nL

L

nL

Si la función f x es par

a f x dx f x dxL L

n x n xa f x dx f x dxL L L L

n xb f x sen dxL L

SERIE SENOIDAL DE FOURIER 

Sean f y f’ funciones seccionalmente continuas en

Si f es una función impar y periódica de periodo 2L,entonces

1

nn

n xf x b senL

0 0na a

Cálculo de coeficientes para una serie seno de Fourier

0

0

:

1 0

1 cos 0

1 2

L

LL

nL

L L

nL

Si la función f x es impar

a f x dxL

n xa f x dxL L

n x n xb f x sen dx f x sen dxL L L L

Pasos a seguir para resolver un problema de series de Fourier

1. De preferencia graficar la función2. Recordar las formula completa de la serie 

trigonométrica de Fourier y la de sus coeficientes3. Identificar si la función dada es par o impar, 

aplicar sus propiedades4. Calcular los coeficientes necesarios según sea el 

caso5. Sustituir en la fórmula completa los valores 

obtenidos