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8/17/2019 tema 4 MAS y ONDAS EBSO-5.pdf

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TEMA 4:MAS Y ONDAS

MERCEDES SÁNCHEZ TRUJILLANO

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PARTE I1.- INTRODUCCION2.- MAGNITUDES DEL MAS3.- CINEMÁTICA DEL MAS4.- DINÁMICA DEL MAS5.- TRANSFORMACIONES ENERGÉTICAS

1.- INTRODUCCIÓN

Se dice que una partícula oscila cuando tiene un movimiento de vaivén respecto de su posición de equilibrio, de formatal que el movimiento se repite en cada oscilación. De todos los movimientos oscilatorios el más sencillo, y el másimportante, es el movimiento armónico simple (MAS).

Un M.A.S. es un movimiento periódico de oscilación o vaivén a ambos lados de la posición de equilibrio. Estemovimiento puede estudiarse como la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme (MCU). Enla expresión del MAS aparecen senos o cosenos, según se proyecte sobre el eje Y o el eje X)

Ejemplos de OSCILADORES ARMÓNICOS, son un péndulo que oscila, un resorte unido a una masa, un circuito decorriente alterna con un condensador y una autoinducción, un diapasón que vibra, etc.…

Se define CICLO como el movimiento que se repite a lo largo del tiempo (desde que sale la partícula hasta que vuelvea pasar por el mismo punto y con el mismo sentido)

De todos los movimientos oscilatorios el más sencillo, y el más importante, es el movimiento armónico simple (MAS).

2.- MAGNITUDES QUE DETERMINAN EL M.A.S.

NOTA: la frecuencia y el período del MAS son independientes de la amplitud.

NOTA 2: Una partícula puede tener una misma elongación x, pero su estado de vibración ser distinto (por ejemplo,según se aleje o se acerque a la posición de equilibrio) y es posible conocer este dato utilizando la FASE.


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sen ( ) cos ( )

cos( ) sen ( )

2 2

2

1

1

f

T T

2 12 2

v A cos t A sen ( t) A A sen ( t)

A x A x

v A x

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1

x A sen t A sen f tT

v A cos t A f cos f tT T

v A sen t A f sen f tT T

22

22

2 22 2

2 22 2

3.- CINEMATICA DEL M.A.S.

La posición del punto sobre el diámetro queda determinada por laecuación:

Donde: x = posición (elongación)A = Amplitud (elongación máxima)

= Velocidad angular de giro (en rad/s)φ = Fase

Esta ecuación puede servir también para definir el MAS: un cuerpo se mueve con MAS cuando su posición responde ala ecuación anterior.

Podemos obtener la expresión que nos da la velocidad derivando la expresión anterior respecto del tiempo:

Podemos expresar la velocidad en función de la posición (x) del punto teniendo en cuenta que:

Por tanto:

La velocidad, como se ve, no es constante, es una función cosenoidal del tiempo. Con el fin de conocer la rapidez conla que varía calculamos la aceleración derivando, una vez más, la velocidad respecto del tiempo:

La aceleración también podemos expresarla en función de la posición, x:

El M.A.S. se caracteriza porque LA ACELERACIÓN NO ES CONSTANTE, sino que es PROPORCIONAL A (FUNCIÓN DE) LAPOSICIÓN: a = ω

2.x . A mayor elongación, más aceleración. El signo “ -“indica que “a” siempre está dirigida hacia el

centro de la vibración.

Las expresiones anteriores pueden escribirse en función del periodo del movimiento, T (tiempo que tarda en dar unaoscilación completa) o de la frecuencia f (número de oscilaciones por segundo) recordando que:

O sea:

x A sen( t)

dxv A cos( t)

dt

d x dva A sen( t)

dt dt

22

2

a A sen( t) xa x

2 2

2

Observar que el movimiento no es uniformementeacelerado ya que la aceleración varía (es funcióndel tiempo).


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Aunque estemos trabajando solo con la parte escalar de las magnitudes no conviene olvidar que la posición quedafijada por un vector de posición ( ), y que tanto la velocidad como la aceleración son vectores, cuya dirección ysentido quedan fijados por la del vector unitario

NOTA: Observar que para un x dada (supongamos que está situada a la derecha del origen) la velocidad tienedos valores posibles (ver expresión que da v en función de x), correspondientes al valor de la raíz cuadrada consigno positivo o negativo, lo que indica que en una determinada posición el punto puede moverse hacia laderecha (movimiento de ida) o hacia la izquierda (movimiento de vuelta).

Siempre que el punto se sitúe a la derecha (x positiva), la aceleración apunta hacia la izquierda y cuando está ala izquierda (x negativa), hacia la derecha.

NOTA: LA ELONGACIÓN, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN, VARÍAN SINUSOIDALMENTE CON EL TIEMPO, PERO NOESTÁN EN FASE.

Puede ocurrir que el origen de los ángulos no coincida con el de los tiempos. En este caso se debe tomar en cuenta elángulo descrito cuando t =0 (ángulo inicial) e incluirlo en la expresión angular de la ecuación del MAS (que también seconoce con el nombre de "fase"). El ángulo inicial recibe el nombre de "fase inicial" :

Algunos valores de la fase inicial:

r

v v i

i

r x i

a ( x) i

2

i

0

La fase inicial se puede determinar observandodonde se encuentra el punto cuando secomienza a contar el tiempo ( t=0). De formageneral se obtiene haciendo t =0 en la ecuacióndel MAS:

x A sen ( t )

x

x A sen ( ); sen ( ) A

0

0

0 0 0

x =A

x = - A

Si el punto está en x = Acuando t =0:

x Asen ( )

A A

00

0

1

2

Si el punto está en x = - Acuando t =0: x A

sen ( )A A

00

0

1

3

2

Si el punto está en X=0 ymoviéndose hacia la derechacuando t=0:

0

Si el punto está en X=0 ymoviéndose hacia la izquierdacuando t =0:

0 0


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4.- DINAMICA DEL M.A.S.

Aunque existe diferentes tipos de osciladores (péndulos compuestos, péndulos de torsión, etc…) únicamenteestudiaremos los más sencillos que son DOS CASOS:

4.1.- TRASLACIÓN: Ley de Hooke: F = -K.x

2ª Ley de Newton: F=m.a = m (-ω2x) Igualando ambas expresiones

-K.x = m (-ω2x) k =m ω

2T = 2П√m/k

Que es el PERIODO DE UN OSCILADOR ARMÓNICO, constituído por una masa “m” unida a un resorte de constanteelástica “K”, por ejemplo un muelle

4.2.-PENDULO SIMPLE O MATEMÁTICO:

OPERANDO PODEMOS OBTENER

Un muelle blando producirá un movimientooscilatorio con un periodo largo (oscilaciónmás lenta).

Un muelle duro provocará que lasoscilaciones sean más rápidas (periodo corto)

Si se aumenta la masa del cuerpo lasoscilaciones serán más lentas (mayorperiodo).

Una masa menor provocará unadisminución del periodo de

oscilación (oscilaciones más rápidas)

x

x

xF P sen mg

L

xF mg (el signo menos indica que la fuerza se opone al desplazamiento, x)

LComparando con :

F k x

Concluimos :

k x

xmg

mg; k

L L

m gk ; m

L

m 2

g

L

g L; TL gT

2

24 2

El periodo de un péndulo simple sólo depende de la longitud del péndulo.

Péndulos de longitudes grandes oscilaran lentamente (periodo elevado), mientrasque péndulos cortos oscilarán rápidamente (periodos cortos)


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5.- TRANSFORMACIONES ENERGÉTICAS DEL M.A.S.

La energía potencial elástica vale:

Tendrá su valor máximo en x = A y x = - A y un valor nulo en x =0

La energía cinética para un objeto que se mueva con MAS se puede escribir en función de la elongación en la forma:

La energía cinética adquiere un valor máximo para x = 0 y nulo para x =A

Si ahora sumamos las expresiones para la energía cinética y la potencial, observamos que la suma es una cantidadconstante, lo que demuestra la interconversión de ambas formas de energía:

-x

x

En la figura superior el muelle se estira hacia la izquierda(comunicándole energía cinética). La fuerza elástica apuntaentonces hacia la derecha y realiza trabajo negativo(restando energía cinética) que transforma en energía

potencial elástica. Si ahora se suelta el muelle la fuerzaelástica realiza trabajo positivo y la energía potencial setransforma en cinética.

La situación es similar si el muelle se comprime (figurainferior)

2

p

1E k x

2

Ec mv

Como v A x

Ec m A x

2

2 2

2 2 2

1

2

1

2

Ec m A x

Ep m x

Ec Ep m A x m x m A

Ec Ep m A k A

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

12

1

2

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

La fuerza elástica es una fuerza conservativa ¡SE CONSERVA LA ENERGÍA MECANICA! (si no existen rozamientos,etc.…) ya que cuando realiza trabajo negativo resta energía cinética al cuerpo que se transforma en energíapotencial elástica. La energía potencial acumulada puede volver a convertirse en energía cinética dejando que la

fuerza elástica actúe (realizando trabajo positivo)

Por ser una fuerza conservativa se cumplirá:

Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2


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OBSERVESE QUE:

- La ENERGIA CINÉTICA DEPENDE DE LA VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA

- La función ENERGIA POTENCIAL, DEPENDE DE LA POSICIO´N DE LA PARTICULA, y solo existe ante fuerzasconservativas (derivan de campos conservativos)

Luego, como se aprecia estudiando las fórmulas:

- La Energía cinética del oscilador es MAXIMA en la posición de equilibrio (x=0) y nula en los extremos (+-A)

- La Energía potencial elástica de un oscilador armónico es MAXIMA en los extremos de oscilación (+-A) ynula en la posición de equilibrio (x=0)

- Cuando la Energía cinética es máxima => la Energía potencial es nula, y al revés. De modo que su sumasiempre es constante Ec + Ep = cte.

PARTE II: ONDAS ARMÓNICAS1.- FENOMENO ONDULATORIO. ONDAS ARMÓNICAS2.- CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

3.- MAGNITUDES DE UNA ONDA ARMÓNICA4.- ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA UNIDIMENSIONAL5.- ENERGÍA E INTENSIDAD DE UNA ONDA6.- SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS ONDULATORIOS7.- PRINCIPIO DE HUYGENS8.- PROPAGACIÓN DE ONDAS FENÓMENOS ASOCIADOS

1.- FENOMENO ONDULATORIO. ONDAS ARMÓNICAS

Se define PERTURBACIÓN, como toda energía (mecánica o electromagnética) que dada o producida en un punto escapaz de propagarse. Un tipo particular de perturbación muy interesante es el MAS

Se define ONDA, como toda perturbación que se propaga a través del espacio. En el movimiento ondulatorio sepropaga ENERGIA y nunca la partícula o punto que ha recibido dicha energía. Las partículas no se desplazan con lasondas, sólo vibran a ambos lados de su posición de equilibrio. En el caso particular en que la perturbación que sepropaga sea un MAS, la onda se denomina ONDA ARMONICA. En esta parte del tema, nos centraremos en el estudiode este tipo de ondas únicamente por su gran interés científico.

Se define FOCO EMISOR como el punto que produce la perturbación que se va a propagar

Se define RAYO como cada una de esas líneas imaginarias que representan las direcciones de propagación.

Se define FRENTE DE ONDA, como el conjunto de puntos del espacio que se encuentran en el mismo estado devibración o fase. Si el medio en que se propaga la perturbación es isótropo y homogéneo los frentes de onda sonesféricos.

2.- CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

Es posible realizar diversas clasificaciones (que no son excluyentes unas de otras); atendiendo al criterio:

a. Según la FORMA en que se produzca la perturbación:a. ONDA: realizando una perturbación instantánea creando un punto o impulsob. TREN DE ONDAS: cuando la perturbación es periódica, reproduciéndose a intervalos de tiempo

constantes.b. Según el TIPO DE ENERGIA que se propague:

a. ONDAS MECÁNICAS: Propagan energía mecánica (por ej: ondas sonoras). También llamadas ondasmateriales. Necesitan de un medio elástico para su propagación (por ej: aire)

b. ONDAS ELECTROMAGNETICAS (OEM) Propagan energía electromagnética producida por oscilacionesde los campos eléctricos (E) y magnéticos (B) (por ej: luz, ondas de radio, tv, radar, rayos X, etc…). Nonecesitan medio de propagación (por ej: el vacio)


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c. Según la DIRECCIÓN DE VIBRACIÓN de las partículas:a. ONDAS LONGITUDINALES La dirección de vibración de las partículas es la misma que la de

propagación de la onda. Para ello el medio de propagación ha de ser elástico (por ej: muelle,sonido….)

b. ONDAS TRANSVERSALES la dirección de vibración de las partículas es perpendicular a la depropagación de la onda (por ej: cuerda, ondas electromagnéticas….)

d. Según la DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN, es posible distinguir entre ondas UNI-, BI-, Y TRI-DIMENSIONALES. Siel medio de propagación es homogéneo e isótropo producirán frentes de ondas planos, círculos concéntricoso esferas concéntricas respectivamente

3.- MAGNITUDES DE UNA ONDA ARMÓNICA

Por ejemplo, para el caso de una ONDA TRANSVERSAL:NOTA: OJO!! Hay que diferenciar claramente entre la velocidad de propagación ( que es constante MRU) y la velocidadde vibración dy/dt (que es una función periódica, tiene sus máx, min, etc.)

Parámetros que coinciden con los del MAS que se propaga:

Y Desplazamiento transversal dirección de vibración del MAS (metros, voltios, amperios, etc.)

V´. Velocidad transversal de vibración de la partícula v´= dy/dt

A Amplitud = valor máximo de Y entre los que oscila la partícula (metros, voltios, amperios, etc.)

ω Pulsación o frecuencia angular: (rad/s, rpm=vueltas/min, rps, etc.) => ω = 2П /T = 2Пf

T Periodo = tiempo en completar un ciclo (seg)

f Frecuencia: numero de ciclos que recorre en 1 segundo ( Hz= ciclos/seg = 1/s = s-1) => f = 1/T

Parámetros específicos de la dirección de la propagación de la onda:

X Desplazamiento longitudinal = es la distancia recorrida por la onda (metros)

v Velocidad (longitudinal) de propagación de la onda = VELOCIDAD DE FASE => v = dx/dt = cte

λ Longitud de onda = distancia que recorre la onda en un periodo T = distancia entre dos puntos

K Numero de onda (1/metro): k = 1/λ o bien k = 2П/ λ

Las ondas se propagan con un MRU. Esta VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DEPENDE DEL MEDIO


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4.- ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA UNIDIMENSIONAL

El estado de vibración de un punto P, sometido a una perturbación producida por el foco F, viene dado por el valor deY “función de onda” o estado de vibración , que mide su distancia ( separación respecto) a la posición de equilibrio,que es función del tiempo t y la distancia al origen de la perturbación x:

5.- ENERGIA E INTENSIDAD DE UNA ONDA ARMÓNICA

La ENERGIA debida a una masa m que oscila con MAS vale:

Como ω = 2Пf la energía de la onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud!!.

Además, para ondas armónicas SE CONSERVA LA ENERGÍA => Emec = Ec + Ep = constante

La INTENSIDAD DE UNA ONDA, es la energía que pasa a través de una superficie unidad del frente de onda, situadoperpendicularmente a la dirección de propagación, en la unidad de tiempo:

UNIDADES S.I.: (J/m2.s o bien Watios/m

2)

La intensidad de una onda armónica es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia al foco

Y luego también

UNIDADES DE LA INTENSIDAD DE LAS ONDAS Tomando como referencia umbral inferior de audición en el caso deondas sonoras, (lo = 10

-16), la intensidad de las ondas suele medirse en escala logarítmica decimal (logaritmo en base

10)

6.- SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ONDULATORIOS

Dos movimientos ondulatorios que se encuentran en un punto se superponen, dando lugar a otro nuevo, perosolamente en ese punto, continuando después independientemente uno del otro con las mismas características queantes de cortarse. Es el “PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE ONDAS”

Y (x,t) = A sen ( ωt – φ) = A sen (ωt – kx) = A sen 2П [(t/T)±(x/λ)]

E = (1/2).K.A2 = (1/2).m.ω2.A2

I = E /(S.t) = Potencia / S

I1/I2 = A12/A2

2 I1/I2 = R12/R2

2 A1 /A2 = R2 /R1

BEL : B = log (1/lo)DECIBEL: dB = 10. log (1/lo)


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7.- PRINCIPIO DE HUYGENS

“Todos los puntos de un frente de onda se convierten a su vez en focos emisores secundarios de nuevos frentes de

onda. Los frentes de onda siguientes de la onda original son tangentes a estas ondas secundarias.” (Christian Huygens,1678)

Aunque este principio es casi únicamente un método geométrico (trazando la envolvente a los frente de ondasecundarios se obtiene un nuevo frente de onda), se puede comprobar de forma experimental en el caso de ondasmecánicas, aunque pierde parte de su significado cuando se trata de ondas electromagnéticas que se propagan sinque necesiten de partículas materiales capaces de vibrar (no necesitan medio)

8.- PROPAGACIÓN DE ONDAS Y FENÓMENOS ASOCIADOS

8.A.- FENOMENOS ASOCIADOS A LA INCIDENCIA CON OBSTÁCULOS: En general cuando una onda incide sobre unobstáculo siempre tienen lugar los siguientes fenómenos conjuntamente (según las condiciones en que tenga lugar elfenómeno, material del obstáculo, etc… será predominante algún efecto sobre los demás. Aquí los e studiamosindividualmente)

1.- REFLEXIÓN: Cambio de dirección que experimenta la onda al chocar con una superficie pulimentada (sin alterar suvelocidad de propagación).

A grandes distancias del foco emisor, los rayos se pueden considerar paralelos y el frente de onda, perpendicular aaquellos, plano, (Ej.: caso de la luz)

Si la superficie con la que incide el rayo es rugosa, éste es desviado en múltiples direcciones conociéndose elfenómeno como DIFUSIÓN.

LEYES DE LA REFLEXION

1ª) El rayo incidente, el reflejado y la normal

están en el mismo plano2ª) i = r El ángulo de incidencia es igual al dereflexión ( se miden respecto a la normal)


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2.- REFRACCIÓN: Cambio de dirección y de velocidad que experimenta la onda al atravesar de un medio a otro.

INDICE DE REFRACCIÓN “n” es la relación entre la velocidad de propagación de la onda en el vacío (aire) “c” y lavelocidad de propagación de la onda en determinado medio “v” => n = c/v

Se define INDICE DE REFRACCIÓN RELATIVO de 2 respecto de 1, como: n 21 =n2/n1

Se llama REFLEXIÓN TOTAL al ángulo de incidencia que corresponde a un ángulo de refracción de 90º, es decir: El rayosale en la dirección de la superficie de separación de ambos medios (si r= 90º => n2 < n1)

3.- DIFRACCIÓN: Cuando el tren de ondas se encuentra un obstáculo en su camino durante la propagación, por

4.- ABSORCIÓN: Al incidir una onda sobre una superficie, su energía puede ser reflejada total o parcialmente,transmitida (refractada) y ABSORBIDA, ya sean ondas mecánicas o electromagnéticas. ABSORCION es la disminuciónde la intensidad que experimenta una onda al atravesar un medio (de espesor r).

8. B.-EFECTOS ASOCIADOS A LA PROPAGACIÓN

5.- ATENUACIÓN: Es la disminución de la intensidad de la onda según se incrementa la distancia al foco. Es fácilmentecomprobable en el caso de una onda mecánica, por ejemplo el sonido. Si se considera que la energía que propaga la

onda es Emec = cte, como cada vez el frente de onda (supongamos esférico) es mayor, dicha energía

LEYES DE LA REFRACCIÓN

1ª) El rayo incidente, el refractado y la normal estánen el mismo plano

2ª ) Ley de SNELL:n1 . sen i = n2 sen r

o bienv1 . sen i = v2 sen r

Ejemplo un pequeño orificio de dimensiones similares a las de lalongitud de onda; se observa que la propagación de la onda deja deser rectilínea una vez pasado dicho orificio, alcanzando la onda puntosque considerando la propagación rectilínea resultarían impensables. Ladifracción solo tiene lugar si el obstáculo que encuentra la onda es delas dimensiones de la longitud de onda, por ello se dice que la

difracción es un fenómeno d bordes y rendijas.En resumen, es la propiedad que tienen las ondas de bordearobstáculos con los que se encuentra.

Se llama “COEFICIENTE DE ABSORCIÓN” β a ladisminución relativa de la intensidad de la onda porunidad de longitud que recorre en el medio queatraviesa (se mide en m

-1 en S.I.). Un caso particular es

el COEFICIENTE DE SEMIABSORCIÓN o espesor “D” queha de atravesar una onda para reducir su intensidad ala mitad


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