Tema6 _ Soluciones Matematicas 3º Eso

Soluciones a las actividades de cada epgrafeSoluciones a las actividades de cada epgrafe6

Unidad 6. Sistemas de ecuaciones

PGINA 111

PARA EMPEZAR

Un problema propuesto por Diofanto

Diofanto propona problemas como este:

Obtener dos nmeros que suman 20 y cuyos cuadrados suman 208.

Nosotros lo resolveramos traducindolo a un sistema de ecuaciones, pero l lo ha-ca con una nica ecuacin. Y esa ecuacin que propona era especialmente sencilla, porque denominaba hbilmente los nmeros que intervenan en el enunciado.

En el caso que hemos propuesto, llamaba 10 x y 10 + x a los nmeros (ingenioso, verdad?). La ecuacin que obtena, por tanto, era (10 x)2 + (10 + x)2 = 208.

Completa t la resolucin.

(10 x)2 + (10 + x)2 = 208

100 + x 2 20x + 100 + x 2 + 20x = 208

2x 2 + 200 = 208

x 2 + 100 = 104

x 2 = 4 8 x = 2, x = 2

Por tanto, los nmeros son el 8 y el 12.

Haz, de forma similar, este otro: La suma de dos nmeros es 32 y la de sus cuadra-dos, 530. Cules son esos nmeros?

Llamamos a los nmeros 16 x y 16 + x.

Por tanto, la ecuacin queda:

(16 x)2 + (16 + x)2 = 530

256 + x 2 32x + 256 + x 2 + 32x = 530

2x 2 + 512 = 530

2x 2 = 18

x 2 = 9 8 x = 3, x = 3

As, los nmeros son el 13 y el 19.

Otros problemas para resolver segn tu ingenio

Prueba a resolver estos problemas sin utilizar sistemas:

Sabiendo que = 12 y que = 9, averigua cunto valen y .

Indicacin: = ? 8 = ?

Pg. 1



Un ganadero y un agricultor intercambian sus productos:

Cuntos kilos de trigo cuesta un cordero? Y un pollo?

Cunto cuesta una hamburguesa? Y un refresco?

9 12

a) Sumamos las dos ecuaciones:

= 21 8 3 ( ) = 21 8 = 7

Sustituimos en la primera ecuacin:

7 + = 12 8 = 5 8 = 2

b) Sumamos las dos ecuaciones:

3 corderos + 6 pollos = 540 kg 8 3 (1 cordero + 2 pollos) = 540 8

8 1 cordero + 2 pollos = 180

Sustiuimos en la segunda ecuacin:

180 kg + 3 pollos = 240 8 1 pollo = 20 kg de trigo 8

8 1 cordero + 2 20 = 180 8

8 1 cordero = 140 kg de trigo

c) Sumamos las dos ecuaciones:

4 refrescos + 4 hamburguesas = 21 8

8 4 (1 refresco + 1 hamburguesa) = 21 8

8 1 refresco + 1 hamburguesa = 5,25

Sustituimos en la primera ecuacin:

5,25 + 2 refrescos = 9 8 1 refresco = 1,875 8

8 1 hamburguesa + 3 1,875 = 6 8

8 1 hamburguesa = 3,375

Pg. 2



PGINA 112

1 Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes es solucin de la ecuacin 4x 3y = 12:

a) x = 6, y = 4 b) x = 6, y = 12 c) x = 0, y = 4

a) 4 6 3 4 = 24 12 = 12

x = 6, y = 4 s es solucin de la ecuacin.

b) 4 6 3 12 = 24 36 = 12

x = 6, y = 12 no es solucin de la ecuacin.

c) 4 0 3(4) = 0 + 12 = 12

x = 0, y = 4 s es solucin de la ecuacin.

2 Representa las rectas de ecuaciones:2x y = 6 x + y = 0

Cul es la solucin comn a ambas ecuaciones?

X

Y

(2, 2)

2x y = 6x + y = 0

Solucin comn a las dos ecuaciones: x = 2, y = 2. Punto (2, 2).

Pg. 1



PGINA 113

1 Di si alguno de los pares x = 1, y = 4 y x = 7, y = 8 es solucin de cada uno de los siguientes sistemas:

a)

6x + 5y = 26 x 2y = 9

b)

2x + 4y = 18 3x 2y = 5

c)

5x + y = 43 3x + y = 1

d)

x + y = 15 x y = 1

a)

6x + 5y = 26 x 2y = 9

x = 1, y = 4 x = 7, y = 8

6 + 20 = 26 42 + 40 = 2,

1 8 = 9 7 16 = 9,

b)

2x + 4y = 18 3x 2y = 5

x = 1, y = 4 x = 7, y = 8

2 + 16 = 18, 14 + 32 = 18,

3 8 = 11, 21 16 = 5,

c)

5x + y = 43 3x + y = 1

x = 1, y = 4 x = 7, y = 8

5 + 4 = 1, 35 + 8 = 43,

3 + 4 = 1, 21 + 8 = 29,

d)

x + y = 15 x y = 1

x = 1, y = 4 x = 7, y = 8

1 + 4 = 3, 7 + 8 = 15,

1 4 = 5, 7 8 = 1,

Pg. 1



PGINA 114

1 Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos:

x + y = 9 x y = 3

8

x + y = 9 2x = 12

8

x = 6 y = 3

X

Y

X

Y

X

Y

(6, 3) (6, 3)(6, 3)

y = 3

2x = 12 x = 6x + y = 9

x y = 3

x + y = 9

2 Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equivalentes:

a)

x 2y = 2 2x + 2y = 8

b)

y x = 0 y = 2

a)

x 2y = 2 2x + 2y = 8

Punto en comn: (2, 2)

Solucin del sistema: x = 2, y = 2

X

Y

x 2y = 22x + 2y = 8

(2, 2)

b)

y x = 0 y = 2

Punto en comn: (2, 2)

Solucin del sistema: x = 2, y = 2

X

Yy x = 0

y = 2(2, 2)

Los dos sistemas de ecuaciones tienen la misma solucin. Por tanto, son equivalentes.

Pg. 1



PGINA 115

1 Fijndote en sus ecuaciones, di cul de estos sistemas tiene una solucin, cul es in-compatible y cul indeterminado. Comprubalo representando las rectas:

a)

2x + y = 72x + y = 0

b)

2x + y = 7 2x + 5y = 10

c)

2x + y = 74x + 2y = 14

d)

2x + y = 72x y = 1

a)

2x + y = 72x + y = 0

Sistema incompatible b)

2x + y = 7 2x + 5y = 10

Sistema con una solucin

X

Y

2x + y = 0 2x + y = 7

X

Y

2x + 5y = 10

2x + y = 7

c)

2x + y = 74x + 2y = 14

Sistema indeterminado d)

2x + y = 72x y = 1

Sistema con una solucin

X

Y

4x + 2y = 14

2x + y = 7

X

Y2x y = 12x + y = 7

Pg. 1



2 Completa estos sistemas para que el primero tenga la solucin x = 6, y = 1, el se-gundo sea incompatible, y el tercero y el cuarto sean indeterminados:

a)

x 4y = 2x = 13

b)

2x + y = 8 4x + 2y =

c)

2x + y = 8 4x =

d)

5x + 11y = + 33y = 9

a) 6 4(1) = 10

2 6 + a (1) = 13 8 a = 1

El sistema de ecuaciones

x 4y = 10 2x y = 13

tiene como solucin x = 6, y = 1.

b) Respuesta abierta.

2x + y = 8 4x + 2y = 2(2x + y)

Para que el sistema sea incompatible, podemos igualarlo a cualquier nmero distinto de 16.

c) Como 4x = 2(2x), para obtener la segunda ecuacin multiplicamos la primera por 2. Al ser una ecuacin equivalente, nos dar la misma recta, lo que es un sistema indeter-minado.

2x + y = 8 4x + 2y = 16

d) Como 33y = 3(11y), para obtener la segunda ecuacin multiplicamos la primera por 3. Esto nos dar el primer miembro de la igualdad; dividiremos el segundo miembro de la segunda ecuacin por 3 para obtener el segundo miembro de la primera.

5x + 11y = 315 + 33y = 9

Pg. 2



PGINA 116

1 Resuelve, por el mtodo de sustitucin, los siguientes sistemas:

a)

x + 3y = 5 5x + 7y = 13

b)

6x + 3y = 0 3x y = 3

c)

3x + 9y = 4 2x + 3y = 1

d)

x 4y = 11 5x + 7y = 1

a)

x + 3y = 5 5x + 7y = 13

8 y = 5 x3

Sustituyendo en la segunda ecuacin:

5x + 7 5 x3

= 13 8 5x + 35 7x3

= 13 8 15x + 35 7x = 39 8

8 8x = 4 8 x = 12

8 y = 5 1

23

=

923

= 96

= 32

Solucin: x = 12

, y = 32

b)

6x + 3y = 0 3x y = 3 8 y = 3x 3

Sustituyendo:

6x + 3(3x 3) = 0 8 6x + 9x 9 = 0 8 15x = 9 8

8 x = 915

= 35

8 y = 3 35

3 = 65

Solucin: x = 35

, y = 65

c)

3x + 9y = 4 2x + 3y = 1

8 y = 4 3x9

Sustituyendo:

2x + 3 4 3x9

= 1 8 2x + 4 3x9

= 1 8 6x + 4 3x = 3 8

8 3x = 1 8 x = 13

8 y = 4 3 (1)

39

= 59

Solucin: x = 13

, y = 59

Pg. 1



d)

x 4y = 11 5x + 7y = 1

8 y = x 114

Sustituyendo:

5x + 7 x 114

= 1 8 5x + 7x 774

= 1 8 20x + 7x 77 = 4 8

8 27x = 81 8 x = 3 8 y = 3 114

= 2

Solucin: x = 3, y = 2

Pg. 2



PGINA 117

2 Resuelve, por el mtodo de igualacin, los siguientes sistemas:

a)

x + 3y = 5 5x + 7y = 13

b)

6x + 3y = 0 3x y = 3

c)

3x + 9y = 4 2x + 3y = 1

d)

x 4y = 11 5x + 7y = 1

a)

x + 3y = 5 8 x = 5 3y

5x + 7y = 13 8 x = 13 7y5

8 5 3y = 13 7y5

8 25 15y = 13 7y 8

8 8y = 12 8 y = 128

= 32

8 x = 5 3 32

= 12

Solucin: x = 12

, y = 32

b)

6x + 3y = 0 8 y = 6x3

= 2x

3x y = 3 8 y = 3x 3

8 2x = 3x 3 8 5x = 3 8

8 x = 35

8 y = 2 35

= 65

Solucin: x = 35

, y = 65

c)

3x + 9y = 4 8 y = 4 3x9

2x + 3y = 1 8 y = 1 2x3

8 4 3x9

= 1 2x3

8 4 3x = 3 6x 8

8 3x = 1 8 x = 13

8 y = 1 2 (1)

33

= 59

Solucin: x = 13

, y = 59

d)

x 4y = 11 8 x = 11 + 4y

5x + 7y = 1 8 x = 1 7y5

8 11 + 4y = 1 7y5

8 55 + 20y = 1 7y

8 27y = 54 8 y = 2 8 x = 11 + 4 2 = 19


Pg. 1



PGINA 118

3 Resuelve, por el mtodo de reduccin, los siguientes sistemas:

a)

3x + 5y = 11 4x 5y = 38

b)

x + 3y = 5 5x + 7y = 13

c)

x 4y = 11 5x + 7y = 1

d)

6x + 3y = 0 3x y = 3

a)

3x + 5y = 11 4x 5y = 38

sumando8 7x = 49 8 x = 7 8 3 7 + 5y = 11 8

8 5y = 10 8 y = 2


b)

x + 3y = 5 5x + 7y = 13

8

5x 15y = 25 5x + 7y = 13

sumando8 8y = 12 8

8 y = 128

= 32

8 x + 3 32

= 5 8 x = 12

Solucin: x = 12

, y = 32

c)

x 4y = 11 5x + 7y = 1

8

5x + 20y = 55 5x + 7y = 1

sumando8 27y = 54 8 y = 2 8

8 x 4 (2) = 11 8 x = 3


d)

6x + 3y = 0 3x y = 3

8

6x + 3y = 0 9x 3y = 3

sumando8 15x = 9 8 x = 915

= 35

8

8 3 35

y = 3 8 y = 95

3 = 65

Solucin: x = 35

, y = 65

Pg. 1



PGINA 119

4 Resuelve este sistema simplificando previamente:

5(x + 3) 2(y 1) = 3(5x y) 8xx + 1

7 y

5 = 2

5(x + 3) 2(y 1) = 3(5x y) 8xx + 1

7 y

5 = 2

8

8

5x + 15 2y + 2 = 15x 3y 8x5x + 5 7y = 70

8

2x + y = 17 5x 7y = 65

Por reduccin:

14x + 7y = 119 5x 7y = 65

9x = 54 8 x = 6 8 y = 17 + 2 6 = 5


5 Resuelve este sistema aplicando dos veces el mtodo de reduccin:

7x + 5y = 11 35x 12y = 129

7x + 5y = 11 35x 12y = 129

Obtenemos la y :

35x 25y = 55 35x 12y = 129

37y = 74 8 y = 2

Obtenemos la x :

84x + 60y = 132 175x 60y = 645

259x = 777 8 x = 3


Pg. 1



PGINA 120

1 Dos poblaciones A y B distan 25 km. Un peatn sale de A hacia B a una velocidad de 4 km/h. Simultneamente, sale de B hacia A otro a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante.

La ecuacin del espacio recorrido por el peatn que sale de A es

x = 4 t

Como la distancia entre A y B es 25 km, la ecuacin para el otro peatn es:

25 x = 6 t

El momento del encuentro se expresa mediante un sistema de ecuaciones:

x = 4t 25 x = 6t

25 = 10t 8 t = 2,5 8 x = 4 2,5 = 10

Por tanto, el encuentro se produce a las 2 h 30 min y a 10 km de la ciudad A.

2 Dos poblaciones distan 120 km entre s. En el mismo instante salen un peatn de A hacia B a una velocidad de 6 km/h y un ciclista de B hacia A a 24km/h. Cunto tardan en encontrarse? Qu distancia recorre el peatn?

La ecuacin para el peatn es:

x = 6t

La ecuacin para el ciclista es:

120 x = 24t

El encuentro se expresa mediante un sistema:

x = 6t120 x = 24t

8

x 6t = 0 x 24t = 120

30t = 120 8 t = 4 8 x = 6 4 = 24

Por tanto, se cruzan a las 4 h de haber iniciado su viaje, cuando el peatn ha recorrido 24 km.

Pg. 1

Soluciones a Ejercicios y problemasSoluciones a Ejercicios y problemas6


PGINA 121

Practica

Solucin de un sistema de ecuaciones

1 Comprueba si x = 2, y = 1 es solucin de los siguientes sistemas de ecuacio-nes:

a)

2x y = 4 5x + y = 10

b)

3x 4y = 10 4x + 3y = 5

a)

2x y = 4 5x + y = 10

8

2 2 (1) = 5 ? 45 2 1 = 9 ? 10

8 No es solucin.

b)

3x 4y = 10 4x + 3y = 5

8

3 2 4(1) = 104 2 + 3(1) = 5

8 S es solucin de este sistema.

2 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solu-cin x = 3, y = 1/2:

a)

3x + 2y = x 4y =

b)

x2

+ y =

x y =

a)

3x + 2y = x 4y =

8

3 3 + 2 ( 12 ) = 9 1 = 83 4 ( 12 ) = 3 + 2 = 5

8

3x + 2y = 8 x 4y = 5

b)

x2

+ y =

x y = 8

32

12

= 1

3 + 12

= 72

8

x2

+ y = 1

x y = 72

3 a) Busca dos soluciones de la ecuacin 3x y = 1.

b) Representa grficamente la recta 3x y = 1.

c) Un punto cualquiera de la recta, es solucin de la ecuacin?

a) 3x y = 1

Si x = 1: 3 1 y = 1 8 y = 2

Si x = 0: 3 0 y = 1 8 y = 1

Pg. 1



b)

X

Y

(1, 2)1

1 2 3 4

2

(0, 1)

c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuacin.

4 a) Representa grficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes:

2x + y = 3 x y = 3

b) Di cul es la solucin de este sistema:

2x + y = 3 x y = 3

c) Di si son equivalentes los sistemas:

S :

2x + y = 3 x y = 3

S' :

y + 1 = 0 3x 4y = 10

a) 2x + y = 3 x y = 3

x 0 1

y 3 1

x 0 1

y 3 2

X

Y

1

2

(2, 1)

2x + y = 3x y = 3

b) 2x + y = 3 x y = 3

La solucin del sistema es x = 2, y = 1, que corresponde al punto de corte de am-

bas rectas.

c) Por el apartado anterior, sabemos que la solucin de S es x = 2, y = 1. Probemos si es solucin del segundo:

1 + 1 = 03 2 4 (1) = 10

8 es solucin.

Por tanto, S y S' son equivalentes.

Resolucin de sistemas de ecuaciones

5 Resuelve grficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

3x y = 1 x + 2y = 5

b)

3x y = 0 3x + y = 6

c)

x + 3y = 5 2x y = 4

d)

2x 3y = 4 x + 8y = 2

Pg. 2



a)

3x y = 1 x + 2y = 5

3x y = 1 x + 2y = 5

x 0 1

y 1 2

x 1 1

y 2 3 X

Y

1

23

1

P(1, 2)


b)

3x y = 0 3x + y = 6

3x y = 0 3x + y = 6

x 0 1

y 0 3

x 0 2

y 6 0

X

Y

1

1

P(1, 3)


c)

x + 3y = 5 2x y = 4

x + 3y = 5 2x y = 4

x 1 2

y 2 1

x 0 1

y 4 2

X

Y

1

1

2 P(1, 2)


d)

2x 3y = 4 x + 8y = 2

2x 3y = 4 x + 8y = 2

x 1 2

y 2 0

x 6 2

y 1 0

X

Y

22 64

2

2


6 Resuelve por sustitucin.

a)

x + 3y = 0 2x + y = 5

b)

8x 3y = 25 x 5y = 17

c)

7x y = 6 4x + 3y = 3

d)

2x + 16 = 2y 2y 3x = 16

a) x + 3y = 0 2x + y = 5

x = 3y2(3y) + y = 5 8

8 6y + y = 5 8 5y = 5 8 y = 1 8 x = 3 1 = 3


Pg. 3



b) 8x 3y = 25 x 5y = 17

8

8 x = 17 + 5y 8 8(17 + 5y) 3y = 25 8 136 + 40y 3y = 25 8

8 37y = 111 8 y = 3 8 x = 17 + 15 = 2


c) 7x y = 6 4x + 3y = 3

7x + 6 = y 4x + 3(7x + 6) = 3 8 4x + 21x + 18 = 3 8

8 25x = 15 8 x = 1525

= 35

8 y = 7( 35 + 6) = 95 Solucin: x = 3

5, y = 9

5

d) 2x + 16 = 2y 2y 3x = 16

y = 2x + 162

= x + 8

2(x + 8) 3x = 16 8

8 2x + 16 3x = 16 8 x = 0 8 x = 0 8 y = 8


7 Resuelve por igualacin.

a)

x = 4 x y = 6

b)

x + 3y = 4 x 2y = 6

c)

y = 6x 7x = 2y 5

d)

3x 4y = 4 2x + y = 1

a) x = 4 x y = 6

x = 4x = 6 + y

8 6 + y = 4 8 y = 2


b) x + 3y = 4 x 2y = 6

x = 4 3yx = 6 + 2y

8 4 3y = 6 + 2y 8 4 6 = 5y 8

8 y = 2 8 x = 4 3(2) = 2


c) y = 6x 7x = 2y 5

y = 6x

y = 7x + 52

8 6x = 7x + 52

8 12x = 7x + 5 8 5x = 5 8

8 x = 1 8 y = 6 1 = 6


Pg. 4



d) 3x 4y = 4 2x + y = 1

y = 3x + 4

4y = 1 2x

8 3x + 44

= 1 2x 8 3x + 4 = 4 8x 8

8 11x = 8 8 x = 811

8

8 y = 1 2( 811 ) = 511 Solucin: x = 8

11, y = 5

11

8 Resuelve por reduccin.

a)

x + y = 0 x y = 2

b)

3x y = 0 3x + y = 6

c)

4x 3y = 2 2x + y = 4

d)

x + 2y = 1 3x y = 7

e)

x 3y = 1 3x + 6y = 2

f )

3x + 2y = 3 x + y = 7/6

a) x + y = 0 x y = 2

2x = 2 8 x = 1, y = 1


b) 3x y = 0 3x + y = 6

6x = 6 8 x = 1, y = 3


c) 4x 3y = 2 2x + y = 4

4x 3y = 2 6x + 3y = 12

10x = 10 8 x = 1 8 2(1) + y = 4 8 y = 2


d) x + 2y = 1 3x y = 7

x + 2y = 1 6x 2y = 14

8 7x = 15 8 x = 15

7 8 15

7 + 2y = 1 8

8 y = 1 15/72

= 47

Solucin: x = 157

, y = 47

e) x 3y = 1 3x + 6y = 2

2x 6y = 2 3x + 6y = 2

8 5x = 4 8 x = 4

5 8 4

5 3y = 1 8

8 y = 4/5 13

= 115

Solucin: x = 45

, y = 115

Pg. 5



f ) 3x + 2y = 3 x + y = 7/6

3x + 2y = 32x 2y = 14/6

8 x = 3 14

6 = 2

3 8 2

3 + y = 7

6 8

8 y = 76

23

= 12

Solucin: x = 23

, y = 12

9 Resuelve estos sistemas por el mtodo que consideres ms adecuado:

a)

x y = 1 4x 3y = 8

b)

3x = 1 + y3 + 2y = 10x

c)

2x + 5y = 1 4x 3y = 2

d)

3x 2y = 2 x + 4y = 5/3

a) x y = 1 4x 3y = 8

Por sustitucin:

x = 1 + y4(1 + y) 3y = 8 8

8 4 + 4y 3y = 8 8 y = 4 8 x = 1 + 4 = 5


b) 3x = 1 + y3 + 2y = 10x

Por sustitucin:

y = 3x 13 + 2(3x 1) = 10x 8

8 3 + 6x 2 = 10x 8 1 = 4x 8 x = 14

8 y = 3 14

1 = 14

Solucin: x = 14

, y = 14

c) 2x + 5y = 1 4x 3y = 2

Por reduccin:

4x 10y = 2 4x 3y = 2

8

8 13y = 0 8 y = 0 8 2x + 5 0 = 1 8 x = 12

Solucin: x = 12

, y = 0

d) 3x 2y = 2 x + 4y = 5/3

Por reduccin:

6x 4y = 4 x + 4y = 5/3

8

8 7x = 73

8 x = 13

8 3 13

2y = 2 8 2y = 1 8 y = 12

Solucin: x = 13

, y = 12

Pg. 6



10 Resuelve los sistemas siguientes:

a)

2x + y = 0 5x 3 = 9y 3

b)

2(3x 2) = y 13(x + y) + 2(x y) = 8

c)

x3

y2

= 4

x2

+ y4

= 2 d)

x + y 24

= 1

x 32

y = 5

e)

2 x3

+ 3 + y6

= 2

8 3x6

2 + y9

= 2 f )

x 12

+ y + 14

= 1

2x 12

2y + 16

= 1

a) 2x + y = 0 5x 3 = 9y 3

Por sustitucin: y = 2x 8 5x 3 = 9(2x) 3 8

8 5x 3 = 18x 3 8 23x = 0 8 x = 0 8 y = 2 0 = 0


b) 2(3x 2) = y 13(x + y) + 2(x y) = 8

6x 4 = y 13x + 3y + 2x 2y = 8 8 5x + y = 8

6x y = 35x + y = 8

Por reduccin: 11x = 11 8 x = 1 8 6 1 y = 3 8 y = 3


c)

x3

y2

= 4

x2

+ y4

= 2

Por reduccin: 2x 3y = 242x + y = 8

2x 3y = 242x y = 8

8

8 4y = 16 8 y = 4 8 2x 3(4) = 24 8 2x = 12 8 x = 6


d) x + y 2

4 = 1

x 32

y = 5

4x + y 2 = 42x 3y = 10

4x + y = 62x 3y = 10

Por reduccin:

12x + 3y = 18 2x 3y = 10

8 14x = 28 8 x = 2 8 2 3

2y = 5 8 y = 2 5

3/2 = 2


Pg. 7



e)

2 x3

+ 3 + y6

= 2

8 3x6

2 + y9

= 2

8

2(2 x) + 3 + y = 123(8 3x) 2(2 + y) = 36

8

8

4 2x + 3 + y = 1224 9x 4 2y = 36

8

2x + y = 59x 2y = 16

8

8

4x + 2y = 109x 2y = 16

8 13x = 26 8 x = 2 8

8 2 (2)3

+ 3 + y6

= 2 8 3 + y6

= 2 43

8

8 3 + y6

= 23

8 y = 1


f )

x 12

+ y + 14

= 1

2x 12

2y + 16

= 1

8

2(x 1) + y + 1 = 43(2x 1) (2y + 1) = 6

8

8

2x 2 + y + 1 = 46x 3 2y 1 = 6

8

2x + y = 56x 2y = 10

8

8

4x + 2y = 106x 2y = 10

8 10x = 20 8 x = 2 8

8 2 12

+ y + 14

= 1 8 y + 14

= 12

8 y = 1


Pg. 8



PGINA 122

11 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando dos veces el mtodo de reduccin para despejar cada una de las incgnitas:

a)

13x 8y = 15 7x 14y = 9

b)

9x 13y = 54 11x 7y = 22

a)

13x 8y = 15 7x 14y = 9

8

91x 56y = 10591x + 182y = 117

8 126y = 12 8 y = 221

182x 112y = 21056x + 112y = 72

8 126x = 138 8 x = 2321

Solucin: x = 2321

, y = 221

b)

9x 13y = 54 11x 7y = 22

8

99x 143y = 59499x + 63y = 198

8 80y = 396 8 y = 9920

63x 91y = 378143x + 91y = 286

8 80x = 92 8 x = 2320

Solucin: x = 2320

, y = 9920

12 Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cul de ellos tiene una nica solucin, cul no tiene solucin y cul tiene infinitas soluciones. Comprubalo representando las rectas que los forman:

a)

2x y = 1 4x 2y = 8

b)

x 2y = 5 2x 4y = 10

c)

5x + 2y = 1 4x y = 7

d)

x 2y = 5 2x 4y = 3

a) 2x y = 1 4x 2y = 8

No tiene solucin

2x y = 1 4x 2y = 8 8 2x y = 4

x 0 2

y 1 3

x 0 2

y 4 0

X

Y

1 2

1

1

Pg. 1



b) x 2y = 5 2x 4y = 10

Tiene infinitas soluciones

x 2y = 5 2x 4y = 10 8 x 2y = 5

x 1 3

y 2 1 Es la misma recta

X

Y

1 3

1

2

c) 5x + 2y = 1 4x y = 7

Tiene una solucin, x = 1, y = 3.

5x + 2y = 1 4x y = 7

x 1 1

y 3 2

x 1 2

y 3 1

X

Y

1 2

1

3 P(1, 3)

d) x 2y = 5 2x 4y = 3

No tiene solucin

x 2y = 5 2x 4y = 3

x 1 1

y 2 3

x 1 3

y 5/4 9/4

X

Y

1 2

1

1

13 Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado.

a)

2x 5y = 2 3,25x 2,5y = 8

b)

0,2x 1,7y = 6,1 1,23x + 0,8y = 3,75

c)

3(x 1) + y = 0 3(x + 1) + y = 5

d)

x + y = 4 y 3x 5 = 7 6y

a)

2x 5y = 2 3,25x 2,5y = 8

Por reduccin:

2x 5y = 2 6,5x + 5y = 16

8

8 4,5x = 18 8 x = 4 8 2 4 5y = 2 8 10 = 5y 8 y = 2


b)

0,2x 1,7y = 6,1 1,23x + 0,8y = 3,75

Por sustitucin: y = 6,1 0,2x1,7

1,23x + 0,8 (6,1 0,2x1,7 ) = 3,75 8 1,23x + 4,88 0,16x1,7 = 3,75 8 8 2,091x + 4,88 0,16x = 6,375 8

Pg. 2



8 1,931x = 1,495 8 x = 1,4951,931

= 0,77 8

8 y = 6,1 0,2 0,771,7

= 3,5

Solucin: x = 0,77, y = 3,5

c)

3(x 1) + y = 0 3(x + 1) + y = 5

8

3x 3 + y = 03x + 3 + y = 5

8

3x + y = 33x + y = 8

No tiene solucin. Es incompatible.

d)

x + y = 4 y 3x 5 = 7 6y

8

x + 2y = 43x + 6y = 12

Tiene infinitas soluciones. Es indeterminado.

Aplica lo aprendido

14 Halla dos nmeros tales que su suma sea 160, y su diferencia, 34.

Llamamos x e y a los nmeros.

x + y = 160x y = 34

8 2x = 194 8 x = 97 8 97 + y = 160 8 y = 63

Los nmeros son 97 y 63.

15 Por dos bolgrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 ; por cinco bolgrafos y cuatro cuadernos, pagu 13,20 . Cul es el precio de un bolgrafo? Y de un cua-derno?

x es el precio de un bolgrafo e y es el precio de un cuaderno.

2x + 3y = 7,805x + 4y = 13,2

8

x = 7,80 3y2

5 ( 7,80 3y2 ) + 4y = 13,2 8 39 15y + 8y = 26,4 8 8 7y = 12,6 8 y = 1,8 8 x = 7,80 3 1,8

2 = 1,2

Un bolgrafo cuesta 1,2 , y un cuaderno, 1,8 .

16 Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 y otros a 28 . Obtuvo por la venta 1 368 . Cuntos libros vendi de cada clase?

x son los libros de 32 e y son los de 28 .

x + y = 4532x + 28y = 1 368

8

y = 45 x32x + 28(45 x) = 1 368 8 32x + 1 260 28x = 1 368 8

8 4x = 108 8 x = 27 8 y = 45 27 = 18

Vendi 27 libros de 32 y 18 libros de 28 .

Pg. 3



17 En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 29 cabezas y 92 pa-tas. Cuntos animales hay de cada clase?

x es el nmero de gallinas, e y, el de conejos.

x + y = 292x + 4y = 92

8

y = 29 x2x + 4(29 x) = 92 8

8 2x + 116 4x = 92 8 2x = 24 8

8 x = 12 8 y = 29 12 = 17

Hay 12 gallinas y 17 conejos.

18 Una cooperativa ha envasado 2 000 l de aceite en botellas de 1,5 l y 2 l. Si ha utilizado 1 100 botellas, cuntas se han necesitado de cada clase?

x son las botellas de 1,5 l, e y, las de 2 l.

x + y = 1 1001,5x + 2y = 2 000

8

2x 2y = 2 2001,5x + 2y = 2 000

8

8 0,5x = 200 8 x = 400 8 y = 1 100 400 = 700

Se han utilizado 400 botellas de 1,5 l y 700 de 2 l.

19 Halla dos nmeros naturales tales que su suma sea 154, y su cociente, 8/3.

Llamamos x e y a los nmeros.

x + y = 154xy

= 83

8

y = 154 x3x = 8y

8 3x = 8(154 x) 8 3x = 1 232 8x 8

8 11x = 1 232 8 x = 112 8 y = 154 112 = 42


20 Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido 24,5, cuntos aciertos y cuntos fallos he tenido?

x es el nmero de aciertos, e y, el de fallos.

x + y = 50x 0,5y = 24,5

8

x y = 50 x 0,5y = 24,5

8 1,5y = 25,5 8 y = 17 8 x = 33

He tenido 33 aciertos y 17 fallos.

Pg. 4



21 Si la base mayor es la suma de los lados oblicuos y el permetro es 38 m, cun-to mide cada lado?

xx

y

6 m

y = 2x6 + 2x + y = 38 8 6 + 2x + 2x = 38 8 4x = 32 8 x = 8 m 8 y = 16 m

La base mayor mide 16 m, y los lados oblicuos, 8 m, respectivamente.

22 Los alumnos de un centro escolar son 420 entre ESO y Bachillerato. El 42% de ESO y el 52% de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 196 mujeres. Calcula cuntos estudiantes hay en ESO y cuntos en Bachillerato.

x es el nmero de alumnos de ESO e y los de Bachillerato.

x + y = 4200,42x + 0,52y = 196

8

y = 420 x0,42x + 0,52(420 x) = 196 8

8 0,42x 0,52x = 196 218,4 8

8 0,1x = 22,4 8 x = 224 8

8 y = 420 224 = 196

Son 224 alumnos en la ESO y 196 en Bachillerato.

23 He pagado 55,72 por una camiseta y un pantaln que costaban 70 entre los dos. La camiseta tena un 18% de descuento, y el pantaln, un 22%. Cul era el precio original de cada artculo?

La camiseta vale x; con la rebaja del 18% pago 0,82x. El pantaln vale y; con la reba-ja del 22% pago 0,78y.

Por tanto:

x + y = 700,82x + 0,78y = 55,72

8

y = 70 x0,82x + 0,78(70 x) = 55,72 8

8 0,82x + 54,6 0,78x = 55,72 8

8 0,04x = 1,12 8 x = 28 8

8 y = 70 28 = 42

La camiseta vale 28 , y el pantaln, 42 .

Comprobacin:

28 + 42 = 7022,96 + 32,76 = 55,72

Pg. 5



Resuelve problemas

24 Halla dos nmeros naturales que suman 140 y tales que al dividir el mayor entre el menor obtenemos 2 de cociente y 14 de resto.

Recuerda: Dividendo = divisor cociente + resto.

Los nmeros son x e y.

x + y = 140x = 2y + 14

8

2y + 14 + y = 140x = 2 42 + 14 = 98

8 3y = 126 8 y = 42

98 y 42 son los nmeros buscados.

25 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 aos. Hace 10 aos, la edad de la madre era el quntuple de la edad que tena el hijo. Cul es la edad ac-tual de cada uno?

HOY HACE 10 AOS

MADRE x x 10

HIJO y y 10

56 x 10 = 5( y 10)

x + y = 56x 10 = 5(y 10)

8

x + y = 56x 10 = 5y 50

8

y = 56 xx 10 = 5(56 x) 50

8

8 x 10 = 280 5x 50 8 6x = 240 8

8 x = 40 8 y = 56 40 = 16

La madre tiene 40 aos, y el hijo, 16 aos.

26 Hace tres aos, la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta. Den-tro de 7 aos, ser los 4/3 de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad actual de cada una.

HOY HACE 3 AOS DENTRO DE 7 AOS

NURIA x x 3 x + 7

MARTA y y 3 y + 7

x 3 = 2(y 3)

x + 7 = 43

( y + 7) 8

x 3 = 2y 63x + 21 = 4y + 28

8

x = 2y 33(2y 3) 4y = 7

8

8 6y 9 4y = 7 8 2y = 16 8 y = 8 8 x = 13

Nuria tiene 13 aos, y Marta, 8 aos.

Pg. 6



27 He cambiado un montn de monedas de 20 cntimos por monedas de 1 , de manera que ahora tengo 24 monedas menos que antes. Cuntas monedas de 20 cntimos tena?

Tengo x monedas de 0,20 . El nmero de monedas de 1 es y.

x 0,2 = yy = x 24

8 0,2x = x 24 8 24 = 0,8x 8 x = 30 8 y = 30 24 = 6

Tena 30 monedas de 0,2 y las he cambiado por 6 monedas de 1 .

Pg. 7



PGINA 123

28 Si lvaro regala a Rita 4 de sus discos, ella tendr el doble que l. Si Rita da 6 de sus discos a lvaro, entonces ser l quien tenga el doble que ella. Cuntos dis-cos tiene cada uno?

Discos de lvaro: x Discos de Rita: y

2(x 4) = y + 4x + 6 = 2(y 6)

8

2x 8 = y + 4 x + 6 = 2y 12

8 y = 2x 12x + 6 = 2(2x 12) 12

x + 6 = 4x 24 12 8 3x = 42 8 x = 14 8 y = 2 14 12 = 16

lvaro tiene 14 discos, y Rita, 16.

29 Un comerciante compr 35 juegos de un tipo y 25 de otro pagando por ellos 1 220 . Con la venta de los primeros gan un 25% y con los segundos perdi el 5%, de forma que obtuvo 170 de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego.

Precios de compra de cada tipo de juego: x e y.

35x + 25y = 1 2201,25 35x + 0,95 25y = 1 390

8

7x + 5y = 24443,75x + 23,75y = 1 390

8

8 y = 244 7x5

8 43,75x + (244 7x5 ) = 1 390 8 8 43,75x + 1 159 33,25x = 1 390 8

8 10,5x = 231 8 x = 22 8 y = 244 7 225

= 18

Los precios de compra fueron 22 y 18 , respectivamente.

30 Un autobs sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 25 km, sale de A un coche a 110 km/h que quiere alcanzar al autobs. Cunto tiempo tarda en hacerlo y qu distancia recorre hasta conseguirlo?

Mira el problema resuelto de la pgina 120.

90 km/hAUTOBS:

25 km xA B

110 km/h

25 + xA B

COCHE:

ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO

AUTOBS x 90 t

COCHE 25 + x 110 t

Sabemos que espacio = velocidad tiempo.

Pg. 1



x = 90t25 + x = 110t

8 25 + 90t = 110t 8 20t = 25 8 t = 1,25 8 x = 112,5

Tarda 1,25 h y recorre 137,5 km.

31 Un tren regional sale de una estacin a una velocidad de 85 km/h. Media hora ms tarde sale otro ms rpido en la misma direccin a 110 km/h. Calcula el tiempo que tardar en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo.

t : tiempo que tarda en alcanzarlo.

x : distancia que recorre el tren regional hasta el alcance.

85 0,5 = 42,5

85 km/hx

x + 42,5

42,5

x = 85tx + 42,5 = 110t

8 85t + 42,5 = 110t 8 25t = 42,5 8

8 t = 1,7 8 x = 144,5 8 144,5 + 42,5 = 187

Tarda 1h 42 min y recorre 187 km.

32 Dos ciudades, A y B, distan 234 km. De A sale un autobs en direccin a B y simultneamente sale de B un tren en direccin a A. Tardan en cruzarse 1 hora y 30 minutos. Cul es la velocidad de cada uno sabiendo que la del autobs supera a la del tren en 5 km/h?

v + 5 vx BA 234 x

x = v 1,5234 x = (v + 5) 1,5

8 234 1,5v = 1,5v 7,5 8

8 234 7,5 = 3v 8 v = 226,53

= 75,5 km/h

El tren va a 75,5 km/h, y el autobs, a 80,5 km/h.

33 Un autobs escolar hace la ruta entre dos pueblos, A y B. Cuando va con nios, lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora ms que si va vaco, con una velocidad de 100km/h. Cul es la distancia entre A y B ?

x60 km/h

100 km/h

x = 60tx = 100(t 0,25)

8 60t = 100t 25 8 40t = 25 8

8 t = 0,625 8 x = 60 0,625 = 37,5

La distancia entre A y B es 37,5 km.

Pg. 2



34 Hemos mezclado aceite de oliva de 3,5 /l con aceite de girasol de 2 /l para obtener 50 l de mezcla a 3,08 /l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de aceite de girasol que hemos mezclado.

CANTIDAD PRECIO

OLIVA x 3,5

GIRASOL y 2

MEZCLA 50 3,08

x + y = 503,5x + 2y = 50 3,08

8 y = 50 x3,5x + 2(50 x) = 154 8

8 3,5x + 100 2x = 154 8

8 1,5x = 54 8 x = 36 8 y = 14

36 l de aceite de oliva y 14 l de girasol.

35 Si en un depsito que contiene agua a 50 C aadimos agua a 15 C, obtene-mos 150 l a 36 C. Cuntos litros haba en el depsito y cuntos hemos aadido?

x son los litros de agua que haba en el depsito.

y son los litros que hemos aadido.

x + y = 15050x + 15y = 150 36

8 y = 150 x50x + 15(150 x) = 5 400 8

8 50x + 2 250 15x = 5 400 8

8 35x = 3 150 8 x = 90 8 y = 150 90 = 60

Haba 90 l de agua a 50 y hemos aadido 60 l de agua a 15.

36 Las dos cifras de un nmero suman 7. Si invertimos el orden de estas, obtene-mos otro nmero que es igual al doble del anterior ms 2 unidades. Cul es el n-mero inicial?

CIFRA DECENAS

CIFRA CENTENAS

NMERO INICIAL

NMERO INVERTIDO

x y 10x + y 10y + x

1. condicin: x + y = 7

2. condicin: 10y + x = 2(10x + y) + 2

x + y = 710y + x = 2(10x + y) + 2

8 x + y = 710y + x = 20x + 2y + 2

8

8 y = 7 x10(7 x) = 20x + 2(7 x) + 2 8

8 70x 10x + x = 20x + 14 2x + 2 8 27x = 54 8 x = 2 8 y = 5

El nmero buscado es el 25.

Pg. 3



37 Si a un nmero de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del nmero inicial.

Hllalo sabiendo que sus cifras suman 16.

x es la cifra de las decenas.

y es la cifra de las unidades.

x + y = 16(10x + y) (10y + x) = 2x

8 y = 16 x10x + 16 x 10(16 x) x = 2x 8

8 10x + 16 x 160 + 10x x = 2x 8 16x = 144 8 x = 9 8 y = 7

El nmero es 97.

Problemas +

38 La encargada de un laboratorio qumico tiene dos frascos que contienen cierto cido diluido en agua. En el frasco A, el 10% es cido, y el resto, agua. En el B, la mezcla es mitad y mitad. Para hacer un experimento necesita 80 g de una mezcla que tenga 25% de cido y 75% de agua. Qu cantidad debe coger de cada frasco para conseguirlo?

Llamamos x a la cantidad que debe tomar del frasco A e y a la que debe tomar del frasco B.

Proporcin de cido en la mezcla: 0,1x + 0,5y = 0,25 80

Proporcin de agua en la mezcla: 0,9x + 0,5y = 0,75 80

Resolvemos el sistema:

0,1x + 0,5y = 200,9x + 0,5y = 60

8 x = 50, y = 30

Debe tomar 50 g de A y 30 g de B.

39 Luis quiere celebrar su cumpleaos con un grupo de amigos, invitndoles a merendar y al cine. En total son 10 personas. En un folleto de una cadena de hamburguesas se lee:

Cunto vale una merienda y cunto una entrada al cine? Tendr suficiente dinero con los 80 de su hucha?

Llamamos m al precio de una merienda y e al precio de una entrada al cine.

m + e = 10,203m + 2e = 24,60

8 2m + 2e = 20,40

3m + 2e = 24,60

8 m = 4,20

e = 6

Una merienda vale 4,20 , y una entrada al cine, 6 .

Para invitar a sus amigos, Luis tiene que pagar 3 invitaciones de la oferta y una ms sin oferta.

3 24,60 + 10,20 = 84

No tiene dinero suficiente, le faltan 4 .

Pg. 4

Merienda y en-trada al cine: 10,20

OFERTA: 3 meriendas y 3entradas al cine (una de ellas, gratis), 24,60



PGINA 124

40 En un viaje dos turistas quieren comprar jamones y quesos. El conductor del autobs les exige que sus compras no excedan de 40 kg cada una. Cada turista con-sigue comprar sus 40 kg exactos. Entre los dos llevan 5 jamones, de igual peso y 5 quesos, todos del mismo peso. El primero ha comprado triple nmero de jamones que de quesos, y el segundo, doble nmero de quesos que de jamones. Cunto pesa cada jamn y cada queso?

Primero averiguemos cuntos jamones y cuntos quesos lleva cada uno.

Llamamos x al n. de quesos que lleva el primero e y al n. de quesos que lleva el se-gundo.

x + y = 5

3x + y2

= 5

8 x = 1, y = 4

Por tanto, el primero lleva 1 queso y 3 jamones, y el segundo, 4 quesos y 2 jamones.

Calculamos ahora el peso de un queso, q, y el peso de un jamn, j .

q + 3j = 404q + 2j = 40

8 j = 12, q = 4

Cada jamn pesa 12 kg, y cada queso, 4 kg.

41 Un tren sale de una ciudad con 134 pasajeros, entre hombres, mujeres y nios. Hace varias paradas y en cada una bajan 2 hombres y una mujer, y suben 4 nios. Llega a su destino con 143 pasajeros, de los cuales los hombres son los 2/3 de los nios, y las mujeres, los 3/4 de los hombres. Cuntas paradas hizo el tren? Cun-tos hombres, mujeres y nios hay al llegar? Y al partir?

En cada parada bajan 3 personas y suben 4; por tanto, aumenta un pasajero en cada parada.

143 134 = 9

El tren ha hecho 9 paradas.

Llamemos x al nmero de hombres, y al nmero de mujeres y z al nmero de nios que hay al llegar.

x + y + z = 143

x = 23

z

y = 34

x

8 x + 3

4x + z = 143

x = 23

z

8

74

x + z = 143

x = 23

z

8

8 74

23

z + z = 143 8 z = 66, x = 44, y = 33

Llegaron 66 nios, 33 mujeres y 44 hombres.

Como se bajan dos hombres en cada parada, han llegado 9 2 = 18 hombres menos que al partir. 9 mujeres menos que al partir y 9 4 = 36 nios ms.

Pg. 1



Las personas que haba al partir son:

44 + 18 = 62 hombres

33 + 9 = 42 mujeres

66 36 = 30 nios

En total, 134.

Re exiona sobre la teora

42 Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas cuya nica solucin sea x = 2, y = 1.

3x + 2y = 4 x y = 3

8 3 2 + 2(1) = 42 (1) = 3

8 x = 2, y = 1 es solucin.

43 Cul debe ser el valor de m para que los sistemas a) y b) sean equivalentes?

a)

2x 3y = 1 x + y = 8

b)

x y = m y = 3

La solucin de a) es x = 5, y = 3.

b) debe tener la misma solucin: 5 3 = m 8 m = 2

44 Comprueba si x = 3, y = 1 es solucin de alguno de estos sistemas de ecuacio-nes:

a)

x + y = 4 x 2y = 1 2x 6y = 0

b)

x y = 2 2x 3y = 3 x + y = 5

a)

x + y = 4 x 2y = 1 2x 6y = 0

8 3 + 1 = 43 2 = 12 3 6 1 = 0

x = 3, y = 1 es la solucin de ese sistema.

b)

x y = 2 2x 3y = 3 x + y = 5

8 3 1 = 22 3 3 1 = 33 + 1 = 4 ? 5

x = 3, y = 1 no es solucin de ese sistema.

45 Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solucin x = 3, y = 2; el segundo sea incompatible, y el tercero y el cuarto sean indetermi-nados:

a)

3x + 2y = y = 8

b)

x + y = 5 2x + 2y =

c)

3x 2y = 4 6x 4y =

d)

x + 2y = 7 4y =

Pg. 2



a)

3x + 2y = y = 8

8

3 3 + 2(2) = 5 = 8 + y = 8 2 = 6

8 Solucin:

3x + 2y = 5 6x y = 8

b)

x + y = 5 2x + 2y =

Puede ser cualquier nmero distinto de 10.

Por ejemplo:

x + y = 52x + 2y = 1

c)

3x 2y = 4 6x 4y =

8

3x 2y = 4 6x 4y = 8

d)

x + 2y = 7 4y =

8

x + 2y = 72x 4y = 14

46 Observa la representacin de las rectas r1, r2, r3 y responde sin resolver.

x + 2y = 1

r1

r2

r3

5y x = 22

y x = 10

22

2

2

a) Cul es la solucin de los siguientes sistemas?:

I)

y x = 10 x + 2y = 1

II)

5y x = 22 y x = 10

b) Cul es la solucin de este sistema?:

y x = 10 5y x = 22 x + 2y = 1

a) I) Solucin: x = 7, y = 3

II) Solucin: x = 7, y = 3

b) Solucin: x = 7, y = 3

Pg. 3



47 Observa la representacin de las rectas r1, r2, r3 y responde sin resolver.

r1: x + y = 0r2: x y = 2

2 42

2

4

4

r3: 7y x = 16

a) Cul es la solucin de los siguientes sistemas de ecuaciones?

I)

x + y = 0 x y = 2

II)

x + y = 0 7y x = 16

III)

x y = 2 7y x = 16

b) Tiene alguna solucin este sistema?:

x + y = 0 x y = 2 7y x = 16

a) I)

x + y = 0 x y = 2


II)

x + y = 0 7y x = 16


III)

x y = 2 7y x = 16


b) No, porque las tres rectas no tienen ningn punto en comn.

Pg. 4



PGINA 125

48 Qu valores deben tomar a y b para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones?

3x + 2y = 5 ax + by = 15

Escribe tres soluciones del sistema.

Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuacin debe ser proporcional a la pri-mera.

As:

3x + 2y = 5 ax + by = 15

8 a = 9 y b = 6

Soluciones: Damos valores a x para obtener puntos de la recta 3x + 2y = 5:

x = 1, y = 1; x = 0, y = 52

; x = 1, y = 4

49 Qu condicin deben cumplir c y d para que este sistema no tenga solu-cin?

3x + 2y = c 6x + 4y = d

El sistema no tendr solucin cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando d ? 2c.

50 Resuelve este sistema de tres ecuaciones y dos incgnitas y comprueba grfica-mente su solucin:

2x + y = 1 x y = 5 x + y = 1

Halla la solucin de las dos primeras ecuaciones y comprueba si verifica la tercera.

2x + y = 1 x y = 5 x + y = 1

2x + y = 1x y = 5

8 3x = 6 8 x = 2 8 y = 1 4 = 3

Comprobamos si se verifica la tercera ecuacin: 2 + (3) = 1

La solucin del sistema es x = 2, y = 3.

Profundiza

51 Resolver por sustitucin:

2x y = 2 x 2 + y 2 = 52

Pg. 1



Despejamos y en la 1. ecuacin y sustituimos en la 2.:

y = 2x 2 8 x 2 + (2x 2)2 = 52 8 5x 2 8x 48 = 0 8

8 x = 8 82 + 4 5 48

10 = 8 32

10

x = 4x = 12/5

Si x = 4, y = 2 4 2 = 6.

Si x = 125

, y = 2( 125 ) 2 = 345 .52 Resuelve por sustitucin.

a)

x y = 2 x 2 y 2 = 16

b)

x + y = 1 2x 2 y 2 = 2

a)

x y = 2 x 2 y 2 = 16

8

y = x 2x 2 (x 2)2 = 16 8

8 x2 x 2 + 4x 4 = 16 8 4x = 20 8 x = 5 8 y = 3


b)

x + y = 1 2x 2 y 2 = 2

8

y = 1 x 2x 2 (1 x)2 = 2 8

8 2x 2 1 + 2x x 2 = 2 8 x 2 + 2x 3 = 0 8

8 x = 2 4 + 122

= 2 42

x = 1x = 3

Si x = 1, y = 0.

Si x = 3, y = 1 (3) = 4.

53 La diferencia de dos nmeros es 2, y la de sus cuadrados, 20. Halla esos nme-ros.

Los nmeros son x e y.

x y = 2x2 y2 = 20

8

x = 2 + y(2 + y)2 y2 = 20 8

8 4 + 4y + y2 y2 = 20 8 4y = 16 8 y = 4 8 x = 6


54 La diagonal de un rectngulo mide 15 cm, y su per-metro, 42 cm. Calcula sus lados.

2x + 2y = 42x2 + y 2 = 152

8

x + y = 21x 2 + y 2 = 225

8 x

y15

8

y = 21 xx 2 + (21 x)2 = 225 8 x 2 + 441 42x + x 2 = 225 8

Pg. 2



8 2x 2 42x + 216 = 0 8 x 2 21x + 108 = 0 8

8 x = 21 441 4322

= 21 32

x = 12x = 9

Si x = 12, y = 21 12 = 9.

Si x = 9, y = 21 9 = 12.

Los lados del rectngulo miden 9 cm y 12 cm, respectivamente.

55 El permetro de un rectngulo es 68 m, y su rea, 240 m2. Halla sus lados.

x

y

2x + 2y = 68xy = 240

8

x + y = 34xy = 240

8

y = 34 xx(34 x) = 240 8

8 34x x 2 = 240 8 x 2 34x + 240 = 0 8

8 x = 34 342 240 42

= 34 142

x = 24x = 10

Si x = 10, y = 34 10 = 24.

Si x = 24, y = 34 24 = 10.

Los lados del rectngulo miden 10 cm y 24 cm, respectivamente.

56 Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su rea es 56 cm2. Calcula la medida de las diagonales.

x y = 6x y

2 = 56

8

x = 6 + y(6 + y)y = 112 8

x

y

8 6y + y 2 = 112 8 y 2 + 6y 112 = 0 8

8 y = 6 36 + 4 1122

= 6 222

y = 8y = 14 (No vale).

Si y = 8, x = 6 + 8 = 14.

Las diagonales miden 8 cm y 14 cm, respectivamente.

57 El permetro de un tringulo issceles es 36m. La altura relativa al lado desigual mide 12 m. Calcula la medida de los la-dos iguales.

Si llamas x a la mitad de la base, se simplifican los clculos.

yy

2x

12

x

Pg. 3



2x + 2y = 36y 2 x 2 = 122

8

x + y = 18y 2 x 2 = 144

8

y = 18 x(18 x)2 x 2 = 144 8

8 324 36x + x 2 x 2 = 144 8 36x = 180 8

8 x = 5 8 y = 18 5 = 13

Los lados iguales miden 13 cm.

58 En una parcela rectangular de 60 m de perme-tro se hace un jardn rectangular bordeado por un ca-mino de 2 m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el rea del jardn es 112 m2.

x

22

y

2x + 2y = 60(x 4)(y 4) = 112

8

x + y = 30xy 4x 4y + 16 = 112

8

8

y = 30 xx (30 x) 4x 4(30 x) + 16 = 112 8

8 30x x 2 4x 120 + 4x + 16 = 112 8

8 x 2 + 30x 216 = 0 8 x 2 30x + 216 = 0 8

8 x = 30 302 4 2162

=

= 30 62

x = 18 8 y = 12x = 12 8 y = 18

Las dimensiones de la parcela son 12 m y 18 m, respectivamente.

59 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:

a)

x 3 = 0 2x 3y = 9 x + y z = 1

b)

3x 2y + z = 4 x + y = 5 z 3 = 1

c)

x + y = z x y = z x + z = 4

d)

x + y = 5 x + y + z = 3 y + z = 2

a)

x 3 = 0 2x 3y = 9 x + y z = 1

8

x = 32 3 3y = 9 8 3y = 3 8 y = 13 + (1) z = 1 8 z = 1 8 z = 1

Solucin: x = 3, y = 1, z = 1

Pg. 4



b)

3x 2y + z = 4 x + y = 5 z 3 = 1

8

3x 2y + 4 = 4x + y = 5z = 4

8

8

3x 2y = 0 x + y = 5

8

3x 2y = 02x + 2y = 10

8

8 5x = 10 8 x = 2 8 2 + y = 5 8 y = 3

Solucin: x = 2, y = 3, z = 4

c)

x + y = z x y = z x + z = 4

8

x + y = zx y = z 8 2x = 2z 8 x = z 8 z + z = 4 8

8 2z = 4 8 z = 2 8 2 + y = 2 8 y = 0

Solucin: x = 2, y = 0, z = 2

d)

x + y = 5 x + y + z = 3 y + z = 2

8

x = 5 y 8 x = 5 4 = 15 y + y + z = 3 8 z = 2y + z = 2 8 y + (2) = 2 8 y = 4

Solucin: x = 1, y = 4, z = 2

60 Una pieza mecnica est formada por tres cilindros, cuyas secciones se ven en esta figura.

Las distancias entre los centros de las bases de los cilindros son: AB = 14 cm; AC = 17 cm; BC = 13 cm.

Cul es el radio de cada cilindro?

xx

yy

z

z

A

BC

Segn el enunciado:

AB = 14 = x + yAC = 17 = x + zBC = 13 = y + z

Resolvemos el sistema:

x + y = 14x + z = 17 y + z = 13

8 x + y = 14x + z = 17 y z = 13

8 x + y = 14x y = 4

8

8 2x = 18 8 x = 9 cm 8 y = 5 cm 8 z = 8 cm

Por tanto, el radio de A es 9 cm; el de B, 5 cm; y el de C, 8 cm.

Pg. 5

Soluciones a Y para terminarSoluciones a Y para terminar6


PGINA 126

Utiliza el lenguaje matemtico

Una mesa y dos sillas

80 c

m

70 c

m

Calcula la altura de la mesa.

Describe detalladamente el proceso seguido.

Ser ms fcil si usas el lenguaje algebraico.

a + x y = 70

a + y x = 80

Sumando ambas igualdades: 2a = 150 8 a = 75

La altura de la mesa es de 75 cm.

Utiliza tu ingenio

Qu lo!

b + 2

d 2

2a

2a

2a

2c

2c

2c

2a

10

3cb b

b bd

Las ocho filas de cuatro nmeros suman lo mismo.

Cul es el valor de a, b, c y d ?

Pg. 1



Igualando los lados derecho e izquierdo del rectngulo:

2b + 2a + 10 = 2b + 2a + d 2 8 d = 12

Igualando los lados superior e inferior del rectngulo:

2b + 5c = 2b + 2c + d 8 c = 4

Igualando el lado inferior derecho del rombo y el izquierdo del rectngulo:

2a + 2d 2 + 2c = 2a + 2b + 10 8 b = 10

Del lado inferior del rectngulo obtenemos el valor de una lnea:

Valor de lnea 8 2b + 2c + d = 40

Igualando el lado izquierdo del rectngulo a 40:

2b + 2a + 10 = 40 8 a = 5

Solucin: a = 5, b = 10, c = 4, d = 12.

Utiliza tu ingenio

Incompleto

Se trata de completar este cuadrado mgico del que solo se conocen tres nmeros.

5 26

23

Ya sabes que en un cuadrado mgico los tres nmeros de cada fila, columna o diagonal, tienen la misma suma.

Igualando la diagonal principal con la primera fila, por un lado, y la segunda fila con la tercera columna, por otro:

a + x + e = a + 31 8 x + e = 31

23 + x + b = 26 + b + e 8 x e = 3

Y de ah 8 x = 17

a 5 26

23 x b

c d e

Pg. 2



Igualando la primera fila y la primera columna:

a + 5 + 26 = a + 23 + c 8 c = 8

Atendiendo a la segunda diagonal, vemos que una fila suma 51.

a 5 26

23 17 b

8 d e

Con la informacin disponible es fcil completar los valores desconocidos.

20 5 26

23 17 11

8 29 14

Pg. 3



PGINA 127

Busca regularidades y generaliza

Un juego de chas y un reto

OBJETIVO: Poner las rojas en el lugar de las verdes y las verdes en el de las rojas.

NORMAS:

Las rojas se desplazan nicamente hacia la derecha, y las verdes, hacia la izquierda.

Los movimientos se realizan avanzando a la siguiente casilla o saltando sobre una fi-cha contraria.

CUENTA Y COMPLETA LA TABLA:

N. DE FICHAS DE CADA COLOR 1 2 3 4

N. DE MOVIMIENTOS ? 8 ? ?

Observa los resultados, busca regularidades y, si puedes, generaliza: Cuntos movi-mientos hay que realizar para n fichas de cada color?

N. DE FICHAS DE CADA COLOR 1 2 3 4 5 n

N. DE MOVIMIENTOS 3 8 15 24 35 n (n + 2)

REGULARIDADES 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7

Pg. 1

Soluciones a la AutoevaluacinSoluciones a la Autoevaluacin6


PGINA 127

Sabes buscar soluciones de ecuaciones lineales con dos incgnitas, representarlas en el plano y localizar el punto de corte?

1 a) Busca tres soluciones de la ecuacin 2x y = 3.

b) Dibuja en los mismos ejes 2x y = 3 y x + y = 0, y di cul es la solucin del siste-ma que forman.

a) x = 0, y = 3; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1

b)


P(1, 1)

Reconoces los sistemas que tienen infinitas soluciones y los que no tienen ninguna?

2 Cul de los sistemas siguientes no tiene solucin y cul tiene in nitas soluciones?

a)

6x 3y = 9 2x y = 3

b)

2x + y = 5 4x + 2y = 9

a) Tiene infi nitas soluciones. b) No tiene solucin.

Conoces los distintos mtodos de resolucin de sistemas y los aplicas con agilidad y efi-cacia?

3 Resuelve:

a)

x y = 2 2x 3y = 5

b)

x + 13

+ y = 1

x 34

+ 2y = 1

a)

x y = 2 2x 3y = 5

8

x = 2 + y2(2 + y) 3y = 5

8

x = 2 + y4 + 2y 3y = 5

8

8

x = 2 + yy = 1

8

x = 2 1 = 1y = 1


Pg. 1



b)

x + 13

+ y = 1

x 34

+ 2y = 1 8

x + 1 + 3y = 3x 3 + 8y = 4

8

x + 3y = 2x + 8y = 7

8

x = 2 3yx = 7 8y

8

8 2 3y = 7 8y 8 8y 3y = 7 2 8 5y = 5 8

8 y = 1 8 x = 2 3 = 1


4 Aplica el mtodo de reduccin para resolver el sistema siguiente:

7x + 2y = 12 11x 3y = 61

7x + 2y = 12 11x 3y = 61

8

77x 22y = 132 77x 21y = 427

8 43y = 559 8 y = 13

21x + 6y = 3622x 6y = 122

8 43x = 86 8 x = 2


Has aprendido a traducir problemas a sistemas de ecuaciones y resolverlos?

5 Un agricultor comprueba que en el segundo de sus dos depsitos de agua para riego hay 10 litros ms que en el primero. Traspasa 18 litros del segundo al primero y as este se queda con el doble que el segundo. Calcula la cantidad de agua que tena cada depsito.

Cantidad de agua en el primer depsito: x

Cantidad de agua en el segundo depsito: y

y = x + 10x + 18 = 2( y 18)

8

y = x + 10x 2y = 54 8 x 2(x + 10) = 54 8

8 x 2x 20 = 54 8 x = 34 8 x = 34, y = 44

El primero tena 34 l, y el segundo, 44 l.

6 Ana sale a caminar y lo hace a 4 km/h. Un cuarto de hora ms tarde sale su hijo a co-rrer por el mismo sendero y lo hace a 7 km/h. Cunto tardar en alcanzarla?

Llamemos t al tiempo que camina Ana hasta que su hijo le alcanza.

El espacio recorrido por ambos es el mismo:

e = 4te = 7(t 1/4)

8 4t = 7t 74

8 t = 712

h = 35 min

Tarda en alcanzarla: 35 15 = 20 minutos

Pg. 2



7 He pagado 83 por una cazadora y unos deportivos. En la cazadora me han rebajado el 20%, y en los deportivos, el 10%, y as me he ahorrado 17 . Cules eran los pre-cios sin rebajar?

Precio de la cazadora sin rebajar: x

Precio de los deportivos sin rebajar: y

x + y = 83 + 17 = 1000,8x + 0,9y = 83

8

x = 100 y0,8(100 y) + 0,9y = 83

8

x = 100 y0,1y = 3

8

8

x = 70 es el precio de la cazadoray = 30 es el precio de los deportivos

Pg. 3

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Tema6 _ Soluciones Matematicas 3º Eso