Temel Tanımlar ve Kavramlar-III - Mehmet Aksaraylımehmetaksarayli.com/istatistik/b5_olasilik.pdf · Olasılık Tanımları -Özet Klasik Olasılık Değerlendirmesi (Classical Probability)

1

0LASILIKKURAMI

www.mehmetaksarayli.com

Prof.Dr.MehmetAKSARAYLIDEUİİBF

EKONOMETRİBÖLÜMÜ[email protected]

2

OLASILIK(PROBABILITY)KAVRAMI

Prof. Dr. Mehmet AKSARAYLI – DEU Ekonometri

Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.

Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır.

Olasılık;

“Herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı”,

bir başka ifadeyle;

“Ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi”

anlamına gelir.

2

3Prof. Dr. Mehmet AKSARAYLI – DEU Ekonometri

Bir diğer ifadeyle OLASILIK (Probability); Bir olayıngerçekleşme şansının sayısal değeridir.

N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbifrekansı

limiti belli bir değere ulaşıyorsa, bu değer o denemenin başarıolasılığını verir. Olasılık daima 0 ile 1 arasındadır. Tüm olayolasılıklarının toplamı 1’dir.

1

0

Kesin

İmkansız

)/(lim nsn

17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmayabaşlanan olasılık, uygulamalı matematiğin birdalı olarak gelişim göstermiş ve istatistikselyorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur.

OLASILIK(PROBABILITY)KAVRAMI(Devam…)

4

TemelTanımlarveKavramlar‐I

Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarakkestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan bireylem, gözlem ya da süreçtir.

Örnek:Madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi.

Basit Olay: Bir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarakayrıştırılamıyorsa basit olaydır.

Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambilkağıdından çekilen kağıdın maça as olması.


3

5

TemelTanımlarveKavramlar‐II

Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi,

içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğindebirinin sarı birinin lacivert olması.

Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkünbasit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır.

Örnek:Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı;x: zarın üst yüzünde gelen sayıS = { x; x = 1,2,3,4,5,6 }


6

TemelTanımlarveKavramlar‐III

Ayrık Olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda geçekleşemiyorise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir

Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrıkolaylardır.

Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi olayları ayrıkolaylar değildirler. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler.

Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki tüm basitolayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklıolaylar denir.

Örnek:Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi.


4

7

ÖrnekUzayı


Tüm alternatif durumların içinde bulunduğu küme.

• Bir zarın tüm yüzeyleri:

• Oyun kartı destesinin tüm seçenekleri:

•1 madeni paranın atımında üst yüz : S={Y,T}

•Madeni bir çift paranın atımında üst yüzlerdeki yazı sayısı : S={0.1.2}

•Bir çift zar atışında üst yüzlerin toplamı: S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

OLAY: Bir deneyin ya da daha çok sonucun kümesidir.

8

ÖrnekUzayınınGörselleştirilmesi

1. Listeleme

S = {Yazı, Tura}

2. Venn Şeması

3. Kontenjans tablosu

4. Ağaç Diagramı


Listeleme:

S = {Bay,Bayan}

Venn Şeması

Çıktı

Olay: Bayan

S

BayBayan

5

9

KontenjansTablosu


Kesişen olay: Kadın, 20 yaşın altında

>20Toplam

47 16 63

Erkek 45 22 67

Toplam 92 38 130

Örnek

uzayı

Basit olayKadın

<20

S = {Bayan,<20; Bayan,>20;Bay,<20; Bay,>20}

10

AğaçDiyagramıGösterimi


Olay alternatifleri:

K

<20

>20

<20

>20

E

S = {Bayan,<20; Bayan,>20;Bay,<20; Bay,>20}

6


AğaçDiyagramıÖrneği

İki Çocuğun cinsiyet durumuna göre ağaç diyagramı


Doğru – Yanlış Şeklindeki Üç Sorunun Cevaplarına Göre Ağaç Diyagramı


7

13

OlasılığınTanımları

Klasik (A Priori) Olasılık

Frekans (A Posteriori) Olasılığı

Aksiyom Olasılığı

NOT:Busıralamaolasılıkteorisinintarihselgelişiminitanımlamaktadır.


14

KlasikOlasılık

Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıklaortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnekuzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayınınözelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir

Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.


8

15

Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilyebulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığınedir?

A: Çekilen bir bilyenin sarı olması

n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15

n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5

3

1

15

5

)(

)()(

Sn

AnAP


KlasikOlasılıkÖrneği

16

KlasikOlasılıkNiçinYetersizdir?

Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda,

Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda , Tümdengelimçıkarımlarıyapılamadığındaklasik olasılık

ile hesaplama yapılamayacağından dolayı yetersizdir.


NeYapılabilir?

Araştırılan anakitle üzerinde tekrarlı deneylergerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıtedilmelidir.

9

17

FrekansOlasılığı(GöreliSıklıkKavramı‐ RelativeFreq.)

Araştırılan anakitle üzerinde n adet deney uygulanır.Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmişise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):

P(A) = n(A) / n

olarak bulunur.


P(Olay) = X/T

X = İstenen olayın oluşma sayısı

T = Mümkün tüm olayların sayısı

Arızalı olma olasılığı = 2/100

İncelenen 100 birimden 2’si arızalı

18

FrekansOlasılığınınKararlılıkÖzelliği

Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça P(A) olasılıkdeğerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değereyaklaşacaktır. Bu duruma kararlılık özelliği adı verilir.

Bir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuzayaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değerolarak tanımlanır:

p= P(A) = lim n(A) / nn


10


FrekansOlasılığıNiçinYetersizdir?

• Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısıkaçtır?

• Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir.

• Aynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ilegerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardanhangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir?

20

AksiyomOlasılığıNedir?

Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar.

Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanınproblemlerini çözmede kullanılır.

Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Herikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda)uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır.

Bununla birlikte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayandurumlarda olasılıkların hesaplanmasında AKSİYOM OLASILIĞIyardımcı olur.

Örneğin; İlk aldığınızda İstatistik dersinden başarılı olma durumu veolasılığı?


11

21

Aksiyomlar

Aksiyom1:P(A) örnek uzayı S’deki her A olayı için P(A)0

olan bir gerçel sayıdır. Aksiyom2:

P(S)=1 { P()=0 } Aksiyom3:

Eğer S1,S2, ...Olaylarının her biri S’deki ayrık olaylar ise, diğer bir deyişle SiSj= tüm ij için ise,

P(S1S2 ...)=P(S1)+P(S2)+...


22

SadeceAksiyomlarYeterlimi?

HAYIR

Bu aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı birmodel geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnekuzayındaki her bir A olayı için olasılığın hesaplanmasındakullanılacak bir FONKSİYONA ya da bir KURALA gereksinimvardır


12

23

ÖrnekUzayınTipleri

Bu fonksiyonlar İlgilenilen anakütleninTanımladığı ÖRNEK UZAYINA Göre FarklılıkGösterir.Sık karşılaşılan üç farklı örnek uzayı;

Sonlu elemanlı kesikli örnek uzayı(sayılabilir sonlu) Genel kesikli örnek uzayı (sayılabilir sonsuz) Sürekli örnek uzayı (sayılamaz sonsuz)

olarak ifade edilir.


24

ÖrnekUzayıÖrnekleri

Örnek;x : herhangi bir gün içinde yağmur yağmasıx = 0 ( yağmur yağmaz )x = 1 ( yağmur yağar )

Örnek Uzayı; S = { x / 0, 1 } veya S = { x / Yağmursuz , Yağmurlu }olarak belirlenir ve sayılabilirsonlubir örnek uzayıdır.


13

25

Örnek;x : bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısıÖrnek Uzayı;S = { x / 1,2,3,……….. } olarak belirlenir ve sayılabilirsonsuzbir örnek uzayıdır. (kesiklişansdeğişkeni)

Örnek;x : öğrencilerin boylarıÖrnek Uzayı;S = { x / 150 < x < 200 } olarak belirlenir ve sayılamazsonsuzbir örnek uzayıdır. (süreklişansdeğişkeni)


ÖrnekUzayıÖrnekleri

26

ÖrnekUzayıveOlaySayısınıBelirleyenSaymaYöntemleri

Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olaylarıngeçerli olduğu durumlarda:

Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısınınbelirlenmesi gereklidir.

Kullanılan iki temel prensip;1) Toplama Yöntemi2) Çarpma Yöntemi


14

27

ToplamaYöntemi

Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklışekilde oluşabilen ayrık olaylar ise;

A veya B olayı n +m farklı şekilde oluşabilir.

Örnek: İstanbul’dan İzmir’e 2 farklı tren seferi,4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve 1 adetdenizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul’dan İzmir’ekaç farklı şekilde gidilir?

2 + 4 + 40 + 1 = 47


28

ÇarpmaYöntemi

Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklışekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkünolaylar ise;

A ve B olayı n * m farklı şekilde oluşabilir.

Örnek: Bir iskambil destesinden çekilen iki kartın birininKupa diğerinin Maça olması kaç farklı şekildegerçekleşebilir?

13 * 13 =169

NOT: Çarpma yöntemi bağımsız olaylar için kullanılır.


15

29

k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortayaçıkan tüm durumların sayısı;

kr olarak hesaplanır.

Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tümmümkün durumların sayısı sayısı;

63 = 216 adettir.

Örnekuzayınınelemansayısı216’dır.


Tekrarlı Deney Durumunda Çarpma Yöntemi

30

ÖrnekUzayıveOlaySayısınınBüyükOlduğuDurumlar

Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğudurumlarda kullanılan sayma yöntemleri;

Permütasyon

Kombinasyon


16

31

Permütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir

kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

............

n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!


n n-1 2n-2 1

32

n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesneninpermütasyon sayısı …..olarak ifade edilir.

Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir vebunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamalarınsayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:

Kullanıldığıdurumlar

İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli


xn P

!!

xn

nPxn

Permütasyon(Devamı…)

17

33

Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceyegirenler kaç farklı şekilde belirlenir ?

3366*7*8)!38(

!838

P

3603*4*5*6)!46(

!646

P


Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamlarıbirbirinden farklı kaç sayı oluşturulur?

6 5 4 3 =360

PermütasyonÖrnekleri

34

Kombinasyon

n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyonsayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tümdurumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekildehesaplanır:


xn C

!!

!

xxn

nC

xn

• Kullanıldığı durumlar;

– İadesiz örnekleme

– Örneğe çıkış sırası önemsiz

18

35

Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik birkomisyon kaç farklı şekilde seçilir ?

102*3*2

2*3*4*5

!3)!35(

!535

C

452

9*10

!2)!210(

!10210

C


Örnek: 10 bay ve 5 bayan arasından 2 bay ve 1 bayan üyeiçeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur?

( 10 bay arasından 2 bay )

( 5 bayan arasından 1 bayan )

Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekildeoluşturulur.

5!1)!15(

!515

C

KombinasyonÖrnekleri


Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyonoluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunluklaişletme öğrencisi olma olasılığı nedir?

5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat

62,08568

5292

518

28310

518

18410

518

08510 C

CC

C

CC

C

CC

Örnek: Ali ve Can isimli iki arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar.Oyuna Ali başlıyor. Zar 1 veya 2 gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5gelirse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma sırasıCana geçiyor. Ali’nin bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz.Ali’nin oyunu kazanma olasılığı p olsun,

• Ali 1 veya 2 atar oyunu kazanır, olasılık : 2 / 6

• 3,4 ve 5 atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanır olasılık: (3/6)p

• İlk atışta 6 atar oyun Can’a geçer ve Can oyunu kaybeder olasılık (1/6)(1-p)

p = 2/6 + (3/6)p + (1/6)(1-p) → p = 3/4

19

37

AğaçDiyagramı

Her birinin sonucununsonlu sayıda olduğu birdenfazla deneyin tüm mümkünsonuçlarını görsel bir şekildeortaya koymak için kullanılır.


38

Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galipgeleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaçdiyagramını oluşturunuz. A

A

CA

C

C

C

A

C

A

A

C

C

AA

CA

CA

C

CC

C

C

A

A

A

A

A

C

A

C

C

AA

C C

A


Olası Durumlar;

AAA,CCC

AACA,CCAC

ACAA,CACC

ACCC,CAAA

ACACA,CACAC

AACCA,CCAAC

AACCC,CCAAA

ACACC,CACAA

ACCAA,CAACC

ACCAC,CAACA

20

ADET


20

39

OlasılıkTanımları‐ Özet

Klasik Olasılık Değerlendirmesi (Classical Probability)


Frekans (A Posteriori - Relative Freq.) Olasılığı

Sübjektif Olasılık (Subjective Probability)

P(Ei) =Number of ways Ei can occur

Total number of experimental outcomes

Relative Freq. of Ei =Number of times Ei occurs

N

Bir olayın olasılığı hakkında karar verici tarafından bir görüş veya bir hükme dayalı…

40

OlasılığınKuralları


Muhtemel Değerler ve

Toplam için Kurallar

Individual Values Sum of All Values

0 ≤ P(Ei) ≤ 1

Her bir olay Ei için1)P(e

k

1ii

k = Örnek Uzayı sayısıei = i. sonuç

Kural 1 Kural 2

21

41

OlasılıkKavramları:OlayTipleri


BasitOlay(Elementer Olay) :

Tek bir karakteristikle belirlenen olaylar

A:Bayan

B: 20 yaşın altında

C:Bir deste karttan kırmızı

kart çekilmesi

D:Bir deste karttan bir as çekilmesi

KesişenOlay:

Aynı anda gerçekleşen olaylar

A ve B, (AB): Bayan, 20 yaşın altındaC ve D, (CD): Kart destesinden kırmızı bir as çekilmesi

42

Bileşikolay(Katışık Olay) (Birbirini Engelleyen Olay):


Olaylardan biri yada diğeri gerçekleşir, birden çok sonuçtan oluşur.

C yada D, (CD): Bir deste karttan kırmızı veya as çekme


22

43


BağımlıveBağımsızOlaylar BağımsızOlaylar(Independent Events) : Eğer bir olayın ortaya

çıkması (occurrence) öteki olayın ortaya çıkma olasılığını etkilemiyorsa, olaylar bağımsız olaylardır.

E1 = Madeni bir para atma deneyinde tura gelmesiE2 = Aynı paranın 2. atışında yazı gelmesi

İkinci atığın sonucu önceki atışın sonucuna bağlı değildir.

BağımlıOlaylar(Dependent Events): Bir olayın ortaya çıkması diğerinin ortaya çıkması olasılığını etkiliyorsa bağımlı olaylardır.

E1 = Meteorolojiden yağmur tahmini yapılmasıE2 = Evden çıkarken şemsiye alınması

İkinci olayın sonucu 1.olayın sonucuna bağlıdır.


44

BasitOlaylariçinToplamaKuralı

Bir Ei olayını olasılığı Ei olayını oluşturan çıktıların olasılıklarının toplamına eşittir.

Şöyle ki;

Ei = {e1, e2, e3}

dolayısıyla:P(Ei) = P(e1) + P(e2) + P(e3)


Kural 3

23

45

Tamamlayıcı(Bütünleyici‐ Complement)Olay

Bir E olayının tamamlayıcısı E olayını içermeyen mümkün tüm basit olaylar kümesidir. Tamamlayıcı olay E ile gösterilir.

TamamlayıcıKural


P(E)1)EP( E

E

1)EP(P(E) veya,

İki olay kesinlikle aynı anda olamaz.Para atımında aynı anda hem yazı hem de

tura gelemez.

46

İkiOlayİçinToplamaKuralı


P(E1 veya E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 and E2)

E1 E2

P(E1 veya E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 and E2)Kesişimi iki kere sayma!

■ Toplama Kuralı:

E1 E2+ =

Kural 4

24

47

ToplamaKuralıÖrneği


P(Kırmızı or As) = P(Red) +P(As) - P(Red and As)

= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52Kesişimi iki kere sayma!Siyah

RenkTip Kırmızı Toplam

As 2 2 4

As Değil 24 24 48

Toplam 26 26 52

48

AyrıkOlaylarİçinToplamaKuralı

Eğer E1 ve E2 ayrık olaylarsa,

P(E1 ve E2) = 0

Bu yüzden,


P(E1 veya E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ve E2)

P(E1 veya E2) = P(E1) + P(E2)

E1 E2

Kural 5

25

49

KoşulluOlasılık

Bir olayın gerçekleştiği bilindiği durumlarda diğer bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.

P(A | B) = P(A ve B)P(B)

B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının gerçekleşme olasılığı

P(A | B) = P(A) ise, A ve B birbirinden bağımsız olaylardır.


Kural 6

50

KontenjansTablosuyardımıylakoşulluolasılıkhesabı:


Bir desteden çekilen bir kartın siyah olduğu bilindiğine göre as olma olasılığı nedir?

RenkTip Kırmızı Siyah Top.

As 2 2 4

As değil 24 24 48

Toplam 26 26 52

26

2

52/26

52/2

P(Siyah)

Siyah) VE P(As = Siyah) | P(As

26

51

KoşulluOlasılıkÖrneği

Kliması olan bir arabanın CD çalarının olması olasılığı nedir?

P(CD | AC) = ?


İkinci el araba pazarındaki arabaların 70% klima (KL) ve 40% CD çalar (CD) ve 20%’sinin ise her ikisine de sahip olduğu tespit edilmiştir.

52

ConditionalProbabilityExample


CD YokCD Toplam

KL .2 .5 .7

KL Yok .2 .1 .3

Toplam .4 .6 1.0

İkinci el araba pazarındaki arabaların 70% klima (KL) ve 40% CD çalar (CD) ve 20%’sinin ise her ikisine de sahip olduğu…

.2857.7

.2

P(AC)

AC) veP(CDAC)|P(CD

27

53

Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya,% 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.

a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgiduyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığınedir?

b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?

T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35

a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?

b)

P(S)

S)P(TP(T/S)

0,140,35*0,40P(S)*P(T/S)S)P(T


91,00,14-0,350,70

S)P(T-P(S)P(T)S)UP(T


54

BağımsızolaylarİçinKoşulluOlasılık

Bağımsız olaylar E1 , E2 için koşullu olasılık:


)P(E)E|P(E 121 ile şartı 0)P(E2

)P(E)E|P(E 212 ile şartı 0)P(E1

Kural 7

28

55

Örnek: Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğindehedefin vurulma olasılığı nedir?A = Ali’nin hedefi vurması P ( A ) = 0,65C = Can’ın hedefi vurması P ( C ) = 0,40 P ( A U C ) = ?

P( A U C ) = P ( A )+ P ( C ) – P ( A ∩ C )

Ali ile Can’nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan;

P ( A ∩ C ) = P ( A ) . P ( C ) = 0,65 * 0,40 = 0,26

P( A U C ) = 0,65 + 0,40 – 0,26 = 0,79



56

ŞartlıOlasılıklarınBilindiğiDurumlardaTekBirOlayınOlasılığınınBulunması


1B 2B

3B4B

5BA

Aşağıdaki şekilde A olayının birbiriyle ayrık olan5 farklı olayın birleşiminden meydana geldiği görülür.

29

57

A olayı her bir B olayı ile kesişimleri cinsinden ifade edildiğinde;(birbiriniengelleyen olayların birleşiminin olasılığı toplama kuralına göre)


)(....)()()( 521 BAPBAPBAPAP

)()./()( iii BPBAPBAP

)()/()()/(

)()/()()/()()/()(

5544

332211

BPBAPBPBAP

BPBAPBPBAPBPBAPAP

58

Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir.1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir.Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast geleseçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir.A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) = ?Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi

P(B1) = P(B2) + P(B3)

P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 olduğundan;

P(B1) = 0,50 P(B2) = P(B3) = 0,25 olarak elde edilir.


)()/()()/()()/()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)=0,025

Depodan seçilen 1000 ürünün 25 tanesinin hatalıdır.


30

59

ÇarpmaKuralı

İki olay E1 ve E2 için çarpma kuralı:


)E|P(E)P(E)E VEP(E 12121

)P(E)E|P(E 212 Not: Eğer E1 ve E2 bağımlı olaylar ise, yani

Çarpma kuralı basit çarpma olarak oluşur:

)P(E)P(E)E VEP(E 2121

Kural

Kural

60

AğaçDiyagramÖrneği


DizelP(E2) = 0.2

BenzinP(E1) = 0.8

Binek: P(E4|E1) = 0.5

P(E1 and E3) = 0.8 x 0.2 = 0.16

P(E1 and E4) = 0.8 x 0.5 = 0.40

P(E1 and E5) = 0.8 x 0.3 = 0.24

P(E2 and E3) = 0.2 x 0.6 = 0.12

P(E2 and E4) = 0.2 x 0.1 = 0.02

P(E3 and E4) = 0.2 x 0.3 = 0.06

Binek: P(E4|E2) = 0.1

31

61

BayesTeoremi

1.Eski olasılıkların yeni bilgiler ışığında güncellenmesi için kullanılır.

2.Koşullu olasılığın bir çeşididir.

3.Tamamen ayrık olaylar için uygulanır.


Yeni Bilgi

YenilenmişOlasılık

BayesTeoremi

İlk Olasılık

62

P(B | A) =P(A | B P(B )

P(A | B P(B ) + + P(A | B P(B )

P(B A)P(A)

ii i

1 k k

i

1

)) )

BayesTeoremininFormülü


Aynı olay

Tüm Bi’ler aynı olaydır. (örn. B2)!

32

63

BayesTeoremi

Sonucun bilindiği durumda sebebin hangiolasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ileilgilenir.

Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen birilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadangelmesinin olasılığı araştırıldığında BayesTeoremine ihtiyaç duyulmaktadır.


k

iii

iii

i

BPBAP

BPBAP

AP

BAPABP

1)()/(

)()/(

)(

)()/(

64

))P(BP(A/B))P(BP(A/B))P(BP(A/B

))P(BP(A/B/A)P(B

332211

111

40,05)(0.04)(0.25)(0.02)(0.2)(0.02)(0.5

)(0.02)(0.5/A)P(B1

Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğinegöre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;

BayesTeoremiÖrneği


Documents

Temel Tanımlar ve Kavramlar-III - Mehmet Aksaraylımehmetaksarayli.com/istatistik/b5_olasilik.pdf · Olasılık Tanımları -Özet Klasik Olasılık Değerlendirmesi (Classical Probability)