olasılık kuramı

8/8/2019 olaslk kuram

1/16

Olaslk KuramveBaz Olaslk Dalmlar

OLASILIKn Sbjektif gr: Bir olayn gerekleeceine olan inan,

olaylar hakkndaki bilgi derecesine baldr.n Klasik gr: bir olayn olasl, gzlem ve deneye

dayanmadan, teorik bir modelden elde edilen sonularlabelirlenebilir.

n Ampirik gr: bir olayn olasl, bir veya birok

gzlem ve deneyden elde edilen sonulardanbelirlenebilir.Yani, A olaynn n saydaki denemede x keregereklemesi halinde olaslkP(A)=x/ndir

KAVRAMLAR

n Deney: belirli koullar altnda tekrarlanabilen ve hertekrarda farkl sonular elde edilebilen ilemdir.

n rneklem uzay: bir denemenin tm olas sonularngsteren S kmesine rneklem uzay denir.

n rneklem noktalar: rneklem uzaynn elemanlarrneklem noktalardr.

n Olay: rneklem uzaynn her alt kmesi bir olay olaraktanmlanr (A, B).

Deney ve rneklem Uzay

Deney rnek Uzay Yaz-Tura atlr Tura,Yaz2 Para Yaz-Tura atlr TT, YZ, TY, YY

Kart Seildiinde, 2, 2, ..., A (52)Kart Seildiinde Krmz, SiyahKaliteye Baklnca Kalitesiz, KaliteliCinsiyete Baklnca Erkek,BayanMsabaka Yapldnda Kazanr, Kaybeder, Berabere


2/16

Basit ve Bileik Olay

n Bir tek kts olan ve kendisinden baka olaylaraayrtrlamayan olaylara basit olay; birden fazlabasit olaydan oluan olaylara bileik olay denir.

n r. Bir zar atldnda 3 gelmesi basit bir olaykenatlan zarn ift gelmesi bileik bir olaydr.

n Muhtemel olay: bir deneyden kabilecek herbasit olay.

n Ayrk olay: arakesitleri bo olan olaylar

Bileik ve Ayrk Olay

Olaslk Tablosu

Aa Diyagram


3/16

OlaslknP - olaslk.

nA, B, ve C - belirli bir olay.

nP(A) -A olaynn oluma olasl:

bir deneyin ok sayda tekrarnda, bir olayngzlenme oranna o olayn olasl denir

P(A) = A olayna ait sonularn saysMuhtemel btn sonularn says

r: Bir zarn atlmas sonrasnda 5 gelmesiP(A)=1/6

Yaz-Tura Denemesi (T)

1900lerde ngiliz istatistiki Karl Pearson 24000 kez Yaz TuraAtm oyun sonunda 12012 kez Tura Gelmitir. P(T)=0.5005

Olaslk- Temel zellii

n P(A)=1 kesin olay

n P(A)=0 imkansz olay

n Kesin ve imkansz olaylardnda kalan btnolaylarn olaslklar

0 ile 1 arasndadr.

0


4/16

Birleik Olaylar

n ki olayn bileimi: (A U B), (A veya B)

Zar atma deneyinde:

A: bir tek say gelmesi, A={1, 3, 5}B: 2den byk bir say gelmesi, B={3, 4, 5, 6}

(A U B)={1, 3, 4, 5, 6}

n ki olayn kesiimi: (A B), (A ve B)

(A B) ={3, 5}

Olaslk Kurallar

n Toplama Kural

nAyrk olaylar

nP(A U B)=P(A)+P(B)

nBirleik olaylarnP(A U B)=P(A)+P(B)-P(A B)

Ayrk olaylar(Birbirini Engelleyen olaylar)

n Bir maazaya giren mteri 0.2 olaslkla lacivert,0.3 olaslkla siyah bir takm elbise alacaktr. Bumterinin maazadan iki takmdan birisini almaolasl nedir?

nP(A U B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5

Birleik olaylar(Bir Arada Oluabilen Olaylar)

n 52lik bir deste oyun kadndan rasgele seilen 2kadn kupa veya as olma olasl nedir?

n P(K)=13/52

n P(A)=4/52n P(A K)=1/52

nP(A U K)=P(A)+P(K)-P(A K)=13/52+4/52-1/52=16/52=4/13


5/16

Olaslk Kurallar

Tmleme:

P(A) + P(A) = 1

Koullu Olaslk

P(B A) =P(A B)

P(A)

A olaynn olmasdurumundaB olaynn olmasolasl

Bir zar deneyinde sonucun bir ift sayolduu bilindiine gre 2 olma olaslnedir?

ve

S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

B ={2}

A ={2, 4, 6}

AB={2}

P(A)=3/6=1/2

P(AB)=1/6

P(B | A)=[1/6]/[3/6]

=1/3

Bamlve Bamsz olaylar

ki veya daha fazla olay meydana geldiinde birolayn meydana gelmesi dierinin meydanagelmesini etkiliyor ise baml, etkilemiyor isebamsz olay olarak adlandrlr.

n arpma Kural

nBaml olaylar

nP(A B)=P(A).P(B|A)

nBamsz olaylarnP(A B)=P(A).P(B)

Olaslk Kurallar


6/16

Baml Olayn Bir makinenin retmi olduu 50 paradan 10 tanesinin

kusurlu olduu bilinmektedir. Bu paralardan rasgele 2para ekildiinde (yerine koymakszn) her ikisinin dekusurlu olma olasl nedir?

n P(A): ekilen birinci para kusurlu =10/50

n P(B): ekilen ikinci para kusurlu

n P(B|A)=9/49

n P(A B)=P(A) . P(B|A)=10/50 . 9/49=0.0367

Bamsz Olay

n ki zarn birlikte havaya atld bir deneyde her ikizarnda 4 gelme olasl nedir P (4, 4) ?

nP(A)=1/6

nP(B)=1/6nP(A B)=P(A).P(B)=1/6 . 1/6=1/36

Bayes Teoremi

eitli sebeplerin ayn sonucu verebildii durumlardabazen sonu bilindii halde bunun hangi sebepten ilerigelmi olduu bilinmeyebilir. Szkonusu sonucunhangi olaslkla hangi sebepten ortaya kt

aratrlmak istendiinde Bayes Teoremi kullanlr.

0.040.50M3

0.030.30M2

0.020.20M1

Bozuk retim Oran%

retimdeki %pay

MakineBir gnlk retimsonrasnda bir rnseilmi ve bozukolduu grlm.Bu rnn M3teretilmi olma

ihtimali nedir?

( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( 3). 33

( 3). 33

( 1). 1 ( 2). 2 ( 3). 3

0.50 0.04 0.023 0.606

0.20 0.02 0.30 0.03 0.50 0.04 0.033

P M P B M P M B

P B

P M P B M P M B

P M P B M P M P B M P M P B M

P M B

=

=+ +

= = =

+ +

Bayes Teoremi


7/16

Rastsal Deiken

nHangi deeri alaca nceden bilinmeyen ve belliolaslklarla eitli deerler alabilen deikene rastlant(rastsal) deiken adverilir.

nOlaslk fonksiyonu: bir rastlant deikenin alabileceideerlerle, bu deerleri alabilmesi olaslklar arasndakiilikiyi gsteren bir fonksiyondur.

koulunu salayan f(x) fonksiyonuna xin olaslk younlukfonksiyonu denir

( ) 0 ( ) 1 f x ve f x dx

+

=

RASTSAL DEKEN TR

- Kesikli rastsal deiken sonlu sayda deer alan bir deiken olabilecei gibi,sonsuz sayda deer de alabilir.

Sonlu deer alan bir kesikli rastsal deiken:x =' 1 gnde satlan TV says' olsun ve x 5 farkl deer alabilirse(rnein : 0, 1, 2, 3, 4)

Sonsuz deer alabilen bir kesikli rastsal deiken:x = '1 gnde gelen mteri says' ve 0, 1, 2, . . . Deerlerini alabilirGelen mteri saysn sayabiliriz, ama gelebilecek mteri says iin bir stlimit saptayamayz.

Srekli rastsal deiken- Srekli rastsal deiken snrl ya da snrsz belli bir aralktaki btn deerlerialabilen rastsal deikendir. Srekli bir deikenin alabilecei deerler saylamaz.

Rastlant DeikeninBeklenen Deeri ve Varyans

[ ]

1

22 2

1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

i

in

i

i

E X x P x

V X x P x E X

=

=

=

= =

n Bir kitabn sayfalarndaki yanl saysn gsteren xin (0,1, 2) olaslk fonksiyonu P(X=x), (0.8, 0.4, 0.02) sras ileverilmitir.

n Sayfa bana ortalama yanl saysnve varyansnhesaplaynz.

[ ]

1

22 2

1

2 2 2 2

( ) ( ) 0(0.8) 1(0.18) 2(0.02) 0.22

( ) ( ) ( )

0 (0.8) 1 (0.18) 2 (0.02) (0.22) 0.216

n

i

i

n

ii

E X x P x

V X x P x E X

=

=

= = + + =

= =

= + + =


8/16

Olaslk Dalmlar

Rastsal bir deiken iin Olaslk dalm deikenindeerleri iin olaslklarn nasl daldklarn tanmlar.

KESKL, OLASILIK DAILIMLARI- Binom Olaslk Dalm- Poisson Olaslk Dalm- Hipergeometrik Olaslk Dalm

SREKL OLASILIK DAILIMLARI- Dikdrtgen (UNIFORM) Olaslk Dalm- NORMAL DAILIM- STEL DAILIM

KESKL OLASILIK DAILIMI

Binom Dalmn Birbirinden bamsz ve iki sonulu olaylar binom dalm

gsterir

n birbirinden bamsz deneme says.

x ndenemede istenilen olayn gelme says

p istenilen olayn ortaya kma olasl.

q istenmeyen olayn ortaya kma olasl

P(x) n denemede x sayda istenilen olayn ortayakma olasl

P(S) = p (p= baarl olma olasl)

P(F) = 1 p = q (q= baarsz olma olasl)

Binom Dalm

n Her deneme iin p sabittir

n Denemeler bamszdr

n Her deneme iin iki sonu vardr

n

Deneme says n sonlu bir deere varr

0,1,2.....,( , , )

0 '

x n xn

p q x np x n p x

dier x ler iin

= =


9/16

Binom Dalmx= 0, 1, 2, . . ., n

P(x) = px qn-xn!(n x)!x!

n denemedetam x adet

baarl sonusays

x adet baarlsonu elde etmeolasl

Standart sapma = n p q

ortalama = np

Varyans 2 = npq

Binom Dalm

0


10/16

Poisson Dalm (ender olaylar dalm)Aada belirtilen koullar salandnda binom dalm

poissona yaklar ve binom yerine poisson dalm kullanlabilir

v n 100v np 10

Poisson dalmnda ortalama tahmininde binom dalm kullanlabilir

= = n p

Poisson dalm deney saysnn ok fazla, fakat meydana gelmeolaslklar ok dk olan olaylarla ilgili problemlerde ok uygunsonular vermektedir. r. Bir lkedeki doal afetlerin, bir i yerindekii kazalarnn vs. dalm. (p0.01 ve =np5)

Poisson Dalm (ender olaylar dalm)

Poisson Dalm (ender olaylar dalm)

rnek:

n Gnde 1500 para reten bir makinenin kusurlu pararetim oran %0.01 dir. Her saat banda retim hattndanalnan 100 parann incelenmesi sonucu 2den fazla bozukbulunduu durumda retim durdurulacaktr. retimindurdurulma ihtimali nedir?

E(X)= = 2=n.p=100.0.01=1

[ ]

( ) ( ) ( )0 1 21 1 1

( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 2)

1 1 11 0.0803

0! 1! 2!

p x p x p x p x p x

e e e

> = = = + = + =

= + + =

P(x) = x e-

x!


11/16

SREKL OLASILIKDAILIMLARI

SREKL OLASILIK DAILIMLARI

-- Srekli bir deikenin zel bir deeri iin olaslkdeeri sfrdr, yani P(X=xi)=0 dr.

- Srekli bir deikenin (a,b) gibi bir ararlkta

herhangi bir deer almas olasl pozitiftir.- P(a


12/16

Olaslk younlu fonksiyonu:f (x ) = 1/100 , 150 < x < 250

= 0 dier x deerleri iinx = tabaktaki salatann arl

Normal Dalm (Gaus)

n Normal dalm, belirli bir deikene ilikin gzlemleri iki udeer arasnda sralayan dizilerin gsterdii varsaylan birdalmdr. Bu dalm, diziyi oluturan gzlem veya deerlerin,ounluunun ortalama evresinde toplanmasve u deerleredoru giderek azalmas biiminde belirir.

2

2

( )

21

( ) ( , , )2

2.718, 3.14

x

f x N x e

e

= =

= =

Normal Dalm (Gaus)

n Normal dalm erisi an erisi olarak da bilinir.n Erinin tepe noktas ortalamaya karlk gelir. Bu dalmda

ortalama, medyan (ortanca) ve mod (Tepe deer) ayndr.n Normal dalm erisi ortalamaya gre simetriktir.n Standart sapma erinin geniliini belirler, yani standart sapma

bydke deikenin alaca en kk deer ile en byk deerarasndaki aklk byr.

n Erinin altnda kalan alann tamam 1 birimdir.n Normal dalma ilikin olaslklar normal dalm younluk

fonksiyonunun belirledii erinin altnda kalan alanlar olarakhesaplanr.


13/16

Normal dalma sahip bir seriden Ampirik (68-95-99.7) kural

Standart Normal Dalm

n Ortalamas sfr ve standart sapmas 1 olannormal dalma sahip bir deikenin dalmnastandart normal dalm denir.

n Standart Normal dalma sahip deikenler Z ilegsterilir.


2( )

21

( )2

z

f z e

=

Standart Normal Dalma Dnm

n z deeri normal dalm bir X deikeninin ald birzel x deerinin kendi ortalamas 'den uzaklnnstandart sapma cinsinden lsdr.

xz

=


14/16


P(x


15/16

zm

z = (x - )/= (20 - 15)/6 = .83

Standart normal dalm tablosundanz = 0 ile z = .83 arasnda kalan alan . 2967 olarak vermektedir.Bizim ilgili olduumuz alan yukardaki grafikte gsterilen yeil alan olup bu da0.5 - 0.2967 =0.2033. Olarak hesaplanr. Bu da aranan olaslk deeridir.

Standart normal dalm tablosukullanm (Z=0.83)

,3389,3365,3340,3315,3289,3264,3238,3212,3186,3159,9

,3133,3106,3078,3051,3023,2995,2967,2939,2910,2881,8

,2852,2823,2794,2764,2734,2704,2673,2642,2612,2580,7

,2549,2518,2486,2454,2422,2389,2357,2324,2291,2257,6

,2224,2190,2157,2123,2088,2054,2019,1985,1950,1915,5

,1879,1844,1808,1772,1736,1700,1664,1628,1591,1554,4

,1517,1480,1443,1406,1368,1331,1293,1255,1217,1179,3

,1141,1103,1064,1026,0987,0948,0910,0871,0832,0793,2

,0753,0714,0675,0636,0596,0557,0517,0478,0438,0398,1

,0359,0319,0279,0239,0199,0160,0120,0080,0040,0000,0

,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00z

Standart normal dalm tablosu-ile z aras alan (z=1.23)

P (2.00 < z< 1.50) =?

P (z < 2.00) = 0.0228P (z < 1.50) = 0.9332P (2.00


16/16

P (z> 1.23) = 0.8907

P(Z) Verildiinde znin bulunmas(Tek yanl)

5% or 0.05

1.645

P(z)=0.95z=1.6+0.045=1.645

P(Z) Verildiinde znin bulunmas(ift yanl)

Documents

olasılık kuramı