Temperature & the Kinetic Theory of Gases

溫度與氣體動力理論溫度與氣體動力理論

Temperature & HeatTemperature & Heat溫度 熱

高溫 低溫高溫 低溫energy能量

Heat 是一種可藉由 temperature 差異傳輸的 energy：若無溫度差，就沒有 heat 傳遞若無溫度差 就沒有 heat 傳遞

The Zeroth Law of Thermodynamics熱力學第零定律

無法以其他原理證明 但自然界中從未違反無法以其他原理證明，但自然界中從未違反

兩系統溫度相同兩系統溫度相同 系統間無 heat 傳遞

咖啡溫度 > 體溫熱量：咖啡 => 身體熱量 咖啡 身體感覺熱

冰水溫度 < 體溫熱量：身體 => 冰水熱量：身體 => 冰水感覺冷

Celsius and Fahrenheit Scale攝氏 華氏 尺度

Celsius and Fahrenheit Scale

水的沸點（boiling point or steam point）100ºC = 212ºF100 C 212 F

相差100ºC

相差180ºF

水的冰點（ ）水的冰點（ice point or freezing point）0ºC = 32ºF

Conversion between Celsius & 轉換

Fahrenheit Scale

100ºC 212ºF線性內插轉換：

ice point 到 boiling point兩側溫度對基準溫度差的比例相同 =

ice point 到 boiling point

=T(ºC) T(ºF)T( C) T( F)

( ) ( ) 320 −− FTCT oo0ºC 32ºF

( ) ( )180100

==

( ) ( )[ ]F32F95 ooo −= TCT

( ) ( ) F32C9 ooo += TFT移項最好不要用記憶的方法

( ) ( )5

溫度差：

( ) ( )F5C oo TT ΔΔ

( ) ( )9

( ) ( )F95C oo TT Δ=Δ 攝氏變化度數 = 華氏變化度數 x 5/9

華氏變化 1 度 = 攝氏變化 5/9 度

( ) ( )C59F oo TT Δ=Δ 華氏變化度數 = 攝氏變化度數 x 9/5

攝氏變化 1 度 = 華氏變化 9/5 度

位置 = 比例 x 基準長度 + 原點位置位置 = 比例 x 基準長度 + 原點位置i i t

使用： 位置 = 比例 x 基準長度 + 原點位置boiling boint 對 ice point 溫度差

ice point

80ºF = ？ºC 比例 = (80 – 32)/180 = 0.267基準長度 = 100

由 ºF 側得到

於 ºC 側計算

溫度差

位置 = (0.267)(100) + 0 = 26.780ºF = 26.7ºC

於 C 側計算

於 ºF 側計算-273.15ºC = ？ºF 比例 = (-273.15 – 0)/100 = -2.7315

基準長度 = 180由 ºC 側得到

位置 = (-2.7315)(180) + 32 = -459.67-273.15ºC = -459.67ºF

也適用於比例 > 1 或 < 0 的情況

例題例題某非洲小國（小國比較愛搞怪）自定一溫度刻度，規定：某非洲小國（小國比較愛搞怪）自定一溫度刻度 規定冰點為 200ºX沸點為 50ºX，（冰點還比沸點數值高）問：(1) 30ºC = ？ºX (2) 120 ºX = ？ ºF

(1) 比例 = (30 – 0)/100 = 0.3 由 ºC 側得到(1) 比例 (30 0)/ 00 0 3基準長度 = 50 – 200 = -150位置 = (0.3)(-150) + 200 = 155

於 ºX 側計算

30ºC = 155ºX(2) 比例 = (120 – 200)/(-150) = 0.533 由 ºX 側得到

基準長度 = 212 – 32 = 180位置 = (0.533)(180) + 32 = 128120ºX 128ºF

於 ºF 側計算

120ºX = 128ºF不必換算成攝氏後再換為華氏

或者是以 boiling point 為原點或者是以 boiling point 為原點某非洲小國（小國比較愛搞怪）自定一溫度刻度，規定：某非洲小國（小國比較愛搞怪）自定一溫度刻度 規定冰點為 200ºX沸點為 50ºX，（冰點還比沸點數值高）問：(1) 30ºC = ？ºX (2) 120 ºX = ？ ºF

(1) 比例 = (30 – 100)/100 = 0.7由 ºC 側得到(1) 比例 (30 00)/ 00 0 7基準長度 = 200 – 50 = 150位置 = (0.7)(150) + 50 = 155

於 ºX 側計算

30ºC = 155ºX(2) 比例 = (120 – 50)/150 = 0.467 由 ºX 側得到

基準長度 = 32 – 212 = -180位置 = (0.467)(-180) + 212 = 128120ºX 128ºF

於 ºF 側計算

120ºX = 128ºF不必換算成攝氏後再換為華氏

溫度刻度轉換是線性關係溫度刻度轉換是線性關係

T(ºF)

212 ºF都相同

T(ºF) = ？ 180

都相同

若以 boiling point 為原點：

32 ºF

( )T(ºF) - 32

80 g p

都相同

T(ºC)0 ºC 100 ºCT(ºC)

T(ºC) – 0

100100

日常生活這樣用比較方便日常生活這樣用比較方便

T(ºC) T(ºF)

0 3210 5020 68

+18

+18+180

+10

+1020 6830 86… …

+18+180

+10+100

100 212

用最快的方法求 70 ºF = ？ ºC用最快的方法求 70 F ？ C

70 ºF 在 68 ~ 86 ºF 之間對應 20~30 ºC 之間所以應該是 幾度所以應該是 20 幾度ºC70 ºF 比 68 ºF 多 2 ºF，這是 18 ºF 的 1/910 ºC 的 1/9 是 1.11 ºC，所以 70 ºF 相當於 21.11 ºC

線性內插的另一用途線性內插的另一用途

統計 值表統計 z 值表：

z F(z)以 z = -1.28 及 F(z) = 0.1003 為原點

-1.281 29

0.10030 0985

… …( )

比例 = (0.1-0.1003)/(0.0985 – 0.1003) = 0.167

基準長度 = 1 29 ( 1 28) = 0 01-1.29 0.0985… …

問 ？ F( ) 0 1

基準長度 = -1.29 – (-1.28) = -0.01

位置 = (0.167)(-0.01) + (-1.28) = -1.2817

問 z = ？ F(z) = 0.1 z = -1.2817，F(-1.2817) = 0.1

-1 28 0 1003 0 1 0 1003 0 0003？ -1.28

1 29

0.1003

0 0985

z = ？ 0.1 0.0985 – 0.1003 = -0.0018

0.1 – 0.1003 = -0.0003

-1.29-(-1.28) = -0.01

？

-1.29 0.0985

The Third Law of Thermodynamics熱力學第三定律

不可能有溫度低於絕對溫度 0 度

絕對溫度 0 度是自然界所可能存在的最低溫度絕對溫度 0 度是自然界所可能存在的最低溫度

absolute pressure

absolute pressure 不可能 < 0真空時為 0

Kelvin ScaleKelvin Scale克氏溫度刻度

注意：要寫成 273.15 K不能寫成 273.15ºK

溫度差 1K = 1ºC

Thermal Expansion熱 膨脹—Linear Expansion

線性膨脹

在相同狀況下在相同狀況下ΔL/L0 都相同

Δ

Tf - Ti膨脹比率

TLL

i

Δ=Δ αLf - Li

Linear Expansion Coefficient (ºC-1)

ΔT

Lf = Li + αLi(Tf - Ti) = Li[1 + α(Tf – Ti)]

Area and Volume ExpansionArea and Volume Expansion面 體積

Δb原面積 Ai = ab膨脹後面積 A = (a + Δa)(b + Δb)

b

膨脹後面積 Af (a + Δa)(b + Δb)

a + Δa = a(1 + αΔT)b + Δb b(1 + ΔT)a

Δab + Δb = b(1 + αΔT)

若 αΔT = 0.001膨脹後面積 Af = ab(1.001)(1.001) = 1.002001abΔA = Af – Ai = 1.002001ab – ab = 0.002001abΔA Af Ai 1.002001ab ab 0.002001ab= 2AiαΔT = AiγΔT

area expansion coefficient γ = 2αarea expansion coefficient γ = 2α

同理：volume expansion coefficient β = 3α

AΔ TAA

i

Δ=Δ γ γ = 2α

TVV

i

Δ=Δ β β = 3α

i

Expansion

洞變大

α小

α大

加熱 冷卻

遇熱時 冷卻劑體積增加量 水箱體積變化量遇熱時，冷卻劑體積增加量 > 水箱體積變化量

例外的狀況 水例外的狀況—水

l 增加volume 增加mass 不變density 減少

volume 增加mass 不變density 減少y

Ideal GasIdeal Gas

氣體分子距離 分子間作用力有效範圍

理想氣體

• 氣體分子距離 >> 分子間作用力有效範圍• 氣體分子體積可忽略

– 溫度不能太接近液化溫度– 壓力不能太接近液化壓力– 適用於高溫低壓（相對於達到液化的狀況）– 一般常溫常壓氣體下氣體（N2、O2、H2 等）均適2 2 2用

– NH3、CO2 等易液化的氣體可能不適用– 蒸汽（steam）不適用– 相同體積內含有相同數目的分子

10 atm 1 mole CO10 atm 1 mole CO2

3

4

2

3

V(L

)

真實氣體

1理想氣體

0200 300 400 500

T (K)( )

分子間距離減少分子間作用力變大分子間作用力變大

所有 ideal gas 的基準狀況所有 ideal gas 的基準狀況Avogadro’s Number NA

n = 1 mole （6.022 x 1023 個）分子T = 25ºC（298.15 K）

g A

P = 1 atm （1.013 x 105 Pa，760 mmHg）V = 24.45 L（2.445 x 10-2 m3）

分子量（每莫耳的質量）

莫耳數 n = m/M = mass/molar mass= N/NA

分子量（每莫耳的質量）

分子數目

Ideal Gas LawIdeal Gas LawPV = nRT

( )( ) J318m10445.2Pa10013.1325

=×× −

(Pa)(m3) = (N/m2)(m3) = Nm = J

宇宙氣體常數

PVR =

( )( ) Kmole31.8K15.298mole1 ⋅=universal gas constant

物理通常使用nTR

Ｐ V T n R1 013 105 P 2 445 10 2 3 298 15 K 1 l 8 31 J/ l K

物理通常使用注意：R 的數值會隨所使用的單位而異

1.013x 105 Pa 2.445 x 10-2 m3 298.15 K 1 mole 8.31 J/mole-K

1 atm 24.45 L 298.15 K 1 mole 0.082 atm-L/mole-K

760 mmHg 24.45 L 298.15 K 1 mole 62.3 mmHg-L/mole-K

1.013x 105 Pa 2.445 x 10-2 m3 298.15 K 6.022 x 1023 1.28 x 10-23 J/K

… … … … …(Boltzmann’s constant kB)

Ideal gas law 的兩種型式：

mole 數

PV = nRT 用於巨觀（macroscopic view）

PV = NkBT

分子數

用於微觀（microscopic view）

Boltzmann’s constant = 1.28 x 10-23 J/K

nR = NkBA

B NRR

nNR

Nnk ===

/1

A

Avogadro’s Number = 6.022 x 1023

同樣的氣體在常溫下變化ni = nf Ti = Tf

同樣的氣體在常溫下變化

nTPVR =

ff

ff

ii

ii

TnVP

TnVP

= ffii VPVP =ffii

Boyle’s Law不需要知道 R = ？ T = ？ n = ？但必須確定 T = T ，n = n但必須確定 Ti = Tf，ni = nf

P 減少P 增大V 減少減少

V 增大V 減少

可停留時間愈短

壓力 P

300 K

100 K

體積 V

同樣的氣體在常壓下變化ni = nf Pi = Pf

同樣的氣體在常壓下變化

nTPVR =

ff

ff

ii

ii

TnVP

TnVP

=f

f

i

i

TV

TV

= ori

f

i

f

VV

TT

=ffii

Charls’ Law：V 與 T 成正比

不需要知道不需要知道 R = ？ P = ？ n = ？但必須確定 Pi = Pf，ni = nf

將氣球加熱，氣球體積會如何變化？

密封容器氣體的壓力變化ni = nf Vi = Vf

密封容器氣體的壓力變化

nTPVR = or

ff

ff

ii

ii

TnVP

TnVP

=f

f

i

i

TP

TP=

i

f

i

f

PP

TT

=ffii fi ii PT

P 與 T 成正比

不需要知道不需要知道 R = ？ V = ？ n = ？但必須確定 Vi = Vf，ni = nf

將密封容器加熱，容器內體積會如何變化？

Kinetic Theory of GasKinetic Theory of Gas

基本假設• 基本假設– 氣體分子數相當多氣體分子數相當多– 分子平均間距遠大於分子大小分子遵循 Newton 運動定律– 分子遵循 Newton 運動定律

– 分子運動方向隨機– 分子間彈性碰撞– 分子與容器壁面彈性碰撞– 所有分子的成分相同

碰撞前

先考慮 x 方向的碰撞碰撞前

pxi = mvxm vx

碰撞後

-vxpxf = -mvxLz

碰撞前後 momentum 變化

動量 px = mvx

L

Δpx = pxf – pxi = -mvx – mvx = -2mvxLy

Lx

紀錄分子受力狀況

撞擊左牆撞擊左牆撞擊左牆撞擊左牆Fx

2Lx/vx

t

撞擊右牆 撞擊右牆 撞擊右牆 撞擊右牆

計算分子撞擊右牆所受的平均力 Fxavg：

(Fxavg)(2Lx/vx) = -2mvxx

xxavg L

mvF2

−=impulse Ix = FxΔt = Δpx衝量 = 動量變化量（momentum-impulse theorem）

x

Fxavg

2Lx/vx

面積一樣

右牆所受平均力 F （與分子受力相反） xmvF

2

=右牆所受平均力 Fxavg （與分子受力相反）x

xavg LF =

右牆所受平均壓力mvmvFP xxxavg

22一個氣體分子所造成的average pressure

右牆所受平均壓力VLLLLL

P xzyx

x

zy

xavg ===

A V

若容器中有 N 的分子 vmNP x2

對所有分子平均的結果

VNP x=

但是，分子並非只朝 x 方向運動

2222zyx vvvv ++=2222

代入2222zyx vvvv ++=

都一樣，分子運動無方向偏好222zyx vvv ==

22 3 xvv = 3/22 vvx =

2 1 注意：這是平方後

VvmNP

3

2

=2

31 vNmPV =

注意 這是平方後的平均，不是平均後的平方

2

Average kinetic energy 21 vmK =

代入代入

Average kinetic energy平均 動能

2vmK =

KNvmNPV32

21

32 2 ==

31

2

根據 ideal gas law of microscopic view

TNkPV =

TkvmK B23

21 2 ==

氣體分子 average kinetic

2

TNkPV B= 氣體分子 average kinetic energy 與絕對溫度相關

Internal Energy內能

Internal Energy單原子

macroscopic view單原子

Internal energy of a monatomic gas= 氣體分子隨機運動 kinetic energy 的總和

nRTTNkKNE Bint 23

23

===

microscopic view

22

必須使用 R = 8.31 J/mole-K

Root mean square均方根

Root mean square

2vvrms = 單位與 v 相同22 vvrms =

22 11 K22221

21

rmsmvvmK ==mKvrms

2=

( )m

TkmTkv BBrms

32/32==

MRT

NRTvrms

33==

一個分子的 mass

MmN Arms

必須使用 R = 8.31 J/mole-K分子量

平方的平均≠平均的平方平方的平均≠平均的平方

最簡單的例子：x1 = 1，x2 = -1

( ) 02

11=

−+=x 002

2==x

2

平均後平方平均後平方

1122 ==x 11+111 ==x

( ) 11 222 =−=x1

2112 =+=x 2

平方後平均

xrms = 1

平方後平均

氣體分子速率分佈氣體分子速率分佈

vmpvrmsv

Maxwell-Boltzmann distributionMaxwell Boltzmann distribution

例題例題H 原子的速率分佈

7

8

9

4

5

6

7

數目

1

2

3

4數

0

1

300 400 500 600 700 800 900

( / )v (m/s)

H 原子的 mass m = 1.66 x 10-27 kg

組別 i 速率 v m/s 數目 v 2組別 i 速率 vi m/s 數目 vi2

1 300 2 9.00 x 104

2 400 3 16.0 x 104

3 500 5 25.0 x 104

4 600 8 36.0 x 104

5 700 3 49.0 x 104

6 800 3 64.0 x 104

7 900 1 81.0 x 104

Σ 25

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )9001800370036008500540033002 ++++++

相當於 300 + 300 相當於 400 + 400 + 400

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) m/s58025

9001800370036008500540033002=

++++++=v

不能這樣算： (300 + 400 + 500 + 600 + 700 + 800 + 900)/7 = 600 m/s

撇步 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )撇步： ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) m/s58010025

91837368554332=×

++++++=v

2 22522 /sm10364.3580 ×==v

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22522222222 9001800370036008500540033002 ++++++( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2252 /sm10596.325

9001800370036008500540033002×=

++++++=v

m/s600105963 52 =×== vvR t d m/s60010596.3 =×== vvrms

( )( ) J1098.210596.21066.121

21 225272 −− ×=××⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== vmKAverage kinetic energy

Root mean square speed

22 ⎠⎝Internal energy ( )( ) J1046.71098.225 2122int −− ×=×== KNE

TkK B23

=( )( )( )( ) K4.141038.13

1098.2232

23

22

=××

== −−

BkKT

注意：用計算機計算的程序

2 X 2 ‧ 9 8 EXP

或其他科學計數鍵

(-) 2 2 ÷ 3 ÷ 1 ‧ 3 8

EXP (-) 2 3 =

or

÷ 1 0 ^ (-) 2 3

用統計的方法做做用統計的方法做做

組別 i 速率 v m/s 數目 機率 p v v (v v )2 m/s580=v組別 i 速率 vi m/s 數目 機率 pi vi -vi (vi -vi)2

1 300 2 2/25 -280 78400

2 400 3 3/25 -180 32400

m/s580=v

3 500 5 5/25 -80 6400

4 600 8 8/25 20 400

5 700 3 3/25 120 14400

6 800 3 3/25 220 48400

7 900 1 1/25 320 102400

Σ 25 1變異數 variance ( )[ ] ( ) =−=−= ∑ pvvvvE 22Var變異數 variance( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] 25/1024001484003144003400864005324003784002 ++++++

= 23200 m2/s2

( )[ ] ( ) === ∑i

iii pvvvvEVar

當 variance = 0 時，所有速率都一樣2 23200 m /s

or 225522 /sm2320010364.310596.3 =×−×=− vv

當 variance = 0 時，所有速率都一樣此時平均的平方 = 平方的平均vrms

2 – v > 02 vrms > v