Teorema de bayes

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  • 1. TEOREMA DEBAYESProbabilidad y Estadstica

2. PROBLEMA 1 (INTRODUCTORIO) En la Compaa Armadora del Norte, 3mquinas automatizadas B1, B2, B3,ensamblan 28%, 34% y 38% de losmotoresdecombustininterna,respectivamente. Despus de un anlisis exhaustivo selleg a la conclusin el 3%, 4% y 2% delos motores ensamblados por cadamquina, respectivamente, presentabandefectos. 2 3. Sise selecciona al azar uno de los motores terminados, cul es la probabilidadde que sea defectuoso?3 4. DIAGRAMA ILUSTRATIVO:SB1 A B2 B1B3 B34 5. En el esquema, el espacio muestral Sest representado por el rectngulo. Scontiene a las regiones (particiones)B1, B2, B3, que representan los eventosde la siguiente manera: Evento B1: Motor ensamblado por lamquina B1. Evento B2: Motor ensamblado por lamquina B2. Evento B3: Motor ensamblado por lamquina B3.5 6. Los eventos B1, B2, B3 son disjuntos(mutuamente excluyentes) Ntese queP (B1) + P (B2) + P (B3) =0.28 + 0.34 + 0.38 = 1 Se cumple que P (S) = 1Tambin, en el esquema, se muestra unaregin sombreada A, que representa el Evento A: Motor defectuoso.6 7. TEOREMA DE PROBABILIDADTOTAL (REGLA DE ELIMINACIN) Para resolver el problema TEOREMA: Si los eventos B1, B2,...,Bn, representan una particin delespacio muestral S tal que P (Bi) 0para i = 1, 2,..., n, entonces paracualquier evento A de SP A PBi PA Bi ni 17 8. Idea para entender como seobtiene el resultado del teorema Deldiagrama se puede notar que el evento A es la unin de los eventos correspondientes a la interseccin de A con B1, B2 y B3, de modo que nP( A) P( A Bi )i 1 8 9. DIAGRAMA ILUSTRATIVO:SB1AB1 B2 B1AB2B3 AB3 B3A9 10. Utilizando probabilidad condicionalP( A Bi )P( A Bi ) P( Bi )P( A Bi ) P( Bi ) P( A Bi ) nPor lo tanto P( A) P( A Bi ) i 1 P( A) PBi PA Bi n i 110 11. Solucin del problema 1 Aplicando elteoremade probabilidad total al problema se obtieneP (A) = (0.28) (0.03) + (0.34) (0.04)+ (0.38) (0.02)P (A) = 0.029611 12. PROBLEMA 2 Conbase en los datos del problema1, suponga que al seleccionaraleatoriamente un producto, ste seadefectuoso. La preguntas ahora sern a) cul es la probabilidad de queeste producto fuera hecho por lamquina B2? o por la mquina B3?o por B1? b) Preguntas de este tipo puederesponderse con ayuda del 12 13. TEOREMA DE BAYES TEOREMA: Si los eventos B1, B2,..., Bn representan una particin del espacio muestral S, donde P (Bi) 0 para i = 1, 2,..., n, entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) 0, PBr PA Br PBr A ; para r 1,2,, n P B P A Bi n ii 113 14. DemostracinPor probabilidad condicional se sabe que P A Br PBr A P(A)Pero comoP A PBi PA Bi ni 1EntoncesP A Br PBr A P B P A Bi n i i 1 14 15. As tambin, como P A Br PA Br P( Br )P A Br P( Br ) PA Br De modo que al sustituir en la expresinprevia se tiene quePBr PA Br PBr A P B P A Bi ni i 1 15 16. Nota ElTeorema de Bayes se aplica cuando los eventos, para los cuales deseamos calcular sus probabilidades posteriores, son mutuamente excluyentes, y la unin de todos ellos es el espacio muestral.16 17. Solucin al problema 2 Aplicando el Teorema de Bayes, con r = 2 PB2 PA B2 PB2 A PB1 PA B1 PB2 PA B2 PB3 PA B3 PB2 A 0.34 0.040.280.03 0.340.04 0.380.02 PB2 A 136 17 0.4594 296 3717 18. Con r= 3 PB3 PA B3 PB3 A PB1 PA B1 PB2 PA B2 PB3 PA B3 P (B3 | A) = (0.38*0.02) / (0.28*0.03 +0.34*0.04 + 0.38*0.02) = 0.0076 / 0.0296 P (B3 | A) = 76/296 = 19/74 = 0.2567 18 19. EJERCICIO En una biblioteca son asignadoscuatro estudiantes para colocarsellos de identificacin en loslibros: Ricardo, Rosy, Enrique yJuanita. Los sellos tienen que sercolocados estrictamente con unaorientacin vertical (al derecho). 19 20. Ricardo, que sella el 26% de los libros, nocoloca el sello adecuadamente en 1 decada 400 libros. Rosy, que sella el 34% de los libros,nocoloca el sello adecuadamente en 1 decada 460 libros. Enrique, que sella el 22% de los libros, nocoloca el sello adecuadamente en 1 decada 200 libros. Juanita, que sella el 18% de los libros, nocoloca el sello adecuadamente en 1 decada 300 libros. 20 21. Sise elige, al azar, un libro que ya pas por el proceso de sellado, y se observaquesello de identificacin ha sido colocado con una orientacin contraria (al revs) cul es la probabilidad de que el libro haya sido sellado por Juanita? 21 22. SolucinSean los eventos: A = Sello mal colocado. B1 = Libro sellado por Ricardo. B2 = Libro sellado por Rosy. B3 = Libro sellado por Enrique. B4 = Libro sellado por Juanita. Empleando Teorema de Bayes22 23. PB4 A PB4 PA B4 PB1 PA B1 PB2 PA B2 PB3 PA B3 PB4 PA B4 P (B4 | A) = (0.18*1/300) / (0.26*1/400 + 0.34*1/460 + 0.22*1/200 +0.18*1/300) P (B4 | A) = 0.1942.23