TEOREMA DE

BAYES

Probabilidad y Estadística

2

PROBLEMA 1 (INTRODUCTORIO)

En la Compañía Armadora del Norte, 3

máquinas automatizadas B1, B2, B3,

ensamblan 28%, 34% y 38% de los

motores de combustión interna,

respectivamente.

Después de un análisis exhaustivo se

llegó a la conclusión el 3%, 4% y 2% de

los motores ensamblados por cada

máquina, respectivamente, presentaban

defectos.

3

Si se selecciona al azar uno de los

motores terminados, ¿cuál es la

probabilidad de que sea

defectuoso?

4

B3

B3

B1

S

A

DIAGRAMA ILUSTRATIVO:

B1

B2

5

En el esquema, el espacio muestral S está representado por el rectángulo. S contiene a las regiones (particiones) B1, B2, B3, que representan los eventos de la siguiente manera:

Evento B1: Motor ensamblado por la máquina B1.

Evento B2: Motor ensamblado por la máquina B2.

Evento B3: Motor ensamblado por la máquina B3.

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Los eventos B1, B2, B3 son disjuntos (mutuamente excluyentes)

Nótese que

P (B1) + P (B2) + P (B3) =

0.28 + 0.34 + 0.38 = 1

Se cumple que P (S) = 1

También, en el esquema, se muestra una región sombreada A, que representa el

Evento A: Motor defectuoso.

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TEOREMA DE PROBABILIDAD

TOTAL (REGLA DE ELIMINACIÓN)

Para resolver el problema …

TEOREMA: Si los eventos B1, B2,...,

Bn, representan una partición del

espacio muestral S tal que P (Bi) ≠ 0

para i = 1, 2,..., n, entonces para

cualquier evento A de S

n

i

ii BAPBPAP1

8

Del diagrama se puede notar que el

evento A es la unión de los eventos

correspondientes a la intersección de

A con B1, B2 y B3, de modo que

Idea para entender como se

obtiene el resultado del teorema

n

i

iBAPAP1

)()(

9

B3

B3

B1

S

DIAGRAMA ILUSTRATIVO:

B1 B2 A∩B1

A∩B2

A∩B3

A

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Utilizando probabilidad condicional

)(

)()(

i

i

iBP

BAPBAP

)()()( iii BAPBPBAP

Por lo tanto

n

i

iBAPAP1

)()(

n

i

ii BAPBPAP1

)(

11

Solución del problema 1

Aplicando el teorema de

probabilidad total al problema se

obtiene

P (A) = (0.28) (0.03) + (0.34) (0.04)

+ (0.38) (0.02)

P (A) = 0.0296

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PROBLEMA 2

Con base en los datos del problema 1, suponga que al seleccionar aleatoriamente un producto, éste sea defectuoso. La preguntas ahora serán

a) ¿cuál es la probabilidad de que este producto fuera hecho por la máquina B2? ¿o por la máquina B3? ¿o por B1?

b) Preguntas de este tipo puede responderse con ayuda del

13

TEOREMA DE BAYES

TEOREMA: Si los eventos B1, B2,..., Bn

representan una partición del espacio

muestral S, donde P (Bi) ≠ 0 para

i = 1, 2,..., n, entonces para cualquier

evento A en S tal que P(A) ≠ 0,

nrpara

BAPBP

BAPBPABP

n

i

ii

rr

r ,,2,1;

1

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Demostración

Por probabilidad condicional se sabe que

)(AP

BAPABP r

r

Pero como

n

i

ii BAPBPAP1

n

i

ii

rr

BAPBP

BAPABP

1

Entonces

15

Así también, como

)( r

rr

BP

BAPBAP

rrr BAPBPBAP )(

De modo que al sustituir en la expresión

previa se tiene que

n

i

ii

rr

r

BAPBP

BAPBPABP

1

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Nota

El Teorema de Bayes se aplica

cuando los eventos, para los

cuales deseamos calcular sus

probabilidades posteriores, son

mutuamente excluyentes, y la

unión de todos ellos es el espacio

muestral.

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Solución al problema 2

Aplicando el Teorema de Bayes, con r = 2

332211

22

2BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

4594.037

17

296

136

02.038.004.034.003.028.0

04.034.0

2

2

ABP

ABP

18

Con r= 3

P (B3 | A) = (0.38*0.02) / (0.28*0.03 +

0.34*0.04 + 0.38*0.02)

= 0.0076 / 0.0296

P (B3 | A) = 76/296 = 19/74 = 0.2567

332211

33

3BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

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EJERCICIO

En una biblioteca son asignados cuatro estudiantes para colocar sellos de identificación en los libros: Ricardo, Rosy, Enrique y Juanita.

Los sellos tienen que ser colocados estrictamente con una orientación vertical (“al derecho”).

20

Ricardo, que sella el 26% de los libros, no coloca el sello adecuadamente en 1 de cada 400 libros.

Rosy, que sella el 34% de los libros, no coloca el sello adecuadamente en 1 de cada 460 libros.

Enrique, que sella el 22% de los libros, no coloca el sello adecuadamente en 1 de cada 200 libros.

Juanita, que sella el 18% de los libros, no coloca el sello adecuadamente en 1 de cada 300 libros.

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Si se elige, al azar, un libro que ya

pasó por el proceso de sellado, y

se observa que sello de

identificación ha sido colocado con

una orientación contraria (“al

revés”) ¿cuál es la probabilidad de

que el libro haya sido sellado por

Juanita?

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Solución

Sean los eventos:

A = Sello mal colocado.

B1 = Libro sellado por Ricardo.

B2 = Libro sellado por Rosy.

B3 = Libro sellado por Enrique.

B4 = Libro sellado por Juanita.

Empleando Teorema de Bayes

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44332211

44

BAPBPBAPBPBAPBPBAPBP

BAPBP

P (B4 | A) = (0.18*1/300) / (0.26*1/400

+ 0.34*1/460 + 0.22*1/200

+0.18*1/300)

P (B4 | A) = 0.1942.

ABP 4