UNIDAD PROGRAMATICATeorema de Pitágoras y Euclides

CONTENIDOS A ABORDAR EN LA UNIDAD RELACIONADOS CON

LOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDESTriángulo rectánguloTeorema de PitágorasTríos pitagóricosSemejanza (conocimiento previo)AlturaTeorema de EuclidesDemostraciones

ReconocerResolverConjeturarRelacionarDemostrarAnalizar

Reconocen la importancia del teorema de Pitágoras en la historia, por medio de sus diversas demostraciones realizadas por diferentes culturas.Reconocen la importancia del teorema de Pitágoras en la construcción de la pirámide de Kefrén.

OBJETIVO GENERAL

Desarrollan habilidades geométricas en la aplicación del teorema de Pitágoras y Euclides

OBJETIVOS ESPECIFICOS1. –Identificar los triángulos rectángulos y tríos pitagóricos

2. –Resolver problemas que involucren propiedades de los triángulos y el teorema de Pitágoras.

3. – Reconocer la importancia de las demostraciones en la geometría; y en general en la matemática.

4. – Deducir los teoremas de Euclides

5. – Aplicar los teoremas de Pitágoras y Euclides en diversas situaciones.

ORDENAR LOS CONTENIDO DE LA UNIDAD EN SECUENCIA JERARQUICADEL MAS GENERAL AL MAS PARTICULARTeorema de EuclidesDemostracionesSemejanzaTríos pitagóricosTeorema de PitágorasTriángulo rectánguloAltura

CONSTRUIR UN MAPA CONCEPTUAL QUE MUESTRE TODAS LAS RELACIONES ENTRE CONCEPTOS

Actividades de aprendizajeI) Contenido: Teorema de Euclides.

a) Actividades de Exploración

1) Con motivo de las Movilizaciones Estudiantiles, los estudiantes de la Universidad de Concepción desean realizar un espectáculo de luces; para ello desean proyectar dos haces de luz, de diferente color, en la cúspide del Campanil de dicha casa de estudio.

La gracia de esta acción es que los estudiantes de la Facultad de Matemática de dicha institución quieren que en la cúspide del campanil se logre crear exactamente un ángulo recto, es decir que los haces de luz sean perpendiculares.De esta innovadora manera de manifestarse de los estudiantes de la Universidad de Concepción; ¿podrías encontrar alguna relación con la Unidad: Triángulo Rectángulo?¿Cuál?

¿Vez algún triángulo rectángulo en la figura?

Dibújalos:

(respuesta esperada)

b) Actividad de Introducción

2) Tomemos la actividad anterior y la figura anterior. A ella le otorgaremos letras a cada

vértice, además de algunas medidas para así plantear ciertas preguntas.

Definiremos el triángulo ABC, rectángulo en C; además diremos que los haces de luz son

de 80 metros (AC) y 60 metros (BC); y la altura del Campanil es de 48 metros (CD)

aproximadamente.

Como lo muestra la figura:

Preguntas:

a) ¿Qué representan los segmentos AC, BC y AB?

(Respuesta esperada: Catetos e hipotenusa)

b) ¿Qué representan el segmento CD? ¿y los segmentos AD y BD?

(Respuesta Esperada: Altura del triángulo rectángulo.

En cuanto a los segmentos AD y BD se les inducirá a que respondan que son

proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa)

c) ¿A qué distancia debe estar el foco ubicado en el punto A del Campanil (D)? ¿y el

foco ubicado en el punto B a qué distancia?

(Respuesta Esperada: 64 metros y 36 metros)

Observemos las siguientes regularidades que ocurren en este triángulo tan particular:

Analiza el siguiente triángulo rectángulo si se repite el mismo patrón:

Primero obtén las medidas restantes:

QP = SR =

(Respuesta esperada: QP = 20 cm, SR = 9

)

c) Actividades de síntesis

3) En todo triángulo rectángulo se puede trazar la altura correspondiente a la hipotenusa,

formando la siguiente figura y dividiendo al triángulo princicipal de la siguiente forma:

Observemos que se les ha asignado las letras “p” y “q” a las proyecciones de los catetos en

la hipotenusa. Notar que al realizar esta división; como la hecha con la figura del

Campanil, se tiene tres triángulos que son semejantes entre sí, veamos por separado cada

uno de los triángulos:

Cabe resaltar que los colores azul y rojo indican que los ángulos iguales (por ser ángulos

complementarios) de esta manera se puede hacer semejanza, es decir proporcionalidad con

ellos de manera muy particular para llegar a resultados interesantes. Para ello tomaremos

los triángulos 1 y 2:

Lo obtenido corresponde al “Teorema de Euclides referente a un Cateto” y puede ser

extendido al otro cateto de la siguiente manera:

De manera que este teorema los verbalizaremos de la siguiente manera: Teorema de

Euclides referente el cateto dice que “la medida del cateto al cuadrado es igual al

producto entre la medida de su proyección por la medida de la hipotenusa”

Es decir: , donde “p” y “q” son proyecciones.

De igual manera tomaremos los triangulos 2 y 3:

Lo obtenido corresponde al “Teorema de Euclides referente a la altura”.

Este teorema los verbalizaremos de la siguiente manera: Teorema de Euclides referente a

la altura dice que “la medida de la altura al cuadrado es igual al producto de las

medidas de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”

Es decir: , donde “p” y “q” son proyecciones

De esa manera obtenemos los Teoremas de Euclides referentes a los catetos y la

hipotenusa.

d) actividades de transferencia de contenido

1) El canopy es uno de los deportes de aventura más difundidos en el último tiempo

en el sur de nuestro país. Este consiste, básicamente, en lanzarse por un cable

atado, a grandes distancias y diferentes alturas, mediante una polea y un arnés

sostenido a ella.

Supongamos que tenemos una instalación de este deporte y que se puede

representar en la siguiente figura:

Responde:

a) Suponiendo que CD es una cuerda que sujeta perpendicularmente a la cuerda

principal AB del canopy, ¿Qué longitud tiene esta cuerda?

b) Si BC es la altura del cerro donde está el canopy. ¿Cual es la distancia horizontal

de este cerro al punto A o de llegada?

2) ¿Qué distancia hay entre el origen y la recta que pasa por ( 0,5 ) y ( 3 , 0 )?

3) El dueño de un terreno rectangular de 100 metros de ancho por 250 metros de largo

desea construir su casa en uno de los vértices del terreno y, además, un puente

sobre el río que cruza diagonalmente el terreno. ¿A qué distancia de su casa estará

el puente si desea ubicarlo lo más cercano posible a esta?

4) ¿Cuánto deben medir las vigas de un techo si ambas deben ser iguales y formar un

ángulo de 90° y, además el ancho del techo es de 4 metros?, ¿qué altura tiene el

techo?