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Índice Remissivo

Sobre o Livro

Sobre o Autor

DIREITOS Autorais

Prefácio

O teorema de Pit

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Sobre o Livro

Este livro tem como objetivo divulgar um pouco da história do famoso teorema dePitágoras, algumas aplicações e exeplos.....

Boa Leitura...

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Sobre o Autor

[Linoel Batista Lanhos] Licenciado em Matemática (UEPG/2012), atualmentetutor presencial no Polo UAB de Reserva-PR.

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Copirraite

Autor

[Linoel Batista Lanhoso]Editor

[Linoel Batista Lanhoso]Copirraite © 2013 [ Linoel Batista Lanhoso]

Primeira Publicação usando Papyrus de 2013

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Embora Toda precaução tenha Sido Tomada na PREPARACAO Deste Livro, aeditora e Os Autores NÃO assumem nenhuma Responsabilidade POR Erros UOomissões, OU POR Danos resultantes da utilização das INFORMAÇÕES herecontidas.

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Prefácio

Quem foi Pitágoras?

Onde viveu?

Perguntas como essas são uma introdução a esse tão usado teorema...

Pitágoras de Samos foi hum filósofo e matemático grego. Da vida dePitágoras Quase nada PODE Ser afirmado com certeza, JA Que ELE foi Objetode Uma série de relatos tardios e fantasiosos, Como OS referentes a Viagens econtatos com Culturas Orientais Como. Parece Certo , contudo, que o filósofo tenhaNascido em 570 aC Na cidade de Samos. Fundou UMA Escola Mística eFilosófica EM Crotona (Colonias Gregas de na península Itálica), cujos Princípioswere Determinantes Pará Uma Evolução Geral da matemática e da filosofiaOcidental, podendo Sendo OS principais temas a harmonia matemática, aDoutrina dos Números EO dualismo Cósmico essencial. Acredita-se thatPitágoras tenha Sido casado com Uma física e matemática grega Theano, that foialuna SUA. Supõe-se that Ela e As Duas Filhas tenham assumido Uma escolapitagórica Apos Uma morte Fazer Marido.

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O teorema de Pitágoras.

O é um Teorema?

Na matemática, um teorema E UMA Afirmação that PODE Ser provada ComoVerdadeira atraves de Otras afirmações Já demonstradas, página Outros Comoteoremas, juntamente com afirmações anteriormente aceitas, Como axiomas.Prova E o Processo de Mostrar Que hum teorema ESTÁ Correto. O termo foiintroduzido teorema POR Euclides, em Elementos, parágrafo significar"Afirmação that PODE Ser provada". Em grego, originalmente significava"espetáculo" ou "festa". Atualmente, e Mais Comum deixar o termo "teorema"Apenas para Certas afirmações that PODEM Ser provadas e de grande"matemática importancia", O Que Torna a Definição hum tanto subjetiva.

È importante Notar que "teorema" E diferente de "Teoria".

O teorema de Pitágoras....

O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos QUADRADOS construidos Sobreos catetos (AEB) equivale à área do Quadrado construido Sobre a hipotenusa (c).Em QUALQUÉR triângulo retângulo, o Quadrado do comprimento da hipotenusaE igual à soma dos QUADRADOS dos comprimentos dos catetos.

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Demostrações:

Muitas são as demostrações do Teorema de Pitágoras...Vamos a algumas

Por comparação de áreas

Desenha-se um Quadrado de Lado b + a;

De um Modo de este subdividir Quadrado EM retângulos Quatro, Sendo DoisDELES QUADRADOS de Lados, respectively, aeb: Traça-se Dois Segmentos dereta Paralelos A Dois Lados consecutivos do Quadrado, Sendo Cada hum DELESinterno ao Quadrado e com o MESMO comprimento that o lado do Quadrado;

Divide-se Cada hum destes Dois retângulos em Dois triângulos retângulos,traçando-se como diagonais. Chama-se co comprimento de Cada diagonal;

A área da Região Que resta Ao retirar-se triângulos retângulos Os Quatro E igualab ^ 2 + a ^ 2;

Desenha-se ágora o MESMO Quadrado de Lado b + a, mas coloca-se triângulosretângulos Os Quatro noutra posição Dentro do Quadrado: a posição that DeixaDesocupada Uma Região Que É UM Quadrado de Lado C.

ASSIM, uma área da Região formada when Os Quatro triângulos retângulos Sãoretirados E igual ac ^ 2.

Como b ^ 2 + a ^ 2 representação de uma área do Quadrado Maior subtraída deda soma das áreas de dos triângulos retângulos, ec ^ 2 representação de uma área

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MESMA, ENTÃO b ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2. Ou SEJA: num triângulo retângulo oQuadrado da hipotenusa E igual à soma dos QUADRADOS dos catetos.

Por semelhança de triangulos:

This Demonstração se baseia na proporcionalidade dos Lados de Dois triângulossemelhantes, Isto É, A Razão Entre Dois Lados quaisquer correspondentes detriângulos semelhantes E um MESMA, independentemente do TAMANHO dostriângulos.

Sendo ABC triângulo retângulo hum, com o angulo reto LOCALIZADO em C,Como mostrado na figura. Desenha-se uma altura com Origem no Ponto C, echama-se H SUA intersecção com o Lado AB. O Ponto H dividir o comprimentoda hipotenusa, c, NAS contraditório de e. O novo triângulo, ACH, E semelhanteAo Triângulo ABC, pois Ambos TEM UM Angulo reto, e enguias compartilhamo Angulo em A, significando that o Terceiro Angulo E o MESMO OS Ambos emtriângulos also, 14 marcado Como θ na figura. Seguindo-se hum raciocínioparecido, Percebe-se o triângulo that also CBH E semelhante à ABC. Asemelhança dos triângulos lev à Igualdade das Razões dos Lados correspondentes:

\ Frac {a} {c} = \ frac {e} {a} \ mbox {e} \ frac {b} {c} = \ frac {d} {b}.

O Primeiro resultado E igual Ao cosseno de Cada Angulo θ EO Segundoresultado E igual Ao seno.

Relações estas PODEM Ser Escritas Como:

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a ^ 2 = c \ times e \ mbox {e} b ^ 2 = c \ times d.

Somando estas Duas igualdades, obtém-se

a ^ 2 + b ^ 2 = c \ times e + c \ times d = c \ times (D + E) = c ^ 2,

Que, rearranjada, E o teorema de Pitágoras:

a ^ 2 + b = c ^ 2 ^ 2 \.

Aplicações e exemplos:

O teorema proposto POR Pitágoras ESTÁ Presente em Situações Diversascotidianas. Vamos atraves de Exemplos demonstrar algumas applications.

Exemplo 1

Uma escada Apoiada em Uma Parede TEM SUA distante base de cerca de 6metros da Parede. Sabendo Que A Parede mede cerca de oito metros, determinar ocomprimento da escada.

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x² = 8² + 6²

x² = 64 + 36

x² = 100

√x² = √100

x = 10

Uma escada POSSUI 10 metros de comprimento.

Exemplo 2

Um terreno retangular como POSSUI seguintes Medidas: 20 metros decomprimento e 30 metros de Largura. Determinar uma Medida diagonal da Desseterreno.

A divisão diagonal o retângulo em Dois triângulos retângulos, consistindo nahipotenusa DELES. Portanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras Paradeterminar a Medida da diagonal. Veja:

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d² = 30² + 20²

d² = 900 + 400

d² = 1300

√d² = √1300

d = 36 metros (apróximadamente)

Dentre Muitos outros exemplos e aplicações

espero ter ajudado de alguma forma

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