Embed Size (px)
Citation preview
2
( )Teorema
Si y son continuas, entonces
INTEGRACIÓN POR PARTES
y
,
' ' ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )
( ) '
' '
(
f g f g f g f x g x dx f x g
f g
x f x g x dx
f x g x
= − = −∫ ∫ ∫ ∫
[ ] .
Dem ︶ Las tres expresiones son una consecuencia inmediata de:
E
jemp
1
los
) ( ) ( ) '( ) ( )
log
( )' ' ' ' ( )' '
( ) (lo )g
b bba
a a
f g f g f g f g f g f g
x dx x
dx f x g x f x g x dx
-
=
=
=
+ =
−
⇒
∫
∫ ∫
? si y entonces y
=
= =
1
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1log '
log
( )
'
l
1
'
og
'
dx x x x x x
x dx x dx
x x dx x x x x
g g x
g g
f fx
f f f dxg
= = =
∴
−
= =∫
∫ ∫∫ ∫
=
=
=
1log
log
lo
( )
( ) 1
(g )
x x
x
x dx
xxdx
x x x
−
−
−
∫
∫
=
si y entonces y
=
= =
?. ( ) ( ) ( )
log( ) log
( ) .
( )
(
( ) ( ) ( ) ( ) (
)
' 1
'' )
'x x x
x
x dx x x x
x f x f
x
e g e g e
e
dx x x x x
dx
x x dx x x xg g xgf f f dx
∴ −
== = = =
∴
−
∫
∫∫∫ ∫
=
=
si y entonces y
=
( ) ?. ( ) ( ) ( ) ( )
1
'' ( ) ( ).1
x
x x
x x
x x
x
x
x e
e e
e e
sen
dx
x d
dx x e e
x f xx x x x x x xg sen cf g s
x
o−
−
−
∴
= = =
−
= =
∴
∫
∫
∫
( ) ( )( ) ( )
=
= =
=
= -
=
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
'
1
( ) (
) )
'
)
(
( )
x
x x dx x x x x dx
x
dx
f f f
x
x
x sen x
sen
g g
dx
g
cos cos
co
x dx
x sen x
x cos x se x
s
n
−
−
−
−
−
−
−
+∴
∫
∫
∫ ∫∫
3
si y entonces y
=
= =
1
1 1log log '
log
( ) ? , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1' log
' ( ) ( )'
x dx x x x x x x
x dx
x x dx x x x x
f fx
f
g gx x
x
g dgf f xg
= = = ==
∴
−
∫
∫
∫ ∫
( )
( )
( )
=
1 =
1 1 =
1 2 =
2
2
2
( ) ( ) ( )
log( ) log( )
log( ) log( ) log( )
1lo
log( ) log( )
g lg lo ogx x x dx
x x dxx
x dx x x dxx x
x dx xx
x−
−
∴ −
∴
∴
∫
∫
∫ ∫
∫
( )
si y entonces y
1
y si y
entonces
=
2
( ) ? , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( )
1log( ) log
( )
)2
'
'
(
'x x x
x
x dx xx
e f esen g sen g cos
k cos
x dx x f e
h e
x x x x x
x x x
=
=
=
=
= = −=∫
∫
( ) ( )
y =
= =
=
=
+
( ) (
'
) ( ).
( )
( ) ( ) ( ) (
'
') ( ) ( )
( ) ( )
( )
x
x x
x
x
h e
e
f f f
e
x x x
x d
k sen
sen
g g g
cos cos
x
x x dx x x x x dx
x x dx
- e co x
e
s
− −
= =
∴
−
−
∫
∫ ∫
∫
( )
= + = +
=
+
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )''
( )
x
x x
x
x dx
- e cos x x x dx - e cos x x x x
e
h x dx
- e
cos
k k kh
cos x
h −
∫
∫ ∫
( )
= +
2
=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
x
x
x
x x x
x
x
x x dx
x dx -
e esen sen
sen sen sen
sen
e ee cos x x e x dx
x dx - e cos xe
−
∴ −
∴
∫∫ ∫∫
( )
+
+ =
=
) ( )
( ) ( )( )
2( ) ( )
( )2
x
x
x
x x
x
x
-e cos x e
sen
se
e
e
e sen x - cos xe s
sen
n xx
en x
x
dx
d∴
∴ ∫
∫
3
si y entonces y
=
= =
1
1 1log log '
log
( ) ? , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1' log
' ( ) ( )'
x dx x x x x x x
x dx
x x dx x x x x
f fx
f
g gx x
x
g dgf f xg
= = = ==
∴
−
∫
∫
∫ ∫
( )
( )
( )
=
1 =
1 1 =
1 2 =
2
2
2
( ) ( ) ( )
log( ) log( )
log( ) log( ) log( )
1lo
log( ) log( )
g lg lo ogx x x dx
x x dxx
x dx x x dxx x
x dx xx
x−
−
∴ −
∴
∴
∫
∫
∫ ∫
∫
( )
si y entonces y
1
y si y
entonces
=
2
( ) ? , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( )
1log( ) log
( )
)2
'
'
(
'x x x
x
x dx xx
e f esen g sen g cos
k cos
x dx x f e
h e
x x x x x
x x x
=
=
=
=
= = −=∫
∫
( ) ( )
y =
= =
=
=
+
( ) (
'
) ( ).
( )
( ) ( ) ( ) (
'
') ( ) ( )
( ) ( )
( )
x
x x
x
x
h e
e
f f f
e
x x x
x d
k sen
sen
g g g
cos cos
x
x x dx x x x x dx
x x dx
- e co x
e
s
− −
= =
∴
−
−
∫
∫ ∫
∫
( )
= + = +
=
+
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )''
( )
x
x x
x
x dx
- e cos x x x dx - e cos x x x x
e
h x dx
- e
cos
k k kh
cos x
h −
∫
∫ ∫
( )
= +
2
=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
x
x
x
x x x
x
x
x x dx
x dx -
e esen sen
sen sen sen
sen
e ee cos x x e x dx
x dx - e cos xe
−
∴ −
∴
∫∫ ∫∫
( )
+
+ =
=
) ( )
( ) ( )( )
2( ) ( )
( )2
x
x
x
x x
x
x
-e cos x e
sen
se
e
e
e sen x - cos xe s
sen
n xx
en x
x
dx
d∴
∴ ∫
∫
4
( )
( )
si y entonces y
=
2
2
log( ) ( ) ? ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
lo
log
1log '
l
log( )
' log( ) log( )
log( )
'
g( ) ( )
( ) (
og
)
x dx x dx
xf fx
x x x
x
g x g x
x dx x dx
x xf
x x x
xg d
x
= =
= = =
∴ =
= −
=
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
=
=
log(
'
1l
( )
) log
( ) ( ) ( )
( ) ( )og
g g
x x x x
x x x x dxf f
xx xx dx
−
−− −
∫ ∫
∫( ) ( )( )
=
= + 1
lo ( )
log
log( ) lo
( ) log( ) log(
g g
)
( ) 1xx dx
x x x x x d
x
x dx
x x −
− −
− −∫∫ ∫
( ) ( ) = + = + +
log( ) log( ) log( )log( ) log( ) log( ) log( )
x x x x x x x xx x x x x x x x x
− − −
− −
( )( ) ( )
= + 2
= + 2
2
2 2l
log( ) 2
og( ) log( ) 2 log( )
log( )
x dx x x x x
x x x x
x
x
−
−
∴ ∫
9
Si y entonces y
=
2
arctan( ) arctan( ) 1 ?
arctan( )1
1( ) arctan( ) '( ) 1 '( ) ( )1
'( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
f x x g x f x g x xx
f x g x dx f x g x f x g
x dx x d
x d
x
x dx x
= = = =+
∴
= =
= −∫ ∫
∫
∫
∫
2
2
2
1arctan( )1
1 1arctan( )2 11 1arctan( )2
x x x dxx
x x x dxx
x x duu
= −+
= −+
= −
∫
∫
∫
Teorema ︵FORMULAS DE REDUCCION
︶2
2
1ar
1arctan( ) arctan( ) log(
ctan( ) log( )21arctan( ) log(
2
1
)
)2
1x dx
x x u
x x
x x x
se
x
n
= −
=
= − +
− +
∴∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Nota: La demostrac
ión se puede obtener median
t n
e i
1 2
1 2
2 2 1 2 1
1 1( ) ( ) cos( ) ( ) ,
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,
1 1 2 3 1 .2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)
n n n
n n n
n n n
nx dx sen x x sen x dxn n
ncos x dx cos x sen x cos x dxn n
x ndx dxn nx x x
− −
− −
− −
−= − +
−= +
−= +
− −+ + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
tegracion por partes.
10
TeoremaSi ,
entonces puede escrib
1 1
11 0,
11 0
2 21 1 1
. . .
. . .
( ) . . . ( ) ( ) . . . (
( )
( )
( )(
) ,
)
k l
n nn
m mm
r sr sk l l
n m
x a x a
x b x b
x x x x x x
p x
q x
p xq x
α α β γ β γ
−−
−−
<
= + +
= + + +
= − − + + + +
irse en la forma
+
1
1
1 1
1
,1,1,1 ,1
1 1
1, 1,1,1 1,12 2
1 1 1 1
. . . . . . . . .( ) ( )( ) ( )
. . . . . .( )
( )(
( )
)k
k
k rr kr r
k k
s ss
aaa ax xx x
b x cb x c
p
x x x x
xq x α αα α
β γ β γ
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥
− −− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+⎡ ⎤++ + + +⎢ ⎥
+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
en donde los terminos cuadráticos no tienen raices reales,
es decir:
Po
, ,,1 ,12 2
2
2
. . .( ) ( )
( )
4 0.
l l
l
l s l sl ls
l l l l
i i
i i
b x cb x c
x x x x
x x
β γ β γ
β γ
β γ
+⎡ ⎤++ + +⎢ ⎥
+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
+ +
− <
r lo tanto, para integrar basta con saber integrar las funciones:
, con , y con . 2 2( 2) ( 2)
( ) ( )
( )( )
n na a a x b a x bn n
x b x b x c x d x c x
p
d
xq x
+ +≥ ≥
− − + + + +
11
Ejemplo
Si =
=
=
7 6 5 4 3 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 8 13 20 15 16 7 10( 1) ( 2 2) ( 1)
1 2
( )( )
1
3
2 11 ( 1) (
11 ( 1) 2 2 ( 1)
x x x x x x x dxx x x x x
x d
p x dxq x
dx dxx x
xx x x x x x
x
+ + + + + + +=
+ + + + −
⎛ ⎞++ + +⎜ ⎟− − + + + +⎝ ⎠
+ +− −
∫
∫
∫∫
∫Integrando cada una de las cuatro integrales, obtenemos:
2 2
2 2
12 2
22
31) 2 2
1 log( 1),12 2 ,
1( 1)1
(
1 12 2( )( 1) ( 1)
1
1 122 4
) 32
1
xdx dxx x x
dx xx
dxxx
dxx x
dxx x
x x
+
= − =− −
=⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
++ + + +
= −−
−=
−−
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 22
2
2 22 2
2
2
1
1 32 4
1 4 13
1 13 2 21 14 3 3
4 4
4 3 13 4
dx dx
x
dx dx
x x
x
=⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
︵sustituyendo y ︶
2
2 2 22
1 4 3 13 4 ( 1)3
1 42 1
34
1 / 2 13 / 4 3 / 4
dx duu
xu du dx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
+= =
∫ ∫
12
----- ︵usando las formulas de reducción ︶
2 2
2 2
2 2 1 2 2 1
8 139 ( 1)
8 139 ( 1)
8 1 2(2) 3 139 2(2) 2 2(2) 2( 1) ( 1)
duu
duu
u duu u− −
=+
=+
⎡ ⎤−= +⎢ ⎥− −+ +⎣ ⎦
∫
∫
∫
2 2
2
2
8 1 1 139 2 21 18 1 13 arctan( )9 2 21
12
3 18 1 14 23 arctan9 2 2 31
42 134
u duu u
u uu
x
x
x
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟ +⎢ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
2
2
2
2 18 1 8 1 2 133 3 arctan9 2 9 2 34 1 1
3 22 1 4 2 13 arctan
9 31 932 4
2 1 4 2 13 arctan1 9 9 334 4
xx
x
x x
x
x x
x x
⎥⎥
⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞+⎝ ⎠= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ += + ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ += + ⎜⎛ ⎞ ⎝+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎠
13
( )
( )
y finalmente,
2 2
2
2 2
2
2
1 2 1 4 2 13 arctan9( 1)
2 1 4 2 13 arctan9 33 1
3 1 2 622 2 2 2
1 22
33 1
32 2
x xdxx x x x
x d
x xx x
x xdx dxx x x x
x
xx x
⎛ ⎞+ += + ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠+
⎛ ⎞+ += + ⎜ ⎟
⎝ ⎠+ +
∴
+ += =
+ + + ++
=
+
++ + ∫
∫
∫ ∫
︵
sustituyendo: y
2
2 2
2 2
2
2 42 2
1 2 2 1 42 22 2 2 21 1 12 2) 22 2 2 ( 1) 1
2 2, (2 2) , 1
dxx x
x dx dxx x x x
x dx dxx x x
u x x du x dx w x dw dx
++ ++
= ++ + + +
= + ++ + + +
= + + = + = + =
∫
∫ ∫
∫ ∫
2
2
22
1 1 122 11 log( ) 2 arctan( )21 log( 2 2) 2 arcta
3 1 log
n( 1)
( 2 2) 2 arctan( 12
2
)2 2
x
du dwu w
dx x x
w
x
xx
u
x x
x+
= + + + ++ +
= ++
= +
= + + + +
∴
∫ ∫
∫
14
( ) ( )( )
( )
Ejemplo
222
22
222
2
2 21
2 1 1 2
1
1 2
1
12
1( 2
12
)
1 12
3
1 14
d dxx x
dxx
x
xx
dx
x
x
=⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
=⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
=⎡ ⎤+⎛ ⎞
+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=⎡ +⎛ ⎞
+⎢⎜ ⎟⎝ ⎠
+ +
⎣
∫
∫
∫
∫
︵sustituyendo y ︶
2
22
2 2
1 1 124 21 1
2
1 12 2
1 124 ( 1)
dx
dxx
xu du dx
duu
⎤⎥
⎢ ⎥⎦
=⎡ ⎤+⎛ ⎞
+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
+= =
=+
∫
∫
∫
︵usando las formulas de reducción ︶
2 2
2 2
2
2 14 ( 1)
2 1 1 14 2 21 12 1 1 arctan( )
4 2 21
duu
u duu u
u uu
=+
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦
∫
∫
15
2
2
12 1 1 12 arctan
4 2 2 21 12
1 1 2 1 1arctan4 4 2 212 2
2
1 14
xx
x
x x
x
x
x
⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠+⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ +⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠+⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
+=
( )
2
2
1 1 2 1ar
2 1 1arcta
ctan4 82 3
n2 22
2
41
x xx
x
x
+⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠+ +
+ +⎛ ⎞= + ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
16
( ) ( )( )
( )
Ejemplo
2222 2
22
222
2
1
2 2 2 3
1
2 3
1
1
23 13
1 19 2
( 4 )
13
7dx
x x
dxx
dx
dx
x
xx
x
=⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
=⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
=⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥+⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=⎡⎛ ⎞+
+⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
+ + ∫
∫
∫
∫
︵sustituyendo y ︶
2
22
2 2
1 1 139 32 1
3
2 13 3
1 139 ( 1)
dx
dxx
xu du dx
duu
⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
=⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥+⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
+= =
=+
∫
∫
∫
︵usando las formulas de reducción ︶
2 2
2 2
3 19 ( 1)
3 1 1 19 2 21 1
duu
u duu u
=+
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
∫
∫
17
2
2
2
3 1 1 arctan( )9 2 21
3 1 3 1 arctan( )9 2 9 21
23 1 3 1 23 arctan
9 2 9 2 32 13
u uu
u uu
xx
x
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦
= ++
+⎛ ⎞+
= + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+
+⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
2
2
2
1 2 3 2arctan6 18 323 1
3
1 2 3 2arctan6 18 323 3
3
1 2 3 2arctan6 18 32 3
x x
x
x x
x
x x
x
⎛ ⎞+ += + ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞+ += + ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞++⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ += + ⎜ ⎟
⎝ ⎠+ +
2
21 2 3 2arctan6 18
1 2 3 2arctan6 184 7 3
4 4 3 3x x
x xx x
x x⎛ ⎞+ +
= + ⎜ ⎟
⎛ ⎞+ +
+
= + ⎜ ⎟+
+ ⎠
⎝
+
+ ⎠
⎝
