Teorema lui Peano de existent˘ a local acosmin.burtea/LucrareLicen... · 2018-10-04 · teoria semigrupuriilor de operatori liniari ˘si teorema de generare Hille-Yosida. Partea

Universitatea”Alexandru Ioan Cuza”

Lucrare de licenta

Teorema lui Peano de existentalocala

Student:Cosmin Burtea

Coordonator stiintific:Prof. Ioan I.Vrabie

2

Prefata

Lucrarea de fata trateaza problema existentei locale pentru problema Cauchy ıncontextul spatiilor Banach infinit dimensionale. Aceasta se refera la impunereaunor conditii suficiente datelor initiale ale problemei Cauchy astfel ıncat aceastadin urma sa aiba cel putin o solutie.

In prima parte sunt introduse notiuniile de spatiu Banach, operatori liniaridefiniti pe aceste spatii precum si unele teoreme si rezultate celebre referitoarela acestea. Urmeaza prezentarea spatiului functiilor continue definite pe uninterval compact cu valori ıntr-un spatiu Banach si teorema de compactitateArzela-Ascoli. In incheiere sunt prezentate notiuniile fundamentale legate deteoria semigrupuriilor de operatori liniari si teorema de generare Hille-Yosida.

Partea a doua este dedicata teoremei de existenta locala a lui Peano precumsi clasificarii solutiilor problemelor Cauchy ın functie de comportamentul lor lacapatul intervalului de definitie. Paragraful se ıncheie cu un rezultat de existentapentru o clasa particulara de probleme Cauchy.

Ultima parte a lucrarii prezinta doua aplicatii ale teoremei lui Peano lastudiul existentei solutiilor unor ecuatii cu derivate partiale.

CUPRINS 3

Cuprins

Prefata 2

1 Capitol introductiv 41.1 Spatii Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Operatori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Spatiul C([a, b], X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Semigrupuri de operatori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Problema existentei locale 252.1 Teorema lui Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Solutii saturate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Problema u′ = f(t, u) + g(t, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Aplicatii 393.1 Ecuatia Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Aplicatie la o problema de mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bibliografie 46

1 CAPITOL INTRODUCTIV 4

1 Capitol introductiv

1.1 Spatii Banach

Fie X un spatiu vectorial peste R. Elementul nul al lui X ıl vom distinge prinsimbolul 0.

O aplicatie ‖·‖ : X → X se numeste norma pe X daca verifica urmatoareletrei conditii:

• ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0.

• ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀x ∈ X si ∀α ∈ R.

• ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ X si ∀α ∈ R.

Perechea (X, ‖·‖) se numeste spatiu vectorial normat.

Definitia 1.1.1 Fie x ∈ X si r > 0. Numim bila deschisa de centru x ∈ X siraza r > 0 multimea:

B(x, r) = y ∈ X : ‖y − x‖ < r.

Definitia 1.1.2 Fie x ∈ X si r > 0. Numim bila ınchisa de centru x ∈ X siraza r > 0 multimea:

B(x, r) = y ∈ X : ‖y − x‖ ≤ r.

Definitia 1.1.3 O multime G ⊂ X se numeste deschisa daca pentru orice x ∈G exista r > 0 astfel ıncat:

B(x, r) ⊂ G.

Definitia 1.1.4 O multime F ⊂ X se numeste ınchisa daca multimea X\Feste deschisa.

Definitia 1.1.5 Fie K ⊂ X o submultime a lui X. Se numeste ınchiderealui K multimea obtinuta prin intersectia tuturor multimiilor ınchise ce continmultimea K.

Definitia 1.1.6 Fie x ∈ X si M ⊂ X o submultime a lui X. Definim distantade la punctul x la multimea M prin relatia:

d(x,M) = inf‖x− y‖ : y ∈M.

Definitia 1.1.7 Fie M ⊂ X o submultime a spatiului X. Atunci diametrul luiM se defineste prin relatia:

δ(M) = sup‖x− y‖ : x, y ∈M.

Teorema 1.1.1 Orice bila deschisa din X este o multime deschisa.


Teorema 1.1.2 Intr-un spatiu vectorial normat, pentru orice doua puncte dis-tincte x, y ∈ X exista doua multimi deschise Gx, Gy astfel ıncat x ∈ Gx, y ∈ Gysi Gx ∩Gy = ∅. Vom spune ca spatiul vectorial normat este separat Hausdorff.

Definitia 1.1.8 Spunem ca un sir (xn)n∈N ⊂ X este convergent ın X dacaexista x0 ∈ X astfel ıncat pentru orice ε > 0 exista n(ε) ∈ N astfel ıncat

n ≥ n(ε)⇒ ‖xn − x0‖ ≤ ε.

Definitia 1.1.9 Spunem ca un sir (xn)n∈N ⊂ X este Cauchy daca pentru oriceε > 0 exista n(ε) ∈ N astfel ıncat:

minm,n ≥ n(ε)⇒ ‖xm − xn‖ ≤ ε.

Observatia 1.1.1 O consecinta importanta a faptului ca un spatiu vectorialnormat este separat Hausdorff este unicitatea limitei unui sir convergent.

Teorema 1.1.3 Orice sir convergent (xn)n∈N ⊂ X este Cauchy.

Definitia 1.1.10 Un spatiu vectorial normat (X, ‖·‖) se numeste spatiu Banachdaca orice sir Cauchy din X este convergent ın X.

Definitia 1.1.11 Fie (X, ‖·‖X) si (Y, ‖·‖Y ) doua spatii vectoriale normate. Fief : X → Y o aplicatie definita pe X cu valori ın Y . Aplicatia f se numestecontinua ın punctul x0 ∈ X daca pentru orice ε > 0 exista δ(ε) > 0 astfel ıncat:

‖x− x0‖X ≤ δ(ε)⇒ ‖f(x)− f(x0)‖Y ≤ ε.

Definitia 1.1.12 Fie (X, ‖·‖X) si (Y, ‖·‖Y ) doua spatii vectoriale normate. Fief : X → Y o aplicatie definita pe X cu valori ın Y . Aplicatia f se numestecontinua pe X daca este continua ın fiecare punct al lui X.

Definitia 1.1.13 Fie (X, ‖·‖) un spatiu vectorial normat si K ⊂ X, o submulti-me a sa. Daca fiecarui punct x ∈ K ıi facem sa corespunda o multime deschisaGx care sa ıl contina atunci spunem ca familia

G = Gx ∩K : x ∈ K

reprezinta o acoperire deschisa a lui K.

Definitia 1.1.14 Fie (X, ‖·‖) un spatiu vectorial normat, K ⊂ X si

G = Gx ∩K : x ∈ K

o acoperire deschisa a lui K. O submultime D ⊂ G se numeste subacoperire alui G daca: ⋃

G∈DG = K.


Definitia 1.1.15 O submultime K a unui spatiu vectorial normat (X, ‖·‖) senumeste compacta daca din orice acoperire deschisa a sa se poate extrage osubacoperire finita.

Se poate demonstra urmatoarea teorema:

Teorema 1.1.4 O submultime K a unui spatiu vectorial normat (X, ‖·‖) estecompacta daca si numai daca din orice sir (xn)n∈N ⊂ K se poate extrage unsubsir convergent la un element din K.

A se vedea Nicolescu[1].

Definitia 1.1.16 O submultime K a unui spatiu vectorial normat (X, ‖·‖) senumeste precompacta daca pentru orice ε > 0 exista o submultime finita Fε ⊂ Kastfel ıncat:

d(x, Fε) ≤ ε

pentru orice x ∈ K.

Definitia 1.1.17 O submultime K a unui spatiu vectorial normat (X, ‖·‖) senumeste relativ compacta daca ınchiderea sa este compacta.

Teorema 1.1.5 O submultime K a unui spatiu Banach X este relativ compactadaca si numai daca este precompacta.

Demonstratie. Partea de necesitate a teoremei este evidenta. Sa presupunematunci ca submultimea K este precompacta. Fie (xn)n∈N un sir arbitrar din K.Atunci exista o multime finita F1 ⊂ K astfel ıncat pentru orice x ∈ K sa avem:

d(x, F1) ≤ 1

2.

Caracterul finit al lui F1 asigura existenta unui element y1 ∈ F1 si a unui subsir(x1n)n∈N ⊂ (xn)n∈N astfel ıncat:

(x1n)n∈N ⊂ B

(y1,

1

2

).

Din nou, datorita faptului ca submultimeaK este precompacta, exista o multimefinita F2 astfel ıncat pentru orice x ∈ K sa avem:

d(x, F2) ≤ 1

4.

Faptul ca aceasta multime este finita asigura existenta unui y2 ∈ F2 si a unuisubsir

(x2n)n∈N ⊂

(x1n)n∈N astfel ıncat:

(x2n)n∈N ⊂ B

(y2,

1

4

).


Procedand iterativ, construim un sir de puncte (yn)n∈N si un sir de siruri((xmn )n∈N

)m∈N cu proprietatiile:

(xmn )n∈N ⊂ (xpn)n∈N ∀m, p ∈ N m ≥ p (1.1.1)

si

(xmn )n∈N ⊂ B(ym,

1

2m

)∀m ∈ N. (1.1.2)

Sa alegem sirul (xnn)n∈N. Fie ε > 0 si sa alegem n(ε) ∈ N astfel ıncat ε−1 ≤ n(ε).Atunci pentru orice m, p ∈ N mai mari ca n(ε) avem din (1.1.1) ca:

xpp, xmm ∈

(xn(ε)n

)n∈N

.

Din (1.1.2) rezulta faptul ca xpp, xmm apartin bilei B

(ynε

, 12nε

). Asadar avem:

∥∥xpp − xmm∥∥ ≤ ∥∥xpp − ynε

∥∥+ ‖ynε− xmm‖ ≤

1

nε≤ ε,

deci sirul (xnn)n∈N este Cauchy. Ca atare el este convergent. Evident ca (xnn)n∈Neste subsir al sirului initial.

Teorema 1.1.6 (Mazur) Inchiderea ınfasuratorii convexe a unei submultimicompacte a un spatiu Banach este compacta.

Corolar 1.1.1 Fie K o submultime compacta ın X si fie F o familie de functiicontinue de la [a, b] ın K. Atunci:∫ b

a

f(t)dt : f ∈ F

este relativ compacta ın X.

1.2 Operatori liniari

Definitia 1.2.1 Fie (X, ‖.‖) un spatiu vectorial normat. Aplicatia T : X → Xse numeste operator liniar daca:

• T (αx) = αT (x) ∀x ∈ X si ∀α ∈ R

• T (x) + T (y) = T (x+ y) ∀x, y ∈ X si ∀α ∈ R.

Definitia 1.2.2 Fie (X, ‖.‖) un spatiu vectorial normat. Un operator liniarT : X → X se numeste marginit daca exista o constanta M > 0 astfel ıncat:

‖T (x)‖ ≤M ‖x‖

pentru orice x ∈ X.


Teorema 1.2.1 Fie X un spatiu vectorial normat si fie T : X → X un operatorliniar. Atunci urmatoarele afirmati sunt echivalente:

• T continuu

• T marginit

• T continuu ıntr-un punct.

Demonstratie. Presupunem T continuu. Atunci sa scriem conditia de conti-nuitate ın origine. Daca tinem cont si de faptul ca T (0) = 0, obtinem existentaunui δ > 0 pentru care are loc:

‖x‖ ≤ δ ⇒ ‖T (x)‖ ≤ 1.

Fie x ∈ X, x 6= 0. Evident ca∥∥∥‖x‖−1 δx∥∥∥ = δ deci:∥∥∥T (‖x‖−1 δx)∥∥∥ ≤ 1⇒ ‖T (x)‖ ≤ δ−1 ‖x‖

astfel ca operatorul T este marginit.Presupunem T marginit. Fie x, y ∈ X. Atunci:

‖T (x)− T (y)‖ = ‖T (x− y)‖ ≤M ‖x− y‖

ceea ce demonstreaza ca T este Lipschitz continuu deci continuu.Fie x0 ∈ X si sa presupunem T continuu ın x0. Atunci exista un δ > 0 astfel

ıncat pentru orice x ∈ X sa avem:

‖x− x0‖ ≤ δ ⇒ ‖T (x)− T (x0)‖ ≤ 1.

Fie x ∈ X un punct arbitrar diferit de x0. Atunci∥∥∥(‖x‖−1 δx+ x0

)− x0

∥∥∥ = δ

deci: ∥∥∥T ((‖x‖−1 δx+ x0

))− T (x0)

∥∥∥ ≤ 1,

de unde rezulta:‖T (x)‖ ≤ δ−1 ‖x‖ .

Deci T marginit.In continuare vom considera L(X) multimea operatoriilor liniari marginiti

definiti pe spatiul Banach X cu valori ın X. Sa introducem urmatoarea norma,numita norma operatoriala, sau norma supremum:

‖T‖L(X) = sup‖x‖≤1

‖T (x)‖ .

Teorema 1.2.2 Perechea(L(X), ‖·‖L(X)

)este un spatiu Banach.


Demonstratie. In primul rand este evident ca L(X) se organizeaza ca unspatiu vectorial real cu elementul nul OX : X → X definit de:

OX(x) = 0 ∀x ∈ X

In continuare ne vom referi la elementul nul al spatiului L(X) ca fiind operatorulnul.

Daca 0 = ‖T‖L(X) = sup‖x‖≤1 ‖T (x)‖ atunci pentru orice x ∈ X cu ‖x‖ ≤ 1,avem:

‖T (x)‖ = 0.

Fie x ∈ X. Atunci:∥∥∥T (‖x‖−1 x)∥∥∥ = 0⇒ ‖T (x)‖ = 0⇔ T (x) = 0

deci T este operatorul nul. Deci:

‖T‖L(X) = 0⇔ T = OX . (1.2.1)

Avem imediat ca:‖αT‖L(X) = |α| ‖T‖L(X) . (1.2.2)

Fie T si S din L(X). Atunci pentru orice x ∈ X cu ‖x‖ ≤ 1, avem ca:

‖T (x) + S(x)‖ ≤ ‖T (x)‖+ ‖S(x)‖≤ ‖T‖L(X) + ‖S‖L(X) .

Trecand la supremum ın partea stanga a inegalitatii de mai sus obtinem:

‖T + S‖L(X) ≤ ‖T‖L(X) + ‖S‖L(X) . (1.2.3)

Evident, relatiile (1.2.1), (1.2.2) si (1.2.3) asigura faptul ca aplicatia ‖·‖L(X) :

L(X)→ R+ este o norma.Sa demonstram ca aceasta norma ofera structura de spatiu Banach spatiului

L(X). Intr-adevar, fie (Tn)n∈N ∈ L(X) un sir Cauchy. Atunci pentru oriceε > 0 exista un n(ε) ∈ N astfel ıncat:

minm,n ≥ n(ε)⇒ ‖Tm − Tn‖L(X) ≤ ε,

relatie care este echivalenta cu:

minm,n ≥ n(ε)⇒ ‖Tm(x)− Tn(x)‖ ≤ ε

pentru orice x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1. Fie x ∈ X. Atunci, din faptul ca pentru oriceε > 0 exista n(ε) ∈ N astfel ıncat:

minm,n ≥ n(ε)⇒ ‖Tm(x)− Tn(x)‖ ≤ ε ‖x‖ ,


obtinem ca pentru orice x ∈ X sirul (Tn(x))n∈N ⊂ X este Cauchy. In virtuteafaptului ca X este Banach, deduce ca sirul este convergent. Atunci operatorulT : X → X dat de relatia:

T (x) = limn→∞

Tn(x),

este binedefinit. Se observa ca T este operator liniar. Intr-adevar, avem relatiile:

T (x+ y) = limn→∞

Tn(x+ y) = limn→∞

[Tn(x) + Tn(y)]

= limn→∞

Tn(x) + limn→∞

Tn(y) = T (x) + T (y)

si:

T (αx) = limn→∞

Tn(αx) = limn→∞

αTn(x)

= α limn→∞

Tn(x) = αT (x).

Vom demonstra ca T este continuu ın origine, astfel rezultand ca estemarginit. Procedam prin reducere la absurd. Sa presupunem ca exista ε > 0

astfel ıncat pentru orice n ∈ N sa existe xn ∈ B(0, 1) cu ‖xn‖ ≤ 1n astfel ıncat:

‖T (xn)‖ > ε.

Din relatia:

|‖Tp(x)− T (x)‖ − ‖Tp(y)− T (y)‖| ≤ ‖Tp(x)− Tp(y)‖≤ ‖Tp‖L(X) ‖x− y‖

obtinem continuitatea functiei x→ ‖Tp(x)− T (x)‖. In plus, avem:

limx→0‖Tp(x)− T (x)‖ = ‖Tp(0)− T (0)‖ = 0.

Sa fixam un p ∈ N. Atunci, din relatia:

ε ≤ ‖T (xn)‖≤ ‖T (xn)− Tp(xn)‖+ ‖Tp(xn)‖ ,

trecand la limita pentru n → ∞ obtinem contradictia. Astfel T este marginit.

1.3 Spatiul C([a, b], X)

Sa consideram a, b ∈ R cu a < b. Vom nota prin C([a, b], X) clasa functiilorcontinue pe [a, b] ce iau valori ın spatiul Banach X.


Definitia 1.3.1 O functie f ∈ C([a, b], X) se numeste uniform continua pe[a, b] daca pentru orice ε > 0 exista δ(ε) > 0 astfel ıncat pentru orice t, s ∈ [a, b]cu |t− s| < δ(ε) sa avem:

‖f(t)− f(s)‖ < ε.

Teorema 1.3.1 Orice functie f ∈ C([a, b], X) este uniform continua pe [a, b].

Demonstratie. In baza definitiei continuitatii unei functii ıntr-un punct, pen-tru orice t ∈ [a, b], exista δ(ε, t) > 0 astfel ıncat sa avem:

s ∈ (t− δ(ε, t), t+ δ(ε, t))⇒ ||f(s)− f(t)|| < ε

2. (1.3.1)

Evident avem:

[a, b] ⊆⋃

t∈[a,b]

(t− δ(ε, t)

2, t+

δ(ε, t)

2

).

Intrucat intervalul ınchis [a, b] este compact iar ın membrul drept al relatiei demai sus reprezinta o acoperire deschisa pentru [a, b], avem, via teoremei Borel-Lebesgue, posibilitatea extragerii unei subacoperiri finite:

[a, b] ⊆n(ε)⋃k=1

(tk −

δ(εk, tk)

2, tk +

δ(εk, tk)

2

).

Sa alegem δ∗ > 0 astfel ıncat:

δ∗ < min

δ(εk, tk)

2, k ∈ 1, n(ε)

.

Pentru orice t, s ∈ [a, b] cu proprietatea ca |s− t| < δ∗, avem garantata existentaunui k ∈ 1, n(ε) astfel ıncat:

t ∈(tk −

δ(εk, tk)

2, tk +

δ(εk, tk)

2

)⊂ (tk − δ(εk, tk), tk + δ(εk, tk)) . (1.3.2)

Atunci:

|s− tk| ≤ |s− t|+ |t− tk|

≤ δ∗ +δ(εk, tk)

2< δ(εk, tk)

ceea ce ınseamna ca:

s ∈ (tk − δ(εk, tk), tk + δ(εk, tk)) . (1.3.3)

Din (1.3.1),(1.3.2) si (1.3.3) avem:

||f(s)− f(tk)|| < ε

2(1.3.4)


si:

||f(t)− f(tk)|| < ε

2. (1.3.5)

Adunand (1.3.4) si (1.3.5) si folosind inegalitatea triunghiului, obtinem:

||f(s)− f(t)|| < ε.

Cum s, t ∈ [a, b] au fost alesi arbitrar cu |s− t| < δ∗, teorema este demonstrata.

Definitia 1.3.2 O functie f : [a, b] → X se numeste marginita daca exista oconstanta M > 0 astfel ıncat pentru orice t ∈ [a, b] sa avem:

‖f(t)‖ ≤M

Teorema 1.3.2 Orice functie f ∈ C([a, b], X) este marginita.

Demonstratie. Vom demonstra prin reducere la absurd. Sa presupunem decica pentru orice n ∈ N exista tn ∈ [a, b] astfel ıncat:

‖f(tn)‖ ≥ n. (1.3.6)

Din faptul ca (tn)n∈N ⊂ [a, b], avem datorita lemei lui Cesaro, ca (tn)n∈N admiteun subsir convergen catre un punct t0 ∈ [a, b]. Atunci, trecand la limita pe acestsubsir ın relatia (1.3.6), am obtine ca f(t0) ≥ ∞ ceea ce este evident imposibil.Atunci presupunerea facuta este falsa, astfel ca f este marginita.

In continuare sa observam ca spatiul C([a, b], X) se organizeaza ca un spatiuvectorial real, introducand operatiile de adunare:

(f + g)(t) = f(t) + g(t)

respectiv de ınmultire cu scalari:

(αf)(t) = αf(t)

pentru orice f, g ∈ C([a, b], X), orice α ∈ R si orice t ∈ [a, b]. De asemenea sadefinim ‖·‖∞ : C([a, b], X)→ R+ prin:

‖f‖∞ = supt∈[a,b]

‖f(t)‖ < +∞.

Aceasta este o norma pe C([a, b], X), astfel ıncat (C([a, b], X), ‖·‖∞) devinespatiu vectorial normat. Vom demonstra ın continuare ca acesta este spatiuBanach.

Teorema 1.3.3 Spatiul vectorial normat (C([a, b], X), ‖·‖∞) este spatiu Ba-nach.


Demonstratie. Fie (fn)n∈N ⊂ C([a, b], X) un sir Cauchy. Atunci pentru oriceε > 0 si exista n(ε) ∈ N astfel ıncat:

minm,n ≥ n(ε)⇒ supt∈[a,b]

‖fm(t)− fn(t)‖ < ε. (1.3.7)

Afirmatia precedenta implica faptul ca pentru orice t ∈ [a, b], sirul (fn(t))n∈N ⊂X este Cauchy. Atunci putem defini functia f : [a, b]→ R, prin:

f(t) = limn→∞

fn(t), (1.3.8)

pentru orice t ∈ [a, b]. Vom arata ca f ∈ C([a, b], X). Sa presupunem ca existaun ε0 > 0 astfel ıncat pentru orice n ∈ N exista m(n) ∈ N si exista tn ∈ [a, b]astfel ıncat m(n) > n si: ∥∥fm(n)(tn)− f(tn)

∥∥ > ε0. (1.3.9)

Cum sirul (tn)n∈N ⊂ [a, b], el admite un subsir convergent. Pentru simplitateascrierii, vom considera ca sirul (tn)n∈N este convergent.

Sa observam ca pentru orice n ∈ N functia t→ ‖fn(t)− f(t)‖ este continuape [a, b]. Intr-adevar pentru orice t, s ∈ [a, b] avem:

|‖fn(t)− f(t)‖ − ‖fn(s)− f(s)‖| ≤ ‖fn(t)− fn(s)‖ ,

care, datorita continuitatii lui fn, poate fi facuta oricat de mica pentru t, sapropriati.

Din (1.3.8), exista un n1(ε) ∈ N astfel ıncat:∥∥fn1(ε)(t0)− f(t0)∥∥ ≤ ε0

4. (1.3.10)

Din faptul ca (tn)n∈N converge la t0 si din continuitatea functiei

t→∥∥fn1(ε)(t)− f(t)

∥∥ rezulta existenta unui n2(ε) ∈ N astfel ıncat:

n ≥ n2(ε)⇒∣∣∥∥fn1(ε)(tn)− f(tn)

∥∥− ∥∥fn1(ε)(t0)− f(t0)∥∥∣∣ ≤ ε0

4.

Luand ın considerare si (1.3.10), avem ca:∥∥fn1(ε)(tn)− f(tn)∥∥ ≤ ε0

4+ε04

=ε02. (1.3.11)

De asemenea, din (1.3.7), rezulta ca exista n3(ε) ∈ N astfel ıncat pentruorice t ∈ [a, b] si pentru orice m,n ∈ N:

minm,n > n3(ε)⇒ ‖fm(t)− fn(t)‖ ≤ ε02

(1.3.12)

Acum, considerand un n > maxn1(ε), n2(ε), n3(ε) si avand ın vedererelatiile (1.3.9) , (1.3.11) si (1.3.12), obtinem:

ε0 <∥∥fm(n)(tn)− f(tn)

∥∥ ≤ ∥∥fm(n)(tn)− fn1(ε)(tn)

∥∥+∥∥fn1(ε)(tn)− f(tn)

∥∥≤ ε0

2+ε02

= ε0.


Contradictia poate fi eliminata doar daca pentru orice ε > 0 exista n(ε) ∈ Nastfel ıncat:

n > n(ε)⇒ supt∈[a,b]

‖fn(t)− f(t)‖ < ε. (1.3.13)

Sa fixam un punct arbitrar s0 ∈ [a, b] si sa observam ca:

‖f(s)− f(s0)‖ ≤ ‖f(s)− fn(s)‖+ ‖fn(s)− fn(s0)‖+ ‖fn(s0)− f(s0)‖

pentru orice n ∈ N. Concluzia teoremei urmeaza din continuitatea functiilor(fn)n∈N si din (1.3.13).

Definitia 1.3.3 O familie de functii F din C([a, b], X) se numeste echicontinuaıntr-un punct t ∈ [a, b] daca pentru orice ε > 0 exista δ(ε, t) > 0 astfel ıncatpentru orice s ∈ [a, b] cu |t− s| < δ(ε, t) sa avem:

‖f(t)− f(s)‖ < ε

pentru toate functiile f ∈ F .

Definitia 1.3.4 O familie F se numeste echicontinua pe [a, b] daca esteechicontinua ın fiecare punct din [a, b].

Definitia 1.3.5 O familie F se numeste uniform echicontinua pe [a, b] daca sinumai daca este echicontinua pe [a, b] si δ(ε, t) se poate alege independent det ∈ [a, b].

Lema 1.3.1 O familie de functii F este echicontinua pe [a, b] daca si numaidaca este uniform echiontinua pe [a, b]

Demonstratie. In mod evident, orice familie uniform echicontinua pe [a, b]este echicontinua pe [a, b]. Sa presupunem ca F este echicontinua pe [a, b]. Inbaza definitiei, pentru orice t ∈ [a, b], exista δ(ε, t) > 0 asa ıncat pentru oricef ∈ F sa avem:

s ∈ (t− δ(ε, t), t+ δ(ε, t))⇒ ||f(s)− f(t)|| < ε

2. (1.3.14)

Evident avem:

[a, b] ⊆⋃

t∈[a,b]

(t− δ(ε, t)

2, t+

δ(ε, t)

2

).

Intrucat intervalul ınchis [a, b] este compact iar ın membrul drept al relatiei demai sus reprezinta o acoperire deschisa pentru [a, b], avem via teoremei Borel-Lebesgue posibilitatea extragerii unei subacoperiri finite:

[a, b] ⊆n(ε)⋃k=1

(tk −

δ(εk, tk)

2, tk +

δ(εk, tk)

2

).


Sa alegem δ∗ > 0 astfel ıncat:

δ∗ < min

δ(εk, tk)

2, k ∈ 1, n(ε)

.

Pentru orice t, s ∈ [a, b] cu proprietatea ca |s− t| < δ∗, avem garantata existentaunui k ∈ 1, n(ε) astfel ıncat:

t ∈(tk −

δ(εk, tk)

2, tk +

δ(εk, tk)

2

)⊂ (tk − δ(εk, tk), tk + δ(εk, tk)) . (1.3.15)

Atunci:

|s− tk| ≤ |s− t|+ |t− tk|

≤ δ∗ +δ(εk, tk)

2< δ(εk, tk)

ceea ce ınseamna ca:

s ∈ (tk − δ(εk, tk), tk + δ(εk, tk)) . (1.3.16)

Din (1.3.14),(1.3.15) si (1.3.16) avem ca pentru orice f ∈ F :

||f(s)− f(tk)|| < ε

2(1.3.17)

si:

||f(t)− f(tk)|| < ε

2. (1.3.18)

Adunand (1.3.17) si (1.3.18) si folosind inegalitatea triunghiului, obtinem capentru orice f ∈ F :

||f(s)− f(t)|| < ε.

Cum s, t ∈ [a, b] au fost alesi arbitrar, lema este demonstrata.

Teorema 1.3.4 (Arzela-Ascoli) O familie F ∈ C([a, b], X) este relativ com-pacta daca si numai daca:

• F este echicontinua pe [a, b];

• Exista o multime D ⊂ [a, b] densa ın [a, b] astfel ıncat pentru orice t ∈ D,multimiile:

F(t) = f(t) : f ∈ Fsunt relativ compacte ın X.

Demonstratie. Incepem cu partea de necesitate a teoremei. Fie F relativcompacta. Atunci conform teoremei (1.1.5), F este precompacta. Astfel, pentruorice ε > 0 exista un n(ε) ∈ N si exista

f1, f2, . . . , fn(ε)

∈ F astfel ıncat pentru

orice f ∈ F exista un i(f) ∈ 1, n(ε) cu proprietatea ca:∥∥f − fi(f)∥∥∞ <ε

3. (1.3.19)


Pentru orice i ∈ 1, n(ε) functia fi fiind continua este uniform continua. Pentruorice ε > 0 exista δi > 0 astfel ıncat:

|t− s| < δi ⇒ ‖fi(t)− fi(s)‖ <ε

3. (1.3.20)

Fie f ∈ F si t, s ∈ [a, b] cu |t− s| < mini∈1,n(ε)δi. Atunci:

‖f(t)− f(s)‖ ≤∥∥f(t)− fi(f)(t)

∥∥+∥∥fi(f)(t)− fi(f)(s)∥∥+

∥∥fi(f)(s)− f(s)∥∥

≤ ε

3+ε

3+ε

3= ε

si astfel F este echicontinua.Sa demonstram ca F(t), definita ca ın enuntul teoremei, este relativ com-

pacta ın X pentru orice t ∈ [a, b]. Fie (fn(t))n∈N ⊂ F(t). Atunci sirul defunctii (fn)n∈N ⊂ F admite un subsir (fkn)n∈N convergent uniform la o functief ∈ C([a, b], X). Dar convergenta, fiind uniforma, este si punctuala deci avemca

limn→∞

fkn(t) = f(t) ∈ X,

ceea ce demonstreaza ca pentru orice t ∈ [a, b] multimea F(t) este relativ com-pacta ın X.

Astfel partea de necesitate a teoremei este demonstrata.Sa continuam cu partea de suficienta. Fie D ⊂ [a, b] densa si sa presupunem

ca F este echicontinua iar pentru orice t ∈ D, F(t) ⊂ X este relativ compacta.Am vazut ca notiuniile de echicontinuitate si de uniform echicontinuitate coin-cid. Prin urmare pentru orice ε > 0 exista δ(ε) > 0 astfel ıncat pentru oricet, s ∈ [a, b] si pentru orice f ∈ F sa avem:

|t− s| < δ(ε)⇒ ‖f(t)− f(s)‖ ≤ ε

Pentru ca D este densa ın [a, b] fie (a, t1, t2, . . . , tn, b) o diviziune a intervalului[a, b] cu norma mai mica ca δ(ε) si cu ti ∈ D pentru i ∈ 1, n. Atunci conformteoremei lui Tychonoff avem ca spatiul produs F(t1)×F(t2)×. . .F(tn) ınzestratcu norma:

‖(f1(t1), f2(t2), . . . , fn(tn))‖F(t1)×F(t2)×...F(tn)= maxi∈1,n

‖fi(ti)‖

este relativ compact. Ca atare, multimea (f(t1), f(t2), . . . , f(tn)) : f ∈ F esterelativ compacta. Atunci este precompacta si pentru orice ε > 0 existaf1, f2, · · · , fn(ε)

∈ F astfel ıncat pentru orice f ∈ F exista i(f) ∈ 1, n(ε)

astfel ıncat:maxi∈1,n

∥∥f(ti)− fi(f)(ti)∥∥ < ε.

Pentru orice t ∈ [a, b] avem ca exista un j ∈ 1, n astfel ıncat |t− tj | < δ.Dar atunci sa observam ca:∥∥f(t)− fi(f)(t)

∥∥ ≤ ‖f(t)− f(tj)‖+∥∥f(tj)− fi(f)(tj)

∥∥+∥∥fi(f)(tj)− fi(f)(t)∥∥


ceea ce ınseamna ca F este precompacta ın C([a, b], X). Deci ea este relativcompacta ın C([a, b], X).

Prezentam ın continuare doua consecinte importante ale teoremei:

Corolar 1.3.1 Fie F ∈C([a, b] , X) relativ compacta. Atunci:

F ([a, b]) = f(t) : f ∈ F , t ∈ [a, b]

este o multime relativ compacta ın X.

Demonstratie. Fie fn(tn) : n ∈ N un sir Atunci, din F ([a, b]), putemextrage un subsir fkn : n ∈ N care sa fie convergent uniform pe [a, b] la ofunctie g ∈ C([a, b] , X). Sirul tkn : n ∈ N este marginit deci putem extrageun subsir convergent la un t∗ ∈ [a, b], subsir pe care ıl vom presupune a fi chiarsirul tkn : n ∈ N. Evident, avem:

limn→∞

fkn(tkn) = g(t∗)

Intr-adevar:

||fkn(tkn)− g(t∗)|| ≤ ||fkn(tkn)− fkn(t∗)||+ ||fkn(t∗)− g(t∗)|| .

Primul termen din membrul al doilea poate fi facut oricat de mic datorita echi-continuitatii sirului fkn : n ∈ N iar al doilea termen poate fi facut oricat demic datorita convergentei uniforme a lui fkn la g.

Corolar 1.3.2 Fie U ⊂ X nevida si ınchisa, g : [a, b] × U → X o functiecontinua,

U = u ∈ C ([a, b] , X) : ∀t ∈ [a, b] , u(t) ∈ U

si fie G : U →C ([a, b] , X), operatorul de superpozitie atasat lui g:

G(u)(t) = g(t, u(t))

pentru orice t ∈ [a, b] si orice u ∈ U . Atunci G este o functie continua de la U laC ([a, b] , X), ambele spatii fiind considerate cu topologia convergentei uniforme.

Demonstratie. Fie umm∈N un sir din U , convergent uniform pe [a, b] la ofunctie u din U . Evident um : m ∈ N este relativ compacta ın C ([a, b] , X) .Atunci, conform corolarului precedent avem faptul ca multimea:

K = um(t);m ∈ N, t ∈ [a, b] ⊂ U

este compacta ın X. Ca o consecinta, avem ca restrictia lui g la [a, b]×K esteuniform continua ceea ce ınseamna ca pentru orice ε > 0 exista δ(ε) > 0, astfelıncat, pentru orice (t, v) , (s.w) ∈ [a, b]×K sa avem:

|t− s|+ ||v − w|| < δ(ε)⇒ ||g(t, v)− g(s, w)|| < ε.


Pentru ca umm∈N converge uniform pe [a, b] la u, exista un numar naturalm(ε) asa ıncat:

m > m(ε)⇒ ||um − u|| < δ(ε)

Din ultimele doua relatii rezulta concluzia corolarului.O familie de functii F se numeste uniform marginita pe [a, b] daca exista

M > 0 astfel ıncat pentru fiecare f ∈ F si pentru fiecare t ∈ [a, b] sa avem‖f(t)‖ ≤M .

Teorema 1.3.5 Fie F ⊂ C([a, b],Rn) o familie de functii echicontinue pe [a, b].Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

• F uniform marginita

• Exista o multime D ⊂ [a, b] densa ın [a, b] astfel ıncat pentru orice t ∈ D,multimiile:

F(t) = f(t) : f ∈ F

sunt relativ compacte ın Rn.

Demonstratie. Daca F uniform marginita atunci pentru orice t ∈ [a, b],multimea F(t) este marginita ın Rn. Dar acest lucru implica tocmai faptulca F(t) este relativ compacta.

Sa presupunem ca este adevarata a doua afirmatie. Faptul ca F(t) esterelativ compacta ın Rn implica F(t) marginita ın Rn. Deci pentru orice t ∈ Dexista o constanta M(t) astfel ıncat pentru orice f ∈ F :

‖f(t)‖ ≤M(t)

Familia F este echicontinua deci este uniform echicontinua astfel ca exista δ > 0astfel ıncat:

|t− s| < δ ⇒ ‖f(t)− f(s)‖ ≤ 1

Faptul ca D este densa ın [a, b] implica posibilitatea alegerii unei diviziuni(a, t1, t2, . . . , tn, b) a intervalului [a, b], cu norma mai mica decat δ si pentru oricei ∈ 1, n sa avem ti ∈ D. Dar atunci pentru orice t ∈ [a, b] exista j ∈ 1, n astfelıncat t− tj < δ. Astfel:

‖f(t)‖ ≤ ‖f(t)− f(tj)‖+ maxi∈1,n

‖M(ti)‖

deci familia F este uniform marginita.Ultima teorema arata ca ın cazul finit dimensional teorema Arzela-Ascoli

capata forma:

Teorema 1.3.6 (Arzela-Ascoli) O familie F ∈ C([a, b],Rn) este relativ com-pacta daca si numai daca:

• F este echicontinua pe [a, b];

• F este uniform marginita.


1.4 Semigrupuri de operatori liniari

Fie X un spatiu Banach si L(X) multimea operatoriilor liniari marginiti de laX cu valori ın X. Dupa cum am vazut, acesta, ınzestrat cu norma supremum,este un spatiu al lui Banach.

Definitia 1.4.1 O familie S(t); t ≥ 0 se numeste semigrup de operatoriliniari daca verifica:

• S(0) = I

• S(t+ s) = S(t)S(s) ∀t, s ∈ [0,+∞).

Daca ın plus:

• limt→0

S(t) = I

ın topologia normei lui L(X) atunci semigrupul se numeste uniform continuu.

Exemplul 1.4.1 FamiliaetA; t ≥ 0

unde etA este exponentiala unei matrici

A ∈Mn×n(R), S(t) = etA,

S(t) =

∞∑n=0

tn

n!An

defineste un semigrup de operatori liniari, uniform continuu.

Definitia 1.4.2 Se numeste generatorul infinitezimal al unui semigrup de ope-ratori liniar S(t); t ≥ 0, operatorul A : D(A) ⊂ X → X dat de:

D(A) =

x ∈ X : ∃ lim

t↓0

1

t(S(t)x− x)

Ax = lim

t↓0

1

t(S(t)x− x)

Spunem, echivalent, ca operatorul A genereaza semigrupul S(t); t ≥ 0.

Definitia 1.4.3 O familie de operatori G(t); t ∈ R se numeste grup de ope-ratori liniari pe X daca:

• G(0) = I

• G(t+ s) = G(t)G(s) ∀t, s ∈ R

Daca ın plus, acesta verifica conditia:

• limt↓0

G(t) = I

atunci grupul se numeste uniform continuu.


Teorema 1.4.1 Orice semigrup uniform continuu poate fi prelungit la un grupuniform continuu.

Teorema 1.4.2 Un operator liniar A : D(A) ⊂ X → X este generatorul unuisemigrup uniform continuu daca si numai daca D(A) = X si A ∈ L(X).

Pentru ambele teoreme se poate consulta [2, p. 38].Un exemplu de semigrup care nu este uniform continuu este prezentat mai

jos.

Exemplul 1.4.2 Fie X = Cu(R+), spatiul functiilor uniform continue si mar-ginite, de la R+ cu valori ın R, ınzestrate cu norma supremum si sa definim:

[S(t)f ] (s) = f(t+ s)

pentru orice f ∈ Cu(R+).Vom arata ca acesta este este un semigrup care nu este uniform continuu.

Este evident ca sunt ındeplinite conditiile din definitia semigrupului. Daca ampresupune ca are loc conditia de uniform continuitate, aceasta ar implica faptulca familia B(OR+ , 1) este echicontinua, ceea ce este fals. Un exemplu ın acestsens ıl constituie familia de functii fn;n ∈ N unde:

fn(x) =

xn x ∈ [0, 1]1 x > 1

care nu este echicontinua ın x = 1.Acest semigrup are ınsa proprietatea:

limt↓0

S(t)f = f

pentru orice f ∈ Cu(R+).

Definitia 1.4.4 Un semigrup de operatori liniari S(t); t ≥ 0 se numestesemigrup de clasa C0 daca pentru orice x ∈ X avem:

limt↓0

S(t)x = x.

Teorema 1.4.3 Daca S(t); t ≥ 0 este un semigrup de clasa C0 atunci existaM ≥ 1 si ω ∈ R astfel ıncat:

‖S(t)‖L(X) ≤Metω

pentru orice t ≥ 0.

Demonstratie. In primul rand sa aratam ca exista M > 0 si η > 0 astfel ıncat:

‖S(t)‖L(X) ≤M


pentru orice t ∈ [0, η]. Presupunem prin reducere la absurd ca nu este adevaratenuntul de mai sus. Atunci exista cel putin un C0 semigrup S(t); t ≥ 0 astfelıncat pentru orice η > 0 si pentru orice M ≥ 1 exista tη,M ∈ [0, η] astfel ıncat:

M < ‖S(tη,M )‖L(X) .

Atunci, pentru η = 1/n, M = n si punand pe tn = tη,M pentru orice n ∈ Nvom avea:

n < ‖S(tn)‖L(X) . (1.4.1)

Dar pentru ca tn ∈ [0, 1/n], urmeaza ca pentru orice x ∈ X avem:

limn→∞

S(tn)x = x.

Deci familia S(tn);n ∈ N este punctual marginita. Atunci conform principiu-lui marginirii uniforme, aceasta este global marginita ceea ce este ın contradictiecu (1.4.1). Contradictia poate fi eliminata doar daca presupunerea facuta estefalsa. Atunci exista un n ∈ N si un δ ∈ [0, η) astfel ıncat t = nη + δ. Avem:

‖S(t)‖L(X) = ‖Sn(η)S(δ)‖L(X) ≤MMn.

Dar n = t−δη ≤

tη , deci renotand ω = 1

η lnM , obtinem concluzia teoremei.

Definitia 1.4.5 Un semigrup C0 se numeste de tip (M,ω) cu M ≥ 1 daca areloc conditia:

‖S(t)‖L(X) ≤Metω

pentru orice t ≥ 0. Semigrupul C0 se numeste de contractii daca este de tipul(1, 0).

Definitia 1.4.6 Un operator A se numeste ınchis daca multimea

graphA = (x, y) ∈ X ×X : y = Ax

este ınchisa ı n X ×X considerat cu topologia spatiului produs.

Definitia 1.4.7 Fie A : D(A) ⊂ X → X un operator liniar. Atunci multimearezolvanta a lui A, ρ(A), este formata din acele numere complexe λ ∈ C pentrucare operatorul (λI − A)−1 este dens definit si continuu de la (λI − A)(X) laX.

Teorema 1.4.4 (Hille-Yosida) Un operator liniar A : D(A) ⊂ X → X estegeneratorul infinitezimal al unui semigrup C0 de contractii daca si numai daca:

• A este dens definit si ınchis

• (0,+∞) ⊂ ρ(A) si pentru orice λ > 0 avem

‖R(λ;A)‖L(X) ≤1

λ.


Vezi [2, p. 51].

Teorema 1.4.5 Un operator liniar A : D(A) ⊂ X → X este generatorul infi-nitezimal al unui grup C0 de izometrii daca si numai daca:

• A este dens definit si ınchis

• R∗ ⊂ ρ(A) si pentru orice λ ∈ R∗ avem

‖R(λ;A)‖L(X) ≤1

|λ|

Vezi [2, p. 63].In cele ce urmeaza consideram spatiul functiilor patrat sumabile:

L2(0, π) =

f : [0, π]→ R :

∫ π

0

f2(x)dx < +∞

si spatiile:

H10 (0, π) =

f ∈ L2(0, π) : ∃f ′ ∈ L2(0, π), f(0) = f(π) = 0

H2(0, π) =

f ∈ L2(0, π) : ∃f ′, f ′′ ∈ L2(0, π)

.

Spatiul L2(0, π) ınzestrat cu produsul scalar definit prin relatia:

〈·, ·〉L2(0,π) : L2(0, π)× L2(0, π)→ R

〈f, g〉L2(0,π) =

∫ π

0

f(t)g(t)dt

este un spatiu Hilbert

Propozitia 1.4.1 Operatorul A : D(A) ⊂ L2(0, π)→ L2(0, π) definit de:D(A) = H1

0 (0, π) ∩H2(0, π)Au = u′′

este generatorul infinitezimal al unui C0 semigrup de contractii.

Demonstratie. Sa consideram pentru orice f ∈ L2(0, π), ecuatia:λu− u′′ = fu(0) = u(π) = 0.

(1.4.2)

Cautam solutiile de forma:

u(t) = c1(t)eλt + c2(t)e−λt

unde: c′1(t)eλt + c′2(t)e−λt = 0λc′1(t)eλt − λc′2(t)e−λt = f.


Rezolvand sistemul, gasim:c1(t) = c1(0) +

∫ t

0

e−λs

λds

c2(t) = c2(0)−∫ t

0

eλs

λds.

(1.4.3)

Dar avem u(0) = u(π) = 0, astfe ca:c1(0) + c2(0) = 0c1(π)eλπ + c2(π)e−λπ = 0.

(1.4.4)

Din (1.4.3) avem: c1(π)− c1(0) =

∫ π

0

e−λs

λds

c2(π)− c2(0) = −∫ π

0

eλs

λds.

(1.4.5)

Dar ecuatiile (1.4.4) si (1.4.5) formeaza un sistem de patru ecuatii cu patrunecunoscute al carui determinant este nenul:∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0 00 0 eλπ e−λπ

−1 0 1 00 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0

Atunci solutia ecuatiei (1.4.2) este unica. O vom distinge prin uλ. ConsiderandR(λ;A) : L2(0, π)→ H1

0 (0, π) ∩H2(0, π)R(λ;A)f = uλ

avem ca:

λuλ − u′′λ = f

〈λuλ − u′′λ, uλ〉L2(0,π) = 〈f, uλ〉L2(0,π)

λ ‖uλ‖2L2(0,π) − 〈u′′λ, uλ〉L2(0,π) = 〈f, uλ〉L2(0,π) ≤ ‖f‖L2(0,π) ‖uλ‖L2(0,π) .

Sa observam ca:

〈u′′λ, uλ〉L2(0,π) =

∫ π

0

u′′λ(s)uλ(s)ds = −∫ π

0

[u′λ(s)]2ds = −‖uλ‖2L2(0,π) ≤ 0.

Din ultimele doua relatii obtinem ca:

λ ‖uλ‖2L2(0,π) ≤ ‖f‖L2(0,π) ‖uλ‖L2(0,π)

‖uλ‖L2(0,π) ≤ 1

λ‖f‖L2(0,π) ,

astfel ca operatorul A defineste un semigrup de contractii.


Propozitia 1.4.2 Operatorul A : D(A) ⊂ H10 (0, π) × L2(0, π) → H1

0 (0, π) ×L2(0, π) definit prin:

D(A) =[H1

0 (0, π) ∩H2(0, π)]×H1

0 (0, π)A(u, v) = (v, u′′)

este generatorul unui grup C0 de izometrii.

Demonstratie. In primul rand, H10 (0, π) × L2(0, π), considerat ımpreuna cu

produsul scalar 〈·, ·〉H10 (0,π)×L2(0,π) definit de:

〈(u1, v1), (u2, v2)〉H10 (0,π)×L2(0,π) =

∫ π

0

u′1(x)u′2(x)dx+

∫ π

0

v1(x)v2(x)dx

este spatiu Hilbert.Fie (f1, f2) ∈ H1

0 (0, π)× L2(0, π) si λ ∈ R∗. Atunci sa consideram ecuatiile:λu− v = f1λv − u′′ = f2

Inmultind prima ecuatie cu λ si adunand-o la a doua ecuatie, obtinem:λ2u− u′′ = λf1 + f2u(0) = u(π) = 0

ecuatie despre care stim ca admite o solutie unica uλ ∈ H10 (0, π) ∩ H2(0, π).

Atunci revenind ın prima ecuatie:

vλ = λuλ + f1

care este evident din H10 (0, π). In continuare, avem ca:

(λu− v, λv − u′′) = (f1, f2)

〈(λu− v, λv − u′′), (u, v)〉 = 〈(f1, f2), (u, v)〉〈λu′ − v′, u′〉L2(0,π) + 〈λv − u′′, v〉L2(0,π) = 〈(f1, f2), (u, v)〉 .

Dar sa observam ca:

〈λu′ − v′, u′〉L2(0,π) + 〈λv − u′′, v〉L2(0,π) =

λ ‖u′‖2L2(0,π) − 〈v′, u′〉L2(0,π) + λ ‖v‖2L2(0,π) − 〈u

′′, v〉L2(0,π) =

λ ‖u′‖2L2(0,π) + λ ‖v‖2L2(0,π) =

= λ ‖(u, v)‖2

astfel ca:

λ ‖(u, v)‖2H10 (0,π)×L2(0,π) = 〈(f1, f2), (u, v)〉H1

0 (0,π)×L2(0,π)

≤ ‖(u, v)‖H10 (0,π)×L2(0,π) ‖(f1, f2)‖H1

0 (0,π)×L2(0,π)

‖(u, v)‖H10 (0,π)×L2(0,π) ≤ 1

λ‖(f1, f2)‖H1

0 (0,π)×L2(0,π) ,

ceea ce ıncheie demonstratia propozitiei.

2 PROBLEMA EXISTENTEI LOCALE 25

2 Problema existentei locale

2.1 Teorema lui Peano

Fie X un spatiu Banach, D ⊆ R×X o multime nevida, deschisa. Fie (a, ξ) ∈ Dsi sa consideram problema Cauchy:

u′ = f(t, u)u(a) = ξ.

(2.1.1)

Daca X este finit dimensional si f este continua, problema de mai sus aresolutie pentru orice (a, ξ) ∈ D. In cazul infinit dimensional aceast rezultat nuse transpune exact ın aceasta forma, dupa cum rezulta din exemplul de mai jos.

Fie X = c0 spatiul siruriilor reale (xn)n∈N∗ cu limn→∞

xn = 0, ınzestrat cu

norma supremum definita de:∥∥(xn)n∈N∗

∥∥ = supn∈N∗

|xn|

pentru orice sir din c0. Acest spatiu este Banach, infinit dimensional. Fief : X → X data de relatia:(

f((xn)n∈N∗

)k

)k∈N∗ =

(2√|xk|

)k∈N∗

pentru orice (xn)n∈N∗ din c0. Fie ξ = ( 1n )n∈N∗ si sa consideram problema:

u′ = f(u)u(0) = ξ.

Sa observam ca u : [0, δ) → X este o solutie pentru problema de mai sus dacasi numai daca (uk)k∈N∗ este o solutie a sistemului de ecuatii diferentiale:

u′k = 2√|uk|,

u(0) = 1/k,k = 1, 2, . . . .

Sa presupunem ca acest sistem are solutii. Evident solutiile sunt de forma:

uk(t) = (t+ 1/k)2

pentru orice k ∈ N∗. Dar atunci pentru orice t > 0 avem ca:

limk→∞

uk(t) = t2,

relatie ce contrazice faptul ca uk(t) ∈ c0, pentru orice t > 0.Contradictia poate fi eliminata doar daca problema Cauchy (2.1.1), cu X, f

si ξ ca mai sus, nu are solutie.Analizand demonstratia teoremei lui Peano din cazul finit dimensional(vezi

[2, p. 55]) putem sa tragem concluzia ca fenomenul de neexistenta ın cazul


infinit dimensional este cauzat de lipsa de relativa compactitate a multimiilormarginite ın aceste spatii. Acest contraexemplu arata ca, ınafara continuitatii,trebuie impuse conditii suplimentare asupra lui f care sa suplineasca deficitulde relativa compactitate a multimiilor marginite.

Definitia 2.1.1 Functia f : D → X se numeste b-compacta daca pentru orice[a, b] ⊂ R, ξ ∈ X si r > 0 cu [a, b]×B(ξ, r) ⊂ D, f([a, b]×B(ξ, r)) este relativcompacta ın X.

Functia f : D → X se numeste compacta daca duce multimiile marginite dinD ın multimi relativ compacte din X.

Observatia 2.1.1 Orice functie compacta este b-compacta dar reciproca nueste adevarata. Un exemplu ın acest sens ıl constituie cazul ın care X = R, sif : (0,∞)× (0,∞)→ R, f(t, u) = 1/u.

In cele ce urmeaza vom arata ca daca f : D → X este o functie b-compactasi continua atunci pentru orice (a, ξ) ∈ D problema Cauchy (2.1.1) are solutielocala. Vom analiza, ın primul rand, cazul cel mai simplu, f : I × X → X cuI ⊂ R, I 6= ∅, f continua pe I×X si f(I×X) relativ compacta ın X, apoi vomtrece la cazul general.

Fie f : I ×X → X o functie continua, (a, ξ) ∈ I ×X si λ > 0, δ > 0 astfelıncat [a, a+ δ] ⊂ I. Sa consideram ecuatia integrala:

uλ(t) =

ξ daca t ∈ [a− λ, a]

ξ +

∫ t

a

f(s, uλ(s− λ)) daca t ∈ (a, a+ δ] .(2.1.2)

Lema 2.1.1 Daca f : I × X → X este continua, atunci, pentru orice λ > 0,pentru orice (a, ξ) ∈ I×X si pentru orice δ > 0 cu proprietatea ca [a, a+ δ] ⊂ I,problema (2.1.2) are o solutie unica pe intervalul [a− λ, a+ δ] .

Demonstratie. Evident uλ este unica pe intervalul [a− λ, a] . Atunci pentruorice t ∈ (a, a+ λ] si pentru orice s ∈ [a, t] , avem s − λ ∈ [a− λ, a] . Astfelobtinem:

uλ(t) = ξ +

∫ t

a

f(s, ξ)ds

asa ıncat uλ este bine definita pe [a, a+ δ]. Procedand analog putem determinape uλ pe fiecare din intervalele [a+ iλ, a+ (i+ 1)λ] , 1 ≤ i. Evident exista unm natural astfel ıncat mλ > δ , deci uλ va fi unic determinata dupa m pasi peintervalul [a− λ, a+ δ].

Dupa cum am mentionat si mai sus, vom demonstra mai ıntai un rezultatde existenta auxiliar.

Lema 2.1.2 Daca f : I×X → X este continua si f(I×X) este relativ compacta,atunci pentru orice (a, ξ) ∈ I×X si pentru orice δ > 0 asa ıncat [a, a+ δ] ⊂ I,problema (2.1.1) are cel putin o solutie definita pe [a, a+ δ].


Demonstratie. Fie (a, ξ) ∈ I×X si δ > 0 asa ıncat [a, a+ δ] ⊂ I, fie m ∈ N sisa consideram ecuatiile integrale:

um(t) =

ξ, daca t ∈ [a− δm, a]

ξ +

∫ t

a

f(s, um(s− δm))ds, daca t ∈ (a, a+ δ](2.1.3)

unde δm = δ/m. Sa observam ca, pentru orice m ∈ N∗, (2.1.3) admite o solutieunica continua um : [a− δm, a+ δ]→ X. Vom arata ca familia de functiium; m ∈ N ındeplineste conditiile teoremei Arzela-Ascoli.

Pentru fiecare t ∈ [a, a+ δ] avem ca functia g : [a, t]→ f (I×X) definita derelatia:

g(s) = f(s, um(s− δm))

este continua. Deci, conform corolarului (1.1.1), multimea:

um(t) : m ∈ N =

ξ +

∫ t

a

f(s, um(s− δm))ds

este relativ compacta.

In al doilea rand, din (2.1.3), avem ca:

‖um(t)− um(s)‖ ≤∫ t

s

‖f(σ, um(σ − δm))‖ dσ ≤M |t− s|

pentru orice m ∈ N∗ si pentru orice (t, s) ∈ [a, a+ δ]. Urmeaza ca um; m ∈ Nadmite un subsir uniform convergent la o functie u : [a, a+ δ] → X. Pentrusimplitatea scrierii vom considera um; m ∈ N ca fiind subsirul ın cauza. Inmod clar avem:

limn→∞

um(s− δm) = u(s)

uniform pentru s ∈ [a, a+ δ] . Pentru ca f este continua, conform corolarului1.3.2 este permisa trecerea la limita sub semnul de integrala din (2.1.3) Astfelfunctia u verifica relatia:

u(t) = ξ +

∫ t

a

f(s, u(s))ds

pentru orice t ∈ [a, a+ δ] . Astfel avem ca x : I ×X → X este solutia ecuatiei(2.1.1).

Teorema 2.1.1 Daca f : D → X este continua pe D si b-compacta atuncipentru fiecare (a, ξ) ∈ I×X, problema (2.1.1) are cel putin o solutie locala.

Demonstratie. Fie (a, ξ) ∈ D. Pentru ca D este o multime deschisa avemgarantata existenta unui d > 0 si a unui r > 0 asa ıncat:

[a− d, a+ d]×B(ξ, r) ⊂ D


Sa definim ρ : X → X prin:

ρ(y) =

y, y ∈ B(ξ, r)

r

‖y − ξ‖(y − ξ) + ξ, y ∈ X\B(ξ, r).

(2.1.4)

Este usor de verificat ca ρ este continua si ρ(X) = B(ξ, r).Sa definim g : (a− d, a+ d)×X → X prin:

g(t, y) = f(t, ρ(y))

pentru orice (t, y) ∈ (a− d, a+ d)×X.Pentru ca f este b-compacta f ([a− d, a+ d])×B(ξ, r) este relativ compacta

astfel ca g ([a− d, a+ d]×X) este relativ compacta. Conform lemei precedente,pentru orice d′ ∈ (0, d) problema Cauchy:

u′ = g(t, u)u(a) = ξ

are cel putin o solutie u : [a, a+ d′] → X. Pentru ca u(a) = ξ si u estecontinua ın t = a, pentru r > 0 exista δ ∈ (0, d′] astfel ıncat pentru oricet ∈ [a, a+ δ] , ‖u(t)− ξ‖ ≤ r. Dar, ın acest caz, g(t, u(t)) = f(t, u(t)), si astfelca u : [a, a+ δ]→X este solutie a problemei (2.1.1).

Sa consideram ın continuare X = Rn si sa demonstram ca ın acest caz,daca D ⊆ R×X este o multime deschisa atunci daca f este continua, f esteb-compacta.

Lema 2.1.3 Fie f : I× Rn → Rn o functie continua. Atunci f este b-compacta.

Demonstratie. Fie [a, b] ⊂ I si B(ξ, r) ⊂ X. Atunci sa presupunem caf([a, b]×B(ξ, r)) nu este relativ compacta ın Rn. Atunci multimeaf([a, b]×B(ξ, r)) nu este marginita. Acest lucru implica existenta a doua siruri(tn)n∈N ⊂ [a, b] si (ξn)n∈N ∈ B(ξ, r) astfel ıncat:

limn→∞

‖f(tn, ξn)‖ = +∞. (2.1.5)

Dar (tn)n∈N ⊂ [a, b], deci conform lemei lui Cesaro admite un subsir convergent(tnk

)k∈N catre un element t0. Sirul (ξnk)k∈N este inclus ın B(ξ, r) deci putem

extrage un subsir convergent catre un element ξ0. Trecand la limita pe acestsubsir ın relatia (2.1.5) obtinem ca ‖f(t0, ξ0)‖ = +∞, ceea ce este absurd.

Teorema 2.1.2 Fie I × Ω ⊂ R × Rn o multime deschisa si f : I × Ω → Rn ofunctie continua. Atunci f este b-compacta.

Demonstratie. Fie [a, b] ⊂ I si B(ξ, r) ⊂ Ω. Sa consideram functia ρ : Rn →B(ξ, r) definita ca ın relatia (2.1.4). Atunci putem defini functia g : I× Rn →Rn prin:

g(t, y) = f(t, ρ(y))


pentru orice y din Rn si pentru orice t din I. Este evident ca functia g estecontinua si atunci conform lemei de mai sus, ea este b-compacta. Pentru caavem relatia:

g([a, b]×B(ξ, r)) = f([a, b]×B(ξ, r))

obtinem concluzia teoremei.Astfel obtinem teorema lui Peano din cazul finit dimensional:

Teorema 2.1.3 (Peano) Daca f : I × Ω → Rn este continua pe I × Ω atuncipentru fiecare (a, ξ) ∈ I× Ω , 2.1.1 are cel putin o solutie locala.

2.2 Solutii saturate

Fie D ⊆ R×X, o multime nevida, deschisa, fie f : D → X o functie data si(a, ξ) ∈ D. Sa consideram problema Cauchy:

u′ = f(t, u)u(a) = ξ

(2.2.1)

Definitia 2.2.1 O solutie u : J→ X a problemei (2.2.1) se numeste continua-bila daca exista o alta solutie v : K→ X a problemei (2.2.1) astfel ıncat J ⊂ Ksi u(t) = v(t) pentru orice t ∈ J unde I si J sunt intervale nedegenerate ce continpunctul a.

Definitia 2.2.2 O solutie se numeste saturata daca nu este continuabila.

Daca proiectia lui D pe R contine (0,∞), atunci:

Definitia 2.2.3 O solutie u : [a, b) → X se numeste globala daca este definitape [a,∞).

Lema 2.2.1 Fie f : D → X o functie b-compacta pe D. Atunci o solutie estecontinuabila daca si numai daca exista:

u∗ = limt↑b

u(t) (2.2.2)

si(b, u∗) ∈ D (2.2.3)

Demonstratie. Partea de necesitate este evidenta. Partea de suficienta este oconsecinta a teoremei de existenta locala. Intr-adevar, daca conditiile (2.2.2) si(2.2.3) sunt ındeplinite atunci problema:

u′ = f (t, u)u (b) = u∗

are o solutie, v : [b, c) → X. Invocand principiul concatenarii(vezi [3, p. 51]),functia:

z(t) =

u(t) t ∈ [a, b)v(t) t ∈ b, c)

este o solutie a lui (2.2.1) care prelungeste pe u.


Observatia 2.2.1 Din propozitia de mai sus reiese faptul ca o solutie saturataa problemei (2.2.1) este neaparat definita pe un interval de forma [a,b).

Propozitia 2.2.1 Fie u : [a, b]→ X o solutie a lui (2.2.1) si sa presupunem cab <∞ si ca exista M > 0 astfel ıncat:

‖f(t, u(t))‖ ≤M

pentru orice t ∈ (a, b). Atunci exista:

u∗ = limt↑b

u(t)

Demonstratie. Sa observam ca pentru orice t, s ∈ [a, b] avem:

‖u(t)− u(s)‖ ≤∣∣∣∣∫ t

s

‖f(σ)‖ dσ∣∣∣∣ ≤M |t− s| .

Deci u verifica criteriul lui Cauchy de existenta a limitei finite ın punctul b.

Teorema 2.2.1 Fie f : D → X, b-compacta si u : [a, b) → X o solutie aproblemei (2.2.1). O conditie necesara si suficienta ca u sa fie continuabilaeste ca multimea graph(u) = (t, u(t))∈R×X : t ∈ [a, b) sa fie inclusa ıntr-omultime compacta a lui D.

Demonstratie. Sa presupunem ca u este continuabila. Deci poate fi prelungitaprin continuitate la o functie v : [a, b]→ X. Avem atunci

(t, u(t)); t ∈ [a, b] ⊂ [a, b]× v([a, b]).

Dar [a, b]× v([a, b]) este compacta, ceea ce demonstreaza necesitatea conditiei.Sa presupunem acum ca multimea graph(u) este inclusa ıntr-o submultime

compacta a lui D. Atunci f este marginita pe grafic si deci exista un M > 0astfel ıncat:

‖f(t, u(t))‖ ≤Mpentru orice t ∈ [a, b). Concluzia este o consecinta a propozitiei anterioare.

Teorema 2.2.2 Daca f : D → X este b-compacta si u este o solutie a problemei(2.2.1) atunci fie u este saturata fie poate fi continuata pana la o solutie saturata.

Demonstratie. Daca u este saturata, atunci nu este nimic de demonstrat.Daca u este continuabila, sa consideram S multimea tuturor solutiilor problemei(2.2.1) care prelungesc pe u. Pentru ca u ∈ S si u este continuabila, atunci Scontine cel putin doua elemente. Pe S consideram relatia definita prin: v wdaca w prelungeste pe v. Fie T ⊂ S, o multime total ordonata si ui : [a, bi)→ Xelementele sale. Sa consideram functia: u : [a, supi∈I bi)→ X

u(t) = ui(t), t ∈ [a, bi), i ∈ I.

Functia u(t) este binedefinita si este un majorant relativ la S fata de relatia .Deci lema lui Zorn este aplicabila ın acest context. Aceasta ınseamna ca existacel putin un element maximal um ∈ S. Din definitia si din maximilitatea luium, obtinem ca um este saturata.


Corolar 2.2.1 Daca f : D → X este b-compacta atunci pentru orice (a, ξ) ∈ D,problema (2.2.1) are cel putin o solutie saturata.

Definitia 2.2.4 Un punct u∗ ∈ X se numeste punct limita pentru functiau : [a, b)→ X cand t ↑ b, daca exista un sir (tk)k∈N∗ astfel ıncat

limk→∞

u(tk) = u∗.

Multimea punctelor limita a unei functii u : [a, b)→ X cand t ↑ b se noteazacu Limt↑bu(t).

Teorema 2.2.3 Fie f : D → X b-compacta si u : [a, b)→ X o solutie saturataa problemei (2.2.1). Atunci are loc una si numai una din conditiile:

• u este nemarginita;

• u este marginita si u este globala;

• u este marginita si nu este globala, caz ın care fie Limt↑bu(t) este vida fiepentru orice u∗ ∈ Limt↑bu(t) avem (b, u∗) ∈ ∂D.

Demonstratie. Presupunem ca u : [a, b) → X este marginita, b < ∞ siLimt↑bu(t) 6= ∅. Sa presupunem ca (b, u∗) 6∈ ∂D. Atunci exista c > b,r > 0 astfel ıncat [a, c) × B(u∗, r) ⊂ D. Ideea este sa demonstram ca existalimt↑b u(t) = u∗. Cum f este continua, diminuand eventual pe r > 0, exista oconstanta M > 0 astfel ıncat:

‖f(t, u)‖ ≤M

pentru orice (t, u) ∈ [a, b]×B(u∗, r). Pentru ca limk→∞ tk = b si limk→∞ u(tk) =u∗ putem alege k ∈ N∗ astfel ıncat:

b− tk < r2M

‖u(tk)− u∗‖ < r2

Fixam un astfel de k. Vom demonstra ca pentru orice t ∈ [tk, b) avemu(t) ∈ B(u∗, r). Fie

t∗ = supt ∈ [tk, b) : ∀s ∈ [tk, t), u(s) ∈ B(u∗, r)

Daca t∗ = b, atunci nu este nimic de demonstrat. Sa presupunem atunci cat∗ < b. Atunci exisa un sir sk ↓ t∗ astfel ıncat pentru orice k ∈ N∗:

‖u(sk)− u∗‖ > r.

Daca tinem cont de definitia lui t∗ obtinem ca ‖u(t∗)− u∗‖ = r. Dar atunci:

r = ‖u(t∗)− u∗‖ ≤ ‖u(t∗)− u(tk)‖+ ‖u(tk)− u∗‖

≤∫ t∗

tk

‖f(σ, u(σ))‖ dσ + ‖u(tk)− u∗‖ ≤ (t∗ − tk)M + ‖u(tk)− u∗‖

≤ (b− tk)M + ‖u(tk)− u∗‖ < r

2+r

2= r


Contradictia r < r provine din presupunerea ca t∗ < b. Atunci t∗ = b si decipentru orice t ∈ [tk, b) avem u(t) ∈ B(u∗, r). Cum r poate fi facut oricat demic, avem ca limt↑b u(t) = u∗ care ımpreuna cu observatia evidenta (b, u∗) ∈ Dduc la contradictia u : [a, b)→ X este continuabila. Aceasta poate fi eliminatadoar daca u∗ ∈ ∂D.

Daca impunem functiei f o conditie mai puternica, rezultatul care se obtineeste mai profund.

Teorema 2.2.4 Fie f : D → X b-compacta si sa presupunem ca f duce multimimarginite din D ın multimi marginite din X. Fie u : [a, b) → X o solutiesaturata a problemei (2.2.1). Atunci are loc una si numai una din conditiile

• u este nemarginita si daca b <∞ atunci limt↑b‖u(t)‖ =∞ sau

• u este marginita si u este globala sau

• u este marginita si nu este globala caz ın care exista u∗ = limt↑b

u(t) si avem

(b, u∗) ∈ ∂D.

Demonstratie. Sa presupunem ca nu au loc prima si a doua conditie. Atunciınseamna ca u(t) : t ∈ [a, b) este marginita si astfel multimea(t, u(t)) : t ∈ [a, b) este marginita. Cum f duce multimi marginite ın multimimarginite, exista M > 0 astfel ıncat:

‖f(t, u(t))‖ ≤M

pentru orice t ∈ [a, b). Dar acest lucru implica existenta limitei lui u ın t = b siconform teoremei precedente (b, u∗) ∈ ∂D. Sa presupunem ca nu au loc ultimeledoua conditii si b < ∞. Sa presupunem ca exista un sir (tk)k∈N∗ convergent lab pentru care exista r > 0 astfel ıncat ‖u(tk)‖ < r pentru orice k ∈ N∗. FieC = v ∈ Ω : ‖v‖ < r + 1 unde Ω este proiectia lui D pe X. Pentru ca f ducemultimi marginite ın multimi marginite, exista M > 0 astfel ıncat:

‖f(t, v)‖ ≤M

pentru orice (t, v) ∈ [a, b) × C. Sa alegem un numar real d > 0 astfel ıncatdM < 1 si sa fixam k ∈ N∗ astfel ıncat b − d < tk < b. Pentru ca u estenemarginita pe [a, b) exista un t∗ ∈ (tk, b) astfel ıncat ‖u(t∗)‖ = r + 1 si pentruorice σ ∈ [tk, t

∗) avem:‖u(σ)‖ < r + 1.

Sa observam ca ın acest caz:

r + 1 = ‖u(t∗)‖ =

∥∥∥∥∥u(tk) +

∫ t∗

tk

f(σ, u(σ))dσ

∥∥∥∥∥≤ ‖u(tk)‖+

∫ t∗

tk

‖f(σ, u(σ))‖ dσ

≤ r + dM < r + 1.


Contradictia poate fi eliminata doar daca:

limt↑b‖u(t)‖ =∞.

Observatia 2.2.2 Daca D = R+×X atunci orice functie f : D → X compactaduce multimi marginite ın multimi marginite

Corolar 2.2.2 Fie f : R+ ×X → X compacta. Atunci o solutie saturata estefie globala fie nu este globala, caz ın care exista limita:

limt↑b‖u(t)‖ =∞.

Demonstratie. Daca b < ∞, u este ın mod necesar nemarginita pe [a, b).Daca presupunem contrariul atunci u are cel putin un punct limita cand t ↑ bsi acesta apartine frontierei multimii R+×X care este multimea vida. Deci unu poate fi marginita pe [a, b). Atunci concluzia urmeaza din observatia de maisus si teorema 4.

Corolar 2.2.3 Fie f : R+×X → X compacta. O conditie necesara si suficientapentru ca o solutie u : [a, b)→ X a problemei (2.2.1) sa fie continuabila este cab <∞ si u sa fie marginita pe [a, b).

Demonstratie. Daca u este continuabila atunci evident b <∞ si exista limita:limt↑b u(t) = u∗. Prelungind functia u prin continuitate pe [a, b] tragem conclu-zia ca u este marginita. Daca b < ∞ si u(t) este marginita, concluzia urmeazadin Propozitia 2.2.1 si din Lema 2.2.1.

In sfarsit vom prezenta un criteriu de existenta a solutiilor globale pentruproblema (2.2.1).

Teorema 2.2.5 Fie f : R+×X → X compacta si sa presupunem ca existadoua functii continue h, k : R+ → R+ astfel ıncat:

‖f(t, u)‖ ≤ h(t) ‖u‖+ k(t)

pentru orice (t, u) ∈ R+×X. Atunci pentru orice (a, ξ) ∈ R+ × X, problema(2.2.1) are cel putin o solutie globala.

Demonstratie. Fie u : [a, b) → X o solutie saturata a lui (2.2.1) si sa pre-supunem ca b < ∞. Cum h, k sunt continue atunci restrictiile lor la intervalulcompact [a, b] sunt marginite. Fie M1, respectiv M2 aceste constante. Atunci:

‖u(t)‖ ≤ ‖ξ‖+

∫ t

a

‖f(t, u(s))‖ ds ≤ ‖ξ‖+

∫ t

a

h(s) ‖u‖+ k(s) ds

= ‖ξ‖+M2 +

∫ t

a

M1 ‖u(s)‖ ds


Se observa ca lema Gronwall este aplicabila ın acest caz si astfel:

‖u(t)‖ ≤ (ξ +M2)e(b−a)M1

pentru orice t ∈ [a, b). Deci u este marginita si luand ın considerare corola-rul precedent am obtine ca u este continuabila. Aceasta contradictie poate fieliminata doar daca b =∞, adica solutia este globala

2.3 Problema u′ = f(t, u) + g(t, u)

Fie X un spatiu Banach si D ⊆ R×X o multime nevida, deschisa. In acestparagraf vom demonstra un rezultat de existenta pentru o clasa de problemeCauchy de tipul:

u′ = f(t, u) + g(t, u)u(a) = ξ

(2.3.1)

unde f : D → X este o functie continua si b-compacta iar g : D → X este ofunctie continua pe D si local Lipschitz ın al doilea argument.

Definitia 2.3.1 Functia g : D → X se numeste local Lipschitz relativ la ultimulargument daca pentru orice (a, ξ) ∈ D exista b > a, exista r > 0, si L = La,ξpozitiv astfel ıncat [a, b]×B (ξ, r) ⊂ D si

‖g (t, u)− g (t, v)‖ ≤ L ‖u− v‖

pentru orice (t, u) , (t, v) din [a, b]×B (ξ, r) .

Definitia 2.3.2 Prin solutie a acestei probleme vom ıntelege o functie de clasaC1, u : [a, b] → X, cu proprietatea ca pentru orice t ∈ [a, b], (t, u (t)) ∈ D,u′(t) = f(t, u(t)) + g(t, u(t)), cat si conditia initiala u(a) = ξ.

Teorema 2.3.1 Fie f : D → X o functie continua si b-compacta iar g : D → Xo functie continua pe D si local Lipschitz ın ultimul argument. Atunci pentruorice (a, ξ) ∈ D exista b > a, astfel ıncat (2.3.1) sa aiba cel putin o solutiedefinita pe [a, b].

O sa demonstram aceasta teorema cu ajutorul a trei leme. In primul randsa demonstram o varianta a bine cunoscutei leme Gronwall.

Lema 2.3.1 (Gronwall) Fie x, k : [a, b)→ R+ masurabile cu s 7→ k(s)x(s) sis 7→ k(s) integrabile pe [a, b). Fie m ≥ 0 si sa presupunem ca:

x(t) ≤ m+

∫ t

a

k(s)x(s)ds

a.p.t. pe [a, b). Atunci:

x(t) ≤ me∫ tak(s)ds

a.p.t. pe [a, b) .


Demonstratie. Fie y (t) = m+∫ tak (s)x (s) ds. Atunci y este a.p.t. derivabila

si:y′(t) = k(t)x(t) ≤ k(t)y(t)

a.p.t. pe [a, b). Deci obtinem ca:

d

dt

(y(t)e−

∫ tak(s)ds

)≤ 0

a.p.t. pe [a, b). Integrand de a la t obtinem ca:

y(t) ≤ e∫ tak(s)ds

a.p.t. pe [a, b). Pentru ca x(t) ≤ y(t), a.p.t. pe [a, b), obtinem concluzia lemei.

In urmatoarele leme, I semnifica un interval cu interiorul nevid dar nu esteneaparat nevoie ca I sa fie deschis.

Lema 2.3.2 Fie g : I×X → X, continua pe I×X si Lipschitz pe X ın a douavariabila. Atunci pentru orice (a, ξ) ∈ I×X, pentru orice b > a cu [a, b] ⊂ I, sipentru orice h ∈ L1 (a, b,X), problema:

u′ = g(t, u) + h(t)u(a) = ξ

(2.3.2)

are solutie unica S (h) definita pe [a, b]. In plus, operatorul h→ S (h), satisface:

‖S (h1)− S (h2)‖C([a,b],X) ≤ e(b−a)L ‖H1 −H2‖C([a,b],X)

unde L > 0 este constanta Lipschitz a lui g si

Hi (t) =

∫ t

a

hi(s)ds, i ∈ 1, 2, t ∈ [a, b] .

Demonstratie. Fie a ∈ I, b > a cu [a, b] ⊂ I, ξ ∈ X si h ∈ L1 (a, b,X). DefinimQ : C ([a, b] , X)→ C ([a, b] , X) prin:

Q(u)(t) = ξ +

∫ t

a

g(s, u(s))ds+

∫ t

a

h(s)ds

pentru orice u ∈ C ([a, b] , X), si pentru orice t ∈ [a, b]. Sa observam ca pentruorice u, v ∈ C ([a, b] , X) si pentru orice t ∈ [a, b] avem:

‖Q(u)(t)−Q(v)(t)‖ ≤ L(t− a) ‖u− v‖C([a,b],X) .

Din ultima inegalitate folosind un argument inductiv obtinem ca:∥∥∥Q(n)(u)(t)−Q(n)(v)(t)∥∥∥ ≤ Ln (t− a)

n

n!‖u− v‖C([a,b],X)


pentru orice n ∈ N∗. Trecand la supremum ın stanga si majorand (t− a) cu(b− a), obtinem ca:∥∥∥Q(n)(u)−Q(n)(v)

∥∥∥C([a,b],X)

≤ Ln(b− a)n

n!‖u− v‖C([a,b],X)

ceea ce arata ca pentru n mare Q(n) este o contractie. Folosind teorema depunct fix a lui Banach, Q(n) are un unic punct fix u ∈ C ([a, b] , X). Dar atunci:

‖Qu− u‖C([a,b],X) =∥∥∥Q(n)Qu−Q(n)u

∥∥∥C([a,b],X)

(2.3.3)

≤ Ln (b− a)n

n!‖Qu− u‖C([a,b],X) (2.3.4)

ceea ce se ıntampla doar daca Qu = u. Daca tinem cont ca orice punct fixpentru Q este punct fix pentru Q(n) si ca acesta din urma poseda un singurastfel de punct, obtinem ca u este singurul punct fix al operatorului Q. Darorice punct fix al operatorului Q este solutie a problemei (2.3.2), astfel ca primaparte a acestei leme este demonstrata.

Fie acum doua elemente, h1 si h2 din L1 (a, b,X). Sa observam ca:

‖S(h1)(t)− S(h2)(t)‖ ≤∥∥∥∥∫ t

a

(h1(s)− h2(s))ds

∥∥∥∥+

∫ t

a

‖g(s, S(h1)(s))− g(s, S(h2)(s))‖ ds ≤

‖H1 −H2‖C([a,b],X) + L

∫ t

a

‖S(h1)(s)− S(h2)(s)‖ ds

pentru orice t ∈ [a, b]. Aplicam lema lui Gronwall si astfel deducem ca:

‖S(h1)(t)− S(h2)(t)‖ ≤ e(b−a)L ‖H1 −H2‖C([a,b],X) .

Trecand la supremum ın partea stanga obtinem concluzia lemei.

Lema 2.3.3 Fie f : I×X → X o functie continua cu f (I×X) relativ compactasi g : I×X → X continua si Lipschitz pe X. Atunci pentru orice (a, ξ) ∈ I×Xsi pentru orice b > a cu [a, b] ⊂ I problema (2.3.1) are cel putin o solutie pe[a, b].

Demonstratie. Fie λ > 0. Din lema precedenta avem ca problema:

uλ(t) =

ξ t ∈ [a− λ, a]

ξ +

∫ t

a

g(s, uλ(s))ds+

∫ t

a

f(s, uλ(s− λ))ds t ∈ (a, b]

(2.3.5)are solutie unica continua uλ. Intr-adevar fie u0λ = ξ pe [a− λ, a]. Evident caexista un m natural astfel ıncat mλ+ a > b. Sa consideram problema:

u′ = g(t, u) + f(t, ξ)u(a) = ξ.


Aceasta, conform lemei precedente, are evident o solutie unica u1λ definita pe[a, a+ λ]. Sa consideram problema:

u′ = g(t, u) + f(t, u1λ(t))u (a+ λ) = u1λ(a+ λ)

care, datorita aceluiasi argument, admite o solutie u2λ pe [a+ λ, a+ 2λ].Procedand ca mai sus dupa m pasi vom obtine functiile u0λ, u1λ, ... ,umλ pe carele putem concatena obtinand astfel solutia pentru problema (2.3.5) .

Fie λ = 1/n si un solutia corespunzatoare. Cum f(I × X) este relativcompacta, din (1.1.1) rezulta ca:

Fn(t);n ∈ N

este relativ compacta, unde Fn(t) =∫ taf(s, un(s − 1/n))ds. Cum f este si

marginita pe I×X exista M > 0, astfel ıncat:

‖f(t, u)‖ < M

pentru orice (t, u) ∈ I×X. Avem atunci ca:

‖Fn(t)− Fm(s)‖ ≤M(t− s)

pentru orice n ∈ N si pentru orice t, s ∈ [a, b]. Atunci conform teoremei Arzela-Ascoli exista F ∈ C([a, b] , X) astfel ıncat macar pe un subsir sa avem:

limn→∞

Fn(t) = F (t)

uniform pe [a, b]. Pentru simplitatea expunerii vom presupune ca Fn;n ∈ Neste sirul ın cauza. Dar atunci:

‖un(t)− um(t)‖C([a,b],X)

≤ ‖Fn(t)− Fm(t)‖+

∫ t

a

‖g(s, un(s))− g(s, um(s))‖ ds

≤ ‖Fn − Fm‖C([a,b],X) + L

∫ t

a

‖un(s)− um(s)‖ ds

relatie care, conform lemei Gronwall, conduce la:

‖un − um‖C([a,b],X) ≤ eL(b−a) ‖Fn − Fm‖C([a,b],X)

pentru orice n,m ∈ N. Intrucat Fn;n ∈ N este Cauchy, urmeaza caun;n ∈ N este Cauchy deci converge uniform la o functie u ∈ C([a, b] , X).Trecand la limita ın (2.3.5) obtinem concluzia lemei.

Sa trecem acum la a demonstra teorema enuntata la ınceputul paragrafului.Demonstratie. Fie (a, ξ) ∈ D. Pentru ca D este deschis, exista c, d, r > 0astfel ıncat c < a < d si:

[c, d]×B(ξ, r) ⊂ D


In plus, pentru ca g este continua si local Lipschitz ın a doua variabila, eventualdiminuand r, putem presupune ca:

‖g(t, u)‖ ≤M

pentru orice (t, u) ∈ [c, d]×B(ξ, r) si:

‖g(t, u)− g(t, v)‖ ≤ L ‖u− v‖ .

Sa definim ρ : X → X prin:

ρ(y) =

y y ∈ B(ξ, r)r

‖y−ξ‖ (y − ξ) + ξ y ∈ X\B(ξ, r).

Observam ca ρ(X) = B(ξ, r) si este Lipschitz de constant a 2. Definim fr, grpe [c, d]×B(ξ, r) prin:

fr(t, y) = f(t, ρ(y))

respectiv:gr(t, y) = g(t, ρ(y)).

Cum f este b-compacta, obtinem ca f([c, b]×B(ξ, r)) este relativ compacta,deci si fr([c, d] × B(ξ, r)) este relativ compacta. Functia gr este Lipschitz deconstanta 2L. Din lema anterioara obtinem ca:

u′ = fr (t, u) + gr (t, u)u (a) = ξ

are cel putin o solutie u : [a, b] → X. Cum u este continua si u(a) = ξ putemdiminua b astfel ıncat ‖u(t)− ξ‖ ≤ r pentru orice t ∈ [a, b]. Dar acest faptimplica fr(t, u(t)) = f(t, u(t)) si gr(t, u(t)) = g(t, u(t)). Astfel u : [a, b] → Xeste solutie pentru problema (2.3.1).

3 APLICATII 39

3 Aplicatii

3.1 Ecuatia Klein-Gordon

Scopul acestui capitol este demonstrarea unui rezultat de existenta pentruecuatia Klein-Gordon:

utt = uxx + g(u)u(t, 0) = u(t, π) = 0 ∀t ∈ R+

u(0, x) = ξ1(x) ∀x ∈ [0, π]ut(0, x) = ξ2(x) ∀x ∈ [0, π]

(3.1.1)

Sa consideram mai ıntai spatiile:

H10 (0, π) =

f ∈ L2(0, π) : ∃ f ′ ∈ L2(0, π), f(0) = f(π) = 0

si:

H2(0, π) =f ∈ L2(0, π) : ∃ f ′, f ′′ ∈ L2(0, π)

.

Vom demonstra mai ıntai un rezultat de incluziune. Spatiul H10 (0, π) ınzestrat

cu norma ‖.‖H10 (0,π)

data de:

‖f‖H10 (0,π)

= ‖f‖L2(0,π) + ‖f ′‖L2(0,π)

este spatiu Banach.

Propozitia 3.1.1 Incluziunea H10 (0, π) ⊂ C[0, π] este compacta iar incluziunea

C[0, π] ⊂ L2(0, π) este continua. In particular, incluziunea H10 (0, π) ⊂ L2(0, π)

este compacta.

Demonstratie. Fie M ⊂ H10 (0, π) o multime marginita. Atunci exista o

constanta M > 0 astfel ıncat:

‖f‖L2(0,π) + ‖f ′‖L2(0,π) ≤M

pentru orice f ∈M. Atunci pentru orice t ∈ [0, π] avem:

f(t) = f(0) +

∫ t

0

f ′(s)ds =

∫ t

0

f ′(s)ds

astfel ıncat:

|f(t)| =∣∣∣∣∫ t

0

f ′(s)ds

∣∣∣∣ ≤ (∫ t

0

|f ′(s)| ds)≤(∫ t

0

1ds

)1/2(∫ t

0

|f ′(s)|2 ds)1/2

deci:|f(t)| ≤

√t√M ≤

√π√M.

3 APLICATII 40

Trecand la supremum obtinem ca M este egal marginita. Aceasta familie estesi echicontinua:

|f(t)− f(s)| =

∣∣∣∣∫ t

s

f ′(σ)dσ

∣∣∣∣ ≤ (∫ t

s

|f ′(σ)| dσ)

≤√t− s ‖f ′‖L2(0,π) <

√t− sM .

Astfel putem aplica Teorema Arzela-Ascoli si obtinem ca M este relativcompacta ın C[0, π]. Incluziunea C[0, π] ⊂ L2(0, π) este continua. Intr-adevar:

‖f‖L2(0,π) =

(∫ π

0

|f(s)|2 ds)1/2

≤(∫ π

0

‖f‖2C[0,π]

)1/2

≤√π ‖f‖C[0,π]

ceea ce demonstreaza propozitia.Sa consideram ın continuare operatorul

A : D(A) ⊂ H10 (0, π)× L2(0, π)→ H1

0 (0, π)× L2(0, π) definit de:D(A) =

[H1

0 (0, π) ∩H2(0, π)]×H1

0 (0, π)A (u, v) = (v, u′′).

(3.1.2)

Sa consideram spatiul H = H10 (0, π) × L2(0, π) care, ınzestrat cu produsul

scalar:

〈(u1, v1), (u2, v2)〉 =

∫ π

0

u′1(x)u′2(x) dx+

∫ π

0

v1(x)v2(x) dx,

pentru orice (u1, v1), (u2, v2) ∈ H × H, este un spatiu Hilbert real. Conformpropozitiei 1.4.1, operatorul A : D(A)→ H1

0 (0, π)× L2(0, π) definit derelatia (3.1.2) genereaza un grup de izometrii G(t) : H → H; t ∈ R.

Teorema 3.1.1 Fie g : R→ R o functie continua. Pentru orice(ξ1, ξ2) ∈ H1

0 (0, π)× L2(0, π) exista T ∈ R astfel ıncat:

(u, ut) ∈ C1([0, T ] ;H1

0 (0, π)× L2(0, π))

este solutie pentru ecuatia (3.1.1).

Demonstratie. Sa observam ca ecuatia (3.1.2) se poate scrie sub forma echi-valenta:

ut = v (t, x) ∈ R+ × (0, π)vt = uxx + g(u) (t, x) ∈ R+ × (0, π)u(t, 0) = u(t, π) = 0 t ∈ R+

u(0, x) = ξ1(x) x ∈ (0, π)v(0, x) = ξ2(x) x ∈ (0, π)

(3.1.3)

sau ınca sub forma: z′ = Az + f(z)z(0) = ξ

(3.1.4)

3 APLICATII 41

unde f : H10 (0, π)× L2(0, π)→ H1

0 (0, π)× L2(0, π) definita prin:

f(u, v)(x) = (0, g(u(x))),

pentru orice (u, v) ∈ H10 (0, π) × L2(0, π) si a.p.t. x ∈ (0, π). Problema (3.1.4)

este echivalenta cu:

z(t) = G(t)ξ +

∫ t

0

G(t− s)f(z(s))ds. (3.1.5)

Sa consideram h : D(h)→ H10 (0, π)× L2(0, π) dat de:

D(h) =

(t, G(−t)z); (t, z) ∈ R+ ×H10 (0, π)× L2(0, π)

h(t, w) = G(−t)f(G(t)w), (t, w) ∈ D(h).

Sa consideram problema: w′(t) = h(t, w(t))w(0) = ξ.

(3.1.6)

Sa observam ca functia h definita mai sus este b-compacta. Intr-adevar fieM⊂D(h) o multime marginita si fie (tm, wm)m din M un sir. Atunci:

wm(t) = G(−t)zm(t) = G(−t)(um, vm).

Avem:

h(tm, wm) = G(−tm)f(G(tm)wm) = G(−tm)f(zm) = G(−tm)(0, g(um)) .

Cum (um)m este marginit, din Propozitia 3.1.1, rezulta ca (um)m admite unsubsir convergent ın L2(0, π). Cum (tm)m este marginit ın R+, din Lema luiCesaro, deducem ın final ca exista un subsir al lui (tm, um)m, notat pentrusimplitate tot cu (tm, um)m, astfel ıncat:

limmtm = t∗

ın R+ silimmum(t) = u∗

ın L2(0, π).CumG operator continuu, deducem ca h este b-compacta. Din Teorema 2.1.1

rezulta ca ecuatia (3.1.6) are o solutie locala, adica exista un T > 0 si o functiew : [0, T ]→ H1

0 (0, π)× L2(0, π), (t, w(t)) ∈ D(h) astfel ıncat:

w(t) = ξ +

∫ t

0

h(s, w(s))ds,

sau, echivalent:

G(t)w(t) = G(t)ξ +

∫ t

0

G(t− s)f(G(s)w(s))ds.

Deci t 7→ G(t)w(t) este solutie pentru (3.1.5) deci pentru (3.1.4).

3 APLICATII 42

3.2 Aplicatie la o problema de mecanica

Sa consideram urmatoarea problema: ut = αuxxt + βuxx + f(t, x, u) ∀(t, x) ∈ [0, T ]× [0, π]u(t, 0) = u(t, π) ∀t ∈ [0, T ]u(0, x) = g(x) ∀x ∈ [0, π]

(3.2.1)

unde α, β sunt numere reale strict pozitive.Sa consideram operatorul A : D(A) ⊂ L2(0, π)→ L2(0, π) definit prin:

D(A) = H10 (0, π) ∩H2(0, π)

Au = u′′.

Dupa cum am vazut acesta genereaza un semigrup de contractii si are proprie-tatea ca pentru orice λ > 0, (I − λA)−1 ∈ L(L2(0, π)). De asemenea, conformunei consecinte a Teoremei Hille-Yosida, spatiul H1

0 (0, π) ∩ H2(0, π) ınzestratcu norma:

‖u‖H10 (0,π)∩H2(0,π) := ‖u‖L2(0,π) + ‖Au‖L2(0,π)

= ‖u‖L2(0,π) + ‖u′′‖L2(0,π)

este spatiu Banach.Sa observam ca daca identificam u(t, x) cu functia

z : [0, T ] → H10 (0, π) ∩ H2(0, π), z(t)(x) = u(t, x), problema (3.2.1) se poate

rescrie sub forma:z′ = β (I − αA)

−1Az + (I − αA)

−1f(t, x, u))

z(0) = g.

Dar sa observam ca

(I − αA)−1βA = βα−1 (I − αA)

−1(I − (I − αA)) = βα−1(I − αA)−1 − βα−1I

si G = βα−1(I − αA)−1 − βα−1I ∈ L(L2(0, π)). De asemenea vom definiF : R+ ×H1

0 (0, π) ∩H2(0, π)→ H10 (0, π) ∩H2(0, π) prin:

F (t, u)(x) = (I − αA)−1f(t, x, u(x)).

In acest moment, problema (3.2.1) capata forma:z′(t) = Gz(t) + F (t, z(t))z(0) = g.

(3.2.2)

Teorema 3.2.1 Fie f : R+ × [0, π] × R→ R continua. Atunci pentru oriceg ∈ H1

0 (0, π) ∩ H2(0, π), exista T > 0 si exista u : [0, T ] × [0, π] → R solutiepentru problema (3.2.1).

3 APLICATII 43

Demonstratie. Evident o solutie pentru problema (3.2.2) este solutie pentruproblema (3.2.1). Vom demonstra ca G este Lipschitz si ca F este compacta.In primul rand fie z1, z2 ∈ H1

0 (0, π) ∩H2(0, π). Atunci:

‖Gz1 −Gz2‖H10 (0,π)∩H2(0,π) = ‖Gz1 −Gz2‖L2(0,π) + ‖Gz′′1 −Gz′′2 ‖L2(0,π)

= ‖G(z1 − z2)‖L2(0,π) + ‖G(z′′1 −Gz′′2 )‖L2(0,π)

≤ ‖G‖L(L2(0,π)) ‖z1 − z2‖+ ‖G‖L(L2(0,π)) ‖z′′1 − z′′2 ‖

= ‖G‖L(L2(0,π)) ‖z1 − z2‖H10 (0,π)∩H2(0,π)

astfel ca G este Lipschitz.FieM⊂R+×H1

0 (0, π)∩H2(0, π) o multime marginita. Fie (tn, un)n∈N ∈M.Atunci exista M > 0 astfel ıncat pentru orice n ∈ N:

tn ≤M‖un‖L2(0,π) + ‖u′′n‖L2(0,π) ≤M

Observam ca:

‖u′n‖2L2(0,π) =

∫ π

0

[u′(x)]2dx = −∫ π

0

u(x)u′′(x)dx = −〈u, u′′〉L2(0,π)

≤ ‖u‖L2(0,π) ‖u′′‖L2(0,π) ≤

(‖u‖L2(0,π) + ‖u′′‖L2(0,π)

2

)2

≤ 1

4M2

deci:

‖u′n‖L2(0,π) ≤1

2M.

In acest moment avem ca:

‖un‖H10 (0,π)

= ‖un‖L2(0,π) + ‖u′n‖L2(0,π) ≤3

2M.

Insa incluziunea H10 (0, π) ⊂ C[0, π] este compacta astfel ca (un)n∈N este relativ

compacta ın C [0, π]. Dar sirul (tn)n∈N este marginit astfel ıncat macar pe unsubsir notat pentru simplitate tot cu indicele n avem:

limn→∞

tn = t0 (3.2.3)

limn→∞

supx∈[0,π]

|un(x)− u0(x)| = 0 (3.2.4)

unde u0 ∈ C[0, π]. Dar atunci exista M1 > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ [0, π]sa avem:

|u0(x)| ≤M1.

Relatiile (3.2.3) si (3.2.4) implica existenta unui n1 ∈ N astfel ıncat pentru oricen ≥ n1 sa avem:

tn ∈ [t0 − r, t0 + r],

supx∈[0,π]

|un(x)− u0(x)| ≤ r,

3 APLICATII 44

unde r > 0 este ales astfel ıncat t0 − r > 0. Dar atunci avem ca pentru oricex ∈ [0, π]

|un(x)| ≤M1 + r.

Pentru ca f este continua, restrictia acesteia la[t0− r, t0 + r]× [0, π]× [−M1− r,M1 + r] este uniform continua. Atunci pentruorice ε > 0 exista δ > 0 astfel ıncat din:

|t− s|+ |x− y|+ |u− v| ≤ δ

sa rezulte:|f(t, x, u)− f(s, y, v)| ≤ ε.

Dar din (3.2.3) si (3.2.4) exista un n(δ) ∈ N asa ıncat pentru orice n >max(n(δ), n1) si pentru orice x ∈ [0, π] sa avem:

|tn − t0|+ |un(x)− u0(x)| ≤ δ

ceea ce implica:

supx∈[0,π]

|f(tn, x, un(x))− f(t0, x, u0(x))| ≤ ε.

Sa observam ca:

‖(I − αA)F (tn, un)(x)− f(t0, x, u0(x))‖= |f(tn, x, un(x))− f(t0, x, u0(x))|≤ sup

x∈[0,π]|f(tn, x, un(x))− f(t0, x, u0(x))| .

Ridicand la patrat si integrand ın inegalitatea de mai sus ambii membrii de la0 la π obtinem:

‖(I − αA)F (tn, un)− f(t0, ·, u0(·)‖L2(0,π) ≤ ε√π (3.2.5)

pentru orice n > max(n(δ), n1). Notam cu k(·) = f(t0, ·, u0(·)) ∈ L2(0, π).Pentru ca ε a fost ales arbitrar, relatia (3.2.5) este echivalenta cu:

limn→∞

‖(I − αA)F (tn, un)− k‖L2(0,π) = 0. (3.2.6)

Vom demonstra ca:

limn→∞

F (tn, un) = (I − αA)−1k ∈ H10 (0, π) ∩H2(0, π)

ın topologia normei lui H10 (0, π) ∩H2(0, π).∥∥F (tn, un)− (I − αA)−1k

∥∥H1

0 (0,π)∩H2(0,π)

=∥∥F (tn, un)− (I − αA)−1k

∥∥L2(0,π)

+∥∥A[F (tn, un)− (I − αA)−1k]

∥∥L2(0,π)

.

3 APLICATII 45

Sa observam ca:∥∥F (tn, un)− (I − αA)−1k∥∥L2(0,π)

=∥∥(I − αA)−1(I − αA)F (tn, un)− (I − αA)−1k

∥∥L2(0,π)

=∥∥(I − αA)−1 [(I − αA)F (tn, un)− k]

∥∥L2(0,π)

≤∥∥(I − αA)−1

∥∥L(L2(0,π))

‖(I − αA)F (tn, un)− k‖L2(0,π)

dar atunci folosind relatia (3.2.6) pentru orice ε > 0 exista un n1(ε) ∈ N astfelıncat: ∥∥F (tn, un)− (I − αA)−1k

∥∥L2(0,π)

≤ ε

2(3.2.7)

pentru orice n ≥ n1(ε). In continuare avem ca:∥∥A[F (tn, un)− (I − αA)−1k]∥∥L2(0,π)

=∥∥A[(I − αA)−1(I − αA)F (tn, un)−A(I − αA)−1k

∥∥L2(0,π)

. (3.2.8)

Insa avem ca:

A(I − αA)−1 = α−1(I − (I − αA))(I − αA)−1

= α−1((I − αA)−1 − I)

si evident ca H = α−1((I − αA)−1 − I) ∈ L(L2(0, π)). Dar atunci din (3.2.8)obtinem ca: ∥∥A[F (tn, un)− (I − αA)−1k]

∥∥L2(0,π)

≤ ‖H‖L(L2(0,π)) ‖(I − αA)F (tn, un)− k‖L2(0,π) .

Din nou, invocand relatia (3.2.6) obtinem ca pentru orice ε > 0 exista un n2(ε) ∈N astfel ıncat: ∥∥A[F (tn, un)− (I − αA)−1k]

∥∥L2(0,π)

≤ ε

2(3.2.9)

pentru orice n ≥ n2(ε). Din relatiile (3.2.7) si (3.2.9) obtinem ca pentru oricen ≥ max(n1(ε), n2(ε)) avem:∥∥F (tn, un)− (I − αA)−1k

∥∥H1

0 (0,π)∩H2(0,π)≤ ε

deci:limn→∞

F (tn, un) = (I − αA)−1k

ın topologia normei lui H10 (0, π) ∩H2(0, π). Atunci functia

F : R+×H10 (0, π)∩H2(0, π)→ H1

0 (0, π)∩H2(0, π) este compacta. Daca tinemcont si de faptul ca G Lipschitz, obtinem ca problema (3.2.2) are solutie. Atunciproblema (3.2.1) are solutie.

BIBLIOGRAFIE 46

Bibliografie

[1] Nicolescu, Miron (1968), Functii reale si elemente de topologie, Editura Di-dactica si Pedagogica, Bucuresti

[2] Vrabie, Ioan I.(2003), C0−semigroups and applications. North-Holland Ma-thematics Studies, 191., North-Holland Publishing Co., Amsterdam.

[3] Vrabie, Ioan I. (2011), Differential Equations. Basic Concepts, Results andApplications, Second Edition, World Scientific, New Jersey, London, Singa-pore, Beijing, Shanghai, Hong Kong, Taipei, Chennai.

Documents

Teorema lui Peano de existent˘ a local acosmin.burtea/LucrareLicen... · 2018-10-04 · teoria semigrupuriilor de operatori liniari ˘si teorema de generare Hille-Yosida. Partea