TEORITEORIANTRIANANTRIAN

D M h d Abd l M kh i SE MMDr. Mohammad Abdul Mukhyi, SE., MM

1

for those who cannot wait

2

3

Str kt r Sistem AntrianStruktur Sistem Antrian

1

Garis tunggu

2

3Pelanggan Garis tunggu

atau antrian

Fasilitas

nPelanggan masuk ke dalam sistem

Pelanggan keluar dari sistemFasilitas

pelayanan

Si t t i

antrian

Sistem antrian4

Perencanaan KapasistasPerencanaan KapasistasKetidak-mampuan untuk menciptakan suatu aliran stasionerpermintaan secara penuh menggunakan kapasitasKapasitas tak terpakai suatu kenyataan untuk jasa.Kedatangan pelanggan berubah-ubah dan permintaan layananjuga berganti-ganti.Pelanggan adalah peserta di dalam layanan dan tingkatan daridampak buntu atas mutuKetidak-mampuan mengendalikan permintaan mengakibatkanp g p gkapasitas yang diukur dalam kaitan dengan masukan (contoh. jumlah tamu hotel tinggal dibanding bukannya tamu malam).

5

Peran Strategik Kapasitasg pPengambilan Keputusan

• Penggunaan kapasitas jangka panjang sebagai langkah awalPenggunaan kapasitas jangka panjang sebagai langkah awalpembelian jika pasar adalah kecil untuk dua pesaing (contohbangunan hotel kemewahan di suatu kota kabupaten)

• Ketiadaan perencanaan kapasitas jangka pendek dapatKetiadaan perencanaan kapasitas jangka pendek dapatmenghasilkan pelanggan untuk kompetisi (contoh susunanpegawai rumah makan )

• Keputusan kapasitas menyeimbangkan biaya-biaya hilangKeputusan kapasitas menyeimbangkan biaya biaya hilangpenjualan jika kapasitas adalah tidak cukup melawan terhadapoperasi kerugian jika permintaan tidak menjangkau harapan.

• Strategi bangunan di depan permintaan adalah sering diambilStrategi bangunan di depan permintaan adalah sering diambiluntuk menghindari pelanggan gagal/kehilangan.

6

Contoh Sistem AntrianSistem Sistem Antrian/Garis Antrian/Garis

TungguTungguFasilitas PelayananFasilitas Pelayanan

Lapangan terbangLapangan terbang Pesawat menunggu diPesawat menunggu di Landasan pacuLandasan pacuLapangan terbangLapangan terbang Pesawat menunggu di Pesawat menunggu di landasanlandasan

Landasan pacuLandasan pacu

BankBank Nasabah (orang)Nasabah (orang) Kasis/tellerKasis/teller

Pencucian mobilPencucian mobil MobilMobil Tempat pencucian Tempat pencucian mobilmobil

Bongkar muat barangBongkar muat barang Kapal dan trukKapal dan truk Fasilitas bongkar muatFasilitas bongkar muatg gg g pp gg

Sistem komputerSistem komputer Program komputerProgram komputer CPU, printer, dllCPU, printer, dll

Bantuan pengobatan Bantuan pengobatan daruratdarurat

OrangOrang AmbulanceAmbulancedaruratdarurat

PerpustakaanPerpustakaan MemberMember Pegawai perpustakaanPegawai perpustakaan

Registrasi mahasiswaRegistrasi mahasiswa MahasiswaMahasiswa Pusat registrasiPusat registrasi

Skedul sidang Skedul sidang pengadilanpengadilan

Kasus yang Kasus yang disidangkandisidangkan

PengadilanPengadilan7

8

KARAKTERISTIK SISTIM ANTRIANKARAKTERISTIK SISTIM ANTRIAN 1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling

population) dapat dilihat menurut ukurannya, polak d t t il k d i l i kkedatangan, serta perilaku dari populasi yang akandilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akandilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatasy ( ) j g(infinite). Probabilitas n kedatangan dalam waktu T ditentukan dengan rumus :

dimana : λ = rata-rata kedatangn persatuan waktu T = periode waktun = jumlah kedatangan dalam waktu Tn = jumlah kedatangan dalam waktu T P (n,T) = probabilitas kedatangan dalam waktu T

9

Distribusi Poisson • bahwa waktu antar kedatangan akan

terdistribusi sesuai dengan distribusik i leksponensial .

P(T≤ t) = 1 - e-λt 0 ≤ t ≤ ∞ Dimana:• P(T≤ t) = probabilitas di mana waktu antar

k d t T ≤ t kt t t tkedatangan T ≤ suatu waktu tertentu• λ = rata - rata kedatangan persatuan waktu • t = suatu waktu tertentu

10

2. Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited)2. Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited).

3. Fasilitas Pelayanan : Karakteristik fasilitasypelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tataletak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.

Single Channel – Single Server:

11

Single Channel – Multi Server

Multi Server – Single Channel

12

Multi Channel – Multi Server

13

Disiplin antrianAda dua klasifikasi yaitu prioritas dan first come first serve. Disiplin prioritas dikelompokkan menjadi dua, yaitupreemptive dan non preemptivepreemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimanapelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralihmelayani orang yang diprioritaskan meskipun belumselesai melayani orang sebelumnya. Disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimanaDisiplin non preemptive menggambarkan situasi dimanapelayan akan menyelesaikan pelayanannya barukemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Disiplin first come first serve menggambarkan bahwaorang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebihdahulu.

14

Karakteristik waktu pelayanan. 1. Konstan : jika waktu yang dibutuhkan untuk

melayani sama untuk setiap pelanggan. 2. Acak : jika waktu yang dibutuhkan untuk

melayani berbeda-beda untuk setiappelangganpelanggan.

Jik kt l k di ikJika waktu pelayanan acak, diasumsikanmengikuti distribusi eksponensial.

15

PERILAKU BIAYA 1. Biaya karena orang mengantri berupa waktu

yang hilang karena menunggu. 2. Biaya menambah fasilitas layanan berupa

penambahan fasilitas layanan serta gajitenaga kerja ang memberi pela anantenaga kerja yang memberi pelayanan.

T j d i i t t i d l hTujuan dari sistem antrian adalahmeminimalkan biaya total, yaitu biaya karenamengantri dan biaya karena menambah fasilitasmengantri dan biaya karena menambah fasilitaslayanan.

16

Queuing System Cost TradeoffQueuing System Cost TradeoffLet: Cw = Cost of one customer waiting in

queue for an hourqueue for an hourCs = Hourly cost per serverC = Number of serversC Number of servers

Total Cost/hour = Hourly Service Cost + Hourly CustomerHourly Service Cost + Hourly Customer Waiting Cost

TotalCost/hour = C C + C LTotalCost/hour Cs C + Cw Lq

Note: Only consider systems where C > =ρλµ

17

18Gambar Total Biaya untuk fasilitas pelayanan

Komponen Sistem AntrianKomponen Sistem Antrian• Populasi masukan (input populasi)• Distribusi kedatanganDistribusi kedatangan

– Constant arrival distribution– Arrival pattern random

• Disiplin pelayanan– FCFS (first come, first served)

LCFS (l t fi t d)– LCFS (last come, first served)– Acak– PrioritasPrioritas

• Fasilitas pelayanan– Single channel– Multiple channel

19

Komponen Sistem AntrianKomponen Sistem Antrian• Distribusi pelayanan

– Berapa banyak pelanggan yang dapatBerapa banyak pelanggan yang dapatdilayani per satuan waktu

– Berapa lama setiap pelanggan dapatp p p gg pdilayani

• Kapasitas sistem pelayanan– Terbatas– Tidak terbatas

• Karakteristik sistem lainnya: renegingatau pengingkaran

20

Single-channel Queuing Model : Poisson distributed Arrivals and exponentially distributed service time

Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan rata-rata jumlah kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu k d t d t kt l d ikedatangan dan persentase waktu luang dari pelayanan.

21

Single Channel Model (M/M/1)Single Channel Model (M/M/1)• M pertama: rata-rata kedatangan yang

mengikuti distribusi probabilitas Poissonmengikuti distribusi probabilitas Poisson• M kedua: tingkat pelayanan yang

ik ti di t ib i b bilit P imengikuti distribusi probabilitas Poisson• 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam

sistem atau satu saluran

22

Asumsi M/M/1Asumsi M/M/1• Populasi input tidak terbatas• Distribusi kedatangan pelanggan potensial• Distribusi kedatangan pelanggan potensial

mengikuti distribusi Poisson• Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS• Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS• Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran

tunggaltunggal• Distribusi pelayanan mengikuti distribusi

Poisson (λ < µ)Poisson (λ < µ)• Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas• Tidak ada penolakan maupun pengingkaran• Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

23

Ukuran prestasi dan parameter model antrian ditentukan dengannotasi sebagai berikut: gλ = rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan

persatuan waktu) 1/λ = rata-rata waktu antar kedatangan1/λ rata rata waktu antar kedatanganµ = rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani

persatuan waktu bila pelayan sibuk). 1/µ = rata rata waktu yang dibutuhkan pelayan1/µ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayanρ = faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika

sedang sibuk) P b bilit b h t (k d t ) d l i tPn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam sistem Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang

antrian) Ls = rata-rata jumlah satuan dalam sistem Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistemgg

24

Permasalahan antrian didasarkan pada asumsi berikut : 1) Satu pelayanan dan satu tahap. 2) Jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh

Distribusi Poisson dengan λ = rata-rata kecepatanDistribusi Poisson dengan λ rata rata kecepatan kedatangan

3) Waktu pelayanan eksponensial dengan µ = rata-rata k t lkecepatan pelayanan

4) Disiplin antrian adalah first come first served (Aturanantrian pertama datang-pertama dilayani) seluruhkedatangan dalam barisan hingga dilayani,

5) dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga. 6) populasi yang dilayani tidak terbatas6) populasi yang dilayani tidak terbatas7) rata-rata kedatangan lebih kecil dari rata-rata waktu

pelayanan

25

26

Contoh Soal:P i i h lih d j j j diPemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadiantrian truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikanmesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 trukper jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinanperusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenagakerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampakpenambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakandua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadip g j p y j12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tigakelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja. p j j j

27

28

Contoh SoalUD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengansatu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangankendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 g ykendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrianyang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam

sistem3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam

antrian4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selamay g p p

dalam sistem (menunggu pelayanan)5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk

menunggu dalam antrian

29

Kendall Notation ExamplesKendall Notation Examples• M/M/1:

– Poisson arrivals and exponential service, 1 server, infinite capacity and population, FCFS (FIFO)

– the simplest ‘realistic’ queue• M/M/m• M/M/m

– Same, but M servers • G/G/3/20/1500/SPFG/G/3/20/1500/SPF

– General arrival and service distributions, 3 servers, 17 queue slots (20-3), 1500 total jobs, Shortest Packet FirstFirst

30

Poisson ProcessPoisson Process• For a poisson process with average

arrival rate the probability of seeing nλarrival rate , the probability of seeing narrivals in time interval delta t

λ

)( ∆∆ nt λλ

)(

)(!

)()Pr(

2∆

∆=∆

=∆−

t

tnEn

tennt

λ

λλλ

)(

1)0Pr()(1...!2)(1)0Pr(

2∆

∆−=→∆+∆−=∆

+∆−==

∆

∆−

t

ttottte

t

t

λ

λλλλ

λ

λ

0...)2Pr(

)1Pr()(...]!2)(1[)1Pr(

==>=

∆=→∆+∆=∆

+∆−∆=∆= ∆− ttottttte t λλλλλλ λ

31

Poisson process & exponential p pdistribution

• Inter arrival time t (time between• Inter-arrival time t (time between arrivals) in a Poisson process follows exponential distribution with parameter λexponential distribution with parameter λ

λ λ)Pr( = −et t

λ1)( =tE

32

Analysis of M/M/1 queueAnalysis of M/M/1 queue• Given:

• λ: Arrival rate of jobs (packets on input link)• λ: Arrival rate of jobs (packets on input link) • µ: Service rate of the server (output link)

S l• Solve:– L: average number in queuing system– Lq average number in the queue– W: average waiting time in whole system– Wq average waiting time in the queue

33

M/M/1 queue model qL

L

λ

Lq

λµ

1W µWq

W

34

Solving queuing systemsSolving queuing systems• 4 unknowns: L, Lq W, Wq• Relationships:Relationships:

– L=λW– Lq=λWq (steady-state argument)q– W = Wq + (1/µ)

• If we know any 1, can find the others• Finding L is hard or easy depending on the type

of system. In general:

0

∑∞

=

=n

nnPL

35

0n

Analysis of M/M/1 queueAnalysis of M/M/1 queue • Goal: A closed form expression of the

probability of the number of jobs in theprobability of the number of jobs in the queue (Pi) given only λ and µ

36

Equilibrium conditionsEquilibrium conditionsλ λ λλ

n+1nn-1

µ µµ µ

)(tPDefine to be the probability of having n tasks in the system at time t)(tPnDefine to be the probability of having n tasks in the system at time t

)()()]1)()[(()]1)()[((])1)(1)[(()(

)]1)()[((])1)(1)[(()(

00

11

100

−∆+∆−∆+∆−∆+∆∆+∆−∆−=∆+

∆−∆+∆∆+∆−∆−=∆+

−+

tPttPtttPtttPtttttPttP

tttPtttttPttP

nnnn µλλµλµλµλµλµλµ

)()(

)()()()()()(

)()()()(

11

1000

∆+

++−=∆

−∆+

+−=∆

∆+

+−

tPttP

tPtPtPt

tPttP

tPtPt

tPttP

nnnnn µµλλ

µλ

37

0)()(lim,)(lim, when Stablize =∆

−∆+=≤

∞→∞→ ttPttPPtP nn

tnntµλ

Eq ilibri m conditionsEquilibrium conditionsλ λ λλ

n+1nn-1

PP µλ

µ µµ µ

11

10

)( +− +=+=

nnn PPPPP

µλµλµλ

11)( +nnn µµ

38

Sol ing for P and PSolving for P0 and Pn

• Step 1• Step 1

0,0

2

201 , PPPPPPn

n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

µλ

µλ

µλ

• Step 2⎠⎝⎠⎝ µµµ

∑∑

∑∞

= ∞

∞

= ⎞⎜⎛

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000

0

1,1,1n

n

n

nn PPthenP

λµλ

∑=

=

=

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎠⎝0

0

0 n

n

n

µλµ

39

Sol ing for P and PSolving for P0 and Pn

• Step 3• Step 3

1ρρ1

1ρ1ρ1ρ,ρ

00<

−=

−−

==⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

∞ ∞∞n

n

thenµλ

µλ

• Step 4ρ1ρ100 ⎠⎝ == nn µµ

( )ρ1ρandρ1ρ

10 −=−==

∑∞

nn

nPP

0=n

40

Solving for LSolving for L

∑∞

= nnPL )1(∑∞

−= nn ρρ )1( 1∑∞

−−= nnρρρ0

∑=n

n0

∑=n 1

∑=n

( )⎞⎜⎛∑

∞ ( )ρρρρ −−= 11)1( d

d

⎠

⎞⎜⎝

⎛− ∑

=0)1(

n

ndd ρρρ ρ

( )2)1(1)1(ρ

ρρ−

− λµλ

ρρ

−− == )1(

41

S l i W W d LSolving W, Wq and Lq

( )( )λ 11LW ( )( ) λµλλµλ

λ −− === 11LW

( ) ( )11 λλWW ( ) ( ) )(11

λµµλ

µλµλ

µ −− =−=−= WWq2λλλλWL )()(2

λµµλ

λµµλλλ −− === qq WL

42

O li M/M/1 i tiOnline M/M/1 animation• http://www.dcs.ed.ac.uk/home/jeh/Simjap j j

va/queueing/mm1_q/mm1_q.html

43

Response Time vs ArrivalsResponse Time vs. Arrivals

Waiting vs. Utilization

0.2

0.25

0.1

0.15

0

W(s

ec)

0

0.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1Wρ (% )

44λµ−= 1W

Stable RegionStable Region Waiting vs. Utilization

0.02

0.025

0.01

0.015

W(s

ec)

0

0.005

W

linear region

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ρ (% )

45

ExampleExample

• On a network gateway, measurements show g ythat the packets arrive at a mean rate of 125 packets per second (pps) and the gateway t k b t 2 illi t f d thtakes about 2 millisecs to forward them. Assuming an M/M/1 model, what is the probability of buffer overflow if the gatewayprobability of buffer overflow if the gateway had only 13 buffers. How many buffers are needed to keep packet loss below one packet p p pper million?

46

ExampleExample

• Measurement of a network gateway:– mean arrival rate (l): 125 Packets/s– mean response time (m): 2 ms

• Assuming exponential arrivals: – What is the gateway’s utilization?

Wh t i th b bilit f k t i th– What is the probability of n packets in the gateway?

– mean number of packets in the gateway?mean number of packets in the gateway? – The number of buffers so P(overflow) is <10-6?

47

ExampleExample

• Arrival rate λ =• Service rate µ =• Gateway utilization ρ = λ/µ =• Gateway utilization ρ = λ/µ =• Prob. of n packets in gateway =

• Mean number of packets in gateway =

48

ExamplepArrival rate λ = 125 ppsService rate µ = 1/0.002 = 500 ppsGateway utilization ρ = λ/µ = 0.25y ρ /µProb. of n packets in gateway =

nn )250(750ρ)ρ1(Mean number of packets in gateway =

)25.0(75.0ρ)ρ1( =−

250ρ 33.057.025.0

ρ1ρ

==−

49

E ampleExample• Probability of buffer overflow:

• To limit the probability of loss to lessTo limit the probability of loss to less than 10-6:

50

ExampleProbability of buffer overflow:= P(more than 13 packets in gateway)= P(more than 13 packets in gateway)

To limit the probability of loss to less than 10-6:than 10-6:

51

ExampleExample

Probability of buffer overflow:Probability of buffer overflow:= P(more than 13 packets in gateway)= ρ13 = 0 2513 = 1 49x10-8 ρ 0.25 1.49x10= 15 packets per billion packets

To limit the probability of loss to less thanTo limit the probability of loss to less than 10-6:

52

ExampleExampleProbability of buffer overflow:= P(more than 13 packets in gateway)= ρ13 = 0.2513 = 1.49x10-8

= 15 packets per billion packetsTo limit the probability of loss to less than p y10-6: 610ρ −≤n

53

ExampleExampleTo limit the probability of loss to less than 10-6:

610ρ −≤n

or

ρ

( ) ( )25.0log/10log 6−>n

54

ExampleExampleTo limit the probability of loss to less than 10-6:

610ρ −≤n

or

10ρ ≤

( ) ( )25.0log/10log 6−>n

= 9.96

55

Empirical ExampleEmpirical Example

M/M/msystem

56

A Queuing Model of Intrusion gDetection: Active Response

57

A Queuing Model of Intrusion gDetection: Passive Response

58

A Queuing Model of Intrusion DetectionA Queuing Model of Intrusion Detection

• We rewrite the N in terms of slack e e e e e s o s acservice rate S– S = µN-PF λB-Ω(PF)λI

59

µ F B ( F) I

Linear Piecewise ROCLinear Piecewise ROC

60

Optimal Configuration and p gInvestigation

61

Hybrid ResponseHybrid Response

62

Hybrid ResponseHybrid Response

63

Conclusion• Derive optimal intrusion detection

decisions with linear piecewise functionp• Extend the study with other types of

ROC functionsROC functions• Include multiple types of alarm

64