Teori Himpunan PDF

------------------------------------------------ 1 Bahan ajar Teori Himpunan/ ted_M

HIMPUNAN

Pendahuluan

Bahan ajar ini, pembahasannya dibagi menjadi dua bagian. Bagian

pertama menyajikan dasar-dasar himpunan yang berisi tentang Pengertian

Himpunan, Macam-macam Himpunan, Diagram Venn dan Relasi Antar

Himpunan. Bagian kedua membicarakan Operasi Himpunan.

Materi bahan ajar ini sangat berguna, karena baik di SLTP maupun di

SMA materi ini banyak dibahas. Bahan ajar ini merupakan perluasan dan

pendalaman materi yang telah anda pelajari, sehingga dapat anda pergunakan

dalam mengajar atau dalam kehidupan sehari-hari lainya.

Setelah mempelajari bahan ajar ini secara umum anda diharapkan

mengetahui dasar-dasar himpunan dan mampu menggunakannya sebagai

pengembangan materi himpunan yang telah anda ketahui. Kemudian secara

khusus, setelah mempelajari bahan ajar ini anda dapat:

a. Menyebutkan pengertian himpunan dalam matematika.

b. Menyatakan keanggotaan suatu himpunan.

c. Menyatakan himpunan dengan cara menulis himpunan.

d. Membedakan macam-macam himpunan.

e. Membedakan relasi antar himpuinan.

f. Menyatakan himpunan dengan diagram Venn.


PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-

lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang

merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok

mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas

meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju

sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya

merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan

contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana

anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan

himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat

didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya

bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau

sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang

lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu

indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah

adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau

elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan

menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis

dengan huruf kecil.

Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya

Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan

dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil.

Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang


lainya dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara

pendaftaran (roster method).

Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler

method).

a. Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain

disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi.

Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut.

Apabila anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis.

Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya

memiliki keteraturan, untuk menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik”...”.

Contoh 1 : Nyatakan himpunan berikut dengan Cara Pendaftaran.

A = himpunan bilangan asli

B = himpunan bilangan ganjil kurang dari 30.

C = himpunan bilangan bulat.

D = himpunan bilangan prima kuran dari 10.

E = himpunan hari dalam sepekan.

Jawab:

A = ,...3,2,1

B = 29,...,5,3,1

C = ,...2,1,0,1,2,3...,

D = 7,5,3,2

E = .,,,,,, MingguSabtuJumatKamisRabuSelasaSenin

Keterangan:

1) Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan

penulisanya dua kali tiga titik “…”.

2) Himpunan D dan E anggotanya dapat ditulis semua karena anggotanya sedikit.


b. Dengan Sifat keanggotaan (Ruler Method)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya, cara

ini juga disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan syarat yang harus dipenuhi

oleh anggota himpunan itu. Objek atau elemen yang memenuhi syarat himpunan

itu adalah anggotanya.

Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan variabel,

misalnya x dan syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti himpunan tersebut

bersifat P. Himpunan tersebut ditulis A= )(xPx ;” ” garis tegak dibaca

”sedemikian sehingga”. Cara membaca himpunan tersebut adalah A himpunan

semua x sedekian sehingga x mempunyai sifat P. A = )(xPx selain disebut cara

menyatakan himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut notasi pembentuk

himpunan.

Contoh 2: Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentukan himpunan.

A = uoiea ,,,,

B = .,,,,,, MingguSabtuJumatKamisRabuSelasaSenin

C = 2,1,0,1,2,3

D. = 7,5,3,2

Jawab:

A = alfabethiduphuruf

B = ggusedalamharinamaxx min

C = bulatbilanganxxx ,34

D = primabilanganxxx ,10

Keanggotaan Suatu Himpunan

Dalam matematika lambang anggota adalah ” ”, sedangkan bukan

anggota dilambangkan dengan ””. Anggota himpunan A = uoiea ,,,, adalah

a, i, u, e, o dan b, c, d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat


dinyatakan dengan a A, e A, i A, o A, u A.Tetapi b A, c A, dan

d A.

Himpunan B = primabilanganxxx ,10 .Jadi 2 B, 5 B, 7 B.

Tetapi 1 B, 9 B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P = ba,

berarti a P dan b P. b anggota P yang berbentuk himpunan.

Banyaknya Anggota Statu Himpunan

Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan

diberi lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari

himpunan A ditulis n(A).

Contoh 3: Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di bawah ini?

A = fedcba ,,,,,

B = ganjilbilanganxxx ,15

C = aslibilanganxx

D = primabilanganxx

Jawab:

A = fedcba ,,,,, , maka kardinal A adalah n(A) = 6

B = ganjilbilanganxxx ,15 = 13,11,9,7,5,3,1 maka bilangan kardinal B

adalah n(B) = 7

C = aslibilanganxx , berarti juga C = ,...3,2,1 , maka bilangan kardinal C

adalah n(C) = ~.

D = primabilanganxx , berarti juga D = ,...7,5,3,2 , maka bilangan kardinal

D adalah n(D) = ~.

Himpunan C dan D adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak

anggotanya. ”~” melambangkan bilangan kardinal tak terhingga.


Macam-macam Himpunan

Himpunan Kosong

Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari

himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau

. Jadi apabila A = aslibilanganxx ,1 , maka A = atau A = dan n(A)

= 0.

Perhatikan contoh di bawah ini!

1. B = bulatbilanganxxx ,02

2. C = aslibilanganxxx ,21

3. D = 1xdannegatifbilanganxx

4. E = dan F =

Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki

anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan

contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga

memiliki anggota yaitu .

Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang

berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya

himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta

ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh

himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan

pembicaraan.

Contoh 5:

a. Apabila kita membicarakan himpunan A 7,5,3,2 maka yang dapat menjadi

himpunan semesta adalah:


U = cacahbilanganxx ,

U = primabilanganxx ,

U = positifbulatbilanganxx atau himpunan lain yang memuat A.

b. Apabila kita membicarakn himpunan B =

UNGFMIPAAkelasMatematikaSwanitamahasiswaxx 1 , maka yang

menjadi himpunan semestanya adalah :

U = UNGFMIPAMatematikaSwanitaMahasiswaxx 1

U = UNGFMIPAMatematikaMahasiswaxx

U = UNGMahasiswaxx

Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu

atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga

adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu

bilangan cacah.

Contoh 6:

a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.

b. B = 75,...3,2,1 n(B) = 75, 75 bilangan cacah.

c. C = ggusedalamharinamaxx min n(C0 = 7, 7 bilangan cacah.

Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi

syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang

dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain

himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan

cacah.


Contoh 7:

Q= ,...4,3,2,1

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan

anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) =

~.

Himpunan Terbilang

Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A

tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.

Contoh 8:

a. A = 3,2,1

Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat

dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.

b. B = ...3,2,1

Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga

merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

Himpunan Tak Terbilang

Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut

tidak dapat dihitung satu persatu.

Contoh 9:

R = realbilanganxxx ,32

Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya

tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak

berhingga, karena n(R) = ~.

Himpunan Terbatas

Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai

batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan

tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan.


Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan

disebut batas atas.

Contoh 10:

a. P = 3,2,1,0 , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.

b. Q = Rxxx ,30 , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.

Tetapi 0 R dan 3 Q.

Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya

bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.

Contoh

a. A = 50 xx dapat ditulis 5,0

b. B = 50 xx dapat ditulis 5,0

c. C = 50 xx dapat ditulis 5,0

d. D = 50 xx dapat ditulis (0,5)

Himpunan Tak Terbatas

Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut

tidak memiliki batas.

Contoh 12

R = Rxxx ~,~

Simpulan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-

lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang

merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan anggota himpunan.

Menuliskan himpunan ada dua cara yaitu cara pendaftaran dan cara

perincian.


Banyaknya anggota dari suatu himpunan biasanya juga disebut bilangan

kardinal himpunan tersebut.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan

himpunan yang memuat anggota himpunan yang sedang dibicarakan disebut

himpunan semesta.

Himpunan berhingga adalah himpunan yang bilangan kardinalnya dapat

dinyatakan dengan bilangan cacah, sedangkan bilangan tak berhingga adalah

bilangan yang tak memenuhi syarat pada himpunan berhingga.

Himpunan terbilang himpunan yang dapat ditunjukkan atau dihitung satu

persatu, sedangkan himpunan tak terbilang adalah sebaliknya.

Latihan

Untuk lebih memantapkan pemahaman anda mengenai materi kegiatan

belajar yang telah anda pelajari kerjakalah latihan berikut dengan seksama:

1) Berikan lima contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari!

2) Tuliskan contoh-contoh dari nomor 1 ke dalam notaso pembentuk himpunan.

3) Tuliskan tiga contoh himpunan, kemudian periksalah apakah himpunan

tersebut himpunan berhingga, tak hingga, terbilang, tak terbilang, terbatas,

atau tak terbatas!


RELASI ANTAR-HIMPUNAN

Diagram Venn

Istilah diagram Venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang

menjadi tokoh logika matematika, yaitu John Venn (1834-1923). Ia menulis buku

simbolik logic dalam analisisnya menggunakan banyak diagram khususnya

diagram lingkaran, diagram tersebut kini dikenal nama diagram Venn.

Biasanya himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang

dan suatu himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah

kurva tertutup sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan

noktah-noktah sedangkan anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-

wakil anggota himpunan tidak perlu ditulis.

Contoh 1

a. Apabila U = aslibilanganxxx ,61 dan A = 4,3 , maka diagram

Vennnya ádalah

U

Apabila U = cacahbilanganxx , A = aslibilanganxxx ,61

B = 6,5,4 , maka anggota U tidak perlu dituliskan.

A

.6

.2

.5

.3

.4


Diagram vennnya adalah

U

Relasi Antar-Himpunan

Coba perhatikan dan amati contoh-contoh sebelumnya. Ternyata ada yang

mempunyai anggota yang sama, ada himpunan berada dalam himpunan yang lain

dan ada pula himpunan yang tidak beranggota. Ini semua menunjukkan bahwa

antara dua himpunan ada hubungan atau relasi.

1. Himpunan Bagian

Himpunan bagian dinotasikan dengan “ ”. Himpunan A disebut

himpunan bagia dari himpunan B, jika setiap A menjadi anggota A menjadi

anggota B yang dinyatakan dengan A B, selain itu juga dapat disebut A

tercakup dalam B atau juga kita dapat menggunakan istilah B mencakup A atau B

yang dilambangkan B A.

Bila kita temukan suatu himpunan A yang menjadi anggota A juga, maka

kita katakan bahwa A merupakan himpunan bagian dari A sendiri. Himpunan

seperti ini disebut himpunan bagian tidak murni.

Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni dari himpunan B apabila

paling sedikit ada satu unsur dari B yang tidak menjadi anggota himpunan A,

kalau tidak demikian maka dinamakan himpunan bagian tidak murni.

A B

.1

.3

.2

.4 .6

.5


Contoh 2

a. Diagram Venn himpunan bagian murni

U

b. Diagram Venn himpunan bagian tidak murni

U

Jadi A himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan A B.

Sifat-sifat Rotasi Himpunan Bagian

1. Refleksif A A

2. Tak simetris A B B A tetapi bila A B dan B A maka A = B

3. Transitif, A B, dan B A maka A C.

N

C

C

B A A

A = B

B

A


Dari uraian di atas dapat ditarik kesepakatan bahwa:

1. Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.

2. Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.

3. Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, n adalah bilangan

kardinal himpunan itu.

Dari himpunan-himpunan bagian itu dapat dibuat himpunan bagian baru

yang disebut himpunan kuasa, yang dilambangkan dengan 2A, A adalah

himpunan.

Jadi himpunan kuasa dari himpunan A dengan lambang 2A

adalah

himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua himpunan yang

menjadi himpunan bagian dari himpunan A.

Contoh 3.

a. A = 4,3,2,1

B = 2,1 , maka

B A karena semua anggota B merupakan anggota A.

Diagram Venn

U

B A

b. Tentukan himpunan kuasa dari himpunan Q = 2,1,0 .

Jawab:

Himpunan bagian dari Q adalah , 0 , 1 , 2 , ,1,0 , 2,0 , 2,1 , 3,2,1

2Q

= 3,2,1,2,1,2,0,1,0,2,1,0,

A

.3

.4

B .1

.2


2. Himpuanan berpotongan

Himpunan berpotongan dinotasikan dengan ” ”. Dua himpunan A dan B

dikatakan berpotongan jika ada anggota A saja, ada anggota B saja dan ada

anggota sekutu A dan B.

Contoh 4.

A = 6,5,4,3,2,1

B = 8,6,4,2 , maka A B

Diagram Venn

U Keterangan:

- ada anggota A saja yaitu 1,3,5

- ada anggota B saja yaitu 8

- ada anggota sekutu A dan B

yaitu

2,4,6

A B

3. Himpunan Lepas

Himpunan lepas dinotasikan dengan “ ” . Dua himpunan A dan B

dikatakan saling lepas atau saling asing bila A dan b tidak mempunyai anggota

persekutuan.

Contoh 5.

A = 7,5,3,1 dan B = 8,6,4,2 , maka A B.

A B

.1

.3

.5

.2

.4 .8

.6


Diagram Vennnya

A B

4. Himpunan Sama

Himpunan sama dinotasikan dengan “=”. Dua himpunan A sama dengan B

jira setiap unsur A juga menjadi unsur B, dan sebaliknya, setiap unsur B juga

menjadi unsur A.

Contoh 6.

A = aslibilanganxxx ,7

B = 6,5,4,3,2,1

Jelas, A = B karena setiap unsur A juga unsur B dan sebaliknya setiap unsur B

juga unsur A.

Sifat-sifat Himpunan Sama

1. Refleksif, A = A

2. Simetris, A = B dan B = A

3. Transitif, A = B, B = C, maka A = C

4. Himpunan Setara /Ekuivalen

Himpunan setara dinotasikan “~”. Dua himpunan A dan B disebut setara

“A~B” jira bilangan kardinalhimpunan B atau n(A) = n(B).

Dengan kata lain jira setiap anggota dari A dapat dipasangkan satu-satu

keanggota B, dan sebaliknya, atau antara anggota A dan B dapat

dikorespondensikan satu-satu.

A

.5

.3

.7

.2 .4

.6

.8


Contoh 7.

Jika A = dcba ,,, dan B = srqp ,,, , maka A ~ B, dan jelas n(A) = n(B) yaitu

4.

Diagram Vennnya

A B

A~ B

Rangkuman

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B ditulis A B

bila setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B.

Himpunan A adalah himpunan bagian murni dari B, bila paling sedikit ada

satu unsur dari B yang tidak menjadi anggota himpunan A, kalau tidak demikian

maka himpunan bagian tersebut tidak murni.

Himpunan kuasa dari himpunan A dengan lambang 2A adalah himpunan

baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua himpunan yang menjadi

himpunan bagian dari himpunan A.

Dua himpunan A dan B disebut berpotongan dengan lambang A B, bila

ada anggota A saja, ada anggota B saja dan ada anggota A dan B.

Himpunan A disebut lepas dari himpunan B yang dilambangkan A B,

bila tidak ada anggota sekutu antara A dan B.

Himpunan A disebut sama dengan himpunan B bila setiap unsur A juga

menjadi unsur himpunan B, sebaliknya setiap unsur B juga menjadi unsur

himpunan A.

Dua himpunan Adan B disebut setara yang dilambangkan dengan A ~ B,

bila n(A) = n(B).

.a

.b

.c

.d

.p

.q

.r

.s


Latihan

1) Tentukanlah A = 11,9,7,5,3,1 .Tentukan himpunan bagian A yang

anggotanya:

a. kelipatan 3

b. merupakan bilangan kuadrat

c. merupakan bilangan prima

2) Tentukan relasi antara himpunan-himpunan berikut

a. A = 150,...,106,104,102

B = 50,...6,4,2

b. P = ukil ,,,

Q = iluk ,,,

3) A B

Dari diagram Venn di atas, tentukanlah relasi dari himpunan-himpunan

a. A dengan B

b. B dengan C

c. C dengan D

d. A dengan C

4) Jika A = ba, , tentukanlah himpunan bagian murni dari himpunan A.

5) Jika P = baa ,, , tentukanlah himpunan bagian dari P.

D

C


HIMPUNAN (LANJUTAN)

Pendahuluan

Bagian kedua ini merupakan bahan ajar kelanjutan bagian pertama.

Materinya membahas dasar-dasar himpunan yang berisi tentang operasi himpunan

yaitu gabungan himpunan, irisan himpunan, selisih himpunan, penjumlahan

himpunan, hasil kali dan komplemen himpunan.

Bahan ajar ini seperti halnya bagian pertama, materinya bukan hal baru

lagi bagi anda, di samping telah pernah anda peroleh ketika anda mengikuti

pendidikan di SMA. Dalam bahan ajar ini pembahasanya diperluas dan

diperdalam sehingga dapat diperguanakan dalam mata kuliah lain dan dalam

kehidupan sehari-hari.

Setelah mempelajari bahan ajar ini secara umum anda diharapkan dapat

mengoperasikan antara dua himpunan atau lebih, serta mampu menggunakanya

dalam matematika, mata kuliah lain dan dalam kehidupan sehari-hari.

Kemudian, secara khusus anda diharapkan dapat

a. Menggunakan sifat-sifat gabungan dalam menyelesaikan soal himpunan.

b. Menggunakan sifat-sifat irisan dalam menyelesaikan soal himpunan.

c. Menggunakan sifat-sifat komplemen himpunan untuk menyelesaikan soal

d. Menentukan selisih dua himpunan yang diketahui

e. Membutuhkan jumlah dua himpunan

f. Menggunakan diagram Venn untuk menyelesaikan soal-soal himpunan

g. Mengguanakan bilangan kardinal dalam mengoperasikan himpunan


OPERASI HIMPUNAN 1

Dalam pelajaran aljabar yang pernah kita kenal operasi hitung seperti

penjumlahan perkalian, pengurangan pembagian, operasi itu membentuk bilangan

baru dari bilangan yang diketahui.Demikian juga dengan operasi

himpunan.Pengertian operasi pada himpunan tidak berbeda dengan operasi pada

bilangan.

Operasi pada himpunan adalah cara membentuk himpunan baru dari

himpunan-himpunan yang diketahui. Operasinya ada yang berbentuk uner dan ada

yang berbentuk biner. Operasi uner, bila himpunan baru tersebut dari satu

himpunan yang diketahui dan operasi biner bila himpunan baru diperoleh dari dua

himpunan.

Gabungan Himpunan

Gabungan dua himpunan A dan B yang dilambangkan dengan ”A B”

adalah himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua anggota A atau

anggota B atau anggota kedua-duanya. ”A B” dibaca A gabungan B atau

gabungan A dan B.

Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A B =

BdanAxatauBxatauAxx , dan jika dinyatakan dengan diagram

Venn maka daerah yang diarsir merupakan daerah A gabungan.

Diagram Venn A B

A B


Contoh 1.

Jika A = cba ,,

B = edc ,,

Maka A B = dcba ,,,,

Diagram Vennnya

A B

Contoh 2.

Jika A = 4,3,2,1 dan

B = 6,5,4,3,2,1 berarti A B

Maka A B = 6,5,4,3,2,1 = B

Diagram Vennnya

Gambar 2

A B A B = B

A B

Contoh 3.

Jika A = 3,2,1 dan B = 6,5,4 , maka A B = 6,5,4,3,2,1

A B

a

b

d

c

e

.B

.A

.5

.6

.2

.3 .1

.4


Diagram Vennnya

A B

Contoh 4.

Jika A = cba ,, , maka A A = cba ,,

Demikian juga A = cba ,,

Jadi A A = A dan A = A

Contoh 5.

Jika A = cba ,, dan U = edcba ,,,,

Maka A U = edcba ,,,,

Jadi A U = U

Irisan Himpunan

Irisan himpunan A dan B, yang dilambangkan dengan ”A B” adalah

himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan A dan anggota

himpunan B, atau dengan kata lain anggotanya adalah anggota sekutu A dan B.

”A B” dibaca ”A irisan B” atau ”irisan A dan B”.

A B

.1

.2

.3

.4

.5

.6


Jika dinyatakan dengan dengan diagram Venn, irisan himpunan A dan B

ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.

A B

Contoh 6.

Jika A = 3,2,1 dan B = 6,5,4,3 , maka A B = 3 .

Diagram Venn

Contoh 7.

Jika A = cba ,, dan B = fed ,, , maka A B =

Diagram Venn

A B

A B

A B

.1

.2

.4

.5

.3

.6

A B

.a

.b

.c

.d

.e

.f


Irisan A dan B tidak ada , hubungan antara A dan B adalah himpunan

lepas, yang berarti A B A B =

Contoh 8.

Jika A = 5,4,3,2,1 dan B = 8aslibilanganxx

Maka A B = 5,4,3,2,1 = A

Diagram Venn

Ternyata A merupakan bagian B sehingga A B = A

Contoh 9.

Jika A = uia ,, maka A A = uia ,, = A dan bila A = , berarti tidak

ada anggotanya. Jadi A A = A dan A = .

Contoh 10.

Jika U = 5,4,3,2,1 dan A = 3,2,1 maka A S = 3,2,1

U = himpunan semesta. Jadi A U = A.

B

A

.6

.7 .2

.3 .1

.4 .5


Komplemen Himpunan

Komplemen himpunan A ádalah himpunan semua eleven yang menjadi

anggota U dan tidak menjadi anggota A. Dengan perkataan lain bahwa bahwa

komplemen dari himpunan A ádalah himpunan baru yang anggota-anggotanya

terdiri anggota bukan A. Komplemen dari statu himpunan A dilambangkan

dengan “A” atau “A’” dibaca bukan A atau komplemen A. Jika dinyatakan

dengan notasi pembentuk himpunan maka A = A’ = Axdanxx atau

Axx .

Apabila dinyatakan dengan diagram Venn, komplemen A ditunjukkan dengan

daerah yang diarsir.

U

Perhatikan A’ ada diluar A.

Jadi A A’, sehingga A A’ = dan A A’ = U

Contoh 11.

Diketahui U = 10cacahbilanganxx

A = 7,5,3,1 dan B = 6,5,4

Tunjukkan bahwa :

a) (A B)’ = A’ B’

b) (A B)’ = A’ B’ dengan menggunakan diagram Venn

A’

A


Jawab:

Diketahui:

a) A = 7,5,3,1 dan B = 6,5,4 maka A’ = 9,8,6,4,2,0 A’ B’ = 9,8,2,0

B’ = 9,8,7,3,2,1,0

A B = 7,6,5,4,3,1 (A B)’ = 9,8,2,0

Jadi (A B)’ = A’ B’

Dengan Diagram Venn

(A B)’ = A’ B’

Daerah yang diarsir Daerah yang diarsir tegak menunjukkan

Mendatar menunjukkan (A B)’ B’ yang diarsir mendatar menunjukkan

A’ . Daerah yang arsir datar dan tegak

menunjukkan A’ B’

Jadi daerah yang ditunjukkan (A B)’ = daerah yang ditunjuk oleh A’ B’.

b) (A’ B’) = 5 (A B)’ = 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

A’ B’ = 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

Jadi (A B)’ = A’ B’

A B

A B .0

.2

.6 .9

.3

.1

.7

.4

.5

.6

.3

.1

.7

.4

.5

.6


Dengan diagram Venn

(A B)’ = A’ B’

Gambar sébelah kiri menyajikan daerah yang diarsir mendatar sebagai (A B)’.

Sedangkan gambar sebelah kanan, daerah yang diarsir mendatar sebagai A’ dan

daerah yang diarsir tegak sebagai B’. Daerah yang diarsir tegak dan mendatar

merupakan daerah A’ B’. Jadi daerah yang ditunjukkan (A B)’ sama dengan

yang ditunjukkan A’ B’.

Rangkuman

Operasi himpunan ádalah satu cara membentuk himpunan baru dari

himpunan-himpunan yang diketahui.

Gabungan dua himpunan A dan B yang dilambangkan dengan A B,

dibaca A gabungan B, atau gabungan A dan B hádala himpunan baru yang

anggota-anggotanya terdiri dari semua anggota A atau anggota B. Dalam notasi

pembentuk himpunan ditulis A B = BdanAxatauBxatauAxx

Irisan dua himpunan A dan B dilambangkan dengan A B, dibaca A

irisan B atau A irisan A dan B hádala himpunan baru yang anggota-anggotanya

terdiri dari anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Dalam notasi

pembentuk himpunan ditulis A B = BxdanAxx

Komplemen himpunan A ádalah himpunan semua anggota yang menjadi

unsur A, dilambangkan dengan “A” atau A’, dalam A = AxdanUxx atau

Axx .

A B

A B .0

.2

.6 .9

.3

.1

.7

.4

.5

.6

.3

.1

.7

.4

.5

.6


Latihan

Untuk memantapkan pemahaman anda, tentang operasi himpunan pada

kegiatan belajar ini, kerjakan latihan di bawah ini.

1) Gambarlah dengan arsir daerah di bawah ini.

a. 4),( xyx 2),( yyx

b. 2),( xyx 2),( yyx

2) Jika U = 7,6,5,4,3,2,1

A = 3,2,1 , B = 6,5,4 , C = 5,3,1 , dan D = 6,4,2

Tentukanlah:

a. A C

b. A D

c. (C D)’

d. (C D)’

3). Jika P = 2dibagihabisbilanganxx

Q = 3dibagihabisbilanganxx

R = 6dibagihabisbilanganxx

Tunjukkan bahwa R = P Q


OPERASI HIMPUNAN II

Selisih Himpunan

Selisih antara dua himpunan A dan B dilambangkan dengan A-B adalah

himpunan semua anggota yang menjadi anggota A dan tidak menjadi anggota B.

Dengan perkataan lain himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari

anggota A dan yang tidak menjadi anggota himpunan B.Demikian pula sebaliknya

B – A berarti bahwa semua anggota yang unsure B dan tidak menjadi unsur A.

Jika dinyatakan dengan rotasi pembentuk himpunan maka:

A – B = BxdanAxx

B – A = AxdanBxx

Dan bila dinyatakan dengan diagram Venn, maka daerah yang diarsir

merupakan hasil selisih kedua himpunan tersebut.

A –B B – A

Contoh 1

Diketahui A = 17danprimabilanganxx

B = 10danaslibilanganxx

Maka A – B = 13 , dan B – A = 9,8,6,4,1

A B

A B


Dengan diagram Venn

A – B B – A

Terlihat dari diagram di atas, apabila A B maka A – B = A dan B – A = B.

Contoh 2.

Diketahui A = 5,3,1 , B = 9,8,7,6

Maka A – B = 5,3,1 = A

B – A = 9,8,7,6 = B

Dengan diagram Venn

A – B B – A

Terlihat dari diagram di atas, apabila A B maka A – B = 5,4

A B

A B

.1

.2

.3

.6

.7

.8 .9

.1

.2

.3

.6 .8

.7

.9


Contoh 3.

Jika A = 5,4,3,2,1 dan B = 3,2,1 maka A – B = 5,4

B – A = , karena tidak ada anggotanya atau semua anggota B merupakan

anggota A.

Contoh 4.

Jika A 5,4,3,2,1 , maka A – A = dan A - = A

Jumlah Himpunan

Jumlah antara dua himpunan A dan B dilambangkan dengan A + B ádalah

himpunan unsur-unsur himpunan yang menjadi anggota A atau B dan bukan

anggota sekutu A dan B.

Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, maka, A + B =

BAxdanBxAxx , atau A + B = (A B) – (A B).

Dan bila dinyatakan dengan diagram Venn, maka daerah yang diarsir

merupakan hasil jumlah himpunan A dan B.

A + B = (A B) – (A B)

A


Contoh 5.

Diketahui: A = dcba ,,, , B = fedcb ,,,, dan C hfec ,,, , menunjukkan:

a) A + B = (A B) – (A B)

= fedcba ,,,,, - dcb ,,

= fea ,,

b) (A + B) = A + (B + C)

A + B = fea ,, (A + B) + C = hgfca ,,,,

C = hgec ,,,

B + C = hgfdb ,.,, A + (B + C) = hgfca ,,,,

A = dcba ,,,

Jadi (A + B) + C = A + (B + C)

Perkalian Himpunan

Perkalian himpunan A dan B yang dilambangkan dengan A x B hádala

himpunan semua pasangan berurutan (x,y) dengan x A dan y B. x urutan

pertama dan y urutan kedua. Hasil kali A dan B biasanya disebut produk Cartesius

atau hasil kali Cartesius.

Jika ditulis dengan notasi pembentuk himpunan maka A x B = yx, x

A dan y B .

Hasil kali himpunan A dan B tidak dapat dinyatakan dengan diagram

Venn, tetapi dinyatakan dengan diagram Cartesius.

Contoh 6.

Jika A = 2,1 dan B = 6,5,4 maka:

A x B = 4,1 , 5,1 , 6,1 , 4,2 , 5,2 , 6,2

B x A = 1,4 , 2,4 , 1,5 , 2,5 , 1,6 , 2,6

Kalau anda perhatikan, dari jalaban atau hasil kali di atas terlihat bahwa urutan

(x,y) menunjukkan bahwa A x B B x A. Dan perlu diketahui juga bahwa (x,y)

(y,x).


Contoh 7.

Diketahui A = 1,0 , B = yx, .

Tentukan: a. A x A; b. B x B; c. A x B dan d. B x A.

Jawab:

a. A x A = 0,0 , 1,0 , 0,1 , 1,1

b. B x B = xx, , yx, , xy, , yy,

c. A x B = x,0 , y,0 , x,1 , y,1

d. B x A = 0,x , 1,x , 0,y , 1,y

Contoh 8.

Diketahui: A = 1,0 , B = 2,1 dan C = yx,

Tentukan:

a. A x (B C) = (A x B) (A x C)

b. A x (B C) = (A x B ) (A x C)

c. A x (B – C) = (A x B) – (A x C)

Jawab:

a. A x (B C) = (A x B) (A x C)

B C = yx,,2,1

A x (B C) = 1,0 , 2,0 , x,0 , y,0 , 1,1 , 2,1 , x,1 , y,1

…….(1)

(A x B) = 1,0 , 2,0 , 1,1 , 2,1

(A x C) = x,0 , y,0 , x,1 , y,1

(A x B) (A x C) = 1,0 , 2,0 , 1,1 , 2,1 , x,0 , y,0 , x,1 , y,1 …..

(2)

(1) = (2), jadi A x (B C) = (Ax B) (A x C)

b. A x (B C) = (A x B ) (A x C)

(A C ) = A x (B C) =

…….(1)


(A x B) = 1,0 , 2,0 , 1,1 , 2,1

(A x B) (A x C) = ………(2)

(A x C) = x,0 , y,0 , x,1 , y,1

(1) = (2)

Jadi A x (B C) = (A x B) (A x C)

Untuk menunjukkan A x (B – C) = (A x B) – (A x C), coba kerjakan sendiri

sebagai latihan.

Dalil-dalil Operasi Himpunan

Dari pembahasan kegiatan relajar I, mengenai Operasi Gabungan, Irisan

dan Komplemen serta bahasan Kegiatan Relajar 2 mengenai istilah himpunan

dapat disimpulkan bahwa berlaku dalia-dalil berikut ini.

1. Dalil keidentikan terhadap gabungan

A = A

A U = U

2. Dalil keidentikan terhadap irisan

A =

A U = A

3. Dalil kesamakuatan terhadap gabungan dan irisan

A A = A

A A = A

4. Dalil komplemen

A A’ = U

A A’ =

5. Dalil komutatif terhadap gabungan dan irisan

A B = B A

A B = B B

6. Dalil De Morgan

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’


7. Dalil asosiatif terhadap gabungan dan irisan

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

8. Dalil distributif

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

9. Dalil kesamaan selisih dan irisan

A – B = A B’

Dalil-dalil di atas dapat dibuktikan kebenaranya, pembuktianya dengan

beberapa cara, diantaranya dengan:

1. syarat keanggotaan

2. diagram Venn

3. daftar keanggotan

Contoh 9.

Buktikan (A B)’ dan A’ B’ dengan cara

a. syarat keanggotaan

b. diagram Venn

c. daftar keanggotan

Bukti:

Cara a.

1) Misal x (A B)’ berarti (A B)

Jadi x A atau x A’

x B atau x B’

x A’ atau x B’ berarti x A’ B’

2) Misal x A’ B’ berarti x A’ atau x B’ atau x A’ B’

Jadi x A’ atau x A.

x (A B)

x B’ atau x B


x (A B) berarti x (A B)’

Jadi A’ B’ (A B’), dari 1) dan 2) menunjukkan bahwa (A B’)

A’ B’ A’ B’ (A B’).

Jadi terbukti bahwa (A B)’ = A’ B’

Cara b.

(A B)’ A’ B’

Gambar 1. (A B)’ Gambar 2. A’ B’

Cara b) gambar 1) daerah yang gelap menunjukkan (A B)’, gambar

2) daerah yang diarsir mendatar menunjukkan A’ dan daerah yang diarsir tegak

menunjukkan B’. Jadi daerah yang diarsir baik tegak maupun mendatar

menunjukkan daerah A’ B’. Sehingga dinyatakan bahwa (A B)’ = A’ B’.

Cara c.

A B A’ B’ A B (A B)’ A’ B’

1 2 3 4 5 6 7

Coba anda perhatikan daftar 6 dan 7, ternyata daftar 6 = 7 . Jadi

terbukti bahwa (A B)’ = A’ B’.

Daftar keanggotaan yang kita gunakan untuk menjawab cara c) di atas

sebenarnya diperoleh dari analogi tabel kebenaran pada logika elementer. Nilai

benar yang kita tulis B dan nilai salah kita tulis S, pada daftar keanggotaan


dianalogikan B menjadi dan S menjadi . Sehingga diperoleh dari dasar

gabungan, irisan, selisih dan komplemen seperti berikut.

Gabungan Irisan

A B A B A B A B

Selisih Komplemen

A B A - B A A’

Contoh 10.

Buktikan bahwa A – B = A B’, dengan daftar keanggotaan.

Jawab:

A B B’ A - B A B’

Terlihat pula kolom 4 dan 5, nilai keanggotaanya sama. Jadi terbukti

bahwa A – B = A B’. Untuk dalil-dalil yang lain, coba anda buktikan sebagai

latihan, gunakan cara-cara yang mudah menurut anda.

Bilangan Kardinal dan Oprasi Gabungan

Pada modul pertama telah kita pelajari bilangan kardinal statu

himpunan. Jika himpunan tersebut hádala A maka bilangan kardinalnya hádala


n(A). Misal A = p , maka n(A) = 1, A = q maka n(A) =1 atau n(P) = n ( q ) =

1; n( qp, ) = n( qp, ) = n( rq, ) = 2’ n( rqp ,, = 3.

Sekarang bagaimana dengan bilangan kardinal untuk gabungan dua

himpunan A dan B, n(A B)? Tentu kita tidap dapat langsung menentukan

bilangan kardinalnya, karena A B anggota-anggotanya mungkin anggota

kedua-duanya. Dengan perkataan lain, untuk menghitung n(A) ditambah n(B)

kemudian dikurangi n(A B).

Jadi n (A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Contoh 11.

Diketahui A = srqp ,,, dan B = srq ,,

Tentukan n(A B)

Jawab:

n(A B) = n (A) + n(B) – n(A B)

n(A) = 4, n(B) = 3, n(A B) = 3

Jadi n(A B) = 4 + 3 -3 = 4

Contoh 12:

Diketahui A = ba, dan Q = dc,

Tentukan n(A B)

Jawab:

n(A) = 2, n(Q) =2, n(P Q) = 0

n(A B) = 2 + 2 – 0 =4

Dari contoh 12, P Q menyebabkan n(P Q) = n(P) + n(Q).

Setelah anda mengetahui bilangan cardinal untuk gabungan dua

himpunan n(A B), bagaimana dengan bilangan kardinal untuk gabungan tiga

himpunan misal n(A B C)?

Dengan menggunakan rumusan n(A B) kita juga dapat menentukan

n(A B C). Coba perhatikan uraian berikut:

Misal: B C = 0, sehingga n(A B C) = n(A D )


n(A D) = n(A) + n(D) – n(A D) ………(1)

Jadi n(A B C) = n(A) + n(B C) – n (A (B C)

n(B C) dan n(A (B C) perlu diuraikan kembali.

n(A B) = n(B) + n(C) – n(B C) ……..(2)

n((A (B C) = n(A B) (A C), misal A B = P dan (A C) = Q

maka

n(B C) (A C) = n(P Q)

Jadi n(P Q) = n(P) + n(Q) – n(P Q)

Karena P = (A B) dan Q = (A C) maka

n(P Q) = n(A B) + n(A C) – n(A B A C))

Jadi n(A B C) = n(A B) + n(A C) + n (A B C)) ………(3)

Dari persamaan bilangan kardinal (2) dan (3) dimasukkan ke

persamaanbilangan kardinal (1). Suku yang diperoleh:

n((A (B C) = n(A) + CBnCnBn ()()( - n(A B) + n(A C) –

n(A B C).

Jadi n(A (B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(B C) - n(A B) + n((A C) +

n(A B C)

Contoh 13.

Diketahui : A = sqp ,, , B = rqp ,, , C = sq,

Tentukan: n(A (B C)

Jawab:

n(A (B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(B C) - n(A B) + n((A C) + n(A

B C)

n(A) =3, n(B) = 3, n(C) =2, n(A B) = 2, n((A C) = 2, n(B C) = 1,

n(A B C) = 1

Jadi n(A (B C) = 3 + 3 + 2 – 2 -1 + 1 = 4

Rangkuman


Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A – B = BxdanAxx

B – A = AxdanBxx

Jumlah himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A + B = BAxdanBxAxx ,

Perkalian dua himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A x B = yx, x A dan y B .

Dalia-Dalil operasi himpunan:

1. Dalil keidentikan terhadap gabungan

A = A

A U = U

2. Dalil keidentikan terhadap irisan

A =

A U = A

3. Dalil kesamakuatan terhadap gabungan dan irisan

A A = A

A A = A

4. Dalil komplemen

A A’ = U

A A’ =

5. Dalil komutatif terhadap gabungan dan irisan

A B = B A

A B = B B

6. Dalil De Morgan

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’

7. Dalil asosiatif terhadap gabungan dan irisan

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

8. Dalil distributif


A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Latihan:

Agar anda lebih memahami kegiatan belajar belajar ini, kerjakanlah

latihan berikut ini!

1) Jika P = 15 xbulatbilanganxx

Q = 41 xbulatbilanganxx

Tentukan P –Q dan Q – P!

2) Dari 200 penduduk kampung Anjar ternyata

90 orang suka gado-gado

95 orang suka rujuk

80 orang suka peces

40 orang suka gado-gado dan rujuk

30 orang suka gado-gado dan peces

20 orang suka rujak dan peces

10 orang suka gado-gado, rujak, peces

Tentukanlah:

a. Banyaknya penduduk yang tidak suka ketiga-ketiganya.

b. Banyaknya penduduk yang suka gado-gado saja.

c. Banyaknya penduduk yang tidak suka gado-gado tetapi suka rujak dan

pecel

3) Jika A = srqp ,,, , B = utsr ,,, , C = vtrp ,,,

Tentukan: A + (B C)

(A + B) C)

4) Jika A = ba, , B = qp, , dan C = tsp ,,

Tentukan A x (B – C)

5) Buktikan dengan daftar keanggotaan bahwa A – (A’- B) = A (A B)

Documents

Teori Himpunan PDF