Teori Permainan

- Teori permainan berurusan dengan situasi keputusan di mana dua

orang bertentangan yang mempunyai kepandaian mempunyai tujuan

yang bertentangan

- Contoh tipikal a.l. melemparkan kampanye iklan untuk produk-produk

yang bersaing dan perang strategi dari tentara yang berlawanan

Dalam suatu permainan konflik, kedua pemain yang bertentangan

masing-masing akan mempunyai sejumlah alternatif atau strategi

(yang terbatas atau tidak terbatas). Pada setiap pasangan strategi

terkait hasil (payoff), yaitu seorang pemain membayar kepada

pema!n lainnya.

Permainan seperti itu dikenal sebagai Permainan dua orang dengan

jumlah nol (two-person zero-sum game) karena keuntungan yang

diperoleh oleh seorang pemain merupakan kerugian bagi pemain

lainnya. Dalam hal Ini adalah cukup untuk meringkas permainan

melaiui pendapatan seorang pemain saja Rancangan dua pemain A

dan B dengan m x n strategL ditunjukkan oleh matriks hasil dari

pemain A sebagai berikut :

B1 B2 . . . . Bn A1

A2

.

.

Am

a11

a21

.

.

am1

a12

a22

.

.

am2

. . . . a1n

a2n

.

.

amn

Representasl di atas menunjukkan bahwa jika A menggunakan

strategi i dan B menggunakan strategi j. hasil A adalah aij , yang

berarti hasil B adalah -aij.

1. Penyelesaian optimal dari permainan dua pemain dengan jumlah nolI Two-person zero-sum games

Karena permainan berakar pada pertentangan kepentingan,

penyelesaian optimal adalah memilih satu atau lebih strategi bagi

setiap pemain sedemikian bahwa setiap perubahan dalam strategi

yang terpilih tidak memperbaiki hasil dari kedua pemain.

Penyelesa!an ini dalam bentuk strategi tunggal atau beberapa

strategi campuran sesuai dengan peluang yang spesifik. Dua contoh

berikut mendemonstrasikan dua buah kasus.

Contoh 1

Perusahaan A dan B masing-masing menjual sebuah produk.

Perusahaan A mengiklankan di radio (A1), televisi (A2) dan surat

kabar (A3). Perusahaan B selain mengiklankan di radio (B1), televisi

(B2) dan surat kabar (B3) juga menggunakan brosur (B4).

Berdasarkan pengaruh dan intensitas kampanye, setiap perusahaan

dapat merebut sebagian dari pasar satu dengan lainnya.Matriks

berikut meringkas persentase perolehan atau kehilangan pasar dari

perusahaan A.

B1 B2 B3 B4 Terendah baris

A1 8 -2 9 -3 -3

A2 6 5 6 8 5 Maksimin

A3 -2 4 -9 5 -9

Tertinggi kolom

8 5 9 5

maksimaks

Penyelesaian dari permainan ini Berdasarkan pada prinsip

memastikan keputusan yang terbaik di antara yang terburuk bagi

setiap pemain.

Jika perusahaan A memilih strategl A1, maka apapun yang dipilih

oleh B, hal terburuk yang terjadi pada A adalah kehiiangan 3 % dari

pangsa pasar beralih ke B.

Sama halnya jika A memilih strategi A2, hasil yang terburuk adalah

memperoleh 5 % dari pangsa pasar B,

dan jika A memilih strategi A3, hasil yang terburuk adalah kehilangan

9 % dari pangsa pasar beralih ke B.

Dengan demikian A akan memilih strategi yang memberikan yang

terbaik di antara yang terburuk (Maksimin) yaitu strategi A2

Selanjutnya bagi B tabel matriks tersebut merupakan nilai

penyesalannya.

Dengan demikian B akan mencari penyesalan yang terendah di

antara penyesalan yang ada (Minimaks), yaitu strategi B2

Penyelesaian optimal dari permainan meminta pemilihan strategi A2

dan B2, yang berarti kedua perusahaan harus menggunakan iklan

televisi. Hasil akan menguntungkan perusahaan A karena pangsa

pasarnya naik sebesar 5 %. Dalam hal ini kita katakan nilai

permainan adalah 5 %, dan perusahaan A dan B menggunakan

penyelesaian titik pelana (Sadle-point)

Penyelesaian sadle-point menjamin tidak ada dari kedua perusahaan

mencoba mencari penyelesaian yang lebih baik Misalnya jika B

pindah ke strategi yang lain (B1. B3. B4), A akan tetap pada strategi

A2, hal tersebut akan mengakibatkan B akan lebih merugi yaitu

kehilangan pangsa pasarnya ke 6% atau 8%.

Sebaliknya A juga tidak akan pindah ke strategi lannya misalnya A3,

karena B dapat pindah ke B3 di mana B akan meningkat pangsa

pasarnya sebesar 9%. Kesimpulan yang sama jika A pindah ke A1.

Penyelesaian optimal sadle-point dari permainan tidak perlu

merupakan strategi baku

Sebagai gantinya penyelesaian mungkin memerlukan penggabungan

dua atau lebih strategi secara acak seperti pada contoh berikut :

Contoh 2:

A dan B bermain lempar koin. Setiap pemain tidak mengetahui satu

sama lain. mernilih head (H) atau tail (T). Kedua pernain akan

melempar koin secara bersamaan. Jika yang keluar HH atau TT A

menerima $ 1 dari B, sebaliknya jika yang keluar HT B akan

menerima $ 1 dari A.

Matriks hasil berikut untuk pemain A sebagai berikut :

BH BT Terendah baris

AH 1 -1 -1

AT -1 1 -1

Tertinggi kolom 1 1

Nilai maksimin dan minimaks dari pemainan adalah - $ 1 dan $ 1.

Karena kedua nilai tersebut tidak sama, permainan tidak mempunyai

sebuah strategi penyelesaian yang baku.

Jika AH, digunakan oleh pemain A, maka pemain B akan memilih BT

untuk menerima $ 1 dari A Jika hal tersebut terjadi A dapat pindah ke

strategi A2 untuk mebalik hasil permainan dan menerima $ 1 dari B.

Keinginan selanjutnya dari kedua pemain untuk mengganti strategi

lain menunjukkan bahwa strategi yang baku tidak diterima.

Kedua pemain secara acak harus menggunakan gabungan yang

tepat untuk untuk strategi masing-masing.

Dalam kasus ini nilai optimal dari permainan akan diperoleh antara

nilai maksimm dan minimaks permainan. yaitu .

Nilai Maksimin < nilai permainan < Nilai maksimin (yang lebih rendah) (yang lebih tinggi)

2. Penyelesaian Permainan dengan Strategi Campuran

Permainan dengan strategi campuran dipecahkan baik dengan

secara grafis atau dengan programa linier

Penyelesaian secara grafis sesuai dengan permainan dengan paling

sedikit satu pemain yang harus mempunyai dua strategi baku (pure

strategies).

Methoda ini sangat menarik karena menjelaskan ide dari pada

"saddle-point" secara grafis. Programa linier dapat dipakai untuk

memecahkan semua permainan "two-person zero-sum"

Penyelesaian permainan secara grafis.

Kita mulai dengan kasus permainan (2 x n) di mana pemain A

mempunyai dua strategi

y1 B1

y2 B2

yn Bn

x1 A1 a11 a12 . . . . a1n

1-x1 A2 A21 A22 . . . . A2n

Permainan ini mengasumsikan bahwa pemain A mengkombinasikan

strategi A1 dan A2 dengan masing masing peluang x1 dan 1- x1,

0 < x1 < 1.

Pemain B menggabungkan strategi B1 sampai Bn dengan peluang

y1, y2, . . . , yn di mana yj > 0 untuk j = 1, 2, . . . , n dan

y1 + y2 + . . . . + yn = 1.

Dalam kasus ini pemain A diharapkan mempeoleh keuntungan

terhadap strategi strategi baku B ke j diperoleh dari :

a1jx1 + a2j(1-x1) (a1j a2j)x1 + a2j di mana j = 1, 2, . . . . , n

Jadi pemain A ingin memperoleh nilai dari x1 yang memaksimumkan

minimum perkiraan keuntungan yaitu

max min {(a1j - a2j) x1 + a2j}

Contoh 3

Perhatikan permainan 2 x 4 berikut. Keuntungan untuk pemain A

Permainan ini tidak mernpunyai penyelesaian strategi baku dan

strategl yang ada harus di campurkan. Pemaln A rnernpunyai

keuntungan terhadap pemain B yang memiliki strategi baku sbb

B1 B2 B3 B4 A1 2 2 3 -1 A2 4 3 2 6

Penyelesaian :

Permainan di atas tidak mempunyai penyelesaian strategi murni.

Hasil yang diharapkan oleh pemain A jika B memainkan strategi

murni diberikan di bawah ini :

Strategi murni B Hasil yang diharapkan A

1 -2x1 + 4

2 -x1 + 3

3 x1 + 2

4 - 7x1 + 6

Gambar berikut menunjukan gambar empat garis lurus yang

berkaitan dengan strategi baku pemain B.

Untuk mendapatkan yang paling baik diantara yang buruk, sampul

yang paling rendah dari keempat garis tersebut merepresentasikan

keuntungan yang minimum (terburuk) untuk pemain A, apapun yang

dilakukan pemain B.

Sampul maksimum (terbaik) berhubungan dengan titik penyelesaian

maksimin pada x1 = 0,5

Titik ini adalah perpotongan dari garis ke 3 dan ke 4. Pemain A

mempunyai penyelesaian optimal dengan mencampurkan/

rnenyatukan A1 dan A2 dengan peluang 0,5 dan 0,5. Hubungan

antara nilai nilai di permainan ini, v yang diperoleh dengan

memasukkan nilai x1 = 0,5 ke dalam fungsi garis ke 3 atau ke 4 yang

menghasilkan . v = - 0,5 + 3 = 2,5 atau v = -7 x 0,5 + 6 = 2,5

Optimalisasi campuran Pemain B dilakukan dengan dua strategi

yang didefinisikan oleh sampul yang paling rendah pada gambar.

Ini artinya pemain B dapat mencampurkan strategi B3 dan B4 yang

mana pada kasus y1 = y2 = 0 dan y4 = 1 - y3. Sebagai hasilnya,

perkiraan keuntungan pemain B terhadap pemain A dengan strategi

baku sbb :

Strategi murni A Hasil yang diharapkan B

1 4y3 - 1

2 - 4y3 + 6

Penyelesaian yang terbaik dari yang terburuk untuk pernain B adalah

titik minimum pada upper envelope (sampul atas) dari 2 garis

tersebut. Proses ini sama dengan memecahkan persamaan :

4y3 - 1 = - 4y3 + 6

Penyelesaian ini memberikan y3 = 7/8, yang menghasilkan nilai

perrnainan v = 4 x (7/8) 1 = 2,5

Penyelesaian dari permainan ini membuat pemain A untuk

mengkombinasikankan A1 dan A2 dengan peluang yang sarna dan

pemain B untuk mengkombinasikan B3 dan B4 dengan peluang7/8

dan 1/8.

Untuk permainan dimana pemain A mempunyai m strategi dan

pemain B menpunyai dua strategi, situasi ini dapat di selesaikan

dengan cara yang sama. Perbedaan yang paling besar adalah kita

akan menggambarkan nilai yang diharapkan pemain B terhadap

strategi baku pemain A. Untuk hasilnya, kita akan mencari nilai

minimaks dan bukannya maksimin dari titik di sampul atas dari

gambar garis yang ada.

Penyelesaian permainan menggunakan programa linier

Teori permainan menunjang hubungan yang kuat dengan program

linear, dengan kata lain bahwa two-person zero-sum game dapat

diekspresikan sebagai program linear dan sebaliknya.

G. Dantzig (1963, p.24) menunjukkan bahwa ketika bapak teori

permainan J. von Neumann, ketika pertama kali memperkenalkan

metode simpleks pada tahun 1947, secara langung mengenali

hubungan ini dan lebih jauh menekankan konsep 'duality' dalam

program linear. Bagian ini menggambarkan solusi perrnainan oleh

program linear.

Peluang optimal pemain A xi, i = 1, 2, . . . . ,m, dapat ditentukan

dengan memecahkan masalah maksimin dibawah ini,

Maks {min

= = =

m

i

m

i

m

iiiniii xaxaxa

1 1 1121 ,......,, }

x1+ x2 + . . . . . .+ xm = 1

xi > 0 i = 1, 2, . . . . , m

untuk mengubah persoalan ini ke programa iinier kita misalkan :

v = min

= = =

m

i

m

i

m

iiiniii xaxaxa

1 1 1121 ,......,,

persamaan ini menghasilkan :

=

m

iiij xa

1> v j = 1, 2, . . . . , n

Persoalan pemain A dapat ditulis sebagai :

Maks.Z = v

d. k. v - =

m

iiij xa

1< 0 j = 1, 2, . . . . , m

x1+ x2 + . . . . . .+ xm = 1

x1 > 0 i = 1, 2 ... , m

v tidak terbatas pada tanda

Startegi optimal pemain B y1, y2, . . . dan yn ditentukan dengan

membahas persoalan:

Min.{maks.( jj

j ya 1 , jj

j ya 2 , . . . . ., jj

mj ya )}

y1+ y2 + . . . . . .+ yn = 1

Dengan menggunakan cara yang sama diperoleh :

Min. W = v

d. k. v - =

n

jjij ya

1> 0 i = 1, 2, . . . . , m

y1+ y2 + . . . . . .+ yn = 1

yj i = 1, 2 ... , m

v tidak terbatas pada tanda

Kedua masalah ini mengoptimalkan variabel yang sama

(unrestricted) v, yang merupakan nilai dari permainan. Alasannya

adalah bahwa masalah B adalah pasangan dari masalah A (anda

diminta untuk membuktikan hal ini dalam problem 14.5c-6

menggunakan definisi berpasangan dalam bab 4). Hal ini berarti

bahwa solusi optimal dari satu masalah secara otomatis

menghasilkan solusi optimal bagi yang lain.