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7/23/2019 Teora de Chapman y Wilke
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TEORA DE CHAPMAN-ENSKOG.
La teora de Chapman-Enso! presenta "#rm$%as e&a'taspara $na
me('%a de !as de m)%t*p%es 'omponentes ene+$*%*,r*o trm*'o +$m*'o.
En %os !ases e%/st*'os %a
des0*a'*#n de %a d*str*,$'*#n de Ma&1e%%-2o%t(mann en
e%e+$*%*,r*o es pe+$e3a p$ede ser tratada 'omo $na
pert$r,a'*#n. Este mtodo tena 'omo o,4et*0o o,tenere'$a'*ones de
transporte m/s !enera%es +$e %as e'$a'*onesde E$%er. Se %%ama as
por Sdne Chapman Da0*d Enso!.
Una rigurosa teora cintica de gases monoatmicos a baja densidad
fuedesarrollada a principios del siglo XX por Chapman en Inglaterra
y de maneraindependiente por Enskog en Suecia !a teora de
Chapman"Enskogproporciona e#presiones para las propiedades de
transporte en trminos de laenerga potencial intermolecular
$%r&' donde r es la distancia entre un par demolculas (ue est)n
e#perimentando una colisin *s' la fuer+a intermolecularest) dada
por ,%r&-d$.dr !a forma funcional e#acta de $%r& no se
conoce/ sinembargo' para molculas no polares' una e#presin emprica
satisfactoria es el
potencial de Lennard-Jones dado por0
(r )=4 ( r)12
( r)6
Esta teora est) basada en la teora cintica de los gases' esta
teora dae#presiones de los coe1cientes de transporte en funcin de
la energapotencial de interaccin entre dos molculas de gas El mtodo
de Chapman"Enskog utili+a en forma ingeniosa una cantidad
adimensional 2 comopar)metro pe(ue3o para hacer e#pansiones
perturbati4as a partir de laecuacin de 5olt+mann Entonces/
Se considera un gas puro constituido por molculas esfricas'
rgidas y (ue nose atraen' de di)metro d' y masa m' con una
concentracin de n molculas porunidad de 4olumen' y (ue n es
su1cientemente pe(ue3a' de forma (ue ladistancia media entre las
molculas sea mucho mayor (ue su di)metro 6aradeterminar la
4iscosidad de este gas en funcin de las propiedadesmoleculares' a
partir de la ley de la 4iscosidad de 7e8ton se e#presa de
lasiguiente forma0
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yx=1
3nm u
dvxdy
9onde0 =1
3nmu =
1
3u %:btenida por ;a#8ell' ?&
@-4elocidad promedio molecular relati4a a la 4elocidad A de un
fluido
B-recorrido libre medio %distancia (ue recorre una molcula entre
doscolisiones consecuti4as&
Con lo (ue posteriormente se obtiene0
= 2
33/2
mkT
d2
(ue corresponde a la 4iscosidad de un gas de baja densidad'
constituido poresferas rgidas' donde k es la constante de 5olt+mann
%
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9onde es un di)metro caracterstico de las molculas' a menudo
denominadodi)metro de colisin' y M es una energa caracterstica' en
realidad la m)#imaenerga de atraccin entre un par de molculas Esta
funcin' (ue se muestraen la 1gura anterior presenta los rasgos
caractersticos de las fuer+asintermoleculares0 atracciones dbiles a
separaciones grandes y repulsionesfuertes a separaciones pe(ue3as
Se conocen 4alores de los par)metros y Mpara muchas sustancias
reportados en tablas Cuando se desconocen y M' esposible estimarlas
a partir de las propiedades del Nuido en el punto crtico %c&del
li(uido en el punto de ebullicin normal %b&' o del slido en el
punto defusin %m& por medio de las siguientes relaciones
empricas
k=0.77Tc=0.841
~Vc1/3
bien' =2.44 (Tc /Pc )1 /3
k=1.15Tb=1.166
~Vb,l!1/3
k=1.92Tm=1.222
~Vm,s"l
1 /3
*(u M.k y H est)n en F' est) en angstroms %< O-
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!a 4iscosidad de un gas monoatmico puro de peso molecular ;
puedeescribirse en trminos de los par)metros de !ennard"Pones
como0
= 5
16
mkT
2
"b#n, =2.6693x 105 MT
2
En la segunda forma de esta ecuacin' si H-TF y -TO' entonces G
-T g.cms!a cantidad adimensional G es una funcin de 4ariacin lenta
de latemperatura adimensional kH.M' del orden de magnitud de la
unidad Sedenomina Vintegral de colisin para la 4iscosidadW' ya (ue
e#plica los detallesde las trayectorias (ue siguen las molculas
durante una colisin binaria Si elgas estu4iera compuesto por
esferas rgidas de di)metro %en 4e+ de pormolculas reales con
fuer+as de atraccin y repulsin&' entonces G seriae#actamente
igual a la unidad 6or tanto' la funcin G puede interpretarsecomo si
describiese la des4iacin respecto al comportamiento de las
esferasrgidas
*un(ue la ecuacin anterior no es un resultado de la teora
cintica de losgases monoatmicos' se ha descubierto (ue tambin es
e#traordinariamentebuena para los gases poliatmicos !a ra+n de esto
es (ue' en la ecuacin deconser4acin de cantidad de mo4imiento para
una colisin entre molculaspoliatmicas' las coordenadas del centro
de masa son m)s importantes (ue lascoordenadas internas !a
dependencia respecto a la temperatura predichamediante dicha
ecuacin concuerda bien con la (ue se encontr a partir de la
lnea a baja densidad en la correlacin emprica !a 4iscosidad de
los gases abaja densidad aumenta con la temperatura'
apro#imadamente como lapotencia ?> a la
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)*(= 1
8 (1+M%
M( )1 /2
[1+(%( )1/2
(M(M*)1 /4
]2
*(u 7 es el nKmero de especies (umicas en la me+cla' #Yes la
fraccin molarde la especie Y' GYes la 4iscosidad de la especia pura
Y a la temperatura ypresin del sistema' y ;Y es el peso molecular
de la especie Y Se hademostrado (ue la ecuacin anterior reproduce
4alores medidos de las4iscosidades de me+clas dentro de una
des4iacin media apro#imada de [\!a dependencia de la 4iscosidad de
la me+cla respecto a la composicin ese#tremadamente no lineal para
algunas me+clas' en especial a(uellas de gasesligeros y pesados
6ara resumir' las ecuaciones mostradas son formulas Ktiles para
calcular
4iscosidades de gases no polares y de me+clas de gases a baja
densidad apartir de 4alores tabulados en los par)metros y M.k de la
fuer+aintermolecular 7o proporcionan resultados con1ables para
gases (ue constande molculas polares o bastante alargadas debido a
los campos de fuer+adependientes del )ngulo (ue e#iste entre esas
molculas 6ara 4aporespolares' como ][:' 7]' C]:] y 7:Cl' una
modi1cacin dependiente del)ngulo ha dado buenos resultados 6ara los
gases ligeros ][y ]e por debajo deapro#imadamente
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En la tabla siguiente se muestra el 4alor de estas constantes
se3alado por5etancourt %[??&' *ucejo %
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El conocimiento de la 4iscosidad de me+clas de gases es esencial
para unagran 4ariedad de problemas de dise3o !os 4alores medidos
directamente nosiempre est)n disponibles' especialmente a altas
temperaturas y por lo tantose ha prestado una atencin considerable
a los mtodos tericos de prediccindurante los Kltimos a3os 6ara
determinar la 4iscosidad de me+clas de gases a
baja presin sigue siendo 4)lida la teora cintica de
Chapman"Enskog !osmtodos para estimar la 4iscosidad de me+clas de
gases a baja presin sonb)sicamente interpolati4os' esto es'
re(uieren conocer las 4iscosidades de suscomponentes El mtodo de
ilke es m)s simple aun(ue cabe mencionar'menos e#acto pero re(uiere
menos informacin
Una relacin simpli1cada entre la 4iscosidad de una me+cla de gas
y las4iscosidades de los componentes indi4iduales se deri4a de las
ecuaciones de lateora cintica rigurosa !a nue4a relacin parece
ajustarse a los datose#perimentales a saber con una precisin de
apro#imadamente [\' y se puedeaplicar a me+clas (ue contienen un
componente polar !a ecuacin de ilke ha
sido probada en un gran nKmero de me+clas de gases de pesos
moleculares y4iscosidades muy diferentes' (ue implica considerables
salidas
!a simple e#presin de ilke para la 4iscosidad ha demostrado ser
muy e#itosapara las me+clas de gases no polares *simismo' demostr
el #ito de la mismamediante la reali+acin de c)lculos numricos en
sistemas binarios' as comode componentes mKltiples en donde se
dispone de datos e#perimentalesdirectos
]ay en la literatura un nKmero de ecuaciones disponibles para la
relacin entrela 4iscosidad de una me+cla de gas y las 4iscosidades
y otras propiedades
fsicas de los componentes separados de la me+cla !as m)s
e#itosas son muysimilares en forma y pueden ser generali+adas en la
ecuacin0
+=
+1
x
x
9onde + , + ' + son las 4iscosidades de los componentes de la
me+cla
y puros' x ' x son fracciones molares de los componentes y es
una
funcin de las propiedades de los componentes puros !as
ecuaciones de estetipo general han sido propuestas por ilke'
Sutherland' Hhiesen por mencionaralgunos
Se puede demostrar (ue todas las funciones adoptadas por 4arios
autores
pueden deri4arse como apro#imaciones usando la teora cintica
moderna de
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los gases' y (ue hay des4entajas o ine#actitudes in4olucradas en
el uso de lasecuaciones en muchos casos
Siendo de nuestro inters el mtodo de ilke0
ilked deri4a una e#presin para la 4iscosidad de un sistema de
n"
componentes partiendo de la frmula rigurosa Champman"Enskog y
haciendoapro#imaciones bien de1nidas Sus e#presiones son
+mx==1
n
+[1+=1 -
n
xx ].. %Esta ele4ado a la menos
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= 1
8 (1+M
M )1 /2
[1+( )1 /2
(MM )1/4
]2
9onde0
7- 7Kmero de especies (umicas e#istentes en la me+cla
Xi y #j- ,racciones molares de las especies ij
Gi y Gj-_iscosidades de ij a la temperatura y presin del
sistema
;i y ;j-6esos moleculares de ij
ij-7Kmero adimensional
Si0 i-j entonces ij-
