Se estudian y deduce las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexión que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes.

Para obtener estas relaciones se consideran las siguientes hipótesis :

1. Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas luego de la deformación.

2. El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.3. El módulo elástico es igual a tracción que a la compresión.4. La viga es inicialmente recta y de sección constante.5. El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes

principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de la misma.

dx

TEORÍA DE FLEXIÓN EN VIGAS

V

MM + dM

DFC

DMF

V + dV

dx

dθ

ρ

y

dθ

dδ

P Neutro

Esfuerzo Normal

σx = E εx =E dδ = E ydθ dx ρdθ

σx = E (y) σx = ky ρ

σmax

σmax

c

t

Plano Neutro

Eje Neutro

z

x

y

dA

σx

dF = σxdA

dM = ydF = y E ydA = E y2dA ρ ρ

MR = E y2dA = E Iz = σx Iz

A ρ yρ MR = M σx = MY

Iz

y

Esfuerzo Cortante

c1

yc

Plano Neutro

dx

F2 – F1 = (M + dM) y dA - My dA Iz Iz

F2 – F1 = dM ydA = dM Q = tdx Iz Iz

c

c1

c

c1

c

c1

t

= dM . Q dx Izt

= VQ Izt

F1 F2

APLICACIONES

1. Para la viga mostrada, calcular los máximos esfuerzos por flexión y corte

C 2m 8m

4 ton

4 ton/m

8 ton.m

A B

24 cm

18 cm

2 cm

2 cm

2 cm

36 cm

4 ton

4 t/m

8 t.m

29 t 15 t

- -

+

17

4

12

3,75 m

4.25 m

15

V(ton)

-

+

20,125

16

8 M(ton.m)

Determinación de los requerimientos estructurales: DFC y DMF

24 cm

18 cm

2 cm

2 cm

2 cm

36 cm

18,54 cm

21,46 cm

IEN = 37,804 cm4

Q = 1115,25 cm3

A = 156 cm2

σmax = 1142,4 Kg/cm3

σmax = 987 Kg/cm

max = 251 Kg/cm2

t

c

EN

2. Calcular la máxima carga “q”, que puede soportar la viga mostrada, considerando[σ] ≤ 210 Kg/cm2 [ ] ≤ 10 Kg/cm2

A B C D

q (ton/m)

2 m 6 m 2 m

10 cm 28 cm 10 cm

10 cm

24 cm

Determinación de los requerimientos estructurales:

q (ton/m)

2 m 6 m 2 m

5q 5q

- -

+ +3q

3q2q

2q

3 m3 m

- -

+

2q 2q

2.5 q

V (ton)

M(ton.m)

10 cm 28 cm 10 cm

10 cm

24 cm

13,5 cm EN

20,5 cm

Yc = 2 (10 * 24 * 12) + 48 * 10 * 29 480 + 480

Yc = 20,5 cm

IEN = 1 [ 48 (10)3 + 2 (10* (24)3)] – 960 (3,5)2

3

IEN = 96400 cm4 ; Q = 2(10)(20,5)2= 4202,5 cm3

2

σt = (2,5q * 105) * 20,5 ≤ 210 q ≤ 3,95 96400

= (3q * 1000) (4202,5) ≤ 10 q ≤ 1,53 96400 * 20

3. Dimensionar la viga mostrada, de sección tubular hueca, considerando:d = 0,9 ; [σ] ≤ 1200 Kg/cm2 ; [ ] ≤ 300 Kg/cm2

D

A B

12 ton 12 ton

3 m 3 m 3 m

d D

3 m 3 m 3 m

12 ton 12 ton

A B

12 12

+

-

+

36

12

12 V (ton)

M(ton.m)

d D I = π (D4 – d4) = πD4 1 - d 4

64 64 D

I = 0,01688 D4

Q = πD2 * 4D – πd2 * 4d = 1 (D3 – d3) = D3 1 – d 3

8 6π 8 6π 12 D

Q = 0,02258 D3 D – d = 0,1 D

σ = (36 * 105) D ≤ 1200 D ≥ 44,62 cm 2 * 0,01688 D4

= (12000) * 0,02258 D3 ≤ 300 D ≥ 23,13 cm 0,01688 D4 * 0,1 D

D = 44,62 cm d = 40,16 cm

EN

4.Determinar la máxima carga “P” en toneladas que puede aplicarse a la viga mostrada, considerando las siguientes especificaciones:[σ] ≤ 1500 Kg/cm2; [ ] ≤ 900 Kg/cm2

A B C D

P 4P P

2 m 3 m 3 m 2 m

9 cm 2 9

2cm

26

2

+

A B C D

P 4P P

2 m 3 m 3 m 2 m

- -

+

--

+

3P 3P

P

P2P

2P

2P 2P

4P

9 cm 2 9

2cm

26

2

15

EN

15IEN = 18636 cm4

Q = 729 cm3

(4P * 105) * 15 ≤ 1500 P ≤ 4,66 ton 18636

(2P * 103) * 729 ≤ 900 P ≤ 23,01 ton 18636 (2) σ P ≤ 4,66 ton

P ≤ 23 ton