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. ,TEORIADE .

NMEROSMara Luisa Prez Segu

CUADERNOS DE OLIMPIADAS DE MATEMTICAS

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UNAS PALABRAS DE LOS EDITORES

Disfrut esemomentocomoningnotro ensu vida. Ah estabadepie,recibiendola primeramedallade oro para un estudiantemexicanoen unaolimpiada internacionalde matemticas. Muchos pensamientosse arre-molinaronen su cabeza.Por un momentorecorda muchoscompaeros,

concentraciones,ciudades,la palabrasacrificiosalcanza asomarseligera-mente,pero no alcanza cristalizarse,la verdades que haba trabajadointensamentey, sin embargo,tambinhabadisfrutado,puesresolverpro-blemasde matemticassehaba convertidoen una pasinqueno lo iba aabandonarnunca. Pens en su regresoa Mxico, en sus amigosy en sufamilia. TGLlllbin,sin saber por qu, recorda un periodistatonto quecritic a un atleta mexicanoque haba obtenidoun quinto lugar en lospasadosjuegosolmpicos, cmosi esono fuera una hazaa! Se distrajosaludandoa suscompaerosdedelegacin...

Las olimpiadasmexicanasdematemticassehan realizadodesde1987.Profesores,matemticosy muchosjveneshan dedicadoesfuerzosloablespor hacerlascrecer. Todos ellos compartenla aficin,queen muchosca-sos se acercaa la adiccin,y que en otros se vuelveuna forma de"vida,por los problemasmatemticos.El edificioquehan construidoha permi-tido detectary preparara muchosde los jvenesmstalentosospara estadisciplina. '

Los mejoreslogrosqueha conseguidoMxico son:-trigsimo lugar en la Olimpiada Internacionalde Matemticas,Corea,2000,-segundolugarenlasOlimpiadasIberoamericanasdeMatemticasdeCostaRica en 1996y deVenezuelaen 2000,-primer lugar en las OlimpiadasCentroamericanasy del Caribe deMxicoen 2002y de Costa Rica en 2003,-tres medallasde plata en las olimpiadasinternacionalesde matemticas,ganadaspor: Patricio T. Alva Pufteau (Argentina, 1997),Omar AntolnCamarena(Taiwan, 1998)y Carlos A. Villalvazo Jauregui (Corea,2000),-diez medallasde oro en la olimpiadasiberoamericanasde matemticas,

ganadaspor: BernardoAbregoLerma (Argentina,1991),Patricio T. AlvaPufteau(CostaRica, 1996),JessRodrguezViorato (Mxico,1997),Roberto

-

D. ChvezGndara (R. Dominicana,1998),Carlos RamosCuevas(Cuba,1999),Javier A. ChvezDomnguez,Carlos A.Villalvazo Jauregui (ambosen Venezuela,2000),David J. MirelesMorales (Uruguay,2001)y EdgardoRoldn Pensado(El Salvador,2002).

Esta serieestdiseadacomomaterialde apoyoa los jvenesque sepreparanpara la olimpiadanacionaldematemticas.Nuestrodeseoesqueestoscuadernossirvan comoun bloquems de la pirmidequealgndatendr en su cspidea un joven comoel que describimosal principio deestapresentacin.

Queremosagradeceral Instituto deMatemticasde la UNAM, enpar-ticular a su director,el DI. Jos Antonio de la Pea Mena, por su apoyopara la publicacinde estoscuadernos.

LosEditores,agostode2003.

Contenido

Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i

PRIMERA PARTE

1. Aritmticay lgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1Reacomodos 2Exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8Ecuacionesy desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11Polinomios 15Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17

2. Divisibilidad 23

Propiedadesbsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24Primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30Criterios de divisibilidad 34

Algoritmo de la Divisin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39Mximo comndivisor ... ... ... ... ... 41

Mnimo comnmltiplo 51Ecuacionesdiofantinas 58

3. Congruencias 64Conceptosy propiedadesbsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64Conjuntos de residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71Ms propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74Solucinde congruenciaslineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 84

,Teoremade Euler 90

SEGUNDA PARTE

4. Problemas 95

5. Sugerencias 1016. Soluciones 106

Lecturas complementarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123ndice alfabtico 124

INTRODUCCIN

El presentetiene el propsitode presentarde maneralo ms completaposible elmaterial de Teora de Nmerosque le convieneconocera un alumnoen las primerasetapasde la Olimpiadade Matemticas(antesdel OoncursoNacional)e, incluso,al iniciode una preparacinparaolimpjadasde nivel internacional.

La filosofaquehemosseguidolos profesoresentrenadoresde alumnospara las olim-piadasde matemticasha sido quesepuedeaprendermatemticasde la mismamaneraque uno aprendea hablar: sin quese le definantodaslas palabrasqueva a utilizar. Porotro lado, las matemticasdebenser precisasy no debehaberambigedades.Tratandode equilibrarestasdos ideashedejadosin definicinconceptosqueel alumnoseguramenteaprendien la escuelacomopositivo, ecuacin,coleccin,etc. El significadode otraspalabrascomo coeficiente,trmino,sucesinse deducefcilmentedel contexto;muchasde ellas se marcancon letras inclinadasy se les hacereferenciaen el ndice alfabticola primera vez que aparecenen el texto. Finalmente,se incluyeuna definicinprecisade palabrasque, aunqueconocidasprobablementepor el alumno,requierende una granprecisinpara el desarrollodeestasnotas(comoprimo, mximocomndivisor,etc.).

Los temasde Divisibilidad (Seccin2) y Congruencias(Seccin3) puedenresultaravecesun pocoridos;sobretodosi sepretendeenunciary demostrartodaslaspropiedadessin trabajar con losnmeros.En generalesdifcil motivara los alumnospara queveanlaimportanciade las demostraciones,y estoesanpeorcuandoson totalmentealgebraicas.Por estaraznhe incluidouna seccinde Aritmticay lgebra (Seccin1), en la quesepracticanlas tcnicasalgebraicasbsicas,sin nomenclaturaexcesivani largosenunciadosde propiedades.As mismo,duranteun entrenamientocompletopara las olimpiadas,mepareceapropiadoiniciar conun pocodecombinatoria(endondeel manejode losnmerosesms g~l)y, posteriormente,ir intercalandosesionesen Teora de Nmeros. Siguiendoesta idea, he intentadoincluir lo ms posibleejerciciosen los que se "juegue"un pococon los nmerospara que las propiedadessalgande maneranatural. En una primeralecturaconviene,entonces,saltarsela mayorpartede lasdemostraciones,y sloconvencera los alumnosquesonvlidasilustrandoconejemplos.Tambinconvieneeliminaren unaprimeralectura los temasde ecuacionesdiofantinasy del Teoremade Euler, as comolaSegundaParte: Problemas(Seccin4), Sugerencias(Seccin5) y Soluciones(Seccin6),puesla mayorparte de los problemassonde un nivel mselevado.

En la teorasehan incluidoun grannmerodeejercicios,muchosdeellosrutinarios,que el alumno deberir resolviendoconformese le aparezcan. De la misma manera,es convenienteque el alumno intente,antesde ver la solucin,los ejemplosque vienenresueltos,sin temor a equivocarse,puesslo as se dar cuentade las dificultadesquepuedenpresentarse.

--

En algunaspartesdel libro senecesitanconceptosbsicosdecombinatoriay manejode la induccinmatemtica;todo estopuedeencontrarseen el libro de Combinatoriadeestamismaserie.

La mayorparte de los problemasincluidosson del dominiopblico o de mi propiacreacin. He tratado, dentro de lo posible, de hacer referenciaal autor del problema,as comoal primer examende olimpiadasdondeapareci. Pido disculpaspor cualquieromisino errora esterespectoy agradeceraquemelashicierannotarparapoderincluirlasen una segundaedicin.Las referenciasson:

[LMGV] Luis Miguel GarcaVelzquez

[JLLL] Jorge Luis Lpez Lpez

[HMG] HumbertoMontalvnGmez

[MLPS] Mara Luisa Prez Segu

Estas notassonel productode unagran cantidaddesesionesde entrenamientoparaalumnosen Olimpiadasde Matemticas. Sus incontablese invaluablescomentarios,ascomomuchasdelassolucionesqueellosdabana losproblemashanquedadoincluidosaqu.

Agradezcoa los MC Ma. Elena Aguilera,MC Julio CsarAguilar y MC Luis .MiguelGarca Velzquezsus correcciones,comentarios,ayuda y amistad incodicionales. Estetrabajo se lleva cabograciasal apoyode la UniversidadMichoacanade SanNicolsdeHidalgo,en la cual soyprofesora-investigadorade tiempocompleto.

Finalmentequierodedicarestetrabajo a todosmishijos (ellossabenquinesson).

~

Seccin1

,Aritmtica y AIgebra

El propsito de esta seccines practicar algunosconceptosde a-ritmtica y lgebraque estudiamosdesdelos primerosaosde nuestraeducacin,pero que a vecesnos.han resultadotediosospuesse nos hahechotrabajados de forma mecnica,con cuentasy ecuacionescuyaspropiedadesdebemosmemorizarsin comprenderrealmente.Queremosentonces,conestaseccin,eliminarelmiedoquesele tienea estetipo deestudio. Propondremosproblemasqueiremosresolviendoy analizando.Haremoscomentariospara resaltar las propiedadesque se apliquenencadacasoy aprenderemosalgunasfrmulasy terminologaimportantes.Todos los nmerosque consideramosen esta seccinson los llamadosnmeros,reales,es decir, los que nossirvenpara medirdistanciasy sus

negativos(por ejemploson reales: 19,O,-31.8, 1r, yI3, -1~' etc).

.......-..

Reacomodos

En muchasocasiones,antesde hacercuentas,convieneanalizarsi algunaformade agruparo de ordenarlos trminoscon los cualesvamosaoperarpuedesimplificarnoseltrabajo.A continuacinveremosalgunosejemplosdeesto.

[1.1] Ejemplo. Qudgitodebesustituirsepor * paraqueseaciertala igualdad

*1996=*444?9

Solucin. Bastahacerla multiplicacin*444x 9. Se obtendr* =2. .

[1.2] Ejercicio. Calcular99- 97+95- 93+91- ...+3- 1.

[1.3] Ejemplo. Ral leyun libro. El primerda leyo5 pginas,y cadadasiguienteley2 pginasmsqueelanterior.Si la lecturalellevun totalde20das,cuntaspginastenael libro?

Solucin. El nmerodepginasdel libroes

5+(5+2)+(5+2.2)+...+(5+19.2)=20.5+(1+2+...+19).2 =20.5+190.2=480..

[1.4] Nota. En elejemploanterioraparecelasumadelosprimerosenterospositivos.Al serpocoslosnmerosa sumar,esfcilhacerlascuentasdirectamente;sin embargosteno essiempreel caso,por loqueconvieneconocerla frmulageneralparala sumade losprimerosn enterospositivos,llamadaFrmuladeGauss:

n(n +1)1+2+3+...+n-- 2 .

Esta frmulasecompruebafcilmentellamandoS a la suma1+ 2+

2

~

. . . + n, escribiendoS dedosmanerasdiferentesy sumandomiembroa miembro:

55

25

1 + 2 +n + n-1 +

- (n + 1) + (n + 1) + ...

+ n-1 + n+ 2 + 1

+ (n + 1) + (n + 1).

De la ltimaecuacintenemosla frmulabuscada.-

-..-

[1.5] Ejercicio. Calcularla suma3+ 6+ 9+ 12+ .. .+ 300.

[1.6] Ejemplo. Calcular la suma de los 100 quebradosque seobtienen formando todos los cocientesde cada par de nmerosde lasiguientelista

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512

Solucin. Pongamoslos quebradosen una tabla:1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 4 8 16 32 64 128 256 512

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 4 8 16 32 64 128 256 512

4 4 4 4 4 4 4 4 4 41 2 4 8 16 32 64 128 256 512

8 . 8 . 8 8 8 81 2 4 8 16 32 64 128 256 512

16 16 16 16 16 16 16 16 161 2 4 8 16 32 64 128 256 512

32 32 32 32 32 32 32 32 R R1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

64 64 64 64 64 64 64 64 64 641 2 4 8 16 32 64 128 256 512

128 128 128 128 128 128 128 128 128 1281 2 4 8 16 32 64 128 256 512

256 256 256 256 256 256 256 256 256 2561 2 4 8 16 32 64 128 256 512

512 512 512 512 512 512 512 512 512 5121 2 4 8 16 32 64 128 256 512

El trabajo se simplifica mucho si agrupamoscorrectamenteantesdehacerla suma. Por ejemplo,observemosqueen una mismacolumnade

3

la tabla todos tienen el mismo denominador,as que la suma de cadacolumnaesfcil de calcular;adems,en cadacasolos numeradoressonlos mismos y su suma es 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023.Ahora debemoscalcular la sumade las sumasde las columnas:

1023 1023 1023 1023 1023--- +~ +-- +--S +161023 1023 1023 1023 1023

+3"2 +64 + 128+ 256+ 512

(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

)=1023 i +"2+"4+8 + 16+ 32+64+ 128+256+512(512+ 256+ 128+ 64+ 32+ 16+ 8+ 4+ 2+ 1

)=1023 51210232

-- .- 512 .

[1.7] Nota. A vecesenproblemasdematemticasaparecensumasde potenciascomoenel ejemploanterior,en el cual observamosque1+2+.. .+29=210- 1. Conviene saberse la frmula correspondienteparael casogeneral:

xn+1- 11+ x + X2+ . . . + xn = ,x-1

la cualsecompruebafcilmentehaciendola multiplicacin

(1+x +X2+.. .+xn)(x - 1). .

[1.8] Ejercicio. Usar la frmulade [1.7]para calcular la suma

1- 3+ 9- 27+ 81- 243+ 729,

y comprobarel resultadoobtenidohaciendola sumadirectamente.

[1.9] Ejercicio. Hacer un dibujo de la recta numricapara ob-servarque ~ +t+~ +. . . + 2~se va aproximandocada vez ms a 1(conformen crece).Encontrar a partir de qu n la sumaya tieneunadistanciaa 1 menora lO.

4

~

[1.10] Ejercicio. Escribir el nmero 111111111como suma de

potenciasde 10y verificar la frmulade [1.7]en estecaso.

[1.11]Ejercicio. Escribirel nmero1001001001comosumadepotenciasde 103y verificarla frmulade [1.7]enestecaso.

[1.12]Ejemplo. Probarqueelnmero

111. . .1- 222 ...2----2r resel cuadradodeun enteroparatoda r. [Porejemplo,para r =2 setrata del nmero 1111- 22 =1089=332.]

Solucin. Observemosprimeroque

~ =1+10+102+...+102r-l2r

y que

~ =(1+10+102+... +lOr-l)+(1+10+102+... +lOr-l).r

Obtenemosel resultadode la siguientecadenade igualdades(usando[1.7]):

111. . .1- 222. . .2----2r r

= (1+10+102+.. .+102r-l)- 2(1+10+102+.. .+lOr-l)

- (1+10+102+...+lOr-l +lOr+lOrH+...+102r-l)

- (1+10+102+...+lOr-l) - (1+10+102+...+lOr-l)

=10r+lOr+l+...+102r-l- (1+10+102+...+lOr-l)

=10r(1+10+102+... +lOr-l) - (1+10+102+... +lOr-l)

(1W 1

)=(10r - 1) (1 + 10+ 102+... + 10r-l) = (10r- 1) 10-=-1(lW - 1)2 1= =- (999.. .9)2 =(333... 3)2. .

32 32 ----r r5

-

[1.13]Ejemplo. Cuntosceroshayal final de 1000!? [Nota:1000!=1 x 2 x 3 x 4 x . . . x 999x 1000.]

Solucin. Los cerosal final de un nmeroseobtienencadavezque10=2x 5 esfactordelnmero.Contemoscuntasvecesaparece2comofactoren 1000!:Por cadanmeroparentre1y 1000tenemosun2,esdecirun totalde500;losmltiplosde4 agreganun2 ms(quenosehabaconsideradoenla cuentaanterior),astenemos250ms;porcadamltiplode8 tenemosotro 2 ms,lo queagregaotros125ms;assucesivamente.En totaltendremos

500+ 250+ 125+ 62+ 31+ 15+ 7+ 3+ 1= 994.

[Observemosquecadaunodelosnmerosenlasumaanteriorseobtuvode tomar la parte enterade 19~Opara n =1,2,...,9(esdecir, el mayorenteromenoro igualque 19~O),usualmentedenotadapor [lg~O].]

Delamismamanerapodemoscontarelnmerodevecesqueaparece5 comofactor:

[

1000] [

1000] [

1000] [

1000]51 + 52 + 53 + 54 =200+40+8+1=249.

As,entotalelnmerodevecesquepodemosjuntar2'scon5'ses249y staesla respuesta.-

[1.14]Ejemplo. Seefectael productodetodoslosnmerosim-paresquenosonmltiplosde5 y queestncomprendidosentreel 1yel 1994.Culesla cifradelasunidadesdelresultado?

Solucin. Para calcularla cifrade las unidadesde un productopodemosolvidarnosde todaslas demscifrasen cadamomentodela multiplicacin.Ademssabemosquelos nmerosimparesson losterminadosen1,3,5, 7y 9,y queentreel1 y el 1990hay199nmerosterminadosencadacifra.Nosolvidamosdelos 5'sporquenohayqueconsiderarlosmltiplosde5. Nospodemosolvidartambindelos l' sy cancelarcada7conun3 (pues3x 7=21queterminaen1). Ademscadaparde9'stambinsepuedecancelar(pues9x 9=81 queterminaen 1). Hechastodasestasconsideraciones,la cifrade lasunidadesquebuscamoseslamismaqueenelproducto9x 3 (puesun9 noseapare,

6

~

y entreel 1990y el 1994hay queconsiderartambinel 1993).Entoncesla respuestaes 7. .

[1.15]Ejemplo. UnaescaleratienenumeradoslosescalonescomoO,1, 2, 3, 4, ... Una ranaestenel escalnO;salta5 escaloneshaciaarribahastaelescaln5y luego2paraabajohastaelescaln3;despussiguesaltandoalternando5 escaloneshaciaarribay 2 haciaabajo.Culesdelosescalones1997,1998,1999Y 2000nopisala rana?

Solucin. Los escalonesquetocasonlos quesepuedenobtenerconunasuma:

0+5-2+5-2+5-2+...

Agrupandodedosendos,observamosquelosescalonesquetocasondela forma3k o 3k+ 5, parak entero;enotrapalabras,losescalonesquetoca sonlos mltiplosde 3 y aqullosquedisminuidosen 5 sonmltiplosde3. Tenemosque1997- 5, 1998Y 2000- 5 sonmltiplosde3,peroqueni 1999ni 1999- 5 sonmltiplosde5,asqueelnicoquenopisaesel 1999.-

[1.16]Ejemplo. Una sucesin(esdecir,una lista) de nmerosal, a2,a3,. .. estdefinidapor:

111al =1, a2= , a3= , a4=- ,. ..

1+al 1+ a2 1+ a3

Calcularelproductoal x a2x a3x . . .x a15delosprimeros15trminosdela sucesin.[MLPS, 7ExamenEliminatoriodeMichoacn]

Solucin. Empecemospor buscarun patrnenlostrminosdefi-nidos.Tenemosque

al = 1,1 1

a2= 1+ 1 = "2'1 1 2

a3= ~ = 1"= 3'1+ 2 21 1 3

a4= 1+ ~= I - 5".

7

-

Observemosque cada uno se obtienedel anteriorponiendoel denomi-nador comonumerador,y el denominadorcomola sumadel numeradory el denominadoranteriores.Al multiplicados se cancelantodos salvoel denominadorde a15;para calcular ste construyamoslos denomi-nadoresanteriores(siempresumandolos dos quepreceden):

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987.

La respuestaes 9~7'.

Exponentes

En muchasocasionestratamosdememorizarlaspropiedadesdelosexponentessin comprenderlas;estollevaa cometergraveserroresensu manejo. Realmente,en cadacaso,lo importanteesrecordarqueelevara unciertoexponenten (conn unenteropositivo)simplementesignificamultipicarel nmeropor s mismoel nmerode vecesquemarcaelexponente:

n - aa.. .a.a - '--v--"n

Debemostambintomarencuentaque:aO=1,a-1 =~ y a~= \f(i,para n enteropositivo. Las reglasconocidasde los exponentessonfcilesde recordarsi se tomasiempreen cuentala definicin.stasson:

(a) a(x+y)=aXaY.(b) aXY = (aX)Y.Aqu, x y y son nmerosenteroso fraccionarios,y a es cualquier

nmero real tal que la operacinindicada tenga sentido (por ejemplo0-1 y (-1)~ no tienensentidopuesen el primer casonos indicara unadivisin entre Oy en el segundocasose buscaraun nmeroreal cuyocuadradofuera -1.)

En lossiguientesejerciciosy ejemplospracticaremoselconceptodeexponenciaciny enalgunosaplicaremostambinlo vistoantessobre

8

""""""'"

agrupamientode trminos.

[1.17]Ejercicio. Escribir 25+ 25comopotenciade2.

[1.18] Ejercicio. Cul es la mitad de 298?

[1.19] Ejercicio. En ciertoplanetahay tantosdasenuna semanacomo semanasen un mescomomesesen un ao. Si un ao tiene 1331

das, cuntosdas tiene cada semana?

[1.20]Ejercicio. Sea 1,4,9,16,... la sucesinde los cuadradosdelosenterospositivos.El nmero108esuntrminodeestasucesin.Cul esel trminodela sucesinquesiguedespusde 1O8?

[1.21] Ejemplo. Cuntas cifras tieneel nmero 21996x 52ooo?

Solucin. Agrupemostodoslos 2's y 5's quepodamos:21996x52000=(2X 5)1996x 54=625X 101996.Entoncesson1999cifras..

[1.22] Ejemplo. Si m y n son enterospositivos que satisfacenmn + mn+1+ mn+2=39, entonces, cunto vale nffi?

Solucin. Consideremosla factorizacinsiguiente:

mn + mn+1+ mn+2=mn(l+m+m2).

Entonces mn esun factor de 39,o sea,mn=1,3,13o 39.Analizandotodas las posibilidadesy considerandoque el cocientede 39 entre mndebeser 1+m+m2, tenemosquem =3 Y n =1,as que nffi =1. .

En el ejemplo anterior nos encontramoscon una factorizacinenenterosde 39. Encontramos la solucinconsiderandola factorizacin

en primos de 39 y, a partir de ella, analizandotodas las posibilidades.La propiedadde quecadaenterosefactorizacomoproductodeprimosde maneranica (salvoorden)esbsicaen la Teora deNmeros;la es-tudiaremoscon mayordetalleen la seccinde Divisibilidad (ver[2.21]).

9

--

[1.23]Ejemplo. Ordenarlos nmerosV5,0) y 2 de menor amayor(usandoslopropiedadesdelosexponentesy nolacalculadora).

Solucin. Al elevarlosnmerosa la sextapotencia,el ordendetamaoseconserva.Calculemosentonceslas sextaspotenciasde losnmerosdadosy comparemoslosresultados:

(V5")6=53=125,

(~)6=92=81 Y26=64.

Tenemosentoncesque2

[1.27] Ejemplo. En el desarrollode

(~+ Jxrencontrarel trminoquenocontienea x.

Solucin. Debemostenerk tal que6-k

(vx)k (Jx) =1.Pero

( )

6-k k

(4C )k 1 X4 li_6-kyX - =- =X4 2.VX X6;k

Entonces queremosque

k 6 - k---=04 "2 '

dedondek = 4. El coeficientedeestetrmino(y,portanto,eltrmino

buscado)es (~)=6~5=15. .

Ecuaciones y desigualdades

Veremosahora algunosejemplosen dondeel planteoy la manipu-lacin correctade ecuacioneso desigualdadesson la basede la solucin.

[1.28]Ejemplo. El promediode lasprimeras5 calificacionesdeJuan duranteel semestrees 5.4. Cul debesersu promedioen lassiguientes4 calificacionesparaquesupromedioglobalsea6?

Solucin. El puntajeacumuladohastael momentopor Juan es5.4x 5 = 27. Para que su promedio en 9 calificacionessea 6, debellegar a 9 x 6 = 54 puntos, as que le faltan 27 en las siguientes4calificaciones,esdecir,un promediode 2;=6.75. .

[1.29]Ejemplo. Seanx, y y z tresnmerosrealespositivosdife-rentesentres. Si --1L-=x+y =~ cunto vale ~?x-z z y , y

11

...--

Solucin. Observemosquesi a, b, e y d sonrealespositivostalesque~=~,entonces~~~=~ (paraverestobastamultiplicar"cruzado"y ver que da el mismoresultado). Aplicando estoa la igualdad ~ =X+Y, tenemosque tambin x+2y=3:..Otra vez,por el mismoresultado,z x ytenemos que 2X++2Y =3:..Pero el miembroizquierdoes2, asque 3:.=x y y y2. -

[1.30]Ejemplo. Los niosA, B Y e tomaron13dulcesdeunamesa.Al final A dijo quetom2 dulcesmsqueB; B dijo quetomla mitaddedulcesqueA y 5menosquee; finalmentee dijoquetomun nmeropar dedulces.Si sabemosquea lo msunodeellosminti,quinfueel mentiroso?

Solucin. Digamosquea, b y e sonlascantidadesdedulcesquetomaronA, B y e, respectivamente.Tenemosque

(*): a+b+e=13.

Adems,segnA,

y segne, e espar.Analicemostodaslasposibilidadesquedosdeellosnohayanmen-

tido: ISi A Y B no mintieron,entonces,resolviendo(Al) y (Bl) si-

multneamente,tenemosque a = 4 y b = 2. Entonces, por (B2)tenemosque e=7. Comprobamosque adems(*) s se satisfaceparaestosvalores,peroquee no espar, as queestecasoesposibley eserael mentiroso.

Si B Y e nomintieron,usando(Bl) y (B2)y sustituyendoen (*),tenemosque (2b)+ b+ (b+ 5) = 13,dedondeb= 2 y e= 2+ 5 = 7,queno espar,asquee s mintiy estecasonoesposible.

Si A y e nomintieron,usando(*) Y (Al), tenemosque (b+ 2)+b+ e=13,dedondee=13- 2b- 2, queesun nmeroimpar,asquee mintiy tampocoestecasoesposible.-

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""""""""

(Al) : a =b+2;segnB,

(Bl): b= y (B2): b=e- 5;2

[1.31]Ejemplo. Trestrabajadoresnecesitan36dasparapintarun edificio.Cuntostrabajadorespuedenhacerloena lo ms9 das?

Solucin. Se quiereacortarel tiempode trabajoal menosa lacuartaparte,asquesenecesitaal menos4 vecesel nmerodetraba-jadores,esdecir,al menos12. 8

[1.32]Ejemplo. Una manguerallenaun estanquedeaguaen 12horas. Otra mangueralo llenaen 10horasy un tubo dedesagelovacaen 6 horas. En cuntotiempose llenael estanquesi las dosmanguerasy el desageestnabiertos?

Solucin. En unahorala porcindelestanquequeseha llenado1 1 1 - 5+6-10 - 1 E t .t 60 hes 12+ 10- '6 - ~ - 60. n onces se neces1an oras para

llenado. 8 .

[1.33]Ejemplo. Un niotienefichasredondasquepondrdentrode loscuadrosblancosdeunacuadrculacoloreadacomoel tablerodeajedrez.Seguirlossiguientespasos:En el primerpasocolocarunafichaenun cuadroblanco.En el segundopasopondrfichasentodaslas casillasblancasque rodeanla fichacolocadaen el primerpaso.En cadauno de los siguientespasoscolocarfichassobretodosloscuadrosblancosquerodeanlasfichaspuestasenelpasoanterior.Parailustrar,enla figurasehanhecholosprimeroscuatropasosindicandoconnm,erosenlascasillassegnel pasoenquesele colocaronfichasencima.Si elniodisponede5000fichas(y la cuadrculaestangrandecomoseanecesario),paracuntospasoscompletosle alcanzarnsusfichas?[MLPS, 5 ExamenEliminatoriodeMichoacn]

13

...--

Solucin. Observemosquepara n 2:2 el nmerodefichasquesecolocanenelpason es4(n -1). Entonces,entotal,elnmerodefichasquequedancolocadashastaelpason es1+4+4 x 2+. . .+4(n-1) =1+ 4(1+ 2 + . .. + (n - 1)). Sequierequeestenmeroseamenoroigualque5000,asque1+2+...+ (n - 1) :::;500~-1,o seaque(ver[1.4])n debecumplir n(~-l):::;500~-1,dedonden(n - 1) :::;2499.5.Esfcil comprobarentoncesque n :::;50. .

.

[1.34]Ejemplo. Ana compr3 plumas,7 lpicesy unaregla,ypag31.50pesos.Sofacompr4plumas,10lpicesy unareglay pag42pesos.Pedrocomprunapluma,unlpizy unaregla.CuntopagPedro?

Solucin. Llamemosp al preciodelasplumas,l al preciodeloslpices,r al preciode lasreglasy C a la cantidadpagadapor Pedro.Sabemosque:

3p+ 7l+ 1r =31.54p+ 10l+ Ir =421p+ II + Ir =C.

Losdatosquetenemoscorrespondenadosecuacionescontresvariables,por lo quenoesposibleencontrarelvalorprecisodelasincgnitas.Elproblematendrsolucinsi hay unadeterminadacombinacinde lasdosprimerasecuacionesquenosd la tercera,esdecir,queremosversi esposiblemultiplicarla primeray segundaecuacionespornmeros,digamosa y b respectivamente,detal maneraqueal sumarlasel resul-tadoseala terceraecuacin.En otraspalabrasbuscamosa y b talesque

3a+ 4b=17a+ lOb=1

a+b=1.Encontramos que la solucinde las dos primeras ecuacioneses a =3Y b= - 2, Y que tambinestosnmerosconstituyenuna solucinde latercera,por lo cualelproblemas tienesolucin.Entoncesal multiplicar

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~

la primera ecuacinpor 3 y restarledos vecesla segunda,obtenemosexactamenteloscoeficientesdela terceray as e =3(31.5)- 2(42)=10.5. 8

[1.35] Ejemplo. Dos nmerosrealesx y y suman A; cul es elmximo producto que puedentener?

Solucin. Veamosque el mximo producto se alcanzacuandolos

nmerosson igualesentres (esdecir, igualesa ~). Para ello probare-

mos quesi x +y = A entoncesxy :s;(~)2. Tenemos que y =A - x, as

quequeremosprobarquex(A - x) :s; (~)2, o sea que Ax - X2 :s; ~2,esdecir,que ~2- Ax +X2 :::: O. Peroel miembroizquierdodela de-sigualdad es (~- x) 2, as que la desigualdadbuscadaes obviamenteverdadera.8

[1.36]Ejercicio. Unamquinacortaunapiezademaderaentrespartesenunminutoy despuscortaentreslaspartesresultantes,cadaunaenun minuto.En el momentoenquehayal menos317piezasdemaderalamquinasedetiene.Cuandolamquinasedetenga,cuntosminutoshabrnpasado?[LMGV, 15ExamenEliminatorioEstatal]

Polinomios

Si nos dicenqueun polinomiof (x) estdadopor la expresinf (x) =X3 - 7x, entoncesesmuyfcilencontrarel valorde f (2) puessimplementesustituimos2 en lugarde x en la expresinde f(x) yas f(2) = 23- 7 x 2 = -6. Las racesde f(x) son los valoresdex para loscualesf(x) = O. En estecaso,comoesfcilobservarquef(x) =X(X2 - 7) =x(x - J7)(x +J7), vemosquelasracessonO,J7y -J7.

Los siguientestres ejemplostratan con expresionesalgebraicasenlas que la sustitucin de valoresno es directa; trabajaremosla infor-macindisponibledemanera"implicita" (comolo hicimosya en [1.33]).

15

..--

[1.37]Ejemplo. Dadoquep(x) =X3 +ax+ 1 y quep(l) = 1,cuntovalep(2)?

Solucin. Tenemosque1=p(l) =13+ a. 1+ 1=a + 2, asquea =-1. Entonces,p(2)=23- 1 .2+ 1=8- 2+1=7. .

[1.38] Ejemplo. Si X3+ 8x - 2 = O, cuntovaleX5+ 10x3-2X2+ 16x+ lO?

Solucin. Si supiramosculessonlas racesdelpolinomioX3+8x- 2=O,podramossustituirx poresosvaloresenX5+10x3- 2X2+16x+ 10 y ashallarel resultado.Sin embargo,no esfcilencontrardichasraces,asquedebemosbuscarotroprocedimientoque,enrea-lidad,esmuchomssimple:extraerdela expresinX5+ 10x3- 2X2+16x+10la otraexpresinX3+8x- 2 lomsquepodamosy utilizarqueel valordeestaltimaesO:

X5+ lOx3 - 2X2 +16x+10=X2 (X3 +8x - 2)+ 2X3+ 16x+ 10=X2(0)+ 2(X3+ 8x - 2)+10+4=2(0)+14=14..

[1.39] Ejemplo. Si a y b son las solucionesde X2+ 7x + 15=O,cuntovale a2+b2+ 12ab?

Solucin. Aqu tambin,en lugardeencontrardirectamentelosvaloresdea y b,nosconvieneescribirX2+7x+15=(x- a)(x- b)Ycompararcoeficientesenambasexpresiones:

a+b=-7 yab= 15.

Sustituyendoestosvaloresobtenemos

a2 +b2+ 12ab= (a+b)2+10ab= (-7)2+(10)(15)= 199..

[1.40]Ejemplo.(a) Encontrarun polinomiof (x) tal queal multiplicadopor la

expresin~ - X~l el resultado sea la constante 1.

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=-

(b) Encontrara y b enterosdetal maneraque

111 1 a1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + .. .+ 999x 1001= -,;.

[MLPS, 6 ExamenFinal deMichoacn]Solucin.(a) Tenemosque

1 1 x+1-x 1- -;;- x +1 - (x + l)x - ::r:(x+1).

Entoncesf(x) =X2 +x.(b)Observemosque~- X~2=X(X~2).Entonces

~ =~ [(t- ~)+(~- ~)+(~- ~)+...+ (9~9- 10101)]1(1 1

)11000 500

=2" 1 - 1001 =2"1001=1001..

Bases

Desdenuestroprimer contactoescolarcon los nmerostrabajamosla llamada expansindecimalo escrituraen base10 de los nmerosyas en la:escuelasenosenseaa hablar de unidades,decenas,centenas,etc. Sin embargo,pocas vecesrelexionamosen lo que esto significayen la gran utilidad de esa escrituraen comparacioncon, por ejemplo,la escrituraen nmerosromanos.Tambindesdemuy pequeoshemosodo hablar de las culturasquehan trabajado conel O,y muchosenten-demosde manera ingenuaque se habla simplementede una cantidadpara representarla "nada". Esto, desdeluego, hasta cierto punto escierto, pero la verdaderaimportancia del usodel Oen un sistemaposi-cional como el decimalradica en que sirvepara "guardar" posiciones:El nmero903representa3 unidades,Odecenasy 9 centenas;en otraspalabras,

903= 9 x 102+ Ox 10+ 3.

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-...-

Con la notacin posicionalesfcil sumar,multiplicar, etc., puessevanhaciendolas operacionesparcialmentey agrupandoconformeva siendonecesario. A continuacinresolveremosalgunosproblemasque tienenque ver con escrituratanto enbase10comoen otrasbases.De maneraexplcita, la representacinde un nmeroen una baseb significaqueseescribeel nmero como suma de potenciasde b donde los coeficientesson nmeros enterosentre O y b - 1; por ejemplo el nmero 903 seescribecomo sumade potenciasde 2 de la siguientemanera:

29+ 28+ 27+ 22+ 2+ 1,

y comosumadepotenciasde5 como:

54+ 2 x 53+ 52+ 3.

Entonces,usandosloloscoeficientese indicandola basedela quesetrataconunsubndice(noponemossubndiceparabase10)escribimos:

903=11100001112=121035,

Para unaexplicacinunpocomscompleta(y algunosejemplos)sobreoperacionesenbase2 ver [Combinatoria,Seccin12].

[1.41]Ejemplo. Encontrarla sumade todoslos nmerosde 4cifrasenlosquelosdgitos1, 2, 3 y 4 aparecenexactamenteunavez.

Solucin. Primeroobservemosquecadadgitoaparece6 vecesencadaposicin(porejemplo,el1 apareceenlaposicindelasdecenasenlossiguientesnmeros:2314,2413,3214,3412,4213Y 4312).Entoncescadadgitodebermultiplicarsepor 6 y porcadaunadelaspotenciasde 10(1,10,102Y 103).Factoripandoobtenemosla suma:

6(1+2+3+4)(1+10+102+103)=60(1111)=66660..

[1.42] Ejemplo. En una balanza se utilizan pesasmarcadasengramos (cantidadesenteras)para determinarel pesode objetos de lamanerausual, es decir, colocandolas pesasnecesariasen cada lado dela balanza para que se equilibre. Decir los pesosde una coleccinde 4

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............

pesasconlascualessepuedandeterminartodoslospesosdel1 al 40.[JLLL, 8 ExamenEliminatoriodeMichoacn]

Solucin. En esteproblemaestescondidaunaexpansinternaria(esdecir,enbase3). SabemosquetodonmeroN sepuedeexpresar(demaneranica)enbase3 concoeficientesao,al,..., ak) igualesa O,1 o 2:

N =ao+a13+a232+...+ak3k.Cuandoalgunosdeloscoeficientesson2,puedensustituirsepor3- 1Y volver a agrupar de maneraque se obtengauna nuevaexpresindeN en una suma:

N =Co+c13+c232+.. .+ck3k,

donde los nuevoscoeficientesCi seanO, 1 o -1. Por ejemplo,

16=32+2x 3+1= 32+ (3- 1)3+ 1=32+32- 3 +1.=2 X 32- 3 + 1.=(3-1)32-3+1.= 33- 32- 3+ 1.

En otras palabras, el problema dice: Con qu coleccin inicial denmeros (valoresen gramos para las pesas) es posible obtener todoslos nmeros del 1 al 40 con sumasy restasde algunosde ellos? En-tonces,la solucines: Como son4 nmerosiniciales,el nmerototal deexpresionesde ellosusandoO,1 Y -1 comocoeficienteses 34=81; sinembargouna de ellasda comoresultadoO(todoslos coeficientesigualesa O)y del resto la mitad sonnegativasy la otra mitad son positivas,esdecir, hay 40positivas. Usando losvalores1, 3, 32Y 33el valormximoes cuandotodos los coeficientesson 1, esdecir 1+ 3+ 32+ 33= 40, as

que todos los valoresentre 1 y 40 sonposibles. -

[1.43]Ejemplo. Sea f(m) la mximapotenciade 2 quedividea m!. Probarquem- f(m) eselnmerode l's queaparecenenlaexpansinbinaria(enbase2) de m.

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-

Solucin. Escribamosm=an2n+an-12n-1+.. .+a12+ao,conlosai igualesa Oo 1paratoda i. Entonceselnmerode l's queaparecenenla expansinbinariade m esan+an-1+ . . .+al + ao. Calculemosf (m) usandola expresinbinariade m y recordandoque

f(m) =[;]+[;]+[;]+...,donde[~] denotalaparteenterade~. (ver[1.13].)Tenemosque

[;] =an2n-1+ an-12n-2+ .. o+ a322+ a22+ al[;] = an2n-2 + an-12n-3 + . oo+ a32 + a2

[2: 1]

[~]

= an2+ an-1

= ano

Entoncescalculemosm - f (m) factorizandolas a~s:

m - f(m) =an(2n- (2n-1+ 2n-2+ ... + 1))

+ an-1(2n-1- (2n-2+ 2n-3+ o..+ 1))

+ . . .+ a2(22- (21+ 1)) + al (2- 1)+ ao=an+an-1 +...+al +ao,

queesloquequeramos.-

Ejercicios

[1.44]Ejercicio. Un barril llenode lechepesa34Kg Y cuandoestllenoa la mitadpesa17.5Kg. Culesel pesodelbarril?

[1.45]Ejercicio. A un nmerosele sumasu 10%,Y al nmeroasobtenidosele restasu 10%. Quporcentajedelnmerooriginalqueda?

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~~

[1.46]Ejercicio. En un recipientesetiene1 litro de lquidodelcual 5% esjugo delimny el restoesagua.Cuntaaguadebeagre-garsesi sequieretenerunamezclaconslo2%delimn?

[1.47]Ejercicio. En elpisosevaa pintarun tringuloequilterode 1m de lado. Dentrode l sepintarnlneasparalelasa los ladospartiendode los puntosmediosde los ladospara formartringulosequilterosmschicos;losnuevostringulosasobtenidossedividirnsiguiendoel mismoprocedimientoy as sucesivamente.Sedisponedepinturaparapintarhasta200m. Culesla longituddelostringulosmschicosquesepuedenpintar? (Nota: Puedesobrarpinturapuessequierequela figuraquequedetengatodoslostringulosdelmismotamao.)[MLPS, 8 ExamenEliminatoriodeMichoacn]

[1.48]Ejercicio. Ayerenclaseel 12.5%delosalumnosfalt.Hoyhayun alumnoausentems,y el nmerodepresenteses5 vecesel deausentes.Culesel nmerototaldealumnosdela clase?

[1.49]Ejercicio. En ciertanoveladecienciaficcinsedescribenpersonajesque,si biensoninmortales,su formay colorvarada conda. Dichospersonajessondetrescolores:rojo, azuly verde.Deellosalgunossondeformaesfricay otrosdeformapiramidal.Dacondael80%delosrojossevuelvenazules;el 80%delosazulesseconviertenenverdes,yel 80%delosverdes,enrojos.Tambinellosmismosvarandeformadiariamente:el 40%delosesfricospasana serpiramidalesy, asuvez,el 40%delospiramidalesseconviertenenesfricos.Supngasequeciertoda la distribucindela poblacinescomosemuestraenlasiguientetabla:

EsfricosPiramidales

Rojos60009000

Azules500010000

Verdes30004000.

Cuntospersonajesazulesesfricoshabral da siguiente? (Cabeaclararquetodaslasmutacionesocurrenenformahomognea;esdecir,por ejemplo,el 80%delosrojosesfricoscambiarsucolorcadaday

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....--

lo mismoocurrirconel 80%delosrojospiramidales.)[MLPS, 1988]

[1.50]Ejercicio. Losnmerosenterosa,b,e,d estnenprogresinaritmtica(eneseorden). [Recordemosqueunaprogresinaritmticaesaqullaen la quea cadatrminosele sumauna mismaconstanteparaobtenerel siguientetrmino.]Demostrarque

1 1 1 3+ + -va+v1J v1J +ve ve+../d- va+../d'

[1.51]Ejercicio. Si a y b son nmerospositivosdistintosque

cumplen 0,2+ b2= 4ab,hallar el valor de (:~~)2.

[1.52]Ejercicio. La sumade los 1993elementosde un ciertoconjuntodenmeroses19931993.Hallarelpromediodeloselementosdeeseconjunto.

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~

Seccin2

Divisibilidad

sta y la siguienteseccinsonunabreveintroduccinalestudiodeunaramade lasMatemticasllamadaTeoradeNmeros,cuyoorigenesel estudiodelconjuntodelosnmerosenteros

Z ={..., -2, -1, 0,1,2,3,...}.

As comodentrodelconjuntodelosnmerosnaturales

N = {1,2,3,. . .}

no siempresepuedenconsiderarrestas(paraa y b naturales,a - bes natural si y slo si a > b), dentro del conjunto Z no siemprehaycocientes(por ejemplo,~ es enteropero ~ no lo es). Sin embargolacondicindedivisibilidaddeenteros(esdecir,la condicinparadeter-minarcundoel cocientededosenterosesotro entero)no seexpresademaneratan sencillacomola dediferenciaenlosnmerosnaturales.Estudiaremosaqualgunosaspectosdeestetemadedivisibilidad.

En todala seccin,lasletrasa, b, e, etc. representarnenteros.

-

Propiedades bsicas

[2.1] Definicin. Si a y b sonenteros,decimosquea dividea b,

ensmbolosa lb, si esposibleencontrarun enterox detal maneraqueax = b. Otrasformasdeexpresarquea dividea b son:

a esdivisordeb,a esfactordeb,b esdivisibleentrea yb esmltiplodea.

Si a nodividea b escribimosa{b.[2.2]Ejemplos.(i) Los nmerosps-res,..., -4, -2, O,2,4,6,. .., sonprecisamente

aqullosquesondivisiblespor elentero2, puessonlosdela forma2xcon x entero.

(ii) -12\36 (aqux =-3).(iii) 171O (aqu x =O; en general,para todo enteroa se tiene

a I O).(iv) 11- 11(aqux =-11; engeneral,paratodoenteroa setiene

11a).

[2.3] Nota. Cuandoa =1- O,sonequivalenteselqueal b Y elque~seaun entero(enestecasoslohayunasolucindela ecuacinax=b,queesx =~).Por otro lado,auncuandonopodemoshablardel "en-tero ", segnla definicinqueacabamosdedarpodemosafirmarqueO divide a O pues la ecuacinO=Ox tiene solucinentera (cualquierenterosirvecomosolucin).

Recordemosque si x es un nmero real cualquiera, entonceselvalor absolutode x, denotadopor Ixl, es su distanciaal O en la rectanumrica real. Entonces, por ejemplo, 171= 7, 1 - 71 = 7, 101= O,1- 1.431=1.43,1J21= J2,

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~

[2.4] Propiedades.

(i) Para a y b enteros,al b si y slosi lal/lbl.

(ii) Si al bY bi=O, entonceslal ::; Ibl.

(iii) Para todoenteroa setienea la. (Sedicequela relacindedivisibilidadesreflexiva.)

(iv) Si a, b Y c sonenterostalesqueal b Y bIc entoncesa Ic. (Sedicequela relacindedivisibilidadestransitiva.)

(v) Es posiblequeal b peroqueb{a. (Sedicequela relacindedivisibilidadnoessimtrica.)

(vi)Paraa y b enteros,al bY bIa si y slosi lal=Ibl (esdecir,a=::I::b).

Demostracin.

(i) En cadacaso,bastaajustarel signode la solucinx segnse necesite:Si b = ax, entonces Ibl = lal(::I::x). Recprocamente,siIbl=lalx,entoncesb=a(::I::x).

(ii) Tenemosqueb=ax, asqueIbl= lallxl.Comobi=O,entonceslal, Ibly x sontodosnaturales,asqueIblseobtienesumandoIxl vecesel nmerolal y entoncesesclaroque lal ::;Ibl.

(iii) Para x =1 tenemosa =ax, por tanto a la.(iv) Seanx y y enterosconax =b Y by=c; entoncesaxy=by=

c, dedondeconcluimosqueal c.(v) Tomar, por ejemplo,a =3 Y b=6.(vi)'Supongamosprimeroque al b Y que bIa, y vamosa probar

quelal =Ibl. Si algunode los dosescero,digamosa =O, como ax =bparaalgnenterox, entoncestambinb=O,asquelaI =O= lbl. Siningunodelos dosesceroentonces,por (ii), lal ::; Ibl y Ibl::; lal, por

tantolal=Ibl. Ahora supongamosque lal =Ibl;paraverqueal bYbIa bastausar(iii) y (i). .

[2.5] Nota. La propiedad(i) nosdicequela mayorpartedeltra-bajosobredivisibilidadconnmerosenterossepuedehacerdentrodelconjuntoNo := {O,1,2,3,. ..} (y despusagregarlos signosen caso

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..--

necesario). La ventaja de trabajar dentro de No es que ah tenemosuna poderosa herramienta de demostracinque es la induccin (ver[Combinatoria,Seccin4]).

[2.6] Proposicin. Para a, bY e enteros,tenemosquea I b Y a I e

si y slosi a I rb+se para cualesquierar y s enteros.

Demostracin. Primero supongamosque a I b Y que a I e y tome-

mos un nmero rb+secon r y s enteros;queremosprobarquea I rb+se. Tenemosque b =ax y que e =ay paraalgunosenterosx y y.Entoncesrb+se=rax+say=a(rx+sy),porlocualrb+setienecomofactora a, esdecir,al rb+se,comoqueramosprobar.Ahorasupongamosque a I rb+se para cualquier eleccinde r y s enteros.Entonces,al tomar r =1 Y s =O,vemosquea lb pueslb + Oe=b;anlogamente,al tomarr = OY s = 1 vemosquea le. . .

Si bY e sonenteros,todonmeroquepuedaexpresarseenla formarb+ se (parar y s enteros)sellamacombinacinlineal(entera)de by e. Comoobservamosenla proposicin[2.6],losmismosenterosb ye soncombinacinlinealde b y e. Tambinesfcilconvencersedequetodoslos mltiplosde b y todoslos mltiplosde e soncombinacinlineal de b y e (basta tomar s =O o r = O,segnseaelcaso).Pode-mosusa,.rla proposicinanteriorparaverqueno cualquiernmeroescombinacinlinealdedosnmerosescogidosb y c, comoenelejemploquesIgue.

[2.7] Ejemplo. Probar que ningn nmeroimpar escombinacinlineal de 4 y 6.

Solucin. Aplicamos la proposicin con a = 2, b = 4 Y e = 6.Supongamosque un cierto nmeroimpar h escombinacinlineal de 4

y 6; entonces,utilizando la proposicin [2.6],tenemosque 21h, lo cuales falso pues h es impar. De aqu concluimosque no es posible que hseacombinacinlinealde4 y 6. .

26

" ,.

[2.8] Nota. La proposicin[2.6]nonosdaunarespuestasobrequnmerosexactamentesoncombinacinlinealdedosnmerosfijosda-dos,slonosdauncriterioparasaberquealgunosnoloson:si logramosencontrarun factorcomnde b y e queno seafactorde h, entoncessabremosque h no es combinacinlinealde b y e, sin embargo,sinoencontramostal factor,la proposicinnonosdarrespuestaalguna.Paraobtenerunarespuestacompletanecesitamosavanzarbastantemsennuestrotema;haremosestoen [2.63]e inclusoproporcionaremosunalgoritmo(mtodo)paraescribircualquiernmeroques seacombi-nacinlinealdeun par denmerosdadoscomocombinacinlinealdelosmismos.Queremoshacernotartambinque,encasodequeciertonmeroh seacombinacinlinealdeotrosdosby e, laparejadeenterosr y s noesnica(esdecir,haymuchasformasdeexpresardeterminadonmero como combinacinlineal de otros dos); por ejemplo,si h =1,b= 2 Y e= 3, entonces1= 2 x t-1) + 3 x (1) (aqur = -1 Y s = 1)o tambin1 = 2 x 2+ 3 x (-1) (aqu r = 2 Iy S = -1). Ms adelantediremoscmoencontrartodaslas formasdeescribirun nmerocomo

combinacinlinealdeotrosdosnmerosenterosdados(ver[2.100]).

Un casoparticulardelaproposicin[2.6]queseutilizaconfrecuen-cia enproblemasdedivisibilidadesel siguientecorolario.

[2.9] Corolario. Si b, e y d estnrelacionadospor la ecuacinb+e=d,Y un nmero a es divisor de cualesquiera dos de ellos, entoncestambinlo esdeltercero.

Demostracin. Paradeducirestecorolarioa partirdela proposi-cin[2.6]bastaobservarquecadaunodeb, e y d escombinacinlinealdelosotrosdos. .

[2.10] Ejemplo. Encontrar 100 enteros consecutivostales queninguno de ellos esprimo.

Solucin. Consideremos los lll~meros an = 101!+ n, para n =2,3,. . .,101. Observemosquela sucesina2,a3,. . ., alO1constade100

trminosy, comon ::;101,entoncesn esdivisorde 101!,asquen I an

27

--

para toda n; ademses claro que an > n, por lo queconcluimosquean no puede ser primo. .

En la siguienteproposicinveremosalgunasfactorizacionesquenosserndeutilidadenvariosproblemas.Lasplantearemosenlenguajededivisibilidad.

[2.11]Proposicin.lesquiera.Entonces

(i) a - b I an- bn.(ii) Si n esimpar,tenemosquea+ b I an +bn.(iii) Si d es un divisor de n, entoncesad- bd I an - bn.

Solucin. En cadacaso,es fcil comprobarla factorizacinqueproponemosabajo;sedejanlosdetallesal lector.

(i) an - bn= (a- b)(an-l +an-2b +... +abn-2 +bn-l).(ii) Por ser n impar tenemosque bn=-( -b)n, por tanto

an+ bn=an - (-b)n

= (a- (-b)) (an-l +an-2(-b)+... +a(-b)n-2+ (_b)n-l),

Sean n un naturaly a y b enteroscua-

conlo quequedaestablecidoquea + b esfactorde an+ bn.(iii) Escribamosn = dk. Tenemosentoncesan- bn = (ad_-

bd)(ad(k-l)+ ad(k-2)bd+ ... + adbd(k-2)+ bd(k-l))..Observemosquelas factorizacionesquevimosen [2.11]sontambin

ciertas para a y b nmeroscualesquiera(e incluso, expresionesalge-braicas), no necesariamenteenteros.Tambinesclaro queel inciso (iii)implica los otros, e incluso de l se deducenfactorizacionestambinimportantescomo a2d- b2d= (ad- bd)(ad+ bd).

28

~

Ejercicios

[2.12]Ejercicio. Aplicarlaproposicin[2.6]paraprobarloscono-cidosresultadossiguientes:

(i) La sumadedosnmerosparesestambinun nmeropar.(ii) La sumadeun nmeroparconun imparesimpar.(iii) El productodeun nmeroparconcualquierotroenteroesun

nmeropar.

[2.13]Ejercicio. ExpresarO comocombinacinlinealde 3 y 11dedosmanerasdistintas.

[2.14]Ejercicio. Expresar1 comocombinacinlinealde -3 y 4detresformasdistintas.

[2.15]Ejercicio. Expresar20comocombinacinlinealde 7 y 4.

[2.16]Ejercicio. Es posibleutilizarla proposicin[2.6]parade-cidir si 4 escombinacinlinealde 18y 12o no?

[2.17]Ejercicio. Es posibleutilizarla proposicin[2.6]parade-cidir si -2 escombinacinlinealde 20y -12 o no?

[2.18]Ejercicio. Es posibleutilizarla proposicin[2.6]parade-cidir si 22escombinacinlinealde 60y 14o no?

[2.19]Ejercicio. Deducirde la proposicin[2.6]quesi al b, en-toncesa dividea cualquiermltiplode b.

29

--

Primos

Los nmerosenteros"indivisibles"jueganun papelmuy importantedentro de la teora de la divisibilidad pues a partir de productos deellos se construyentodos los demsenteros,y muchaspreguntassobredivisibilidad tienen respuestaen el anlisisde esaconstruccin;a esosnmerosbsicos les llamaremosprimos. Ms concretamente,decimosqueun enterop #-::1:1esprimo si susnicosdivisoresson ::1:1y ::I:p.Unenterono ceroy distinto de ::1:1escompuestosi noesprimo. Los enteros1 y -1 no sonprimos ni compuestos,sellaman unidades.Al nmeroOno lo consideraremosdentro de ninguna de estascategoras. Tenemosentoncesque son nmerosprimos: ::1:2,::1:3,::1:5,::1:7,::1:11,::1:13,::1:17,.. .Son compuestos: ::1:4,::1:6,::1:8,::1:9,::1:10,::1:12,::1:14,::1:15,::1:16,. .. Un n-

mero a se llamar divisor propio de otro nmero b si al b pero a#- ::1:1ya#- ::I:b;en estecasotambindiremosque b esmltiplo propio de a;as, un nmeroprimo seraqulqueseadistinto de ::1:1y queno tengadivisorespropios.

En elsiguienteejemploaplicaremos[2.9]enunproblemadenmerospnmos.

[2.20]Ejemplo. Probarqueningunodelosenteros1573,157573,15757573,... esun nmeroprimo.

Solucin. Podemosobservarquelas diferenciasde dostrminosconsecutivosde la sucesinsonde la forma156x lOr paraalgunar.

Como 131156,entonces13dividea todaslasdiferencias.Observemos

ademsque 1311573(pues1573= 13x 112).Afirmamosqueestoessuficienteparaconcluirque13esdivisordetodoslosdemstrminos.Paraverestollamemosa lostrminosdelasucesinal, a2,. . .; entonces

an= (an- an-l) +(an-l - an-2) +... +(a2 - al) +al'

As vemosque cada an es suma de mltiplos de 13 y, por lo tanto, lmismo lo es. 8

30

""""""'"

A continuacinveremosel importanteresultadollamadoTeoremaFundamentalde la Aritmtica,quehablasobrela construccinde losenterosa partirdeproductosdeprimos;el contenidodelteoremaesunresultadoquehemosmanejadoconfamiliaridaddesdenuestrosprimeros'cursosdearitmtica:el deescribirnmeroscomoproductodeprimos(por ejemplo, 12 = 2 x 2 x 3). Tambinsabemosquela formadehacerlonoesnica(porejemplo,12=2x 3x 2= (-2) x 2x (-3) =. . .); sin embargoel ordeny el signode los primoses lo nicoqueestorbaenla unicidadde la descomposicinsegnnosdir tambinelTeoremaFundamentaldela Aritmtica.Por elmomentonopodremosprobarestapartedequela descomposicinesesencialmentenicapuesnecesitamosdesarrollarmsherramientasen nuestrateora;por estaraznporelmomentoenunciaremosy probaremosslolaprimeraparte.

[2.21] Teorema Fundamental de la Aritmtica (primeraparte). Todo enterodistinto de O y de :::1:::1es producto de primos.

Demostracin. Sea a i- 0,:::1:::1Y consideremosprimero el casoenque a sea positivo. Si a es primo, entoncesno hay nada que probar(permitimosproductosde un solo factor). Si a no esprimo entoncesescompuesto,as quepodemosescribir a = be,con b y e enterospositivosy distintos de 1 y de a; ademstenemosque b y e son ambosmenores

I

que a. Otra vez, si b y e sonprimos, entoncesya acabamos.Si algunode ellos (o los dos) no lo es, lo escribimoscomo producto de otros dosms chicos,y as sucesivamente.Este procedimientodebeterminar enalgn momento(en menosde a pasos)puescada vez los nmerossonmenoresy positivos;cuandotermineel procedimientohabremosencon-trado la descomposicinde a en producto de primos comoqueramos.

El casoen que a seanegativose reduceal anterior pues podemosaplicar el resultadoa -a (queespositivo) y despusagregarel signoaalguno de los primos en la descomposicinde -a. .

[2.22]Nota. El "assucesivamente"queusamosen la demostra-cinanteriorllevaimplcitaunainduccin;utilizandoel lenguajems

31

...--

elegantedela induccinmatemtica,la demostracin(parael casodenmerospositivos)podraescribirsecomosigue:

Basedeinduccin:El resultadoesobviamenteciertoparalosnme-rosprimos.

Hiptesisdeinduccin:Seaa ~ 3 Y supongamosqueelresultadoesciertoparatodoslosnaturalesentre2 y a-l. Si a esprimo,entonceslabasede induccin nosda el resultado;si a no esprimo entoncesa =bc,conby c enterosentre2 y a - 1; utilizandola hiptesisdeinduccinescribamosb y c comoproductodeprimos;la descomposicinde a seobtendrjuntandolasdosdescomposiciones.

[2.23]Nota. Comodijimosarriba,posteriorI?entecompletaremosel TeoremaFundamentaldela Aritmticademostrandoquela descom-posicinesnicasalvoordeny signo.Usandoesteresultadocontodasufuerza,podemoshacerla factorizacinenprimosponiendoprimeroelsignoy despusescribiendosloprimospositivosenordencrecientedemagnitudy agrupandolosprimosquesonigualesenlapotenciacorres-pondiente.A estaformala llamaremosdescomposicincannicadelnmero.Por ejemplo,la descomposicincannicade -180 es -22325.

En lo quesigueestudiaremosmtodosparaencontrarla descom-posicincannicadenmerospequeos.Para ellonecesitaremossabertambincmodecidirsi ciertonmeroesprimoo no.,

El siguientelemaestbasadoenelsimplehechodequesiunnmeropositivoa esproductode dosdivisorespositivos,entoncesalgunodeellosdebesermenoro igualqueva (pueselproductodedosnmerospositivosmayoresquevaesmayorquea). Por ejemplo,si a =24,encualquierade las siguientesdescomposicionesde a comoproductodedosnmerosobservamosqueunodelos factoresesmenoro igualqueV24 =4.8. . .: 24=3 x 8 =6 x 4 =2 x 12.

[2.24]Lema. Seaa un nmeroenteromayorque1 conla pro-piedad de que ningn nmeroprimo menor o igual que valo divida.Entoncesa esprimo.

32

~

Demostracin. Supongamosquea noesprimoy escribamosa =becon 1 vava = a. Esta cadenade igualdadesy desigualdadesnosdiceque a > a, lo cual esun absurdo,as quenuestrasuposicinnopuedeserciertay a debeserprimo. -

[2.25]Ejemplo. Probarque61 esun nmeroprimo.

Solucin. Aplicandoel lema,comoJ6I O,entonceselnmerohabrasidoyatachadoal tachartodoslosmltiplosde a. Observemostambinque,graciasal lema,todoslosnmerosquenohansidomarcadoshastael momentoenquesetachanlosmltiplosdel ltimo primo menor o igual que VIi son primos, lo que permiteterminar el procedimientorelativamentepronto (ennuestroejemplo,al

33

~

llegaral primo7, puesel siguientenmerosinmarcasera11,pero11ya esmayorquey'6O).

t(11)q1.

(31)(41)fY1

(2)1/2q2:y24/2fI2

(3) 1(13) 1/4(23) ~~ ~(43) f4(53) E(4

(5)15q5:}545&5

f)1Pq6~46&6

(7) ~(17) 182fT q8(37) ~(47) 4Bf/l &8

fJ 10(19) ~(29) ~:w 4049 &D(59) qo

[2.26]Ejemplo. Determinarsi 1517esprimoo no.

Solucin. Desdeluego,enestecasononecesitamosconocertodoslosprimosdel1 al 1517;bastarconocertodoslosprimosmenoresqueV1517y revisarsi algunodeellosesdivisor de 1517.Como 402=1600,essuficienteconsiderarlosprimosmenoresque40queson: 2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23,29,31y 37. Al hacerla divisinde 1517concadaunodestos(amanoo conunacalculadora)vemosque37esel nicoques lo divide(y que1517=37x 41),por lo queconcluimosquenoesprimo. -

[2.27]Ejercicio. Determinarsi 557eso noprimo.

Criterios de divisibilidad

Enunciaremosahoraalgunoscriteriosdedivisibilidadpor nmerospequeos,algunosdeloscualessonbienconocidospor nosotrosdesdenuestrosprimeroscursosdelgebra.

[2.28]Criterio de divisibilidad por 2. Un enteroa esdivisiblepor2siy slosi a terminaenO,2,4,6u 8. (Porejemplo,38esdivisiblepor 2 pero35no lo es.)

[2.29]Criterio de divisibilidad por 3. Un enteroa esdivisiblepor 3 si y slosi la sumade las cifrasde a esdivisiblepor 3. (Por

34

~

ejemplo,228esdivisiblepor 3 pues2+ 2+ 8 = 12, que es mltiplode 3; sin embargo343no lo espuestoque3+ 4 + 3 = 10, que no esmltiplo de 3.)

[2.30] Criterio de divisibilidad por 4. Un enteroa esdivisiblepor 4 si y slo si el nmeroformadopor las dos ltimas cifrasde a loes. (Por ejemplo 3128 esdivisiblepor 4 pues28lo es;sin embargo411no lo es pues 11no esmltiplo de 4).

[2.31] Criterio de divisibilidad por 5. Un enteroa esdivisiblepor 5 si y slosi terminaenOo 5. (Por ejemplo2515esdivisiblepor5 pero217no.)

[2.32]Criterio de divisibilidad por 6. Un enteroa esdivisiblepor 6 si y sloa si esdivisiblepor 2 y por 3. (Porejemplo43644s esdivisiblepor 6 puesesmltiplode2 y de3; sinembargo,364no lo espuesesmltiplode2 peronode3.)

[2.33]Criterio de divisibilidad por 8. Un enteroa esdivisiblepor 8 si y slosi el nmeroformadopor lasltimastrescifrasde a loes. (Por ejemplo27256esdivisiblepor 8 pues256lo es;sin embargo23420no esdivisiblepor 8 puestampocolo es420.)

[2.34]Criterio de divisibilidad por 9. Un enteroa esdivisibleIpor 9 si y slosi la sumade las cifrasde a esdivisiblepor 9. (Porejemplo 23985 s es divisible por 9 pues 2 + 3,+ 9 + 8 + 5 = 27,quees mltiplode 9; sin embargo386754no esmltiplode 9 pues3+ 8+ 6+ 7+ 5+ 4 = 33,quenoesmltiplode9.)

[2.35] Criterio de divisibilidad por 10. Un enteroa esdivisiblepor 10si y slo si a terminaen O. (Por ejemplo 29853780esdivisiblepor 10pero 38475 no lo es.)

[2.36]Criterio de divisibilidad por 11. Un enteroa esdivisiblepor 11siy slosi ladiferenciadelasumadelascifrasenposicinimpar

35

..--

de a menosla sumadelascifrasenposicinpar de a esdivisiblepor11. (Por ejemplo82817053s esdivisiblepor 11pues(2+1+O+3)-(8+8+7+5)= 6- 28=-22, queesdivisiblepor 11;sin embargo2759noloespues(7+9)- (2+5)=9,quenoesdivisiblepor 11.

[2.37]Criterio de divisibilidad por 12. Unenteroa esdivisiblepor 12si y sloa esdivisiblepor4 y por3. (Por ejemplo771084s esdivisiblepor 12puesesmltiplode4 y de3;sinembargo,438no lo espuesesmltiplode3 peronode4.)

Existen diversos criterios de divisibilidad por 7 pero ninguno deellos es realmenteprctico como los que hemosmencionadoarriba enlos queel anlisisdedivisibilidad deciertonmeroposiblementegrandese reduceal de otro nmerobastantemenor.

Lasdemostracionesdeloscriteriosdedivisibilidadpor2,por4,por5,por8y por 10sonmuyparecidasentres;haremosaquladedivisinpor4,dejandolasotrascomoejercicio.Loscriteriosdedivisibilidadpor3,por9y por 11sedejarnparalaseccindeCongruencias(ver[3.14]y[3.16]),puesconlasherramientasdesarrolladasenesaseccinsonmuysencillosdeprobar.Loscriteriosquemencionamossobreladivisibilidadpor 6 y por 12sededucenfcilmentedelTeoremaFundamentalde laAritmtica.

[2.38]Ejemplo. Demostrarel criteriodedivisibilidadpor 4.

Solucin. Seaa =anan-l . . .alaO la expresindecimalde a (porejemplo,si a ,=20328,entoncesn = 4, a4= 2, a3= O, a2= 3, al = 2

y ao= 8). Seab= alao. Queremosprobarque41a si y slosi 41b.Recordemqsquela expresindecimalde a significaquea - an10n+an-l10n-l+.. .+al10l+ao10o.Seae=an10n+an-l10n-l+.. '+a2102,de maneraque a = e + b. Podemosobservarque41e pues41100y100Ie, asquepor el corolario[2.7]tenemosque41a esequivalentea

41b, comoqueramosprobar. .

36

[2.39]Ejemplo. Exactamenteunadelassiguientesafirmacionesacercadelnmerodemi casaesfalso.

(a) La sumadeloscifrasdelnmeroes6.(b) Dosdelascifrasdelnmerosoniguales.(c) El nmeroesmenorque110.(d) El nmeroesmayorque40.(e)El nmeroesprimo.Culeselnmerodemicasa?[MLPS, 17ExamenEstatalSemi-

final]

Solucin. Los nmeroscuyosdgitossuman6 sonmltiplosde3y,por lo tanto,nopuedenserprimos.Entonces(a)y (e)secontradicenunoalotroasqueelincisofalsoesunodeellosy losotrosincisosdebenserciertos.Los nmerosentre40y 110quetienendosdgitosigualesson:44,55,66,77,88,99,100y 101.La sumadelascifrasdeningunodeelloses6,pero101esprimo,asqueseeselnmerodemicasa.-

[2.40]Ejemplo. Encontrarla descomposicincannicade losnmerosa =660, b=-1573 y e =1200.

Solucin. En todoslos casosconsideramosprimerolal (al finalagregamoselsignosiesnecesario)y lebuscamoselmenordivisorprimopositivo;despusdividimosa entreesedivisory al resultadoselehacelo mismohastaobtenerel nmero1; los resultadosparcialesde lasdivision~ssevanponiendoenfila por debajode a y losdivisorescor-respondientesseescribena la derechadestos;los factoresprimosdelal sonprecisamentelosquequedanenla columnadela derecha:

66023302165355511111

1573111431113131

120026002300215027532555 51

37

.....-..

Entoncesa =22X 3 x 5 x 11, b=-112 x 13y e=24x 3 X 52. .[2.41]Ejemplo. Encontrarun enteropositivoa tal quela suma

a + 2a+ 3a+4a+ 5a+ 6a+ 7a+ 8a+9a

resultaserun nmerocontodassuscifrasiguales.[MLPS, 6ExamenEliminatoriodeMichoacn]

Solucin. Escribamos

a + 2a+ 3a+ 4a+ 5a+ 6a+ 7a + 8a+ 9a=bbb...b,

con b un dgito. Entonces45a = bbb...b. Ahora observemosque,como 45 es mltiplode 5, tambinlo debeser bbb...b, as quelanicaposibilidades b =5 (b no puedeser O pues el enunciadodicequea debeserpositivo).Por otro lado,el nmerotambindebesermltiplode9, asquela sumadelas b's tambindebeserloy elmenornmeroconestapropiedades555555555(y a =12345679)..

Ejercicios

[2.42]Ejercicio. Determinartodoslosprimosentre1 y 80.

[2.43]Ejercicio. Encontrarla descomposicincannicade6916.

[2.44]Ejercicio. Encontrarla descomposicincannicadel n-mero-6511131.

[2.45] Ejercicio. El producto de tres enterosmayoresque 1 ydistintos entres es 100. Culesson los tres enteros?

[2.46] Ejercicio. Encontrar todas las parejas (a, b) de nmerosenteros positivos tales que ab - 3a - 2b =6.

[2.47]Ejercicio. Cuntosnmerosdetresdgitosabc(cona =1=O)sontalesquea+ 3b+e esmltiplode3?

38

Algoritmo de la Divisin.

En mucho de lo que sigue necesitamosla segundaparte del Teo-rema Fundamentalde la Aritmtica (unicidadde la descomposicindelos enteroscomo producto de primos); para probar esto necesitamosdesarrollarms la teora, cosaque haremosa continuacin.

[2.48]Algoritmo de la Divisin. Dadosdosenterosa y b conb=1=Oexistenenterosnicosq y r detalformaque

a =bq+r, yO::;r O Ya ~ O. Losdemscasospuedendeducirsedestefcilmente(ver[2.49]y [2.50]).Consideremostodoslosmltiplosnonegativosde b:

O,b, 2b,3b,...

Seaqbel mayormltiplode b tal queqb::;a, esdecira seencuentraentreqby (q+ l)b enla rectanumrica(permitindoseel casoenquea =qb). Definimosr :=a - qb.

_~bb b

r~qb a (q+l)bt=t::::J

b

Entoncesa =qb+ r y, comola distanciaentredosmltiplosconsecu-tivosdebes Ibl(queenestecasoesbmismo),tenemosqueO::;r < Ibl,comoqueramos.

Por ejemplo,si a = 20 Y b = 6, entonces,3 x 6 = 18esel mltiplode6 mscercanopor la izquierdaa 20,asqueq= 3 Y r = 20- 18= 2.Entoncesel Algoritmodela Divisinenestecasonosda 20= 6x 3+2.

39

...--..

Probaremosahoraqueparacadapareja(a,b) slohayunaparejadeenteros(q,T) quecumplelasdoscondicionesdelalgoritmo.Supon-gamosque (qI,TI) Y (q2,T2)'sonparejasdeenterosquesatisfacenlascondiciones,esdecir,a =bqI+ TI, O :S TI < Ibl y a = bq2+ T2,O:ST2TI; entonces por [2.4](ii), tenemos que Ibl :S IT2-TII =T2- TI, lo cual esabsurdopues T2- TI :ST2

[2.52] Ejercicio. Encontrar los enterosq y r del Algoritmo de laDivisin correspondientesa:

(i) a=-19yb=7.(ii) a = 3 Y b = -8.(iii) a = 12 Y b= 3.(iv) a = -9 Y b = - 2.En cada caso hacer una ilustracin de los nmeros en la recta

numrica.

[2.53]Ejemplo. En la divisinde 999entren, donden esunenterodedoscifras,el residuoes3. Culesel residuode la divisinde2001entren?

Solucin. Tenemosque999=nq+ 3, paraalgnenteroq. En-tonces 1000=nq+ 4, 2000=n(2q) + 8 y 2001=n(2q)+ 9. Comontiene dos cifras, 9 es el residuo. 8

Mximo comn divisor

Sea n 2':2 un natural. Dada una coleccinde nmerosenterosdistintosdeceroal, a2,. . ., an su mximocomndivisor,ensmbolosmcd(al, a2,. . . ,an), esel mayorde susdivisorescomunes,esdecir, d =mcd(al'a2,. . . ,an)si di al, di a2, . . ., di an,y cualquiernmeroenteroquecumplaestascondicionesesmenoro igualqued.

[2.54]Ejemplo. Hallarelmximocomndivisord delosnmeros12, 30 y 18.

Solucin. Encontremosprimerolosdivisoresdecadaunodeestosnmeros.Los divisoresde 12son:

::1::1,::1::2,::1::3,::1::4,::1::6y ::1::12.

41

...---

Los divisoresde 30 son:

::1:1,::1:2,::1:3,::1:5,::1:6,::1:10,::1:15Y ::1:30.

Los divisores de 18 son:

::1:1,::1:2,::1:3,::1:6,::1:9Y ::1:18.

Entonces los divisorescomunesson:

::1:1, ::1:2, ::1:3 Y ::1:6,

y el mayorde ellos es 6, as que steltimo esel mximo comndivi-sor. 11

El mtodousadoenel ejemploanteriorparaencontrarel mximocomndivisorde dosnmerosno resultamuyprctico. En [2.59]y[2.75]aparecendosformasmssimples.

Estudiaremosa continuacinalgunaspropiedadesdelmximoco-mndivisor;consideraremossloel cason = 2, esdecirel casodelmximocomndivisorentredosnmeros;la generalizacinal cason >2 essencillausandola frmularecursiva

[2.55] mcd(al,a2,"', an)=mcd(al,mcd(a2,"', an)),cuyademostracinsedejacomoejercicio.

En ocasionessedefinemcd(a,O)=mcd{O,a) =O para cualquierenteroa (inclusivepara a =O). Nosotros aqu no trabajaremosmsque el casoen que ambosson distintos de cero.

[2.56]Propiedades. Seana y b enterosnocero.Entonces(i) mcd(a,b)=mcd(lal,Ibl);(ii) mcd(a,b)> O;

(iii) si al b, entoncesmcd(a,b)= lal; y(iv) si d = mcd(a,b), a = da' y b = db' (esdecir,a' y b' sonlos

respectivoscocientesde a y b entred), entoncesmcd(a',b')= 1.

42

......-

Demostracin. Las pruebasde (i) de (ii) y de (iii) sonobvias;sloprobaremos(iv). Supongamosqueel enterok >O esun divisorcomnde a' y b'; bastarprobarque k = 1. Seana" y b" los res-pectivoscocientesde a' y b' entrek: a' =ka" y b'= kb". Entoncesa = da' = dka" y b = db'= dkb",asquedk esdivisorcomnde ay b, pero d esel mayordivisorcomny k > O, por lo quela nicaposibilidad es k = 1,comoqueramosprobar. -

[2.57]Nota. En la proposicinanterior,(i) nosdicequepodemosrestringirnuestraatencina enterospositivoscuandosetrata dees-tudiar el mximocomndivisor,con la ventajadequedentrode losnmerosnaturalesdisponemosdel Principio de Induccin. Intuitiva-mente(iv) nosdiceque"sia a y a b les'quitamos'todolo quetienenen comn(esdecird), entonceslo nmerosquequedan(a' y b') notienen'nada'encomn".

Si mcd(a,b)= 1, decimosquea y b sonprimosrelativoso primosentresi.

[2.58]Lema. Seana y b enterosnocerocon b1a. Si q y r sonenterostalesquea =bq+ r, entoncesmcd(a,b)= mcd(b,r).

Demostracin.Utilizando[2.6]tenemosquelosdivisorescomunesde a y b tambinlo sonde r, y quelosde b y r tambinlo sondea.En particularel mayordelosdivisorescomunesde a y b esel mismoqueel de b y r. -

El siguienteresultadoesmuyimportante.Su demostracinutilizael Algoritmodela Divisin.

[2.59]Algoritmo de Euclides. Seana y b enterosnocero.En-toncesmcd(a,b) escombinacinlinealde a y b.

Demostracin. Por simplicidadsupondremosquea y b sonpo-sitivos(elcasogeneralsededucetrivialmentedesteajustandosignos).Si bIa entoncesmcd(a,b)= b que,obviamente,escombinacinlineal

43

...--

de a y b. Supongamosentoncesqueb{a. Utilizandoel Algoritmodela Divisinconsideremosenterosqi y ri detal maneraque

a =bq+rl,b=rlql + r2,

rl =r2q2+r3,

o

tambinmarcardeotraformalosresiduos,porejemplo,subrayndolos.De estamanerasabremosquelos nmerossubrayadossonlosquesetienenque ir primerodespejando,luegosustituyendoy, por ltimo,factorizando.Tambinesconvenienteverificarlarespuestafinalpuesesfcilequivocarseenelcamino.Ilustraremoselmtodoconunejemplo.

[2.61]Ejemplo. Escribir el mximocomndivisorde 94 y 34comocombinacinlinealdeestosnmeros.

Solucin. Apliquemosel Algoritmode la DivisinvariasvecescomonosindicaelAlgoritmodeEuclideshastaencontrarelmcd(94,34)y marquemosa, b y losresiduos:

{94}={34}x 2+26{34}=26x 1+E

26=E x 3+{2}E={2}x 4

(*)(**)(***)

Entoncesmcd(94,34)=2. Ahora para escribir2 comocombinacinlinealde94y 34primerodespejamos2 de la ltimaecuaciny luegorepetimossucesivamentelos siguientespasosde abajo haciaarriba:sustitucindel residuode la ecuacinprecedente,factorizacinde losnmerosmarcadosy operacionesdelosnmerosnomarcados:Despejeen (* * *):

{2}=26- E x 3,(Ntese que 2 = mcd(26,8) y hasta aqu tenemosescrito a 2combinacinlinealde26y 8.)Sustitucindelresiduode (**):

como

{2}=26- ({34}- 26 x 1) x 3.Factorizaciny operaciones:

{2}=26(1+3)+{34}(-3)=26(4)+ {34}(-3).

(Nteseque 2 =mcd(34,26)y hastaaqutenemosescritoa 2 comocombinacinlinealde34y 26.)

45

--

Sustitucindelresiduode (*):

{2}= ({94}- {34}x 2)(4)+ {34}(- 3).

Factorizaciny operaciones:

{2}={94}(4)+{34}(-8- 3)= {94}(4)+ {34}(-11). .

UtilizaremosahoralapartetericadelAlgoritmodeEuclides:"queel mximocomndivisordedosnmerossepuedeescribircomocom-binacinlinealde los mismos"paraobteneralgunosotrosresultadosquenospermitirndemostrarla unicidaden la descomposicincomoproductodeprimosdelosnmeros.Ms adelanteutilizaremosla parteprcticadel resultadopara resolverecuacionesdiofantinas(esdecir,paraencontrartodaslas solucionesenterasdeecuacionesde la formaax+by= e, dondea, b y e sonenteros).

[2.62]Corolario. Seana y b dos enterosno ceroy sea d sumximocomndivisor. Entoncescualquierdivisorcomnde a y btambinesdivisorde d.

Demostracin. Como e divide a a y a b, tambindivideacualquiercombinacinlinealdeellos,enparticulara d. .

El siguientecorolarionosdiceexactamentequnmerospuedensercombinacinlinealdedosenterosdistintosdeceroa y b.

[2.63]Corolario. Seana y b enterosnoceroy sead sumximocomndivisor.Un nmeroe escombinacinlinealde a y b si y slosi esmltiplode d.

Demostracin. Por la proposicin[2.6]tenemosquesi e escom-binacinlinealde a y b, entoncesdie. Recprocamente,supongamosquee esun mltiplode d y probemosquee sepuedeexpresarcomocombinacinlinealde a y b. Escribamose =de' y d =ar +bs (cone', r y s enteros).Entonces,multiplicandola ltimaecuacinpor e',

46

---

tenemose=a(re')+b(se'). .[2.64]Ejemplo. Determinarsi 7 y 20 soncombinacinlinealde

12 y 28; en casoafirmativo,escribiruna combinacinlinealencadacaso.

Solucin. Comomcd(12,28)=4 Y 4~7, entonces7 noescombi-nacinlinealde 12y 28.Por otrolado,4 s esdivisorde 20. Adems,es fcil expresar4 comocombinacinlinealde 12y 28 ("al tanteo"):4 =12(-2) + 28. Multiplicandopor 5 estaecuacin(aque' delcoro-lario anteriores5),obtenemos20=12(-10)+28(5)..

Ejercicios

[2.65]Ejercicio. Escribir el mximocomndivisorde 99 y 68comocombinacinlinealdeestosnmeros.

[2.66]Ejercicio. Determinarsi 15, -9 Y 61 son combinacinlinealde -24y 93;encasoafirmativo,escribirunacombinacinlinealparacadacaso.

[2.67] Ejercicio. Determinar si 156, -12 Y 60 son combinacinlineal de 132y -92; en casoafirmativo,escribir una combinacinlinealpara cada caso.

[2.68]Corolario. Seana, b y e enterostalesquea Ibe.Si a y bsonprimosrelativosentoncesa le.

Demostracin. Sean r y s enterostales que ar + bs= 1 Y mul-tipliquemosestaecuacinpor e: are+bse=e. Comoa I are y a I bse,entoncesa le. .

[2.69] Corolario. Si b1,b2,. . ., bk son enterosy un primo p esdivisor del producto b1b2.. .bk, entoncesp divide a algunade las b~s.

47

...--

Demostracin. Haremosuna induccinsobrek. La basede in-duccinespara k = 2. Si P I b1,entoncesno haynadaqueprobar.Si

P ~b1,entoncespor serp primo,p esprimorelativocon b1,asquepor el corolarioanterior,p I b2.Ahorasupongamosquek 2::3 Y queelresultadoes cierto para k - 1 factores.Como arriba, si p I b1,entonces

no hay nada que probar, as quesupongamosque p {b1 Y concluyamosque p I b2. . .bk. Ahora aplicandola hiptesisde induccintenemoselresultado..

[2.70]Nota. El resultadoanteriornoesciertosi nopedimosquep seaun nmeroprimo,esdecir,esposiblequeun nmerodividaaunproductosin quedividaa ningunodesusfactorescomolo muestraelejemplo614x 3.

Comocorolariodelresultadoanteriorobtenemosla unicidadenladescomposicindelosenteroscomoproductodeprimos,comoprobare-mosa continuacin.

[2.71] Teorema Fundamental de la Aritmtica (segundaparte). Todo enterodistinto de O y de ::f::1es producto de primos enforma nica salvo ordeny signo.

Demostracin. Por [2.21],ya sabemosque todo entero distintode Oy de ::f::1esproducto de primos. Para ver la unicidadsupongamosque a I ::f::PIP2'" Ps =::f::qlq2 ...qt, donde 8 y t son naturalesy los PiY los qj son primos. Queremosprobar que 8 = t ,Yque,salvoel signo,cada primo apareceexactamenteel mismo nmerode vecesen la listaPl,P2,...,Ps que en la lista ql,q2,...,qt. Sin prdida de generalidad,podemossuponer que los Pi y los qj son todos positivos. Hagamosinduccin sobre 8. Para 8 =1 el resultadoesclaropuesa seraprimo.Entonces supongamosque 8 2::2 y que el resultadoes verdaderopara8 - 1 factores(es decir, la hiptesisde induccines que si un nmeroaceptauna descomposicinenproducto 8-1 primospositivos,entoncescualquier otra descomposicinde ese nmero en producto de primospositivos es igual a ella excepto,tal vez, por el orden de los factores).

48

-...

Como Pl la, entoncesPl Iqlq2. . .qt. Por el corolarioanterior,Pl debedividir a algn qj que, sin prdida de generalidad,supongamoses ql;pero steltimo esprimo, as quePl = ql. CancelandoentoncesPl y qlen la ecuacinPlP2 . . .Ps =ql q2 . . .qt, tenemosque P2. . .Ps =q2 ...qt .La hiptesisdeinduccinseaplicaaquparaobteners - 1 =t - 1Y los primos P2,. . . ,Ps sonlosmismosqueq2,..., qt,dedondequedaprobadoel teorema.-

GraciasalTeoremaFundamentaldelaAritmtica,cadanmeroen-terodistintodeOy de :i::l tieneunasoladescomposicincannica(ver[2.23]).Agregandopotenciasceroa lasdescomposicionescannicasdedoso msnmerossepuedenusarlosmismosprimosenlasfactoriza-cionesdetodosellos.Por ejemplosi a =675=33x52y b=20=22X 5,entoncespodemosescribira =2x 33X52Y b=22X3x 5. Conestaescrituraesmuyfcildeterminarsi un nmeroesdivisiblepor otroono,comonosdiceel siguienteimportantecorolario,cuyademostracinsedejacomoejercicio.

[2.72]Corolario. Seana = :i::p~lp~2. . .p~kY b = :i::p{lp~2.. .p{k,donde Pl

c. Tambinpor elmismocorolario,c=prl p~2.. .p%k, con cada Ui :::;eiy Ui :::;fi; pero entoncesUi :::;mi para toda i, as que, otra vez por[2.74],cid, de donde c:::; Icl :::;d. .

[2.76] Nota. De la demostracinanteriorpodemosconcluir queelmximo comn divisor d de dos nmerosno cero a y b estcaracteri-zado por las siguientespropiedades:

(i)dla,dlb,y

(ii) si cla y clb entoncescid.

[2.77]Ejemplo. Encontrarel mcd(16500,1050).

Solucin. Tenemosque16500=22 X 3 X 53 X 11 Y que 1050 =2 x 3 X 52X 7, por tanto mcd(16500,1050)=2 x 3 X 52=150. .

[2.78] Ejemplo. Encontrar el mcd(44,531).

Solucin. Como44=22 x 11y 531=32x 59,entoncessetieneque mcd(44,531)=1. .

Es fcilconvencersedequeparacalcularel mximocomndivisorde msde dos nmerospodemosusar [2.55]o simplementeen cadaprimotomarla potenciamenor,comolo muestrael siguienteejemplo.

[2.7,9]Ejemplo. Encontrar el mcd(16500,1050,70).

Solucin. Las descomposicionescannicasde 16500 Y de 1050aparecenenel ejemplo[2.77].Tenemosque70--' 2 x 5 x 7, dedondemcd(16500,1050,70)=21X 3 X 51X 7 x 11=10. .

[2.80] Ejercicio. Probar que mcd(2n- 1,2m- 1) =2d- 1, donded = mcd(n, m). (Sugerencia:Usar [2.11].)

50

.....--

Mnimo comn mltiplo

[2.81] Definicin. Sean al, a2,"', ak enterosno cero. Defini-mos el mnimo comnmltiplo deellos,ensmbolosmcm[al,a2,"', ak]comoel menordetodos los mltiploscomunespositivosdeellos. (Nota:En muchostextos se usa simplementela notacin [al, a2,. . ., ak]')

Ejemplos.(i) Si a =10 Y b = 6,entonceslosmltiplospositivosde a son:

10,20,30,40,50,60,70,etc.;y losde b son:6, 12,18,24,30,36,42,48,60,66,etc. Entoncesmcm[10,6]=30.

(ii) Si a =4, b=6 Y e=10,entoncesmcm[4,6,10]=60.

Al igualqueconel mximocomndivisor,estudiaremosaqusloel mnimocomnmltiplodedosnmerosy dejaremoscomoejercicioparael lectorel casodemsnmeros.La frmularecursivaaques:

[2.82] mcm[al,a2,..., ak]=mcm[al,mcm[a2"'" ak]]'

[2.83]Proposicin. Seana y b enterosnocero.Entonces(i) mcm[a,b]esdivisordecualquiermltiplocomnde a y b.("

) S.

::1::el e2 ek b ::1::h 12 fk 1.

11 1 a = Pl P2 ...Pk Y = Pl P2 ...Pk , con os Pi pn-mas distintos y los ei Y los fi no negativos, entoncesmcm[a,b] =p~l p~2 ',' .p~k , donde,paracadai, Mi =max{ei,fi} (elmximovalorentre ei Y fi)'

(iii) mcd(a,b). mcm[a,b]=labl.Demostracin. La demostracinde (i) y (ii) escomoen la propo-

sicin [2.62]y se deja como ejerciciopara el lector. Para probar (iii),observemosque

labl=p~l+hp~2+12... p~k+fky que,para cada i, min{ei,fi} esuno de los dosvaloresei o fi, ymax{ei,fi} esel otro,demaneraquetambin

mcd(a,b) . mcm[a,b]=p~l+hp~2+12...p~k+fk..

51

....-...

El resultadodel TeoremaFundamentalde la Aritmtica estan claroque ya 10hemosusadode maneraintuitiva en variasocasionese inclu-

sive hemoshablado ya de la descomposicincannicade los nmerosdesdeel principio de esta seccin(ver [2.23]).En los siguientesejem-plos volveremosa usarlo, ahora ya con una mejor comprensinde loque hacemos.Utilizaremos tambinsus corolarios.

[2.84] Ejemplo. Probar que si p es un nmero primo entoncesvPno esun nmeroracional(esdecir,cocientededosenteros).

Solucin. Supongamosque (%)2=p, cona y b primosrelativos.Entoncesa2=b2p,dedondep I a2y,porserp primo,p la. Seaa=pc.Entonces(pc? =b2p,por lo tanto pC2=b2,dedondep lb, lo cualesuna contradiccinpuessupusimosque a y b eranprimos relativos. -

[2.85]Ejemplo.(i) Encontrarla sumadetodoslosdivisorespositivosde360.(ii) Encontrarel productode todoslosdivisorespositivosde360.

(Escribirel resultadocomopotenciade360.)(iii) Proponeruna frmulaparacalcularla sumade los divisores

positivosde n y otra paracalcularel producto,si la descomposicincannicaden esn =p~lp~2. . .p~k.

Solucin.(i) Tenemosque360=23X 32X 5. Sus divisoresson:

2x 3x 5,2x 3X 51,2 X 31X 5,2 X 31X 51,2 X 32X 5,2 X 32X 51,

21X 3x 5,21X 3X 51,21X 31X 5,21 X 31 X 51,21X 32X 5,21X 32X 51,

22X 3x 5 ',22 X 3 X 51,22 X 31 X 5,22 X 31 X 51,22 X 32 X 5,22 X 32 X 51,

23x30x5,23x 3x 51,23x31x5,23x 31X 51,23X 32X 5,23x32x51.

Para considerarla sumavamosa factorizar;al hacerloen la primeracolumnatenemos2(3(5+51)+31(5+ 51)+ 32(5+ 51))=2((3+31+ 32)(5+ 51)).En lasotrascolumnastenemosestomismoexcepto

52

...

quelaspotenciasde2 cambian.Por tantola sumaes

(20+ 21+22+ 23)(30+ 31+32)(50+ 51)=1170.

(ii) Si d /360, entoncestambin 3~01360. As que los divisoresde360se puedenagrupar por parejas (no se da el caso d =3~0pues 360no es un cuadrado as que todos los divisores tienen su pareja). Elproducto de cada pareja d con 3~0es 360. El nmerode parejases lamitad del nmero D de divisoresquees D =4 x 3 x 2=24, as queelresultadoes 36012.

(iii) Procedamosaqu a la inversade (i) observemosqueel producto

(p~+pi + . . . +p~l) . . . (p~+Pk+ .. . +p%k)

nosdalasumadetodoslosdivisorespuescadatrminodeesteproductoseobtienemultiplicandocadatrminodecadafactorconcadaunodelosde losotrosfactores,abarcandoastodoslosdivisoresde n.

El producto de los divisoresde n es n~, dondeD esel nmerodedivisoresden. En elcasoenquen noseauncuadrado,lademostracinde (ii) nossirve.Si n esun cuadrado,entoncesal agruparcomoarriba

D-l r;;; Dporparejas,sobrarvnsin agrupary el productosern~ v n =n 2",tambin.-

[2.86] Ejemplo. Encontrar el mayornmeroenteroqueno tengacifras repetidasy tal que el producto de sus cifras seael cuadradodeotro nmero enterodistinto de cero. [MLPS, 8 Examen Eliminatoriode Michoacn]

Solucin. Primeramenteobservemosque en la descomposicinenproducto de potenciasde primos de un nmeroque es el cuadradodeotro, los factoresprimos debenaparecerelevadosa una potenciapar,por ejemplo144= 122= (22X 3)2 = 24 X 32. Comoel productodelas cifras del nmero que queremosencontrar debe ser un cuadrado,ninguna de talescifras puedeser 5 o 7. Ademsel Ono puedeserunade las cifras puesel producto de las cifras no debeser O. As pues,lascifras quepuedeninterveniren el nmeroson 1,2,3,4,6,8,9.El nmero,por tanto, debetenera lo ms7 cifras;si stefuerael caso,el producto

53

or---

sera1x2x3x4x6x8x9=27X 34, quenoesuncuadrado.Veamossiunnmerode6cifrascumplelo requerido.Paraestobastarobservarsipodemosquitarunodelosdgitosa9864321.Loscuadradosseobtienensloenel casoenquequitemosel 8 o el 2; claramente,quitandoel 2tenemoselnmeroquebuscbamos.La respuestaes986431..

[2.87]Ejercicio. En unalistaestnescritoslosnmerosdel1 al16. Es posibletachar4 de ellosde maneraqueal multiplicarcua-lesquiera2 delos 12quequedenel resultadonoseael cuadradodeunnmeroentero?[LMGV, 16ExamenEstatalSemifinal]

[2.88]Ejemplo. Probarquesi p esun nmeroprimo,entonces

p I (~) para cualquier o < r

[2.90]Ejemplo. Probarqueelconjuntodeprimosesinfinito.

Solucin. Supongamosqueel conjuntode primosP es finito:P = {Pl,P2,...,Pk}. Seaa =PIP2...Pk+1. Por el TeoremaFunda-mentalde la Aritmtica,a sedescomponecomoproductodeprimos;enparticulara tieneunfactorprimoq. Veamosqueq tj.P, conlocualhabremosprobadoquedecualquierconjuntofinitodeprimosquecon-sideremos,forzosamentehabrsiempreunprimofueradenuestralista,concluyendoasqueelconjuntodeprimosnopuedeserfinito.Si q E P,

entoncesq =Pi para alguna i, pero entoncesq 1 a y q I PIP2 . . .Pk, dedonde,por [2.9],q11; comoestoes un absurdo,no es posiblequeqEP. .

[2.91]Ejemplo. Encontrartodaslas temaspitagricas,esdecir,lasternas(x,y,z) deenterosquesatisfacen

X2+ y2=Z2.

Solucin. Observemosprimeroquebastaencontrarlas ternastalesque mcd(x, y, z) = 1 (cualquierotra terna se encuentramultiplicandouna de staspor una constante).Entoncestambinx, y y z sonprimosrelativospor parejas(por [2.9]). Observemosquez nopuedeserpar puesZ2seramltiplode 4, pero,al ser X2 y y2 impares(osea,del,aforma2k+1),lasumadesuscuadradostendraresiduo2aldividirloentre4); entoncesunode x o y espar;digamos,sin prdidade generalidad,que x es impar. Veremosquelas ternaspitagricasestndadaspor:

x =U2 - V2y =2uvz =U2 +V2. } (*)

para u y venteros.Sustituyendoes fcil verquecualquierpareja(u,v) produceuna

ternapitagrica(x,y,z) dadapor (*).Recprocamente,sea(x,y,z) unaternapitagrica.Encontraremos

(u,v) de (*). Tenemosy2 = Z2 - X2 = (z+x)(z- x). Comox55

...---

y z son impares,z + x y z - x sonpares. Adems,si n I z +x yn I z - x, entoncesn I (z+x)+(z- x) =2z y n I (z+x) - (z- x) =2x;pero mcd(x,z) = 1, asquen = 2. Entoncesmcd(z+x,z - x) =2,z+x =2U2y Z- x =2V2,paraciertosenterosu y v. Deaqutenemosque y =2uv, x = 2u2;2v2= U2- V2 y Z = 2U2!2v2 = U2 +V2, comoqueramosprobar. -

[2.92]Ejemplo. Setienenn focosnumeradosdel 1 al n. Supn-gase queestntodosapagadosy queestnconectadoscadauno conun apagador.Una sucesinde n personasva apagandoy prendien-do los focossegnla siguienteregla: la primerapersonacambiadeposicintodoslosapagadores;la segundacambiadeposicinlosapa-gadores2,4,6,8,...; la tercera cambia la posicin de los apagadores3,6,9,12,. . .; assucesivamente,hastala ltimapersonaqueslocam-bia la posicindelapagadorn. Qufocosquedanprendidosal final?

Solucin. El foconmerom cambiadeposicintantasvecescomodivisorestengam. Si k =p~lp~2.. .p~k es la descomposicinde m enpotenciasdeprimosdistintos,entonceselnmerodedivisoresdem esD := (el + 1)(e2+ 1)... (ek+ 1). Entoncesel foconmerom quedarprendidoal finalsi y slosi m tieneun nmeroimpardedivisores,locualequivalea decirquecadaei seapar, ei=2fi, esdecir,quem seaun cuadrado:m = (p{l...p~k)2. -

I

Los siguientesdos ejemplostratan de polinomios. Un problemamuy viejo de Teora de Nmeros tiene que ver con la bsquedade unmtodopara construir primosmedianteuna frmulafcil, por ejemplo,polinomial. En el inciso (iii) delejemploveremosqueestono esposible.La demostracines algo complicada,por lo que convienesaltrselaenuna primera lectura de stasnotas. El segundoejemplotrata de unmtodo muy simple para determinarsi un polinomio con coeficientesenterostieneracesracionaleso no.

[2.93] Ejemplo.(i) Es cierto quesi n es natural entoncesn2 - n +41 esprimo?

56

...

(ii) Probar quesi f(x) =akxk +ak-lxk-l +...+alX +ao es unpolinomiocon coeficientesenterosao,al, . . ., ak, entonceslos valoresquetomaf(x) cuandox varasobrelosenterossonlosmismosquelosquetomaelpolinomiog(x) queseobtienedesustituirx+ 1 enellugarde x en f (x).

(iii) Probarqueningnpolinomionoconstanteconcoeficientesen-terosgenerasloprimos,esdecir,si f(x) =akxk+ak-lxk-l+.. .+alx+aoesun polinomionoconstanteconcoeficientesenterosao,al, . . . ,ak,entoncesexisteun enteron parael cual f(n) noesprimo.

Solucin.

(i) No,puestoqueparan =41,411n2- n+1y n2- n+1>41,.(ii) Losvaloresquetomaf(x) estndadosporlasustitucindeen-

terosenlugardex; perof(x) =g(x-1), puestoquef(x) =g(x+1) y,cuandox varasobrelosenteros,tambinx-1 lohacey recprocamente(porejemplo,paraobtenerelvalorde f(3) bastasustituir2 eng(x)).

(iii) Supongamosque f(x) tomaslovaloresprimos.Entoncesaono puedeser Opuessi lo fuera,entoncesf(O) seraO. Supongamos

que ao =1- ::1::1.En estecaso,comoen el inciso (i), aoIf(tao) para todoenterot. Afirmamosqueexistet para el cual f(tao) =1-::I::aoy conestotendremosqueparaesat, f(tao) nopuedeserprimoporquetieneun factorpropio. Para probarla afirmacinobservemosqueencasocontrario,el polinomiof (x) - aoo elpolinomiof (x)+aotendraunainfinidadderaces,lo cualdiraqueeselpolinomioconstanteO,asquef (x) serael polinomioconstanteao. Con estoconcluimosel casoenque ao=1-::1::1. En el caso en que ao =::1::1, comoarriba,existeunenteros paraelcualeltrminoindependientede f (x+s) noes1ni -1 (puessisiemprelo fuera,entoncesel polinomiof(x) ::1::1 tendraunainfinidadderaces.Usandoentoncesel inciso(ii) y el casoanteriortenemoselresultadopedido.-

[2.94] Ejemplo.(i) Sea f(x) = anxn +an-lXn-l +... +alX +ao un polinomiocon

coeficientesenteros.Probarquesi ~ esrazde f(x) con r y s enteros

primos relativos,entoncesr Iao y s Ian.

57

---

(ii) Usarel incisoanteriorparaencontrara, b Y e talesque

f (x) =X3 - X2- 4x + 4 = (x - a)(x - b)(x - c).

Solucin.

(i) Si ~ esrazdef (x) entonces

(r)

n

(r)

n-l

(r)an -; +an-l -; +...+al -; +ao=o.

Multiplicandopor sn obtenemos

n + n-l + n-l + n Oanr an-lr s ...+alrs aos = .

En todoslostrminosapareces comofactor(inclusoenO)exceptoen

anrn,por lo tantosi anrn.Peromcd(r,s) = 1 Y deaququesi anoDe

maneraanlogaobtenemosquer I ao.(ii) Usando(i) tenemosque los posiblescandidatospara races

racionalesdelpolinomiosondela forma~ con r 14y s 11,esdecir,~ = ::1:1,::1:2::1:4. Sustituyendoestosvaloresen f(x) vemosquelasracesson 1, 2 y -2, dedondef(x) =(x - l)(x - 2)(x+2). .

Ecuaciones diofantinas

Dados a y b enterosno ceroy e un enterocualquiera,encontraremostodaslasparejasdeenteros(x, y) quesatisfacenla ecuacinax+by =c.A estetipo de ecuacionescon coeficientesenteros'y solucionesenterasse les llama ecuacionesdiofantinas. Como vimos en [2.63],un nmeroentero c es combinacin lineal de otros dos a y b si y slo si e esmltiplo del mximocomndivisor de a y b. Sin embargohay muchasformas de escribir un nmero como combinacinlineal de otros dos

como observamosen [2.8]y en los ejercicios[2.13]y [2.14],en los quepudimos proceder "al tanteo" puesto que los nmeros no eran muygrandes. En casosms complicadospodemosrecurrir al Algoritmo deEuclides; sin embargo,de esta maneraslo podemosencontraruna ounas cuantassolucionesde la ecuacin. Para poder determinartodas

58

..

lassolucionesexaminaremosprimeroel casoenquee seaO.

[2.95]Proposicin. El conjuntode solucionesde una ecuacindiofantina

ax+by=Ocon a y b primos entres estdado por:

x = -bty =at,

cont entero.

Demostracin. Primeroprobemosquesi t es entero,entonces(-bt, at) es solucin;para ello bastasustituir en la ecuacin:a(-bt) +b(at) = O. Ahora veamosquecualquiersolucinesdeesaforma,esdecir, que si (xo, Yo) es solucin, entonces existe to entero tal que Xo =-bto Y Yo=ato: Tenemosqueaxo+byo= O,dedonde(*) axo= -byoy as al - byo;pero a y b sonprimosrelativos,dedonde,por [2.57],a IYo, es decir, Yo = ato para algnenteroto. Sustituyendoen (*)tenemosque axo =-b( ato);ahoracancelamosa enestaecuacinparaobtenerXo=-bto, comoqueramos.-

En la proposicin[2.95]aparececomohiptesisel que los coefi-cientesqe las variablesseanprimosentres. En el casoen queno losean,hayotrassolucionesapartedelasdela proposicin;porejemplo,6x + 4y = O tienecomosolucina (-2,3). El casogeneral(a y bno necesariamenteprimosrelativos)sededucemuyfcilmentedel de[2.95]puestoda ecuacinax + by=O es equivalente(esdecir,tieneel mismo conjunto solucin) a una ecuacin a'x +b'y=O en la cuallos coeficientessonprimosrelativos:simplementese toma a' =~yb'=~,donded =mcd(a,b); en otras palabras, se divide la ecuacinax + by=O entre d. En resumen,tenemosel siguientecorolario.

[2.96] Corolario. Sean a y b enterosdistintos de O y sea d su

mximocomndivisor.Seana' =~ y b'=~.Entonceslas soluciones59

..........

dela ecuacinax+by=Oestndadasporx - -b't- ,y =a't,

dondet escualquierentero.-

Geomtricamente,sabemosqueelconjuntodesoluciones(nonece-sariamenteenteras)de una ecuacinax + by = O se representaenel plano por una rectapor el origen. Las solucionesenteras(pun-tosdecoordenadasenterassobrela recta)sonpuntosdistribuidosho-mogneamentesobrela rectacomoseilustraenelejemplosiguiente.

[2.97] Ejemplo. Encontrar todaslas solucionesenterasdela ecua-cin 4x+ 6y=O Y hacerun dibujo de ellas en el plano.

Solucin. La ecuacinesequivalentea 2x+3y=O.Porelcorolarioanterior,lassolucionesenterassonlasparejas(-3t, 2t), con t entero.El dibujoesel siguiente:

"',~~6,4)

""'~~' 2)

"",1(0, O), , ,

,

(3,~2~"""

(6,-4~'"

Nos apoyaremosen el corolarioanteriorpara obtenerlas solucionesdela ecuacinax+ by=e (con e arbitraria).

[2.98] Proposicin. Sean a y b enterosdistintos de Oy sea d sumximo comn divisor. Sea e un enteromltiplo de d: e =de'. Sean60

."

a' = J y b'=~.Si (Xl,YI) esunasolucinparticularde la ecuacinax+by= c, entonceselconjuntosolucindela mismaecuacinestdadopor

X =Xl - b't,Y =YI +a't,

dondet escualquierentero.

Demostracin. Probemosprimeroquecualquierparejacomoenel enunciadoessolucinusandoque (Xl,y) essoluciny el corolarioanterior: a(xl-b't)+b(YI +a't) = (axI +by)+(a(-b't)+b(a't)) =c+O=c. Ahoraprobemosquecualquiersolucinesdela formapropuestaenelenunciado:Sea(X2,Y2)solucindelaecuacin;queremosverqueexisteun enteros tal queX2=Xl - b's y Y2=YI+a's, o,equivalentemente,que X2- Xl = -b' s y Y2- YI = a's,; porelcorolario[2.96],bastaprobarque (X2- Xl, Y2- YI) es solucin de ax + by = O, peroestoesfcil:a(x2- x) +b(Y2- YI) =(ax2+bY2)- (axI +by)=c - c =O. .

El resultadoanteriornosdicequelassolucionesdelaecuacinax+by = c se puedenobtenersumandoa las solucionesde la ecuacinax + by = O una solucinparticular de la ecuacinax + by=c. Esteresultado tiene una interpretacingeomtricainteresante:Los puntosde coordenadasenterasen la recta Re determinadapor la ecuacinax + by=c seobtienentrasladandolosde la rectaRo determinada

I

por ax+ by=Omedianteun puntodeRe (verla figura).

Re

Ro,,-

61

...--..

[2.99]Ejemplo. Encontrartodaslassolucionesenterasdelaecua-cin 4x+ 6y= 8 Y hacerun dibujodeellasenelplano.

Solucin. Comomcd(4,6) =2 Y 218,laecuacins tienesolucin.Dividiendoentre2, transformemosla ecuacinenotra ecuacinequi-valenteperoconcoeficientesprimosentres: 2x+ 3y = 4. Comolosnmerossonpequeosenestecaso,encontremosal tanteounasolucinparticular,por ejemplo(2,O). Entonces,por la proposicin[2.98]elconjuntodesolucioneses(2- 3t,2t),cont entero.Estoes,variandot = ..., -3, -2, -1, 0,1,2,... tenemoselconjuntodesoluciones:

. .., (11,-6), (8,-4), (5,-2), (2,O),(-1,2), (-4,4), ...

El dibujoes:

-4,4)

62

-

Ejercicios

[2.100]Ejercicio. Compararel conjuntosolucinquese da elejemplo[2.99]conlasolucinquehubieradadosisehubieraconsideradola solucinparticular(-1,2) enlugarde (2,O).

[2.101]Ejercicio. Encontrartodaslas solucionesenterasde laecuacin

282x- 195y=7Y hacerun dibujodeellasenelplano.

[2.102]Ejercicio. Encontrartodaslas solucionesenterasde laecuacin

282x- 195y =15Y hacerun dibujodeellasenel