Objetivo General.

1. Compilar la teoría básica en un único documento destinado al estudiante defísica, matemática o ciencias en general; como apoyo bibliográ�co paracursos sobre teoría de números.

Objetivos Especí�cos.

1. Reunir en un único tratado los tópicos fundamentales y recurrentes en losprogramas de teoría de números, con la �nalidad de dirigirlo a estudiantescomo material bibliográ�co, para apoyo de la asignatura y consulta.

2. Mostrar en un lenguaje sencillo los principales resultados de la teoría denúmeros, acompañado de buena ejercitación, además de algunas aplica-ciones y actualizaciones en este campo.

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Introducción

La teoría de números o aritmética como también es llamada es quizás juntocon la geometría la rama de la matemática más antigua, pero a diferencia de estaen la cual pueden recrearse formas y cuerpos para ser estudiados, la aritméticasuele ser árida, abstracta y desprovista de atractivo para casi cualquier lector,muchos matemáticos han llamado a la teoría de números como la rama másdifícil de esta ciencia, otros le han dado el título de Reina de las matemáticas,sea cual sea el cali�cativo la aritmética siempre ha estado rodeada de un aura demisticismo y escepticismo para el lector. A pesar de que esta rama cuenta conun gran campo de aplicación en disciplinas como la computación, criptografía,�nanzas, biología, física y las matemáticas mismas. Sin mencionar que ha en-gendrado los problemas más famosos y difíciles de las matemáticas, algunos aunsin solución en la actualidad; así también ha dado lugar a la creación de nuevas ymodernas ramas de las matemáticas tales como: la teoría analítica de números,la teoría algebraica de números, teoría de curvas elípticas, entre otras.

La teoría de números no es propia de un nivel particular de educación,podemos encontrar tópicos de ésta desde la escuela primaria hasta la univer-sidad. Propiamente dicho, en nuestro país se forman profesionales en educacióncon mención en matemáticas donde deben estudiar teoría de números. Es pre-cisamente por estos últimos que escribimos este trabajo.

Por las características socioculturales y económicas de nuestro país, es difícilacceder a bibliografía actualizada y adecuada para ciertos niveles educativos ypara determinados �nes académicos, motivados por esta causa hemos decididoescribir este trabajo compilatorio en su gran medida, pero con las particulari-dades de: mostrar la teoría expuesta con una claridad de lenguaje y explicaciónpaso a paso, presentar una variedad de ejercicios resueltos y otra gama de ejer-cicios propuestos con su respuesta o sugerencias para su solución, un materialautosu�ciente en el sentido que cada capítulo dota de lo necesario para el sigu-iente sin la necesidad de recurrir a otros medios y �nalmente las aplicaciones aotras ciencias o dentro de las matemáticas mismas y los resultados más recientesen esta rama.

La intención de este documento es crear, no un recetario sino, un mediodidáctico-técnico, dirigido a estudiantes de nivel universitario que tengan queenfrentarse a un curso de teoría de números, pues aquí podrán adquirir unaformación teórica-práctica en cuanto a conocimiento teórico y estrategia parala solución de problemas.

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Reseña Histórica De La Teoría De Números.

Construyendo el número

Hoy en día encontramos números en casi cualquier disciplina cientí�ca, tec-nología o incluso en el ambiente ordinario, pero este conjunto de grafos son elresultado de mucho tiempo de evolución y complejas relaciones culturales quedatan desde tiempos del origen de la humanidad misma.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad prácticade contar los objetos. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios quese disponía: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Huellas de estos se hanconservado en las denominaciones de los cálculos matemáticos: Por ejemplo,calculus en su traducción del latín signi�ca cuenta con piedras. Debido a losmedios utilizados para contar, la serie natural se concebía �nita y se contaba de5 en 5 (para el caso de los dedos de las manos) y luego se iniciaba nuevamentela cuenta formando paquetes de 5. Presumiblemente esta sea la razón de tenerun sistema decimal por poseer 10 dedos en las manos utilizados como mediosde cálculo.

Junto a la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron sussímbolos, y los propios números formaron sistemas. Para los primeros períodosde la historia de la humanidad es característico encontrarse con una diversidadde sistemas numéricos. Que paulatinamente se perfeccionaron y uni�caron comoconsecuencia de las interacciones culturales entre las distintas razas.

Algunos ejemplos se muestran en las �guras siguientes:

Numeración Egipcia

3

Numeración Eslava

Nuestros numerales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9) se suelen llamar árabes oarábigos a pesar que se parecen muy poco a los utilizados en los países de laregión árabe como Egipto, Irak, Siria, Arabia, etc. Pero esta denominaciónde números arábigos se debe a que los principios en los que se basan los dossistemas es el mismo y a que los signos usados pueden haberse derivado de losárabes.

Con esta universalización del sistema numérico, la conciencia del número sevolvió lo su�cientemente extendida y clara como para llegar al punto de sentirla necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al inicio presumible-mente solo en un lenguaje simbólico.

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Nacimiento De La Aritmética

La aritmética de la traducción griega arihtmos o número tiene su origen en elmisticismo numerológico de los griegos o más especí�camente de la escuela de lospitagóricos. Los pitagóricos fueron con mucha seguridad los primeros en estudiaralgunas de las propiedades de los números y a dar las primeras clasi�cacionescomo pares, impares, primos, compuestos, números �gurados, entre otros.

En la época moderna la Aritmética o Teoría de números como también esllamada se concibe como la rama de las matemáticas encargada de estudiar laspropiedades de los números naturales (0, 1, 2,. . . ) o enteros (. . . ,-2, -1, 0, 1,2,. . . ). Entre las propiedades de mayor interés se cuentan: la divisibilidad ycuando un número es primo o compuesto.

La época de Euclides

Cercano al 300 a .c ocurrió uno de los principales sucesos para la historia delas matemáticas, la aparición de los Elementos de Euclides obra monumental de13 libros que recoge el conocimiento matemático alcanzado hasta la época, quesacaría a la aritmética de la numerología y del misticismo, para convertirla enuna ciencia estricta y deductiva. Existe la concepción errónea que los elementoses una obra enteramente dedicada a la geometría, los libros VII, VIII y IX estándedicados enteramente a la teoría de números.

El libro VII comienza con dos proposiciones que constituyen lo que hoyconocemos como el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisorde dos números dados. El libro VIII trata las propiedades de los cuadrados y loscubos. Y por último y el que posee un interés especial el libro IX, que contiene elteorema y la demostración del mismo sobre la in�nitud de los primos. Tambiénatacó el problema de los números perfectos, dando la demostración de que todonúmero perfecto es de la forma 2p�1 (2p � 1),en donde p y 2p�1 son primos. Dosmil años más tarde Euler demostró el recíproco del teorema diciendo que todonúmero par perfecto debe ser del tipo descrito por Euclides.

Por ejemplo. Para 6 tenemos:

6 = 22�1�22 � 1

�= 2 � 3

Todo número de la forma 2p�1, en donde p es primo se conocen como númerosde Mersenne, que los estudió en 1644. Aún hoy no se conoce si existen númerosperfectos impares.

La Aritmética De Diofanto

Los 250 años que siguieron a la desaparición de Euclides la teoría de númerosentró en un periodo de oscuridad hasta la llegada de Diofanto de Alejandría,quién publicó 13 libros, de los cuales se han conservado 6.

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La aritmética de Diofanto en lo que ha llegado hasta nosotros, está dedicadacasi completamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e inde-terminadas. Una de los principales aportes de Diofanto a las matemáticas fuehaber introducido la notación algebraica que precedió a lo que hoy utilizamos.La arithmetica no consiste en exposición sistemática sobre las operaciones ofunciones algebraicas, sino en una colección de 150 problemas, resueltos todosen términos de ejemplos numéricos completos y especí�cos.

Diofanto fue hábil para resolver ecuaciones algebraicas con dos o tres incóg-nitas. Muchos de estos problemas se originaron en la teoría de números y a él lepareció natural encontrar soluciones enteras. Las ecuaciones que deben ser re-sueltas por medio de valores enteros reciben el nombre de ecuaciones difánticasy el estudio de tales ecuaciones análisis diofántico.

Pierre de Fermat y La Teoría De Números

El trabajo de Diofanto encuentra en el siglo diecisiete a su mejor intérprete,Pierre de Fermat quien se convertiría en el creador de la moderna teoría denúmeros.

Dentro de los resultados obtenidos por Fermat tenemos que a�rmaba quelos números de la forma fn = 22

n

+ 1 es un número primo 8n 2 N, pero estaconjetura resulto errónea, Euler demostraría que para n = 5 es compuesto.

El conocido teorema de Pitágoras, inspiró el resultado más famoso y quizásel más difícil planteado por Fermat. El llamado último teorema de Fermat, laecuación diofántica x2 + y2 = z2; 8n > 2 , no tiene solución en los númerosenteros. Este fue un problema que se resistió 350 años a las mejores mentesmatemáticas hasta que un joven matemático inglés, Andrew Wiles, en mayode 1995 publicará un artículo de 130 páginas en Annals of Mathematics con lasolución al problema.

Aunque tal vez menos impresionante, pero otra gran paso en la teoría denúmeros debido a Fermat es el pequeño teorema que lleva su nombre: si p esprimo positivo y a es un entero coprimo de p, entonces p divide a, ap�1 � 1 óap�1 � 1mod p , cuya demostración se la debemos a Euler.

Fermat logró verdaderos y muy profundos avances en esta rama de lasmatemáticas, a pesar que su forma de razonar era muy intuitiva y casi nuncadaba una demostración general, sin embargo dio algunas muy interesantes paralos siguientes teoremas:

Todo número entero o es un número triangular o una suma de 2 ó 3 númerostriangulares; todo entero o es cuadrático o suma de 2, 3, ó 4 cuadráticos; todonúmero o es pentagonal o es suma de 2, 3, 4 ó 5 pentagonales, y así sucesiva-mente.

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También se le debe el resultado de que todo número primo de la forma 4n+1,es suma de dos cuadrados.

Por ejemplo.

5 = 12 + 22; 13 = 22 + 32; 17 = 12 + 42

Un nuevo rumbo para La Aritmética

Posterior al trabajo de Fermat, resuenan los nombres de las que quizás seanlas �guras más representativas de la moderna teoría de números: Leonard Euler(1707-1783), Lagrange (1763-1813), K.F Gauss ( 1777-1855) y Dirichlet (1805-1859).

Gracias a Euler se veri�caron o refutaron algunos de los ya mencionadosproblemas planteados por Fermat. Dictada por Euler, ya ciego, alrededor delaño 1767, la Aritmética Universal apareció, obra monográ�ca que consta de dospartes; en los tres parágrafos de la primera parte dirigió una atención especiala las reglas de resolución de problemas aritméticos y al desarrollo del aparatosimbólico-lingüístico del álgebra. El último parágrafo incluye preferentementelos métodos para buscar soluciones enteras de las ecuaciones indeterminadasde primer grado y grados superiores. Aquí se le agrega la resolución del granteorema de Fermat para n = 3 y n = 4:

Todo hace indicar que la motivación especial por la teoría de números,provino de la correspondencia mantenida entre Euler y Goldbach otro brillantematemático. En una de estas cartas, fechada de 1 de diciembre de 1729, Gold-bach pregunta a Euler si conoce el resultado donde Fermat a�rma que todonúmero de la forma fn = 22

n

+ 1 es primo, Euler contesta con un contra ejem-plo, f5 = 22

5

+ 1 = 4294967297; el cual es divisible por 641 refutando así elresultado de Fermat.

Además de este hecho demostró el pequeño teorema de Fermat, introdujola función '(m); cuyos valores son iguales a la cantidad de números menoresque m y que son coprimos con él, en 1722 creó la ley de reciprocidad cuadráticay todo lo concerniente al problema de la representación de números en formascuadráticas.

Los trabajos de Euler determinaron la problemática, la estructura, y losmétodos de la teoría algebraica de los números.

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Después de Euler, la ley de reciprocidad cuadrática la demostró Legendre(dio una demostración incompleta). Gauss, hasta el año 1801 dio ocho demostra-ciones de esta ley. No obstante Legendre en 1880 encontró la forma más cómodade escribir esta ley: �

p

q

��q

p

�= (�1)

p�12 ; q�12

Entre los problemas aditivos de la teoría de números, propuestos en el sigloXVIII, se encuentra también el problema de Waring (1770), cualquier númeronatural n � 2 es representable como la suma de n��esimas potencias de númerosnaturales, además el número r de términos de la suma depende solo de n. Waringno dio su demostración. Como en la mayoría de los problemas de la teoría denúmeros, el éxito se logró con mucha di�cultad. Así, Lagrange demostró quesi n = 2, entonces r = 4: Posterior a esto se encontraron otros resultadosparticulares hasta que en 1909, Hilbert dio la primera demostración general.

En los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre, Lambert y otros matemáticos,fueron elaborados y re�nados numerosos e ingeniosos métodos de la teoría denúmeros, tanto algebraicos como analíticos. Todas estas investigaciones, natu-ralmente, necesitaban sistematización, reducción a una estructura lógica y bienestructurada de manera original. Esta dura tarea fue iniciada por Legendre enlos años de 1797-1798 que tituló �Experiencia de la teoría de números�, teniendocomo objetivo construir un sistema de resultados sobre las propiedades de losnúmeros enteros. En posteriores ediciones fue completado con el trabajo deGauss, Abel y otros brillantes matemáticos del siglo XIX. En esta presentaciónestá contenida el enorme cúmulo de conocimiento sobre teoría de números, loque le da un signi�cado histórico y un signi�cado intelectual invaluable comoguía para iniciar el camino de los números.

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1 Números Enteros Naturales

"Dios hizo los números naturales; el resto es obra del hombre"Leopold Kronecker.

En este capítulo abordaremos los principios fundamentales que rigen a losnúmeros naturales, El principio del buen orden y el Principio de Inducciónmatemática. Además de estudiar el sistema de los naturales desde la ópticaaxiomática de Peano.

1.1 Principio del Buen Orden (PBO)

1.1.1 De�nición. Decimos que a es mayor que b (simbolizado a > b), si laecuación b + x = a es soluble para algún número natural x.(para el casox = 0, se obtiene la igualdad b = a)

La relación a es mayor que b, puede expresarse equivalentemente así: b < a

La relación "mayor que" antes de�nida tiene las siguientes propiedades:

1. Tricotomía. Una y solamente una de las relaciones siguientes debe cumplirse:

a > b; a = b; a < b

Demostración.Supongamos que se cumplen a > b y a = b: De la de�nición de mayor,

tenemos la existencia de algún x natural, tal que a = b + x, por hipótesisy transitividad se sigue que b = b + x, lo cual es absurdo. Ahora supongamoscomo cierto que a < b y a = b; análogamente, se tiene un x tal que b = a+x, porhipótesis y transitividad de la igualdad pasa que a = a+ x; lo que nuevamentees absurdo. Así, puede concluirse que solo una de las relaciones puede cumplirse�

2. Propiedad transitiva.

Si a > b y b > c; entonces a > c

Demostración. Si a > b y b > c, esto implica la existencia de naturalesx y y tales que a = b + x y b = c + y: Podemos entonces reemplazar b porc+ y en la primera ecuación así: a = (c+ y) + x = c+ (y + x) ; por propiedadasociativa. Sin embargo (y + x) = z es un número natural por cerradura de laadición. Esto prueba que a = c+ z y por tanto a > c �

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3. Si a > b; entonces a+ c > b+ c

Demostración.Para realizar esta demostración empezaremos por escribirla en la forma sim-

bólica:Si a > b =) a+ c > b+ c

Tomando su contrarrecíproco

� (a+ c > b+ c ) =) � (a > b)

que equivalentemente es

a+ c � b+ c =) a � b

Aquí el símbolo � lo utilizamos a �n de simpli�car la escritura de " < ó = "

i.a+ c < b+ c =) a+ c+ x = b+ c def. mayor que

=) a+ x = b prop. cancelativa=) a < b def. mayor que

ii. Si a+ c = b+ c; entonces a = b por la propiedad cancelativa. �

La demostración de la propiedad número 3 se realizó en la base de la leycancelativa, de la cual se dará una demostración más adelante.

Principio de Buen Orden (PBO): Cualquier conjunto de números nat-urales que contenga al menos un elemento, contiene un elemento mínimo.

1.1.1 Teorema. No hay ningún natural entre 0 y 1.

Demostración.Supongamos que existe un número a; con la siguiente propiedad, 0 < a < 1.

Entonces, existe un conjunto A no vacío de elementos menores que 1: Luego,por PBO, A tiene elemento mínimo, llamémosle m; será tal que 0 < m < 1:Mutiplicando toda la desigualdad por m, 0 < m2 < m: Entonces m2 es otronatural del conjunto A, menor que el supuesto elemento mínimo de A. Estacontradicción demuestra el teorema. �

1.1.2 Teorema : Un conjunto H de enteros naturales que incluya al 1 y queincluya al n+1 siempre que incluya al n; incluye también a cualquierentero natural.

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Demostración.La prueba consiste en demostrar que el conjunto H 0 de los naturales que

no están en H es vacío, esto es H 0 = fx 2 N : x =2 Hg = �: Supongamos locontrario, esto es H 0 contiene al menos un elemento; luego por PBO, H 0 tieneelemento mínimo m: Pero m 6= 1; por hipótesis 1 2 H; luego por el teoremaanterior m > 1; y m � 1 > 1: Además 1 < m � 1 < m; resulta que, como mes elemento mínimo de H 0; m � 1 debe estar en H. Según la hipótesis puedededucirse que (m� 1) + 1 = m 2 H. Lo que contradice nuestro supuesto. �

1.2 Principio de Inducción Matemática (PIM)

1.2.1 Teorema. Principio de inducción Completa. Asociemos a cadanúmero natural n una proposición P (n), la cual puede ser verdadera ofalsa. Si, primero, P (1) es verdadera y, segundo, para cualquier k laverdad de P (k) implica la de P (k + 1) ; entonces P (n) es verdadera paratodo natural n:

Demostración.Una proposición P (n) ; es válida para todo número natural n si:

1. Es válida para n = 1

2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se deduce suvalidez para n = k + 1

Supongamos lo contrario, es decir, que la proposición no es válida paracualquier número natural n: Entonces, existe un número natural n0 tal que,la proposición es falsa; por la condición 1. n0 6= 1: Luego, existe un númeronatural n1 tal que n0 = n1 + 1: A�rmamos que

n0 > n1 y Pn1 es falsa:

Porque n1 < n1+1 = n0 y si Pn1 es verdadera, entonces por la condición 2la proposición Pn1+1 = Pn0 sería verdadera, lo cual contradice nuestro supuesto.(existe un número natural n0 tal que, la proposición es falsa). Aplicando a n1 elmismo razonamiento que a n0; encontramos que existe un número natural n2;tal que

n0 > n1 > n2 y Pn2 es falsa

continuando de esta manera obtenemos una sucesión in�nita decreciente denúmeros naturales

n0 > n1 > n2 > n3 > � � � > ni > � � �

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Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de números naturalestiene elemento mínimo (PBO). �

La demostración se ha podido completar en la base del PBO, así mismo,tomando como fundamento el PIM puede probarse el PBO.

Ejemplos de algunas demostraciones usando PIM

1. Demuéstrese que para todo natural n, la suma de los primeros n términos es

n (n+ 1)

2

Demostración.

1 + 2 + 3 + � � �+ n = n (n+ 1)

2

Primeramente veri�camos el caso particular n = 1, esto es

1 =1 (1 + 1)

2=2

2= 1

Por tanto, P1 es válida.

Ahora, supongamos que Pk es válida. Entonces la hipótesis de inducción es:

1 + 2 + 3 + � � �+ k = k (k + 1)

2

Nuestro objetivo es demostrar la validez de Pk+1; esto es

1 + 2 + 3 + � � �+ (k + 1) = (k + 1) [(k + 1) + 1]

2

Reescribiendo el primer término de la igualdad y aplicando la hipótesis induc-tiva; como sigue:

(1 + 2 + 3 + � � �+ k) + k + 1 Agrupamos los primeros k términos(1 + 2 + 3 + � � �+ k) + (k + 1) = k(k+1)

2 + (k + 1) hipótesis de inducción(1 + 2 + 3 + � � �+ k) + (k + 1) = k(k+1)+2(k+1)

2 Suma de naturales(1 + +3 + � � �+ k) + (k + 1) = (K+1)(k+2)

2 P. Distributiva(1 + 2 + 3 + � � �+ k) + (k + 1) = (k+1)[(k+1)+1]

2 k + 2 = (k + 1) + 1

Con lo que se demuestra que Pk+1 es cierta. �

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2. Demuéstre la validez de la siguiente a�rmación:

2 + 4 + 6 + � � �+ 2n = n(n+ 1)

Demostración.Para el caso particular n = 1

2 = 1(1 + 1) = 2

por tanto la proposición es verdadera para n = 1

Suponiendo la validez de la expresión para algún k 2 N. La hipótesis resulta

2 + 4 + 6 + � � �+ 2k = k(k + 1)Así, la tesis a probar es

2 + 4 + 6 + � � �+ 2 (k + 1) = (k + 1) [(k + 1) + 1]Luego

(2 + 4 + 6 + � � �+ 2k) + 2 (k + 1) Agrupamos los primeros k términos(2 + 4 + 6 + � � �+ 2k) + 2 (k + 1) = k(k + 1) + 2 (k + 1) hipótesis de inducción(2 + 4 + 6 + � � �+ 2k) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2) P. Distributiva(2 + 4 + 6 + � � �+ 2k) + 2 (k + 1) = (k + 1) [(k + 1) + 1] k + 2 = (k + 1) + 1

Con lo que se demuestra que Pk+1 es cierta. �

1.3 Números Naturales y Axiomas de Peano

Se de�ne el conjunto N de los números naturales como un conjunto que veri�calos cinco axiomas siguientes:

1. Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0), esto es,

0 2 N

2. Existe la aplicación siguiente, sig : N �! N :

sig : N �! N; 8n 2 N; sig (n) 2 N

3. El cero no es imagen por la aplicación siguiente:

8n 2 N; sig (n) 6= 0

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4. La aplicación siguiente es inyectiva:

8n;m 2 N; si sig (n) = sig (m) =) n = m

5. Se veri�ca la inducción completa: Si S � N y satisface

0 2 S8n 2 S =) sig (n) 2 S

�=) S = N

A partir de estos cinco axiomas, y usando sistemáticamente la induccióncompleta, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.

1.3.1 De�nición. De�nimos la suma de números naturales como una apli-cación + : N � N �! N; de forma tal que (n;m) �! n + m y secumple que:

1. 0 +m = m

2. sig(n) +m = sig (n+m)

Tomemos por ejemplo: n = 1 y m = 3 e ilustremos las dos condicionesanteriores.

0 + 3 = 3

sig (1) + 3 = 2 + 3 = 5 = sig (1 + 3) = sig (4)

1.3.2 De�nición. De�nimos la multiplicación de números naturales como unaaplicación � : N�N �! N; de forma tal que (n;m) �! n �m y se cumpleque:

1. 0 �m = 0

2. m � sig(n) = m � n+m

Tomemos por ejemplo: n = 2 y m = 3 e ilustremos las dos condiciones.

0 � 3 = 0

3 � sig (2) = 3 � 2 + 3 = 6 + 3 = 9

1.3.1 Teorema.

Se veri�can las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para lasuma de números naturales:

1. Propiedad asociativa: 8a; b; c 2 N; (a+ b) + c = a+ (b+ c)

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2. Propiedad conmutativa: 8a; b 2 N; a+ b = b+ a

3. Propiedad cancelativa: 8a; b; c 2 N; a+ c = b+ c =) a = b

Demostración:

1. Propiedad Asociativa. 8a; b; c 2 N; (a+ b) + c = a+ (b+ c)

Haremos inducción sobre a:

Si a = 0; entonces

(0 + b) + c = b+ c = 0 + (b+ c)

podemos asumir, la hipótesis de inducción

(a+ b) + c = a+ (b+ c)

Ahora debemos probar para sig(a) = a+ 1, esto es

[sig (a) + b] + c = sig (a) + (b+ c)

[sig (a) + b] + c =) sig (a+ b) + c def. de sig=) sig [(a+ b) + c] def. de sig=) sig [a+ (b+ c)] hip. inductiva=) sig (a) + (b+ c) def. de sig

2. Propiedad Conmutativa: 8a; b 2 N; a+ b = b+ a

Haremos inducción sobre a:Si a = 0, entonces

0 + b = b = 0 + b

podemos asumir, la hipótesis de inducción

a+ b = b+ a

Ahora debemos probar para sig(a) = a+ 1, esto es

sig (a) + b = b+ sig (a)

sig (a) + b =) sig(a+ b) def. sig=) sig (b+ a) hip. inductiva=) (b+ a) + 1 def. sig=) b+ (a+ 1) prop. asociativa=) b+ sig(a) def. sig

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3. Propiedad Cancelativa: 8a; b; c 2 N; a+ c = b+ c =) a = b

Haremos esta demostración haciendo inducción sobre c:Si c = 0; entonces

a+ 0 = b+ 0 =) a = b

Asumimos la hipótesis inductiva

a+ c = b+ c =) a = b

Ahora debemos probar para sig(c) = c+ 1; esto es

a+ (c+ 1) = b+ (c+ 1) =) a = b

a+ (c+ 1) = b+ (c+ 1) =) (a+ c) + 1 = (b+ c) + 1 prop. asociativa=) sig (a+ c) = sig (b+ c) def. siguiente=) a+ c = b+ c inyectividad de la aplicación sig=) a = c hipótesis inductiva

1.3.2 Teorema.

Se veri�can las propiedades asociativa, conmutativa, cancelativa y distribu-tiva (respecto a la suma) para el producto de números naturales:

1. Propiedad asociativa: 8a; b; c 2 N; (ab)c = a(bc)

2. Propiedad conmutativa: 8a; b 2 N; ab = ba

3. Propiedad cancelativa: 8a; b; c 2 N; ac = bc =) a = b

4. Propiedad didtributiva: 8a; b; c 2 N; a (b+ c) = ab+ ac

1.4 Exponenciación en N

1.4.1 De�nición. Para cualesquiera números naturales a y n se tiene que:

i.

an : = a � a � a � a � � � a| {z }n� veces

ii.a0 = 1

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iii.

asig(n) = an � a

1.4.1 Teorema. 8a; b 2 N y para cualquier m;n 2 N :

1.aman = am+n

2.(am)

n= am�n

3.(ab)

n= anbn

Demostración:

1. Vamos a probar la primera parte del teorema 1.4.1, esto es: aman = am+n

i) Para n = 0; la propiedad es válida puesto que: am+0 = am = am1 = ama0:

ii) Ahora vamos a suponer que existen números a;m; n tales que no cumplenla propiedad, es decir: aman 6= am+n

Por lo dicho en i) n 6= 0 y por lo tanto debe existir n1 de forma que n1+1 = n:Se sigue entonces que

n > n1 y aman1 6= am+n1

Esto último porque n1 < n1 + 1 = n y si aman1 = am+n1 ; entonces aman =aman1+1 = (aman1) a1 = (am+n1) a1 = am+(n1+1) = am+n; que contradicenuestro supuesto inicial.Aplicando el mismo razonamiento a n1 encontramos otro número natural n2

tal que

n > n1 > n2 y aman1 6= am+n1

Continuamos de este modo para cada ni; encontramos que existe una suce-sión in�nita decreciente n > n1 > n2 > n3 > ::: > ni > ::: de números naturales.Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de números naturalestiene elemento mínimo (PBO). Por lo tanto, aman = am+n para cualesquieranúmeros naturales m;n y a:

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2. Continuaremos con la segunda parte del teorema: (am)n = am�n

Particularmente, n = 0 tenemos la clara igualdad; (am)0 = 1 = a0 = am�0

en el caso n = 1; también veri�camos que; (am)1 = am = am�1

Así, asumimos que esto es cierto para algún número natural k; nuestrahipótesis inductiva es entonces; (am)k = am�k

debemos probar que es cierta para sig (k) = k + 1; i.e, (am)k+1 = am(k+1)

Procedemos como sigue:

(am)k+1

= am � am � am � am � � � am| {z } = (am � am � am � � � am)| {z } �am = (am)k � am = amk � am(k + 1)� veces k � veces

esto por de�nición de potencia e hipótesis inductiva. Luego por la parte 1)del teorema, tenemos lo siguiente:

amk � am = akm+m = am(k+1)

que es lo que queriamos demostrar, por tanto (am)n = am�n es válido,8a;m; n 2 N: �

La tercera parte, para completar el teorema, queda como ejercicio.

18

1.5 Ejercicios resueltos sobre axiomas de Peano e Induc-ción.

1. De�nimos la relación "menor o igual que" (�) de modo siguiente: 8a; b 2N; a � b() 9x 2 N : a+ x = b:

Probar que (�) es relación de orden, es decir, es re�exiva, antisimétrica ytransitiva.

Demostración.

i. Es re�exiva: 8a 2 N;9 0 2 N : a+ 0 = 0 + a = a =) a � a

ii. Antisimétrica: 8a; b 2 N; a � b ^ b � a =) a = b

Si a � b =) 9 x 2 N : a + x = b; luego, Si b � a =) 9 y 2 N : b + y = a;Escribamos ahora: a+ x = b = b+ (y + x) =) y = x = 0 y de aquí a = b

iii. Transitiva: Si a � b ^ b � c =) a � c:

Si a � b =) 9 x 2 N : a+x = b ^ si b � c =) 9 y 2 N : b+ y = c; entoncesc = b+y = (a+ x)+y = a+(x+ y) ; es decir existe el número (x+ y) = z 2 N;tal que c = a+ z =) a � c: �

2. Ningún número natural coincide con su siguiente: 8n 2 N; n 6= sig (n)

Demostración.Sea A = fn 2 N : n 6= sig (n)g : Veamos que tal conjunto coincide con N:

� 0 2 A; puesto que por axioma 3 0 6= sig (0)

� 8n 2 A;n 6= sig(n) =) sig(n) 6= sig(sig(n)) , por axioma 4 (inyectividadde la función siguiente). Luego sig(n) 2 A

Y del axioma quinto, se sigue que A = N:

3. Todo número natural es estrictamente menor que su siguiente: 8a 2 N; a <sig (a)

Demostración.sig (a) = sig (0 + a) = sig (0)+a =) 9 sig (0) 2 N : a+sig (0) = sig (a) =)

a � sig (a) ; por el ejercicio anterior tenemos que n 6= sig(n); por tanto:a � sig (a) ^ a 6= sig(a) =) a < sig (a)

19

4. Demuéstrese en N;a 6= b =) a+ n 6= b+ n

Hacemos inducción sobre n y tenemos:

a. n = 1 =) a+1 = sig (a) 6= a 6= b 6= sig (b) = b+1; de aquí que a+1 6= b+1:Luego nuestra hipótesis de inducción a 6= b =) a+ h 6= b+ h; 8h 2 N

b. a+h 6= b+h =) a+ sig (h) 6= b+ sig (h) : Procedemos como sigue: a+h 6=b+ h =) sig (a+ h) 6= sig (b+ h) =) a+ sig (h) 6= b+ sig (h) : �

Demostraciones por inducción.

1. Pruébese la validez de la siguiente suma:

Sn =1

1 � 2 +1

2 � 3 +1

3 � 4 + :::+1

n (n+ 1)=

n

n+ 1

Casos particulares n = 1; n = 2

S1 =1

2(evidente)

S2 =1

1 � 2+1

2 � 3 =1

2+1

6=3 + 1

6=4

6=2

3por otro lado tenemos;

n

n+ 1=

2

2 + 1=2

3

Hipótesis inductiva, para n = k,

Sk =1

1 � 2 +1

2 � 3 +1

3 � 4 + � � �+1

k (k + 1)=

k

k + 1

donde k es un número natural.

Demostremos que, también es válida para n = k + 1; i:e

Sk+1 =k + 1

k + 2

En efecto,

Sk+1 =

�1

1 � 2 +1

2 � 3 +1

3 � 4 + � � �+1

k (k + 1)

�+

1

(k + 1) (k + 2)

por consiguiente podemos escribir

Sk+1 = Sk +1

(k + 1) (k + 2)

20

que por hipótesis de inducción reescribimos como

Sk+1 =k

k + 1+

1

(k + 1) (k + 2)=

k2 + 2k + 1

(k + 1) (k + 2)=k + 1

k + 2

hemos demostrados ambas condiciones, ahora en virtud del PIM podemosa�rmar que la proposición anterior es verdadera. �

2. Pruébese que todo número natural impar es de la forma

Pn = 2n� 1

Caso particular n = 1; n = 2

P1 = 2 (1)� 1 = 1

P2 = 2 (2)� 1 = 3

lo que veri�ca la primera parte de la inducción.

Hipótesis inductiva, para n = k,

Pk = 2k � 1

Demostremos, entonces que, la fórmula debe ser válida para (k + 1) ; esto esPk+1 = 2 (k + 1)� 1 es impar.

Pk+1 = 2 (k + 1)� 1 = 2k + 1

Para obtener el (k + 1)-ésimo número impar basta agregar 2 al k � �esimonúmero impar:

Pk+1 = Pk + 2

pero, por hipótesis, Pk = 2k � 1 de modo que

Pk+1 = (2k � 1) + 2 = 2k + 1

como queríamos demostrar.

3. Calcúlese la suma de los n primeros números impares.

21

Llamemos Sn a la suma buscada:

Sn = 1 + 3 + 5 + � � �+ (2n� 1)

Tomenos sucesivos valores para n; hasta obtener información su�ciente parapoder enunciar una hipótesis acertada, para posteriormente demostrarla porinducción.

S1 = 1; S2 = 1 + 3 = 4; S3 = 1 + 3 + 5 = 9; S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16;

S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25; S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36;

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

Resulta de manera casi natural que

S1 = 12; S2 = 22 = 4; S3 = 3

2 = 9; S4 = 42 = 16;

S5 = 52 = 25; S6 = 62 = 36 y S7 = 7

2 = 49

Sobre esta base podemos suponer que

Sn = n2

Demostremos que esta hipótesis es verdaderaDe los cálculos anteriores resulta que la hipótesis es válida para n = 1:

Hipótesis inductiva, para n = k,

Sk+1 = (k + 1)2

Probaremos que también debe ser válida para n = k + 1;

En efecto,Sk+1 = Sk + (2k + 1)

pero Sk = k2; de modo que

Sk+1 = k2 + (2k + 1) = (k + 1)

2

como queriamos demostrar. �

22

4. Demuéstrese la desigualdad de Bernoulli

(1 + �)n> 1 + n�

donde � > 0 y n es un número natural mayor que 1.

Demostración.La desigualdad es válida para n = 2 puesto que:

(1 + �)2= 1 + 2�+ �2 y �2 > 0 de aquí se deduce que

(1 + �)2> 1 + 2�

Hipótesis inductiva, para n = k;

(1 + �)k> 1 + k� (�)

Demostremos entonces que la desigualdad también se cumple para n = k+1;o sea, que

(1 + �)k+1

> 1 + (k + 1)�

En efecto, por hipótesis, se tiene

1 + � > 0

de modo que es válida la desigualdad

(1 + �)k+1

> (1 + k�) (1 + �)

que se obtiene multiplicando por (1 + �) ambos miembros de la igualdad (�)luego reescribiendo la última desigualdad tenemos

(1 + �)k+1

> 1 + (k + 1)�+ k�2

descartando el sumando k�2 de la derecha de la última desigualdad, obten-emos

(1 + �)k+1

> 1 + (k + 1)�

que es lo queríamos probar. �

23

1.6 Misterios de los Números Naturales.

Observe la siguiente relación numérica

100 = 13 + 23 + 33 + 43

Cien como la suma de los primero cuatro naturales elevados al cubo. Otrarelación interesante es la del número de días del año, es decir, 365

102 + 112 + 122 = 365

Resulta ser la suma de los cuadrados de tres números consecutivos em-pezando con 10:

Pero también es132 + 142 = 365

la suma de los cuadrados de los siguentes números.

En otra forma

102 + 112 + 122 + 132 + 142

2= 365

Ahora, observe si elevamos a la quinta potencia todas las cifras 54748 ysumamos el resultado

55 + 45 + 75 + 45 + 85 = 54 748

Y, no menos curiosa la siguiente relación

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13 = 666

1.7 Ejercicios Propuestos Sobre Números Enteros

1. Pruébese que, si a > b; entonces ac > bc

2. Demuéstre el principio de buen orden (PBO)

3. Demuéstre el teorema 1.4.1 parte 3

4. Demuéstrese que la suma de los cuadrados de los n primeros númerosnaturales es igual a:

12 + 22 + 32 + � � �+ n2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6; i:e

nXi=1

i2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6

24

5. El producto 1 � 2 � 3 � � � � � n se indica por n! (se lee ene factorial) : Donde1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24: Calcúlese

Sn = 1 � 1! + 2 � 2! + 3 � 3! + � � �+ n � n!

y pruébese por inducción.

6. ¿Para qué valores naturales de n se cumple la desigualdad 2n > 2n + 1?Pruebe la desigualdad a partir del n encontrado

7. Demúestrese que12p1+

12p2+ � � �+ 1

2pn> 2pn

para todo natural n > 1:

8. Demuéstrese el teorema: La media geométrica de varios números naturalesno pasa de la media aritmética de los mismos, es decir, siendo a1; a2; : : : ; anunos número naturales, se tiene

npa1; a2; : : : ; an �

a1 + a2 + : : :+ ann

9. Demuéstrese: n planos que pasan por un mismo punto, sin que contengannunca tres una recta común, dividen el espacio en

An = n (n� 1) + 2

partes.

10. Demuéstrese que

(1 + i)n= 2

n2

�cos

n�

4+ i sin

n�

4

�donde i =

p�1:

11. Demuéstrese el Binomio de Newton.

(a+ b)n=

nXk=0

�n

k

�an�kbk

25

2 Números Enteros y Los números Primos

"Dios puede que no juega a los dados con el universo, pero algo extraño estápasando con los números primos"Paul Erdös.

Desarrollaremos aquí las ideas más fundamentales de la aritmética: la di-visibilidad, el máximo común divisor, mínimo común múltiplo y la de�niciónde número primo, entre otros. Además de tratar el teorema fundamental de laaritmética y algunas de sus aplicaciones en la matemática.

2.1 Divisibilidad de Números Enteros

El conjuntoZ = f� � � � 3;�2;�1; 0; 1; 2; 3 � � � g

es llamado el conjunto de números enteros; los números

Z+ [ 0 = f0; 1; 2; 3; � � � g

enteros no negativos; y los números

Z+ = f1; 2; 3; � � � g

enteros positivos.

Usualmente denotamos a los números enteros con letras latinas mínusculas

a; b; � � � ; n � � � ; x; y; z

algunas veces para referirnos a una subclase de los enteros usamos la mismanotación, así que, basta con indicar a cual hacemos referencia. (positivos, neg-ativos, etc.)

2.1.1 De�nición de divisibilidad. Diremos que d divide a n y escribiremosdjn; si n = cd para un c 2 Z: Diremos también que n es un múltiplode d; que d es un divisor de n; o que d es un factor de n: Si d nodivide a n escribiremos d - n:

2.1.1 Teorema. La divisibilidad veri�ca las siguientes propiedades:

a. njn (propiedad re�exiva)

b. djn ^ njm; entonces djm (propiedad transitiva)

26

c. djn ^ djm; entonces dj (an+ bm) (propiedad lineal)

d. djn () adjan y a 6= 0 (propiedad de multiplicación)

e. 1jn (1 divide a todos los enteros)

f. djn ^ djm =) djn+m

g. djn+m ^ djn =) djm

Demostración.

a. njn (propiedad re�exiva)

n = n =) re�exividad de la igualdad=) n = 1 � n identidad multiplicativa en Z=) njn por de�nición de divisibilidad

b. djn ^ njm; entonces djm (propiedad transitiva)

djn =) n = d � c def. divisibilidadnjm =) m = n � c; def. divisibilidad

m = (d � c) � c; sustituyendo n = d � cm = d � (c � c;) Prop. asociativa de la multiplicaciónm = d � c;; � es ley de composición interna) djm def. divisibilidad

c. djn ^ djm; entonces dj (an+ bm) (propiedad lineal)

djn =) n = d � c def. divisibilidaddjm =) m = d � c; def. divisibilidad

an = d � c � a multiplicando por a ambos ladosbm = d � c; � b multiplicando por b ambos ladosan+ bm = d � (c � a) + d � (c; � b) Sumando miembro a miembroan+ bm = d � x+ d � y + y � son leyes de composición internaan+ bm = d (x+ y) Prop. distributiva) dj (an+ bm) def. divisibilidad

d. djn () adjan y a 6= 0 (propiedad de multiplicación)

djn () n = d � c def. divisibilidad() an = (ad) � c multiplicado ambos lados por a() adjan def. divisibilidad

e. 1jn, es evidente, puesto que n = 1 � n

27

f. djn ^ djm =) djn+m

djn =) n = d � c def. divisibilidaddjm =) m = d � c0 def. divisibilidad

=) n+m = d (c+ c0) sumando ambas igualdades=) n+m = dz c+ c0 = z=) djn+m def. divisibilidad

g. djn+m ^ djn =) djm

djn+m =) n+m = d � c def. divisibilidaddjn =) n = d � c00 def. divisibilidad

=) (n+m)� n = d (c� c00) restando ambas igualdades=) m = dz0 c+ c00 = z0

=) djm def. divisibilidad

2.2 Máximo Común Divisor

2.2.1 Teorema. El algoritmo de la división. Dados dos enteros cua-lesquiera n y m; con m > 0; existen los enteros únicos q y r tales quen = mq + r; 0 � r < m

Demostración.Sea A el conjunto de enteros no negativos dado por

A = fx : x = n�my; y 2 Z; x � 0g

Es un conjunto no vacío de enteros no negativos, en virtud del PBO admitemínimo, que designaremos n � mq: Entonces n = mq + r y r � 0: Ahorademostraremos que r < m: Supongamos r � m: Entonces 0 � r �m < r: Peror �m 2 A ya que r �m = n�m(q + 1): Por lo tanto r �m es un elemento deA menor que su elemento mínimo r. Esta contradicción demuestra que r < m:

Los números q; r son únicos, ya que si existiesen otros con estas condicionesq;; r;; entonces mq + r = mq; + r;; de donde m jq � q;j = jr; � rj : Luego sijq � q;j > 0; entonces jq; � qj � 1; por lo que jr; � rj = m jq � q;j � m (�) :Ahora tenemos que r � 0; implica �r � 0 y así r; � r � r; < m luegor < m � m + r; =) �m < r; � r: Entonces �m < r; � r < m; es decirjr; � rj < m; lo que constituye una contradicción para (�) ; lo cual completa lademostración. �

28

2.2.1 De�nición. Un número entero positivo d se denomina divisor comúnde los números enteros positivos n1; n2; n3; � � � ; ni si y solo si d esdivisor de n1; n2; n3; � � � ; ni: Puesto que solamente existe un número�nito de divisores de cualquier entero diferente de cero, solamenteexisten un número �nito de divisores comunes de n1; n2; n3; � � � ; ni;luego el mayor de los divisores comunes se llamamáximo común di-visor (mcd) de n1; n2; n3; � � � ; ni; y se denotamcd (n1; n2; n3; � � � ; ni)o simplemente (n1; n2; n3; � � � ; ni) : Si el máximo común divisor es 1decimos que los números son coprimos.

2.2.2 Teorema. Algoritmo de Euclides. Se dan dos enteros positivosn y m, tales que m - q. Se escribre r0 = n; r1 = m; y aplicandorepetidamente el algoritmo de la división obteniendo un conjunto derestos r2; r3; � � � ; rn; rn+1 de�nidos sucesivamente por las relaciones

r0 = r1q1 + r2 0 < r2 < r1;r1 = r2q2 + r3 0 < r3 < r2;...

...rn�2 = rn�1qn�1 + rn 0 < rn < rn�1;rn�1 = rnqn + rn+1 rn+1 = 0

Entonces rn; es el último resto no nulo de este proceso, es mcd (n;m) ; elmáximo común divisor de n y m:

Demostración.Existe un momento en que rn+1 = 0 puesto que los ri son decreciente y no

negativos. La última relación, rn�1 = rnqn demuestra que rnjrn�1: La anteriora la última prueba que rnjrn�2: Por inducción vemos que rn divide a cada ri:En particular rnjr1 = m y rnjr0 = n; luego rn es un divisor común de n y m:Ahora sea d otro divisor común de n y m: La de�nición de r2 prueba que djr2:La relación que le sigue prueba que djr3: Por inducción, d divide a cada ri luegodjrn: Por lo tanto rn es el mcd requerido. �

2.2.3 Teorema. Si d es el máximo común divisor de n y m, entonces existenlos enteros a y b tales que d = mcd (n;m) = an+ bm

Demostración.Partiendo del teorema 2.2.2 tenemos

n = mq1 + r2 0 < r2 < r1;m = r2q2 + r3 0 < r3 < r2;...

...rn�2 = rn�1qn�1 + rn 0 < rn < rn�1;rn�1 = rnqn + rn+1 rn+1 = 0

29

Al considerar las ecuaciones en el orden propuesto, se obtiene r2 como com-binación lineal de n y m :

r2 = n�mq1sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene r3 como combinación lineal

de n y m :

r3 = m� r2q2r3 = m� q2 (n�mq1)

Si reiteramos este procedimiento, entonces en la penúltima ecuación obten-emos rn; que es el mcd de n y m; como combinación lineal de estos números.�

2.2.4 Teorema. El mcd posee las siguientes propiedades:

a. (n;m) = (m;n)

b. (n; (m; s)) = ((n;m) ; s)

c. (cn; cm) = jcj (n;m)

d. (n; 1) = (1; n) = 1

e. Si djn y djm y d > 0; entonces�nd ;

md

�= (n;m)

d : A demás, si (n;m) = g;

entonces�ng ;

mg

�= 1:

Demostración.

a. Si d = (n;m), es claro que (n;m) = (m;n) : puesto que independientementedel orden d dividirá a n, m y podrá expresarse como combinación linealde ellos.

b. Si d = (n; (m; s)) ; llamemos d0 = (m; s) ; por el teorema 2.2.3 se tiene qued0 = mx + sy luego d = an + (mx+ sy) b: De aquí se sigue que d =[an+m (xb)] + s (yb) ; eligiendo a = kx; se tiene d = [n (kx) +m (xb)] +s (yb) = [nk +mb]x+s (yb) : Finalmente tomando d1 = (n;m) = nk+mb;se obtiene d = d1 (x) + s (yb) ; por lo tanto d = (d1; s) = ((n;m) ; s)

c. Sea d = (n;m) y sea e = (cn; cm) : Queremos demostrar que e = jcj d:Escribimos d = nx +my; por el teorema 2.2.3. Entonces tenemos cd =ncx+mcy (�) : Por lo tanto cdje puesto que cd divide a nc y mc: Además,la ecuación (�) prueba que ejcd puesto que ejnc y ejmc: Por lo tantojej = jcdj ; ó e = jcj d

30

2.2.5 Teorema. Lema de Euclides. Si njmc y si (n;m) = 1; entonces njc

Demostración. Puesto que (n;m) = 1 podemos escribir 1 = na+mb (porel teorema 2.2.3). Por consiguiente c = nac +mbc: Pero njnac y njmbc; luegonjc (por teorema 2.1.1.f) �

2.2.1 Ecuaciones Lineales Diofánticas.

Una ecuación lineal diofántica es una ecuación de la forma

na+mb = c

donde n;m y c son números enteros y a; b variables que recorren todo Z:

2.2.6 Teorema. Si (n;m) jc entonces la ecuación lineal diofántica na+mb = csiempre tiene solución entera.

Demostración. Supongamos que la ecuación na + mb = c tiene comosolución a1 y b1 y que d = (n;m) no divide a c y sean a0 y b0 una solución parana+mb = c:

De esta manera tenemos

na1 +mb1 = cna0 +mb0 = d

Por el algoritmo de la división tenemos c = qd+ r con 0 < r < d puesto qued no divide a c:

Entonces

na1 +mb1 = qd+ r= q (na0 +mb0) + r= n (qa0) +m (qb0) + r

y por tanto

n (a1 � qa0) +m (b1 � qb0) = rLo anterior es una contradicción, puesto que hemos obtenido una combi-

nación lineal de n y m y 0 < r < d; esto contradice que d era la combinaciónlineal mínima (es decir, d no era el máximo común divisor). La contradicciónsuirgió de suponer que na +mb = c podía tener solución aunque d - c; por loque hemos demostrado el teorema. �

31

2.2.7 Teorema. La ecuación na+mb = c tiene solución si y sólo si d = (n;m)divide a c: Además, las soluciones son los números de la forma.

a = a0 +mt

d; b = b0 �

nt

d

donde a0 y b0 son soluciones particulares y t es cualquier entero.

Ejemplo. Encontrar los valores x y y que satisfaga

243x+ 198y = 9 (�)

Primeramente veri�camos que tenga solución, esto es que (243; 198) dividaa 9: Como (243; 198) = 9 (�) tiene solución.

243x+ 198y = 9 dividiendo por 9 obtenemos27x+ 22y = 1 (��) que es equivalente a (�)

Una solución particular para (��) es x = 9 y y = �11; puesto que, 27 (9) +22 (�11) = 1: Así la soluciones para (�) son

x = 9 + 22t; y = �11� 27t

En particular para t = 1 tenemos; x = 31; y = �38 que veri�can 243 (31) +198 (�38) = 9:

2.3 Mínimo Común Mútiplo

2.3.1 De�nición. Los números enteros positivos n1; n2; n3; � � � ; ni; tienen unmúltiplo común b si nj jb para j = 1; 2; 3; : : : ; i: (Nótese que existenmúltiplos comunes; por ejemplo, el producto n1 � n2 � n3 � � � � � ni )El menor de los múltiplos comunes positivos recibe el nombre demínimo común múltiplo y se denota por [n1; n2; n3; � � � ; ni] :

2.3.1 Proposición: El mínimo común multiplo cumple con las siguientespropiedades.

a. njm; si [n;m] = jmj

b. c > 0 implica [cn; cm] = c � [n;m]

c. d > 0; djn y djm implica�nd ;

md

�= [n;m]

d

32

2.3.1 Teorema. Si b es cualquier múltiplo común de n1; n2; n3; � � � ; ni; en-tonces [n1; n2; n3; � � � ; ni] jb: Esto equivale a decir que si h denota a[n1; n2; n3; � � � ; ni] ; entonces 0;�h;�2h � 3h; ::: incluyen todos losmúltiplos comunes de n1; n2; n3; � � � ; ni:

Demostración. Sea b cualquier múltiplo común, divídase b entre h. Por elteorema 2.2.1, existen un cociente q y un residuo r, tales que, b = qh + r; 0 �r < h: Debe probarse que r = 0: Si r 6= 0 se argumenta del modo siguiente.Para cada i = 1; 2; :::; j se sabe que nijh y nijb; de modo que nijr: Así que, r esun múltiplo común positivo de n1; n2; n3; � � � ; ni contrario al hecho de que h esel menor positivo de todos los múltiplos comunes. Por tanto debe ser r = 0 yhjb: �

2.3.2 Teorema. Si c > 0, [cn; cm] = c [n;m] : También [n;m]�(n;m) = jn �mj

Demostración. Recordemos que, si ajb ^ bja =) a = b: Ya que [cn; cm] esun múltiplo de cn; con mayor razón es múltiplo de c y por tanto, puede escribirseen la forma ch1: Denotando [n;m] por h2; se observa que njh2;mjh2; cnjch2 ycmjch2;entonces, ch1jch2:De donde h1jh2: Por otra parte, cnjch1; cmjch1; njh1;mjh1y así h2jh1: Se concluye que h1 = h2 y así se establece la primera parte del teo-rema.

Empecemos con el caso especial donde (n;m) = 1: Ahora bien, [n;m] esun múltiplo de n, digamos cn: Entonces mjcn y (n;m) = 1; así por el teorema2.2.5, mjn: De aquí que m � c;mn � cn: Pero nm; siendo un múltiplo comúnpositivo de n y m, no puede ser menor que el mínimo común múltiplo y, portanto, nm = mn = [n;m] :

Regresemos al caso general, donde (n;m) = g > 1; se tiene�ng ;

mg

�= 1: Al

aplicar el resultado del párrafo precedente, se obtiene�n

g;m

g

��n

g;m

g

�=n

g� mg

Al multiplicarse por g2 y usando el teorema 2.2.4.e y la proposición 2.3.1,así como la primera parte del presente teorema, se obtiene [n;m] (n;m) = nm

2.4 Números Primos

2.4.1 De�nición. Un entero n se llama primo si n > 1 y si los únicos divisorespositivos de n son 1 y n: Si n > 1 y no es primo, entonces n se llamacompuesto.

Ejemplos: Los números primos menores que 100 son:

33

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 y 97.

2.4.1 Teorema. Cada entero n > 1 ó es primo o es producto de primos.

Demostración. Sea n > 1: Supongamos que no es divisible por ningúnprimo. En particular, n mismo no puede ser primo pues sería divisible por simismo. Como n no es primo, tiene algún divisor positivo d1 distinto de 1 y n;es decir 1 < d1 < n. Pero d1 no puede ser primo por que dividiría a n: Entoncesexiste un d2 que divide a d1 tal que 1 < d2 < d1 < n: Como d2 no puede serprimo porque divide a n; repetimos el argumento con d2 para obtener d3 tal que1 < d3 < d2 < d1 < n: Como d3 no puede ser primo existe un d4 que divide a d3y así sucesivamente. Esto lleva a una contradicción pues no es posible continuarinde�nidamente este proceso ya que entre 1 y n sólo hay un número �nito detérminos. Por tanto, n debe ser divisible entre algún primo. �

2.4.2 Teorema. (Euclides)Existen in�nitos números primos.

Demostración. Sea n un número natural arbitrario. Sabemos que n yn+1 son números enteros positivos consecutivos, deben ser coprimos. Entoncesel número N2 = n(n+1) debe tener, como mínimo, dos factores primos distintos.Análogamente, los números enteros n(n+1) y n(n+1)+ 1; son consecutivos y,por tanto, coprimos . En consecuencia, el número N3 = n(n+1) � [n(n+ 1) + 1]debe tener, como mínimo, tres factores primos diferentes. Este proceso puedeser continuado inde�nidamente, así que el conjunto de los números primos esin�nito. �

2.4.3 Si un primo p no divide a n; entonces (p; n) = 1

Demostración. Sea d = (p; n) : Entonces djp; como p es primo se tiene queó d = 1 ó d = p: Pero djn luego por hipótesis debe ser d 6= p: En consecuenciad = 1: �

2.4.4 Teorema. Si un primo p divide a nm; entonces pjn ó pjm: En general,si un primo p divide a un producto n1n2n3 � � �ni; entonces p divide a uno,por lo menos, de los factores.

Demostración. Supongamos que pjnm y p - n: Veremos que pjm: Por elteorema 2.4.3, (p; n) = 1; luego por el lema de Euclides (teorema 2.2.5), pjm:La generalización para el producto n1n2n3 � � �ni queda a modo de ejercicio.

34

2.4.5 Teorema. Existen arbitrariamente grandes vacíos en la serie de losprimos. Dicho de otra manera, dado cualquier entero k; existen k enteroscompuestos consecutivos.

Demostración. Recordemos el factorial de un número. Sea k un entero elfactorial de k ó k! es: k! = 1 � 2 � 3 � � � � � kConsidérense los enteros

(k + 1)! + 2; (k + 1)! + 3; � � � ; (k + 1)! + k; (k + 1)! + k + 1:Cada uno de estos es compuesto porque j divide a (k + 1)!+j si 2 � j � k+1:

Los números primos están espaciados irregularmente, tal y como lo sugiereel último teorema. Si denotamos el número de primos que no excede a x por� (x) ; podría preguntarse acerca de la naturaleza de esta función. Uno de losresultados más impresionantes de la teoría avanzada de números, es

limx�!1

� (x) log x

x= 1

Este resultado notable se llama el teorema del número primo, y sudemostración se la debemos a J. Hadamard y C.J de la Vallée Poussin quienesindependientemente lo demostraron en 1896.

2.5 El teorema Fundamental de la Aritmética.

2.5.1 Teorema fundamental de la aritmética. Cada entero n > 1 se puederepresentar como producto de factores primos en forma única, salvo elorden de los factores.

Demostración. Usaremos la inducción sobre n: El teorema es verdaderopara n = 2: Suponemos, entonces, que es verdadero para todo entero mayor que1 y menor que n: Probaremos que es verdadero también para n: Si n es primono hay nada que probar. Por lo tanto suponemos que n es compuesto y queadmite dos descomposiciones, que son

n = p1p2 � � � pi = q1q2 � � � qj (�)Queremos demostrar que i = j y que cada p es igual a algún q: Dado que p1

divide al producto q1q2 � � � qj debe dividir a uno, por lo menos, de los factores.Ordenaremos los q1q2 � � � qj de forma que p1jq1: Entonces p1 = q1 ya que p1 y q1son primos. En (�) podemos dividir por p1 obteniendo

n

p1= p2 � � � pi = q2 � � � qj

35

Si i > 1 ó j > 1; entonces 1 < np1< n: La hipótesis de inducción nos dice

que las dos descomposiciones de np1son idénticas, prescindiendo del orden de los

factores. Por consiguiente i = j las descomposiciones de (�) son también idén-ticas, si prescindimos del orden de los factores. Esto completa la demostración.�

En la descomposición de un número n; un cierto primo p puede aparecer másde una vez. Si los factores primos distintos de n son p1;p2���pr y si pi aparece �iveces como factor, escribiremos

n = p�11 � � � p�jj

o más compactamente

n =

jYi=1

p�ii

Si la descomposición en factores primos de n es p�11 � � � p�jj , entonces todoslos divisores de n son los números de la forma

d = p�11 p

�22 � � � p�jj ; 0 � �1 � �1; 0 � �2 � �2; : : : ; 0 � �j � �j

Por ejemplo.

15925 = 52 � 72 � 131800 = 23 � 32 � 52

2.5.1 De�nición. Por [x] denotamos la función parte entera de x. Se de�nepara todos los valores reales de x y representa el entero mayor, nosuperior a x:

[x] : R �! Z

Ejemplos.

[5] = 5; [2:3] = 2; [�3:25] = �4

2.5.2 Teorema. El exponente, con el que un número primo p �gura en elproducto n!; es igual a

�n

p

�+

�n

p2

�+

�n

p3

�+ � � �+

�n

pi

�

36

Demostración. En efecto, el número de factores en el producto n! que sonmúltiplos de p; es igual a

hnp

i; entre ellos, múltiplos de p2 hay

hnp2

i; entre estos

últimos, múltiplos de p3 hayhnp3

i; etc. La suma de los números indicados da

precisamente el exponente buscado, puesto que cada factor en el producto n!que sea múltiplo de pm; pero no de pm+1; se cuenta del modo indicado m veces,como múltiplo de p; p2; p3; : : : y, �nalmente, de pm: �

Ejemplo. El exponente con el que el número 5 �gura en el producto 35! esigual a �

35

5

�+

�35

25

�= 7 + 1 = 8

2.6 Ejercicios Resueltos sobre divisibilidad y factores pri-mos.

1. Probar que cualquiera que sea n 2 N 11j32n+2 + 26n+1

Solución. Procederemos haciendo inducción en n:Para n = 1; 32(1)+2 + 26(1)+1 = 209 = 19 � 11Hipótesis inductiva 11j32k+2+26k+1

Tésis de inducción 11j32(k+1)+2+26(k+1)+1

32(k+1)+2+26(k+1)+1

32k+232+26k+126 reescribiendo la tésis32k+232+26k+126+0 elemento neutro de (Z;+)32k+232+26k+126+32�26k+1�32�26k+1 0 =

�32 � 26k+1

���32 � 26k+1

��32k+232+32�26k+1

�+�26k+126�32�26k+1

�Asociatividad

32�32k+2 + 26k+1

�+26k+1

�26 � 32

�Prop. distributiva

32�32k+2+26k+1

�+26k+1�55 11j32

�32k+2 + 26k+1

�hipótesis y 55 = 11 � 5

) 11j32(k+1)+2+26(k+1)+1 11j32�32k+2 + 26k+1

�^11j26k+1�55

luego divide a suma

2. Probar que 34n+2+2 � 43n+1 es múltiplo de 17

Solución. Procederemos haciendo inducción en n:Para n = 1; 34(1)+2 + 2 � 43(1)+1 = 1241 = 73 � 17 Múltiplo de 17Hipótesis inductiva 17j 34k+2 + 2 � 43k+1Tesis de inducción 17j 34(k+1)+2 + 2 � 43(k+1)+1

37

34(k+1)+2+2 � 43(k+1)+1= 34k+2�34+2 � 43k+1�43 (reescribiendo la tesis)34k+2�34+2 � 43k+1�43+0

�elemento neutro de (Z;+) ; 0 =

�2 � 34 � 43k+1

���2 � 34 � 43k+1

���34k+2�34

�+�2 � 34�43k+1

�+�2 � 43k+1�43

���2 � 34�43k+1

�34�34k+2+2 � 43k+1

�+ 2 � 43k+1

�43�34

�(Prop. asociativa y distributiva)

34�34k+2+2 � 43k+1

�+2 � 43k+1 (�17) (17 divide a ambos sumandos, luego 17 divide a la suma.)

) 17j 34(k+1)+2 + 2 � 43(k+1)+1 �

3. Probar que, si 2n � 1 es primo, entonces n es primo.

Demostración.

Procederemos por contrarrecíproco, esto es:

Si n es compuesto, entonces 2n � 1 es compuesto.Como n es compuesto entonces n = n0p; además 2n � 1 = 2n � 1n; luego

podemos factorizar como sigue:

2n � 1n = 2(n0p) � 1(n0p) = (2p)n0 � (1p)n0 = (2p)

n0 � (1p)n0 y apartir deesto último tenemos

(2p)n0�(1p)n0 = (2p � 1p)

h(2p)

n0�1 + (2p)n0�1 (1p) + (2p)

n0�2 (1p)2+ � � �+ (2p) + (1p)n0�1

iluego el factor (2p � 1p) > 1; de aquí se deduce que 2n � 1 es compuesto

porque admite dicha descomposición. �

4. Sean a; b; c tres números enteros positivos tales que 2a + 2b = 2c: Demostrarque a = b:

Demostración. Tómese 2c y apliquemos la de�nición de potencia así:

2c = (2 � 2 � 2 � � � � 2)| {z }c�veces

= 2 � (2 � 2 � 2 � � � � 2)| {z }k�veces

Como el factor (2 � 2 � 2 � � � � 2)| {z }k�veces

es par, entonces puede expresarse así:

2c = (2 � 2 � 2 � � � � 2)| {z }c�veces

= 2�

0BBB@k�vecesz }| {

(2 � 2 � 2 � � � � 2)2

+

k�vecesz }| {(2 � 2 � 2 � � � � 2)

2

1CCCA =

k�vecesz }| {(2 � 2 � 2 � � � � 2)+

k�vecesz }| {(2 � 2 � 2 � � � � 2)

luego, queda demostrado que la única forma en que se puede escribir unapotencia de dos como suma de potencias de dos, es que el exponente de lossumandos sea el mismo, de aquí que a = b: En general, este resultado puedeescribirse como: 2c�1 + 2c�1 = 2c

Por ejemplo. 24 + 24 = 16 + 16 = 32 = 25

38

5. Probar que 21n+414n+3 es irreducible para todo n:

Solución. Si 21n+414n+3 es irreducible, esto signi�ca que mcd 21n+ 4 y 14n+ 3es1:Procediendo según teorema 2.2.2 tenemos

21n+ 4 = (14n+ 3) (1) + (7n+ 1)14n+ 3 = (7n+ 1) (2) + 1

Así el último resto distinto de cero es 1; por tanto (21n+ 4; 14n+ 3) = 1 yde aquí se sigue que 21n+4

14n+3 sea irreducible. �

6. Determinar el máximo común divisor de 210 y 495, y expresarlo como unacombinación lineal de ambos.

Solución. Usando el algoritmo de Euclides.

495 = 2 � 210 + 75210 = 2 � 75 + 6075 = 1 � 60 + 1560 = 15 � 4 + 0

Entonces el último resto distinto de cero es el mcd; (210; 495) = 15:

Ahora:

15 = 75� (1 � 60)60 = 210� (2 � 75)75 = 495� (2 � 210)

A partir de esto podemos escribir las siguientes igualdades:

15 = [495� (2 � 210)]� [210� (2 � 75)]= 495 + (�2 � 210� 210) + 2 � 75= 495� 210 (2 + 1) + 2 � (495� (2 � 210))= 495� 3 � 210 + 2 � 495� 4 � 210= (495 + 2 � 495) + (�3 � 210� 4 � 210)= 3 (495)� 7 (210)

7. ¿Existen enteros a; b tal que sumados den 500 y (a; b) = 7 ?

Solución. No. Si (a; b) = 7; entonces 7ja y 7jb; de aquí que 7ja + b: Pero7 - 500

39

8. ¿Los números n y n+ 1 tiene algún divisor común distinto de 1?

Solución. No. Algún divisor común de n y n+1 debe dividir a (n+ 1)�n =1: Así dos números consecutivos siempre son coprimos.

9. Demuestre que 4n + n4 no es primo si n > 1

Demostración. Si n es par, es claro que 4n + n4 es par y mayor que 2,luego no es primo.Para el caso n impar utilizamos la identidad de Sophie Germain.

x4 + y4 =�x2 + y2 +

2p2xy

��x2 + y2 � 2

p2xy

�Entonces, si n = 2k+1; 4n = 42k+1 = 42k � 4 =

�2p2 � 2k

�4; así que podemos

escribir4n + n4 =

�2p2 � 2k

�4+ n4 =

�2n + n2 + 2k+1 � n

� �2n + n2 � 2k+1 � n

�Comprobemos �nalmente que el menor de los dos factores anteriores no es

igual a 1.�2n + n2 � 2k+1 � n

�= 22k+1 + (2k + 1)

2 � 2k+1 (2k + 1) = 2 � 22k � 2 �22k (2k + 1) + (2k + 1)

2=�2k � (2k + 1)

�2+ 22k � 5 pues k > 0: �

10. Hallar todos los números naturales n tales que

n2 + 1; n2 + 3; n2 + 7; n2 + 9; n2 + 15

sean todos primos.Solución.N 1 = n

2+1 N 2 = n2+3 N 3 = n

2+7 N 4 = n2+9 N 5 = n

2+15Veamos que el único natural válido es n = 2Claramente n = 1 no es solución, pues sólo sería primo N1:

Si n = 2; N1 = 5; N2 = 7; N3 = 11; N4 = 13; N5 = 19 que son todos primos.Evidentemente, si los cinco números primos han de ser primos n ha de ser

par, pues todos los primos mayores que dos son impares.

Examinemos los números pares n > 2 elevados al cuadrado:

� Si n acaba en 2, n2 acaba en 4 con lo que N1 acaba en 5; siendo múltiplode 5. N1 no es primo.

� Si n acaba en 4, n2 acaba en 6 con lo que N4 acaba en 5, siendo múltiplode 5. N4 no es primo

� Si n acaba en 6, n2 acaba en 6 con lo N4 acaba en 5, siendo múltiplo de5. N4 no es primo.

40

� Si n acaba en 8, n2 acaba en 4 con lo que N1 acaba en 5, siendo múltiplode 5. N1 no es primo

� Si n acaba en 0, n2 acaba en 0 con lo que N5 acaba en 5, siendo múltiplode 5. N5 no es primo.

Por tanto, sea cual sea el valor par de n > 2 siempre encontraremos al menosuno de los 5 números múltiplo de 5. �

11. (divisibilidad por 2) El enteroN es divisible por 2 si el dígito de las unidadeses par.

Dicho en otras palabras para un entero de cuatro cifras N = abcd esdivisible por 2 si d es divisible por 2;es decir

2jd =) 2jN

Solución.Aunque la prueba la haremos para números de 4 cifras, tiene validez general.Escribamos el númeroN = abcd en la forma:

N = 1000a+ 100b+ 10c+ d

Es claro que 2 es divisor de 10; 100 y 1000, por teorema 2.1.1.c se tiene que2j (1000a+ 100b+ 10c) y por hipótesis 2jd, entonces por el mismo resultado sesigue que, 2j (1000a+ 100b+ 10c+ d) ; es decir 2jN �

12. Encontrar todos los divisores de 756:

Solución. Del teorema 2.5.1 tenemos que 756 = 22 � 33 � 7; de aquí tenemosque los divisores sean:

20 � 30 � 70 = 1 20 � 32 � 7 = 63 21 � 31 � 70 = 6 21 � 33 � 7 = 378 22 � 32 � 70 = 3620 � 30 � 71 = 7 20 � 33 � 70 = 27 21 � 31 � 71 = 42 22 � 30 � 70 = 4 22 � 32 � 7 = 25220 � 31 � 70 = 3 20 � 33 � 7 = 189 21 � 32 � 70 = 18 22 � 30 � 7 = 28 22 � 33 � 70 = 10820 � 31 � 7 = 21 21 � 30 � 70 = 2 21 � 32 � 7 = 126 22 � 31 � 70 = 12 22 � 33 � 7 = 75620 � 32 � 70 = 9 21 � 30 � 7 = 14 21 � 33 � 70 = 54 22 � 31 � 7 = 84

41

2.7 ¿Dónde están los enteros y los primos?

Los números primos y la naturaleza.

No solo los seres humanos utilizamos los números primos para protegernos,existe una especie de cigarra que se vio obligada a protegerse de un ciertoparásito, y para ello no encontró mejor herramienta que los números primos.

El siguiente ejemplo nos lo presenta Simon Singh en su libro �El enigma deFermat�Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim, tiene

el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajotierra, donde las ninfas absorben pacientemente los zumos de las raíces de losárboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergende la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unassemanas después se aparean, ponen los huevos y se mueren. La cuestión queinquietaba a los zoólogos era: ¿por qué el ciclo vital de las cigarras es tan largo?¿Qué quiere decir que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie,la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitalesque son números primos dan algún tipo de ventaja para la conservación de lavida.

Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclovital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital,pongamos de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo de vital que seadivisible por 2, si no el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De estamanera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de tres años, entonces lacigarra querrá evitar un ciclo vital que sea divisible por 3, si no el parásito y lacigarra volverán a coincidir. Al �n, si quiere evitar encontrarse con su parásito,la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure unnúmero primo de años. Como nada dividirá al 17, la Magicicada septendecim

42

raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 añossolo se encontrara cada 34, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años porejemplo, solo se encontrarán cada 272 años.

El parásito, en su lucha por sobrevivir, solo tiene dos ciclos vitales que in-crementan las frecuencias de las coincidencias: El ciclo anual o el mismo de 17años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobre-vivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las primeras 16 aparicionesno habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir elciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primerodurante un ciclo vital de 16 años. Esto signi�caría que, en algún estadio evolu-tivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirían durante ¡272 años! Encualquier caso el largo ciclo vital de las cigarras y el número primo de años, lasprotege.

¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontradonunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente hacontinuado alargando su ciclo vital hasta conseguir traspasar la barrera de los16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su faltade coincidencia con la cigarra lo habrá llevado a la extinción. El resultado esuna cigarra con el ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace falta porque suparásito ya no existe.

Algo sobre la distribución de los primos.

Cuenta la leyenda que el matemático y físico polaco Stanislaw Marcin Ulam(1909-1981) (quien trabajó en el proyecto Manhattan), asistía a una aburridaconferencia en 1963, entonces garabateando en una hoja de papel, dispuso laserie de números naturales en forma de una espiral; empezando con el 1, a laderecha el 2, hacia arriba el 3, a la izquierda de este el 4, más a la izquierda el5, luego hacia abajo el 6, etc. Como se muestra en la �gura.

43

Posteriormente destacó en este arreglo a los números primos y observó ciertopatrón, que cumplían los primos en la espiral, estos tienden a aparecer en diag-onales alternas y en las que no hay primos están los números pares.

44

2.8 Ejercicios Propuestos

1. Determínese cuáles de las siguientes a�rmaciones son verdaderas y cuálesfalsa.

a. Si un número es divisible entre 6, es divisible entre 3___

b. Si un número es divisible entre 3, es divisible entre 6___

c. Si un número es divisible entre 2 y divisible entre 3, es divisible entre 6___

d. Si un entero no es divisible entre entre 6, no es divisible entre 9___

e. Si un número es divisible entre 6, no es divisible entre 9___

2. Demuéstrese que la suma de los cubos de tres números naturales sucesivoses divisible por 9.

3. Pruébese que la suma 11n+2+122n+1 es divisible por 133 cualquiera que seael número entero n � 0

4. Pruébese las siguientes a�rmaciones

i. 6j2n3 + 3n2 + n

ii. 169j33n+3 � 26n� 27

iii. 72n+1 � 48n� 7 es divisible por 288

iv. 3 � 52n+123n+1 es divisible por 17

5. Demuéstrese la regla de divisibilidad por 3. El entero N es divisible por 3 sila suma de sus dígitos es divisible por 3. Dicho de otra manera para unentero de cuatro cifras

N = abcd es divisible por 3; si a+ b+ c+ d es divisible por 3, es decir

3j(a+ b+ c+ d)) 3jN

6. Establézcase una demostración o un contraejemplo para cada una de lasa�rmaciones siguientes.

i. Si anjbn =) ajb

ii. Si nnjmm =) njm

iii. Si anj2bn y n > 1 =) ajb

7. Pruébese los incisos d y e del teorema 2.2.4.

8. Pruébese la proposición 2.3.1

45

9. Pruébese el teorema 2.2.7

10. Encuéntrese el mcd de 576 y 73 y números x y y tales que 576x + 73y =(576; 73)

11. Hállese dos números sabiendo que su máximo común divisor es 120 y ladiferencia de sus cuadrados 345600

12. Hállese dos números naturales sabiendo que su producto es 3024 y su mín-imo común múltiplo 504.

13. Determínese dos números naturales cuyo máximo común divisor es 18, sa-biendo que uno de ellos tiene 21 divisores y el otro tiene 10.

14. Si dos números son coprimos y su mínimo común múltiplo es 22829, hállesedichos números.

15. Pruébese que no existen los números x y y que satisfagan x + y = 100 y(x; y) = 3

16. Encuéntrese los valores de x y y (si existen) que satisfagan.

i. 71x� 50y = 1

ii. 43x+ 64y = 1

iii. 93x� 81y = 3

17. Dados dos números primos distintos p y q, encuéntrese el número de difer-entes divisores positivos de:

a. pq b. p2q c. p2q2 d. pnqm

18. Encuéntrese el menor número natural n tal que n! es divisible por 990

19. Pruébese que si un número tiene un número impar de divisores, entonceseste es un cuadrado perfecto.

20. Probar que si n es compuesto tiene un divisor primo que satisface p �pn

46

3 Números de Fibonacci

Es como preguntar por qué la novena sinfonía de Beethoven es bella. Si no veque es así, nadie se lo puede explicar. Yo sé que los números son bellos. Si nolo son nada lo es.Paul Erdös.

El conjunto de los números de Fibonacci es muy particular por encontrarsevinculado a muchas de las actividades del hombre, sobre todo aquellas queimplican armonía. En este capítulo estudiaremos las principales caraterísticasaritméticas de estos números como: la divisibilidad, máximo común divisor,paridad entre otras. También mostraremos algunas de sus aplicaciones.

3.1 La Sucesión de Fibonacci

Existe un conjunto de números muy particular y con mucha belleza, estosnúmeros son conocidos como números de Fibonacci en honor a su descubri-dor Leonardo de Pisa, alias Fibonacci (hijo de Bonacci). Leonardo hizo muchosaportes notables a las matemáticas especialmente en la aritmética, alrededor delaño 1202 escribió el libro sobre el ábaco. Este era una inmensa obra compiladorade los conocimientos matemáticos de los pueblos que vivían en las costas delMediterráneo. En este libro se encuentra un problema que reveló el canon de lanaturaleza:

�¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de unapareja inicial?�

Probablemete alguien observó la naturaleza reproductoria de los conejos yobtuvo las siguientes premisas: Cada pareja produce otra al cabo de un mes yuna pareja inicial de conejos puede parir a los dos meses de haber nacido. Deesto y con el supuesto de un área cercada, podemos deducir que:

A partir de una pareja de conejos bebés en el primer y segundo mes ten-dríamos un par de conejos, pues la hembra será adulta hasta el segundo mes,donde podrá reproducirse; tendría un par de bebés en el tercer mes, así serándos pares de conejos, luego en el cuarto mes los bebés habrán crecido y repro-ducido y tendremos tres parejas de conejos; los originales y sus dos crías y lasprimeras crías de estos. Siguiendo este razonamiento encontramos que para elduodécimo mes tendremos 377 parejas de conejos.

Así encontramos un conjunto de números enteros muy particulares estos son:1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 : : : esta se conoce como sucesión de Fibonacci donde cadatérmino es la suma de los dos anteriores, así esta es una sucesión recurrente.

47

Pasemos ahora de los conejos a los números y consideremos la sucesiónnumérica

3.1.1 De�nición. La sucesión (vn) ; llamada de Fibonacci, cuyos términos son1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 : : : y en la cual cada término es la suma de los dosinmediatos anteriores, está de�nida por

vn = vn�1 + vn�2 ; con v1 = v2 = 1

Los números de Fibonacci poseen una serie de propiedades interesantes eimportantes, las cuales veremos en este capítulo.

Enpecemos calculando la suma de los n primeros números de Fibonacci. Asípodemos enunciar el teorema siguiente

3.1.1 Teorema. La suma de los primeros n números de Fibonacci esta dadapor

nXi=1

vi = v1 + v2 + � � �+ vn = vn+2 � 1

Demostración. Claramente, tenemos de la de�nición de la sucesión deFibonacci que

v1 = v3 � v2v2 = v4 � v3...

......

vn�1 = vn+1 � vnvn = vn+2 � vn+1

Sumando miembro a miembro estas igualdades, encontramos

v1 + v2 + � � �+ vn = v3 � v2 + v4 � v3 � � �+ vn+1 � vn + vn+2 � vn+1

v1 + v2 + � � �+ vn = vn+2 � 1 (recordando que v2 = 1)

Por tanto,nXi=1

vi = v1 + v2 + � � �+ vn = vn+2 � 1 �

Hemos de�nido los números de Fibonacci mediante la ecuación recurrente,es decir, empleando la inducción según el índice. Pero resulta que todo númerode Fibonacci puede de�nirse de un modo más directo, esto es, como función desu índice.

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Con este �n, observemos el comportamiento de las distintas sucesiones v1; v2; : : : ; vn; : : :que satisfacen la ecuación

vn = vn�1 + vn�2 (1)

Diremos que todas estas sucesiones son soluciones de la ecuación (1) : Deaquí en adelante indicaremos por V; V 0 y V 00 las sucesiones

v1; v2; v3; : : :v01; v

02; v

03; : : :

v001 ; v002 ; v

003; : : :

3.1.1 Lema. Si V es una solución de la ecuación (1) y c es una constante, tam-bién la sucesión cV (es decir, la sucesión cv1; cv2; cv3; : : :) es una soluciónde esta ecuación.

Demostración. Multiplicando por c ambos miembros de la igualdad

vn = vn�1 + vn�2

obtenemoscvn = cvn�1 + cvn�2

lo que prueba el lema. �

3.1.2 Lema. Si las sucesiones V 0 y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ;También la suma V 0+V 00 (esto es, v01 + v

001 ; v

02 + v

002 ; v

03 + v

003 : : :) es solución

de esta ecuación.

Demostración. Por hipótesis, tenemos que

v0n = v0n�1 + v

0n�2 y v00n = v

00n�1 + v

00n�2

Sumando estas igualdades miembro a miembro, encontramos

v0n + v00n =�v0n�1 + v

00n�1�+�v0n�2 + v

00n�2

�la última igualdad prueba el lema. �

Consideremos ahora V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionales de la ecuación(1) ( es decir, dos soluciones de la ecuación (1) tales que cualquiera que sea la

constante c habrá un número n para el que v0nv00n6= c).

49

3.1.1 Proposicion. Toda sucesión V; solución de la ecuación (1) ; puede serrepresentada así

V = c1V0 + c2V

00 (2)

donde c1 y c2 son constantes. A la ecuación (2) se estila llamar solucióngeneral de la ecuación (1) :

Probaremos primero que siendo V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionalesde la ecuación (1) ; se tiene

v01v0016= v02v002

(3)

(La no proporcionalidad es visible ya en los primeros términos de las sucesiones V 0 y V 00)

Demostración (3). Supongamos que para dos soluciones no proporcionalesV 0 y V 00 de la ecuación (1) se tiene

v01v001=v02v002

Formemos la siguiente proporción

v01 + v02

v001 + v002

=v02v002

recordando que V 0 y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ;

v03v003=v02v002

Análogamente comprobamos (¡haciendo inducción en n !) que

v03v003=v04v004= � � � = v0n

v00n= � � �

Si esto ocurre, se tiene que V 0 y V 00 son proporcionales lo que es absurdo,luego (3) es verdadera.

Tomemos ahora una sucesión V; solución de la ecuación (1) : Según hemosvisto ya al inicio de este apartado, esta sucesión queda perfectamente determi-nada si se indican sus dos primeros términos v1 y v2:Busquemos los valores de c1 y c2 de modo que sea

c1v01 + c2v

002 = v1

c1v01 + c2v

002 = v2

(4)

50

La suma c1V 0 + c2V 00 coincidirá con V , esto lo garantiza los lemas 3:1:1 y3:1:2: El sistema de ecuaciones (4) tiene solución respecto a c1 y c2 en virtud dela proposición 3.1.1, para cualesquiera que sean los números v1 y v2 :

c1 =v1v

002 � v2v001

v01v002 � v001 v02

y c2 =v01v2 � v02v1v01v

002 � v001 v02

Sustituyendo en (2) los valores obtenidos para c1 y c2 encontramos la repre-sentación requerida para la sucesión V: �

Es decir, para describir todas las soluciones de la ecuación (1) basta encon-trar dos soluciones no proporcionales de la misma. Encontremos estas solucionesentre las progresiones geométricas. De acuerdo al lema 3:1:1, basta considerarlas progresiones cuyos primeros términos son 1. Tomemos la progresión

1; x; x2; : : :

Para que sea una solución de la ecuación (1) ; es su�ciente que para todo nse cumpla la igualdad

xn�2 + xn�1 = xn

dividiendo por xn�2;1 + x = x2 (5)

Las raíces de esta ecuación, es decir, los números 1+p5

2 y 1�p5

2 ; serán lasrazones buscadas de las progresiones.

Llamémoslas por � y �; respectivamente. Los números � y �; como raícesde la ecuación (5) ; satisfacen las relaciones 1 + � = �2, 1 + � = �2 y �� = �1:Así hemos encontrado dos progresiones geométricas, soluciones ambas de

(1) : Por eso, toda sucesión del tipo

c1 + c2; c1�+ c2�; c1�2 + c2�

2; : : : (6)

Son soluciones de la ecuación (1) : Además las progresiones encontradastienen distintas razones y, por ende, no son proporcionales, esto es, la fórmula(6) debe coincidir con la sucesión de Fibonacci.Para ello, como hemos explicado, hay que determinar c1 y c2 de las ecua-

ciones

c1 + c2 = v1 y c1�+ c2� = v2;

Es decir, del sistema

c1 + c2 = 1

c1

�1+ 2p52

�+ c2

�1� 2p52

�= 1

51

Resolviéndolo, encontramos

c1 =1 + 2

p5

2 2p5

y c2 = � 1� 2

p5

2 2p5

!de manera que

vn = c1�n�1 + c2�

n�1

=�1+ 2p52 2p5

��1+ 2p52

�n�1��1� 2p52 2p5

��1� 2p52

�n�1es decir,

vn =

�1+ 2p52

�n��1� 2p52

�n2p5

Esta última expresión lleva el nombre de fórmula de Binet en memoria delmatemático que la encontró (Jacques Philippe Marie Binet a mediados del sigloXIX).

3.1.2 Teorema. El número de Fibonacci vn es el entero más próximo alnúmero �n

2p5 , o sea, es el entero más próximo al n-ésimo término an de laprogresión geométrica cuyo primer término es �

2p5 y cuya razón es �:

Demostración. Basta demostrar que el valor absoluto de la diferencia entrevn y an es siempre menor que 1

2 : Esto es

jvn � anj =�����n � �n2

p5

� �n

2p5

���� = �����n � �n � �n2p5

���� = j�jn2p5

Puesto que � = �0:618033 : : : ; se tiene j�j < 1; es decir j�jn < 1 para todon; con mayor razón j�jn

2p5 <12 ya que

2p5 > 2: lo que prueba el teorema. �

Por ejemplo, calculemos para n = 13

�13

2p5=

�1+ 2p52

�132p5

=521:0019

2: 236 1= 232:9957

El número entero más próximo a 232:9957 es 233 que corresponde a v13 enla sucesión de Fibonacci.

52

3.2 Propiedades Aritméticas de los Números de Fibonacci.

Estudiaremos algunas propiedades sobre la divisibilidad, máximo común divisory otras caracterizaciones aritméticas de los números de Fibonacci.

3.2.1 Lema. Probar la válidez de la siguiente fórmula para los número deFibonacci

vn+m = vn�1vm + vnvm+1

3.2.1 Teorema. Si n es divisible por m; también vn es divisible por vm:

Demostración. Supongamos que n es divisible por m; esto es, n = mk:Haremos nuestra demostración haciendo inducción en k:Para k = 1 se tiene n = m y es evidente que vn es divisible por vm: Supong-

amos que vn=mk es divisible por vm y consideremos vm(k+1): Pero vm(k+1) =vmk+m; en virtud del lema 3.2.1

vm(k+1) = vmk+m = v(mk)�1vm + vmkvm+1

Es claro que vm divide el primer sumando del tercer miembro. El segundosumando es múltiplo de vmk; esto es, también es divisible por vm según lahipótesis inductiva. De aquí se deduce que la suma de estos dos sumando, osea, vm(k+1); es divisible por vm: Que era lo que queriamos demostrar. �

Por ejemplo, tomemos m = 5 y n = 15; es claro que mjn: Por otra partelos números vm = v5 = 5 y vn = v15 = 610; también es claro que vmjvn: Puestoque v15 = v5 � 122:

3.2.2 Teorema. Los números de Fibonacci consecutivos son coprimos.

Demostración. Supongamos, en contra de la a�rmación que vn y vn+1tienen un divisor común d > 1: La diferencia vn+1 � vn es divisible por d: Perocomo vn+1 � vn = vn�1; resulta que d divide también vn�1: Análogamente sedemuestra (¡haciendo inducción!) que d divide vn�2; vn�3; : : : ; etc: y �nalmentea v1: Pero v1 = 1 y no puede ser divisible por d > 1: Por tanto los número vn yvn+1 son coprimos. �

Ejemplos

mcd (144; 233) = 1

mcd (21; 34) = 1

Observemos los siguientes casos

53

(1; 2) = 1; (2; 8) = 2; (3; 21) = 3; (5; 55) = 5

Cabe hacernos la siguiente pregunta, ¿El máximo común divisor de dosnúmeros no consecutivos de Fibonacci, es otro número de Fibonacci?

3.2.3 Teorema. Para los números de Fibonacci, tiene lugar la igualdad sigu-iente

(vm; vn) = v(m;n)

Esto es, el máximo común divisor de dos números de Fibonacci es el númerode Fibonacci que corresponde al mcd de los índices de los números dados.

Demostración. Supongamos que m > n y apliquemos el algoritmo deEuclides a los números m y n:

m = nq0 + r1 donde 0 � r1 < nn = r1q1 + r2 donde 0 � r2 < r1r1 = r2q2 + r3 donde 0 � r3 < r2

......

...rt�2 = rt�1qt�1 + rt donde 0 � rt < rt�1

rt�1 = rtqt

Luego por teorema 2.2.2 resulta que rt es el máximo común divisor de m yn: Puesto que m = nq0 + r1; resulta que

(vm; vn) = (vnq0+r1 ; vn)

esto es, por el lema 3.2.1,

(vm; vn) = (vnq0�r1vr1 + vnq1vr1+1; vn)

recordando que (a; b) = (a+ c; b) ; podemos escribir

(vm; vn) = (vnq0�r1vr1 ; vn)

de igual forma teniendo presente que (a; bc) = (a; b) ; se sigue

(vm; vn) = (vr1 ; vn)

Análogamente podemos escribir que

(vr1 ; vn) = (vr2 ; vr1)(vr2 ; vr1) = (vr3 ; vr2)

......

...�vrt�1 ; vrt�2

�=

�vrt ; vrt�1

�

54

Comparando estas igualdades, encontramos

(vm; vn) =�vrt ; vrt�1

�Como rt divide a rt�1; luego por el teorema 3.2.1, debe ser que vrt jvrt�1 ; debe

ser por lo tanto�vrt ; vrt�1

�= vrt y recordando, �nalmente, que rt = (m;n) ;

obtenemos (vm; vn) = v(m;n) �

3.2.1 Proposición. Un número de Fibonacci es par si, y sólo si, su índice esdivisible por 3, esto es

2jvn () 3jn

Demostración. ((=) Si 3jn =) 2jvn: Si 3jn entonces n = 3k; luegohaciendo inducción en k; resulta para k = 1; n = 3 y v3 = 2 es claro que 2jv3:Asumamos la validez de 2jv3k para algún k y probemos la validez para k+1;

esto es, 2jv3(k+1): Si tenemos n = 3 (k + 1) ; entonces vn = v3(k+1) = v3k�1v3 +v3kv4recordando que v3 = 2; tenemos vn = v3(k+1) = 2v3k�1 + v3kv4; es claro que

el primer sumando es par, y el segundo es divisible por 2 por hipótesis inductiva.Luego 2jv3(k+1):

(=)) Si 2jvn =) 3jn: Haremos esta prueba por contrarrecíproco, esto es,si 3 - n =) 2 - vn: Si 3 - n, entonces n = 3k + r donde 0 < r < 3: Haciendoinducción sobre k; tenemos para k = 1n = 3 + r; pero r solo puede ser 1 o 2, lo cual nos da los casos v4 = 3 y

v5 = 5 que en ningún caso es par. Suponemos la validez de 3 - n = 3k+r =) 2 -vn=3k+r para algún k: y probemos la validez para k+1: Luego si n = (3k + 1)+r;entonces podemos escribir

vn = v(3k+1)+r = v(3k+r)+3 = v(3k+r)�1v3 + v3k+rv4

recordemos que v3 = 2 y v4 = 3; así tenemos

vn = 2 � v(3k+r)�1 + 3 � v3k+r

como 2 - 3 y 2 - v3k+r esto garantiza que 2 - vn: �

Por ejemplo, si n = 9 tenemos v9 = 34 y 2j34:Por otro lado, 2jv12 = 144 y 3j12:

55

3.3 Números de Fibonacci y Las Fracciones Continuas

Consideremos la expresión

q0 +1

q1 +1

q2+1

...+ 1qn

(1)

donde q1; q2; : : : ; qn son enteros positivos y q0 es un entero no negativo, estoes q0 puede se cero.

Las expresiones del tipo (1) se denominan fracciones continuas y el procesode conversión de un número en una fracción continua se denomina desarrollo enfracción continua.

Aprendamos cómo obtener los cocientes incompletos de este desarrollo parael caso de una fracción ordinaria a

b :Consideremos para este �n el algoritmo de Euclides aplicado a los números

a y b:

a = bq0 + r1 donde 0 � r1 < bb = r1q1 + r2 donde 0 � r2 < r1r1 = r2q2 + r3 donde 0 � r3 < r2

......

...rn�2 = rn�1qn�1 + rn donde 0 � rn < rn�1

rn�1 = rnqn

(2)

De la primera igualdad es claro que

a

b= q0 +

r1b= q0 +

1br1

Pero de la segunda igualdad del sistema (2) se deduce que

b

r1= q1 +

r2r1= q1 +

1r1r2

y Ahora teniendo presente la tercera igualdad del sistema (2)

r1r2= q2 +

r3r2= q2 +

1r2r3

Tomando en cuenta estas igualdades y haciendo las sustituciones adecuadasobtenemos

56

a

b= q0 +

1

q1 +1

q2+1r2r3

continuando este proceso hasta el �n resulta obvia la expresión

q0 +1

q1 +1

q2+1

...+ 1qn

3.3.1 Teorema. Los concientes incompletos correspondientes de dos fraccionescontinuas iguales, son iguales

Demostración. Tomemos dos fracciones continuas � y �0: Sean q0; q1; q2; : : :y q00; q

01; q

02; : : : sus cocientes incompletos respectivamente. Probemos que la

igualdad � = �0 implica las igualdades q0 = q00; q1 = q01; q2 = q02; etc. Enefecto, q0 es la parte entera del número � y q00 es la parte entera de �

0; de aquí laúnica posibilidad es que q0 = q00: Ahora bien, podemos representar las fraccionescontinuas � y �0 en la forma

q0 +1

�1y q00 +

1

�01

donde �1 y �01 también son fracciones continuas. Puesto que � = �

0 y q0 = q00;debe ser �1 = �

01: Pero en tal caso son iguales las partes enteras de los números

�1 y �01; o sea, q1y q

01: Continuando este razonamiento encontramos que q2 =

q02; q3 = q03; : : : �

Sea� = q0 +

1

q1 +1

q2+1

...+ 1qn

una fracción continua. Consideremos los números

q0; q0 +1

q1; q0 +

1

q1 +1q2

; : : :

estos números expresados como fracciones irreducibles

P0Q0

= q01

P1Q1

= q0 +1q1

P2Q2

= q0 +1

q1+1q2

......

...PnQn = �

57

se denominan reducidas de la fracción continua �: De la secuencia anteriorse ve que Pk+1

Qk+1se obtine de Pk

Qksustituyendo el único cociente incompleto de

esta reducida, o sea, qk; por qk+1:

3.3.1 Lema. Para toda fracción continua � se cumplen las relaciones siguientes

Pk+1 = Pkqk+1 + Pk�1 (1)

Qk+1 = Qkqk+1 +Qk�1 (2)

Pk+1Qk � PkQk+1 = (�1)k (3)

Haremos la demostración del lema 3.3.1 probando simultáneamente las tresigualdades y aplicando inducción sobre k.Para k = 1: Tenemos:

P1Q1

= q0 +1

q1=q0q1 + 1

q1

Puesto que los números q0q1 + 1 y q1 son coprimos, la fracciónq0q1+1q1

es

irreducible; al mismo, la fracción P1Q1

es irreducible. Pero los numeradores ylos denominadores de dos fracciones irreducibles iguales son iguales. Esto esP1 = (q0q1 + 1) y Q1 = q1:Tenemos, luego,

P2Q2

= q0 +1

q1 +1q2

=q0 (q1q2 + 1) + q2

q1q2 + 1

recordando aquí que; (a; bc) = (a; b) = (a+ c; b) tenemos

(q0 (q1q2 + 1) + q2; q1q2 + 1) = ((q1q2 + 1) + q2; q1q2 + 1) = (q2; q1q2 + 1)

y por la misma razón pasa que

(q2; q1q2 + 1) = (q2; 1) = 1

de aqui se siguie que P1Q1= q0q1+1

q1sean irreducibles, de modo que

P2 = q0 (q1q2 + 1) + q2 = (q0q1 + 1) q2 + q0 = P1q2 + P0

yQ2 = q1q2 + 1 = Q1q2 +Q0

�nalmente la igualdad

P2Q1 � P1Q2 = (q0 (q1q2 + 1) + q2) (q1)� (q0q1 + 1) (q1q2 + 1) = (�1)1

58

Hasta aquí tenemos la validez para k = 1; y la base de la inducción paraalgún entero k; bien ahora consideremos el caso para k + 1:Consideremos la fracción

Pk+1Qk+1

=Pkqk+1 + Pk�1Qkqk+1 +Qk�1

Como hemos dicho ya Pk+2Qk+2

se obtine de Pk+1Qk+1

sustituyendo en ésta qk+1por q

K+1+ 1

qk+2; puesto que qk+1 no �gura en las fórmulas para Pk; Qk; Pk�1 y

Qk�1; tenemos

Pk+2Qk+2

=Pk

�qK+1

+ 1qk+2

�+ Pk�1

Qk

�qK+1

+ 1qk+2

�+Qk�1

recordando las hipótesis inductivas (1) y (2)

Pk+2Qk+2

=Pk+1qk+2 + PkQk+1qk+2 +Qk

(4)

Demostraremos que el segundo miembro de (4) es una fracción irreducible,para ello basta probar que su numerador y denominador son coprimos.Supongamos que los números Pk+1qk+2 + Pk y Qk+1qk+2 +Qk poseen un

divisor común d > 1: En este caso, la expresión

(Pk+1qk+2 + Pk)Qk+1 � ( Qk+1qk+2 +Qk)Pk+1también será divisible por d: Pero, según la hipótesis inductiva (3) ; esta

expresión es igual a (�1)k+1 y d no puede dividirla.Por lo tanto, el segundo miembro de (4) es irreducible de modo que (4) es

una igualdad entre dos fracciones irreducibles. Luego,

Pk+2 = Pk+1qk+2 + Pk y Qk+2 = Qk+1qk+2 +Qk

Para �nalizar la demostración falta demostrar que

Pk+2Qk+1 � Pk+1Qk+2 = (�1)k+1

Pero de los resultados ya obtenidos

Pk+2Qk+1 � Pk+1Qk+2 = (Pk+1qk+2 + Pk)Qk+1 � (Qk+1qk+2 +Qk)Pk+1= Qk+1Pk+1qk+2 + PkQk+1 � Pk+1Qk+1qk+2 �QkPk+1= (Qk+1Pk+1qk+2) + (PkQk+1 �QkPk+1)� (Pk+1Qk+1qk+2)= (QkPk+1 + PkQk+1) (�1)= (�1)k+1

con lo cual queda demostrado el lema. �

59

3.3.2 Teorema. Si una fracción incompleta tiene n cocientes incompletos,todos iguales a 1; esta fracción es igual a vn+1

vn

Demostración. Sea �n la fracción continua de n cocientes incompletosiguales a 1. Podemos escribir entonces

�1; �2; �3; : : : ; �n

las fracciones reducidas de la fracción �n:Sea

�k =PkQk

Puesto que

�1 = 1 =1

1y �2 = 1 +

1

1= 2

debe ser P1 = 1 y P2 = 2: Además Pn+1 = Pnqn+1 + Pn�1; por lo probadoen el lema 3.3.1; como todos los cocientes son iguales a 1; se tiene que qn+1 = 1:Por tanto podemos escribir

Pn+1 = Pn + Pn�1

de donde tenemos que

Pn = Pn�1 + Pn�2

esta última fórmula coincide con la de�nición para los números de �bonacci,por tal razón

Pn = vn+1

Análogamente tenemos Q1 = 1; Q2 = 1 y Qn+1 = Qnqn+1 +Qn�1luego

Qn+1 = Qn +Qn�1

de modo que Qn = vn: Por consiguiente

�n =vn+1vn

Toda la discusión sobre fracciones continuas �nitas, es aplicable de formanatural al caso de fracciones continuas in�nitas.

Determinemos el valor de la fracción continua in�nita

1 +1

1 + 11+ 1

...+ 1

...+1

60

sabemos ya que este valor es igual a limn*1

�n; donde �n =vn+1vn: Calculemos

este límitePor el teorema 3.1.2 sabemos que vn es el entero más próximo a �n

2p5 ; es decir,para todo n se tiene

vn =�n

2p5+ �n donde j�nj <

1

2:

Luego tenemos

limn*1

�n = limn*1

vn+1vn

= limn*1

�n+12p5 + �n+1�n2p5 + �n

= limn*1

�+ �n+12p5

�n

1 + �n2p5

�n

=limn*1

��+ �n+1

2p5�n

�limn*1

�1 + �n

2p5�n

�Pero �n+1

2p5 es una magnitud acotada (su valor absoluto es menor que 2) y

�n crece inde�nidamente cuando n tiende al in�nito (porque � > 1). Por tanto

limn*1

�+

�n+12p5

�n

!= �+ lim

n*1

�n+12p5

�n= �

y

limn*1

1 +

�n2p5

�n

!= 1 + lim

n*1

�n2p5

�n= 1

Finalmentelimn*1

�n = �

recordemos que � = 1+ 2p52 ; tenemos, entonces

limn*1

�n =1 + 2

p5

2� 1: 6180

Por ejemplo, la razón v5v4= 5

3 = 1: 666 7 y parav14v13

= 377233 = 1: 618:

61

3.4 ¿Dónde están los números de Fibonacci?

Fibonacci en la Naturaleza.

Fibonacci y los vegetales: El ejemplo que quizás sea el más sencillo, es elcaso de la orientación de las espirales en una piña, si contamos las espirales enun sentido y luego en el otro (sentido) encontramos los números 8 y 13 en otrasespecies aparecen 5 y 8, en ambos casos números de Fibonacci consecutivos.

Fibonacci y las �ores: Si por curiosidad contamos los pétalos de una �orcualquiera que esta sea, en un 95% encontraremos números de Fibonacci paraestos, así por ejemplo, las margaritas tienen en general 21 ó 34 pétalos y algunastienen 55 e incluso alcanzan 89 todos números Fibonacci.

Fibonacci y los animales: Además del ya mencionado problema de losconejos, también encontramos números de Fibonacci en el árbol genealógico delas abejas machos. En toda colmena existe una abeja hembra llamada �reina�,que es la única capaz de producir huevos. Las abejas �obreras� también sonhembras, pero no producen huevos, solo trabajan. En la colmena también exis-ten abejas �machos�, que no trabajan y su única función es aparear a la reina(zánganos). Estos provienen de huevos de la abeja reina no fertilizados, y porlo tanto tienen madre, pero no tienen padre, por lo que él (1) tiene una madre(1; 1), dos abuelos �los padres de la reina� (1; 1; 2), tres bisabuelos -por queel padre de la reina no tuvo padre-(1; 1; 2; 3), cinco tatarabuelos, (1; 1; 2; 3; 5)

62

y ocho tataratatarabuelos, (1; 1; 2; 3; 5; 8), en de�nitiva sigue estrictamente lasucesión de números de Fibonacci.

En las dimensiones del hombre.

� La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

� La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia delcodo a los dedos.

� La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

� La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primerafalange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera,si dividimos todo es 1+

p5

2 .

63

3.5 Ejercicios Propuestos

1. Calcúlese los primeros 50 números de Fibonacci.

2. Pruébese el lema 3.2.1

3. Encuéntrese una expresión que de la suma para los números de Fibonacci deíndices impares y pruébese su validez para todo n:

3. Pruébese que para los números de Fibonacci es válida la igualdad siguiente

v21 + v22 + � � � v23 = vnvn+1

4. Pruébese el siguiente teorema.

Teorema. Cualquiera que sea el número enterom, entre losm2�1 primerosnúmeros de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m:

5. Calcúlese el mcd para los siguientes conjunto de números

(v7; v9) ; (v5; v15) ; (v4; (v7; v9)) ; ((v21;v12) ; (v7; v9))

6. Demuéstrese los siguientes criterios de divisibilidad para números de Fi-bonacci

6.1 Un número de Fibonacci es divisible por 3 si, y sólo si, su índice es divisiblepor 4.

6.2 Un número de Fibonacci es divisible por 4 si, y sólo si, su índice es divisiblepor 6

6.3 Un número de Fibonacci es divisible por 5 si, y sólo si, su índice es divisiblepor 5

6.4 Un número de Fibonacci es divisible por 7 si, y sólo si, su índice es divisiblepor 8

7. Considérese los números primos de Fibonacci, con índices mayor a 3; ¿quépuede decirse de los índices?

8. Desarróllese en fracciones continuas los siguientes números racionales227

355113

10259532657

10399333102

14614

9. Calcúlese las primeros 5 términos de la sucesión de Fibonacci usando lafórmula de Binet y pruébese que ésta es válida para todo n:

10. Un saltador puede desplazarse en una sóla dirección a lo largo de una franjacuadriculada saltando cada vez a la casilla inmediata o por encima de ellaa la siguiente. ¿cuántos modos de desplazarse en n � 1 casillas y, enparticular, de la primera a la n� �esima tiene el saltador? (dos modos sonidénticos si en cada uno de ellos el saltador se posa en la misma casilla?

64

4 Funciones Aritméticas

Con números se puede demostrar cualquier cosa.Thomas Carlyle

En este apartado estudiaremos las funciones más importantes de la teoríade número; daremos sus de�niciones, algunas aplicaciones y su importancia enla aritmética.

4.1.1 De�nición. Una función real o compleja de�nida sobre los enteros posi-tivos se llama una función aritmética o una función de teoría de números.

Empezaremos con la función parte entera que ya antes habíamos mencionadoen el capítulo 2.

4.1.1 Teorema. Sea x y y números reales. Entonces se tiene que

a. [x+m] = [x] +m; si m 2 Z

b. [x] + [y] � [x+ y] � [x+ y] + 1

c. [x] + [�x] =�0 si x es entero,�1 en cualquier otro caso

d.h[x]m

i=�xm

�; si m es un entero positivo

e.�x+ 1

2

�es el entero más próximo a x: Si dos enteros son igualmente próximos

a x; es el mayor de los dos.

Demostración. La parte a) es evidente, puesto que si m 2 Z entonces[m] = m: De aquí que, [x+m] = [x] +m; puesto que x no es necesariamenteentero.Para la parte b) se escribe x = n+ "; y = m+ �; donde m y n son enteros y

0 � � < 1, 0 � � < 1.Entonces

[x] + [y] = n+m � [n+ "+m+ �] = n+m+ ["+ �] � n+m+1 � [x+ y] + 1

Una vez más, para la parte c); escribiendo x = n + "; también se tiene�x = �n� 1 + 1� "; 0 < 1� " � 1:Entonces

[x] + [�x] = n+ [�n� 1 + 1� "] = n� n� 1 + [1� "] =�

0 si v = 0�1 si v > 0

65

y se tiene c):

A modo de ejemplo, veamos una aplicación para el teorema anterior

Probar quen!

a1!a2! � � � ar!es un entero. Si ai � 0; a1 + a2 + a3 + � � � + ar = n: Para hacerlo debe

demostrarse que todo número primo divide al numerador para la pontenciamás alta que divide al denominador. Aplicando el teorema 2.5.2 solamente esnecesario probarX�

n

pi

��X�

a1pi

�+X�

a2pi

�+ � � �+

X�arpi

�aplicando repetidamente el teorema 4.1.1b, resulta�

a1pi

�+

�a2pi

�+ � � �+

�arpi

���a1 + a2 + a3 + � � �+ ar

pi

�=

�n

pi

�Sumando esta expresión sobre i se tiene el resultado deseado.

Veamos este resultado particularmente8 + 6 + 7 + 12 = 33; Luego

33!

8!6!7!12!; debe ser entero

Por el teorema 2.5.2 tenemos las siguientes descomposiciones en factoresprimos

33!8!6!7!12! = 231�315�57�74�113�132�17�19�23�29�31

(27�32�5�7)(24�32�5)(24�32�5�7)(210�35�52�7�11)

= 231�315�57�74�113�132�17�19�23�29�31225�311�55�73�11

= 26 � 34 � 52 � 7 � 112 � 132 � 17 � 19 � 23 � 29 � 31

que resulta ser entero, nótese que tal como lo predijo el resultado anterior elexponente que �gura en el numerador es mayor o igual al del denominador porcada factor primo.

66

4.1.2 De�nición. La función de Möbius � (n) se de�ne como sigue:

� (1) = 1;

Si n > 1; escribimos n = p�11 � � � � � p�kk : Entonces

� (n) = (�1)k si �1 = �2 = � � � = �k = 1;� (n) = 0 en otro caso.

Observemos algunos ejemplos;

� (2) = ��21�; como �1 = 1; se tiene (�1)1 = �1

� (3) = ��31�; como �1 = 1; se tiene (�1)1 = �1

� (4) = ��22�; como �1 = 2 6= 1; por de�nición � (4) = 0

Luego

n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10� (n) : 1 �1 �1 0 �1 1 �1 0 0 1

4.1.2 Teorema. Si n � 1 tenemosXdjn

� (d) =

�1

n

�=

�1 si n = 10 si n > 1

Demostración. La expresión es claramente cierta para n = 1; puesto quesi n = 1; d debe ser también 1 y por de�nición de � se sigue que � (1) = 1:Suponemos, entonces, que n > 1 y escribimos n = p�11 � � � p�kk : En la expresiónPdjn� (d) los únicos términos no nulos proceden de d = 1 y de los divisores de n

que son productos de primos distintos. EntoncesXdjn

� (d) = � (1)+� (p1)+� � �+� (pk)+� (p1p2)+� � �+� (pk�1pk)+� � �+� (p1p2 � � � pk) (�)

Ahora observemos con cuidado

� (p1) + � � �+ � (pk) =

�k

1

�(�1)

� (p1p2) + � � �+ � (pk�1pk) =

�k

2

�(�1)2

� (p1p2p3) + � � �+ � (pk�2pk�1pk) =

�k

3

�(�1)3

67

podemos seguir con estos arreglos hasta �nalizar con � (p1p2 � � � pk) ; susti-tuyendo en la expresión (�), nos resultaX

djn

� (d) = 1 +

�k

1

�(�1) +

�k

2

�(�1)2 + � � �+

�k

k

�(�1)k

Si recordamos el binomio de Newton,nPk=o

�n

k

�an�kbk = (a+ b)

n; tenemos

que Xdjn

� (d) = (1� 1)k = 0: �

Particularizando el teorema 4.1.2.

Por ejemplo, si n = 24, luego todos los divisores positivos de 24 seríanf1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24g, entonces

� (1) = 1

� (2) = �1� (3) = �1��22�= 0

� (2 � 3) = 1

��23�= 0

��22 � 3

�= 0

��23 � 3

�= 0

Finalmente,Xdj24

� (d) = � (1) + � (2) + � (3) + ��22�+ � (2 � 3) + �

�23�+ �

�22 � 3

�+ �

�23 � 3

�= 1� 1� 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0= 0

4.1.3 De�nición. La función indicatriz de Euler ' (n) : Si n � 1 la indi-catriz de Euler es el número de enteros positivos menores que n que soncoprimos con n; así

' (n) =nXk=1

1; donde (k; n) = 1

68

Por ejemplo; si n = 12; entonces, se tiene que: (1; 12) = 1; (5; 12) = 1;(7; 12) = 1; (11; 12) = 1 y luego,

' (12) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

En la siguiente tabla se muestran algunos valores para ' (n) ;

n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10' (n) : 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4

4.1.3 Teorema. Para n � 1 tenemos

' (n) =Xdjn

� (d)n

d

Demostración. La suma que de�ne a ' (n) se puede escribir en la forma

' (n) =

nXk=1

1 = ' (n) =

nXk=1

�1

(n; k)

�;

en donde k recorre todos los enteros k � n: Ahora utilizaremos el teorema4.1.2 sustituyendo n por (n; k) y obtenemos

' (n) =nXk=1

0@ Xdj(n;k)

� (d)

1A =nXk=1

Xdjndjk

� (d)

Para un divisor d de n �jo podemos sumar respecto de todos los k tales que1 � k � n son múltiplos de d: Si escribimos k = qd entonces 1 � k � n si, ysólo si, 1 � qd � djn: Por lo tanto la última suma que da ' (n) se puede escribir

' (n) =

nXk=1

n=dXq=1

� (d) =Xdjn

� (d)

n=dXq=1

1 =Xdjn

� (d)n

d:

Lo que demuestra el teorema. �

Acontinuación tenemos una expresión que conecta a ' (n) y a los divisoresprimos de n:

4.1.4 Teorema. Para n � 1 tenemos

' (n) = nYpjn

�1� 1

p

�

69

Demostración. Para el caso n = 1 el producto es vacío puesto que noexiste ningún primo que divida a 1, en este caso podemos indicar ' (1) = 1:Suponemos, entonces, que n > 1 y que p1; p2; : : : ; pr son los divisores primosdistintos de n. El producto se puede escribir

Ypjn

�1� 1

p

�=

rYi=1

�1� 1

pi

�Observemos con más detalle este producto, considérese los primeros tres

productos, esto es

3Qi=1

�1� 1

pi

�=

�1� 1

p1

��1� 1

p2

��1� 1

p3

�=

�p1�1p1

��p2�1p2

��p3�1p3

�= p1+p2+p3�p1p2�p1p3�p2p3+p1p2p3�1

p1p2p3

= p1p1p2p3

+ p2p1p2p3

+ p3p1p2p3

� p1p2p1p2p3

� p1p3p1p2p3

� p2p3p1p2p3

+p1p2p3p1p2p3

� 1p1p2p3

= 1p1p2

� 1p2� 1p3� 1p1+ 1p1p3

+ 1p2p3

� 1p1p2p3

+1

= 1� 1p1� 1p2� 1p3+ 1p1p2

+ 1p1p3

+ 1p2p3

� 1p1p2p3

= 1�P

1pi+P

1pipj

� 1p1p2p3

Si extendemos este producto hasta i = r encontramos que

rYi=1

�1� 1

pi

�= 1�

X 1

pi+X 1

pipj�X 1

pipjpk+ � � �+ (�1)r

p1p2 � � � pr(��)

En la parte derecha de ésta última expresión vemos que un término comoP1

pipjse consideran todos los posibles productos pipj de factores primos dis-

tintos de n; lo mismo ocurre para los casos pipjpk; pipjpkpl;���Obsérvese que cada uno de los términos de la derecha en (��) es de la forma

� 1d ; en donde d es un divisor de n que es 1 o producto de primos distintos. El

numerador �1 es claramente � (d) : Así podemos escribir entoncesrYi=1

�1� 1

pi

�= 1�

X 1

pi+X 1

pipj�X 1

pipjpk+� � �+ (�1)r

p1p2 � � � pr=� (d)

1+X � (d)

di+� � �+� (d)

dr

70

lo cual nos conduce exactamente aPdjn

�(d)d ; Finalmente incluyendo n en el pro-

ducto y considerando el teorema 4.1.3 resulta

nrYi=1

�1� 1

pi

�=Xdjn

� (d)n

d= ' (n)

que es lo que queriamos demostrar. �

A manera de ejemplo, consideremos n = 60 y encontremos el número decoprimos que posee.Esto se reduce a calcular ' (60) ; el teorema nos da un buen algoritmo para

hacerlo, además 60 = 22 � 3 � 5

' (60) = 60

3Yi=1

�1� 1

pi

�= 60

�1� 1

2

��1� 1

3

��1� 1

5

�= 16

La indicatriz de Euler, es una de las funciones más importantes en teoría denúmeros por su alcance en muchos resultados notables, esto en gran medida porsus propiedades; resumimos algunas en el siguiente teorema.

4.1.5 Teorema. La indicartiz de Euler cumple con las propiedades siguientes:

a. ' (p�) = p� � p��1 para p primo y � > 1

b. ' (mn) = ' (m)' (n)�

d'(d)

�; donde d = (m;n)

c. Si mjn entonces ' (m) j' (n)

d. ' (n) es par para n � 3: Además, si n posee r factores primos imparesdistintos, entonces 2rj' (n)

Demostración. La parte (a) se obtiene si en (�) hacemos n = p�; así

' (p�) = p�Ypjp�

�1� 1

p

�Luego, el único primo p que divide a p� es el mismo p; de donde

' (p�) = p��1� 1

p

�= p� � p��1

71

Por ejemplo;

'�73�= 73 � 72 = 343� 49 = 294

y por otro lado, 73 = 343

' (343) = 343Ypj343

�1� 1

p

�= 343

�1� 1

7

�= 294:

Para probar la parte (b) escribimos

' (n)

n=Ypjn

�1� 1

p

�Teniendo presente que cada divisor primo de mn es un divisor primo de m o

n; y aquellos divisores primos que dividen tanto a m como a n dividen tambiéna (m;n) : De aquí que

' (mn)

mn=Ypjmn

�1� 1

p

�=

Qpjm

�1� 1

p

� Qpjn

�1� 1

p

�Q

pj(m;n)

�1� 1

p

� ='(m)m

'(n)n

'(d)d

y �nalmente

' (mn) = mn' (m)

m

' (n)

n

d

' (d)= ' (m)' (n)

�d

' (d)

�Por ejemplo;

' (9 � 12) = ' (9)' (12)

�3

' (3)

�= 9

Ypj9

�1� 1

p

�12Ypj12

�1� 1

p

�3

3Qpj3

�1� 1

p

�= 6 � 4 � 12

3

= 36

y por otro lado, 9 � 12 = 108

' (108) = 108Ypj108

�1� 1

p

�= 108

�1� 1

2

��1� 1

3

�= 36:

A partir de lo probado en (b) deducimos (c) : Si mjn tenemos n = mk endonde 1 � k � n:Si k = n; entonces m = 1 y la parte (c) se veri�ca trivialmente.Por consiguiente, suponemos que c < b: De la parte (b) tenemos

' (n) = ' (mk) = ' (m)' (k)d

' (d)= d' (m)

' (k)

' (d)(y)

72

en donde d = (m; k) : Ahora el resultado se obtiene por inducción sobre n:Para n = 1 se sigue trivialmente. Suponemos, pues, que (c) se veri�ca para todoentero menor que n:Entonces se veri�ca para k luego, puesto que djc; ' (d) j' (c) : Por lo que el

segundo miembro de (y) es un múltiplo de ' (m) ; es decir, ' (m) j' (n) : Lo queprueba (c) :

Por ejemplo, 4j36 y ' (4) = 2; ' (36) = 12; de donde es claro que ' (4) j' (36) :

Ahora probaremos la parte (d) : Si n = 2� ,� � 2 la parte (a) pruebaque ' (n) es par. Para el caso n = 3 obtenemos, ' (3) = 3

�1� 1

3

�= 2; par.

Así podemos establecer que ' (n) es par, para algún n � 3; y probaremos quetambién es cierto para n+1; es decir que ' (n+ 1) es par. Escribamos, entonces

' (n+ 1) = (n+ 1)Y

pj(n+1)

�1� 1

p

�= (n+ 1)

Qpj(n+1)

(p� 1)Qpj(n+1)

p=(n+ 1)Qpj(n+1)

p

Ypj(n+1)

(p� 1)

observando el factor (p� 1) ; notamos que debe ser par, puesto que el únicoprimo par es 2 y todo número impar es de la forma 2k+1; de aquí que ' (n+ 1)sea par. Además, cada primo impar proporciona una factor 2 a este producto,por lo tanto 2rj' (n) ; si n tiene r factores primos impares distintos. �

Por ejemplo,' (30) = 30

�1� 1

2

� �1� 1

3

� �1� 1

5

�= 8 = 23; es decir 23j' (30)

73

4.1 Ejercicios Resueltos sobre Funciones Aritméticas

1. ¿Cuál es la mayor potencia de 2 que divide a 533!? ¿La mayor potencia de3?

Solución.�5332

�= 266;

�2662

�= 133;

�1332

�= 66;

�662

�= 33;

�332

�= 16;�

162

�= 8;

�82

�= 4;

�42

�= 2;

�22

�= 1: Sumando se encuentra que 2529j533!

Para 3; tenemos�5333

�= 177;

�1773

�= 59;

�593

�= 19;

�193

�= 6;

�63

�= 2;�

23

�= 0:

Sumando estos resultados, encontramos 3263j533!:

2. Si se escribe 100! en la notación decimal ordinaria, sin el signo factorial,¿cuántos ceros se escribirían en línea en el extremo derecho?

Solución. Es su�ciente con calcular la mayor potencia de 10 que divide a100: Puesto que 10 = 2 � 5, tendremos que calcular la mayor potencia de 2 yla mayor potencia de 5 que dividen a 100: De estos habrá que tomar el menor(¿porqué?), así�

100

2

�+

�100

4

�+

�100

8

�+

�100

16

�+

�100

32

�+

�100

64

�= 97

y �100

5

�+

�100

25

�= 24

Así, 100! tiene 24 ceros.

3. Para cualquier número real x probar que [x] +�x+ 1

2

�= [2x]

Solución. Escribamos x = m+ "; con m 2 Z; luego [x] = m:[m+ "] +

�m+ "+ 1

2

�= m+ ["] +m+

�"+ 1

2

�= 2m+ ["] +

�"+ 1

2

�: Con-

sideremos 0 � " < 12 ; entonces, ["] = 0 y

�"+ 1

2

�= 0; por tanto se tiene que

[x] +

�x+

1

2

�= 2m = [2x]

Ahora consideremos 12 � " < 1; entonces, 1 � 2" < 2; y de aquí que�

"+ 12

�= 1:

Escribamos

[m+ "] +

�m+ "+

1

2

�= 2m+ "+

�"+

1

2

�= 2m+ 1

74

y[2x] = [2 (m+ ")] = 2m+ [2"] = 2m+ 1

por lo tanto

[x] +

�x+

1

2

�= 2m+ 1 = [2x] �

4. Para números reales positivos cualesquiera x y y probar que [x] � [y] � [xy]

Solución. Escribamos x = m+ "; y = n+ �; con m;n 2 Z; luego [x] = m y[y] = n:[m+ "] � [n+ �] = (m+ ["]) (n+ [�]) = mn +m [�] + n ["] + ["] [�] � mn +

m� + n"+ "� = [xy] : �

5. Encontrar un entero positivo n tal que � (n) + � (n+ 1) + � (n+ 2) = 3:

Solución. n = 33:� (33) + � (34) + � (35) = � (3 � 11) + � (2 � 17) + � (5 � 7) = (�1)2 + (�1)2 +

(�1)2 = 3

6. Probar que � (n)� (n+ 1)� (n+ 2)� (n+ 3) = 0, si n es un entero positivo.

Solución. Para n = 1; tenemos

� (1)� (2)� (3)� (4) = (1) (�1) (�1) (0) = 0

Puesto que los números n; n + 1; n + 2 y n + 3 son cuatro números enterosconsecutivos, siempre uno de ellos es de la forma 2r � k; con r � 2: Por lo tanto,uno de estos números admite siempre una descomposición del tipo 2r �p�22 �� � � p

�kk ;

luego � (2r � p�22 � � � � p�kk ) = 0; y de aquí que, � (n)� (n+ 1)� (n+ 2)� (n+ 3) =0: �

7. Buscar todos los enteros n tales que ' (n) = n2

Solución. Todos los números de la forma 2r con r � 1: Escribamos n = 2ry r = 1; tenemos

' (2) = 1 =2

2así aceptamos la verdad de

' (2r) =2r

2

Probaremos que es cierto para r + 1

'�2r+1

�= ' (2r � 2) = ' (2r)' (2) (2) = 2r

2� 1 � 2 = 2r+1

2: �

75

8. Calcular ' (n) para n = 64; 128

Solución. 64 = 26 y 128 = 27, así por el ejercicio anterior tenemos

' (64) =64

2= 32

' (128) =128

2= 64

9. Demostrar que ' (nm) = n' (m) si todo primo que divide a n también dividea m:

Solución. Observe que todos los primos que �guran en el producto nm;también aparecen en la descomposición canónica de m y n:

' (nm) = nmQpjnm

�1� 1

p

�= n

"mQpjnm

�1� 1

p

�#= n

"mQpjm

�1� 1

p

�#=

n' (m) : �

10. Supongamos m > 1. Probar que '(m) = m� 1 sí y solo si m es primo.

Solución. Lo anterior se traduce como

' (m) = m� 1() m es primo

(=)) Si ' (m) = m� 1; entonces signi�ca que los números 1; 2; 3; : : : ;m� 1son todos coprimos con m; de donde se deduce que el único divisor menor quem es 1 y por lo tanto m es primo.

((=) Si m es primo, entonces ' (m) = mQpjm

�1� 1

p

�= m

�1� 1

m

�= m�1:

�

76

4.2 Ejercicios Propuestos sobre Funciones Aritméticas.

1. ¿Para qué números reales x es verdad que

a. [x] + [x] = [2x] ;

b. [x+ 3] = 3 + [x] ;

c. [x+ 3] = 3 + x;

d.�x+ 1

2

�+�x� 1

2

�= [2x] ;

e. [9x] = 9 ?

2. Si n es cualquier entero positivo y � cualquier número real, pruébese que

[�] +

�� +

1

n

�+ � � �+

�� +

n� 1n

�= [n�]

3. Encuéntrese la mayor potencia de 13 que �gura en 1729!

4. Calcúlese ' (666) ; ' (153) ; ' (16 384)

5. Demuéstrese que ' (mn) = ' (m)' (n) ; si (m;n) = 1

6. Encuéntrese todos los enteros n tales que

' (n) = ' (2n) ; ' (n) = 24

7. Caracterícese el conjunto de enteros positivos que satisfacen ' (2n) > ' (n)

8. CalcúleseP

dj1729' (d)

9. Para cada proposición establézcase una demostración o presentar un con-traejemplo

9.1 Si (m;n) = 1 entonces (' (m) ; ' (n)) = 1

9.2 Si n es compuesto, entonces (n; ' (n)) > 1:

77

5 El Anillo de los Enteros Módulo n

Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan aaquellos que tienen el valor de profundizar en ella.Carl Friedrich Gauss

De aquí en adelante trataremos la aritmética desde una nueva perspectiva,la aritmética modular. Introduciremos la congruencia módulo n, las ecuacionesde congruencias, los sistemás de congruencias y demás. Estudiaremos tambiénen este capítulo los resultados sobre congruencias más importantes, el teoremachino del resto y el pequeño teorema de Fermat y sus aplicaciones prácticas.

5.1 Generalidades sobre Congruencias módulo n

Consideremos cuatro cajas y repartamos los números enteros en cada una deellas de manera ordenada como sigue:

......

......

�8 �7 �6 �5�4 �3 �2 �10 1 2 34 5 6 78 9 10 1116 17 18 19...

......

...

0 1 2 3

Las cajas las rotularemos así: 0 por contener al 0; ( o bien 0 + 4Z; esto eslo múltiplos de 4); 1 por contener al 1( o bien 1 + 4Z; esto es lo múltiplos de4 más 1); 2 por contener al 2 ( o bien 2 + 4Z; esto es lo múltiplos de 4 más2); y la caja 3 por contener al 3 ( o bien 3 + 4Z; esto es lo múltiplos de 4 más3): Consideremos el conjunto Z4 =

�0; 1; 2; 3

llamado conjunto completo de

residuos módulo 4; pues al dividir cualquier entero entre 4 da residuos 0; 1; 2;ó3:

5.1.1 De�nición. Dos enteros son congruentes módulo n; lo que escribimosa � bmodn:

a � bmodn() nja� ba � bmodn() [a]n = [b]na � bmodn() ra = rb

78

En caso contrario, decimos que a y b son incongruentes módulo n.

Hemos dado en realidad tres de�niciones sobre congruencia módulo n; laventaja radica en el contexto de su uso, según convenga podemos usar unau otra de�nición. En la primera lo hacemos en virtud de la divisibilidad, enla segunda decimos que dos números son congruentes, si las clases a las quepertenecen son iguales, y �nalmente decimos que dos números son congruentessi dejan el mismo resto en la división por n:

5.1.2 De�nición. Una relación � en un conjunto S se llama relación deequivalencia si satisface

a. a � a (re�exividad)

b. a � b implica que b � a (simetría)

c. a � b ^ b � c implica que a � c (transitividad); 8a; b; c 2 S

5.1.1 Teorema. La congruencia módulo n es una relación de equivalencia.

Demostración.Sabemos que nj0, entonces nja� a; luego a � amodn (reflexividad) :Si a � bmodn; tenemos que nja� b, entonces nj� (a� b) ; luego njb�a que

es equivalente a, b � amodn (simetr�{a) :

Si a � bmodn; entonces nja � b; si b � cmodn; entonces njb � c; luegonj (a� b) + (b� c) de aquí que nja� c que es equivalente a, a � cmodn (tran-sitividad). �

5.1.3 De�nición. Clase de equivalencia del elemento a 2 S es el conjunto detodos los elementos de S equivalentes a a:

ka = fx 2 S : x � ag

Nótese que de la de�nición anterior tenemos que: la unión de todas las clasesde equivalencias coincide con todo S y dadas dos clases distintas éstas siempreson disjuntas.El conjunto formado por las clases de equivqlencias se llama conjunto co-

ciente de S por la relación de equivalencia y lo escribimos así

S

� = fki : i 2 Ig

79

Dado que la relación de equivalencia que nos ocupa es la congruencia, vamosa caracterizar las clases de equivalencia que esta forma.

A la clase ka pertenecen todos los enteros del tipo a = b+ nk; donde b y nestán dados, y k recorre todo Z: Luego decimos que Z queda particionado enclases de equivalencias.Por ejemplo

k0 = f: : : ;�2n;�n; 0; n; 2n; : : :g

k1 = f: : : ; 1� 2n; 1� n; 1; 1 + n; 1 + 2n; : : :g

k2 = f: : : ; 2� 2n; 2� n; 2; 2 + n; 2 + 2n; : : :gComo los subíndices de cada clase son los posibles restos de la división por

n; las llamamos clases de restos módulo n y se estila escribirlas así

0; 1; 2; 3; 4 : : :

y el conjunto cociente

Zn =�0; 1; 2; 3; 4 : : : ; n� 1

5.1.4 De�nición. � es compatible con �() a � a0 ^ b � b0 =) a�b � a0�b0cualesquiera que se a; b; a0; b0 2 S:

5.1.1 Proposición. La congruencia módulo n es compatible con la adición yla multiplicación en Z: Es decir

a. a � a0modn ^ b � b0modn =) a+ b � a0 + b0modn

b. a � a0modn ^ b � b0modn =) a � b � a0 � b0modn

Demostración.a. a � a0modn =) a� a0 = nk def. congruencia y divisibilidad

b � b0modn =) b� b0 = nk0 def. congruencia y divisibilidad=) (a+ b)� (a0 + b0) = nk00 sumando ambas igualdades=) nj (a+ b)� (a0 + b0) def. divisibilidad=) (a+ b) � (a0 + b0)modn def. congruencia

b. a � a0modn =) a� a0 = nk (1) def. congruencia y divisibilidadb � b0modn =) b� b0 = nk0 (2) def. congruencia y divisibilidad

=) ab� a0b = n (kb) multiplicando por b (1)=) a0b� a0b0 = n (a0k0) multiplicando por a0 (2)=) ab� a0b0 = nk" sumando las dos últimas igualdades=) ab � a0b0modn: def. de congruencias.

80

Este resultado es de notable importancia, que una relación de equivalenciasea compatible con una ley de composición interna de�nida en un conjunto,nos induce una ley de composición interna en el conjunto cociente, esto es, nospermite operar con clases de equivalencias.

Vamos a de�nir en Zn la suma y el producto de clases en la forma siguiente:

a+ b = a+ b

a � b = a � b

También se estila la notación

[a]n + [b]n = [a+ b]n[a]n � [b]n = [a � b]n

Para �nes prácticos, dadas dos clases, se suman o se multiplican (según seael caso) sus representantes y la suma obtenida (o producto) se divide por elmódulo propuesto y se admite como resultado de la operación el resto de ladivisión.

Así, con estas operaciones la tripleta (Zn;+; �) forma un anillo, el anillo deenteros módulo n:

Construiremos la tabla para Z4 de la suma y el producto.

Z4 =�0; 1; 2; 3

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

� 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Un resultado importante es el hecho que (Zn;+; �) es campo cuando n esprimo, lo cual expresamos con mayor formalidad en el siguiente enunciado.

5.1.2 Proposición. Zp es cuerpo si, y solo si, p es un número primo.

Zp es cuerpo() p es primo

Demostración.

i. (=)) Zp es un cuerpo, entonces p es número primo.

81

Supongamos que p no es un número primo; entonces existen dos númerosnaturales q y t distintos de 1 y de n tales que p = q � t: Por tanto

[q]p � [t]p = [q � t]p = [p]p = [0]py siendo [q]p y [t]p dos clases de números congruentes no nulas, por tanto Zp

tiene divisores de cero, luego no es un cuerpo, esto contradice nuestra hipótesis.En consecuencia p debe ser primo.

ii. ((=) p es un número primo, entonces Zp es un cuerpo.

Zp es un anillo unitario y conmutativo y para mostrar que es un cuerpo setiene que ver que todo elemento no nulo posee inverso.Sea [m]n un elemento no nulo de Zp; es evidente que m es menor que n y

que siendo n primo, m y n son primos entre sí.Por el torema 2.2.3 existen otros dos números enteros a y b tales que

am+ bn = 1

Por tanto, sus clases veri�can

[a]n [m]n + [b]n [n]n = 1

Pero [n]n = [0]n se obtiene,

[a]n [m]n = 1

luego, [m]n posee inverso y en consecuencia Zp es cuerpo. �

Ejemplo.Construiremos las tablas para la suma y el producto de Z5; con el �n de

evidenciar que todo elemento no nulo es inversible.

Z5 =�0; 1; 2; 3; 4

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

� 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Observando con detenimiento resulta claro que

1 � 1 = 1

2 � 3 = 1

3 � 2 = 1

4 � 4 = 1

Todo elemento no nulo de Z5 es inversible, luego Z5 es cuerpo.

82

5.1.2 Teorema. Si a � bmodn y � � �modn; entonces tenemos;

a. ax+ �y � bx+ �ymodn

b. a� � b�modn

c. am � bmmodn; 8a; b; x; y 2 Z

Demostración. Si a � bmodn; entonces, nja � b; además � � �modnentonces nj� � �; eventualmente njx (a� b) ^ njy (�� �) luego n dividirá lasuma, esto es njx (a� b) + y (�� �) ; reescribiendo este término nj (ax+ �y)�(bx+ �y) ; que por de�nición de congruencia podemos escribir ax+ �y � bx+�ymodn y queda probada la parte (a) :

Para la parte (b) tenemos, si a � bmodn; entonces, nja � b; además � ��modn entonces nj� � �;eventualmente nj� (a� b) ^ njb (�� �) luego n di-vidirá la suma, esto es nj� (a� b)+ b (�� �) ; de donde es claro que nja�� b�;que por de�nición de congruencia es a� � b�modn:

Finalmente para la parte (c) tenemos que am � bmmodn; es verdaderopara m = 1: Luego por la parte (b) podemos escribir am � a � bm � bmodn oequivalentemente am+1 � bm+1modn con lo que queda probada la parte (c) yel teorema. �

Criterios de divisibilidad y la congruencia módulo n.

Ejemplo 1. Divisibilidad por 9:Un entero n > 0 es divisible por 9 si, y sólo si, la suma de los dígitos

de su expresión decimal es divisible por 9: Probaremos este hecho usando lacongruencia y sus propiedades ya enunciadas. Escribiendo n en su expresióndecimal tenemos

n = a0 + 10a1 + 102a2 + � � �+ 10kak

Por el teorema anterior tenemos que

1 � 1 =) a0 � a010 � 1 =) 10a1 � a1102 � 1 =) 102a2 � a2

......

...10k � 1 =) 10kak � ak

9>>>>>=>>>>>;mod9

luego tenemos que

a0 + 10a1 + 102a2 + � � �+ 10kak � (a0 + a1 + a2 + � � �+ ak)mod 9

lo que equivale a escribir

n � a0 + a1 + a2 + � � �+ akmod9

83

Particularmente, tenemos n = 1305; luego 1+3+0+5 = 9 por tanto 9j1305:

Ejemplo 2. Divisibilidad por 17:Un entero n > 0 es divisible por 17 si, y sólo si, al quitar sus dos últimas

cifras y restarlas del duplo de lo que queda, el resultado es múltiplo de 17:

Sin pérdida de generalidad, consideremos un número n de 4 cifras.

Escribamos n = 1000a3 + 100a2 + 10a1 + a0; luego n = 100 (10a3 + a2) +(10a1 + a0) :

Hagamos,n0 = (10a3 + a2) y a = (10a1 + a0)

.

Podemos escribir n en la forma n = 100n0 + a; n0 serán la cifras que quedaal retirar las dos últimas, esto es al quitar a:

Así, lo que debemos probar es

17jn =) 2n0 � a � 0mod 17

Si 17jn, entonces 100n0 + a � 0mod 17; luego 100n0 + a � 15n0 + amod17 y15n0 + a � �2n0 + amod17:

A partir de esto podemos plantear que, 100n0 + a � 0mod 17 y 100n0 + a ��2n0 + amod17:

De donde resulta (transitividad de la congruencia) 0 � �2n0 + amod17 óequivalentemente 2n0 � a � 0mod 17; que es el resultado que buscabamos.

Ejemplo.Particularmente, tenemos n = 4267; hacemos n0 = 42 y a = 67; luego

2 (42)� 67 = 17 por tanto 17j4267:

5.1.3 Teorema. Si c > 0 entonces

a � bmodn si, y sólo si, ac � bcmodnc

Demostración. Tenemos nj (a� b) si, y sólo si (a� b) = nk, multiplicandopor c ambos lados de esta igualdad resulta (a� b) c = nck; que podemos traduciren ncj (a� b) c y �nalmente ac � bcmodnc: �

84

5.1.4 Teorema. Ley de simpli�cación. Si ac � bcmodn y si d = (n; c) ;entonces

a � bmod nd

Demostración. Dado que ac � bcmodn; tenemos nj (a� b) c esto es(a� b) c = nk; luego como d = (n; c) es posible escribir (a� b) cd =

nd k; lo

que traducimos en nd j (a� b)

cd , pero

nd -

cd puesto que

�nd ;

cd

�= 1; luego debe

ser que nd j (a� b) o equivalentemente a � bmod

nd : �

5.1.5 Teorema. Suponemos que a � bmodn: Si djn y dja, entonces djb:

Demostración. Suponiendo d > 0:

a � bmodn =) nja� bdjn =) dja� b

de las implicaciones anteriores se deduce que

a � bmod d

Por hipótesis sabemos que dja; luego 0 � amod d ^ a � bmod d (transi-tividad de la congruencia ) se deduce que 0 � bmod d; equivalentemente djb:�

5.1.6 Teorema. Si a � bmodn entonces (a; n) = (b; n) : En otras palabras,los números que son congruentes módulo n tienen el mismo mcd con n:

Demostración. Sea d = (a; n) y e = (b; n) : Entonces djn y dja; luego djb;por lo tanto dje: Análogamente, ejn; ejb; luego eja; por lo tanto ejd: Por lo tantodebe ser d = e: �

5.1.5 De�nición. Si x � ymodn entonces y recibe el nombre de resto de xmódulo n: Un conjunto fx1; x2; : : : ; xng es un sistema completo de restosmódulo n; si para todo entero y existe uno y solamente un xj tal quey � xj modn:

Ejemplo.Todo conjunto formado de n enteros, incongruentes modn; es un sistema

completo de restos modn.

Así, f8; 9; 10; 11g es un sistema completo de resto mod4; puesto que 8 20; 9 2 1; 10 2 2 y 11 2 3:

85

5.1.6 De�nición. Un sistema reducido de restos módulo n es todo conjunto deenteros fx1; x2; : : : ; xng, incongruentes módulo n; cada uno de ellos primoscon n:

Nota: ' (n) es el valor para n de la indicatriz de Euler, introducida en elcapítulo 4.

Por ejemplo. ' (4) = 2 y f8; 9; 10; 11g es un sistema completo de restomod4; luego f9; 11g es un sistema reducido de restos, note que 9; 11 son coprimoscon 4:

5.1.7 Teorema. Suponemos que (k; n) = 1: Si fa1; a2; a3; : : : ; ang es un sis-tema completo de restos módulo n; también lo es fka1; ka2; ka3; : : : ; kang

Demostración. Supongamos que kai � kaj modn entonces ai � aj modnpor el teorema 5.1.4 ya que (k; n) = 1; y esto contradice el hecho que fa1; a2; a3; : : : ; angsea un sistema completo de restos. Por tanto ningún par de elementos del con-junto fka1; ka2; ka3; : : : ; kang es congruentemodn: Puesto que en este conjuntoexisten n elementos incongruentes, constituye un sistema completo de resto. �

5.1.8 Teorema. Si�a1; a2; a3; : : : ; a'(n)

es un sistema residual reducido mó-

dulo n y si (k; n) = 1; entonces�ka1; ka2; ka3; : : : ; ka'(n)

es también un

sistema residual reducido módulo n:

Demostración. Por lo dicho en el teorema anterior, sabemos que ningúnpar de números kai es congruente módulo n: Además, puesto que (ai; n) =(k; n) = 1, tenemos que (kai; n) = 1; luego cada kai es primo con n: �

Toda la discusión anterior ha sido necesaria para llegar a uno de los resulta-dos más importantes de la teoría de congruencias. Los teoremas de Euler-Fermat

5.1.9 Teorema. Terorema de Euler. Suponemos que (a; n) = 1: Entoncestenemos que

a'(n) � 1modn

Demostración. Sea�b1; b2; b3; : : : ; b'(n)

un sistema residual reducido mó-

dulo n: Entonces�ab1; ab2; ab3; : : : ; ab'(n)

es también un sistema residual re-

ducido. Consideremos el producto b1 � b2 � b3 � � � � � b'(n) y más precisamente suresto al dividir por n; note que coincide con el resto de ab1 �ab2 �ab3 � � � � �ab'(n):

86

Por lo tanto el producto de todos los enteros del primer conjunto es congruentecon el producto de los del segundo conjunto modn. Por consiguiente

b1 � b2 � � � � � b'(n) � ab1 � ab2 � � � � � ab'(n)modnb1 � b2 � � � � � b'(n) � a'(n)b1 � b2 � � � � � b'(n)modn

Cada bi es coprimo con n; por lo tanto se pueden simpli�car de ambos ladosy obtener �nalmente

a'(n) � 1modn: �

5.1.10 Teorema. Pequeño Teorema de Fermat. Considérese que pdenota un primo. Si p - a; entonces

ap�1 � 1mod p

Demostración. Si p - a entonces (a; p) = 1 y a'(p) � 1mod p por el teoremade Euler. Por el ejercicio 10 del capítulo anterior tenemos que ' (p) = p � 1 yse tiene que

ap�1 � 1mod p: �

5.2 Congruencias Lineales

Nuestro objetivo en esta sección es el estudio de las congruencias de la forma

f (x) � 0modn (1)

Resolver la congruencia, signi�ca hallar todos los valores de x que la satis-facen. Dos congruencias, a las que satisfacen un mismo valor de x, se llamancongruencias equivalentes.Adviértase que si x es solución de la ecuación (1) también x+ kn será solu-

ción, así esta ecuación tiene in�nitas soluciones. Por tanto convendremos enconsiderar las soluciones tales que 0 � x < n; que llamaremos soluciones prin-cipales.

El caso de las congruencias lineales quedará totalmente descrita mediantelos tres teoremas siguientes.

5.2.1 Teorema. Si (a; n) = 1: Entonces la congruencia lineal

ax � bmodn (2)

87

tienen exactamente una solución.

Demostración. Para la solución principal debe considerarse únicamentelos números 1; 2; 3; : : : ; n; además estos números forman un sistema completode restos. Por consiguiente formamos los productos a; 2a; : : : ; na: Puesto que(a; n) = 1 estos números constituyen un sistema residual completo. Por lo tanto,sólo uno de estos productos es congruente con b módulo n.Es decir, existe un único x que satisface (2) : �

5.2.2 Teorema. Suponemos que (a; n) = d. Entonces la congruencia lineal

ax � bmodn (3)

tiene solución si, y sólo si, djb:

Demostración. (=)) Si ax � bmodn tiene solución, entonces djb:Si x es la solución de la ecuación (3) ; entonces kn = ax � b; de donde

b = kn+ax: Si (a; n) = d; se tiene que dja, djn y eventualmente dividirá a djax,djkn: Por consiguiente también divide a la suma, esto es djkn + ax; por tantodjb:

((=) Si djb entonces ax � bmodn tiene solución.Si djb la congruencia

a

dx � b

dmod

n

d(4)

tiene una solución por el teorema 5.2.1, puesto que�ad ;

nd

�= 1; y esta solución

es también una solución de (3) : �

5.2.3 Teorema. Suponemos que (a; n) = d y que djb: La congruencia lineal

ax � bmodn

tiene exactamente d soluciones módulo n: Vienen dadas por

t; t+n

d; t+ 2

n

d; : : : ; t+ (d� 1) n

d; (5)

donde t es la solución única módulo nd ; de la congruencia lineal

a

dx � b

dmod

n

d(6)

Demostración. Cada solución de (6) es también solución de (3) ; recípro-camente cada solución de (6) satisfase (3) : Basta considerar que

a

dx � b

dmod

n

d=) a

dx� b

d= k

n

d=) ax� b = kn =) ax � bmodn

88

Los d números escritos en (5) son soluciones de (6) y, por lo tanto, de (5) :Falta probar que (3) no tiene más soluciones que las descritas en (5) : Si y esuna solución de (3) entonces ay � atmodn luego y � tmod nd : Por lo tantoy = t + k nd para cierto k: Pero k � rmodn para un r que veri�ca 0 � r < d:Por consiguiente

kn

d� rn

dmodn; luego y � t+ rn

dmodn

Por consiguiente y es congruente módulo n con uno de los números descritosen (5) : Esto termina la demostración. �

Por ejemplo. Encontrar las soluciones a la ecuación

3x � 5mod 11

Inspeccionando el conjunto 0 � x < 11, encontramos como solución princi-pal x = 9; puesto que 11j27 � 5: Luego el resto de soluciones tendrán la formax = 9 + 11k:

Ya hemos notado que la congruencia tiene mucha similitud con la igual-dad, así que parece natural preguntarnos por los sistemas de ecuaciones decongruencias y sus soluciones, esto es, dadas las ecuaciones a0x � b0modn ya1x � b1modn; ¿existen valores de x que las satisfacen a ambas? A este hechoresponde el siguiente teorema

5.2.3 Teorema. Teorema Chino del Resto. Supongamos que n1; n2; � � � ; nrson enteros positivos coprimos dos a dos:

(ni; nk) = 1 si i 6= k

Sean b1; b2; : : : ; br enteros arbitrarios. Entonces el sistema de congruencias

x � b1modn1x � b2modn2...

......

x � brmodnr

posee exactamente una solución módulo el producto n1 � n2 � � � � � nr

Demostración. Escribiendo N = n1 � n2 � � � � � nr y Nk = Nnk: Entonces

(Nk; nk) = 1; por lo tanto cada Nk admite un inverso único N 0k módulo nk;

esto es NkN 0k � 1modnk: Sea ahora

x = b1N1N01 + b1N2N

02 + � � �+ brNrN 0

r

Dado que Ni � 0modnk si i 6= k tenemos

x � bkNkN 0k � bkmodnk

89

Por lo tanto x satisface cada una de las congruencias del sistema. Además elsistema posee una única solución móduloN: En efecto, si x y y son dos solucionesdel sistema tenemos x � ymodnk para cada k y, puesto que los nk son dos ados coprimos, tendremos también x � ymodN: Esto termina la demostración.�

5.3 Ejercicios Resueltos sobre Congruencias Lineales

1. Hacer una lista de todos los enteros x en el intervalo 1 � x � 100 quesatisfagan x � 7mod 17

Solución. Si x � 7mod 17 entonces 17jx�7; luego x�7 = 17n y �nalmente

x = 17n+ 7

si evaluamos para n = 6, x toma el valor 109; que supera la condición dada.Entonces para obtener las soluciones pedidas recorremos n para 1; 2; 3; 4 y 5obteniendo los valores buscados para x; que �guran a continuación

24; 41; 58; 75; 92

2. Mostrar un sistema completo de residuos módulo 17 compuesto enteramentede múltiplos de 3:

Solución. Tomemos Z17 =�0; 1; 2; 3; 4;5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16

;

ahora basta escojer un elemento perteneciente a cada clase residual, con elcuidado en la elección de ser múltiplo de 3:Todos los enteros de 0 tienen la forma 0 + 17k; así 0 2 0 y además 3j0; los

enteros de 1 tienen la forma 1 + 17k, luego 18 2 1 y 3j18; para la clase 2 losenteros son de la forma 2 + 17k; luego 36 2 2:Si seguimos este razonamiento y recordando que si dos números dan el mismo

resto pertenecen a la misma clase; encontramos el siguiente sistema completode residuos módulo 17

f0; 18; 36; 54; 21; 39; 6; 24; 42; 9; 27; 45; 12; 30; 48; 15; 33g

3. Los números de Fermat. Pierre de Fermat a�rmó que todo número de laforma fn = 22

n

+ 1 era primo. Probar que esta aseveración es falsa.

90

Solución. Los cinco primeros son primos:

f0 = 3; f1 = 5; f2 = 17; f3 = 257; y f4 = 65537

No así para f5; mostraremos que f5 es divisible por 641 sin calcular explíci-tamente f5: Consideremos la sucesión de potencias 22

n

módulo 641. Tenemos

22 = 4; 24 = 16; 28 = 256; 216 = 65536 � 154mod 641;luego

232 � (154)2= 23716mod 641

23716 � 640mod 641640 � �1mod 641232 � �1mod 641

Finalmentef5 = 2

32 + 1 � 0mod 641lo que signi�ca que f5 no es primo.

4. Encuentre el residuo cuando 1717 es dividido por 7:

Solución.Partamos del hecho que 17 � 3mod 7; entonces 1717 � 317mod7; luego

tenemos que 32 = 9 � 2mod 7; por tanto 34 � 4mod 7: De ahí que 38 � 16 �2mod 7 y 316 � 4mod 7:

Por tanto317 � 3 � 316 � 12 � 5mod 7

Lo que nos conduce a

1717 � 317 � 5mod 7

Luego el número buscado es 5:

5. Pruebe que 237 � 1 es un múltiplo de 223:

Solución. 256 = 28 � 33mod 223; entonces 216 � 332mod223 y 332 ��26mod 223; por tanto 232 � (�26)2mod223 y (�26)2 = 676 � 7mod 223:De ahí

237 � 232 � 25mod223232 � 25 � 7 � 32mod 2237 � 32 � 224mod 223224 � 1mod 223

91

esto es237 � 1 � 0mod 223

6. Encuentre el resto de la división 1! + 2! + � � �+ 100! por 45:

Solución. Sabemos que (h+ 1)! = (h+ 1)h! y que 6! = 720 = 16 � 45;luego 45j6!: Por otra parte 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153; observando con cuidado153� 18 = 135 = 3 � 45Por todo lo anterior podemos escribir

1! + 2! + � � �+ 100! � 1! + 2! + 3! + 4! + 5! � 18mod 45

7. Hallar los números tales que, divididos por 2; 3; 4; 5 y 6 den como resto,1; 2; 3; 4 y 5 respectivamente.

Solución. De las condiciones del enunciado se obtienen las siguientes con-gruencias, siendo x uno de tales números:

x � 1mod 2 =) x+ 1 � 0mod 2x � 2mod 3 =) x+ 1 � 0mod 3x � 3mod 4 =) x+ 1 � 0mod 4x � 4mod 5 =) x+ 1 � 0mod 5x � 5mod 6 =) x+ 1 � 0mod 6

Por tanto, x + 1 es múltiplo de 2; 3; 4; 5 y 6; es decir, x + 1 es múltiplo demcd(2; 3; 4; 5; 6) = 60: Luego, x = 60t� 1; t 2 Z

8. Encuentre el residuo cuando 13 � 1245 es dividido por 47.

Solución. Por el pequeño teorema de Fermat 1246 � 1mod 47: Multipli-cando cada lado por 4 tenemos; 4 � 1246 � 4mod 47 lo que es equivalente a(4 � 12) 1245 � 4 � 1mod 47; entonces 1245 � 4mod 47; multiplicando por 13;tenemos

13 � 1245 � 52mod 47

9. Pruebe que, Si ac � bcmodn y (c; n) = 1; entonces a � bmodn

Solución. Si ac � bcmodn; entonces njac� bc esto es njc (a� b) ; como nes coprimo con c se tiene que n - c; entonces nj (a� b) ; equivalentemente

a � bmodn �

92

10. Encontrar todas las soluciones para

a. 20x � 4mod 30

b. 42x � 90mod 156

Solución. a. El mcd(20; 30) = 10 y 10 - 4; así por teorema 5.2.2 la ecuación20x � 4mod 30 no tiene solución.b. El mcd(42; 156) = 6 y 6j90; entonces existen 6 soluciones principales

incongruentes módulo 156:Reducimos la congruencia dada a 7x � 15mod 26:Luego se tienen las siguientes relaciones 33x � 7xmod26; entonces 33x �15mod 26; esto último puede escribirse como 11 � 3x � 5 � 3mod 26; comomcd(3; 26) = 1 por el ejercicio anterior es posible escribir 11x � 5mod 26;pero �15x � 11xmod26; tenemos por tanto �15x � 5mod 26 y dividiendo por5, resulta �3x � 1 � 27mod 26 ahora dividiendo por �3; x � �9mod 26:Finalmente

x � �9 � 17mod 26Por lo tanto, 7x � 15mod 26 tiene una única solución x � 17mod 26: Por el

teorema 5.2.3 las soluciones buscadas son 17; 17+ 1566 ; 17+

3126 ; 17+

4686 ; 7+

6246

y 7 + 7806 :

11. Encuentre la única solución de 251x � 125mod 521. (521 es un primo).

Solución. El entero más cercano a 521251 es 2, multiplicando por 2 la con-

gruencia y reduciendo a módulo 521 obtenemos, 502x � 250mod 521: �19x �502x � 250; entonces �19x � 250mod 521: Análogamente multiplicamos por27; el entero más cercano a 521

19 ; obtenemos �513x � 6750mod 521; luego8x � �513xmod521 y 6750 � 498mod 521; así tenemos 8x � 498mod 521:Una vez más el entero más cercano a 521

8 es 65; multiplicando la congruenciaresulta, 520x � 32370mod 521; luego 32370 � �453mod 521; esto conduce a520x � �453mod 521:Y �nalmente la congruencia

�x � 520x � �453mod 521:

de donde la única solución a la congruencia original es x = 453:

12. Considere el sistema x � a modm, x � bmodn donde m;n no son nece-sariamente primos relativos. Pruebe que si (m;n) divide a, b�a, entoncesel sistema tiene una solución.

Solución. Sea d = (m;n), y suponemos djb � a. Entonces existen enterosu; v tales que mu+nv = b�a: Sea x = a+mu; claramente, x � amodm. Perox = a+mu = a+ (b� a)� nv = b� nv, de donde resultax � bmodn. �

93

13. Encuentre todas las soluciones a los pares de congruencias 3x � 7y �4mod 19, 7x� 3y � 1mod19.

Solución. Puesto que (7; 19) = 1, la primera congruencia es equivalente a lacongruencia 7�(3x�7y) � 7�4mod 19, es decir, 21x�49y � 28 mod 19: Similar-mente, la congruencia 7x� 3y � 1mod 19 es equivalente a 21x� 9y � 3mod 19:Restando ambas congruencias obtenemos, �40y � 25mod 19, o equivalente-mente �2y � 6 mod 19: Esta es una solución y = �3mod 19 sustituyendo estaen la primera congruencia, obtenemos 3x � 2mod 19, dando x � 7mod 19:Entonces la solución al sistema es x � 7mod 19; y � 16mod 19:

14. Encuentre un entero x, 0 < x < 140, que satisface la congruencia x �1mod 4, 2x � 3mod 5, 4x � 5mod 7:

Solución. Primero ponemos las congruencias en la forma x � aimodmi,entonces aplicamos el teorema chino del resto. La primera congruencia esaproximada a está forma; para 2x � 3mod 5; multiplicamos cada lado por 3y reducimos a módulo 5 obteniendo x � 4mod 5; para 4x � 5mod 7, multi-plicamos cada lado por 2 y reducimos a módulo 7, obteniendo x � 3mod 7.Ahora encontremos b1; b2; b3, tales que 5 � 7b1 � 1 mod 4, 4 � 7b2 � 1mod 5,4 � 5b3 � 1mod 7; es decir, �b1 � 1mod 4; 3b2 � 1mod 5;�b3 � 1mod 7. Portanto nosotros podemos tomar b1 = �1, b2 = 2, b3 = �1. De aquí una soluciónes x = 35(�1)(1) + 28(2)(4) + 20(�1)(3) = 129: Puesto que 4 � 5 � 7 = 140, 129es la única posible solución a este sistema que es menor que 140.

94

5.4 ¿Dónde están las congruencias?

El número ISBN (International Standar Book Number), es un código de dígitosveri�cador de gran utilidad. El primer grupo de números indica el país o elidioma, el segundo grupo de dígitos designa la editorial, el tercer grupo es asig-nado al libro por la casa editorial y el último dígito es un factor de comprobaciónde errores.

Pero la determinación de este último dígito se hace de una manera muypeculiar, no se asigna al producto bajo algún criterio exclusivo como los ante-riores, este dígito que denominaremos x se calcula a partir de los restantes. Sidesignamos los primeros 9 dígitos como x1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9 el décimodígito veri�ca la relación:

x10 �9Xi=1

iximod11

Entonces para el caso de la �gura tenemos

x10 � (1 � 8) + (2 � 4) + (3 � 6) + (4 � 0) + (5 � 4) + (6 � 8) + (7 � 9) + (8 � 5) + (9 � 8)mod 11x10 � 8 + 8 + 7 + 0 + 9 + 4 + 8 + 7 + 6mod 11

x10 � 57mod 11

Esto nos obliga a escoger a x10 = 2 como se muestra en la �gura.

El código ISBN detectará todos los errores simples y de transposición, ac-tualmente cualquier programa profesional que trabaje con el ISBN utiliza lascongruencias para determinarlo. El ordenador comprueba si el número intro-ducido por el usuario con el escáner coincide con el calculado por el [ordenador]mismo, si esto no es así entonces existe algún error.

95

5.5 Ejercicios Propuestos

1. Escríbase las tablas de adición y múltiplicacaión para Z7 y Z8:

2. Encuéntrese y enúnciese un críterio de divisibilidad para 3; 5 y 7 (para cadauno)

3. Escríbase una sola congruencia que sea equivalente al par de congruenciasx � 1mod 4; x � 2mod 3

4. Pruébese que si p es un primo y a2 � b2mod p; entonces pj (a+ b) o bienpj (a� b) :

5. Demuéstrese la igualdad del estudiante. Si p es primo, entonces (a+ b)p �(ap + bp)mod p:

6. Hállese las últimas dos cifras del número 7777

7. Calcúlese el residuo que se obtiene al dividir 7077377 entre 11:

8. Muéstrese un sistema reducido de residuos módulo 7 compuestos enteramentepor potencias de 3.

9. Pruébese que n6 � 1 es divisible entre 7 si (n; 7) = 1

10. Pruébese que n7 � 1 es divisible entre 42, para cualquier entero n:

11. Encuéntrese el menor residuo positivo de :

11.a 3500 Módulo 13

11.b 12! Módulo 13

11.c 516 Módulo 17

11.d 5500 Módulo 17

12. Encuéntrese todas las soluciones de

12.a 87x � 57 mod 105

12.b 64x � 897mod 1001

12.c 36x � 1mod 8180

13. Pruébese. Teorema de Wilson. Si p es un primo, entonces (p� 1)! ��1mod p

14. Encuéntrese todas las soluciones del par de congruencias 3x� 7y � 4mod15, 7x� 3y � 1mod 15

15. Encuéntrese el menor entero positivo tal que x � 5 mod 12, x � 17mod 20,y x � 23mod 42

96

16. Úsese el teorema de Fermat para resolver la congruencia x35+5x19+11x3 �0 mod 17

17. Para cualquier primo p; si ap � bpmod p; probar que ap � bpmod p2

18. Demuéstrese que la suma de los cuadrados de cinco números enteros con-secutivos, no puede ser nunca un cuadrado perfecto.

19. La suma de las cifras de un número es 20. Si de ese número se resta 205 y sedivide la diferencia por 2 se optiene por resultado el número formado porlas cifras del primero escritas en orden inverso. Encuéntrese el número.

20. Pruébese que la ecuación 3x2 + 2 = y2 no tiene solución entera.

97

6 El Último Teorema De Fermat

Es dudoso que el ingenio humano pueda llegar a construir un enigma que elpropio ingenio humano no sea capaz de resolver.Edgar Allan Poe.

En esta sección nos ocuparemos del conocido último teorema de Fermat. Elúltimo teorema de Fermat a�rma que la ecuación xn + yn = zn; donde n es unentero mayor que 2, no tiene soluciones enteras, con la excepción, las solucionestriviales en las que una de las variables es 0. Aquí abordaremos este caso sóloen su aspecto más elemental y para exponentes � 4:

6.1 Números Complejos C

No existe un número real x que satisfaga la ecuación polinómica x2+1 = 0. Pararesolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos.

7.1.1 De�nición. Un número complejo z es un número que se expresa en laforma

z = a+ bi

donde a y b son números reales e i =p�1: Decimos que a es la parte real

de z y que b es la parte imaginaria, lo cual escribimos como

Re (z) = a y Im (z) = b

7.1.2 De�nición. Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partesreales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

Es decir, siz = a+ bi y w = c+ di

yz = w

entoncesa = c y b = d

7.1.3 De�nición. Operaciones en C: Sean z = (a+ bi) y w = (c+ di) ; en-tonces

98

z + w = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d) i (adición)z � w = (a+ bi) (c+ di) = (ac� bd) + (ad+ bc) i (multiplicación)

A partir de la de�nición 7.1.3 es fácil veri�car que la terna (C;+; �) es uncuerpo.

7.1.4 De�nición. Complejo Conjugado. Conjugado de z = a+bi es el númerocomplejo z = a� bi: El símbolo z se lee conjugado de z.

7.1.1 Teorema. Si z y w son números complejos, entonces:

i. z + w = z + w

ii. z � w = z � w

iii. Si w 6= 0;�zw

�= z

w

iv. Si z es real, z = z

v. z + z = 2Re (z)

Demostración.

i. Si z = a + bi y w = c + di; con a; b; c y d reales, tenemos z + w = (a+ c) +(b+ d) i; luego z + w = (a+ c)� (b+ d) i = a� bi+ c� di = z + w:

ii. Si z = a+ bi y w = c+ di; con a; b; c y d reales, tenemos z �w = (ac� bd) +(ad+ bc) i; z � w = (ac� bd)� (ad+ bc) i = (a� bi) (c� di) = z � w:

iii. Si w = c+ di; con c y d reales no nulos simultáneamente, tenemos

1

w=

1

c+ di=c� dic2 + d2

;

1

w=

1

c+ di=c+ di

c2 + d2=

�1

w

�De ahí, � z

w

�= z � 1

w= z �

�1

w

�= z � 1

w=z

w

iv. Si z = a+ 0i; z es real, z = a� 0i = z:

v. Si z = a+ bi y z = a� bi; entonces z+ z = (a+ a)+(b� b) i = 2a+0i = 2a:Como a = Re (z) ; se tiene que, z + z = 2a = 2Re (z) : �

99

7.1.5 De�nición. Módulo de un complejo es la raíz cuadrada no negativa dela suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria.

Esto esjzj =

pa2 + b2

7.1.2 Teorema. Sea z; z0 2 C; entonces

i. Re (z) � jzj

ii. Im (z) � jzj

iii. z � z = jzj2

iv. jzz0j = jzj jz0j

v. jz + z0j � jzj+ jz0j

6.2 Enteros de Gauss

Nos detendremos en esta sección para adquirir algunas herramientas algebraicasque nos permitan tratar nuestro problema principal con mucha más facilidad.

Denotemos por Z [i] el conjunto de todos los números complejos de la formaa+ bi; donde a y b son enteros.Es decir, el conjunto

Z [i] = fa+ bi : a; b 2 Zg

Bajo la adición y multiplicación habituales de los números complejos, Z [i]forma un dominio de integridad, llamado el dominio de los enteros gaussianoso enteros de Gauss.

7.2.1 De�nición. Se llama anillo unitario a un anillo A cuyo producto tieneelemento neutro en A� = A� f0g : Dicho elemento se denomina uno y serepresenta por 1A ó simplemente 1; si no hay riesgo de confusión.

7.2.2 De�nición. Sea A un anillo unitario. Una unidad de A es un elementox 2 A que tiene inverso y 2 A respecto del producto:

100

xy = yx = 1

El conjunto de todas las unidades deA se representa por U (A) ; una propiedadimportante del producto de anillos es que se veri�ca la propiedad

U (A�B) = U (A)� U (B)

Demostración.Empezaremos escribiendo esta propiedad en el lenguaje conjuntista

U (A�B) = U (A)� U (B)

Si y solo si,

U (A�B) � U (A)� U (B) ^ U (A)� U (B) � U (A�B)

i. U (A�B) � U (A)� U (B) :

Tomemos (a; b) 2 U (A�B) ; por de�nición de unidad, existe (a0; b0) tal que,

(a; b) � (a0; b0) = (aa0; bb0) = (1A; 1B) :

Por de�nición de A � B; se sigue que, aa0 2 A y bb0 2 B; pero el productoaa0 = 1A, por tanto a 2 U (A) y bb0 = 1B ; luego b 2 U (B) ; de aquí deducimosque (a; b) 2 U (A)� U (B) :

ii. U (A)� U (B) � U (A�B) :

Tomemos (a; b) 2 U (A) � U (B) ; por de�nición de A � B; a 2 U(A) y

b 2 U (B) ; por de�nición de unidad, existe a0 2 A y b0 2 B; tal que, aa0 = 1A ybb0 = 1B :

Por tanto (a; b) � (a0; b0) = (1A; 1B) ; de aquí que el par (a; b) es unidad de

A�B; i:e; (a; b) 2 U (A�B) : �

Ejemplo.Z2 =

�0; 1y Z3 =

�0; 1; 2

; luego Z2�Z3 =

��0; 0�;�0; 1�;�0; 2�;�1; 0�;�1; 1�;�1; 2�

Formemos la tabla para la multiplicación en Z2 � Z3

101

��0; 0� �

0; 1� �

0; 2� �

1; 0� �

1; 1� �

1; 2��

0; 0� �

0; 0� �

0; 0� �

0; 0� �

0; 0� �

0; 0� �

0; 0��

0; 1� �

0; 0� �

0; 1� �

0; 2� �

0; 0� �

0; 1� �

0; 2��

0; 2� �

0; 0� �

0; 2� �

0; 1� �

0; 0� �

0; 2� �

0; 1��

1; 0� �

0; 0� �

0; 0� �

0; 0� �

1; 0� �

1; 0� �

1; 0��

1; 1� �

0; 0� �

0; 1� �

0; 2� �

1; 0� �

1; 1� �

1; 2��

1; 2� �

0; 0� �

0; 2� �

0; 1� �

0; 0� �

0; 2� �

0; 3�

Luego U (Z2 � Z3) =��1; 1�

Por otro lado, las tablas correspondientes para Z2 y Z3

� 0 10 0 01 0 1

� 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 0

Luego, U (Z2) =�1y U (Z3) =

�1:

Así, resulta claro que U (Z2)� U (Z3) =��1; 1�= U (Z2 � Z3)

7.2.3 De�nición. Sea A un anillo. Se llama divisor de cero a un elementox 2 A� tal que xy = 0A para algún y 2 A�:

Ejemplo.Considere la multiplicación en Z4

� 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Podemos observar que2 � 2 = 0

luego 2 es un divisor de cero en Z4:

7.2.4 De�nición. Se llama dominio de integridad a un anillo unitario y con-mutativo sin divisores de cero.

7.2.1 Teorema. El conjunto Z [i] ; bajo la adición y multiplicación habitualesde C forma un dominio de integridad.

102

Demostración. La terna (Z [i] ;+; �) resulta efectivamente ser un anillo conlas operaciones heredadas del anillo C; además se tiene que 1A = 1+0i 2 Z [i] yveri�ca que 8z 2 Z [i] ; 1A �z = z: Finalmente es claro que Z [i] no tiene divisoresde cero, puesto que si hubiese tendriamos que z � w = 0 con z y w 6= 0; luegosi z = a + bi y w = c + di con b y d no simultáneamente nulos; su producto es(ac� db) + (cb+ ad) i = 0 de aquí que (ac� db) = (cb+ ad) i; pero esto pasasolo si consideramos la parte imaginaria igual a cero. �

7.2.5 De�nición. Se dice que A es un dominio euclídeo (DE) si existe unaaplicación

k�k : A �! N

tal que:

i. kxk = 0 si y sólo si x = 0

ii. kxyk = kxk kyk

iii. Si x; y 2 A�; existe r 2 A; tal que yjx� r y krk < kyk :

7.2.2 Teorema. Z [i] es un anillo euclídeo, con kzk = a2 + b2:

Demostración.

i. Es claro que si z = 0 + 0i; entonces kzk = 0:

Ahora, si kzk = 0 =) ka+ bik = 0; por de�nición de kk ; tenemos a2+ b2 = 0;lo cual ocurre si a y b son cero simultáneamente. i:e; z = 0 + 0i:

ii. Tomemos z = a + bi y w = c + di; luego zw = (ac� db) + (cb+ ad) i;entonces kzwk = k(ac� db) + (cb+ ad) ik = (ac� db)2 + (cb+ ad)2 =�a2 + b2

� �c2 + d2

�= kzk kwk :

iii. Para terminar el teorema procedemos como sigue

z

w=a+ bi

c+ di=(a+ bi) (c� di)

c2 + d2=ac+ bd

c2 + d2+�ad+ bcc2 + d2

i

Aplicando el algoritmo de la división resulta

ac+ bd = q1�c2 + d2

�+ r1; jr1j �

1

2

�c2 + d2

�; q1; r1 2 Z

�ad+ bc = q2�c2 + d2

�+ r2; jr2j �

1

2

�c2 + d2

�; q2; r2 2 Z

103

Luego podemos escribir

z

w=r1 + r2i

c2 + d2+ (q1 + q2i) ;

de donde obtenemos

r =r1 + r2i

c2 + d2y = x� (q1 + q2i) y 2 Z [i]

Este elemeto r 2 Z [i] y veri�ca que yjx � r: Finalmente calculamos krk yobtenemos

krk = r21 + r22

(c2 + d2)2 kwk

como elegimos

jrij �1

2

�c2 + d2

�; entonces

jrij(c2 + d2)

� 1

2

luego

krk ��1

4+1

4

�kwk = 1

2kwk < kwk : �

7.2.6 De�nición. Sean x; y 2 Z [i] : Se dice que z 2 Z [i] es:

i. Un máximo común divisor (mcd) de x; y si z divide tanto a x como a y, y esmúltiplo de cualquier otro divisor de ambos.

ii. Un mínimo común múltiplo (mcm) de x; y si z es múltiplo de x y de y; ydivide a cualquier otro múltiplo de ambos.

7.2.7 De�nición. En el anillo euclídeo Z [i] un elemento � que no sea unaunidad se dice que es un elemento primo de Z [i] siempre que � = zwdonde z y w están en Z [i] ; se tiene que uno de los dos z ó w es unaunidad en Z [i] : Un elemento primo es un elemento en Z [i] que no puedeser factorizado en Z [i] en forma que no sea trivial.

7.2.1 Proposición. Si � es un elemento primo en el anillo euclídeo Z [i] y �jzwdonde z; w 2 Z [i] ; entonces � divide al menos a uno de los elementos z ów.

104

7.2.3 Teorema. Factorización única. Sea Z [i] el anillo euclídeo y z 6=0 un elemento de Z [i] que no es una unidad. Supongamos que z =�1�2�3 � � ��n = �01�

02�

03 � � ��0m donde los �i y los �0j son elementos pri-

mos de Z [i] : Entonces n = m y cada �i; 1 � i � n es un asociado dealgún �0j ; 1 � i � m y recíprocamente, cada �0j es un asociado de algún�i:

Demostración. Fijémonos en la relación z = �1�2�3 � � ��m = �01�02�03 � � ��n��1j �1�2�3 � � ��n; de donde �1j�01�02�03 � � ��0m: Por la proposición 7.2.1 �1 debedividir a algún �0j ; como �1 y �

0j son ambos elementos primos de Z [i] y �1j�0j ,

ambos elementos deben de ser asociados y �0j = u1�1 donde u1 es unidad deZ [i] :Tenemos, pues, �1�2�3 � � ��n = �01�02�03 � � ��0m = u1�1�02 � � ��0i�1�02 � � ��0m:Repitiendo el razonomiento sobre esta relación �2; y así sucesivamente, despuésde n pasos el primer miembro se hace 1; y el segundo un producto de un ciertonúmero de �0 (el exeso de m sobre n). Esto obligaría a que n � m ya que las�0 no son unidades. Análogamente, m � n; de modo que n = m: Y a lo largodel proceso demostrativo hemos probado también que cada uno de los �i tienealgún �0j como asociado y recíprocamente.

Al combinar la proposición 7.2.1 y el teorema 7.2.3 tenemos que todo ele-mento distinto de cero en el anillo euclídeo Z [i] puede ser escrito en forma única(salvo asociaciones) como un producto de elementos primos o es unidad en Z [i] :

7.2.8 De�nición. Un dominio de factorización única (DFU) es un dominiode integridad en el que se cumplen

i. Todo elemento irreducible es primo

ii. Todo elemento que no sea unidad es producto de elementos irreducibles.

Nótese que como Z [i] es un anillo euclídeo y por teorema 7.2.3, Z [i] resultaser un dominio de factorización única.

Las intenciones de esta discusión sobre la naturaleza de Z [i] ; es ilustrar lasde�niciones, además en adelante será necesario trabajar sobre Z

�p�3�pero no

discutiremos su naturaleza, pero usaremos algunas de sus caraterísticas, así ellector podrá caracterizar a Z

�p�3�siguiendo el ejemplo de Z [i] :

105

6.3 Algunas Ecuaciones Diofánticas

Ternas Pitagóricas.

Diofanto trató en su Aritmética el problema de encontrar ternas de númerosnaturales no nulos x; y; z tales que x2+ y2 = z2: Estas son llamadas pitagóricasporque según el teorema de Pitágoras permiten construir triángulos rectánguloscon lados enteros. En este apartado vamos a encontrar todas las ternas quesatisfacen a la ecuación x2 + y2 = z2; que corresponde al caso n = 2; en laecuación xn + yn = zn:

Primeramente consideremos la terna (x; y; z) pitagórica, entonces tambiénlo será (nx; ny; nz) para cualquier número n; y recíprocamente, dada una ternapitagórica (nx; ny; nz) ; podemos dividir sus componentes por su mcd paraobtener otra que cumpla además (x; y; z) = 1: Una terna cuyo mcd es 1 sellama primitiva. Si encontramos un método para encontrar las ternas primiti-vas, las restantes se obtienen multiplicándolas por número arbitrarios, luego elproblema estará resuelto.

Observemos que un divisor primo de dos de las componentes de una ternapitagórica, divide a la tercera. Por ejemplo, pjz ^ pjy; entonces pjz2 � y2; conlo que pjx2 por lo tanto pjx: Esto signi�ca que, en realidad, las componentes deuna terna pitagórica primitiva son primas entre sí dos a dos, nótese que ademáses cierto que, en una terna pitagórica hay siempre dos componentes impares yuna par.

Ahora veamos que z ha de ser par. Consideremos lo contrario, esto es, x ,yimpares, x = 2m+ 1; y = 2n+ 1;luego

x2 = 4m2 + 4m+ 1; y2 = 4n2 + 4n+ 1

Al considerar clases módulo 4 resulta que

z2 = x2 + y2 = 1 + 1 = 2

Pero ninguna clase módulo 4 tiene a 2 por cuadrado: 02= 0; 1

2= 1; 2

2= 0;

32= 1

2

Podemos suponer que x es par e y impar. Según lo dicho z es también impar.Consecuentemente z+ y, z� y son ambos pares. Pongamos x = 2u; z+ y = 2v;z � y = 2w:Ahora x2 = z2 � y2 = (z + y) (z � y) ; luego u2 = vw; v > 0; w > 0:

106

Por otra parte (v; w) = 1; ya que si un primo p divide a ambos, entonces

pj (v + w) =1

2(z + y) +

1

2(z � y) = 1

22z = z;

pj (v � w) =1

2(z + y)� 1

2(z � y) = y;

y como (y; z) = 1; esto es contradictorio.

Por la factorizació única en Z; es claro que si vw = u2 con (v; w) = 1; v > 0;w > 0; entonces tanto v como w han de ser cuadrados. Pongamos v = p2 yw = q2: Es claro que (p; q) = 1:

Así tenemos que

z = v + w = p2 + q2; y = v � w = p2 + q2: En particular q < p

Como z e y son impares, p y q deben tener paridad opuesta. Sustituyendoen las fórmulas anteriores obtenemos

x2 = z2 � y2 = p4 + 2p2q2 + q4 � p4 + 2p2q2 � q4 = (2pq)2 ;

luego x = 2pq: En consecuencia la terna original queda de la forma

(x; y; z) =�2pq; p2 � q2; p2 + q2

�;

donde p; q son números naturales primos entre sí, q < p y de paridad opuesta.Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas.

En la siguiente tabla mostraremos las ternas para los valores de p � 7

p q x y z2 1 4 3 53 2 12 5 134 1 8 15 174 3 24 7 255 2 20 21 295 4 40 9 416 1 12 35 376 5 60 11 617 2 28 45 537 4 56 33 657 6 84 13 85

107

7.3.1 Teorema. La ecuación, x4 + y4 = z2 no tiene soluciones enteras posi-tivas.

Demostración. Si existen soluciones a la ecuación x4 + y4 = z2; entonces�x4; y4; z2

�es una terna pitagórica. Si dividimos x; y; z por su mcd obten-

emos coprimos que siguen cumpliendo la ecuación, luego podemos suponer que(x; y; z) = 1; y claramente esto implica que en realidad son coprimos dos a dosy que la terna

�x2; y2; z

�es primitiva.

Según los resultados de la sección anterior, x2 = 2pq; y2 = p2�q2; z = p2+q2donde p y q son números enteros coprimos, de distinta paridad y p > q > 0(intercambiamos x con y si es necesario para que x2 sea el par)

Ahora, p2 = y2 + q2; luego (q; y; p) es otra terna pitagórica, lo que obliga aque p sea impar, luego q ha de ser par, y así q = 2ab, y = a2 � b2; p = a2 + b2;para ciertos enteros a y b coprimos, de paridad opuesta, a > b > 0 (nótese quese trata de una terna primitiva porque (p; q) = 1).

Por lo tanto x2 = 4ab�a2 + b2

�y en consecuencia ab

�a2 + b2

�=�x2

�2: Por

otra parte (a; b) = 1 implica fácilmente que�ab; a2 + b2

�= 1: Si el producto de

dos números naturales coprimos es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados,pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente par.

Concluimos que ab y a2 + b2 son cuadrados y, por el mismo argumento,también lo son a y b: Digamos a = u2; b = v2; a2 + b2 = w2:Entonces u4 + v4 = a2 + b2 = w2 = p < p2 + q2 = z < z2:

En resumen, si existe una terna de números positivos (x; y; z) de manera quex4 + y4 = z2; existe otra (u; v; w) que cumple lo mismo pero con w2 < z2: Siexistieran tales ternas debería haber una con z mínimo, lo cual es falso segúnlo visto, por lo que la ecuación no tiene solución. �

En particular el teorema anterior implica que la ecuación x4 + y4 = z4 notiene soluciones enteras positivas.

7.3.2 Teorema. La ecuación, x4 + y4 = z4 no tiene soluciones enteras posi-tivas.

Demostración. Si fuese cierto x4 + y4 = z4; para ciertos enteros positivosx; y; z; entonces, de�niendo = z2; tendríamos que x4 + y4 = 2; lo cual por elteorema 7.3.1 sabemos que no puede ser, así la ecuación x4 + y4 = z4 no tienesolución. �

108

7.3.3 Teorema. No exiten enteros positivos x; y; z tales que

x3 + y3 = z3

Demostración. Supongamos que existen números (x; y; z) que cumplenx3 + y3 = z3: Dividiéndolos entre su mcd podemos suponer que son primosentre sí y, al cumplir la ecuación deben ser primos dos a dos. Es claro que a losumo uno de los tres puede ser par, pero si x e y son impares z es par, luegoexactamente uno de ellos es par.

Por simetría podemos suponer que x e y son impares. Entonces x+ y, x� yson pares, digamos x+ y = 2p; x� y = 2q: Así x = p+ q, y = p� q:Consideremos la factorización

x3 + y3 = (x+ y)�x2 � xy + y2

�Sustituyendo obtenemos

x3 + y3 = 2p�(p+ q)

2 � (p+ q) (p� q) + (p� q)2�= 2p

�p2 + 3q2

�Podemos a�rmar que p y q son coprimos (un factor común lo sería también

de x; y) y tienen paridad opuesta (porque x = p+ q es impar) : Cambiando elsigno de x; y; z si es necesario podemos suponer que x + y > 0, luego p > 0 eintercambiando x con y si es necesario, también q > 0 (no puede ser que x = y,pues q sería 0, y como (x; y) = 1 habría de ser x = y = 1, y entonce z3 = 2; locual es imposible).

Resumiendo, si existe una solución (x; y; z) con x e y impares, entoncesexisten números naturales no nulos p y q de paridad opuesta, coprimos talesque el número 2p

�p2 + 3q2

�es un cubo.

Debemos de justi�car que los números 2p y p2 + 3q2 son coprimos, con loque cada uno será un cubo. Notemos primero que, como p y q tienen paridadopuesta, p2 + 3q2 es impar, de donde se sigue claramente que

�2p; p2 + 3q2

�=�

p; p2 + 3q2�=�p; 3q2

�y como (p; q) = 1 el único factor común de p y 3q2 es 3:

En otras palabras, si 3 - p; entonces�2p; p2 + 3q2

�= 1: Supongamos que es así.

Entonces, según lo dicho, 2p y p2 + 3q2 son cubos. Ahora usaremos unresultado que posteriormente probaremos.

7.3.1 Proposición. Si los enteros p; q; r cumplen p2 + 3q2 = r3; (p; q) = 1y r es impar, entonces existen enteros a y b tales que p = a3 � 9ab2;q = 3a2b� 3b3; r = a2 + 3b2:

109

La prueba de esta proposición se dará más adelante.

Admitiendo esto, p = a (a� 3b) (a+ 3b) ; q = 3b (a� b) (a+ b) :Claramentea y b son coprimos y tienen paridad opuesta (de lo contrario p y q serían pares) :Por otra parte 2p = 2a (a� 3b) (a+ 3b) es un cubo. Veamos de nuevo que

los factores 2a, a� 3b y a+3b son coprimos dos a dos, con lo que los tres seráncubos.

Como a y b tiene paridad opuesta, a � 3b y a + 3b son impares, luego unfactor común de 2a y a � 3b es un factor de a y a � 3b; y por tanto un factorcomún de a y 3b: Igualmente un factor común de a+3b y a� 3b lo es de a y 3b;luego basta probar que (a; 3b) = 1: Puesto que (a; b) = 1; lo contrario obligaríaa que 3ja; pero entonces 3jp y estamos suponiendo lo contrario.

Así pues, 2a = u3; a � 3b = v3; a + 3b = w3; luego v3 + w3 = 2a = u3:Nuestro objetivo es encontrar una solución de la ecuación de Fermat con z3

par y menor que el valor del que hemos partido. Así podremos concluir que nopueden existir tales soluciones ya que no puede haber una mínima. Hemos dereordenar la terna (u; v; w) para dejar en tercer lugar la componente par. Comou3v3w3 = 2a (a� 3b) (a+ 3b) = 2pjz3; lo cierto es que la componente par, seacual sea, es menor en módulo que z3:

Falta llegar a la misma conclusión si 3jp: Supongamos que p = 3s y que3 - q: Entonces nuestro cubo es 2p

�p2 + 3q2

�= 32 � 2s

�3s2 + q2

�y los números

32 � 2s y 3s2 + q2 son coprimos, pues (s; q) = 1 obliga a que los únicos divisorescomunes posibles sean 2 y 3; pero 3s2 + q2 es impar (luego 2 no sirve) y 3-q; (luego tampoco sirve) :

Consecuentemente 32 � 2s = u3 y 3s2 + q2 = v3: Por la proposición 7.3.1llegamos a que q = a (a� 3b) (a+ 3b) ; s = 3b (a� b) (a+ b) : Por otro lado32 � 2s = 33 � 2b (a� b) (a+ b) es un cubo, luego 2b (a� b) (a+ b) también lo es.Luego hemos encontrado una terna menor que (x; y; z) que satisface la ecuaciónlo cual no es posible puesto que (x; y; z) es primitiva. �

Para �nalizar probaremos la proposición 7.3.1

Demostración. Consideraremos la factorización en Z�p�3�; aquí los ele-

mentos de norma impar se descomponen de forma única en producto de primos,y esto es su�ciente para nuestros propósitos. En efecto, como (p; q) = 1 elnúmero p + q

p�3 no es divisible entre enteros no unitarios , es decir, no es

divisible entre primos que se conservan, y si un primo p = �1�2 se separa y�1jp+ q

p�3; entonces �2 - p+ q

p�3: Por lo tanto la descomposición en primos

es

p+ qp�3 = �n11 � � ��nrr ;

110

donde N (�i) = pi son primos distintos dos a dos. Tomando normas quedaque

r3 = p2n11 � � � p2nrr ;

luego 3jni para todo i; lo que implica que p+ qp�3 es un cubo en Z

�p�3�:

Por consiguiente

p+ qp�3 =

�a+ b

p�3�3= a3 � 9ab2 +

�3a2b� 3b3

�p�3;

y esto prueba la proposición. �

6.4 Ejercicios propuestos

1. Pruébese el teorema 7.1.1

2. Pruébese el teorema 7.1.2

3. Pruébese que Z�p�2�es un anillo

4. Pruébese que el anillo Z�p�2�es un dominio euclídeo.

5. Demuéstrese que las únicas soluciones enteras de la ecuación y2+2 = x3 sony = �5; x = 3:

�sugerencia. Considere la factorización en Z

�p�2��

6. Defínase y discútase todas las propiedades de Z�p�3�

7. Demuéstrese que uno de los números pitagóricos correspondientes a estasternas debe ser múltiplo de 3.

8. Resuélvase la ecuación x2 + 2y2 = z2 en el anillo de los números enteros.

111

Ap�endice

112

7 Notas de Álgebra

"El álgebra es generosa, frecuentemente da más de lo que le piden"D�Alembert.

7.1 Estructuras Algebraicas

En esta sección de�niremos varias estructuras algebraicas y algunos elementos.Teniendo como �nalidad presentar una breve semblanza de algunas estructurasalgebraicas y así poder situar al lector en una posición más comoda a la horade realizar la lectura del documento.

7.1.1 De�nición. Sea � un conjunto no vacío. Llamaremos ley de composi-ción interna (o simplemente ley de composición) de�nida sobre � a todaaplicación:

� : �� � �! �

Si x; y 2 � escribimos

(x; y) �! � (x; y)

Al elemento x � y lo denominamos la composición (por �) de x con y.La de�nición que acabamos de dar, es la formalidad para una operación

binaria. Las operaciones de suma y producto entre números constituyen losejemplos naturales de leyes de composición.

7.1.2 De�nición. Se llama Monoide a toda pareja (�; �) formada por unconjunto � 6= �; y una ley de composición �: Diremos también que �de�ne sobre � una estructura de monoide.

Por ejemplo:Si � denota cualquiera de los conjuntos numéricos ya conocidos

N;Z;Q;R;C

y � denota la suma (+) o el producto (�) habituales para estos números, lassiguientes parejas forman monoides:

113

(N;+) (N; �)(Z;+) (Z; �)(Q;+) (Q; �)(R;+) (R; �)(C;+) (C; �)

7.1.3 De�nición. Se denomina Semigrupo a todo monoide cuya ley de com-posición es asociativa.

En otras palabras,

x; y; z 2 � =) x � (y � z) = (x � y) � zPor ejemplo.Todos los monoides numéricos considerados en la de�nición anterior:

(N;+) ; (N; �) ; (Z;+) ; (Z; �) ; (Q;+) ; (Q; �) ; (R;+) ; (R; �) ; (C;+) ; (C; �)

forman semigrupos.

7.1.4 De�nición. Un Grupo es una pareja (�; �) donde � es un conjunto novacío y

� : �� � �! �

es una operación binaria

(x; y) �! � (x; y)

Tal que

i. x � (y � z) = (x � y) � z

ii. Existe un elemento e 2 �; llamado elemento de identidad, tal que: 8x 2�;x � e = x = e � x

iii. Para cada x 2 � existe un elemento, llamado inverso, denotado con �x;tal que:(x) � (�x) = e

iv. Diremos que el grupo es conmutativo o abeliano si satisface: x � y = y �x;8x; y 2 �

Las siguientes duplas forman grupos conmutativos:

(Z;+) ; (Q;+) ; (Q; �) ; (R;+) ; (R; �) ; (C;+) ; (C; �)

Las duplas (N;+) ; (N; �) y (Z; �) no forman grupos, puesto que carecen deelemento inverso para la operación respectiva.

114

7.1.5 De�nición. Un Anillo es una terna (�; �; �) donde � es un conjunto novacío, � y � son operaciones binarias tales que

i. (�; �) es un grupo conmutativo

ii. (�; �) es un semigrupo

iii. x � (y � z) = (x � y) � (x � z), 8x; y; z 2 � distributividad de � con respectoa �

Las siguientes ternas forman anillos: (Z;+; �) ; (Q;+; �) ; (R;+; �)

Si un anillo (�; �; �) satisface

iv. (�; �) es un semigrupo conmutativo, entonces (�; �; �) se llamará anilloconmutativo.

Si (�; �) es un semigrupo con identidad, diremos que (�; �; �) se llamaráanillo con identidad.

7.1.6 De�nición. La terna (�; �; �) es un cuerpo si y sólo si es un anilloconmutativo, con unidad, cuyos elementos no nulos admiten inverso mul-tiplicativo. Esto es

i. (�; �) es un grupo abeliano

ii. (�� f0g ; �) es un grupo abeliano

iii. a � (b � c) = a � b � a � c; 8a; b; c 2 �:

Son ejemplos de cuerpos: (Q;+; �) ; (R;+; �) ; (C;+; �) ; (Zp;+; �)

Elementos distinguidos de un conjunto ordenado.

Sea � un conjunto ordenado por una relación de orden <

i. Primer elemento. El elemento a 2 � se llama primer elemento si y sólo siprecede a todos los demás.

a 2 � es primer elemento () x 2 � =) a < x

ii. Último elemento. El elemento b 2 � se llama último elemento si y sólo sitodo elemento de � precede a b:

b 2 � es último elemento () x 2 � =) x < b

115

iii. Elemento mínimo. El objeto m de � es elemento mínimo si y sólo si noexiste un elemento distinto que lo preceda

m 2 � es elemento mínimo() 8x 2 � : x < m =) m = x

iv. Elemento máximo. El objeto n de � es elemento máximo si y sólo si noexiste un elemento distinto que lo siga

n 2 � es elemento máximo() 8x 2 � : n < x =) x = n

La función factorial y los números combinatorios

7.1.7 De�nición. La función factorial es la aplicación

f : N0 �! N

de�nida por 8<: f (0) = 1f (1) = 1

f (h+ 1) = (h+ 1) � f (h) si h > 1

La notación más usual para esta aplicación es h!: De este modo lo anteriorse traduce en 8<: 0! = 1

1! = 1(h+ 1)! = (h+ 1) � h!

La expresión h! se lee "h factorial"

Propiedades del factorial

i. n! = 1 � 2 � 3 � � � � � n

ii. n(n+1)! =

1n! �

1(n+1)!

7.1.8 De�nición. Sean los enteros no negativos n y k; tales que n � k: Lla-

mamos número combinatorio "n sobre k" , al símbolo�n

k

�de�nido por

�n

k

�=

n!

k! (n� k)!

116

Propiedades de los números combinatorios.

i. Dos números combinatorios de órdenes complementarios son iguales�n

k

�=

n!

k! (n� k)! =n!

(n� k)!k! =�

n

n� k

�ii. La suma de dos números combinatorios no es, en general, un número com-

binatorio; pero si tiene igual numerador y denominador consecutivos valela fórmula �

n� 1k � 1

�+

�n� 1k

�=

�n

k

�

117

Respuestas a ejercicios de tipo numérico

Capítulo 2.

1.

a. verdaderob. falsoc. verdaderod. falsoe. falso

10. mcd (576; 73) = 1; x = 2, y = �71

11. 600 y 120

12. 168, 18

13. 576; 162

16. a) 31; 44 b) 3;�2 c) 7; 8

17. para pq es 4; la de p2q es 6; la de p2q2 es 9; y la de pnqm es (m+ 1) (n+ 1)

Capítulo 3.

1. 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 2584; 4181; 6765; 10946:

3. u1 + u3 + u5 + � � �+ u2n�1 = u2n

4. mcd (13; 34) = 1; mcd (5; 610) = 5; mcd (3; 1) = 1; mcd (mcd (10946; 144) ;mcd (13; 34)) =2

8. 35157 = 0 +

14+ 1

2+ 117

; 237101 = 2 +

12+ 1

1+ 17+ 1

1+ 13

; 285126 = 2 +

13+ 1

1+ 14+ 1

2

547232 = 2 +

12+ 1

1+ 13+ 1

1+ 17+ 1

2

; 15131 =

18+ 1

1+ 12+ 1

1+ 13

Capítulo 4.

1. a) Todo x tal que x� [x] < 12 ; b) Todo x; c) Todos los enteros, d) Todo

x tal que x� [x] � 12 ; e) Todo x tal que 1 � x < 10

9

3. 143

4. ' (666) = 216; ' (153) = 96; ' (16384) = 8192

6. n impar; 35; 39; 45; 52; 56; 70; 72; 78; 84; 90

118

7. n par

8.Xdj1729

' (d) = 6 + 12 + 18 = 36

Capítulo 5.

1. Z7

+ 0 1 2 3 4 5 60 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 02 2 3 4 5 6 0 13 3 4 5 6 0 1 24 4 5 6 0 1 2 35 5 6 0 1 2 3 46 6 0 1 2 3 4 5

� 0 1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 62 0 2 4 6 1 3 53 0 3 6 2 5 1 44 0 4 1 5 2 6 35 0 5 3 1 6 4 26 0 6 5 4 3 2 1

Z8+ 0 1 2 3 4 5 6 70 0 1 2 3 4 5 6 71 1 2 3 4 5 6 7 02 2 3 4 5 6 7 0 13 3 4 5 6 7 0 1 24 4 5 6 7 0 1 2 35 5 6 7 0 1 2 3 46 6 7 0 1 2 3 4 57 7 0 1 2 3 4 5 6

� 0 1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 72 0 2 4 6 0 2 4 63 0 3 6 1 4 7 2 54 0 4 0 4 0 4 0 45 0 5 2 7 4 1 6 36 0 6 4 2 0 6 4 27 0 7 6 5 4 3 2 1

3. x � 5mod 12

6. 43

8. 1; 9; 3; 81; 243; 27

11. a) 9, b) 12, c) 1, d) 13

12. a) 26, 61, 96. b) 624 c) 1829

14. 1; 13; 10; 7; 4

15. 317

16. 17x3 � 0mod 17

19. 983

119

Conclusiones.

Este trabajo es un estudio y una recopilación de las principales de�ni-ciones, propiedades y teoremas que corresponden a un curso clásico de teoría denúmeros, desarrollados en nivel universitario de nuestro país.

A lo largo de la construcción de este trabajo, abordamos los números enterosnaturales y sus propiedades de divisibilidad que básicamente es lo fundamentalen la teoría de números, sin embargo también tratamos la solución de un tipoparticular de ecuación, a saber las ecuaciones diofánticas y además vimos ladivisibilidad desde la perspectiva de la congruencia; intentando mostrar todoesto desde una óptica más amigable en cuanto a contenido y tratamiento didác-tico de la teoría. Además, hemos incluido algunas secciones atractivas donde semuestran algunas aplicaciones para los resultados mostrados.

Todo esto lo hemos hecho con el objetivo de contribuir a la formación deestudiantes universitarios que tienen que enfrentar este tipo de cursos, puestoque el �n de este tratado es ser usado como un dispositivo didáctico que facilitela comprensión de la teoría, como medio de consulta y ejercitación y comomaterial de divulgación en general.

Sin embargo las matemáticas crecen a un nivel acelerado y la teoría denúmeros no es la excepción, por tal razón la contribución de este material esmuy modesta, así teniendo esto presente instamos a estudiantes a profundizaren el estudio e investigación de esta rama de las matemáticas, y a institucionesuniversitarias y técnicas a modernizar sus programas de estudios para abordardichos aspectos.

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Webgrafía

References

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