Livro de Teoria Dos Numeros

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR

CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA.

LICENCIATURA EM MATEMTICA MODALIDADE A DISTNCIA

DISCIPLINA: TEORIA DOS NMEROS

CONTUDO PROGRAMTICO:

INTRODUO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NMEROS:

UNIDADE I NMEROS INTEIROS:

1.1 - Nmeros inteiros.

1.2 - Propiedades dos inteiros;

1.3 - Valor absoluto de um inteiro;

1.4 - Questes Resolvidas e Propostas.

UNIDADE II INDUO MATAMTICA:

2.1 - Elemento mnimo de um conjunto de inteiros.

2.2 - Princpio da boa ordenao;

2.3 - Princpio de induo finita;

2.4 - Induo matemtica;

2.5 - Exemplos de demonstrao por induo matemtica e outras formas de induo

matemtica;


UNIDADE III DIVISIBILIDADE:

3.1 - Relao de divisibilidade em Z.

3.2 - Conjunto dos divisores de um inteiro;

3.3 - Divisores comuns de dois inteiros;

3.4 - Algoritmo da diviso;

3.5 - Paridade de um inteiro;


UNIDADE IV MXIMO DIVISOR COMUM:

4.1 - Mximo divisor comum de dois inteiros.

4.2 - Existncia e unicidade do mdc;

4.3 - Inteiros primo entre si;

4.4 - Caracterizao do mdc de dois inteiros;

4.5 - Mdc de vrios inteiros;


UNIDADE V ALGORITMO DE EUCLIDES MNIMO MLTIPLO COMUM:

5.1 - Algoritmo de EUCLIDES.

5.2 - Mltiplos comuns de dois inteiros;

5.3 - Mnimo mltiplo comum de dois inteiros;

5.4 - Relao entre o mdc e o mmc;

5.5 - Mmc de vrios inteiros;


UNIDADE VI NMEROS PRIMOS:

6.1 - Nmeros primos e compostos.

6.2 - Teorema fundamental da Aritmtica;

6.3 - Formula que do primos;

6.4 - Crivo de ERATSTENES;

6.5 - Primos gmeos;

6.6 - Seqncias de inteiros consecutivos compostos;

6.7 - Conjectura de GOLDBACH;

6.8 - Mtodo de fatorao de FERMAT;


UNIDADE VII EQUAES DIOFANTINAS LINEARES:

7.1 - Generalidades.

7.2 - Condio de existncia de soluo;

7.3 - Soluo da equao ax + by = c;


UNIDADE VIII CONGRUNCIAS:

8.1 - Inteiros congruentes.

8.2 - Caracterizao de Inteiros congruentes;

8.3 - Propriedades das congruncias;

8.4 - Sistemas completos de restos;


UNIDADE IX CONGRUNCIAS LINEARES:


9.2 - Condio de existncia de soluo;

9.3 - Soluo da congruncia a x b(mod. m);

9.4 - Resoluo de equaes diofantinas lineares por congruncias;

9.5 - Inverso de um inteiro;


UNIDADE X SISTEMAS DE CONGRUNCIAS LINEARES:


10.2 - Teorema do resto chinez;


UNIDADE XI TEOREMA DE FERMAT E WILSON:

11.1 - Teorema de Fermat.

11.2 - Teorema de Wilson;


BIBLIOGRAFIA:

INTRODUO AO ESTUDO DA TEORIA DOS NMEROS

Embora existam diversos tipos de nmeros em Matemtica (reais, complexos, etc.), o nome

"Teoria dos Nmeros" tradicionalmente reservado para o estudo dos Nmeros Inteiros, isto , -3, -

2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Tambm usado o nome Aritmtico, proveniente de arithms, que em grego

significa nmero".

A Teoria dos Nmeros, a mais pura disciplina dentro da mais pura das Cincias a

Matemtica e tem uma longa histria, originando-se nas antigas civilizaes da humanidade.

Listamos primeiro alguns nomes famosos de matemticos que contribuiro para o estudo da teoria

dos nmeros:

Pitgoras (569-500 a. C.)

Euclides (_ 350 a. C.)

Eratstenes (276-196 a. C.)

Diofante (_ 250 d. C.)

Plutarco (_ 100 d. C.)

Marin Mersenne (1588-1648)

Pierre de Fermat (1601-1665)

Blaise Pascal (1623-1662)

Christian Goldbach (1690-1764)

Leonhard Euler (1707-1783)

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

John Wilson (1741-1793)

Adrien Marie Legendre (1752-1833)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Peter Gustav Dirichlet (1805-1859)

P. L. Tchebychef (1821-1894)

Frederick Nelson Cole (1861-1927)

Axel Thue (1863-1922)

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Charles de la Vall e Poussin (1866-1962)

Dentre outros....

A teoria dos nmeros veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que

surgiram naturalmente do estudo dos nmeros inteiros. A teoria dos nmeros pode ser subdividida

em vrios campos, de acordo com os mtodos que so usados e das questes que so investigadas, a

saber:

1) Teoria elementar dos nmeros: utiliza somente os mtodos elementares da aritmtica para a

verificao e comprovao das propriedades essenciais do conjunto dos nmeros inteiros e em

particular as propriedades dos nmeros primos.

2) Teoria analtica dos nmeros: utiliza a anlise real e anlise complexa, especialmente para

estudar as propriedades dos nmeros primos.

3) Teoria algbrica dos nmeros: utiliza lgebra abstrata e estuda os nmeros algbricos.

4) Teoria geomtrica dos nmeros: utiliza mtodos geomtricos, algbricos e analticos.

Nesta notas faremos o estudo da primeira Teoria, um conceito chave em Teoria elementar

dos Nmeros o conceito de divisibilidade. Enquanto nos nmeros reais, por exemplo, pode-se

dividir qualquer nmero por outro (no nulo), obtendo como resultado um nmero real, nos inteiros

diferente. Um inteiro a s divisvel pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a = bc.

Nesse caso, diz-se tambm que b um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a mltiplo de

b. Por exemplo, 8 divisvel por 2, mas no por 3. Mesmo que a no seja divisvel por b, pode-se

sempre encontrar, de modo nico, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a = bc + r.

Todo inteiro a divisvel por 1, -1, a, -a. Estes so os divisores triviais de a. Um inteiro

dito primo quando s possui os divisores triviais. Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que

no seja primo (isto , possua divisores no triviais) dito composto. Por exemplo: So primos: 2, -

2, 3, -3, 17, .... So compostos 6 = 2x3, -8 = (-2) x 4, ... Os nmeros 0, 1 e 1 no so primos nem

compostos. Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de nmeros primos.

O mximo divisor comum dos inteiros no nulos a e b tem a propriedade de ser mltiplo de

qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o

mximo divisor comum de a e b for 1, ento seus nicos divisores comuns so 1 e 1. Nesse caso, a

e b so ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 so primos entre si.

As propriedades mais cruciais dos nmeros inteiros, e que no tm similares nos reais ou nos

complexos, so o Princpio da Boa Ordenao, segundo o qual qualquer conjunto no vazio de

inteiros limitado inferiormente possui um elemento mnimo, e o Princpio de Induo, segundo o

qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n = a, e a veracidade de

P(n) acarretar a veracidade de P(n + 1), ento P(n) verdadeira para todo inteiro maior que ou igual

a a.

A partir das propriedades usuais da adio e da multiplicao de inteiros, da relao

Aritmtica, segundo o qual todo inteiro (diferente de 0, 1 e 1) pode ser escrito de modo nico

como um produto de fatores primos.

Uma das caractersticas da Teoria dos Nmeros que ela inclui problemas extremamente

simples de enunciar e ao mesmo tempo incrivelmente difceis de resolver. Um exemplo a

conjectura de Feuerbach: "todo nmero par a soma de dois nmeros primos"; ningum at hoje

conseguiu decidir se isto verdadeiro ou falso. Outro exemplo o famoso ltimo Teorema de

Fermat: "Dado um inteiro n maior que 2, impossvel encontrar inteiros no nulos x, y, z tais que xn

+ yn

= zn". Este teorema, enunciado no sculo XVII por Fermat, que s foi demonstrado em 1995,

por Wiles.

Gauss, o "prncipe dos matemticos", dizia que a Matemtica era a rainha das cincias, e a

Aritmtica, a rainha das Matemticas. Gauss desenvolveu muita a Teoria dos Nmeros. Aos 22

anos, em 1799, publicou em latim suas "Investigaes Aritmticas", onde introduziu o importante

conceito de congruncia para nmeros inteiros.

O matemtico ingls Hardy, grande especialista em Teoria dos Nmeros, orgulhava-se, em

1940, de que "nenhuma descoberta sua havia feito, nem provavelmente viria a fazer, direta ou

indiretamente, alguma diferena para o conforto da humanidade". No entanto, 50 anos depois, um

obscuro matemtico americano descobriria uma falha no recm lanado processador Pentium, ao

realizar clculos "inteis" sobre primos gmeos (nmeros primos que diferem de 2).

Mas j no prprio momento em que Hardy escrevia aquela frase, durante a segunda guerra

mundial, trs americanos desenvolviam um sistema de cdigo secreto, chamado SRA, baseado nas

dificuldades insuperveis para descobrir os fatores primos de um nmero muito grande. Criava-se

um novo ramo a Criptografia, a cincia dos cdigos, fortemente baseado em Teoria dos Nmeros.

Com o advento dos computadores e da computao algbrica, a Criptografia ganhou um novo

impulso. Neste momento, a proliferao de senhas bancrias e de cartes de crdito, bem como a

crescente necessidade de criptografar dados confidenciais que inundam a Internet, faz da

Criptografia um dos ramos mais em moda da Matemtica aplicada. E um dos mais teis, para

desespero pstumo de Hardy.

UNIDADE I NMEROS INTEIROS

1 - Introduo:

A noo de nmero est, atravs dos tempos, associada a todos os tipos de atividades

humanas. A primeira concepo de nmero data do perodo paleoltico. Poucos progressos se

fizeram neste campo at se dar a transio para o perodo neoltico, durante o qual j existia uma

atividade comercial importante entre diversas povoaes. Esta atividade promoveu a formao de

linguagens, cujas palavras exprimiam coisas muito concretas e poucas abstraes, mas onde j havia

lugar para alguns termos numricos simples. Estes termos numricos destinavam-se apenas a

estabelecer a distino entre um, dois e muitos. Depois de durante milnios ter utilizado os nmeros

para contar, medir, calcular, o homem comeou a especular sobre a natureza e propriedades dos

prprios nmeros. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Nmeros, um dos ramos mais profundos

da matemtica.

A Teoria dos Nmeros nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitgoras e os seus

discpulos comearam a estudar as propriedades dos nmeros inteiros. Os pitagricos rendiam

verdadeiro culto mstico ao conceito de nmero, considerando-o como essncia das coisas.

Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com nmeros inteiros ou razes de nmeros

inteiros (em linguagem atual, nmeros racionais). Alis, na antiguidade a designao nmero

aplicava-se s aos inteiros maiores do que um. Esta crena foi profundamente abalada quando

usaram o Teorema de Pitgoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitrio. Com

efeito, a diagonal divide o quadrado em dois tringulos retngulos issceles cujos catetos tm

comprimento um e assim, pelo teorema de Pitgoras, a medida da hipotenusa igual raiz quadrada

de dois, que no pode ser expresso como quociente de inteiros.

Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 no era uma razo entre dois

inteiros (em linguagem atual, que a raiz quadrada de 2 um nmero irracional) os Pitagricos

consideraram quebrada a harmonia do universo, j que no podiam aceitar a raiz quadrada de dois

como um nmero, mas no podiam negar que esta raiz era a medida da diagonal de um quadrado

unitrio. Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia

uma imperfeio divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo reza a lenda, o primeiro

membro da seita pitagrica que divulgou esta descoberta morreu afogado.

Este fato teve grandes repercusses na histria da cincia que se fizeram sentir at finais do

sculo XIX. De cada vez que as necessidades do clculo levavam a introduzir novos entes

numricos gerava-se uma enorme desconfiana sua volta, o que levava a atribuir-lhes designaes

curiosas. Assim, os nmeros irracionais eram designados por nmeros inexprimveis e por nmeros

incalculveis. Durante muitos sculos os nmeros reais (fracionarias ou racionais e irracionais)

foram apenas concebidos como medidas de grandezas e s nos finais do sculo XIX, principalmente

por obra dos matemticos alemes Dedekind e Cantor, se construiu uma teoria dos nmeros reais

independente da geometria.

1.1 - Nmeros Inteiros Noes Fundamentais:

Os nmeros inteiros ou apenas os inteiros so: , 3, 2, 2,0,1, 2,3, .

Cujo conjunto representa-se pela letra , isto : , 3, 2, 2,0,1,2,3, , deste conjunto

destacam-se os seguintes subconjuntos:

1) Conjunto dos inteiro no nulos ( 0) . = x / x 0 1, 2, 3, 4,z .

2) Conjunto dos inteiro no negativos ( 0) . = x / x 0 0,1,2,3,z .

3) Conjunto dos inteiro no positivos ( 0) . = x / x 0 0, 1, 2, 3,z .

4) Conjunto dos inteiro positivos ( 0) . = x / x 0 1,2,3,4,z .

4) Conjunto dos inteiro positivos ( 0) . = x / x 0 1, 2, 3, 4,z .

Os inteiros positivos so tambm denominados inteiros naturais e por isso o conjunto dos inteiros

positivos habitualmente designados pela letra *+ = .

1.2 - Propriedades dos Inteiros:

O conjunto Z dos inteiros munidos das operaes de adio (+) e multiplicao ( ) possui as

propriedades fundamentais que a seguir enumeramos, onde a, b e c so inteiros quaisquer, isto ,

elementos de z:

1) Lei comutativa para multiplicao e adio: a + b = b + a e ab = ba .

2) Lei associativa para multiplicao e adio: a + b + c = a + b + c e (ab)c = a(bc) .

3) Existncia da identidade para adio e multiplicao: 0 + a = a e a 1 = 1 a = a .

4) Existncia do inverso em relao adio, -a, para todo inteiro a: a + (- a) = (-a) + a = 0 .

5) Lei distributiva: a b + c = ab + ac .

6) Lei do cancelamento da multiplicao 0 a = 0 e se ab = 0, ento a = 0 ou b = 0 .

Tambm existe uma relao de ordem entre os inteiros, representada pelo sinal < (menor que)

que possui as seguintes propriedades:

7) Se a 0, ento a < 0 ou 0 < a .

8) Se a b, e b < c ento, a < c .

9) Se a b, ento a + c < b + c .

10) Se a b, ento 0 < c, ento ac < bc .

11) Se a b, ento c < 0, ento bc < ac .

12) (Lei da Tricotomia) Para quaisquer inteiros a e b, vale exatamente uma das seguintes

afirmaes: a < b, a = b ou a > b .

13) Suponha que a b , e seja c um inteiro qualquer. Entoa + c b+c

ac bc se c > 0, mas ac bc, se c < 0.

Destas propriedades podem ser deduzidas muitas outras propriedades dos inteiros.

1.3 - Valor absoluto de um Inteiro:

Definio: Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se indica por a , tal que:

a se a oa

-a se a o

A partir da definio de a , para todo inteiro a, temos:

2 2

2

a 0

a a

- a a

a a

a a

.

Teoremas: Se a e b so dois inteiros, quaisquer ento:

1) a 0 e a 0 se a = 0 .

2) a a a .

3) ab a b .

4) a b a b .

5) a + b a b .

Questes Resolvidas

01) Calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos.

Soluo: Vamos escrever a soma dos n primeiros nmeros inteiros positivos em ordem crescente e

a mesma soma em ordem decrescente, temos:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ........ + n 3 + n 2 + n 1 + n

S = n + n 1 + n 2 + n 3 + ........ + 4 + 3 + 2 + 1

Somando as duas igualdades:

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + .............. + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)

Observe que sero n parcelas iguais a (n + 1). Portanto, 2S = n(n + 1) S = n(n + 1)/2.

02) Calcular o inteiro positivo n, sabendo que 3n+2

2n+3

= 2592.

Soluo: Decompondo 2592, obtm-se 34.2

5. Portanto, n + 2 = 4 n = 2, ou 5 = n + 3 n = 2.

Pois a forma de decomposio em fatores primos nica.

03) Achar um inteiro positivo de dois algarismos que seja igual ao qudruplo da soma dos seus

algarismos.

Soluo: Um nmero de algarismos a e b, na base 10 expresso por 10a + b.

Portanto, 10a + b = 4(a + b) 6a = 3b b = 2a. Ou seja, qualquer nmero de dois algarismos,

onde o algarismo das unidades o dobro do algarismo das unidades. Assim, temos: 12, 24, 36, etc.

04) Achar o menor e o maior inteiro positivo de n algarismos.

Soluo: Menor: 1 algarismo igual a 1 e os demais (n 1) iguais a zero. Portanto, 1 x 10 n 1.

Maior: todos os n algarismos iguais a 9, ou 1 seguido de n zeros menos 1 1.10n 1

Observao: Considerando, n = 5. Menor 10000 = 1.105 1

= 1.104

Maior 99999 = 100000 1 = 1.105 1.

05) Achar todas as solues inteiras e positivas da equao: x2 y2 = 88.

Soluo: x2 y2 = 88 (x + y) (x y) = 88. Como x e y so inteiros positivos, (x + y) e (x y)

so dois nmeros inteiros cujo produto 88. Assim, (1) x + y = 88 e x y = 1; (2) x + y = 44 e x y

= 2; (3) x + y = 22 e x y = 4; (4) x + y = 11 e x y = 8. Cada par de duas equaes formam um

sistema. Para resolver o sistema basta somar as duas equaes, o que resultaria em 2x = soma dos

nmeros. Como essa soma tem que ser par (x inteiro), resulta apenas as possibilidades 2 e 3.

Portanto, 2x = 46 x = 23 e y = 44 23 = 21 ou 2x = 26 x = 13 e y = 22 13 = 9.

Resposta: (x = 23, y = 21) e (x = 13, y = 9).

06) O produto de um inteiro positivo de trs algarismos por 7 termina direita por 638. Achar esse

inteiro.

Soluo: Para facilitar o raciocnio, construamos a tabela de multiplicao por 7.

7 x 1 = 7, 7 x 2 = 14, 7 x 3 = 21, 7 x 4 = 28, 7 x 5 = 35, 7 x 6 = 42, 7 x 7 = 49, 7 x 8 = 56, 7 x 9 =

63. Como o algarismo das unidades 8, o nico valor possvel para o algarismos das unidades do

nmero 4. Ao efetuar a multiplicao do algarismo das unidades, que 4 por 8, vo duas unidades

para a casa das dezenas. Assim, o algarismo das dezenas deve ser tal que ao multiplicar por 7 e

somar 2, resulte num final igual a 3. Portanto, o algarismo das dezenas 3, pois 7 x 3 + 2 = 23. Da

mesma forma vo duas unidades para a casa das centenas. O algarismo a deve ser de forma que, ao

somar 2 (vindo das dezenas) resulte em 6. Portanto, deve ser um mltiplo de 7 terminado em 4. Isto

permite concluir que o algarismo das centenas 2 , pois 2 x 7 + 2 = 16.

Portanto, o nmero 234.

07) Um livro tem 1235 pginas. Determinar o nmero de vezes que o algarismo 1 aparece na

numerao da pginas deste livro.

Soluo: De 1 a 100, o algarismo 1 aparece 10 vezes nas unidades (1, 11, 21,... 91) e 10 vezes nas

dezenas (10, 11, 12, ...19). Portanto a cada centena o algarismo 1 aparece 20 vezes. Em 1235 temos

12 centenas. Portanto o algarismo 1 aparecer 20 x 12 = 240 vezes na posio das unidades e

dezenas. De 100 a 200, o algarismo 1 aparece 100 vezes na posio das centenas. Isto se repete de

1100 a 1200. Portanto, 200 vezes na posio das centenas.

De 1200 a 1236, o algarismo 1 aparece 4 vezes nas unidades e 10 vezes nas dezenas. Totalizando 14

vezes. De 1000 a 1235, o algarismo 1 aparece 236 vezes na posio dos milhares.

Portanto: 240 + 200 + 14 + 236 = 690 vezes.

08) Achar o inteiro que deve ser somado a cada um dos inteiros 2, 6 e 14 para que, nesta ordem,

formem uma proporo contnua.

Soluo: Uma proporo contnua aquela que tem os meios ou os extremos iguais. Pela definio

podemos ter (a) (2 + x)/(6 + x) = (6 + x)/(14 + x) ou (2 + x)/(6 + x) = (14 + x)/(2 + x). Na situao

(a), (6 + x) 6 + x) = (2 + x) (14 + x) => 36 + 12x + 2x = 28 + 16x + 2x 4x = 8 x = 2. Na

situao (b) (2 + x) (2 + x) = (6 + x) (14 + x) 4 + 4x + 2x = 84 + 20x + 2x 16x = - 80

x = - 5.

R: 2 ou 5.

09) Achar o menor inteiro cujo produto por 21 um inteiro formado apenas por 4 algarismo.

Soluo: O nmero o menor mltiplo de 21 maior que 1000.

Portanto: 1000 = 47 x 21 + 13. Portanto, o nmero 48 x 21 = 1008.

10) Escreve-se a seqncia natural dos inteiros positivos, sem separar os algarismos:

123456789101112131415...

Determinar:

(a) O 435 algarismo.

Soluo: De 1 a 9 so escritos 9 algarismos. De 10 a 99, so dois algarismos em cada nmero 2

x 90 = 180 algarismos. Portanto, at 100 so escritos: 9 + 180 + 3 = 192.

Para chegar ao algarismo que ocupa o 435 lugar sero necessrios mais 435 192 = 243

algarismos. Como a partir de 100 so usados 3 algarismos teramos 243 3 = 81 nmeros aps o

100. Portanto, o nmero 181 e o algarismo que ocupa a posio o 1.

(b) O 1756 algarismo.

Soluo: Da mesma forma 1756 192 = 1564 1564 3 = 521 e sobra 1 algarismo. Portanto

teramos at a 100 + 521 = 621. Como sobra 1 algarismo, o prximo o 6 do nmero 622.

(c) O 12387 algarismo.

Soluo: At 1000 seriam 9 + 90 x 2 + 900 x 3 + 4 = 2889.

12387 2889 = 9498 9498 4 = 2374 e sobram dois algarismo. Portanto, o ltimo nmero

inteiro 1000 + 2374 = 3374. A sobra de dois algarismos implica que o ltimo algarismo ser 3, o

segundo algarismo de 3375.

11) Mostrar que o produto de dois fatores entre 10 e 20 o dcuplo da soma do primeiro com as

unidades do segundo mais o produto das unidades dos dois.

Soluo: Sejam os nmeros 10 + b e 10 + c, com 0 < b < 10 e 0 < c < 10. Nestas condies 10 + b e

10 + c estaro compreendidos entre 10 e 20 e b e c sero os algarismos das unidades.

Efetuando o produto temos: (10 + b) (10 + b) = 100 + 10b + 10c + bc = 10[(10 + b) + c] + bc.

(10 + b) + c a soma do primeiro com as unidades do segundo, bc o produto dos dois e 10[(10 +

b) + c] o dcuplo da soma do primeiro com as unidades do segundo.

Questes Propostas

01) Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que: 3n + 3

n+1 + 3

n+2 + 3

n+3 = 1080.

R: n = 3.

02) Decompor o inteiro 575 numa soma de cinco inteiros mpares consecutivos.

R: 109, 113, 115, 117, 119.

03) Achar todas as solues inteiras e positivas da equao (x + 1) (y + 2) = 2xy.

R: os valores so (x = 2, y = 6), (x = 3, y =4) e (x = 5, y = 3).

04) Verificar se o quadrado de um inteiro pode terminar em 2, 3, 7 ou 8.

R: Portanto, no pode terminar em 2, 3, 7 ou 8.

05) A soma dos quadrados de dois inteiros 3332 e um deles o qudruplo do outro. Achar os dois

inteiros.

R: 14 e 56.

06) A mdia aritmtica de dois inteiros positivos 5 e a mdia geomtrica 4. Achar os dois

inteiros.

R: 8 e 2.

07) Calcular a soma dos trs maiores nmeros inteiros de, respectivamente, trs, quatro e cinco

algarismos.

R: 110997.

08) Determinar a diferena entre o maior nmero inteiro com seis algarismos diferentes e o menor

inteiro com cinco algarismos tambm diferentes.

R: 977420.

09) Mostrar que o produto de quatro algarismos consecutivos, aumentado de 1, um quadrado

perfeito.

10) Sejam a e b dois inteiros. Demonstrar:

(a) Max (a, b) = (a + b + |a b|)/2.

(b) Min (a, b) = (a + b |a b|)/2.

11) Achar cinco inteiros positivos consecutivos cuja soma dos quadrados igual a 2010.

R: 18, 19, 20, 21 e 22.

12) Escreve-se a seqncia natural dos inteiros positivos pares, sem separar os algarismos:

24681012141618...

Determinar o 2574 algarismo que se escreve.

R: algarismo o 6.

13) Os inteiros a e b so tais que 1 < a < 3 e 2 < b < 0. Mostrar que 1 < a b < 5.

R: 1 < a b < 5.

14) Os inteiros a e b so tais que -2 < a < 2 e - 2 < b < 2. Mostrar que 4 < a b < 4.

R: 4 < a b < 4.

15) Achar o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 d um produto cujos algarismos so

todos 7.

R: 777777: 33 = 23569.

16) No planeta Mong o nmero de horas por dia igual a nmero de dias por semana, que igual ao

nmero de semanas por ms, que igual ao nmero de meses por ano. Sabendo que em Mong h

4096 horas por ano, quantas semanas h por ms?

R:

17) A soma de trs nmeros naturais consecutivos igual ao produto desses trs nmeros. A soma

dos quadrados desses nmeros :

R:

18) Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opes abaixo, a expresso que no pode representar

o nmero 24 :

a) ab3 b) a

2b

3 c) a

cb

c d) ab

2c

3 e) a

cb

cc

c

19) Efetuando as operaes indicadas na expresso abaixo obtemos um nmero de quatro

algarismos. Qual a soma dos algarismos desse nmero: 2007 2005

2006 2004

2 22006

2 2.

R:

20) Qual a soma dos algarismo do nmero: 2 3 4 2005 2006

2 3 2004 2005

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 ?

R:

21) Quantos so os possveis valores inteiros de x para que x 99

x 19 seja um nmero inteiro?

R: 20.

22) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai ser o triplo da

idade do filho?

R: 6.

UNIDADE II INDUO MATEMTICA

2.1 - Introduo:

O Princpio da Induo um eficiente instrumento para a demonstrao de fatos referentes

aos nmeros naturais. Por isso deve-se adquirir prtica em sua utilizao. Por outro lado,

importante tambm conhecer seu significado e sua posio dentro do arcabouo da Matemtica.

Entender o Princpio da Induo praticamente o mesmo que entender os nmeros naturais.

Apresentamos abaixo uma breve exposio sobre os nmeros naturais, onde o Princpio da

Induo se insere adequadamente e mostra sua fora terica antes de ser utilizado na lista de

exerccios propostos ao final.

2.2 - A Seqncia dos Nmeros Naturais:

Os nmeros naturais constituem um modelo matemtico, uma escala padro, que nos

permite a operao de contagem. A seqncia desses nmeros uma livre e antiga criao do

esprito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal o processo que

torna mais precisa a noo de quantidade; esse processo (a contagem) pressupe, portanto o

conhecimento da seqncia numrica. Sabemos que os nmeros naturais so 1, 2, 3, 4, 5, A

totalidade desses nmeros constitui um conjunto, que indicaremos com o smbolo N e que

chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto N = {1, 2, 3, 4, 5,}.

Evidentemente, o que acabamos de dizer s faz sentido quando j se sabe o que um

nmero natural. Faamos de conta que esse conceito nos desconhecido e procuremos investigar o

que h de essencial na seqncia 1, 2, 3, 4, 5 .

Deve-se a Giussepe Peano (1858 - 1932) a constatao de que se pode elaborar toda a teoria

dos nmeros naturais a partir de quatro fatos bsicos, conhecidos atualmente como os axiomas de

Peano. Noutras palavras, o conjunto N dos nmeros naturais possui quatro propriedades

fundamentais, das quais resultam, como conseqncias lgicas, todas as afirmaes verdadeiras que

se podem fazer sobre esses nmeros.

2.3 - Elemento Mnimo:

Definio 1.1 - Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mnimo de A um elemento a

A tal que a x para todo x A. Notao: a = min A.

min A = a se, e somente se, (a A e ( x A) a x).

Teorema: Se a elemento mnimo de A, ento este elemento nico.

2.4 - Princpio da Boa Ordenao (PBO).

Todo conjunto no vazio A, de inteiros no negativos, possui elemento mnimo.

A Z+, A , existe min A.

2.5 - Induo Matemtica:

Teorema: Seja P(n) uma proposio associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz s duas

seguintes condies:

1) P(1) verdadeira.

2) Para todo inteiro k, se P(k) verdadeira, ento P(k + 1) tambm verdadeira. Nestas condies,

a proposio P(n) verdadeira para todo inteiro positivo n.

2.6 - Princpio da Induo Finita (PIF).

Teorema: Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (S N) que satisfaz as duas

seguintes propriedades:

1) 1 pertence a S (1 S).

2) Para todo inteiro positivo k, se k S, ento (k + 1) S;

3) Nestas condies, S o conjunto N dos inteiros positivos: S = N.

2.7 - Outra Forma da Induo Matemtica:

Teorema: Seja r um nmero inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposio associada a cada

inteiro n r e que satisfaa s duas seguintes condies:

1) P(r) verdadeira.

2) Para todo inteiro k r, se P(k) verdadeiro, ento P(k + 1) verdadeiro;

3) Nestas condies, P(n) verdadeira para todo inteiro n r.

Questes Resolvidas

01) Demonstrar por "induo matemtica", as questes abaixo:

1) 12 + 2

2 + 3

2 + ... + n

2 =

6

)1n2)(1n(n n N.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 12 =

6

3.2.1. Suponhamos que para P(k) verdadeira:

12 + 2

2 + 3

2 + ... + k

2 =

6

)1k2)(1k(k. Somando (k + 1)

2 a ambos os membros:

12 + 2

2 + 3

2 + ... + k

2 + (1 + k)

2 =

6

)1k2)(1k(k + (k + 1)

2

= 6

)1k(6)1k2)(1k(k 2

= 6

)1k(6)1k2(k)1k(

= 6

)6k6kk2)(1k( 2

=6

)3k2)(2k)(1k( Logo P(k + 1) verdadeira.

2) 13 + 2

3 + 3

3 + ... + n

3 =

4

)1n(n 22 n N.


4

)11(1 22. Suponhamos que para P(k) verdadeira:

13 + 2

3 + 3

3 + ... + k

3 =

4

)1k(k 22 Somando (k + 1)

3 a ambos os membros

13 + 2

3 + 3

3 + ... + k

3 + (k + 1)

3 =

4

)1k(k 22+ (k + 1)

3

= 4

)1k(4)1k(k 322

= 4

)1k(4k)1k( 22

= 4

)4k4k()1k( 22

= 4

)2k()1k( 22 Logo P(k + 1) verdadeira.

3) 12 + 3

2 + 5

2 + ... + (2n 1)2 =

3

)1n4(n 2 n N.


3

)11.4(1 2 Suponhamos que para P(k) verdadeira:

12 + 3

2 + 5

2 + ... + (2k 1)2 =

3

)1k4(k 2 Somando (2k + 1)

2 a ambos os membros

12 + 3

2 + 5

2 + ... + (2k 1)2 + (2k + 1)2 =

3

)1k4(k 2 + (2k + 1)

2

= 3

)1k2(3)1k2)(1k2(k 2

= 3

)1k2(3)1k2(k)1k2(

= 3

)3k5k2)(1k2( 2

= 3

)3k2)(1k)(1k2(

= 3

)3k2)(1k2)(1k( Logo P(k + 1) verdadeira.

4) 13 + 3

3 + 5

3 + ... + (2n 1)3 = n2(2n2 1)

Soluo: P(1) verdadeira, pois 13 = 1

2(2.1

2 1). Suponhamos que para P(k) verdadeira:

13 + 3

3 + 5

3 + ... + (2k 1)3 = k2(2k2 1). Somando (2k + 1)3 a ambos os membros

13 + 3

3 + 5

3 + ... + (2k 1)3 + (2k + 1)3 = k2(2k2 1) + (2k + 1)3

= 2k4 k2 + 8k3 + 12k2 + 6k + 1

= 2k4 + 8k

3 + 11k

2 + 6k + 1

= (k + 1)(2k3 + 6k

2 + 5k + 1)

= (k + 1)(k + 1)(2k2 + 4k + 1)

= (k + 1)2(2(k + 1)

2 1) Logo P(k + 1) verdadeira.

5) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = 3

)2n)(1n(n.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 1(1 + 1)= 1(1 + 1)(1 + 2)/3

Suponhamos que para P(k) verdadeira: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = 3

)2k)(1k(k

Somando (k + 1)(k + 2) a ambos os membros:

1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = 3

)2k)(1k(k + (k + 1)(k + 2)

= 3

)2k)(1k(3)2k)(1k(k

= 3

)3k)(2k)(1k( Logo P(k + 1) verdadeira.

6) a + aq + aq2 + ... + aq

n =

1q

)1q(a 1n, q 1.

Soluo: P(1) verdadeira, pois a + aq = 1q

)1q(a 11 Suponhamos que para P(k) verdadeira.

a + aq + aq2 + ... + aq

k =

1q

)1q(a 1k Somando aq

k+1 a ambos os membros

a + aq + aq2 + ... + aq

k + aq

k+1 =

1q

)1q(a 1k+ aq

k+1

= 1q

)1q(aq)1q(a 1k1k

= 1q

)1q(q1qa 1k1k

= 1q

)qq1q(a 1k2k1k

= 1q

)1q(a 2k Logo P(k + 1) verdadeira.

02) Demonstrar por induo matemtica:

1) 2n < 2

n+1 n N.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 21 < 2

1+1. Suponhamos que para P(k) verdadeira:

2k < 2

k+1 Multiplicando por 2 ambos os membros

2.2k < 2.2

k+1 ou 2

k+1 < 2

k+2 logo, P(k + 1) verdadeira.

2) n ! > n2 n 4.

Soluo: P(4) verdadeira, pois 4! > 42 ou 24 > 16. Suponhamos que para P(k) verdadeira:

k! > k2 Multiplicando por k + 1 ambos os membros

k!(k + 1) > k2(k + 1) ou (k + 1)! > k

3 + k

2 como k

3 > k

2 e k

2 > 2k + 1 temos

(k + 1)! > k2 + 2k + 1 ou (k + 1)! > (k + 1)

2 Logo P(k + 1) verdadeira.

3) 2n > n

2 n 5.

Soluo: P(5) verdadeira, pois 25 > 5

2. Suponhamos que para P(k) verdadeira:

2k > k

2 Multiplicando por 2 ambos os membros

2.2k > 2.k

2 ou 2

k+1 > k

2 + k

2 > k

2 + 2k + 1 (pois k

2 > 2k + 1) ou 2

k+1 > (k + 1)

2.

Logo P(k + 1) verdadeira.

4) 24 | (52n

1) n N.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 24 | (52.1

1) Suponhamos que para P(k) verdadeira,

24 | (52k

1). Logo 52k 1 = 24t ou 52k = 24t + 1

Multiplicando ambos os membros por 52.5

2.5

2k = 5

2 (24t + 1) = 5

2.24t + 25 = 5

2.24t + 24 + 1

52k+2

= 24(25t + 1) + 1 ou 52(k+1)

1 = 24q

onde q = 24t + 1 ou 24 | (52(k+1)1).

5) 5 | (8n 3n) n N.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 5 | (81 31) Suponhamos que para P(k) verdadeira

5 | (8k 3k) Logo 8k 3k = 5t, onde t um nmero inteiro. Vamos mostrar que P(k + 1)

verdadeira: 8k+1

3k+1 = 8.8k 3.3k = 8.8k (8.3k 5.3k)

= 8.8k 8.3k + 5.3k

= 8(8k 3k) + 5.3k

= 8.5t + 5.3

k

= 5(8t + 3k) fazendo 8t + 3

k = q

= 5q Logo 5 | (8k+1

3k+1).

6) 4n > n

4 n 5.

Soluo: P(5) verdadeira, pois 45 > 5

4 Suponhamos que para P(k) verdadeira, k > 5

4k > k

4 Multiplicando por 4 ambos os membros

4.4k > 4k

4 ou 4

k+1 > k

4 + 3k

4 Vamos usar a desigualdade n

4 > 4n

3 + 6n

2 + 4n + 1

4k+1

> k4 + 3k

4 > k

4 + 4k

3 + 6k

2 + 4k + 1 ou 4

k+1 > (k + 1)

4 Logo P(k + 1) verdadeira

7) Demonstrar que 10n + 1

9n 10 um mltiplo de 81 para todo inteiro positivo n.

Soluo: P(1) verdadeira, pois 81 | (101+1

9 1 10) ou 81 | 81.

Suponhamos que para P(k) verdadeira: 81 | (10k+1

9k 10) Logo 10k+1 9k 10 = 81t

Multiplicando ambos os membros por 10.

10.10k+1

10.9k 10.10 = 10.81t

10k+2

9k 81k = 10.81t + 102

10k+2

9k 9 = 10.81t + 102 + 81k 9

10k+2

9(k + 1) 10 = 10.81t + 102 + 81k 9 10

10k+2

9(k + 1) 10 = 10.81t + 81k + 81

10k+2

9(k + 1) 10 = 81(10t + k + 1)

10k+2

9(k + 1) 10 = 81q fazendo 10t + k + 1 = q Logo 81 | [10k+2 9(k + 1) 10 }].

8) Demonstrar que 15

n7

5

n

3

n 53 um inteiro positivo para todo n N.

Soluo: 15

n7

5

n

3

n 53 =

15

n7n3n5 53 , isto : 15 | (5n

3 + 3n

5 + 7n) n N.

P(1) verdadeira, pois 15 | (5 13 + 3 1

5 + 7 1) ou 15 | 15.

Suponhamos que para P(k) verdadeira: 15 | (5k3 + 3k

5 + 7k) ou 5k

3 + 3k

5 + 7k = 15t. Vamos

mostrar que.

P(k + 1) verdadeira. Somando a expresso 15k4 + 30k

3 + 45k

2 + 30k + 15 a ambos os membros da

igualdade acima, temos:

5k3 + 3k

5 + 7k + 15k

4 + 30k

3 + 45k

2 + 30k + 15 = 15t + 15k

4 + 30k

3 + 45k

2 + 30k + 15.

Arranjando os termos convenientemente, temos:

5k3 + 15k

2 + 15k + 5 + 3k

5 + 15k

4 + 30k

3 + 30k

2 + 15k + 3 + 7k + 7 = 15(t + k

4 + 2k

3 + 3k

2 + 2k +

1).

5(k3 + 3k

2 + 3k + 1) + 3(k

5 + 5k

4 + 10k

3 + 10k

2 + 5k + 1) + 7(k + 1) = 15(t + k

4 + 2k

3 +3k

2 + 2k +

1).

5(k + 1)3 + 3(k + 1)

5 + 7(k + 1) = 15q fazendo t + k

4 + 2k

3 +3k

2 + 2k + 1 = q Assim.

15 | [5(k + 1)3 + 3(k + 1)

5 + 7(k + 1)] o que queramos provar.

Questes Propostas

01) Demonstrar por induo matemtica, as questes abaixo:

1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n2 n . 10) 2n

1...

9

1

4

11 2

n

1, n .

2) 1 2 n n

1 1 1 11 n

2 2 2 2 . 11)

1 2 n n

2 2 2 11 , n

3 3 3 3 .

3) n + 1

2 n 1 r1 r r r , n1 r

. 12) n(n 1)

1 2 3 n , n2

.

4) (n 1)(4 + 3n)

2 5 8 (2 3n) , n2

. 13) 0 1 2 n 1 n2 2 2 2 2 1, n .

5) 2 2 2 2n(n 1)(2n + 1)

1 2 3 n , n6

. 14) 2

3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 n n2

.

6) 6 | n(n +1)(n + 2) n . 15) 4

3 3 3 3 n1 2 3 n , n4

.

7) 2 | (n2 + n) n . 16) n(1 a) 1 na, n , a , a 1.

8) 1 1 1 1 n

, n1 2 2 3 3 4 n (n+1) n 1

17) 3 | (22n 1) n .

9) 1 1 1

(1 1) 1 1 1 n 1, n2 3 n

.18) 3 | (n3 + 2n) n .

02) Usando o principio da "induo matemtica", demonstrar:

1) O nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados : n

n(n 3)d

2.

2) A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados : 0

nS (n 2) 180 .

3) Se A um conjunto finito com n elementos, ento (A) , conjunto das partes de A, tem 2n

elementos.

4) Prove que a soma de uma PG ou razo q de n termos e primeiro termo a1 dado por n

1n

a (q 1)S

q 1.

5) Prove que uma P.G. de primeiro termo a1 e razo q o produto (Pn) dos n primeiros termos dado

por n(n - 1)

n 2n 1P a q , n 1.

6) Prove que numa PA. de primeiro termo a1 e razo r a soma (Sn) dos n primeiros termos dado

por n 1n(n 1)

S na r2

.

7) Para n+ nr , e n 0, mostre que r (cos + isen ) r (cosn + isen n) , onde i2 = -1.

8) Sendo z um nmero complexo no-nulo e n 0 , mostre que n n( ) ( )z z .

9) Prove que numa o termo geral da P. A. dado pela formula n 1a a (n 1)r .

10) Prove que 0 1 nn n n-1 n n

n n n(a + b) a a b b , para n .C C C

11) Seja cos sen

Asen cos

. Determine An, para n 1.

12) Para x e n 1, mostre que sen nx n sen x .

13) Demonstrar a lei de De Morgan (A B) ' A' B' , sobre n conjuntos.

UNIDADE III DIVISIBILIDADE

3.1 - Introduo:

Sabemos, desde a escola bsica, que quando um nmero inteiro e dividido por um segundo

nmero inteiro no nulo, o quociente pode ou no ser um numero inteiro. Esta observao nos leva

a seguinte definio.

3.2 - Divisibilidade:

Definio 3.2 - Sejam a e b dois inteiros, com a 0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe

um inteiro q tal que b = aq.

Se a divide b tambm se diz que a divisor de b, que b mltiplo de a, que a um fator de b ou que

b divisvel por a.

Notao: a | b (a 0 divide b e portanto, a notao a | b significa que a 0 no divide b).

A relao a divide b (a | b) denomina-se relao de divisibilidade em .

Observao: Se a | b, ento a | b.

Teorema 3.1: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c tem-se:

(1) a | 0, a 0, 1 | a e a | a, a 0.

(2) Se a | 1, ento a = 1.

(3) Se a | b e se c | d, ento ac | bd.

(4) Se a | b e se b | c, ento a | c.

(5) Se a | b e se b | a, ento a = b.

(6) Se a | b com b 0, ento | a | | b |.

(7) Se a | b e se a | c, ento a |(bx + cy) para todos x e y em .

3.3 - Conjunto de divisores de um inteiro:

D(a) = {x *| x | a}.

3.4 - Divisores comuns de dois inteiros:

Definio 3.3: Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro d 0 tal que d | a e d | b.

Notao: D(a, b) = {x * | x | a e x | b}

Propriedade; D(a, b) = D(a) D(b).

Obs.: D(a, b) ; D(0, 0) = *.

3.5 - Algoritmo da Diviso:

Teorema 3.2: Se a e b so dois inteiros, com b > 0, ento existem e so nicos os inteiros q e r que

satisfazem s condies: a = bq + r e 0 r < b.

Corolrio 3.2: Se a e b so dois inteiros com b 0, existem e so nicos os inteiros q e r que

satisfazem s condies: a = bq + r, 0 r < | b |.

3.6 - Paridade de um Inteiro:

Na diviso de um inteiro qualquer a por b = 2 os possveis restos so r = 1 e r = 0. Se r = 0 ento, o

inteiro a = 2q denominado par; e se r = 1, ento o inteiro a = 2q + 1 denominado mpar.

Questes Resolvidas

01) Mostrar que, se a um inteiro qualquer, ento um dos inteiros a, a + 2, a + 4 divisvel por 3.

Soluo: Quando dividimos um inteiro a qualquer por 3 , os restos so 0, 1 ou 2.

Assim a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2.

Se a = 3q, ento 3 | a

Se a = 3q + 1, a + 2 = 3q + 1 + 2 ou a + 2 = 3(q + 1) ento 3 | (a + 2).

Se a = 3q + 2, a + 4 = 3q + 2 + 4 ou a + 4 = 3(q + 2) ento 3 | (a + 4).

02) Sendo a um inteiro qualquer, mostrar:

a) 2 | a(a + 1).

Soluo: Como a e a + 1 so inteiros consecutivos, ento um dos dois par, sendo o outro mpar;

ento a(a + 1) = 2k1(2k2 + 1) onde 2k1 representa o nmero par e 2k2 + 1 representa o nmero mpar.

Assim 2 | a(a + 1).

03) 3 | a(a + 1)(a + 2).

Soluo: Dividindo a por 3, temos trs hipteses. a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2

Se a = 3q ento 3 | a e por conseguinte 3 | a(a + 1)(a + 2)

Se a = 3q + 1 ento a + 2 = 3q + 1 + 2 ou a + 2 = 3(q + 1); logo 3 | (a + 2) e por conseguinte 3 | a(a

+1)(a + 2)

Se a = 3q + 2 ento a + 1 = 3q + 2 + 1 ou a + 1 = 3(q + 1); logo 3 | (a + 1) e por conseguinte 3 | a(a

+ 1)(a + 2)

04) Mostrar que todo inteiro mpar da forma 4k + 1 ou 4k + 3.

Soluo: Quando dividimos um inteiro por 4 os restos possveis so: 0, 1, 2 ou 3. Se o nmero for

mpar, os restos s podero ser 1 ou 3 e, assim, n = 4k + 1 ou n = 4k + 3 onde n o nmero mpar.

05) Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer da forma 3k ou 3k + 1.

Soluo: Dividindo um inteiro por trs, obtemos os restos 0, 1 ou 2. Sendo assim podemos

escrever: a = 3k1, a = 3k1 + 1 ou a = 3k1 + 2, onde a um inteiro qualquer

Se a = 3k1, a2 = 9 k1

2 ou a

2 = 3(3k1

2). Fazendo 3k1

2 = k, temos a = 3k

Se a= 3k1 + 1, a2 = 9k1

2 + 6k1 + 1 ou a

2 = 3(3k1

2 +2k1) + 1. Fazendo 3k1

2 +2k1 = k temos a

2 = 3k + 1

Se a = 3k1 + 2, a2 = 9k1

2 + 12k1 + 4 ou a

2 = 9k1

2 + 12k1 + 3 + 1; assim

a2 = 3(3k1

2 +4k1 + 1) + 1. Fazendo 3k1

2 +4k1 + 1 = k temos a

2 = 3k + 1.

06) Mostrar que n n n( )( )1 2 1

6 um inteiro qualquer que seja o inteiro positivo n.

Soluo: Devemos provar que n(n + 1)(2n + 1) mltiplo de 6.

Como n e n + 1 so inteiros consecutivos, ento um dos dois par, logo mltiplo de 2.

Vamos mostrar que um dos nmeros n, n + 1, 2n + 1 mltiplo de 3.

Se n no for mltiplo de 3, ento n = 3q + 1 ou n = 3q + 2.

Se n = 3q + 1, 2n + 1 = 6q + 2 + 1 ou 2n + 1 = 3(2q + 1). Logo 2n + 1 mltiplo de 3.

Se n = 3q + 2, n + 1 = 3q + 2 + 1 ou n + 1 = 3(q + 1). Logo n + 1 mltiplo de 3.

Ento podemos concluir que um dos trs nmeros n, n + 1, 2n + 1 mltiplo de 3.

Podemos, ento, escrever: n(n + 1)(2n + 1) = 2t13t2t3, substituindo o fator mltiplo de 2 por 2t1 e o

fator mltiplo de 3 por 3t2, sendo t3 outro inteiro qualquer. Conclumos que n(n + 1)(2n + 1) = 6t1t2t3

mltiplo de 6, como queramos demonstrar.

Demonstrar:

07) Se a um inteiro mpar, ento 24 | a(a2 1).

Soluo: a(a2 1) = a(a 1)(a + 1). Como a mpar, a = 2t + 1, a 1 = 2t e a + 1 = 2t + 2.

Ento a(a2 1) = (2t + 1)2t(2t + 2) ou a(a2 1) = (2t + 1) 2t2(t + 1) ou a(a2 1) = 4t(t + 1)(2t + 1).t(t

+ 1)(2t + 1) mltiplo de 6.

Portanto a(a2 1) = 4.6 k ou a(a2 1) = 24 k; conclumos que 24 | a(a2 1).

08) Se a e b so inteiros mpares, ento 8 | (a2 b2).

Soluo: a2 b2 = (a - b)(a + b). Como a e b so mpares a = 2q + 1 e b = 2k + 1. Onde q e k so

inteiros quaisquer. Ento: a2 b2 = 2q + 1 (2k + 1) (2q + 1 + 2k + 1)

a2 b2 = (2q 2k)(2q + 2k + 2) ou a2 b2 = 2(q k)2(q + k + 1) ou

a2 b2 = 4(q k)(q + k + 1). Quaisquer que sejam as paridades de q e k, q k e q + k tem a mesma

paridade: deste modo q - k e q + k + 1 tm paridades diferentes, isto , um par e o outro mpar.

Assim (q k)(q + k + 1) = 2t(2t + 1). Substituindo na expresso acima, obtemos: a2 b2 = 4.2t(2t +

1) ou a2 b2 = 8t(2t + 1) e logo 8 | (a2 b2 ).

09) Mostrar que a diferena entre os cubos de dois inteiros consecutivos nunca divisvel por 2.

Soluo: Sejam os inteiros consecutivos n e n + 1. Achemos a diferena entre os cubos destes

nmeros:

(n + 1)3 n3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 n3

= 3n2 + 3n + 1

= 3n(n + 1) + 1. Como n e n + 1 so consecutivos, um dos dois par e, portanto, o

produto 3n(n + 1) tambm par e 3n(n + 1) + 1 mpar. Logo no divisvel por 2.

10) Na diviso do inteiro a = 427 por um inteiro positivo b o quociente 12 e o resto r. Achar o

divisor b e o resto r.

Soluo:: De acordo com o algoritmo da diviso 427 = 12b + r, 0 r b ; onde 427 o dividendo,

b o divisor , 12 o quociente e r o resto. Desta igualdade tiramos:

427 12b = r e da 0 427 12b < b. Somando 12b aos trs membros da desigualdade, obtemos:

12b 427 < 13b. Da desigualdade 12b 427, tiramos b 35, 5 ou b 35.

Da desigualdade 427 < 13b tiramos b > 32,8 ou b 33. Assim os valores para b so os inteiros no

intervalo 33,35 ou 33, 34 e 35.

Para b = 33, r = 427 12 x 33 = 31. Para b = 34, r = 427 12 x 34 = 19. Para b = 35, r = 427 12

x 35 = 7.

11) Achar um inteiro de quatro algarismos, quadrado perfeito, divisvel por 27 e terminado em 6.

Soluo: Se a, b, c ... so fatores primos, os expoentes desses fatores devem ser par.

Como 27 = 33, deve-se ter pelo menos mais um 3 como fator. Portanto, o nmero deve ser mltiplo

de 27 x 3 ou de 81. Para que o nmero termine em 6, devemos multiplicar 81 por um quadrado

(pois 81 j quadrado), terminado em 6, pois 81 termina em 1. Assim, temos as possibilidades 81 x

16 = 1296 e 81 x 36 = 2916.

Se o nmero tivesse 6 fatores iguais a 3, ele deveria ser mltiplo de 729. Para que terminasse

em 6, deveriamos ter 729 x a, com a terminado em 4. Como os menores quadrados terminados em

quatro so 4 e 64, teramo: 729 x 4 = 2916 e 729 x 64 = 46656 que tem 5 algarismos. Para 8 fatores

iguais a 3, o nmero deveria ser mltiplo de 6561 = 38. Para que o nmero terminasse em 6,

deveriamos ter 6561 x a, com a terminado em 4. Como os menores quadrados terminados em quatro

so 4 e 64, teramos 6561 x 4 = 26244 que contm cinco algarismos. Para 10 fatores iguais a 3,

teramos 310 > 10000, que ter mais de 4 algarismos.

Portanto, os nicos nmeros so 1296 e 2916.

12) Demonstrar que se m e n so inteiros mpares, ento 8 | (m4 + n

4 2).

Soluo: se m e n so mpares, podemos escrever: m = 2k + 1 e n = 2k + 1.

Temos ento: m4 + n

4 - 2 = (2k + 1)

4 + (2k + 1)4 2 = [(2k)4 + 4(2k)3 + 6(2k)2 + 4(2k) + 1] +

[(2k)4 + 4(2k')3 + 6(2k)2 + 4(2k)+1] 2 = 16(k4 + k4) + 32(k3 k3) + 24(k2 + k2) + 8(k + k) +

2 2 = 8[2(k4 + k4) + 4(k3 k3) + 3(k2 + k2) + (k + k)]. Como 2(k4 + k4) + 4(k3 k3) + 3(k2 +

k2) + (k + k)]. um inteiro (multiplicao e adio de inteiros), podemos escrever: m4 + n4 - 2 =

8q, q inteiro 8 | (m4 + n4 2).

Questes Propostas

01) Mostrar que, se a | b, ento (-a) | b e a | (-b) e (-a) | (-b).

02) Sejam a, b e c inteiros. Mostrar:

a) se a | b, ento a | bc.

b) Se a | b e se a | c, ento a2 | bc.

c) a | b se, e somente se, ac | bc, (c 0).

03) Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 5 tambm da forma 3k + 2.

04) Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer de uma das formas: 9k, 9k + 1 e 9k + 8.

05) Mostrar que, se a | (2x 3y) e se a | (4x 5y), ento a | y.

06) Determinar os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do

quociente. R: 18, 38, 60 e 84.

07) Na diviso do inteiro 525 por um inteiro positivo o resto 27. Achar os inteiros que podem ser

o divisor e o quociente. R: b = 498 e q = 1; b = 249 e q = 2; b = 166 e q = 3 e b = 83 e q = 6.

08) Na diviso de dois inteiros positivos o quociente 16 e o resto o maior possvel. Achar os dois

inteiros, sabendo que a sua soma 341. R: a = 322, b = 19.

09) Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam um resto igual ao

quociente. R: q = 1, 2, 3 e a = 40, 80, 120.

10) Seja d um divisor de n (d | n). Mostrar que cd | n se, e somente se, c | n

d.

11) Mostrar que para todo inteiro n, existem inteiros k e r tais que n = 3k + r e r = 1, 0, 1.

12) Mostrar que todo inteiro mpar, quadrado perfeito, da forma 4n + 1.

13) Na diviso de 392 por 45, determinar:

a) o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente. R: 12.

b) o maior inteiro que se pode subtrair do dividendo sem alterar o quociente. R: 32.

14) Numa diviso de dois inteiros, o quociente 16 e o resto 167. Determinar o maior inteiro que se

pode somar ao dividendo e ao divisor sem alterar o quociente. R: 11.

15) Achar o maior inteiro de quatro algarismos divisvel por 13 e o menor inteiro de cinco

algarismos divisvel por 15.

R: maior 9997 e o menor 10.005.

UNIDADE IV MXIMO DIVISOR COMUM - M. D. C

4.1 - Introduo:

Fazem parte do ensino fundamental, entre outras, as noes de Mximo Divisor Comum

(MDC), Mnimo Mltiplo Comum (MMC), Nmeros primos e Fatorao, que compem uma

parcela significativa da Teoria Elementar dos Nmeros. No caso especfico M.D.C, pretendemos

mostrar a relevncia destes atravs da abordagem de exerccios para o aprofundamento terico e

aps o estudo do M.M.C veremos aplicaes de forma contextualizada.

4.2 - Mximo Divisor Comum:

Definio 4.1 - Dados dois ou mais nmeros inteiros no nulos denominamos mximo divisor

comum destes nmeros ao maior nmero inteiro que divisor simultaneamente de todos os

nmeros dados. O mdc o maior elemento da interseco dos conjuntos dos divisores positivos dos

nmeros dados.

Definio 4.2 - Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Chama-se

mximo divisor comum de a e b o inteiro positivo d (d > 0) que satisfaz s condies:

1) d | a e d | b.

2) Se c | a e c | b, ento c d.

Notao: d = mdc(a, b).

4.3 - Existncia e Unicidade do MDC:

Teorema 4.1 - Se a e b so inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), ento existe e nico

o mdc(a,b); alm disso, existem inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by, isto , o mdc(a, b) uma

combinao linear de a e b.

Teorema 4.2 - Se a e b so dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), ento o conjunto

de todos os mltiplos do mdc(a, b) = d T = {ax + by | x,y Z}.

4.4 - Inteiros Primos entre si:

Definio 4.3 - Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Diz-se que a e b

so primos entre si se, e somente se, o mdc(a, b) = 1.

Teorema 4.3 - Dois inteiros a e b, no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), so primos entre si se,

e somente se, existe inteiros x e y tais que ax + by = 1.

Corolrio 4.1 - Se o mdc(a, b) = d, ento mdc a b

,d d

= 1.

Corolrio 4.2 - Se a | b e se mdc(b, c) = 1, ento o mdc(a, c) = 1.

Corolrio 4.3 - Se a | c, se b | c e se mdc(a, b) = 1, ento ab | c.

Corolrio 4.4 - Se mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c), ento o mdc(a, bc) = 1.

Corolrio 4.5 - Se mdc(a, bc) = 1, ento mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c).

Teorema 4.4 - (de Euclides) Se a | bc e se o mdc(a, b) = 1 ento a | c.

4.5 - Caracterizao do MDC de dois Inteiros:

Teorema 4.5 - Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0). Um inteiro

positivo d (d > 0) o mdc(a, b) se, e somente se, satisfaz s condies:

1) d | a e d | b.

2) Se c | a e c | b, ento c | d.

4.6 - Caracterizao do MDC de dois Inteiros:

O conceito de mximo divisor comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de maneira

natural a mais de dois inteiros. No caso de trs inteiros a, b e c, no todos nulos, o mdc (a, b, c) o

inteiro positivo d (d > 0) que, satisfaz s condies:

1) d | a, d | b e d | c.

2) Se e | a, se e | b e se e | b, ento e d.

4.7 - MDC de Vrios Inteiros:

Teorema 4.6 - O mdc(a,b,c) = mdc(mdc(a,b), c).

Questes Resolvidas

01) Determinar:

(a) mdc(11, 99).

Soluo: 99: 11 = 9, resto zero mdc(11,99) = 11

R: 11.

(b) mdc(-21, 14).

Soluo: mdc(-21, 14) = mdc(21, 14)

21: 14 = 1 resto 7.

14:7 = 2, resto zero mdc(-21, 14) = 7

R: 7.

(c) mdc(17, 18).

Soluo: 18: 17 = 1, resto 1

17: 1 = 17 resto 0 mdc(17, 18) = 1.

R: 1.

02) Achar o menor inteiro positivo c da forma c = 22x + 55y onde x e y so dois inteiros.

Soluo: Como o menor inteiro da forma 22x + 55y o mdc(22, 55) ento c = 11.

03) Calcular mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro par.

Soluo: Seja d = mdc(n, n+2). Ento d | n e d | (n+2). Como d | n e d | (n+2), ento, d | 2 e portanto,

d = 1 ou d = 2 e como n par a resposta ser d = 2 (o maior dos divisores).

04) Calcular mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro mpar.

Soluo: Seja d = mdc(n, n+2). Ento, usando o mesmo raciocnio anterior, d = 1 ou d = 2. Mas

como n mpar, conclumos que d = 1.

05) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, n + 1)

Soluo: Seja d = mdc(n, n+1). Ento d | n e d | (n+1). Como d | n e d | (n+1), ento d | 1. Logo d =

1.

Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar:

06) Existem inteiros x e y tais que c = ax + by se, e somente se, mdc(a, b) | c.

Soluo: Demonstraremos primeiramente, a ida:

Seja d = mdc(a, b). Ento d | a e d | b e logo d | (ax + by) quaisquer que sejam os inteiros x e y.

Portanto d | c, desde que c = ax + by por hiptese.

Soluo: Demonstraremos agora a volta:

Seja d = mdc(a, b). Como d | c, temos c = dq. Sendo d o mdc(a, b) existem inteiros x e y

tais que d

= ax + by

. Substituindo este valor na igualdade c = dq obtemos: c = (ax

+ by

)q. Da tiramos valor

c = a(xq) + b(y

q). Fazendo x

q = x e y

q = y temos c = ax + by.

07) Se existem inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b), ento o mdc(x, y) = 1

Soluo: Seja d = mdc(a, b). Ento existem inteiros x e y tais que d = ax + by, onde d | a e d |b.

Dividindo ambos os membros por d ( d > 0), obtemos: a b

x yd d

= 1 Como d | a e d | b as

expresses entre parntesis so inteiras, que representaremos por k1 e k2 obtendo assim: xk1 + yk2 =

1, donde conclumos que mdc(x, y) = 1.

Determinar inteiros positivos a e b sabendo:

08) a + b = 63 e o mdc(a, b) = 9.

Soluo: Se 9 = mdc(a, b), temos que 9 | a e 9 | b ou a = 9q1 e b = 9q2. Substituindo estes valores na

igualdade a + b = 63 temos: 9q1 + 9q2 = 63; da, dividindo por 9 obtemos:

q1 + q2 = 7. Como q1 e q2 so primos entre si, devemos procurar inteiros positivos primos entre si

que somem 7. Temos os seguintes valores:

q1 = 1 e q2 = 6; q1 = 2 e q2 = 5 e q1 = 3 e q2 = 4. Assim obtemos para a e b os seguintes valores:

a = 9 e b = 54; a = 18 e b = 45 e a = 27 e b = 36.

09) ab = 756 e o mdc(a, b) = 6.

Soluo: Se 6 = mdc(a, b) temos que 6 | a e 6 | b ou a = 6q1 e b = 6q2. Substituindo na igualdade a b

= 756, temos 6q16q2 = 756. Da obtemos que q1q2 = 21. Do mesmo modo, como q1 e q2 so primos

entre si, devemos encontrar inteiros positivos cujo produto d 21. Os valores so: q1 = 1 e q2 = 21 e

q1 = 3 e q2 = 7. Destes valores tiramos os valores de a e b: a = 6 e b = 126 e a = 18 e b = 42.

10) Demonstrar que, se n = abc + 1, ento o mdc (n, a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) = 1.

Soluo: Provemos que mdc(n, a) = 1. O mesmo pode ser feito para b e c.

Seja d = mdc(n, a). Ento d | n e d | a. Podemos dizer, portanto, que d | abc, mltiplo de a. Como d |

n e d | abc, ento d | 1, pois n abc = 1. Logo d = 1.

11) O mdc(a, 4) = 2 = mdc(b, 4). Demonstrar que o mdc(a + b, 4) = 4.

Soluo: Temos mdc(a, 4) = 2 e mdc(b, 4) = 2. Conclumos que a e b so nmeros pares e no so

mltiplos de 4 , pois se o fossem, 2 no seria o mdc entre eles. Logo o resto da diviso de a e b por 4

2. Assim a = 4q1 + 2 e b = 4q2 + 2. Somando membro a membro estas desigualdades, temos a + b

= 4q1 + 2 + 4q2 + 2 ou a + b = 4 (q1 + q2 + 1). Logo, 4 | (a + b) e por conseguinte mdc(a + b, 4) = 4.

12) Sendo a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0), mostrar:

mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b).

Soluo: Se c | a ento a = qc. Temos que - a = (-q)c c | (-a) todo divisor de a divisor de (-a)

maior divisor de a tambm o maior divisor de a. O mesmo ocorre com b e b. Portanto,

podemos concluir que o maior divisor comum de (a e b), tambm de (a e b), de (a e b) e o de (-

a, -b). Assim, mdc(a, b) = mdc(-a, b) = mdc(a, -b) = mdc(-a, -b).

13) Demonstrar que mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b).

Soluo: A definio do mdc de trs nmeros mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c), quaisquer que

sejam a, b e c. Fazendo c = b, temos mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b, b) = mdc(a, mdc(b, b)) = mdc(a,

b) pois mdc(b, b) = b.

14) Demonstrar que o mdc(n + k, k) = 1 se e somente se o mdc(n, k) = 1.

Soluo: Se mdc(n + k, k) = 1, ento existem os inteiros x e y, tais que (n + k)x+ ky = 1 nx +

k(a + b) = 1 (n, k) = 1.

Por outro lado, se mdc(n, k) = 1, ento existem a e b tais que na + kb = 1. Fazendo a = x e b = x + y,

teremos nx + k(x + y) = 1 (n + k)x + ky = 1 mdc(n + k), k) = 1.

15) Calcular o mdc(a + b, a b) sabendo que a e b so inteiros primos entre si.

Soluo:

Se a e b so primos entre si, no podem ser ambos pares, pois o mdc seria 2 ou mltiplo de 2.

Portanto, a e b so ambos mpares ou so de paridades diferentes.

(1 caso) a e b com paridades diferentes (a = 2k + 1 b = 2k)

Temos ento:

a + b = 2k + 1 + 2k = 2(k + k) + 1 = 2n + 1 a + b mpar.

a b = 2k + 1 2k = 2(k k) + 1 = 2m + 1 a b mpar.

Portanto, o mdc(a + b, a b) um nmero mpar.

Seja ento mdc(a + b, a b) = 2k + 1 existem x e y tais que (a + b)x + (a b)y = 2k + 1

[(a + b)/(2k+1)]x + [(a b)/(2k + 1)]y = 1 (a + b)/(2k + 1) e (a b)/(k + 1) so primos entre si.

Fazendo r = (a + b)/(2k + 1) e s = (a b)/(2k + 1), resulta: a + b = r(2k + 1) (i) e a b = s(2k + 1)

(ii).Como (a + b), (a b) e (2k + 1) so mpares, r e s tambm so mpares.

Alm disso r e s mpares, r + s e r s so pares.

Somando membro a membro as igualdades (i) e (ii), resulta:

(1) 2a = (2k + 1)(r + s) a = (2k + 1)[(r + s)/2] pois s + r par (inteiro), portanto 2 | (r + s).

Assim, existe o inteiro (r + s)/2, tal que a = (2k + 1)[(r + s)/2) 2k + 1 | a.

Subtraindo membro a membro as igualdades (i) e (ii),

(2) 2b = (2k + 1)(r s) b = (2k + 1)[(r s)/2]. (r s) par. Portanto, (r s)/2 inteiro.

Assim, existe o inteiro (r s)/2, tal que b = (2k + 1)[(r s)/2] 2k + 1 | b.

Ora, a e b so primos entre si. Portanto, o nico divisor comum 2k + 1. Disto permite-se escrever

2k + 1 = 1 1 = mdc(a + b, a b).

(2 caso) a e b so mpares a = 2k + 1 e b = 2k + 1.

Temos, ento:

(a + b) = 2k + 1 + 2k + 1 (a + b) = 2(k + k + 1)

(a b) = 2k + 1 2k 1 = 2(k k)

Das igualdades acima, conclumos que (a + b) e (a b) so pares. Portanto, o mdc da forma 2k.

Assim, existem x e y, tais que: (a + b)x + (a b)y = 2k r = (a + b)/2k e s = (a b)/2k so primos

entre si. (a + b) = 2kr (i) e (a b) = 2ks (ii).

Somando membro a membro, 2a = 2k(r + s) a = k(r + s) k | a.

Subtraindo membro a membro, 2b = 2k(r s) b = k(r s) k | b.

Como a e b so primos entre si, o nico divisor comum de a e b 1. Portanto, k = 1 e Mdc(a + b, a

b) = 2k mdc(a + b, a b) =2.1 = 2.

Portanto, se a e b so primos ento mdc(a + b, a b) 1 ou 2.

16) O mdc de dois inteiros positivos 10 e o maior deles 120. Determinar o outro inteiro.

Soluo: Seja a o outro nmero. a deve ser um mltiplo de 10 que no divide 120. Como o maior

dos nmeros e 120, a deve ser menor que 120. Os mltiplos de 10 que no dividem 120 so: 50, 70,

90 e 110.

17) O mdc(a, b) = p, sendo p um primo. Achar os possveis valores do:

( a ) mdc(a2, b).

Soluo: Sejam a = p.a1.a2.a3 ...an, onde p, a1, a2, a3, ... an so os fatores primos de a e b =

p.b1.b2.b3...bn, onde p, b1, b2, b3, ...bn so os fatores primos de b. Assim, a2 = p.p.a1.a2.a2.a3a3...an.an

que a2 e b so divisveis ao mesmo tempo apenas por p. mdc(a2, b) = p.

( b ) mdc(a3, b) = p, mesma concluso acima.

( c ) mdc(a2, b

3) = p

2. Pois aparecem 2 fatores iguais a p em a

2 e 3 fatores iguais a p em b

3.

18) Sejam a e k inteiros no conjuntamente nulos. Demonstrar que mdc(a, a + k) | k.

Soluo: Seja m o mdc(a, a + k). Assim, existem os inteiros x e y tais que: a = mx e a + k = my.

Subtraindo primeira igualdade da segunda resulta: (a + k) a = my mx k = m(y x). Como x e

y so inteiros, y - x inteiro. Portanto, existe o inteiro (y x) tal que k = m(y x) m | k ou

mdc(a, a + k) | k.

19) Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3 cm. Quantos quadradinhos de 1cm cabem no

quadrado?

R: 9 quadradinhos.

Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3. R: 3 = 9.

20) De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto , um centmetro cbico, precisaremos para construir

um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

R: 27 cubinhos.

Questes Propostas

01)Achar os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} que so primos com 8. R: 1, 3 e 5.

02) Sabendo que o mdc(a, 0) = 13, achar todos os valores do inteiro a. R: 13

03) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n, n + 1). R: 1.

04) Sendo n um inteiro qualquer, achar os possveis valores do mximo divisor comum dos inteiros

n e n + 10. R: 1, 2, 5, 10.

05) Sendo n um inteiro qualquer, calcular o mdc(n 1, n2 + n + 1). R: 1 ou 3.

06) Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar:

( a ) se o mdc(a, b) = 1 ento o mdc(ac, b) = mdc(b, c) Portanto, todo divisor de d divisor de ac.

( b ) Se o mdc(a, b) = 1 e se c | (a + b), ento o mdc(a, c) = 1 e o mdc(b, c) = 1.

( c ) se b | c, ento o mdc(a, b) = mdc(a + c, b).

( d ) Se mdc(a, b) = 1, ento mdc(am

, bn) = 1, onde m e n so inteiros positivos.

07) Achar o maior inteiro positivo pelo qual se devem dividir os inteiros 160, 198 e 370 para que os

restos sejam respectivamente 7, 11 e 13. R: 17.

08) Os restos das divises dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n so respectivamente

37 e 19. Achar o inteiro n. R: n = 96 ou n = 48.

09) Demonstrar que, se a | bc e se mdc(a, b) = d, ento a | cd.

10) Demonstrar que, se a | c, se b | c e se o mdc(a, b) = d ento ab | cd.

11) Demonstrar que se mdc(a, b) = 1 e se mdc(a,c) = d,ento mdc(a, bc) = d.

12) O inteiro mpar d um divisor de a + b e de a b. Demontrar que d tambm um divisor do

mdc(a, b).

13) Os inteiros positivos m e n so tais que o mdc(m, n) = d. Mostrar que o mdc(2m

1, 2n 1) = 2d

1.

14) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, a + b).

15) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, ax + by), quaisquer que seja os inteiros x e y.

16) Demonstrar que se o mdc(a, b) = d ento o mdc(a2, b

2) = d

2.

17) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica mdc(a2, b

2) = mdc(a

2, c

2).

18) Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, c) implica mdc(a, b) = mdc(a, b, c).

19) Demonstrar que mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), mdc(a, c).

20) Sejam a e b inteiros positivos tais que ab um quadrado perfeito e o mdc(a, b) = 1. Demonstrar

que a e b so quadrados perfeitos.

21) Demonstrar que mdc( a + b, a b) > mdc(a, b).

22) Sejam a, b, c, d (b d) inteiros tais que mdc(a, b) = mdc(c, d) = 1. Mostrar que a soma a/b + c/d

no um inteiro.

23) Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo que a2 b2 = 7344 e mdc(a, b) = 12.

R: a = 312 e b = 300, ou a = 120 e b = 84.

24) Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes 8. Determinar os

dois inteiros, sabendo-se que sua soma 384. R: 48 e 336 ou 144 e 240.

25) Trs rolos de arame farpado tm, respectivamente, 168 m, 264m e 312 m. Deseja-se cort-los

em partes de comprimentos iguais, de maneira que cada parte seja a maior possvel. Qual o

comprimento e o nmero de partes? R: 24 m e 31 partes.

26) Um terreno retangular de 221 m por 117 m ser cercado. Em toda a volta deste cercado sero

plantadas rvores igualmente espaadas. Qual o maior espao possvel entre as rvores? R: 13 m.

27) Em uma excurso ao parque do Caraa, em Minas Gerais, viajaram dois nibus um com 42

pessoas e outro com 30. Os guias queriam organizar grupos com o mesmo nmero de pessoas, mas

sem misturar as pessoas que vieram nos dias nibus. Eles queriam tambm que esse nmero de

pessoas por grupo fosse o maior possvel. Quantos grupos e de pessoas, foram formadas em cada

nibus?

R: Foram formados 12 grupos de 6 pessoas sendo 7 grupos no 1 nibus e 5 grupos no 2 nibus.

28) Uma tecelagem fabrica peas de tecidos em trs metragens diferentes: 45m, 60m e 105m.

Desejando cortar as peas em partes de mesmo comprimento e que esteja e que este seja o maior

possvel, qual dever ser o comprimento de cada parte? Em quantas partes cada pea ser cortada?

R: Cada parte dever ter 15m de comprimento. A pea 45m ser cortada em 3 partes, a pea de 60m

ser cortada em 4 partes e a pea de 105m em 7 partes.

29) De um aeroporto, partem todos os dias, 3 avies que fazem rotas internacionais. O primeiro

avio faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo

dia os trs avies partem simultaneamente, depois de quantos dias esses avies partiro novamente

no mesmo dia?

R: 20 dias.

UNIDADE V ALGORITMO DE EUCLIDES: MNIMO MLTIMPLO COMUM M.M.C

5.1 - Introduo:

Fazem parte do ensino fundamental, entre outras, as noes de Mximo Divisor Comum

(MDC), Mnimo Mltiplo Comum (MMC), Nmeros primos e Fatorao, que compem uma

parcela significativa da Teoria Elementar dos Nmeros. No caso especfico M.M.C, pretende-se

mostrar a relevncia destes atravs da abordagem de temas atuais onde aparecem e sua conexo com

outras reas do conhecimento. Com isso, visamos a contextualizao e a interdisciplinaridade,

ambas importantes para que o aluno veja a matemtica como uma aliada na vida prtica e sua

relao com outras disciplinas. Neste sentido, busca-se que o aluno perceba que os nmeros e a

lgebra formam um sistema de cdigos ligados especialmente a diversas aplicaes.

Definio 5.1 - Dados dois ou mais nmeros inteiros no nulos denominamos mnimo mltiplo

comum destes nmeros dados ao menor nmero inteiro positivo que mltiplo simultaneamente te

todos os nmeros dados. O mmc o menor elemento da interseco dos conjuntos dos mltiplos

positivos dos nmeros dados.

Lema: 5.2 - Se a = bq + r, ento mdc(a, b) = mdc(b, r):

5.3 - Algoritmo de Euclides: Sejam a e b dois inteiros no conjuntamente nulos (a 0 ou b 0)

cujo mximo divisor comum se deseja determinar.

1) Se a 0, ento mdc(a,0) = |a|.

2) Se a 0, ento mdc(a,a) = |a|.

3) Se b | a, ento o mdc(a,b) = |b|.

4) Se a no divide b e b no divide a, ento a = bq + r e mdc(a, b) = mdc(b, r).

Dispositivo prtico para o clculo do Mximo divisor comum de dois inteiros positivos a e b

denominado Algoritmo de Euclides.

q1 q2 q3 qn qn - 1 a b r1 r2 rn - 1 rn r1 r2 r2 r4 0

Teorema 5.1 - Se k > 0, ento o mdc(ka, kb) = k mdc(a, b).

Corolrio 5.1 - Para todo k 0, o mdc(ka, kb) = |k| mdc(a, b).

5.4 - Mltiplos Comuns de dois Inteiros:

M(a) = {x Z | a | x} = {aq | q Z}.

M(1) = M(1) = Z.

Definio 5.2 - Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0 e b 0). Chama-se mltiplo

comum de a e b todo inteiro x tal que a | x e b | x. M(a, b) = M(a) M(b).

5.5 - Mnimo Mltiplo Comum:

Definio 5.3 - Sejam a e b dois inteiros diferentes de zero (a 0 e b 0). Chama-se mnimo

mltiplo comum de a e b o inteiro positivo m (m > 0) que satisfaz s condies:

1. a | m e b | m.

2. se a | c e b | c, com c > 0, ento m c.

Notao: m = mmc(a, b).

Observao: a) mmc(a, b) ab. b) Se a | b, ento mmc(a, b) = |b|.

5.6 - MMC de Vrios inteiros:

O conceito de mnimo mltiplo comum, definido para dois inteiros a e b, estende-se de

maneira natural a mais de dois inteiros. No caso de trs inteiros a, b e c, diferentes de zero, o

m.m.c(a, b, c) o inteiro positivo m(m > 0) que satisfaz s condies:

1) a | m, b | m e c | m.

2) Se a | e, b | e, e se c | e, com e > 0, ento m e.

5.7 - Relao Entre o MDC e o MMC:

Teorema 5.2 - Para todo par de inteiros positivos a e b subsiste a relao mdc(a, b) mmc(a, b) = ab.

Corolrio 5.2 - Para todo par de inteiros positivos a e b, o mmc(a, b) = ab se, e somente se mdc(a,

b) = 1.

5.7 - Regra Prtica para obteno do MDC e MMC de Vrios inteiros:

Podemos determinar o mdc e o mmc de dois ou mais nmeros inteiros positivos procedendo

do seguinte modo:

1) Fatoramos os nmeros, decompondo-se em fatores primos positivos;

2) Calculamos o mdc multiplicando os fatores comuns aos nmeros, tomando cada fator uma s

vez e com o menor expoente que ele apresenta nas decomposies dos nmeros dados;

3) Calculamos o mmc multiplicando os fatores comuns e os no comuns aos nmeros, tomando

cada fator uma s vez e com o maior expoente que ele apresenta nas decomposies dos nmeros

dados;

Exemplo: Dados as seguintes decomposies de inteiros a = 32.19.71

2, b = 2.3

5.19.61 e c =

24.19

2.71, determine:

a) MDC(a, b) = 32.19

b) MMC(a, b) = 24. 3

5.19

2.61.71

2

c) MMC(a, c) = 24. 3

2.19

2.71

2

d) MDC(a, b, c) = 19

e) MDC(b, c) = 2.19

Questes Resolvidas

01) Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes

igualdades:

a) mdc(56, 72) = 56x + 72y

mdc(56, 72) = 8 8 = 56x + 72y

72 = 56.1 + 16

56 = 16.3 + 8

16 = 8.2 + 0

b) mdc(24, 138) = 24x + 138y

138 = 24.5 + 18

24 = 18.1 + 6

18 = 6.3 + 0 (mdc = 6)

02) Achar inteiros x, y e z que verifiquem as seguintes igualdades:

1) 11x + 19y + 3z = 1

2) 56x + 6y + 32z = 2

3) 6x + 3y + 15z = 9

4) 14x + 7y + 21z = 4

Soluo:

01) Achando o mdc(11, 19)

1 1 2 1 2

19 11 8 3 2 1

8 3 2 1 0

Usando o algoritmo da diviso, podemos escrever:

19 = 11 x 1 + 8

11 = 8 x 1 + 3

8 = 3 x 2 + 2

3 = 2 x 1 + 1

2 = 1 x 2

Desprezando a ltima igualdade, eliminemos os restos, a partir da penltima igualdade:

1 = 3 2

1 = 3 (8 3 x 2)

1 = 3 x 3 8

1 = (11 8) x 3 8

1 = 11 x 3 8 x 4

1 = 11 x 3 (19 11) x 4

1 = 11 x 7 19 x 4

Tomando a penltima igualdade;

8 = 56 16.3. Tirando o valor de 16 na primeira igualdade e

substituindo na penltima:

8 = 56 (72 56.1).3 8 = 56 + 56.3 72.3 8 = 56.4 + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3.

6 = 24 18.1

6 = 24 (138 24.5).1

6 = 24 + 24.5 138.1

6 = 24.6 + 138(-1) x = 6 e y = -1

Achemos agora o mdc(3, 1). Como mdc(3, 1) = 1, vamos escrever este mdc em funo de 3 e 1:

1 = 3 x 1 + 1 x (-2). Agora substituamos o valor de 1, dado na igualdade acima, nesta ltima

igualdade:

1 = 3 x 1 + (11 x 7 19 x 4) (2)

1 = 3 x 1 + 11 (14) + 19 x 8 ou 1 = 11 (14) + 19(8) + 3(1). Logo x = 14, y = 8 e z = 1.

02) 56x + 6y + 32z = 2. Achando o mdc(56, 32)


56 = 32.1 + 24

32 = 24.1 + 8

24 = 8.3 Desprezando a ltima igualdade e eliminando os restos a partir da penltima:

8 = 32 24

8 = 32 (56 32)

8 = 32.2 + 56(1)

(1) Achemos o mdc(8, 6)

1 3

8 6 2

2 0


8 = 6 + 2

2 = 8 + 6(1) Agora, substituamos o valor de 8 na expresso (1)

2 = 32(2) + 56(1) + 6(1)

2 = 56(1) + 6(1) + 32(2) .Logo, x = 1, y = 1 e z = 2.

03) 6x + 3y + 15z = 9

Achando o mdc(15, 6)


15 = 6.2 + 3

3 = 15(1) + 6(2)

(1) Achemos o mdc(3, 3).Como o mdc(3, 3) = 3,vamos escrever 3 como combinao de 3 e 3: 3 =

3(2) + 3(1) Substituamos o valor de 3 encontrado na igualdade (1) nesta ltima igualdade:

3 = 3(2) + [15(1) + 6(2)](1)

3 = 3(2) + 15(1) + 6(2). Como escrever 9 como combinao linear de x, y e z, devemos multiplicar

por 3 esta ltima igualdade, obtendo:

1 1 3

56 32 24 8

24 8 0

2 2

15 6 3

3 0

9 = 3(6) + 15(3) + 6(6)

9 = 6(6) + 3(6) + 15(3). Logo, x = 6, y = 6 e z = 3

04) 14x + 7y + 21z = 4

Como o mdc(14, 7, 21) = 7 e 7 no divide 4, ento a equao no tem soluo inteira.

Calcular:

5) mmc (45, 21).

6) mmc (83, 68).

7) mmc (120, 110).

Soluo:

5) Como o mdc(45, 21) = 3, ento, 3.mmc(45, 21) = 45.21. Logo, mmc(45, 21) = 315.

6) Como mdc(83, 68) = 1, ento, 1.MMC(83, 68) = 8.8. Logo, mmc(83, 68) = 5644.

7) Como mdc(120, 110) = 10 , ento, 10.mmc(210, 110) 210.110. Logo, mmc(210, 110) = 1320

08) O mdc de dois inteiros positivos a e b 8 e na sua determinao pelo algoritmo de Euclides os

quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Calcular a e b.

Resoluo: Temos o seguinte esquema:

2 1 1 4

8

Sabemos que se o mdc 8, o ltimo resto zero e o penltimo 8. Assim, temos:

2 1 1 4

8

8 0

Como 8 o divisor, 4 o quociente e zero o resto, achamos o dividendo desta diviso:

4 x 8 + 0 = 32. Logo o nmero anterior a oito 32. Deste modo 32 ser o outro resto

Temos o seguinte esquema:

2 1 1 4

32 8

32 8 0

Tendo 32 para divisor, 1 para quociente e 8 para resto, o prximo dividendo ser:

32 x 1 + 8 = 40. De modo semelhante, encontramos os outros nmeros:

2 1 1 4

184 72 40 32 8

40 32 8 0

Logo a = 184 e b = 72.

09) Usando o algoritmo de Euclides, determinar:

a) mdc(624, 504, 90).

Soluo:

Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que 24. A seguir acha-se o mdc(24, 90) que 6.

R: 6.

Determinar os inteiros positivos a e b sabendo:

10) ab = 4032 e o mmc(a, b) = 336.

11) mdc(a, b) = 8 e o mmc(a, b) = 560.

Solues:

10) Como mmc(a, b) = 336, temos 336 = a k1 e 336 = b k2 .Multiplicando membro a membro estas

duas igualdades, temos: 336 x 336 = a b k1 k2. Substituindo o valor de a b = 4032 nesta ltima

igualdade, temos: 112896 = 4032 k1 k2 ou k1 k2 = 28. Assim, como k1 e k2 so primos entre si,

devemos procurar dois inteiros primos entre si, cujo produto 28. Encontramos k1 = 1 e k2 = 28, k1

= 4 e k2 = 7. Com estes valores temos a = 336 e b = 12 e a = 84 e b = 48.

11) Temos: mdc(a, b) mmc(a, b) = a b. Ento a b = 8 560. Temos, portanto um problema j

resolvido sobre mdc. A resposta ser: a = 8, b = 560; a = 16, b = 280; a = 40, b = 112; a = 56, b =

80.

12) Se a soma de dois nmeros 320 e o mnimo mltiplo comum entre eles 600, quais so esses

nmeros? Qual o mximo divisor comum entre eles?

Soluo: Se X e Y so os nmeros procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem

pertencer ao conjunto D(600):

R: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}.

Pares de nmeros deste conjunto que somam 320, so: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par no

serve, pois MMC (300, 20) = 300. Os nmeros que servem so X = 200 e Y = 120, pois MMC (200,

120) = 600 e MDC (200, 120) = 40.

13) Se a diferena entre dois nmeros naturais 126 e o mximo divisor comum entre eles 18,

quais so esses nmeros?

Soluo: Se X e Y so os nmeros procurados, eles devem ser mltiplos de 18 e podem ser escritos

na forma X = 18a e Y = 18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a - 18b = 126, de onde

segue que 18(a - b) = 187, o que equivalente a: a - b = 7. Tomando a = 8 e b = 1 teremos X = 144

e Y = 18.

14) Se a soma de dois nmeros naturais 420 e o mximo divisor comum entre eles 60, quais so

esses nmeros?

Soluo: Sejam X e Y os nmeros procurados. Se MDC(X, Y)=60, os nmeros X e Y devem ser

mltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X = 60a e Y = 60b onde a e b so nmeros

inteiros positivos. Assim: 60a + 60b = 420, o que garante que a + b = 7. Devemos escolher nmeros

naturais tal que a + b = 7, e assim, temos vrias opes.

Se a = 6 e b = 1 ento X =360 e Y = 60 Se a = 5 e b = 2 ento X = 300 e Y = 120

Se a = 4 e b = 3 ento X = 240 e Y = 180 Se a = 3 e b = 4 ento X = 180 e Y = 240

Se a = 2 e b = 5 ento X = 120 e Y = 300 Se a = 1 e b = 6 ento X = 60 e Y = 360

Questes Propostas

01) Usando o algoritmo de Euclides, determinar o mdc (306, 657).

02) Usando o algoritmo de Euclides, determinar:

a) mdc(285, 675, 405). R: 5.

b) mdc(209, 299, 102). R:- 1.

c) mdc(69, 398, 253). R: 23.

03) Usando o algoritmo de Euclides, achar inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade:

mdc(56, 72) = 56x + 72y.

04) Achar inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade:

a) 78x + 32y = 2 e) 238x + 51y = 3

b) 104x + 91y = 13 f) 52x + 13y = 1

c) 31x + 19y = 7 g) 145x + 58y = 87

d) 42x + 26y = 16 h) 17x + 5y = -2

05) Achar inteiros x, y e z que verifiquem a igualdade 198x + 288y + 512z = mdc(198, 288, 512).

R: x = -5, y = -217, z = 124.

06) Calcular as solues de todos os itens abaixo podendo ser obtidas a partir da propriedade

mdc(a,b).mmc(a, b) = a.b.

a) mmc(83, 68) R: 5644 b) mmc( 120, 110) R: 1320

c) mmc(86, 71) R: 6106 d) mmc(224, 192) R: 1344

e) mmc(1287, 507) R: 16731 f) mmc(143, 227) R: 32461

g) mmc(306, 657) R: 22338

07) Determinar a e b se, a + b = 589 e mmc a b

a b

( , )

mdc( , )84 .

R: a = 57 e b = 532; a = 217 e b = 372.

08) Demonstrar que se a e b so inteiros positivos tais que o mdc(a, b) = mmc(a, b) ento a = b.

09) Sendo a e b inteiros positivos, demonstrar quo o mdc(a, b) sempre divide o mmc(a, b).

10) Quais os dois menores nmeros pelos quais devemos dividir 252 e 234 para que os quocientes

obtidos sejam iguais?

R: 7 e 9.

11) Quais os nmeros compreendidos entre 100 e 300 divisiveis ao mesmo tempo por 6, 9 e 15?

R: 180 e 270.

12) Quais os dois nmeros de trs algarismo divisiveis ao mesmo tempo por 8, 9 e 10?

R: 360 e 720.

13) Quais os dois menores nmeros pelos quais devemos multiplicar 30 e 54 para que os produtos

obtidos seja iguais?

R: 9 e 5.

14) Calcular o nmero que, dividido por 12, 40 e 60 deixa sempre o mesmo resto 5?

R: 125.

15) A editora do livro Matemtica recebeu pedidos de trs livrarias sendo que um pedido de 1300

livros, o segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter

em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possvel. Calcule o valor de n.

R: 650 livros em cada pacote, num total de 11 pacotes.

16) Trs peas de tecido medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em

retalhos de igual comprimento. Qual dever ser esse comprimento de modo que o nmero de

retalhos seja o menor possvel? Em quantos pedaos as peas sero dividas?

R: O comprimento de 36 m e o nmero de peas sero de 5, 7 e 9 pedaos.

17) Duas rodas dentadas se engrenam uma a outra, a primeira tem 48 dentes e demora 4 segundos

em cada volta, a segunda tem 104 dentes. Colocam-se em movimento e se pergunta ao cabo de

quanto tempo, se encontram na mesma posio inicial? R: 52 segundos.

18) Dois ciclistas correm sobre uma pista circular, partindo ao mesmo tempo de uma mesma linha.

O primeiro realiza uma volta completa, em 30 minutos e o segundo em 36 minutos. Quantas voltas

devero dar cada um, para que tornem a encontrar-se, sobre a linha de partida? R: 6 e 5.

19) Um remdio deve ser tomado diariamente em intervalos regulares. O fabricante quer que a

durao desses intervalos seja um nmero inteiro de horas (como 3 horas, por exemplo, e nunca trs

horas e meia). Alm disso, o fabricante quer que os horrios em que se deve tomar o remdio no

mudem de um dia para outro. Existem vrias possibilidades para a durao dos intervalos que

satisfazem essas exigncias do fabricante. Quais so elas?

R: D(24) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 .

20) Os planetas Jpiter, Saturno e Urano tm perodo de translao em torno do Sol de

aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrer, depois de uma

observao, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posies em que se

encontram no momento de observao? R: 420 anos.

21) Duas pessoas fazendo seus exerccios dirios partem de um mesmo ponto e contornam,

andando, uma pista oval que circula um jardim. Uma dessas pessoas andando de forma mais

acelerada d uma volta completa na pista em 12 min, enquanto a outra, andando mais devagar, leva

20 min para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltaro a se

encontrar no ponto de partida? R: 60 minutos ou 1 hora.

22) Em um certo pais as eleies para presidente ocorrem de 6 em 6 anos e para senador de 4 em 4

anos. Em 1992 essas eleies coincidiram. D os anos das quatro prximas vezes em que elas

voltaram a coincidir. R: 2004, 2016, 2028, 2040.

23) Jos daquelas pessoas que gostam de complicar as coisas. Quando lhe perguntam a sua idade,

ele responde Tenho mais de 40 anos, menos de 50 e minha idade um mltiplo de 3 e de 8. Qual

a idade do Jos?

R: 48 anos.

24) De uma rodoviria, parte um nibus da empresa X a cada 20 minutos e um da empresa Y a cada

45 minutos. Supondo que esses dois nibus partem juntos s 8 horas da manh, depois de quanto

tempo os nibus das duas empresas partiram juntos novamente?

R: 180 minutos ou 3 horas.

25) Numa estao rodoviria, os nibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B,

de 8 em 8 horas. Numa ocasio, um nibus para a cidade A partiu junto com outro para cidade B.

Quanto tempo depois isso acontecer de novo?

R: 24 horas.

26) Da Praa da Repblica partem, s 6 horas da manh, dois bondes das linhas X e Y, iniciando o

servio do transporte de passageiros. Sabendo-se que o bonde X volta ao ponto de partida ao cabo

de 50 minutos, e o Y, ao cabo de 45 minutos, pergunta-se a que horas os dois bondes partiro

novamente juntos da praa da Repblica?

27) Tenho trs rguas divididas em partes iguais. Cada parte da primeira tem 3 mm, da segunda, 5

mm, e da terceira, 12 mm. Coloco as trs rguas uma do lado da outra, de modo que as suas

extremidades coincidam. Quais so os traos de diviso das trs rguas que coincidem?

Questes Propostas Envolvendo M.D.C e M.M.C

01) Determine s e t inteiros tais que MDC (a, b) = sa + tb para os seguintes pares de inteiros:

a) a = 145; b = 72 R: s = 1 e t = -2.

b) a = 896; b = 143 R: s = 64 e t = -401.

c) a = -123; b = 32 R: s = 13 e t = 50.

d) a = -75; b = -15 R: s = 0 e t = 1.

e) a = 102; b = 49 R: s = -12 e t = 25.

f) a = 138; b = 24 R: s = -1 e t = 6.

02) Classifique c

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